Embed Size (px)
Citation preview
Jov@'s lectures
ПРИМЕРИ ТЕСТОВА 1. Тест 01 2. Тест 02 3. Тест 03 4. Тест 04 5. Тест 05 6. Тест 06 7. Тест 07 8. Тест 08 9. Тест 09
Тестови – Тест 01 С т р а н а | 1
Jov@'s lectures
1. Вредност израза
1
45
3
1625
91
−
+
++ је:
А) 4
21 Б)
17
21 В)
21
17 Г) 84 Д) 1
→ Шта видимо? Видимо алгебарски израз у коме треба урадити алгебарске операције по правилима алгебре. Најпре треба се решити корена, а затим двојног разломака.
1
45
3
1625
91
−
+
++=A ⇒
1111
417
413
1
417
16169
1
4543
1625169
1
45
3
1625
91−−−−
+=
+
=
+⋅
+⋅+=
+
++=A
1
11
4174
17
4174134
1
11
==
=
+
= −
−−
A ⇒ 1=A
Ово значи да је тачно решење под Д. ●●●
2. После сређивања израз 22
33
ba
ba
−−
је:
А) ba − Б) ba
ba
++ 22
В) ba
baba
−++ 22
Г) ba
baba
++− 22
Д) ba
baba
+++ 22
3. Решење једначине 237
325
532 xxx −=−++
је:
А) 5
1 Б) 1 В)
3
2 Г)
2
1 Д) 7
4. Растојање пресечне тачке правих 32 =− yx и 02 =− yx од центра круга ( ) ( ) 946 22 =−+− yx је: А) 7 Б) 6 В) 5 Г) 4 Д) 3 → Шта видимо? Видимо да треба наћи растојање између две тачке. Прва тачка је центар круга, а друга тачка је пресек две праве коју тражимо као решење система две једначине са две непознате. Из једначине круга читамо директно центар круга и он износи ( )4,6C .
Тестови – Тест 01 С т р а н а | 2
Jov@'s lectures
Пресечна тачка правих је решење система једначина
=−=−
02
32
yx
yx ⇒
( )
=−−⋅=−
02
2/32
yx
yx⇒
=−−=+−
02
624
yx
yx ⇒
−=−−=+−
63
624
x
yx ⇒
==−⋅
2
322
x
y ⇒
=−=−
2
43
x
y⇒
==
2
1
x
y. Тачка пресека правих је
( )1,2A .
Растојање ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 344162 −+−=−+−=−+−= CACA yyxxAC 25916 =+=AC
⇒ 5=AC Ово значи да је тачно решење под В. ●●● 5. Скуп свих вредности реалног параметра m за које су решења квадратне једначине
04
322 =+++ mmxx комплексно коњугована је:
А) ( )1,−∞− Б) ( )+∞,3 В) ( )3,1− Г) 0 Д) [ ]3,1−
6. Збир целобројних решења неједначине 542 ≤− xx је: А) 10 Б) 14 В) 5 Г) 5− Д) 0
7. Ако је2009
11
−+=
i
iz , 12 −=i , тада је збир ( ) ( )zz ImRe + једнак:
А) 1 Б) 1− В) i Г) 2 Д) 2− 8. Број решења једначине 824 1 += +xx је: А) 0 Б) 1 В) 2 Г) 3 Д) већи од 3 9. Ако је a=5log10 , b=3log10 , тада је 8log30 једнак:
А) ( )
b
a
−+
1
13 Б)
( )1
13
−−
b
a В)
b
a
+−
1
2 Г)
b
a
−+
1
13 Д)
( )b
a
+−
1
13
10. Ако је 43
4=
− παtg , онда је αtg једнако:
А) 5 Б) 6 В) 8 Г) 9 Д) 7 11. Дужина обима ромба је 10 m, а однос његових дијагонала је 3:4. Тада је површину ромба једнака: А) 7 2m Б) 5 2m В) 6 2m Г) 4 2m Д) 9 2m 12. Коефицијент правца праве која садржи тачке ( )1,2−−A и ( )2,2B је:
А) 1− Б) 3
4− В) 4
3 Г) 1 Д)
3
4
13. Ако је дужина тетиве кружнице ( ) ( ) 222 43 ryx =−+− на оси Ox једнака 6, колика је онда је дужина тетиве ове кружнице на оси Oy једнака:
А) 4 Б) 6 В) 8 Г) 10 Д) 24
Тестови – Тест 01 С т р а н а | 3
Jov@'s lectures
14. Површина омотача правилне четворостране пирамиде је 260 cm2, а обим њене основе је 40 cm. Запремина пирамиде је: А) 400 3cm Б) 300 3cm В) 260 3cm Г) 720 3cm Д) 120 3cm 15. Збир прва четири члана аритметичке прогресије је 1, а збир следећа четири члана је 25. Тада је збир првих 37 чланова:
А) 925 Б) 830 В) 300 Г) 5
476 Д) 372
Тестови – Тест 02 С т р а н а | 4
Jov@'s lectures
1. Вредност израза
4
4
1
1251
31
8:163
−−
−
+
+ једнака је:
А) 1 Б) 4 В) 0 Г) 8
9 Д)
25
16
2. Вредност израза ( )
ab
ba
b
a
a
b
ab
ba 332
:3+
−⋅
+− за 103=a и
56=b је:
А) 10
9− Б) 6
25 В)
5
3 Г)
2
5− Д) 100
117
3. Израчунати збир целих бројева који су решења неједначине ( ) ( ) 041 ≤−⋅+ xx . А) 3− Б) 0 В) 9 Г) 7 Д) 10 4. Ако је реципрочна вредност броја 2+x четири пута мања од броја 1−x , тада је збир свих вредности броја x који задовољавају овај услов: А) 0 Б) 1 В) 1− Г) 6− Д) не постоји ни једно такво x 5. За коју вредност параметра a функција 522 −−= xaxy има максималну вредност 2max −=y :
А) 5 Б) 5
2− В) 2
5 Г) 1 Д)
3
1−
6. Вредност израза 20072008
20092010
ii
ii
−+
, 12 −=i , је:
А) 1 Б) 1− В) i Г) i− Д) ниједан од понуђених одговора → Шта видимо? Видимо разломак са збиром степена имагинарне јединице. Имагинарну јединицу i ћемо степеновати извлачећи фактор 4 из експонента.
