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Multiplicacion Con Rectas

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Revista Digital: Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.

ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 N-34 SEPTIEMBRE DE 2011

Multiplicar con rectasAUTORIA INMACULADA GIL LEN Y JUAN PORTERO BELLIDO TEMTICA MATEMTICAS ETAPA ESO

Resumen Multiplicar con rectas consiste en una novedosa e intuitiva tcnica, que animamos a los profesores a utilizar, para ensear a nuestros alumnos a realizar productos de nmeros naturales de forma rpida y divertida, sin usar las tablas de multiplicar. Consiste en un mtodo grfico que utiliza para realizar multiplicaciones nicamente rectas paralelas y perpendiculares, y sus intersecciones.

Palabras clave Matemticas. Nmeros Naturales. Multiplicacin / Producto. Rectas / Lneas / Rayas. Paralelas. Perpendiculares. Puntos. Interseccin. Tcnica. Novedad. Mayas. Cifras. Grfica.

C/ Edificio Scaem Profesor Luis Molina Gmez s/n - Telfono 958 10 72 90 - 18004- GRANADA ESPAA [email protected]

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ISSN 1989-21521. UN POCO DE HISTORIA: Esta novedosa tcnica para realizar multiplicaciones de nmeros naturales mediante el uso de rectas que explicaremos a continuacin, est basado en El principio Tzeltal de las antiguas matemticas mayas. Los mayas fueron un pueblo sedentario que se ubicaba geogrficamente en el territorio del sureste de Mxico, Guatemala, y otras zonas de Mesoamrica. Desarrollaron una cultura notable, donde construyeron grandes templos y ciudades, as como sus monumentos ms importantes: las pirmides. Hicieron observaciones astronmicas muy precisas. Sus diagramas de los movimientos de la Luna y los planetas son iguales o superiores a los de cualquier otra civilizacin coetnea. Los mayas idearon un sistema de numeracin vigesimal (de base 20), como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer clculos matemticos. Por ello, los nmeros mayas tienen que ver con los das, meses y aos, y con la manera en que organizaban el calendario. Esta civilizacin tena tres modalidades para representar grficamente los nmeros, del 1 al 19, as como del cero: un sistema numrico de puntos y rayas; una numeracin cefalomorfa; y una numeracin antropomorfa, mediante figuras completas. Los tres smbolos bsicos eran el punto, cuyo valor es uno; la raya, cuyo valor es cinco; y el caracol, cuyo valor es cero. Los mayas idearon un sistema de base 20, con el 5 como base auxiliar. La unidad se representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se aaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se contina hasta el 20, con cuatro rayas (vase la figura). Los nmeros pueden escribirse tanto de manera horizontal como de manera vertical. Como es fcil de suponer, este sistema de numeracin es aditivo, pues se suman los valores de los smbolos para conocer el nmero representado.

DEP. LEGAL: GR 2327/2008 N-34 SEPTIEMBRE DE 2011

2. MULTIPLICACIN CON RECTA DE NMEROS NATURALES: I. DEMOSTRACIN TERICA:

El mtodo de la multiplicacin con rectas consiste en la colocacin de rectas paralelas y perpendiculares, donde cada dgito indica el nmero de rectas representadas, de la siguiente forma: Tomamos el multiplicando, colocamos las rectas de izquierda a derecha, de forma oblicua; si tenemos un 1 una recta, para un 2 dos rectas, y as sucesivamente. Realizamos la misma operacin con el multiplicador, pero colocando las rectas perpendiculares a las anteriores.

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ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 N-34 SEPTIEMBRE DE 2011Posteriormente, dibujamos unas lneas de puntos, que llamaremos lneas de separacin, cuya funcin es la de separar cada dgito del nmero resultante, en unidades, decenas, centenas, etc. Finalmente contamos los puntos de interseccin de cada regin, sumndolos por columnas y dando lugar al resultado requerido. Nos podemos ayudar de un ejemplo para entenderlo mejor: 32 x 21. Utilizando nuestro sistema tradicional, calcularamos el producto 32 x 21 de la siguiente forma:

Ahora lo calculamos con el sistema de la multiplicacin por rectas, que detallaremos paso a paso: Paso 1: Para el primer nmero, colocamos las rectas de izquierda a derecha, de forma oblicua como muestra la siguiente figura:

