Multiplication des décimauxMultiplication des décimauxQuelles activités pour donner du

sens ?

Nancy 2004

Le conceptLe concept d'aprèsd'après Gérard VergnaudGérard Vergnaud … les obstacles que ce concept

permet de dépasser…les procédures que ce concept

permet de remplacer avantageusement

…l'ensemble des problèmes qui peuventêtre traités en utilisant

ce concept

…l'ensemble des images

mentales

…des définitions, des propriétés

…un langage : signes, syntaxe,

vocabulaire

…des savoir-faire, des techniques

Un concept se caractérise par …

Le champ conceptuel des Le champ conceptuel des structures multiplicativesstructures multiplicativesC‘est l’ensemble des situations dont le

traitement implique la mobilisation du concept, de ses propriétés, et procédures qui en découlent, langage et symboles qui y sont associés.

Multiplication, division, proportionnalité relèvent du même champ.

Typologie simplifiée Typologie simplifiée d'aprèsd'après Gérard VergnaudGérard Vergnaud Proportionnalité simplen fois plus, n fois moinsProduits de mesures

décimaux

rationnelentier

ordinal

mesurecardinal

Trois ActivitésTrois Activités

De l’or noir à l’or purDes tablettes de chocolatLa plus grande aire

De l’or noir à l’or purDe l’or noir à l’or pur

ÉnoncéÉnoncé

Phase 1 : Déterminer les prix de 22,5 L puis de 55,25 L de gasoil à 0,84 € le Litre.

Phase 2 : Déterminer les prix de 0,250 kg, puis de 1,800 kg de bonbons à 8,96 € le kg.

Phase 3 : Déterminer la masse de 0,789 m puis de 3,162 m d’une chaîne en or, sachant qu’un mètre de cette même chaîne pèse 2,9425 kg

Déroulement phase 1Déroulement phase 1Les élèves recherchent le problème

individuellement, la calculatrice est autorisée.

Ce travail est suivi d’une mise en commun qui vise à échanger les procédures sans en privilégier aucune.

Les solutions attendues sont des solutions personnelles basées sur la linéarité

( 22,5 L = 22 L +1/2 L).

Déroulement phase 2Déroulement phase 2La recherche et la mise en commun

s’effectue sur le même mode.Les solutions attendues sont toujours des

solutions personnelles, mais la recherche du prix de 1,800 kg impose de ne plus recourir uniquement au partage en 2.

C’est la mise à disposition de la calculette qui peut favoriser l’apparition de la multiplication.

Déroulement phase 3Déroulement phase 3Les nombres sont choisis pour que les

procédures par linéarité deviennent plus lourdes.

On peut déterminer la masse de 0,789 m : En cherchant d’abord la masse d’un mm,

puis celle de 789 mm En cherchant celle de 7dm, de 8cm, de

9mm puis celle de 7dm + 8cm+ 9mm En multipliant par 0,789.

Synthèse de l’activitéSynthèse de l’activitéLe côté économique de la multiplication

est mis en évidence.Le décalage de la virgule dans un produit

de décimaux peut être justifié en s’appuyant sur un changement d’unité.

Des tablettes de chocolatDes tablettes de chocolat

ÉnoncéÉnoncé

Des enfants disposent de tablettes de chocolat qui pèsent 2,52 hg. En voici une :

Masse nette :

2,52 hg

Phase 1Phase 1

Anne a mangé une tablette Benoît a mangé 2 fois plus qu’Anne Caroline a mangé 4/7 de tablette Denis a mangé 0,7 tablette Émilie a mangé 2,36 tablettes

Découper et coller la part de chacun. Combien pèse-t-elle ? Indiquer comment faire pour calculer.

Phase 2Phase 2

Farid a mangé 2,7825 tablettes

Combien pèse sa part? Indiquer comment faire pour calculer.

Déroulement phase 1Déroulement phase 1Les élèves disposent d’un réseau de droites

parallèles et de rectangles en papier symbolisant les tablettes.

Ils travaillent par 2, mais la production est individuelle.

Une mise en commun est faite à l’issue de cette phase. (aucune procédure n’est privilégiée).

Une première synthèse rappelle comment prendre une fraction de….

Déroulement phase 2Déroulement phase 2Le recours au dessin n’est plus possible.Mais les procédures sont réutilisables :

On peut considérer 2,7825 : Comme 2 + 7/10 + 8/100 + 2/1000 +

5/10000 Comme 2 + 7825/10000 Comme 27825/10000

Comme un nombre en écriture décimale

SynthèseSynthèseLe côté économique de l’utilisation de la

touche est mis en évidence. L’équivalence des procédures est montrée

et la multiplication est institutionnalisée.Le décalage de la virgule dans un produit

de décimaux est justifié en s’appuyant sur le fait que tout décimal est une fraction.

La plus grande aireLa plus grande aire

rectangle n°2

rectangle n° 1

carré rectangle n°3

rectangle n°4 rectangle n°5

rectangle n°6

ÉnoncéÉnoncé

Phase 1 : sur une feuille de papier millimétré, dessiner six rectangles dont le périmètre est 10 cm.

Phase 2 : Déterminer l’aire en cm² des 7 figures sélectionnées.Les classer par aire de la plus petite à la plus grande.

Déroulement phase 1Déroulement phase 1La contrainte d’avoir à dessiner 6

rectangles impose d’exprimer certaines dimensions sous forme décimale.

Les élèves commencent par essayer des dimensions entières, puis utilisent les demi-centimètres.

Pour beaucoup le passage à d’autres dimensions décimales constitue un obstacle.

Déroulement phase 2Déroulement phase 2Entre les 2 phases, 7 figures d’aires

proches ont été sélectionnées par le professeur.

Le travail est d’abord individuel. Sur papier millimétré. La confrontation des classements se fait par 2.

La mise en commun porte sur la détermination des aires. Les rectangles sont agrandis et projetés à l’aide d’un rétroprojecteur.

Déroulement phase 2Déroulement phase 2Différentes procédures possibles :

Le comptage des cm² et des mm² La multiplication de 2 entiers (après

conversion des cm en mm). La multiplication de 2 décimaux.

Le comptage des cm² puis des mm² peut induire une conception du décimal comme étant 2 entiers accolés : il est nécessaire de soumettre à la comparaison un rectangle 2,9 x 2,1 d’aire 6,09 cm²

Synthèse de l’activitéSynthèse de l’activité

Le côté économique de la multiplication est mis en évidence.

La formule de l’aire du rectangle est institutionnalisée.

Le décalage de la virgule dans un produit de décimaux peut être justifié en s’appuyant sur le changement d’unité.

ConclusionConclusion

Les activités proposées ici demandent des connaissances préalables :

Sur la proportionnalité;sur la notion de fraction, de décimal;sur la notion d’aire.

Dans une progression de sixième, ces situations ne peuvent s’inscrire que tard dans l’année.

Concertation de mathématiques

L’écriture décimale…La fraction quotient…

D’abord la fraction partage… La droite graduée…

Et la multiplication de deux décimaux après

les vacances de Pâques ! ! !

http://www.univ-lyon1.fr/IREM/

D’après le travail mené à D’après le travail mené à l’IREM de Lyonl’IREM de Lyon

B Anselmo

M BonnetG CombierJ LatourP Planchette