20072008
20092010
ii
iiA
−+= ⇒
( ) ( ) ( )( ) ( ) 250145024
50245024
350145024
502425024
350145024
1502425024 1
iiii
iii
iii
iiii
ii
iiA
⋅⋅−⋅+−⋅=
⋅−⋅+⋅=
−+= ⋅⋅
⋅⋅
+⋅⋅
+⋅+⋅
( )( )
( ) ( )( ) ( )ii
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
iA
−⋅+−⋅+−=
−−⋅
++−=
++−=
⋅+⋅+−=
−⋅⋅−⋅+−⋅=
11
11
1
1
1
1
1
1
11
11
111
111501502
502502
( )( ) i
iii
iii
iiiA ==
+++−=
−−−−+−=
−+−−++−=
2
2
11
121
11
121
1
12
2
Ово значи да је тачно решење под В. ●●● 7. Производ квадрата решења једначине 08264 =+⋅− xx једнак је:
А) 0 Б) 4 В) 2 Г) 4
1 Д) 5
Тестови – Тест 02 С т р а н а | 5
Jov@'s lectures
8. Решење једначине ( ) 1loglog 53 =x припада интервалу:
А) ( )30,0 Б) ( )60,30 В) ( )90,60 Г) ( )120,90 Д) ( )150,120
9. Вредност израза oooo 72cos54cos36cos18cos 2222 +++ је: А) 1 Б) 2 В) 1− Г) 2− Д) 0 10. Ако је код правоуглог троугла полупречник уписаног круга cmr 2= и полупречник описаног круга cmR 5= , онда су катете тог троугла (cm):
А) 4,5 и 8,5 Б) 9 и 19 В) 6 и 8 Г) 5 и 9 Д) 4 и 9
→ Шта видимо? Код правоуглог троугла полупречник описане кружнице је половина хипотенузе, а полупречник уписане чини да се у том троуглу могу направити три пара подударних троуглова које дају везу између појединих страница. Како је код правоуглог троугла задовољено да је хипотенуза пречник описаног круга, то је Rc 2= . Одавде је хипотенуза cmcmc 1052 =⋅= . Како се центар уписане кружнице налази у пресеку симетрала углова троугла, то даје за последицу да су троуглови OBE∆ и OBD∆ подударни, па из те подударности произилази да је raBDBE −== . Такође троуглови OAF∆ и
OAD∆ подударни, па из те подударности произилази да је rbADAF −== . Ово значи да хипотенузу можемо изразити као: rarbDBADc −+−=+= , односно, rabc ⋅−+= 2 . Када заменимо вредности, добијемо: 2210 ⋅−+= ab ⇒ ab +=+ 410 ⇒ 14=+ ba ... (1). Са друге стране, Питагорина теорема даје 222 cba =+ , односно, 10022 =+ ba .... (2).
Када из (1) уведемо замену: ba −=14 у једначину (2), добијемо: ( ) 10014 22 =+− bb ⇒
10028196 22 =++− bbb ⇒ 0100196282 2 =−+− bb ⇒ 2:/096282 2 =+− bb ⇒ 048142 =+− bb ⇒
2
214
2
414
2
192196142,1
±=±=−±=b ⇒ 82
16
2
2141 ==+=b или 6
2
12
2
2142 ==−=b . Одавде је:
681414 11 =−=−= ba или 861414 22 =−=−= ba . Значи катете су: 6=a и 8=b . Ово значи да је тачно решење под В. ●●● 11. Пресечне тачке правих 1:1 =+ yxp и 1234:2 =+ yxp са координатним осама Ox Oy A,B,C,D
(A,B ∈Ox, C,D∈Oy). Површина четвороугла ABCD је једнака: А) 12 Б) 6 В) 5,5 Г) 4,5 Д) 3,5 12. Растојање између центара кружница 080161022 =++−+ yxyx и 0124622 =−+++ yxyx је:
А) 10 Б) 6 В) 2 Г) 4 Д) 2
Тестови – Тест 02 С т р а н а | 6
Jov@'s lectures
13. Површина правилне тростране призме је 2320 cmP ⋅= , а основна ивица cma 4= . Њена запремина је: А) 12 3cm Б) 14 3cm В) 10 3cm Г) 15 3cm Д) 16 3cm 14. Ако се полупречник сфере повећа за cm1 , њена површина се повећа за 28 cmπ . При томе се запремина сфере повећа за:
А) π4 Б) 6
17π В) π16 Г) π2
9
2 Д) 3
13π
15. Збир прва четири члана аритметичке прогресије је за 8 мањи од двоструког збира прва три члана исте прогресије. Ако је четврти члан прогресије једнак 19, онда је њен пети члан: А) 24 Б) 38 В) 27 Г) 23 Д) 57
Тестови – Тест 03 С т р а н а | 7
Jov@'s lectures
1. Вредност израза ( ) ( )
−++
+−−
−−625
625
1:423423
11 једнака је:
А) 5
2 Б)
625
8
+ В) 6410+ Г)
3
62 + Д) 12
2. Ако је
∈ +
23
,1\Ra , израз
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1 34
32
94
−
+−+−
−−
−
−
−
aa
aa
aa
aaје идентички једнак:
А) 2 Б) 9 В) a9 Г) a2 Д) 32
1
−a
3. Ако је остатак при дељењу полинома ( ) 3223
3 +−+= xaxxxP са 1−x једнак 3, онда је остатак
дељења полинома ( )xP3 са 2−x једнак:
А) 7 Б) 8 В) 9 Г) 10 Д) 11 → Шта видимо? Видимо чисту примену Безуовог става, који каже да је при делењу неког полинима ( )xPn са
биномом bx − остатак делења једнак ( )bPn . Дат нам је непотпуно полином, дат бином којим
делимо, дат остатак. Из тога израчунамо непознато a у полиному и поново применимо Безуов став при делењу са полиномом 2−x . На основу Безуовог става остатак дељења полинома ( )xP3 са изразом 1−x једнак је ( )13P и он
износи 3 на основу услова задатка. Одавде је ( ) 3312111 233 =+⋅−⋅+= aP ⇒ 3321 =+−+ a ⇒
3213 −+−=a ⇒ 1=a , па полином изгледа ( ) 32233 +−+= xxxxP .