Paso 2: Actuamos de forma similar con el segundo nmero:

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ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 N-34 SEPTIEMBRE DE 2011Paso 3: Si superponemos las rectas anteriores da lugar al siguiente conjunto de rectas paralelas y perpendiculares:

Importante: La distancia entre los grupos de rectas debe ser la misma. Las rectas (de distinto nmero) deben ser perpendiculares. Paso 4: Contamos los puntos de interseccin formados entre las rectas:

El resultado de la multiplicacin por rectas de 32 x 21 = 672 (el resultado puede comprobarse con la calculadora).C/ Edificio Scaem Profesor Luis Molina Gmez s/n - Telfono 958 10 72 90 - 18004- GRANADA ESPAA [email protected]

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ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 N-34 SEPTIEMBRE DE 2011Comparando ambos mtodos, el clsico y la multiplicacin con rectas, nos damos cuenta de que en realidad es lo mismo; pues al contar el nmero de puntos que nos dan como resultado las centenas, da igual que al resolver el producto 3 x 2=6. De forma anloga, ocurre en el caso del nmero de puntos que ocupan las cifras de las decenas y las unidades, correspondientes a 3 x 1 + 2 x 2 = 7 (decenas), y 2 x 1 = 2 (unidades).

II.

EJEMPLOS:

Vamos a estudiar algunos ejemplos, ms complicados, para conseguir un mayor entendimiento. a) 2 1 x 1 1 3 (dos cifras por tres cifras)

Como podemos observar, el resultado de la multiplicacin es: 2 1 x 1 1 3 = 2 3 7 3.

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ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 N-34 SEPTIEMBRE DE 2011b) 2 2 1 x 1 1 2 (tres cifras por tres cifras)

Como podemos observar, el resultado de la multiplicacin es: 2 2 1 x 1 1 2 = 2 4 7 5 2

c) 2 3 x 1 3 2 Con este ejemplo se pretende explicar que ocurre cuando el nmero de puntos supera las nueve unidades.

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Qu hacemos con este nmero? En caso de que al sumar los puntos de interseccin nos salga un nmero mayor a 9, el primer dgito se suma directamente al nmero de su izquierda como prosigue:

Luego el resultado de la multiplicacin es: 2 3 x 1 3 2 = 3 0 3 6 Con este mtodo, podemos calcular el producto de cualquier par de nmeros? Cul sera el resultado de 201 x 3? Y el resultado de 120 x 11? Cunto valdra 103 x 201? Hay algn problema?

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ISSN 1989-2152III.

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CASOS PARTICULARES:

Cuando trabajamos con nmeros en los que en algunos de sus dgitos hay "ceros", surge un problema, no sabemos cmo representar ese "cero". Para solucionar este problema, creamos lneas imaginarias (discontinuas), que no obtienen puntos de interseccin con las rectas, pero si generan un dgito en su posicin, el "0". Vamos a realizar algunos ejemplos, en los que situaremos el "0" en distintas posiciones: a) El cero ocupando lugar de las unidades: 120 x 11 Debemos tener en cuenta, que cuando una recta discontinua corte con otra recta, no se produce punto de interseccin, luego le asignamos el valor 0.

Observamos, el resultado de la multiplicacin es: 120 x 11 = 1 3 2 0

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ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 N-34 SEPTIEMBRE DE 2011b) El cero ocupando una posicin interior en uno de los multiplicandos: 201 x 3

Deducimos que el resultado de la multiplicacin es: 201 x 3 = 6 0 3 c) El dgito cero en ambos multiplicandos: 103 x 201

Luego el resultado de la multiplicacin es: 103 x 201 = 2 0 7 0 3C/ Edificio Scaem Profesor Luis Molina Gmez s/n - Telfono 958 10 72 90 - 18004- GRANADA ESPAA [email protected]

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ISSN 1989-2152 DEP. LEGAL: GR 2327/2008 N-34 SEPTIEMBRE DE 2011Y qu ocurrira si los nmeros tuvieran dgitos muy grandes?

IV.

DGITOS MUY GRANDES:

La representacin y el clculo se hace complejo cuando tomamos nmeros con dgitos muy grandes, pues debemos realizar un gran nmero de rectas, que generan una multitud de puntos no tan fciles de recontar como en el caso de los dgitos menores. Vase el siguiente ejemplo: 7 8 x 9 3

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