MULT Y DIV EJERCICIOS.pdf

Tema 1 La multiplicacin

Tema 2 La multiplicacin y el rea

Tema 3 Los planos

Tema 4 La divisin

Multiplicando y dividiendo

En esta unidad usted aprender a: Obtener de manera sencilla el resultado de multiplicar

una cantidad. Saber distribuir (dividir) una cantidad de manera

uniforme. Calcular la superficie de un terreno y leer planos a

escala.

Al conocer lo anterior podr: Hacer cuentas ms rpido. Calcular el rea o superficie de un terreno. Conocer la distancia entre dos lugares al medir un

plano. Determinar las dimensiones de objetos, terrenos o

cosas al tener un plano o croquis, aunque no tengamedidas.

Dividir algo en partes iguales y saber cunto le queda. Conocer cunto pag por 1 metro cuadrado o por

una hectrea, si compr un terreno.

Para aprender esta unidad usted necesitar: Saber sumar, restar y multiplicar.

Uni

dad

III

Uni

dad

III

Nmeros y cuentas para el campo

118

amiro necesita comprar 6 kilos de clavos para poner una cerca en su terreno.Si cada kilo de clavos cuesta 4 pesos, cunto deber pagar Ramiro?

Para resolver esto, Ramiro piensa que si cada kilo de clavo cuesta 4 pesos ynecesita 6 kilos, entonces tiene que sumar 6 veces 4.

Una forma ms rpida de obtener el resultado es multiplicar la cantidad porel nmero de veces que se desea sumar.Multiplicar es sumar varias veces el mismo nmero, pero en forma abreviada.

R

44444

+ 42 4

812

1620

24

Tema 1 La multiplicacin


119

6 veces 4 son 24.

Se dice 6 multiplicado por 4 6 x 4 = 24

Este signo indicamultiplicacin yse lee por.

La multiplicacin tambin se escribe as:

A Ramiro tambin le hacen falta 9 rollos de alambre; como cada uno cuesta 12pesos, pens en sumar 9 veces 12, para as saber cunto dinero necesita.

Veamos ahora cmo se obtiene el resultado con la mulltiplicacin.

9 veces 12 se escribe 9 x 12 =

Para resolver la multiplicacin conviene alinear los nmeros como en la suma o enla resta: el dgito de la unidades del nmero que multiplica (el multiplicador)debajo de la unidades del otro nmero (el multiplicando).

La multiplicacin se hacede derecha a izquierda.

Multiplicando (la cantidad que se repite)Multiplicador (el nmero de veces que se repite)

1 2x 9

Multiplicando (la cantidad que se repite)Multiplicador (el nmero de veces que se repite)Producto (el resultado)

4x 62 4

signo por

1 21 21 21 21 21 21 21 2

+ 1 2

Ejemplo


120

9 veces 1 son 9, ms 1 que se lleva son10. Se escribe el 0 debajo de la raya, enla columna de las decenas, y enseguida el1 en la columna de las centenas.

El resultado: 12 pesos x 9 = 108 pesos. Esta es la cantidad que necesita Ramiropara comprar los 9 rollos de alambre.

Observe que para efectuar con rapidez las operaciones de multiplicacin senecesita mucha prctica y aprenderse de memoria las tablas de multiplicar.

Ramiro se aprendi las tablas de multiplicar practicando con la tabla de Pitgoras,que se forma de la manera siguiente.

9 veces 2 son 18. Se escribe el 8debajo de la raya, en la columnade las unidades, y se lleva el 1arriba, a la columna de lasdecenas.

(Se escriben los nmeros del 1 al 12 en la primera fila y en la primera columna.)

Fila 1

Columna 1

123456789101112

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 .1 2

x 98

1 .1 2

x 91 0 8


121

La segunda columna se forma con la serie de nmeros de 2 en 2.

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24

La columna 3 se forma con la serie de los nmeros de 3 en 3.

3 ,6 ,9 ,12,15,18, etctera.

La columna 4 se forma con la serie de los nmeros de 4 en 4; la columna 5 seforma con la serie de los nmeros de 5 en 5 y as todas las dems columnas.

Ejercicios

(Cuando termine de llenar toda la tabla, comprela con la tabla de Pitgoras queaparece en la siguiente pgina.)

12

456789101112

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 124 6 8

3

81012141618202224

6

12

9

16

12

1518

Columna 3

Llene todas las columnas haciendo las series con los nmeros de las columnascorrespondientes.


122

Observe que cada columna es una tabla de multiplicar.

El resultado o producto del nmero de veces que se suma una cantidad se hallaen el cruce de la fila y de la columna.

As por ejemplo: 9 veces 8 son 72 8 x 9 = 72

Observe en la tabla que en la multipliacin se puede cambiar el orden de los nmeros:

6 x 7 = 42 7 x 6 = 42

y el resultado seguir siendo el mismo.

Si se cambia el orden de los factores de una multiplicacinsu producto o resultado no se altera (no cambia).

Los nmeros de arriba de cada columna indican la cantidad que serepite o que se suma varias veces (el multiplicando).Los nmeros de la izquierda de cada fila indican el nmero deveces que se suma la suma la misma cantidad (el multiplicador).

123456789

1112

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10

4681012141618

2224

20

69121518212427

3336

30

812162024283236

4448

40

1015202530354045

5560

50

1218243036424854

6672

60

1421283542495663

7784

70

1624324048566472

8896

80

1827364554637281

99108

90

2030405060708090

110120

100

2233445566778899

121132

110

24364860728496108

132144

120


123

Ejemplo 6 x 7 = 42

Hay dos situaciones especiales en la tablas de multiplicar que conviene tenersiempre presentes para evitar equivocaciones cuando se hace una muliplicacin.

7 x 6 = 42

Todo nmero multiplicadopor uno da el mismo nmero.

1 x 1 = 1 2 x 1 = 2 3 x 1 = 3 4 x 1 = 4 5 x 1 = 5 6 x 1 = 6 7 x 1 = 7 8 x 1 = 8 9 x 1 = 9 10 x 1 = 10

Una vez una cantidad da la misma cantidad.

Todo nmero multiplicadopor cero da cero.

1 x 0 = 0 2 x 0 = 0 3 x 0 = 0 4 x 0 = 0 5 x 0 = 0 6 x 0 = 0 7 x 0 = 0 8 x 0 = 0 9 x 0 = 010 x 0 = 0

Cero veces una cantidadda cero.

123456789

2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

468101214161820

6912151821242730

81216202428323640

101520253035404550

1218243036

485460

14212835

49566370

162432404856647280

182736455463728190

2030405060708090100

4242


124

Ejercicios

1. Utilice la tabla de Pitgoras para resolver los siguientes problemas.j) __________ veces 3 son 21

k) __________ veces 8 son 32

l) __________ veces 9 son 63

m) 4 x 3 = 12

n) 3 x 2 = __________

o) 4 x 5 = __________

p) 9 x 8 = __________

q) 8 x 7 = __________

2. Complete las columnas 4, 7 y 9 en la siguiente tabla.

a) 2 veces __________ son 10

b) 4 veces __________ son 20

c) 7 veces __________ son 35

d) 9 veces 7 son __________

e) 6 veces 9 son __________

f) 5 veces __________ son 40

g) 3 veces __________ son 18

h) 8 veces 7 son __________

i) 7 x 1 = __________

123456789101112

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 128

16

28

18

22

21

42

77

18

45

8190

22

4436

60


125

Ejercicios

Complete las multiplicaciones en las tablas siguientes.

Las tablas anteriores se conocen como las tablas de multiplicar; si se recuerdan losresultados de las tablas de multiplicar se pueden hacer ms rpido las multiplicaciones.

6 x 1 = 66 x 2 = ____6 x 3 = 186 x 4 = 246 x 5 = ____6 x 6 = 366 x 7 = ____6 x 8 = 486 x 9 = 546 x 10 = ____

8 x 1 = 88 x 2 = 168 x 3 = ____8 x 4 = 328 x 5 = ____8 x 6 = 488 x 7 = ____8 x 8 = 648 x 9 = ____8 x 10 = ____

2 x 1 = ____2 x 2 = ____2 x 3 = ____2 x 4 = 82 x 5 = 102 x 6 = ____2 x 7 = 142 x 8 = ____2 x 9 = ____2 x 10 = ____

7 x 1 = ____7 x 2 = ____7 x 3 = 217 x 4 = ____7 x 5 = 357 x 6 = ____7 x 7 = 497 x 8 = 56 7 x 9 = ____7 x 10 = 70

5 x 1 = 55 x 2 = ____5 x 3 = 155 x 4 = ____5 x 5 = 255 x 6 = ____5 x 7 = ____5 x 8 = ____5 x 9 = 455 x 10 = ____

3 x 1 = ____3 x 2 = ____3 x 3 = ____3 x 4 = ____3 x 5 = ____3 x 6 = ____3 x 7 = ____3 x 8 = ____3 x 9 = ____3 x 10 = ____

4 x 1 = 44 x 2 = ____4 x 3 = 124 x 4 = ____4 x 5 = 204 x 6 = ____4 x 7 = 284 x 8 = 324 x 9 = ____4 x 10 = ____

9 x 1 = ____9 x 2 = 189 x 3 = ____9 x 4 = ____9 x 5 = 459 x 6 = ____9 x 7 = 639 x 8 = ____9 x 9 = ____9 x 10 = ____