Остатак дељења полинома ( )xP3 са 2−x једнак је ( ).23P
( ) 113448322222 233 =+−+=+⋅−+=P
Ово значи да је тачно решење под Д. ●●●
4. Скуп свих реалних решења једначине 2−= xx је: А) једночлан Б) двочлан В) празан Г) трочлан Д) четворочлан
5. Скуп свих решења неједначине 111 <
−+
x
x је подскуп скупа:
А) ( ) ( )+∞∪ ,11,0 Б) ( )1,−∞− В) ( )0,∞− Г) [ ]1,1− Д) [ ) ( )+∞∪ ,11,0
6. Вредност параметра m , за који је збир квадрата свих решења 0322 =−++ mmxx најмањи, припада интервалу: А) ( ]5,∞− Б) ( )+∞,5 В) ( ]5,2 Г) ( )2,5−− Д) ( )2,2−
7. Вредност израза 20092010
20112012
ii
ii
−+
, 12 −=i , је:
А) 1 Б) 1− В) i Г) i− Д) не знам
Тестови – Тест 03 С т р а н а | 8
Jov@'s lectures
8. Дате су функције ( )21
x
xxf = , ( ) xxxf 22
2 cossin += , ( )x
xfx2log2
3 = , ( )x
xxf
3 3
4 = . Тачан је исказ:
А) све функције су међусобно једнаке Б) међу датим функцијама нема једнаких В) 431 fff == , Г) 14321 fffff ≠=≠≠ , Д) 1432 ffff ≠==
9. Ако је n број различитих решења једначине ( )
043
2log811
3
2
1052
=++−
−⋅
−−
xx
xxx
, онда је:
А) 1=n Б) 4=n В) 0=n Г) 3=n Д) 2=n 10. Ако је ao =2012sin , btg o =2012 , cctg o =2012 , наћи однос између њих. А) cba >> Б) acb >> В) cab >> Г) abc >> Д) bac >> → Шта видимо? Видимо да су дате тригонометријске вредности релативно великих углова. Прво што треба урадити је да их сведемо на тригонометријске вредности оштрог угла, прво избацујући све углове преко 360о, а затим из тупих у оштре. Најпре треба тригонометријске вредности датог угла свести на тригонометријске вредности оштрог угла. Како је ooo 21236052012 +⋅= , или ooo 32180112012 +⋅= . Услед периодичности тригонометријских функција, следи:
( ) ( ) oooooooa 32sin32180sin212sin2123605sin2012sin −=+==+⋅==
( ) oooo tgtgtgb 3232180112012 =+⋅==
( ) oooo ctgctgctgc 3232180112012 =+⋅==
Како је oo 4532 < , а 145 =otg , па је 132 <= otgb .
Како је o
o
tgctg
321
32 = то значи да је 132 >= octgc .
Пошто је свакако 032sin <−= oa , то значи да је поредано по величини ooo atgbctgc 32sin3232 −=>=>= , oдносно: abc >> .
Ово значи да је тачно решење под Г. ●●●
11. Број решења једначине ( ) 02
sincos1 =++−− xx
ππ на интервалу [ ]ππ 2013,2012 је:
А) 0 Б) 2 В) 1 Г) 3 Д) већи од 3 12. У једнакостраничном троуглу производ полупречника уписане и описане кружнице је 6 . Израчунати површина троугла.
А) 39 Б) 9 В) 18 Г) 4
318 Д)
4
39
13. Растојање тачке пресека правих 0523 =−− yx и 072 =−+ yx од праве 01543 =+− yx је:
Тестови – Тест 03 С т р а н а | 9
Jov@'s lectures
А) 5
2 Б) 3 В)
5
16 Г)
4
15 Д) 4
14. Сфера 1S полупречника 1r уписана је у коцку ивице 1, а сфера 2S полупречника 2r описана око
те коцке. Збир 22
21 rr + је:
А) 3
2 Б) 5 В)
4
3 Г) 1 Д) 2
15. Бројеви 2121 ,...,, aaa чине аритметичку прогресију.Познато је да је збир чланова ове аритметичке прогресије са непарним индексима за 15 већи од збира чланова са парним индексима. Ако је 920 3aa = , онда је збир цифара средњег члана ове прогресије.
А) 3 Б) 6 В) 7 Г) 8 Д) 9
Тестови – Тест 04 С т р а н а | 10
Jov@'s lectures
1. Вредност израза:
5,023
8:41
:81
−−−
је:
А) 0,25 Б) 2 В) 0,5 Г) 4 Д) одговор није понуђен Н) не знам
2. После сређивања израза:
−
+
+ababa
b
b
a 211:
2
, где је 0≠ab , једнак је:
А) ab
1 Б) ba + В) ba − Г) ab Д) одговор није понуђен Н) не знам
→
−
+
+ababa
b
b
a 211:
2
Шта видимо? Алгебарски израз.
( )( ) =
−++=
−
++=
−
+
+abba
ba
ba
ba
abba
ba
ba
ba
ababa
b
b
a 2:
2:
211:
2
2
222222
( )( )
( ) =⋅=+
⋅+=−++
⋅+=−++=11
1122
2: 22
22
22
222
2
222 ab
ba
baba
abbaba
ba
ba
ba
ba
abba
ba
ba
ab= Ово значи да је тачно решење под Г. ●●● 4. Троцифрених бројева дељивих са 16 има: А) 56 Б) 57 В) одговор није понуђен Г) 59 Д) 58 Н) не знам
5. Производ решења једначине: 4
823
161
4+
−+
=x
x је:
А) 52
Б) 5
2− В) 5
4 Г)
5
8− Д) одговор није понуђен Н) не знам
Ово значи да је тачно решење под В. ●●●
6. Ако је q
p=+ −+ 2log14log1 59 253 прост разломак, онда је qp + једнако:
А) 32 Б) одговор није понуђен В) 53 Г) 38 Д) 112 Н) не знам 7. Над две супротне странице квадрата странице 1 cm , конструисани су у квадрату једнакостранични троуглови. Површина четвороугла који се добија пресеком та два троугла у 2cm је:
А) 3
32− Б)
3
32− В) одговор није понуђен Г)
33
32+ Д)
32
332 − Н) не знам
→
Тестови – Тест 04 С т р а н а | 11
Jov@'s lectures
Шта видимо? Треба нацртати слику и видети шта се са ње тражи.
