MULTIPLICACION Y DIVISION

DE POLINOMIOS

Polinomios

Propiedad de exponentes

Antes de pasar a multiplicación y división de polinomios, debemos recordar algunas de las leyes de exponentes.

Sea b un número real; m y n dos números enteros, entonces:

1era ley: bn * bm = bn+m Cuando se multiplican bases iguales se

suman exponentes.

2da ley: 𝑏𝑛

𝑏𝑚 = 𝑏𝑛−𝑚 Cuando se dividen bases iguales se

restan exponentes.

Propiedades de exponentes (cont)

Ejemplo:

32 ∙ 33 =

En general,

3 ∙ 3 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35

Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios se realiza de

la siguiente manera:

Se multiplican los coeficientes numéricos

Si la parte variable de los términos tiene la

misma variable, su producto va a tener la misma

variable con un exponente nuevo que es la suma

de los exponentes de los términos.

Ej: (2x2)(3x4) = (2)(3)(x2x4) =6x6

Si la parte variable de los términos tiene variables

diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro,

sin cambiar.

Ej: (-5x3)(3y2) = (-5)(3)(x3y2) = -15x3y2

Ejemplos- Multiplicación de monomios

4x2(2x4y)

= (4)(2)(x2x4)y

= 8x(2+4)y

= 8x6y

-2y3(3y4z5)

= (-2)(3)(y3y4)z5

= -6y(3+4)z5

= -6y7z5

Ejemplos- Multiplicación de

monomios

a) 5x6y6 (-4x4y)

= (5)(-4)(x6 x4)(y6 y)

= -20x(6+4)y(6+1)

= -20x10y7

b) -2a4b3c6(ab2c5)

= -2(a4 a)(b3 b2 )(c6c5)

= -2 a(4+1)b(3+2)c(6+5)

= -2a5b5c11

Multiplicación de un monomio

por un polinomio.

Les recordamos la ley distributiva :

a(b+c) = ab + ac

a(b - c) = ab - ac

Ejemplos:

a) x(2x3 + 45)

= x(2x3) + 45x

= 2x4 + 45x

b) 2a2 (-3b3 – 12)

= 2a2 (-3b3) – 2a2(12)

= -6a2b3 – 24a2

Multiplicación de un monomio

por un polinomio.

Ejemplo:

c) 5y2 (2y3 – 5y2 +9) – 2(4y2 – 3y)

= (5)(2)(y2y3) – (5)(5)(y2)(y2) + (5)(9)y2

+ (-2)(4y2) – (-2)(3y)

= 10y5 – 25y4 +45y2 +(-8y2) – (-6y)

= 10y5 – 25y4 + 37y2 + 6y

Multiplicación de

binomio por binomio Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos

veces:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

= ac + ad + bc + bd

Esto equivale a multiplicar cada término de un

binomio por cada término del otro binomio.

Al final, simplificar términos semejantes, si

existen.

Ejemplos • (2x + 3)(4x2 – 5)

= 2x(4x2 – 5) + 3(4x2 – 5)

= 8x3 - 10x + 12x2 – 15

• (x – 5)(2 – x)

= x(2 – x) – 5(2 – x)

= 2x – x2 – 10 + 5x

= -x2 + 7x – 10

• (2x2 – 5)(x2 – 9)

= 2x2 (x2 – 9) – 5(x2 – 9)

= 2x4 – 18x2 – 5x2 + 45

= 2x4 – 23x2 + 45

Diferencia de cuadrados

a) (2x + 1) (2x – 1)

= 2x (2x – 1) +1 (2x – 1)

= 4x2 – 2x + 2x – 1

= 4x2 – 1

b) (7 + 3y)(7 – 3y)

= 7(7 – 3y) + 3y(7 – 3y)

= 49 – 21y + 21y – 9y2

= 49 – 9y2

Diferencia de cuadrados En los ejemplos anteriores vemos que se multiplican dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de los términos. Al multiplicar estos binomios el resultado es un binomio de la forma

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2

= a2 – b2

A este resultado se le conoce como una diferencia de cuadrados.

Diferencia de cuadrados

a) (x + 1) (x – 1)

Usando la fórmula anterior

= x2 – 1

b) (7x + 4)(7x – 4)

Usando la fórmula anterior

= (7x)2 – 42 = 49x2 – 16

Otros ejemplos (4x2 – 1)2

= (4x2 – 1) (4x2 – 1)

= 4x2 (4x2 – 1)– 1(4x2 – 1)

= 16x4 – 4x2 – 4x2 + 1

= 16x4 – 8x2 + 1

• (10 – 2x)2

= (10 – 2x)(10 – 2x)

= 10(10 – 2x) – 2x(10 – 2x)

= 100 – 20x – 20x + 4x2

= 100 – 40x + 4x2

Otros ejemplos – cont. • (4x – 1)(3x + 1)

= 4x(3x + 2)– 1(3x + 1)

= 12x2 + 8x – 3x – 1

= 12x2 + 5x – 1

• (1 – 2x)(2 – x)

= 1(2 – x) – 2x(2 – x)

= 2 – x – 4x + 2x2

= 2 – 5x + 2x2

Multiplicación - ejercicios

Multiplicación - ejercicios

División de un

polinomio entre un monomio

• Cuando dividimos un polinomio entre un

monomio, aplica la propiedad distributiva,

además de la regla de exponentes.

c

b

c

a

c

ba

)(

2da ley: 𝑏𝑛

𝑏𝑚 = 𝑏𝑛−𝑚 Cuando se dividen bases iguales se restan exponentes.

División de un

polinomio entre un monomio Se divide cada término del polinomio entre el

monomio.

x

)xxx(

2

262 234

x

x

x

x

x

x

2

2

2

6

2

2 234

xxx 23 3

= 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑

𝟐𝒙𝒚+

𝟏𝟔𝒙𝟒𝒚𝟐

𝟐𝒙𝒚−

𝟖𝒙𝒚

𝟐𝒙𝒚

= 𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒙𝟑𝒚 − 𝟒

propiedad distributiva

propiedad de exponentes

División de un

polinomio entre un monomio

= 9𝑎3𝑏3

9𝑎2𝑏−

36𝑎2𝑏

9𝑎2𝑏−

45𝑎4𝑏2

9𝑎2𝑏

= 𝑎𝑏2 − 4 − 5𝑎2𝑏

= 12𝑥8𝑦6

6𝑥2𝑦2+

96𝑥5𝑦4

6𝑥2𝑦2−

72𝑥2𝑦2

6𝑥2𝑦2

= 2𝑥6𝑦4 + 16𝑥3𝑦2 − 12

División – cont.

= −42𝑥6

14𝑥2−

70𝑥4

14𝑥2+

98𝑥2

14𝑥2

= −3𝑥4 − 5𝑥2 + 7

= −24𝑎4𝑏2

−6𝑎𝑏+

36𝑎3𝑏

−6𝑎𝑏−

48𝑎2𝑏

−6𝑎𝑏

= 4𝑎3𝑏 − 6𝑎2 + 8𝑎

Práctica: División

Simplificar

Solución:

9

1242

x

x

9

1242

x

x

3

4

x

Factorizamos

Numerador y

denominador

Simplificamos asumiendo que x

es siempre diferente de 3

)x)(x(

)x(

33

34

Simplificar

Solución:

23

222

3

xx

xx

23

222

3

xx

xx

2

12

x

)x(x

)x)(x(

)x(x

12

12 2

)x)(x(

)x)(x(x

12

112

Factorizamos

Numerador y

denominador

Simplificamos asumiendo que x

es siempre diferente de 1