10 x 1 = ____10 x 2 = 2010 x 3 = ____10 x 4 = ____10 x 5 = 5010 x 6 = ____10 x 7 = 7010 x 8 = ____10 x 9 = ____10 x 10 = ____


126

Ejercicios

4 9x 2

2 7x 3

3 4x 4

7 1x 5

2 5x 3

9 7x 6

2 8x 9

3 9x 9

4 1x 7

4 3x 9

5 2x 9

3 7x 7

7 4x 9

6 3x 5

9 4x 5

6 9x 8

7 6x 5

4 7x 2

3 9 6x 3

4 3 7x 2

8 6 9x 4

6 6 9x 6

4 9 5x 7

3 4 2x 3

4 9 1x 4

9 3 1x 5

7 6 3x 6

5 6 1x 7

3 9 7x 8

5 4 5x 5

2, 3 4 1x 3

3, 1 2 4x 4

7, 3 2 1x 5

9, 4 3 1x 6

6, 2 4 7x 8

3, 3 5 6x 5

4, 1 2 7x 8

6, 3 3 4x 3

7, 4 2 2x 9

5, 2 6 4x 3

5, 2 5 1x 4

8, 1 9 2x 6

2, 8 3 2x 9

8, 3 2 1x 5

5, 1 3 6x 7

Resuelva los siguientes ejercicios:


127

Observe que lo mismo que sucede con las columnas de la tabla de Pitgoras, esaplicable en los renglones; por ejemplo, la serie del 3 se usa en el 3er rengln yla serie del 5, en el 5 rengln.

Le sugerimos llenar todos los renglones con las series correspondientes, y cuando lasdos tablas (columnas y renglones) estn llenas las compare y seale cul es su diferencia.

Problemas

1. El seor Eusebio va a comprar 20 costales, si cada costal cuesta $2.00,cunto tendr que pagar?

2. El seor Antonio compr 4 costales de cloruro de amonio, si cada costaltiene 35 kilos, cunto compr en total?

3. El seor Eduardo contrat a un pizcador durante 6 das, si por cada da lepaga $48.00, cunto debe pagarle en total?

4. Doa Amelia siembra nopal en un pedazo de su parcela; si en cada surco desu parcela tiene sembrados 112 nopales y en su terreno slo tiene 6 surcos,cuntos nopales podr obtener?

5. En el terreno de Fausto se van a poner 30 postes en cada lado; si elterreno es cuadrado, cuntos postes tendr que colocar?

6. Podra usted construir la columna No. 13 de la tabla de Pitgoras?

Serie de 1 en 1

12

1234567891011

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6

10

9

15

12

20

15

25

18

30

21

35

24

40

27

45

30

50

33

55

36

60

Serie de 3 en 3

Serie de 5 en 5


128

Para resolver la multiplicacin conviene primero alinear los nmeros as:

Multiplicacin con dos dgitos enel multiplicador

A Ernesto le pagan $32.00 diarios porcortar limn, si Ernesto trabaj durante 25das, cunto deber cobrar Ernesto?

Para conocer cunto le deben pagar a Ernesto,es necesario multiplicar lo que le pagan diariopor el nmero de das de trabajo:

32 x 35

Como el multiplicador tiene dos dgitos, entonces va a obtener dos resultadosparciales.

El producto se obtiene de la suma de los resultados parciales.

La multiplicacin se inicia con el dgito de las unidades del multiplicador y semultiplica de derecha a izquierda.

Paso 15 x 2 = 10, se escribe 0 en la columnade las unidades y se lleva el 1 a lasiguiente columna.

las unidades con las unidadesy las decenas con las decenas.

1 .3 2

x 2 50

3 2x 2 5 Multiplicador

dece

nas

unid

ades


129

Paso 25 x 3 = 15, y 1 que llevamos son 16.Se obtiene el primer resultado parcial (160).

Paso 3Ahora, se usa el dgito de las decenasdel multiplicador, 2 x 2 = 4. Se escribeel 4 abajo del dgito que se est usandopara multiplicar.

Se pone abajo del 2porque ese es el queest multiplicando.

Paso 42 x 3 = 6. Se escribe el 6 en lasiguiente columna y se obtiene elsegundo resultado parcial (64).

Paso 5Se efecta la suma de los resultadosparciales para obtener el producto.

Resultadosparciales

ReglaCuando el multiplicador tiene 2 ms dgitos, la multiplicacin tendr 2 msresultados parciales. El producto se obtiene de la suma de los resultados parciales.

1 .3 2

x 2 51 6 0

Resultado800 pesos por los 25 das que trabaj Ernesto.

3 2x 2 51 6 06 4 0

3 2x 2 5

1 6 0 + 6 4 0

8 0 0

3 2x 2 51 6 0

4 .


130

Ejercicios

9 6x 2 4

7 8x 2 6

9 4x 1 7

6 3x 2 5

4 9x 3 7

7 5x 2 6

9 7x 1 4

6 5x 1 6

4 2x 9 7

3 9x 2 8

6 3x 2 4

9 5x 4 9

8 7x 6 9

4 2x 9 7

8 2x 9 5

6 7 5x 2 1

7 8 9x 6 3

6 7 9x 3 4

5 3 5x 5 6

9 3 7x 4 3

Problemas

1. Don Juan logr 147 guacales de sus rboles de mango, si por cada uno lepagaron $22.00, cunto cobr?

2. Genaro desea conocer cuntos rboles de limn tiene en su terreno; si sabeque hay 42 hileras de rboles y en cada una hay 38 rboles, cuntos rbolesde limn tiene?

3. Ramiro vende 68 costales de naranjas; si a cada costal le cabe 144 naranjas,cuntas naranjas vendi en total?

2, 4 2 1x 4 5

1, 5 6 4x 7 5

7, 6 8 7x 6 3

5, 4 7 8x 9 7

8, 6 5 1x 1 3

Para practicar, resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno.


131

Multiplicacin con tres dgitos enel multiplicador

Matas tiene 125 matas de maz por surco y ensu terreno hay 238 surcos, cuntas matas demaz tiene Matas?

Para contestar lo anterior se puede decir quehay que conocer cunto es; 238 veces 125, osea, multiplicar:

125 x 238

Para resolver esta multiplicacin se alnean lascantidades as: las unidades con las unidades, lasdecenas con las decenas y las centenas con lascentenas. Multiplicador

Como el multiplicador (238) tiene tres dgitos, entonces se van a obtener tresresultados parciales, uno por cada dgito.

Recuerde que el producto se obtiene de la suma de los resultados parciales.

La operacin se inicia con el dgito de las unidades del multiplicador y se multiplicade derecha a izquierda.

Paso 18 x 5 = 40Se escribe 0 abajo del dgito quese est usando para multiplicar yel 4 sobre el 2 de las decenas.

4 .1 2 5

x 2 3 80

Paso 28 x 2 = 16, y 4 que llevamos son 20.Se escribe el 0 abajo, en la siguientecolumna, y se lleva el 2 arriba, en lasiguiente columna (de las centenas).

1 2 5x 2 3 8

cent

enas

dece

nas

unid

ades

2 4 .1 2 5

x 2 3 80 0


132

Paso 38 x 1 = 8, y 2 que llevamos son 10.Se escribe 10 abajo, en las columnassiguientes, para obtener el primerresultado parcial (1,000).

Primer resultado parcial

Paso 4Ahora, se usa el dgito de las decenasdel multiplicador:

3 x 5 = 15Se escribe el 5 abajo del dgito que seest usando para multiplicar y se llevael 1 arriba, a la siguiente columna.

Paso 53 x 2 = 6, y 1 que llevamos son 7.Se escribe el 7 abajo, en la siguientecolumna.

Paso 63 x 1 = 3Se escribe el 3 abajo, en la siguientecolumna, para formar el segundoresultado parcial (375).

Paso 7Ahora, se usa el dgito de las centenasdel multiplicador:

2 x 5 = 10Se escribe el 0 abajo del dgito que se estusando para multiplicar y se lleva el 1 arriba, a lasiguiente columna.

1 02 4 .1 2 5

x 2 3 81 0 0 0

5 0

1 .2 4 .1 2 5

x 2 3 81 0 0 0

7 5 0

1 .1 .

2 4 .1 2 5

x 2 3 81 0 0 03 7 5 .

0 .

2 4 .1 2 5

x 2 3 81 0 0 0

Segundo resultado parcial

1 .2 4 .1 2 5

x 2 3 81 0 0 03 7 5 .


133

Paso 82 x 2 = 4, y 1 que llevamos son 5.Se escribe el 5 abajo, en la siguientecolumna.

Paso 92 x 1 = 2Se escribe el 2 abajo, en la siguiente columna,para formar el tercer resultado parcial (250).

Paso 10El producto se obtiene de la suma de los tresresultados parciales.

ResultadoMatas tiene 29,750 matas de maz en todo su terreno.

1 01 0

2 4 01 2 5

x 2 3 81 0 0 0

3 7 5 .5 0 0 .

Comprobacin de la multiplicacinPara estar seguros de que el producto de la multiplicacines correcto, conviene hacer la comprobacin delresultado, volviendo a hacer la multiplicacin, peroinvirtiendo los factores 238 x 125. El resultado debe serel mismo.