Тражи се површина четвороугла GIHL . Види се да су дијагонале GH и IL међусобно нормалне, и да су странице IG , GL , LH , HI једнаке међусобно услед подударности троуглова унутар четвороугла, па је
четвороугао ромб, чија је површина: 2
21 ddP
⋅= . 1dGH = и
2dIL = .
Висина једнакостраничног троугла је 2
3⋅= aGE . Дуж
( )13222
321 −⋅=−⋅== aaad
GK , па је ( )131 −⋅= ad
Другу дијагоналу можемо израчунати из пропорције настале
из сличности троуглова GECGKI ∆≈∆ ⇒ GEGKCEIK :: = ⇒ ( )2
3:13
22:
⋅−⋅= aaaIK ⇒
( )
23
132
2⋅
−⋅=
a
a
aIK
⇒ 3
13
2
−=a
IK ⇒
3
132
−⋅= aIK ⇒
3
132
222
−⋅⋅=⋅= aIKd ⇒
3
132
−⋅= ad
( ) ( ) ( )32
132
3
1313
23
1313
2
2
2221
⋅−⋅=
−⋅−⋅=
−⋅⋅−⋅=⋅= aa
aadd
P
( ) ( )3
32
32
322
32
324
32
1323
32
13 2222
2
2 −⋅=⋅−⋅⋅=
⋅⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅=
⋅−⋅= aaaaaP
Како је cma 1= , то је 3
32−=P .
Ово значи да је тачно решење под А. ●●● 8. Одреди параметар a тако да решења једначине ( ) 032 =+−+ axax буду позитивна. Тада a припада скупу: А) ( )3,0 Б) ( ]1,0 В) ( ] ( )∞∪∞− ,91, Г) одговор није понуђен Д) ( ) ( )∞∪ ,91,0 Н) не знам
9. Дата је коцка 1111 DCBABCDA . Ако је запремина пирамиде 1MNCA , где су M и N средишта ивица AB и AD једнака 1. Колика је површина коцке? А) одговор није понуђен Б) 48 В) 54 Г) 24 Д) 30 Н) не знам 10. Број решења једначине 0sin2cos1 2 =−− xx на интервалу ( ]ππ 2,2− је: А) 6 Б) одговор није понуђен В) 5 Г) 8 Д) 7 Н) не знам
Тестови – Тест 04 С т р а н а | 12
Jov@'s lectures
11. Вредност израза 127
cos2π⋅ је:
А) одговор није понуђен Б) 32 − В) 32+− Г) 32−− Д) 22−− Н) не знам
12. Члан развоја 20
3 1
−x
x који не садржи x је:
А) 1 Б) 20 В) 190 Г) 4845 Д) одговор није понуђен Н) не знам 13. Једначина праве која садржи тачку ( )2,2A и нормална је на праву одређену са ( )3,3−B и
( )5,2−C једнака је: А) 0685 =+− yx Б) 0685 =++− yx В) 0658 =−− yx Г) 02658 =−+ yx Д) одговор није понуђен Н) не знам 14. Одредити Ra ∈ тако да права 3=− yx буде тангента елипсе ayx =+ 22 2 . Тада a припада интервалу: А) [ )4,1 Б) [ )7,6 В) одговор није понуђен Г) [ )5,4 Д) [ ]9,7 Н) не знам
15. Ако је ( )2013
2013
12
1
−+−=
iiz , тада је z једнако:
А) 10062 Б) одговор није понуђен В) 2
2013
2 Г) 2
2015
2 Д) 2
2011
2 Н) не знам
Тестови – Тест 05 С т р а н а | 13
Jov@'s lectures
1. Ако је 2log =xa , 3log =xb и 6log =xc , онда је xabclog једнак:
А) 2
1 Б) 36 В) 1 Г)
36
1 Д) 1− Н) не знам
2. Једначина праве која је нормална на праву 0532 =++ yx има коефицијент правца:
А) 2
3 Б)
2
3− В) 3
2 Г)
3
2− Д) 2
1 Н) не знам
3. Вредност израза: 2
12
5
3:
2
3
9
4−−
+
једнака је:
А) 4
11 Б) 0,36 В)
11
4 Г)
3
2 Д)
2
3 Н) не знам
4. Ако је ( )1+
=x
xxf и ( )
x
xxg
−=
1, онда је ( )( ) ( )( )xgfxfg 32 − за 1≠x и 1−≠x једнакo:
А) x5 Б) x2− В) 1+
−x
x Г) x− Д)
1
2
+x
x Н) не знам
→ ( )( ) ( )( )xgfxfg 32 −
Шта видимо? Видимо да треба да формирамо израз састављен од композиције функција. Када имамо композицију функција, тада у прву функцију уместо x стављамо другу функцију. Добијамо тада алгебарски израз кога решавамо правилима алгебре.
( )( ) ( )( )xgfxfgA ⋅−⋅= 32 ⇒
x
xxx
x
x
xxx
x
x
xx
x
x
xx
x
A
−−+
−⋅−
+−+
+⋅=+
−
−⋅−
+−
+⋅=
11
13
11
121
1
13
11
12 ⇒
( ) ( )xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
A ⋅−⋅=−
−⋅⋅−+
+⋅⋅=
−
−⋅−
+
+⋅= 321
13
1
12
11
13
11
12 ⇒ xA −=
Ово значи да је тачно решење под Г. ●●●
5. Вредност израза ( )
ab
ba
b
a
a
b
ab
ba 332
:3+
−⋅
+− за 10
1=a и 5
6=b једнака је:
А) 2
5− Б) 6
25 В)
5
3 Г)
10
9− Д) 100
117 Н) не знам
6. Коцка 1111 DCBABCDA је странице a . Запремина пирамиде чија су темена 11,,, DACD износи
А) 3
3
2a Б) 3
6
2a В) 3
3
3a Г)
6
3a Д)
3
3a Н) не знам
Тестови – Тест 05 С т р а н а | 14
Jov@'s lectures
7. Број реалних решења једначине ( )xxx −− +⋅=− 21522 једнак је: А) 0 Б) 1 В) 2 Г) 3 Д) 4 Н) не знам 8. Скуп тачака у равни чије координате x и y задовољавају једначину 04424 22 =−++− yyxx представља: А) кружницу; Б) елипсу; В) хиперболу; Г) параболу; Д) две праве које се секу; Н) Не знам. 9. Збир решења једначине 12223 =++ xx је:
А) 0 Б) 6 В) 6− Г) 12 Д) 12− Н) не знам 10. Ако су 1x и 2x решења једначине 02 =++ qpxx , онда је 2
22121 6 xxxx +⋅− једнако:
А) pq 62 − Б) qp 62 − В) qp 62 + Г) qp 82 − Д) pq 82 − Н) Не знам. 11. Ако је ( )na аритметички низ, такав да је 2032 321 =++ aaa и 2321 =+− aaa , онда је 10a једнако:
А) 34 Б) 0 В) 40− Г) 10− Д) 20 Н) не знам
12. Једначина 153 =−+− xx : А) нема решења; Б) има тачно једно решење; В) има тачно два решења; Г) има тачно три решења; Д) има више од три решења; Н) Не знам.
13. Ако је 2
1−=αtg ,
∈ ππα ,2
и 3=βtg ,
∈2
,0πβ онда је ( )βα +sin једнако:
А) 10
2 Б)
2
2− В) 6
1− Г) 2
2 Д)
10
27 Н) Не знам.
14. Број решења једначине 02sin3
3sin =+ xx на интервалу [ ]π2,0 је:
А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 5 Д) 7 Н) не знам 15. Четворострана пирамида чија је основа квадрат странице 8 цм има међусобно једнаке бочне ивице. Ако је висина пирамиде 7 цм онда је дужина бочне ивице (у цм) А) 8 Б) 5 В) 6 Г) 10 Д) 9 Н) не знам
Тестови – Тест 06 С т р а н а | 15
Jov@'s lectures
1. Дате су функције ( ) xxf =1 , ( )x
xxf
2
2 = , ( ) 23 xxf = , ( ) ( )24 xxf = . Које су од њих међусобно
једнаке?
2. ( ) ( ) ( )11001 1log10 +=+ + xx x → ( ) ( ) ( )11001 1log10 +=+ + xx x Шта видимо? Види се да је логаритам од заграде ( )1+x у експоненту степена са леве стране једначине, а да је он и у основи степена а и у производу са десне стране. То значи, када би логаритмовали и леву и десну страну једначине, експонент би отишао на множење са логаритмом основе, а са десне стране би добили тај исти логаритам као један од чланова. Услов који проистиче из дефиниције логаритма је да 01>+x , тј. 1−>x .
( ) ( ) ( )11001 1log10 +=+ + xx x ⇒ ( ) ( )( ) ( )( )1100log1log 101log
1010 +=+ + xx x ⇒
( ) ( ) ( )1log100log1log1log 10101010 ++=+⋅+ xxx ⇒ ( )( ) ( ) 021log1log 102
10 =−+−+ xx ⇒ ( )
=−−
=+
02
1log2
10
tt
tx
⇒ 2
312
912
8112,1
±=±
=+±=t ⇒
−==
1
2
2
1
t
t ⇒
( )( )
−=+=+
11log
21log
210
110
x
x ⇒
=+
=+−1
2
21
101
101
x
x ⇒
=+
=+
101
1
1001
2
1
x
x
⇒
−=
−=
1101
1100
2
1
x
x ⇒
−=
=
10101
99
2
1
x
x ⇒
−=
=
109
99
2
1
x
x.
Како оба решења задовољавају почетни услов, решење једначине је 991 =x и 109
2 −=x . ●●●
3. Израчунај
2
−+⋅
−
++
ba
baab
ba
bbaa ако је 0, >ba и ba ≠
4. Доказати да је n
n
nnnn2...
210=
++
+
+
5. Дат је правилан шестоугао ABCDEF и тачке M и N, где је M средиште CD, а N средиште FB. Ако
је aAB = и bBC = , изразити векторе AM и AN . → Шта видимо? Види се да треба изразити тражене векторе преко остатка слике. Када су у питању слободни вектори, како при доказивању неких односа, тако и у овом случају увек треба поћи у задатак изражавањем траженог вектора преко вектора из остатка слике.
Тестови – Тест 06 С т р а н а | 16
Jov@'s lectures
Први корак је, дакле, да нађемо путању, тј. многоугао, преко кога ћемо изразити тражени вектор.
Са слике се види да је CMBCABAM ++= .
Како је ( ) ( ) ( )abbaODCOCDCM −=+−=+==21
21
21
21
.
Одавде је: ( )abbaAM −++=21
⇒
abbaAM21
21 −++= ⇒ baAM
23
21 +=
Са слике се види да је
( )BFBAABBFABBNABAN ++=+=+=21
21
⇒
( ) ( ) ( ) ( )baaabaaOFAOBAABAFBAABAN +−+=−+−+=+++=++= 221
21
21
21
baaAN21+−= ⇒ bAN
21= ●●●
6. Решити једначину: 3sin6cos8 2 =+ xx 7. Доказати да је угао између тетиве и тангенте једнак периферијском углу над том тетивом.
8. Колико решења има једначина 01cossin2 =++ xx у интервалу ( )π2,0 . 9. Дата је правилна права једнакоивична шестострана призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ивице 4. Нека су M и N средишта двеју база призме, а X, Y, Z, P, Q R средишта бочних страна. Одредити површину и запремину тела MNPQRXYZ. 10. Дата је функција 432 ++−= xxy . Нека је Т теме њеног максимума, а А и В пресечне тачке функције са x-осом. Са друге стране, нека је N тачка функције која припада и y-оси, t тангента на график функције у тачки N, s нормала на график функције у N, а P и Q пресечне тачке правих t и s са x-осом. Да ли је већа површина троугла TAB или троугла NPQ? 11. Светлосни зрак долази по правој 0523 =−+ yx и одбије се од праве 012 =+− yx . Одредити једначину одбијеног зрака. 12. Укупан број становника у Шумадијском округу (градови и села), у последњих 10 година, повећао се за 7,6%. Број становника у градовима у том периоду повећан je за 21%, a у селима смањио за 12,5%. Одредити однос између броја становника у градовима и броја становника у селима на почетку тог периода.