01 0

2 4 02 3 8

x 1 2 5 1 1 9 0

+ 4 7 6 02 3 8 02 9, 7 5 0

Resultadosparciales

1 01 0

2 4 01 2 5

x 2 3 81 0 0 0

+ 3 7 5 .2 5 0 .2 9, 7 5 0 Producto total

Tercer resultado parcial

1 01 0

2 4 01 2 5

x 2 3 81 0 0 03 7 5 .

2 5 0 .


134

Ejercicios

3,478 x 357 = ____________________

42,683 x 539 = ___________________

57,975 x 678 = ___________________

Problemas

2. Ruperto sac 295 costalesde naranjas en la temporadapasada, si a cada costal lecabe 144 naranjas, cuntasnaranjas obtuvo en total?

4 2 9x 3 1 8

6 4 9x 5 3 9

6 4 5x 3 9 6

6 7 8x 4 9 1

7 3 6x 3 4 8

2 8 7x 3 7 8

9, 4 7 8x 3 9 7

5, 6 5 7x 7 6 1

1, 5 6 4x 6 7 5

7, 3 5 7x 4 5 6

1 2 5x 2 7 4

3 2 8x 1 9 6

1. En el pueblo, a Matas le venden un terreno que tiene 1,297 m2, si cadametro cuadrado vale 275 pesos,

cunto debe pagar Matas por el t erreno?

Un cuadrado de 1 m x 1 m tiene una superficie de1 metro cuadrado, que se abrevia m2.


135

Multiplicacin con ceros

Paso 18 x 0 = 0Se escribe el 0 abajo del dgito que seusa para multiplicar. Recuerde que todacantidad multiplicada por cero es igual acero.8 veces 0 es igual a decir:0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Paso 28 x 3 = 24Se escribe el 4 abajo, en lasiguiente columna, y se lleva el 2arriba.

Don Juan est interesado en un terreno de8 hectreas que se ofrece en venta a unprecio de 10,530 pesos por hectrea, y quieresaber cunto dinero necesita juntar paracomprar todo el terreno.

El problema se resuelve con una multiplicacin:

10,530 x 8

Juan aline las cantidades para efectuar la operacin: 1 0, 5 3 0x 8

1 0, 5 3 0x 8

0

2 .1 0, 5 3 0

x 84 0


136

Paso 58 x 1 = 8Se escribe el 8 abajo, en la siguiente columna,para formar el producto (84,240).

Resultado

Don Juan necesita juntar 84,240 pesos para comprar el terreno de las 8 hectreas.

Ejercicios

Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno:

85,900 x 64 = _______________________

8,700 x 17 = ________________________

600,825 x 48 = ______________________

Paso 48 x 0 = 0, y 4 que se llevan son 4.Se escribe el 4 abajo, en la siguientecolumna.

Paso 38 x 5 = 40, y 2 que llevamos son 42.Se escribe el 2 abajo, en la siguiente columna,y se lleva el 4 arriba.

4 2 .1 0, 5 3 0

x 82 4 0

4 2 .1 0, 5 3 0

x 84 2 4 0

2 0 8x 5 2

1, 0 5 0x 8 7

1, 7 0 0x 1 2

6, 4 4 1x 8 3

7 3 8x 2 8

4 2 .1 0, 5 30

x 88 4, 2 4 0


137

Multiplicacin con ceros en elmultiplicador

Don Jos va a comprar un terrenito de 208 m, si cada metro cuadrado cuesta174 pesos, cunto tendr que pagar don Jos?

El problema se resuelve con una multiplicacin:

Paso 18 x 4 = 32Se escribe el 2 abajo del dgitoque se usa para multiplicar y selleva el 3 arriba.

Paso 28 x 7 = 56, y 3 que se llevan son 59.Se escribe el 9 abajo y se llevan 5arriba.

5 3 .1 7 4

x 2 0 8 9 2

3 .1 7 4

x 2 0 8 2

1 7 4x 2 0 8

Ejemplo

ReglaCuando se tenga algn cero en el multiplicador, nomultiplique por cero, slo escriba el 0 abajo, en lamisma columna, y contine la multiplicacincon el siguiente dgito.


138

Paso 52 x 4 = 8Se escribe el 8 abajo del dgito que se usa paramultiplicar y enseguida del 0.

2 x 7 = 14Se escribe el 4 abajo y se lleva el 1 arriba.

2 x 1 = 2, y 1 que se lleva son 3.Se escribe el 3 abajo para formar el segundoresultado parcial (3,480).

Paso 6El producto se obtiene sumando losresultados parciales.

ResultadoDon Jos tendr que pagar 36,192 pesos.

Paso 4Debido a que el siguiente dgito es un cero, nose multiplica; slo se escribe el cero abajo, ensu misma columna, y se contina la multiplicacincon el siguiente dgito (el 2).

Paso 38 x 1 = 8, y 5 que llevbamos son 13.Se escribe el 13 enseguida para formarel primer resultado parcial (1,392).

1 05 3 .1 7 4

x 2 0 8 1 3 9 2

+ 3 4 8 0 03 6 1 9 2

ResultadosparcialesProducto total

1005 3 .1 7 4

x 2 0 8 1 3 9 2+ 3 4 8 0 .

5 3 .1 7 4

x 2 0 81 3 9 2

0 .

5 3 .1 7 4

x 2 0 81 3 9 2

ReglaPara multiplicar un nmero cualquiera por 10, 100, 1000, etctera, se agregauno, dos, tres o ms ceros a la derecha si el nmero es entero; o se corre elpunto decimal en uno, dos, tres o ms lugares hacia la derecha si el nmeroes con decimales.

384 x 10 = 3,840 384 x 1,000 = 384,000384 x 100 = 38,400 384.55 x 10 = 3,845.5


139

237 x 10 = __________________________

475 x 100 = ________________________

3,258 x 1,000 = ______________________

120 x 10,000 = ______________________

245 x 100,000 = _____________________

Ejercicios

Problemas

1. Al seor Octavio le comprarn un canasto de nopal chico con 500 piezas; sicada nopal lo vende en 0.40 pesos (40 centavos), cunto tiene que cobrarel seor Octavio?

2. La seora Concha trabaj cosechando nopal; si trabaj 3 jornadascompletas a $30.00 y 2 jornadas de horario normal a $25.00, podra ustedayudarle a saber cunto debe cobrar en esa semana de trabajo?

3. La seora Mara cosech 20 kilos de calabacita y la llev a vender a laciudad; la dio a $4.00 el kilo. Podra usted ayudarle a saber cuntoobtendr de la venta de sus calabazas?

4. El seor Hctor tiene 10 rboles de guayaba; si en promedio obtiene 3 cajascon 8 kilos de cada uno, podra usted ayudarle a saber cuntas cajasobtiene y cuntos kilos saca en total?

2, 6 0 4x 3 1 2

7, 0 4 8x 7 0 9

1 2, 6 0 8x 7 0 6

7 8 4x 2 0 9

7 6, 4 0 7x 3, 0 9 6

9, 6 0 4x 7 0 1

4, 7 0 2x 3, 0 4 7

4 7 0x 1 0 8


140

Multiplicacin con decimales

Don Paco cosech 15 costales de papa y logrvenderlos en $87.75 cada uno, porque huboescasez esta temporada.

Para saber cunto le van a pagar, don Paco hizola siguiente multiplicacin:

87.75 x 15 =

Paso 1Realiz la multiplicacin como si se tratara denmeros enteros.

Paso 2Cont el nmero total de decimales delproblema (tanto del multiplicando como delmultiplicador).

ResultadoDon Paco debe cobrar $1,316.25 por los 15 costales de papa.

Paso 3Coloc el punto decimal en el producto,contando de derecha a izquierda el nmero delugares hasta completar el total de losdecimales del problema (igual a 2).

3 3 2 .8 7 . 7 5

x 1 54 3 8 7 5

+ 8 7 7 5 01 3 1 6 2 5

.8 7.7 5x 1 5

+ 4 3 8 7 58 7 7 5 0

1 3 1 6 2 5

2 decimales

.8 7.7 5x 1 5

4 3 8 7 5+ 8 7 7 5 01 3 1 6.2 5

2 decimales

Producto


141

Don Paco compr 4.5 camiones de arena para construir su granero. Si cadacamin cuesta $198.95, cunto deber pagar?

Paso 1Se efecta la multiplicacin como si fuerannmeros enteros.

El problema se resuelve con unamultiplicacin con decimales,de la siguiente manera:

198.95 x 4.5

3 3 3 2 04 4 4 2 0

1 9 8 . 9 5x 4 . 59 9 4 7 5

7 9 5 8 0 08 9 5 2 7 5

Ejemplo

ReglaLa multiplicacin con nmeros decimales se efecta igual como si fueran nmerosenteros. Despus, se determina dnde poner el punto decimal en elproducto, de la siguiente manera:

Se encuentra el nmero total de decimales, tanto del multiplicando comodel multiplicador.

El punto decimal en el producto se pone contando de derecha a izquierdalos lugares hasta completar el nmero total de los decimales del problema.


142

Paso 2Se cuenta el nmero total de decimalesdel problema.

Paso 3Se pone el punto decimal en elproducto, contando de derecha aizquierda el nmero de lugareshasta completar el total dedecimales del problema (igual a 3).

ResultadoDon Paco deber pagar $895.30 (redondeando el importe, porque en nuestramoneda no se manejan centavos sueltos y menos milsimos de peso).

Ejercicios

4, 9 6 7x 1 . 4 7

7, 6 4 9x 4 . 0 8

4 7 . 3 5x 1 6 . 2 6

7, 8 4 7x 0 . 4 6

4, 9 6 0x 7 . 0 5

6 0, 3 0 5x 8 0 . 5 7

9 6 . 4 7 0x 6 . 0 8

6 7 . 4 2x 4 . 0 7

1 9 8 . 9 5x 4 . 59 9 4 7 5

7 9 5 8 0 08 9 5.2 7 5

1 decimal2 decimales = 3

Producto

1 9 8 . 9 5x 4 . 59 9 4 7 5

7 9 5 8 0 08 9 5 2 7 5

1 decimal2 decimales

= 3


143

amiro tiene un terreno en forma de rectngulo, como se muestra en elcroquis. El lado ms largo mide 34 metros y el ms corto mide 18 metros. Cules el rea del terreno de Ramiro?

Terreno de Ramiro 18 m

34 m

El rea de un terreno es la superficie que se encuentra dentro de sus lmites, porlo que el rea o superficie del terreno de Ramiro ser todo el terreno que estdentro de los 34 m de largo y los 18 m de ancho.

R

Tema 2 La multiplicacin y el rea


144

Cada cuadrito mide 1 metropor 1 metro.

Lo que se conoce como un metrocuadrado se representa por una mcon un 2 pequeo arriba: m2. 1 m x 1 m = 1 m2

Para conocer el rea de su terreno, Ramiro tendra que contar todos loscuadritos que caben en su terreno, o bien, una manera ms facil sera multiplicarlos que caben en cada lado.

L1 = Lado largo = 34 mL2 = Lado corto = 18 m

L1 x L2 = 34 m x 18 m = 612 m2

El rea del terreno de Ramiro es de

612 m2 (612 metros cuadrados)

Si lo desea, puede contar todos los cuadritos del terreno de Ramiro, paracomprobar que multiplicar la longitud de un lado por la del otro da la superficiede un rectngulo.

Como se pudo observar en el terreno de Ramiro, la multiplicacin nos puedeayudar a conocer el rea de nuestros terrenos, casas o cosas.

Si cada lado del terreno de Ramiro lo dividimos en los metros que tiene, nosquedar un terreno cuadriculado como este.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34123456789101112131415161718

El rea es la parte interior de una figura y tambin se puede llamar superficie.

1 m

1 m


145

rea de unrectngulo

reade un

cuadradoreade un

tringulo

El rea total de esta figura es:

El rea de un rectngulo es igual a multiplicar su lado grande por su lado chico.

L2 = Lado chico

L1 = Lado grande

rea = L1 x L2

En el caso del cuadrado, como no tiene lado grande y chico, sino los dos soniguales, el rea se obtiene multiplicando la magnitud de cualquiera de sus ladospor s misma.

rea = L1 x L2L1

L2

el rea del rectngulo + el rea del tringulo

reade untringulo

rea de unrectngulo

reade untringulo

Ejemplos


146

Observe usted que tanto el cuadrado como el rectngulo tienen ladosadyacentes perpendiculares. Esto quiere decir que sus ngulos miden 90

y que tienen dos lados paralelos.

Si un rectngulo o cuadrado se divide en dos partes por medio de una lneadiagonal se obtendrn dos tringulos:

Tringulo 1

Tringulo 2

Diag

onal

Lados paralelosLados paralelos

Lados paralelosLados paralelos

90

b = Lado largo

h= Lado corto

Tringulo 1

Tringulo 2

Diag

onal


147

Si analizamos las reas del rectngulo y los tringulos, podemos decir que el reade un tringulo es la mitad de la de un rectngulo.

rea de un rectngulo:

A = lado largo x lado corto

A = b x h

Para poder calcular la mitad del rea de un rectngulo, se debe dividir el readel rectngulo en dos.

rea de untringulo

b x h2

rea =

= rea de un rectngulo 2

reade un

rectngulo

b

h

rea de untringulo

b

h


148

El rea en hectreas

El rea ser igual a la multiplicacinde un lado por el otro.

rea = L1 x L2

rea = 100 m x 100 m = 10,000 m2

Para facilitar el manejo de los nmeros, se ha establecido que 10,000 m2 sepueden llamar tambin 1 hectrea (ha).

O sea, por cada 10,000 m2 se puede decir que se tiene una hectrea:

10,000 m2 = 1 ha

Por lo que el terreno del seor Hilario tiene una hectrea, porque mide 100 m enun lado y 100 m en el otro.

100 m x 100 m = 10,000 m2 = 1 ha

El seor Hilario tiene un terreno,para el cultivo de maz, que mide 100metros en un lado y 100 metros en elotro.

Cul es el rea del terreno del seorHilario?

Solucin

El terreno es cuadrado, como se muestra a continuacin.

100 m

100 m


149

Ramiro compr un terreno de 12.5 ha.Cuntos metros cuadrados tiene el terrenode Ramiro?

Observe que al multiplicar por 10,000 slo se recorri el punto decimal hacia laderecha del nmero de ceros del 10,000, o sea, 4:

Problemas

1. Luis compr a su hermano un terreno de 1.8 ha. Si cada hectrea cuesta $12,500.00,

El terreno de Ramiro tiene 12.5 ha; como unahectrea tiene 10,000 m2, se debe multiplicarel nmero de hectreas (ha) por 10,000 m2:

Ejemplo

12.5 x 10,000 m2 = 125,000 m21 2 3 4 1 2 3 4

Con lo anterior, cada vez que se nos diga que un terreno tiene su rea enhectreas, fcilmente podremos decir a cuntos metros cuadrados equivale,pues las hectreas se deben multiplicar por los 10,000 m2 que tiene cada una.

a) cunto debe pagar Luis a su hermano?b) cuntos metros cuadrados compr Luis?

2. Luis tena un terreno con 12 ha. Ahora, con el terreno que compr a suhermano, cuntos m2 tiene?

3. El hermano de Luis tena 48 ha antes de vender su terreno. Ahoracuntos m2 tiene?

4. Cul es el rea, en m2 y en ha, de un terreno que mide 200 m x 100 m?

12.5 x 10,000 m2 = 125,000 m21 2 3 4 1 2 3 4


150

Tema 3 Los planos

Camino al monte90 m

Propiedad dedon Antonio Corona

200 m

Propiedad del seorRamrez Trejo200 m

90 mCamino al ojo de agua

1. Lo primero que debe hacer Pedro es obtener las dimensiones exactas de suterreno, lo que puede encontrar en sus escrituras.

As descubre que su terreno colinda al noreste con el del seor Ramrez Trejo,con 200 m; al sureste, con el camino al ojo de agua, con 90 m; en el suroestetiene 200 m y colinda con los terrenos de don Antonio Corona (quien es suhermano) y en el noroeste tiene 90 m y da a lo que se conoce como camino almonte.

2. Con lo anterior, Pedro puede hacer un croquis de su terreno.

edro pide un prstamo a Banrural para poder meter riego en el terreno quecompr a su hermano. Para que se le otorgue el prstamo le piden las escrituras yun dibujo a escala del terreno. Si Pedro tiene las escrituras, qu puede hacerpara obtener un dibujo a escala del terreno?

N

P


151

4. Para que las dimensionesdel plano correspondan a lade la realidad, hace undibujo en el que cada cmrepresente a 10 metros,o sea, 1 cm 10 m.

3. Ahora ya tiene una aproximacin de cmo luce su terreno en un plano, pero siobserva bien las rayas que representan 90 m y las que representan 200 m casi son

Con la escala anterior, lequeda a Pedro un planocomo este.

de la misma longitud, con lo quese obtiene una idea falsa de laforma del terreno.

Escala1 cm 10 m

10 m 20 m 30 m 40 m

5 cm

50 m

1 cm 2 cm 3 cm 4 cm

N

90 m

200 m

Prop

ieda

d de

don

Ant

onio C

oron

a

Camino al ojo de agua

Camino al monte

Prop

ieda

d de

l se

or

Ram

rez

Tre

jo


152

Con el plano anterior, Pedro representa a 10 metros de su terreno con1 centmetro de dibujo y tiene una idea clara de cmo es su terreno.

Lo mismo sucede con el lado del camino al monte.

Le sugerimos que mida dicho lado y compruebe que mide 9 cm, pero como cada cmequivale a 10 m:

9 x 10 m = 90 m

Observe cmo, aunque no se especifica que el lado del terreno de Pedro quecolinda con el de don Antonio Corona tiene 200 m, con slo medir en el plano aescala encontramos que tiene 20 cm y como cada centmetro equivale a 10 metros,entonces ese lado mide:

20 x 10 metros = 200 metros

Con este plano a escala y sus escrituras, asiste a Banrural en donde le van aprestar dinero para meter el riego en su terreno.

Los planos a escala nos ayudan a conocer todas las dimensionesde lo que se est representando, aunque no estn sealadascon nmeros en el plano.


153

En la esquina superior izquierda del plano se localiza la escala, que es de1 cm 40 km; entonces de Kabah a Mrida hay 120 km, porque: 3 x 40 km = 120 km.

Ahora, mida la distancia que hay entre Cancn y Mrida, y defina cuntoskilmetros hay entre las dos ciudades.

Observe que como hay 7.5 cm y cada cm equivale a 40 km, entonces de Cancn aMrida hay 300 km, porque: 7.5 x 40 km = 300 km.