Тестови – Тест 07 С т р а н а | 17
Jov@'s lectures
1. Ако је 2−=αtg ,
∈ ππα ,2
и 3=βtg ,
∈2
3,
ππβ онда је ( )βα +sin једнако:
А) одговор није понуђен Б) 25
7 В)
2
1 Г)
2
1 Д)
5
27− Н) не знам
2. Када се пречник круга повећа за 6, његова површина се утростручи. Тада је полупречник круга:
А) ( )133 − Б) ( )312
3 + В) ( )313 + Г) ( )132
3 − Д) одговор није понуђен Н) не знам
3. Збир решења једначине 141 2 −=−+ xxx се налази у интервалу: А) одговор није понуђен Б) [ )3,0 В) [ )4,2 Г) [ ]2,1 Д) [ )1,2− Н) не знам
→
141 2 −=−+ xxx Шта видимо? Видимо ирационалну једначину. Решавамо стандардним начином, уз услов да функција са десне стране једначине буде већа и једнака нули.
141 2 −=−+ xxx ⇒ ( )22 141 −=−+ xxx ∧ 01≥−x ⇒ Услов: 1≥x
1241 22 +−=−+ xxxx ⇒ 01241 22 =−+−−+ xxxx ⇒ 026 2 =− xx ⇒ ( ) 032 =−⋅ xx ⇒
02 =x ∨ 03 =− x ⇒ 01 =x ∨ 32 =x Како је услов да је 1≥x , то значи да решење 01 =x отпада. Остаје решење 32 =x . Још само да проверимо да ли је подкорени израз позитиван за ту вредност.
049121334141 22 >=−+=−⋅+=−+ xx . Дакле, решење је: 3=x . Ово значи да је тачно решење под В. ●●● 4. Број решења једначине 02sinsin2 =+ xx на интервалу [ ]ππ 2,− : А) 4 Б) 6 В) 8 Г) 5 Д) одговор није понуђен Н) не знам →
02sinsin2 =+ xx Шта видимо? Видимо тригонометријску једначину код које је у збиру xsin и x2sin . Можемо представити x2sin као производ xxx cossin22sin = и онда извући xsin испред заграде.
02sinsin2 =+ xx ⇒ 0cossin2sin2 =+ xxx ⇒ ( ) 0cos1sin2 =+⋅⋅ xx
0sin =x ∨ 0cos1 =+ x πkx += 01 ∨ 1cos 2 −=x ,...)3,2,1,0( ±±±=k
πkx =1 ∨ ππ kx 22 += ,...)3,2,1,0( ±±±=k Посматрајмо сада тражена решења у датим границама [ ]ππ 2,−
За 0=k ⇒ 01 =x , π=2x , → Припадају
За 1=k ⇒ π=1x , πππ 322 =+=x , → Припада прво, али друго не припада
Тестови – Тест 07 С т р а н а | 18
Jov@'s lectures
За 1−=k ⇒ π−=1x , πππ =−= 22x , → Припадају иако се понављају
За 2=k ⇒ π21 =x , πππ 542 =+=x , → Припада прво, али друго не припада
За 2−=k ⇒ π21 −=x , πππ 342 −=−=x , → Не припадају Даље повећање k би само правило још већу разлику и овде стајемо. Значи решења су:
01 =x , π=2x , π−=1x , π21 =x Има их 4. Ово значи да је тачно решење под А. ●●●
5. Вредност израза 8
1
58
1
58
1
7
1
27
1
27
1 ⋅
++
−+⋅
−+
+ је:
А) 7 Б) 5
16 В)
15
1 Г) 1 Д) одговор није понуђен Н) не знам
6. Ако је у коцки '''' DCBABCDA растојање од тачке 'A до дијагонале 'AC једнако =m 3, површина сфере, описане око коцке једнака је:
А) π4
81 Б) одговор није понуђен В) π81 Г) π
2
81 Д) π
2
27 Н) не знам
7. Прво је артикал поскупео 20%, а потом појефтинио 10%. Укупно се цена променила за 16 динара. Колика је била цена на почетку? А) 160 Б) 240 В) 220 Г) одговор није понуђен Д) 200 Н) не знам
8. Вредност израза ( ) ( ) ( )
++−⋅+−+ bababababa 3
1
3
1:
1223 , ( )0,, ≠+ baba је:
А) 22ba Б) одговор није понуђен В) ba +
1 Г) ba + Д) ab Н) не знам
9. Скуп решења неједначине 416log2loglog 222 <⋅⋅ xx x , је:
А)
2
1,
4
1 Б) ( )+∞∪
,4
2
1,
4
1 В)
2
1,0 Г) одговор није понуђен Д)
∪
4,
2
1
4
1,0 Н) не знам
10. Дат је троугао теменима ( )3,2A , ( )6,4B и ( )5,3C . Једначина праве на којој се налази висина из темена C је: А) одговор није понуђен Б) 02123 =−+ yx В) 02132 =++ yx Г) 02123 =++ yx
Д) 02132 =−− yx Н) не знам
11. Решења неједначине ( ) 02
12 ≤
+−
x
x, је:
А) ( ]1,∞− Б) [ )+∞,1 В) одговор није понуђен Г) ( )∞,1 Д) ( )1,∞− Н) не знам
12. Слободни коефицијент тангенте на параболу xy 22 = кроз тачку ( )2,1A једнак је:
Тестови – Тест 07 С т р а н а | 19
Jov@'s lectures
А) 22 Б) 2 В) 2
3 Г)
2
1 Д) одговор није понуђен Н) не знам
13. Четвороцифрених бројева дељивих са 101 има: А) 89 Б) 90 В) одговор није понуђен Г) 91 Д) 88 Н) не знам 14. Збир решења једначине 33223 =−−− xx једнак је:
А) 2− Б) 2 В) 0 Г) одговор није понуђен Д) 4− Н) не знам 15. Број реалних решења једначине ( )xxx 221544 −− −⋅=+ једнак је: А) 1 Б) 0 В) одговор није понуђен Г) 3 Д) 2 Н) не знам
Тестови – Тест 08 С т р а н а | 20
Jov@'s lectures
1. Ако је девети члан аритметичке прогресије за 24 већи од петог и ако је збир деветог и седмог члана 86, тада је седамнаести члан прогресије једнак: А) 103 Б) 99 В) 89 Г) 97 Д) одговор није понуђен Н) не знам → Шта видимо? Видимо да се ради о аритметичком реду, где се тражи 17a , а дата су два односа међу члановима тог
низа из којих можемо формирати две једначине из којих израчунавамо две непознате 1a и d . Да би израчунали daa ⋅+= 16117 треба да формирамо две једначине у којима су две непознате 1a и
d . Прву једначину добијамо из односа 2459 += aa .