Tambin los planos a escala nos pueden ayudar a estimar los tamaos de pases,estados o ciudades, o la distancia que hay entre un lugar y otro.

Con un plano a escala podemos conocer lascaractersticas del objeto que representa.

Observe el plano de la Pennsula de Yucatn y mida la distancia que existe entreKabah y Mrida. Cuntos cm hay?


154

Problemas

3. Haga un plano, con escala de 1 cm por cada m (1 cm 1 m), del cuarto enque duerme.

1. En el terreno de Pedro, cunto mide la lnea diagonal que se puede trazardesde la esquina del terreno de don Antonio Corona y el camino al ojo deagua hasta la esquina del camino al monte y la propiedad del seor RamrezTrejo?

2. Qu distancia hay entre Champotn y Felipe Carrillo Puerto, en el plano dela Pennsula de Yucatn?


155

l seor Rosendo tiene un terreno en Cordoba Veracruz, quien ha decididodividirlo en 2 terrenos iguales como se muestra en el dibujo.

Cul es el rea de cada uno de los dos terrenosque tiene ahora Rosendo?

E

El terreno rectangular sin dividir de Rosendotiene un rea de 18 ha.

Tema 4 La divisin

900 m

200 m


156

A esta operacin se le llama divisin y se representa por el signo , unaraya o una diagonal que divide a los dos nmeros.

Tambin la divisin se puede entender como el nmero de veces que cabeel 2 en el 1.8:

2 2 2 2 2 2 2 2

1

2

2 3 4 5 6 7 8 9

18

Esto indica que 9 veces cabe el 2 en el 8, o sea, que

9 veces el nmero 2 = 18

Lo que se puede representar de la siguiente manera:

9 x 2 = 18

Dividir implica distribuir las 18 ha en dos; por lo que Rosendo hace lo siguiente:

Representa a cada una de las 18 ha por un cuadrito:

Esto quiere decir que cuando se dividen 18 entre 2, a cada uno de esos dos lecorresponden 9.

Los reparteentre 2: 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

9

18 2 18 / 2182


157

4 5 6 7 8 91 2 3

Para saber cunto debe cobrarRoberto a la seora Rocopor una sanda, se imagina a las 4 sandas y a 12 monedas de 1 peso.

12monedas

de 1peso

Luego, imagin que reparta una moneda a cada sanda hasta que no le quede ninguna.

Sanda 1 Sanda 2 Sanda 3 Sanda 4

12 monedas de 1 peso

Al repartir todas las monedas, Roberto se dio cuenta que a cada sanda letocaban 3 pesos, por lo que concluy que a Roco le debera cobrar 3 pesos poruna sanda.

En la plaza del pueblo, el seorRoberto vende 4 sandas en 12pesos. Si Roco slo quiere unasanda, cunto debe cobrarRoberto a Roco?

10 11 12

Ejemplo

Sanda 1 Sanda 2

Sanda 4Sanda 3


158

As, por ejemplo, cuando preguntamos cuntas veces cabe el 4 en el 12?Recordamos que 3 veces 4 = 12, o sea, 4 x 3 = 12, y si la divisin es el opuestode la multiplicacin, entonces la respuesta es: hay 3 cuatros en el 12; es decir,12 dividido entre 4 es igual a 3 (el cociente).

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios. Utilice el opuesto de la multiplicacin para obtener el cociente.

35 5 = 7 5 x 7 = 35

30 6 = _______ 6 x ______ = 30 54 6 = ______ 6 x ______ = 54

28 7 = _______ 7 x ______ = 28 32 4 = ______ 4 x ______ = 32

56 8 = _______ 8 x ______ = 56 63 9 = ______ 9 x ______ = 63

18 3 = _______ 3 x ______ = 18 63 7 = ______ 7 x ______ = 63

Una manera ms rpida para repartir una cantidad entre un nmero esdividiendo, o sea, repartir 12 monedas de 1 peso entre 4 sandas.

La divisin es el opuesto de la multiplicacin.La divisin sirve para encontrar el nmero de veces que un nmero (eldivisor) cabe o est contenido en un nmero ms grande (el dividendo).

12 4 124 12 / 4

Observe que la divisin es el opuesto de la multiplicacin:

12 4 = significa que 4 x = 12

12 4 = 3

Divisor

CocienteDividendo


159

La manera ms comn de representar la divisin es as:

El problema del seor Gutirrez

El seor Gutirrez tiene un invernadero; desea saber cuntos pedazos igualesse pueden sacar de 1 rollo de plstico de 18 metros, sabiendo que se necesitanpedazos de 3 metros de plstico para cubrir sus plantas y protegerlas de lasheladas.

La divisin tambin se representa as:

Observe que el nmero que se reparte (el dividendo)siempre va adentro de la casita ( ).

= 3, se lee: 12 entre 4 igual a 3.

Se lee: 12 entre 4

El seor Gutirrez pens en ir cortandotramos de 3 metros cada uno, tantasveces como fuera posible hasta terminarel rollo. As encontr que se puedenhacer 6 cortes de 3 metros cada uno.

Ejemplo

124

31 24

Cociente

Dividendo

Divisor


160

Una manera ms rpida de hallar la solucin es dividiendo (18 3 = ), es decir,encontrar el nmero de veces que el 3 (el divisor) cabe o est contenido en el18 (el dividendo).

Hagamos esta divisin aplicando la forma comn o convencional, de acuerdo conlos siguientes pasos:

Paso 1Exprese la divisin en forma de casita(forma convencional). Recuerde que el dividendosiempre va adentro y el divisor afuera.

Paso 2Busque un nmero que multiplicadopor 3 sea igual o se aproxime ms a18 (sin que se pase).

18 3 = 3 x = 18

Repasando las tablas de multiplicarpodr encontrar que 3 x 6 = 18.Anote el 6 en el cociente alinendoloarriba del dividendo.

Paso 3Multiplique el divisor por el cociente.

3 x 6 = 18

Anote el producto (18) abajo deldividendo y rstelo a ste paraobtener la diferencia.

Si la diferencia es cero, se dice que la divisin es exacta. Por tanto, el 3 cabe oest contenido exactamente 6 veces en el 18.

Con base en este resultado el seor Gutirrez sabe que podr cortarexactamente 6 tramos de 3 metros cada uno del rollo de 18 metros.

63 1 8

Cociente

63 1 8- 1 8

0

3 1 8

Divisor Dividendo

Si el dividendo no contiene al divisor un nmero exacto de veces, se dice que ladivisin no es exacta y, por tanto, queda un resto (mayor que cero) llamado residuo.El residuo es igual a la diferencia entre el dividendo y el producto del divisor porel cociente. Observe que el residuo es siempre menor que el divisor.


161

Supongamos ahora que, en vez de 18 metros, el rollo tuviera 20 metros deplstico. Recuerde que el seor Gutirrez desea saber cuntos tramos de 3 metrosse pueden cortar de todo el rollo. Ahora se trata de encontrar el nmero deveces que el 3 cabe o est contenido en el 20 (20 3 = ).

Hagamos la divisin por pasos.

Paso 1Exprese la divisin en forma decasita.

Paso 2Busque un nmero que multiplicadopor 3 sea igual o ms se aproximea 20 (sin que se pase).20 3 = ___ 3 x ___ = 20

Repasando las tablas de multiplicarpodr encontrar que:

3 x 7 = 21

21 es mayor que 20, se pasa.

3 x 6 = 18

18 es el que ms se aproxima a 20.

O sea, 6 veces cabe el 3 en el 20.Anote el 6 en el cociente, alinendoloarriba del dividendo.

Paso 3Multiplique el divisor por el cociente,

3 x 6 = 18

anote el producto (18) abajo deldividendo (20) y rstelo para obtenerla diferencia.

Observe que la divisin no es exacta porque queda un residuo (2). Ahora elseor Gutirrez podr decirnos que si el rollo fuera de 20 metros, l podracortar hasta 6 tramos de 3 metros y le sobrara un tramo de 2 metros.

6 3 2 0

2 0- 1 8

2

63 2 0

- 1 82 Residuo

3 2 0


162

Existen algunas divisiones especiales

12 1 = 12 1 x 12 = 12

2. Todo nmero (diferente de cero) dividido por s mismo es igual a 1.

12 12 = 1 12 x 1 = 12

3. El cero dividido por cualquier nmero (diferente de cero) es igual a cero.

0 12 = 0 12 x 0 = 0

4. Todo nmero dividido entre cero no tiene un resultado (cociente) definido.

12 0 = 0 x = 12

?

No existe un nmero que multiplicado por cero sea igual a 12.

1. Cualquier nmero dividido entre 1 da como cociente el mismo nmero.

1 21 1 2

- 1 20

11 2 1 2

- 1 20

01 2 0

0

0 1 2

cocienteindefinido


163

Divisin con dos o ms dgitos enel divisor

El seor Jacinto tiene un pedido de elotes ydebe surtirlo en costales con 432 elotes encada uno. Como l pone el precio por docena,quiere saber cuntas docenas de elotes estvendiendo en cada costal.

Para conocer cuntas docenas se puedenformar, el seor Jacinto tendr que dividir 432entre 12, que son una docena.

Paso 1Empezando de izquierda a derecha,se toma el nmero de dgitos deldividendo hasta formar un nuevodividendo parcial tan grande omayor que el divisor.

As entonces, el nuevo dividendoparcial es 43.

1 2 4 3 2

Divisor Nuevodividendo

Como se trata de nmeros grandes en donde la divisin no se puede hacermentalmente, conviene hacer la divisin por pasos y anotarla en un papel.

Paso 2Se estima el nmero de veces que 12 cabeen 43.

43 12 =

Lo ms razonable parece ser 3, porque12 x 3 = 36 y 12 x 4 = 48, ste se pasa.Se anota el 3 arriba del dividendo parcialy se hace la multiplicacin, anotando elresultado abajo del 43 y se efecta laresta.

1 2 4 3 2

3 01 2 4 3 2

- 3 6 07 0


164

Paso 3Se baja el siguiente dgito (2)del dividendo original paraformar un nuevo dividendo (72).

Paso 4Se estima el nmero de veces que 12 cabe en 72.

72 12 =Lo ms razonable es 6, porque:

12 x 6 = 72Se anota el 6 arriba, en la siguiente posicindel cociente, y se hace la multiplicacin:

12 x 6 = 72Se anota el resultado abajo del 72 y seefecta la resta.

De esta forma, como no hay ms dgitos en el divisor que se puedan bajar y elresiduo es cero, el seor Jacinto pudo determinar que con 432 elotes se puedenformar 36 docenas.

Recuerde que para realizar la divisin que tenga 2 ms dgitos en eldivisor se debe formar un dividendo parcial igual o tan grande como el divisor.

Don Chucho tiene $1,875.00 que ocupar para comprar fertilizante; si sabe quecada bulto de fertilizante cuesta $125.00, podra usted ayudarle a calcularcuntos bultos puede comprar?

Para saber cuntos bultos puedecomprar, don Chucho tendr quedividir los $1,875.00 entre los$125.00 que cuesta cada uno.

3 01 2 4 3 2

3 6 07 2

1 2 5 1, 8 7 5

Ejemplo

3 61 2 4 3 2

- 3 6 07 27 2

0


165

Paso 1Empezando de izquierda a derecha, se toma elnmero de dgitos del dividendo hasta formar unnuevo dividendo parcial tan grande o mayor queel divisor.As entonces, el nuevo dividendo parcial es 187.


187 125 =

Lo ms razonable parece ser 1, porque 125 x 1 = 125y 125 x 2 = 250, ste se pasa. Se anota el 1 arribadel dividendo parcial y se hace la multiplicacin,anotando el resultado abajo del 178 y se efecta laresta.


Paso 3Se baja el siguiente dgito (5) deldividendo original para formar unnuevo dividendo (625).

Paso 4Se estima el nmero de veces que 125 cabeen 625.

625 125 =Lo ms razonable es 5, porque:

125 x 5 = 625Se anota el 5 arriba, en la siguienteposicin del cociente; se hace la multiplicacin125 x 5 = 625y se anota el resultado abajo del 625 y seefecta la resta.

De esta forma, como no hay ms dgitos en el divisor que se puedan bajar y elresiduo es cero, don Chucho pudo calcular que con sus $1,875.00 puede comprar15 bultos de fertilizante de $125.00 cada uno.

Conviene hacer la divisin por pasos.

1 2 5 1, 8 7 5

1 01 2 5 1, 8 7 5

- 1 2 5 06 2 0

1 51 2 5 1, 8 7 5

- 1 2 5 06 2 5 1 5

1 2 5 1, 8 7 5- 1 2 5 0

6 2 56 2 5

0


166

Ejercicios

Divisin con ceros en el cociente

Para conocer la cantidad que debe pagar mensualmente a su compadre, el seorMartn sabe que debe realizar una divisin, porque va a repartir los 12,600pesos entre los 12 meses.

El seor Martn, para poder comprar lo quenecesita para sembrar esta temporada, le pideprestado a su compadre la cantidad de$12,600; el compadre le dice que puedepagrselos en 12 mensualidades.

1 6 2 8 8 1 2 4 2 0 2 7 5 6 7

1 1 1, 4 9 6 5 2 3 0, 5 2 4

1 2 1 2, 6 0 0

1. Resuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.

5 1 7 9, 8 2 31 2 3 2 1, 6 4 8

3 4 8, 7 0 4 1 2 7, 6 2 0


167

Como se trata de nmeros grandes que no se pueden hacer mentalmente, convienehacer una divisin.

Paso 1Empezando de izquierda a derecha, se toma elnmero de dgitos del dividendo hasta formar unnuevo dividendo parcial tan grande o mayor queel divisor. As entonces, el nuevo dividendoparcial es 12.

Paso 2Se estima el nmero de veces que 12cabe en el 12.

12 12 =Recuerde que todo nmero distinto decero dividido entre s mismo es UNO,porque:

12 x 1 = 12Se anota el 1 arriba del dividendoparcial y se hace la multiplicacin,anotando el resultado abajo del 12 deldividendo parcial y se efecta la resta.

Paso 3Se baja el siguiente dgito (6)del dividendo original paraformar un nuevo dividendo (6).

Paso 4Se estima el nmero de veces que el 12 cabe en el 6

6 12 =Como el dividendo parcial es menor que el divisor, sedice que no cabe, esto se indica con un cero en elcociente en la siguiente posicin y se baja el siguientedgito (0) del dividendo original para formar el nuevodividendo (60).

1 2 1 2, 6 0 0

Divisor Dividendoparcial

1 0 0 01 2 1 2, 6 0 0

- 1 2 0 0 00 0 0 0

1 0 0 01 2 1 2, 6 0 0

- 1 2 0 0 00 6 0 0

1 0 0 01 2 1 2, 6 0 0

- 1 2 0 0 00 6 0 0


168


60 12 =Lo ms razonable es 5, porque 12 x 5 = 60Se anota el 5 arriba, en la siguienteposicin del cociente; se hace la multiplicacin12 x 5 = 60se anota el resultado abajo del 60 y se efectala resta.

Paso 6Se baja el siguiente dgito (0) deldividendo original para formar elnuevo dividendo (0).

Paso 70 12 = 0

Recuerde que cero dividido porcualquier nmero (diferente de cero) esigual a cero.Se escribe 0 en el cociente, en lasiguiente posicin.Al efectuar la multiplicacin yrestrselo al dividendo parcial es cero.

Nos qued 1,050 en el cociente, que es la cantidad que el seor Martn debepagar cada mes a su compadre.

Recuerde que para poder realizar correctamente una divisin en donde el dividendoparcial sea cero o un nmero menor que el divisor, se coloca un cero en el cociente yse baja el siguiente dgito para formar un nuevo dividendo parcial tan grande omayor que el divisor.

1 0 5 01 2 1 2, 6 0 0

- 1 2 0 0 00 6 0 0- 6 0 0

0 0

1 0 5 01 2 1 2, 6 0 0

- 1 2 0 0 00 6 0 0- 6 0 0

0 01 0 5 0

1 2 1 2, 6 0 0- 1 2 0 0 0

0 6 0 0- 6 0 0

0 00


169

El seor Javier compr a crdito una segadora nueva. El total que debe pagar esde $18,030.00 en un plazo de 6 meses. Podra usted ayudarle a calcular cuntodebe pagar al mes?

Para conocer la respuesta se tendrque dividir el precio total de $18,030entre el nmero de meses del plazo decrdito (6).

Recuerde que como se trata de nmeros grandes conviene hacer la divisin porpasos.

Paso 1Empezando de izquierda a derecha, se tomael nmero de dgitos del dividendo hastaformar un nuevo dividendo parcial tan grandeo mayor que el divisor. As entonces, el nuevodividendo parcial es 18.

Paso 2Se estima el nmero de veces que 6cabe en 18.

18 6 =

Lo ms razonable es 3, porque:6 x 3 = 18

Se anota el 3 en el cociente, arriba deldividendo parcial, y se hace lamultiplicacin, anotando el resultadoabajo del 18 del dividendo parcial y seefecta la resta.

Paso 3Se baja el siguiente dgito (0) deldividendo original para formar unnuevo dividendo (00).

6 1 8, 0 3 0


6 1 8, 0 3 0

3 0 0 06 1 8, 0 3 0- 1 8 0 0 0

0 0 0 0

Ejemplo

3 0 0 06 1 8, 0 3 0- 1 8 0 0 0

0 0 0 0


170

Paso 40 6 = 0

Recuerde que el cero dividido por cualquiernmero diferente de cero es igual a cero (0).Se escribe el 0 en el cociente, en la siguienteposicin, y se baja el siguiente dgito paraformar un nuevo dividendo parcial (003).

Paso 5Se estima el nmero de veces que el6 cabe en el 3.

3 6 =

Como el dividendo parcial es menorque el divisor, se dice que no cabe,esto se indica con 1 cero en elcociente en la siguiente posicin yse baja el siguiente dgito (0) deldividendo original para formar unnuevo dividendo (30).

Paso 6Se estima el nmero de veces que el 6cabe en el 30.

30 6 =

Lo ms razonable es que sea 5, porque:6 x 5 = 30

Se escribe el 5 en el cociente, en lasiguiente posicin, y se efecta lamultiplicacin, colocando el resultadodebajo del 30 del dividendo parcial yse hace la resta.

De esta forma, como no hay ms dgitos en el divisor que se puedan bajar y elresiduo es cero, el seor Javier pudo determinar que deber pagar cada mes$3,005 por la segadora que compr.

Recuerde que el dividendo debe ser siempre igual o mayor que el divisor,en caso que el dividendo sea cero o menor que el divisor se colocan cerosen el cociente y se baja el siguiente dgito.