Другу једначину добијамо из односа 8679 =+ aa . Формирајмо систем једначинаод две једначине са
две непознате
=++=
86
24
79
59
aa
aa ⇒
=⋅++⋅++⋅+=⋅+
8668
2448
11
11
dada
dada ⇒
=⋅+⋅=⋅−−⋅+
86142
2448
1
11
da
dada ⇒
=⋅+⋅=⋅
86142
244
1 da
d ⇒
=⋅+⋅
==
866142
64
24
1a
d ⇒
=−=⋅=
284862
6
1a
d ⇒
=
=
2
2
6
1a
d ⇒
==
1
6
1a
d ⇒ Дакле, из
616117 ⋅+=a ⇒ 96117 +=a ⇒ 9717 =a
Ово значи да је тачно решење под Г. ●●●
2. Број решења једначине 1sin2cos2 44 =− xx на интервалу [ ]ππ ,− je: А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) одговор није понуђен Н) не знам 3. Дат је трапез ABCD са правим угловима у теменима B и C , и нека је 1D подножје висине из
темена D . Ако је 21
=∆ DADP , 14=ABCDP и 41 =DD тада је збир квадрата страница једнак:
А) 39 Б) одговор није понуђен В) 53 Г) 50 Д)47 Н) не знам → Шта видимо? Видимо правоугли трапез. Код њега добијемо правоугли троугао када од доње странице одузмемо горњу. У задатку се тражи 2222 chba +++ . Како је 41 =DD , то значи да је 4== BCh
Како је ( )
221
=⋅−=∆hba
P DAD , следи да је
( )2
2
4 =⋅− ba ⇒ ( ) 22 =⋅− ba ⇒ 1=− ba ....(1)
Како је ( )
142
=⋅+= hbaPABCD , следи да је
( )14
2
4 =⋅+ ba ⇒ ( ) 142 =⋅+ ba ⇒ 7=+ ba ....(2)
Из једначина (1) и (2) добијамо систем од две једначине са две непознате:
=+=−
7
1
ba
ba ⇒
==−82
1
a
ba ⇒
==−
4
14
a
b ⇒
=−=−
4
41
a
b ⇒
==
4
3
a
b .
Тестови – Тест 08 С т р а н а | 21
Jov@'s lectures
Крак c добијемо као хипотенузу правоуглог троугла DAD1∆ , ( )222 bahc −+= . Одавде је:
1711614 222 =+=+=c . Дакле, 3325171691617434 2222222 +=+++=+++=+++ chba . 582222 =+++ chba
Ово значи да је тачно решење под Б. ●●● 4. Дата су два круга полупречника 8 cm који се додирују. Колики је полупречник круга који споља додирује два дата круга и њихову заједничку спољашњу тангенту?
А) 4 cm Б) 3 cm В) одговор није понуђен Г) 2 cm Д) 2 cm Н) не знам 5. Збир решења једначине 092125162 =⋅+⋅−⋅ xxx је:
А) одговор није понуђен Б) 0 В) 2 Г) 2
1 Д)
2
1− Н) не знам
6. Једначина 2332 −=− xx : А) нема решења Б) одговор није понуђен В) има тачно једно решење Г) има два позитивна решења Д) има два решења од којих је једно позитивно Н) не знам 7. Производ целобројних вредности параметра m таквих да неједнакост ( ) ( ) ( ) 07721 2 >+−+−+ mxmxm важи за свако x је: А) 30 Б) 120− В) 840 Г) одговор није понуђен Д) 10 Н) не знам
8. Ако је ( )212
1 +=
++
xx
xf , тада је ( )2f једнако:
А) 6 Б) 1 В) 16 Г) одговор није понуђен Д) 4 Н) не знам
9. Након сређивања израз 2
1
704
5
5
4
7
8
8
7−
⋅
−⋅
− једнак је:
А) 4 Б) 1 В) одговор није понуђен Г) 2 Д) 2
1 Н) не знам
10. Дата је коцка 1111 DCBABCDA у коју је уписана лопта а у ту лопту је уписана коцка
1111 HGFEFGHE . Однос је једнак 11 : EFAD :
А) 1:34 Б) 1:2 В) 1:3 Г) одговор није понуђен Д) 1:33 Н) не знам
11. Након сређивања израз ( )
+−
+−++⋅
−−−+
−
1:11
2
112
222 b
ab
baba
aba
bababa, 0≠ab ∧
22 ba ≠ једнак је:
А) b
1 Б) ba + В)
ba +1
Г) одговор није понуђен Д) a
1 Н) не знам
12. Скуп решења неједначине ( ) ( )23log32log 3
3
1 +≥+ xx је интервал ( ]ba, . Тада је ab
1 једнако:
Тестови – Тест 08 С т р а н а | 22
Jov@'s lectures
А) 3 Б) 3− В) одговор није понуђен Г) 3
1 Д)
3
1− Н) не знам
13. У једном одељењу има 3 пута више дечака од девојчица. Међу девојчицама је 20% одличних, а међу дечацима 10%. Колико процената одличних ђака има у целом разреду? А) 17% Б) 15% В) 17,5% Г) одговор није понуђен Д) 12,5% Н) не знам
14. Коефицијент уз 16x степена бинома је 11
2
21
2
+ xx :
А) 231 Б) 393 В) 462 Г) 262 Д) одговор није понуђен Н) не знам Шта видимо? Видимо да треба да степенујемо бином и то ћемо урадити биномном формулом. Степен општег члана ћемо изједначити са датим степеном и тиме добити конкретни члан и на основу тога добити члан којим ћемо израчунати вредност коефицијента.