3 0 0 06 1 8, 0 3 0- 1 8 0 0 0

0 0 3 0

3 0 0 06 1 8, 0 3 0

- 1 8 0 0 00 0 3 0

3 0 0 56 1 8, 0 3 0

- 1 8 0 0 00 0 3 0

- 3 00


171

Ejercicios

Realice las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.

1 8 3 6, 0 5 4 6 5 7 8, 3 2 5

8 2 8 2, 2 4 6

2 3 2 3, 4 6 0

1 2 1 2, 0 3 6 9 1 8, 0 4 5 1 4 1 8, 2 1 4

5 5 0, 4 9 0

2 6 0, 2 0 4 5 6 0, 2 0 51 6 1 4 4, 0 6 4

1 5 0 1 5, 7 5 03 3 0, 0 1 25 4 1 0 8, 3 7 8

9 7 1 9, 9 8 2 9 9 4, 5 1 8 1 6 1 1, 3 2 8

5 2 3 1, 3 0 44 5 2 7, 2 2 5

2 6 0, 2 0 44 4 0, 1 4 0


172

Divisin con decimales

El seor Carlos, para hacer un corral, fue acomprar 34 metros de malla; al surtrsela se dacuenta que en la nota le estn cobrando$289.00. Podra usted ayudar al seor Carlosa saber a qu precio le estn cobrando cadametro de malla?

Para resolver este problema pens en una divisin,pues tiene que repartir lo 289 pesos entre los 34metros de malla.

El seor Carlos se da cuenta que le quedan 17 pesos que desea tambin repartir,pero en el dividendo original ya no hay ms dgitos para bajar.

Como la divisin tiene residuo (17)conviene completar la divisin condecimales para obtener unresultado (cociente) ms exacto,expresado en pesos y centavos.

Si al efectuar una divisin, el resultado de la ltima resta no es cero, entoncesse dice que la divisin tiene un residuo. En este caso, el residuo es 17.

8 3 4 2 8 9

- 2 7 20 1 7

Residuo


173

Para continuar haciendo la divisin condecimales, se coloca el punto a laderecha del nmero (dividendo original)y se agregan dos ceros para indicar loscentavos.Se sube el punto al cociente y se bajael cero para formar el nuevo dividendoparcial (170).

Ahora se contina haciendo la divisinhasta obtener cero en el residuo o elnmero de decimales que se requieran.Se busca un nmero que multiplicadopor 34 se aproxime, sin pasarse, a 170.

34 x 5 = 170Se anota 170 debajo del dividendoparcial y se efecta la resta.

Ahora usted puede decir al seor Carlos que el precio de cada metro de mallaes de $8.50.

Recuerde que al realizar una divisin de nmeros enteros en donde exista un residuoque tambin se quiere dividir, basta con colocar un punto decimal en el cociente yagregar ceros al dividendo; continuando la divisin hasta lograr los decimales que serequieran manejar, o bien, obtener cero en el residuo.

El seor Carlos, para hacer el corral, tambin compr 4 kilos de clavos de1.5 pulgadas por los que le cobraron $19.00. Podra usted ayudar al seorCarlos a calcular a qu precio le estn cobrando cada kilo de clavos?

l plantea y resuelve su divisin as, hasta obtener un residuo:

Veamos cmo resolvi el seor Carlos su divisin, pues tambin pens quetiene que repartir los $19.00 que le cobran entre los 4 kilos de clavos quecompr.

8 . 0 0 3 4 2 8 9 . 0 0

- 2 7 2 . 0 00 1 7 0 0

8 . 5 0 3 4 2 8 9 . 0 0

- 2 7 2 . 0 00 1 7 0 0

- 1 7 . 0 000 0 . 0 0

44 1 9- 1 6

3

Residuo

Ejemplo


174

Como esta divisin tambin tiene residuo,conviene completar la divisin condecimales para obtener un resultado(cociente) ms exacto, expresado enpesos y centavos; por eso coloca elpunto decimal en el cociente y agregaceros en el dividendo original (seaumentan 2 ceros para indicar hastacentavos).

Luego se baja el cero para formar elnuevo dividendo parcial (30).

Se contina haciendo la divisinhasta obtener cero en el residuoo el nmero de decimales que serequieran. En este caso, comohablamos de dinero, se requieren 2decimales para expresar centavos.

Entonces, el seor Carlos ahorasabe que cada kilo de clavos lecuesta $4.75.

Ejercicios

Resuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios. Obtenga hasta 3decimales en los cocientes de las divisiones que tengan residuo.

5 9 6

4 . 0 04 1 9 . 0 0- 1 6 . 0 0

3 . 0 0

4 . 7 54 1 9 . 0 0- 1 6 . 0 0

3 . 0 0- 2 . 8 0

2 0- 2 0

0

4 1 0 5 8 7 6 4 1 2 5

5 9 8 7 1 6 7 9 2 1 5 8 5 2

1 6 2 4 4 7 4 1, 2 2 1 3 8 6 8 4 1 4 5, 6 2 0

1 6 1 7 5 1 3 5 4 8 9 1, 7 8 4 3 8 5 6, 4 9 3

2 1 1 7 5 2 5 2 0 8 3 9 7 4 9 1 3 4 2 5

1 6 2, 4 2 0


175

Despus de que el seor Carlos termin de cercar el corral, quiere colocarle unapuerta que lleve 3 bisagras que la sostengan y al comprarlas le cobran $15.45;ahora quiere saber el precio de cada una.

Para conocer el costo de cada bisagra realizaotra divisin, pues tiene que repartir el costototal entre el nmero de bisagras que compr,es decir:

Para resolver este tipo de divisiones basta consubir al cociente el punto decimal que apareceen el dividendo y el proceso de dividir serealiza de la forma acostumbrada. Paracompletar el resultado (cociente) en pesos ycentavos el decimal se expresa hastacentsimos.

Entonces, el seor Carlos ahora sabe que cada bisagra cost $5.15.

El seor Alejandro compr 8 bultos de alimento para pollo por lo que le cobraron$294.40; ahora l quiere saber a qu precio le estn cobrando cada bulto de alimento.

Para conocer esto necesita realizaruna divisin, pues tiene que repartir elcosto total (294.40) entre el nmerode bultos que compr (8), es decir:

Para dividir una cantidad con decimales entre un entero slo hay que colocaro subir el punto decimal al cociente para separar los enteros de los decimalesy efectuar el proceso normal de la divisin.

8 2 9 4 . 4 0

3 1 5 . 4 5

5 . 1 53 1 5 . 4 5- 1 5 . 0 0

0 . 4 0 - 3 0

1 5- 1 5

0

Ejemplo


176

l recuerda que para resolver este tipode divisiones tan slo basta con subir alcociente el punto decimal que apareceen el dividendo y se efecta el procesonormal de la divisin.Para completar el resultado (cociente)en pesos y centavos el decimal seexpresa hasta centsimas.

As entonces, el seor Alejandro sabe que le cobran a $36.80 cada bulto dealimento para pollo.

Ejercicios

Resuelva las siguientes divisiones con decimales en su cuaderno de ejercicios,recordando subir directamente el punto decimal que aparece en el dividendoal cociente y realizar la divisin normalmente. Obtenga hasta 3 decimales en lasdivisiones que tengan residuo.

3 6 . 8 08 2 9 4 . 4 0

- 2 4 0 . 0 05 4 . 0 0

- 4 8 . 0 06 . 4 0

- 6 . 4 00 0

1 3 2 3 . 4 0 1 5 4 2 . 6 0 2 3 5 5 . 8 9 4 2 9 2 . 4 0

3 9 8 4 5 . 5 2 3 5 4 2 0 . 0 3 5 9 7 1 0 3 . 2 0 8

3 0 . 0 6 5 0 . 0 7 5 1 6 4 2 5 . 4 6


177

El seor Rafael quiere colocar 4 repisas de igual tamao en su granero y por esocompr una tabla que mide 3 metros de largo; l necesita saber a qu medidadebe cortarla para obtener los 4 tramos iguales.

Para resolver este tipo de divisiones en donde el divisor es un nmero mayor queel dividendo se realizan los siguientes pasos.

Paso 1Como no hay nmero que multiplicadopor 4 se obtenga 3, entonces el primernmero en el cociente es cero.

Se efecta la multiplicacin del divisorpor el cociente (4 x 0 = 0), se anota elproducto (0) abajo del dividendo y seefecta la resta para obtener ladiferencia.

Paso 2Recuerde que para dividir un residuode una divisin de enteros se subeun punto decimal al cociente y seaumentan ceros en el dividendocomo se requieran.

En este caso, como son medidas, senecesitan 3 decimales porque sequiere expresar hasta milmetros.

4 3 MetrosTramos

Para resolver este problema elseor Rafael pens en dividir los3 metros de la madera entre los 4tramos, pero se dio cuenta que eldivisor era mayor que el dividendo.

04 3

- 03

0 . 0 0 04 3 . 0 0 0

- 0 . 0 0 03 . 0 0 0

Punto decimal

Ejemplo


178

Paso 3Se realiza la divisin con el procesoacostumbrado hasta obtener 3decimales en el cociente, o bien, ceroen el residuo.

Con lo anterior, el seor Rafael sabeque la tabla de 3 m la debe cortar en 4tramos de 0.750 m cada uno.

Ejercicios

Resuelva las siguientes divisiones con decimales en su cuaderno de ejercicios,recuerde colocar el punto decimal en su lugar correspondiente. Obtenga hasta3 decimales.

ReglaSi el divisor es un nmero mayor que el dividendo, el primer dgito en el cocienteser cero y como se obtiene residuo, ste se divide colocando un punto decimal enel cociente y aumentando ceros en el divisor hasta obtener los decimales requeridoso bien cero en el residuo.

0 . 7 5 04 3 . 0 0 0- 0 . 0 0 0

3 . 0 0 0- 2 . 8 0 0

2 0 0 - 2 0 0

0 0- 0

0

2 1 8 1 1 2 6

1 5 3 1 8 9 1 9 1 7

1 0 5 3 6 5 9 3 7 4 6 2 8

Nota: 0.750 m es igual a 750 milmetros.


179

El seor Chucho quiere sembrar magueyes en su terreno que mide de ancho94.5 m. Le dicen que para sembrar magueyes y que stos se den bien, lossurcos deben tener una separacin de 1.5 metros. Podra usted ayudarle a sabercuntos surcos podr hacer?

Para resolver este problemael seor Chucho pens en dividirlos 94.5 metros del ancho delterreno entre 1.5 metros quedebe haber entre cada surco,pero se dio cuenta que el divisor(1.5) no era un nmero entero.

ReglaSi el divisor es un nmero decimal, antes de hacer la divisin deber convertir eldivisor a nmeros enteros de la siguiente manera:Paso 1Recorra el punto decimal del divisor hacia la derecha el nmero de lugaresnecesarios, hasta que el punto quede afuera del nmero.Ejemplo: si el divisor es 2.65, se recorre el punto dos lugares para convertirlo en 2 65.Paso 2Para no alterar el resultado se deber recorrer el punto decimal del dividendo elmismo nmero de lugares que se recorri el divisor.En caso de que hagan falta lugares en el dividendo, stos se debern completaragregando ceros a la derecha.

Entonces, el seor Chucho trat de aplicar la regla para convertir el divisor (1.5)en un nmero entero, de la siguiente manera:

Paso 1Como en el divisor hay punto decimal, se recorreel punto a la derecha hasta convertir el nmeroen entero. Se cuenta el nmero de lugares que serecorri el punto; en este caso fue 1 lugar.

1 . 5 9 4 . 51 lugar

1 . 5 9 4 . 5Divisor Dividendo

Ejemplo


180

Paso 2Se recorre el punto decimal enel dividendo tantos lugarescomo se hayan recorrido en eldivisor.

Paso 3Se resuelve la divisin con decimales demanera normal hasta obtener cero en elresiduo o el nmero de decimales que serequiera en el cociente.

De esta manera, el seor Chucho pudo darse cuenta que en el ancho de suterreno puede hacer 63 surcos con una separacin de 1.5 metros.

Recuerde aplicar esta regla cada vez que realice una divisinque en el divisor tenga punto decimal.

El seor David es encargado de una tienda de productos qumicos y hoy recibi untambo con 18 litros de fungicida. Para poder venderlo ms fcilmente quieresaber cuntas botellas de 1.5 litros puede llenar con el fungicida que recibi.

Para saberlo, l plante unadivisin dndose cuenta que eldivisor no es un nmeroentero.

6 31 5 9 4 5

- 9 0 04 5

- 4 50

1 . 5 1 8

1 5 9 4 . 51 lugar

Para resolver esta divisin,record aplicar la regla paraconvertir el divisor a un nmeroentero antes de efectuar ladivisin.

Ejemplo


181

Entonces la resolvi por pasos.

Paso 1Recorri el punto decimal del divisor a la derecha hastaconvertir el nmero en un entero.Se cuenta el nmero de lugares que se recorri el punto:1 lugar

Paso 2Se recorre el punto decimal en eldividendo tantos lugares como sehayan recorrido en el divisor. Comoen este caso son enteros y faltanlugares, stos se completan conceros a la derecha.

Paso 3Se resuelve la divisin con decimalesde manera normal, hasta obtener ceroen el residuo, o bien, el nmero dedecimales que se requieren en elcociente.

As, el seor David sabe que puede llenar 12 botellas de 1.5 litros del fungicidaque recibi.

Ejercicios

Resuelva las siguientes divisiones con decimales en su cuaderno de ejercicios.Recuerde aplicar la regla para convertir el divisor a un nmero entero antes de efectuarlas divisiones. Obtenga hasta 3 decimales.

1 5 . 1 81 lugar

1 lugarque se cubrecon cero

1 5 1 8 0

1 21 5 1 8 0

- 1 5 03 0

- 3 00

0 . 4 0 . 6 0 . 7 0 . 0 9 0 3 0 . 9 0 . 3 9 6

0 . 0 2 8 . 1 0 . 0 7 5 9 . 3 4 . 0 3 4 9 . 5 6 9

0 . 1 2 0 . 0 3 2 . 6 3 . 2 5 0 . 8 3 . 6

2 . 5 3 6 . 5


182

Problemas

1. Don Aurelio quiere colocar unos linderos que dividan en 4 partes iguales suterreno; ste mide 388 metros por el lado que el seor lo quiere dividir. Sil piensa colocarlos de la siguiente manera:

cul es la distancia entre lindero y lindero?

2. El seor Federico tiene un terreno dispuesto para huerto familiar, en lpuede hacer 12 hileras para trasplantar 132 rbanos. Cuntos rbanospuede trasplantar a cada hilera?

3. Pedro fue a la ferretera a comprar 90 metros de alambre de pas para elcorral que est haciendo. Al despacharle le cobran $1,350, porque le dicenque el metro cuesta $14.00. Es correcto lo que le cobraron?

4. El seor Luis contrat el riego por bombeo; si pag por 31 das $6,200.00,cunto le cobraron por da?

142 m

388 m


183

5. El seor Joel, para pagar la construccin de una cisterna para riego, pideun prstamo al banco de $73,500.00, que se le otorgar en 4ministraciones. Qu cantidad recibir en cada ministracin?

6. El seor Armando consigui un prstamo de$25,500.00 para terminar la construccinde su granero. Deber pagar semanalmentedurante 18 semanas. Cunto va a pagarcada semana?

7. El seor Elas cosech 4 toneladas de cebada las cuales fueron vendidas en$4,800.00. A cmo le pagaron cada tonelada?

8. El seor Gerardo fue contratado para vigilar una granja por las noches; enlos primeros 15 das le pagaron $1,500.00. Cunto le pagaron a Gerardopor da?

9. El seor Gregorio debeempacar 85.42 kg de uva en12 cajas de cartn. Cuntoskilos tiene que poner encada caja?

10. El seor Efran encarg 31 botellas de 2 litros de fumigante. Le cobraron $2,480.00. Cunto le cost cada botella?

AutoevaluacinAutoevaluacinUnidad III: Multiplicando y dividiendo

Ahora es buena oportunidad de detenerse un poco para hacer un repaso de la unidad IIIy darse cuenta si verdaderamente aprendi. Con los siguientes ejercicios deautoevaluacin podr comprobar si est preparado para continuar con la unidad IV.

Instrucciones:Lea cuidadosamente cada pregunta y conteste utilizando los datos que se le dan.

1. Margarito tiene engorda de cerdos y necesita 15 litros de creolina para desinfectarsus instalaciones. Si el litro cuesta $8.00, cunto pagar por la creolina?

2. Adems, necesita comprar alimento balanceado; si el bulto cuesta $108.00 y necesita35 bultos, cunto pagar por todo el alimento?

3. Si el precio por kilo de cerdo en pie es de $32.50 y vende 10 cerdos con un peso de127 kg cada uno, cunto dinero obtiene por la venta?

4. Para la nueva camada de lechones que naci, necesita 3 frascos de hierro que tienenun costo total de $49.95. Cul es el precio de cada frasco de hierro?

5. Para poder complementar la alimentacin de sus cerdos, Margarito siembra alfalfa enun terreno de forma rectangular que tiene 140.75 metros de largo y 97.25 metros deancho. Cuntas hectreas de terreno siembra Margarito?

184

6. El chiquero para la engorda de los cerdos es de forma cuadrangular y mide 8 metrospor cada lado. Cuntos metros cuadrados ocupa el chiquero?

7. Margarito hizo un pequeo plano de cmo tiene ubicados sus cerdos, como semuestra en la figura de abajo. El plano tiene una escala de un segmento

es a 1 metro.

a) Cunto mide el largo real de la bodega?

b) Cunto mide de ancho?

185

Chiquero deengorda

Cuarto dematanza

Bodega

8. Margarito siembra un poco de alfalfa para sus cerdos. Si le cobran $98.00 por doskilos de semilla, cunto cuesta el kilo?

9. Como Margarito no puede hacer el trabajo solo, contrat peones. Si tiene destinados$640.00 para cada da y cada pen cobra $80.00 diarios, cuntos peones podrcontratar?

10. En la siguiente engorda que hizo obtuvo $52,292.00 por la venta de sus cerdos. Si el precio por kilo de cerdo en pie es de $34.00, cul fue el peso total de los cerdos?

11. Si para blanquear 5 paredes del mismo tamao utiliz 4 kilos de calhidra, cuntos kilos utiliz por pared?

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III. Multiplicando y dividiendo1. La multiplicacin2. La multiplicacin y el rea3. Los planos4. La divisinAutoevaluacin

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