Општи члан развијеног облика бинома је ( )k
k
k
xx
kT
⋅⋅
= −
+ 22
11 1121 . Сређујући овај члан добија се:
( ) ( )k
kkk
k
kkk
k
xx
k
xx
kT
22
11
22
11 11211112111 ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
= −⋅−−−
+
kkkkkkk x
kx
kT −−+−−−
+ ⋅⋅
=⋅⋅
= 2221122211
1 211
211
.
Како се тражи коефицијент уз 16x , то је 1622 xx k =− ⇒ 1622 =− k ⇒ k=−1622 ⇒ 6=k . Онда је
коефицијент једнак: ( )112116211
1 212345!6
!678910112
!6!611!67891011
26
11 −−⋅−+ ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅
⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅
=kA
231211121
1111111723111
1 =⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=+kA
Ово значи да је тачно решење под A. ●●●
15. Вредност израза 12
7cos
12
7sin
ππ + је:
А) 2
3 Б) одговор није понуђен В)
2
1 Г)
2
1 Д) 1 Н) не знам
Тестови – Тест 09 С т р а н а | 23
Jov@'s lectures
1. Нека су a и b реални бројеви. Задате су реченице: 1. Ако је 22 ba = , онда је ba = . 2. Ако је 22 ba = , онда је ba = .
3. Ако је 33 ba = , онда је ba = . 4. Ако је 33 ba = , онда је ba = .
Колико је међу овим реченицама тачних? А) Ниједна B) Једна C) Две D) Три E) Све четири N) Не знам → Шта видимо? Прва реченица није тачна, јер и негативан број на квадрату даје позитивну вредност исто као и позитиван број. Због тога из једнакости квадрата два броја не може бити једнакост та два броја. Остале три реченице су тачне: под 2., 3. и 4. Ово значи да је тачно решење под D. ●●●
2. Вредност израза ( )
−
+⋅⋅+−⋅⋅ 3,1:384,209,60125,08
725,6:53,26
7
64,8:
7
45 припада:
А) ( )2,−∞− B) [ )1,2−− C) [ )0,1− D) [ )1,0 E) [ )+∞,1 N) Не знам
3. Збир свих решења једначине ( )( )( )( )
034
21212
=+−
++−−xx
xxxxx je:
А) 0 B) 1− C) 1 D) 2− E) 2 N) Не знам 4. Површина четвороугла ограниченог графицима функција 23 −= xy и 4−−= xy и координатнима осама у трећем квадранту једнака je:
А) 2
15 B)
2
13 C) 1 D) 6 E)
2
11 N) Не знам
→ Шта видимо? Видимо да два графика у трећем квадранту ограничавају четвороугао. Површину тог четвороугла можемо израчунати као разлику два троугла AOB∆ и BCD∆ .
82
44
2=⋅=⋅= OBOA
PAOB
DEDEDEBC
PBCD =⋅=⋅=2
2
2
Висина DE је апсциса пресечне тачке правих 23 −= xy и
4−−= xy . Дакле њу добијамо из једначине 423 −−=− xx ⇒
243 +−=+ xx ⇒ 24 −=x ⇒ 4
2−=x ⇒ 2
1−=x . Одавде је:
2
1=DE , тј. 2
1=BCDP . Тражена површина је: 2
15
2
116
2
18 =−=−=−= BCDAOB PPP
Ово значи да је тачно решење под A. ●●●
Тестови – Тест 09 С т р а н а | 24
Jov@'s lectures
5. У троуглу ABC је дужина странице 16=c cm, висине 2
153=ch cm и тежишне дужи 102=ct
cm. Површина круга уписаног у овај троугао је:
А) π6 cm2 B) π4
30 cm2 C) π
3
20 cm2 D) π15
3
2 cm2 E) π7 cm2 N) Не знам
6. Илија и Марко су у првом получођу добили по 20 оцена. Илија је добио онолико петица колико је Марко добио четворки, онолико четворки колико Марко тројки, онолико тројки колико Марко двојки и онолико двојки колико је Марко добио петица. При томе су њихове средње оцене једнаке. Колико је Илија добио двојки? А) мање од 4 B) 4 C) 5 D) 6 E) више од 6 N) Не знам 7. Хипотенуза правоуглог троугла два пута је већа од једне катете. Колики су оштри углови тог троугла.
8. Колико има четвороцифрених бројева abcd таквих да је abcbcd ⋅= 2 (цифре dcba ,,, не морају бити различите)? А) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9 N) Не знам 9. Петар је написао 555 бројева. Први од тих бројева је 2, други 3, а сваки број, почев од другог, за 1 мањи од производа броја који је написан непосредно пре њега и броја који је написан непосредно после њега. Збир свих написаних бројева је: А) мањи од 999 B) 999 C) 1000 D) 1001 E) већи од 1001 N) Не знам 10. Дужине основица трапеза су 6 cm и 8 cm. Дуж паралелна основицама, чији крајеви припадају крацима трапеза, дели трапез на два дела једнаких површина. Дужина те дужи је:
А) 25 cm B) 7 cm C) 34 cm D) 25,7 cm E) 53 cm N) Не знам 11. Две кугле, чији се полупречници разликују за 1 cm, скотрљале су се низ стрму раван дугу
π1232 cm. Број обртаја који је начинила једна кугла је за 11 мањи од броја обртаја које је начинила друга кугла. Полупречник веће кугле је: А) мањи од 5 cm B) 5 cm C) 6 cm D) 7 cm E) већи од 7 cm N) Не знам
12. Висина 'SS тростране пирамиде SABC je 32
9 cm. Ако је бочна страна SAB једнакостранични
троугао странице 36=SA cm, а остале ивице су међусобно једнаке ( )BCACSC == , запремина пирамиде је:
А) 81 cm3 B) 644 cm3 C) 36
343⋅ cm3 D) 52
372
⋅
cm3 E) 64 cm3 N) Не знам
