My ST Econom Zbi01 Free - matema.rs · он произведен на првој машини . 5. Дата је функција укупних трошкова производње

Jov@'s lectures

ИСПИТНИ РОК ЈАНУАР 2002 - ТЕСТ 1








ИСПИТНИ РОК АПРИЛ 2002 - ТЕСТ 9








ИСПИТНИ РОК ЈУН 2002 - ТЕСТ 17








ИСПИТНИ РОК СЕПТЕМБАР 2002 - ТЕСТ 25








ДОДАТАК 01 - ИЗРАДА ПЛАНА АМОРТИЗАЦИЈЕ

ДОДАТАК 02 - ИСТИ ЗАДАТАК - ДРУГА МЕТОДА

Jov@'s lectures

ТЕМА ИСПИТНИ РОК И ЗАДАТАК

Инверзна функција Т21-1 Т22-1 Т24-1

Ранг векторског система

Т01-1 Т02-1 Т04-1 Т08-1 Т14-1 Т15-1 Т17-1 Т18-1 Т22-2 Т22-2

Вектори Т03-1 Т06-1 Т07-1 Т10-1 Т11-1

Матрице Т20-2 Д01-10

Инверзна матрица Т02-3 Т08-3 Т09-1 Т15-2 Т16-2 Д01-9

Ранг матрице Т05-1 Т27-2

Систем једначина - Матрична метода

Т01-2 Т03-2 Т04-3 Т06-2 Т07-2 Т11-2 Т12-1 Т13-1 Т14-2 Т19-2 Т21-2 Т23-1 Т27-1 Т28-1 Т30-1 Т31-1

Систем једначина - Гаусов метод

Т01-3 Т03-3 Т05-3 Т06-3 Т07-3 Т09-2 Т19-1 Т20-1 Т32-1 Д01-2 Д01-3 Д01-4 Д01-6

Систем једначина - Детерминанте

Т02-2 Т04-2 Т05-2 Т08-2 Т16-1 Т17-2 Т25-1 Д01-1 Д01-5 Д01-7 Д01-8

Систем једначина - Елементарне базне трансформације

Т12-2 Т13-2 Т24-2 Т26-1 Т29-1

Систем једначина - Текстуални Т10-2 Т18-2

Функције - Област дефинисаности

Т04-4 Т09-3 Т11-3 Т12-3 Т14-3 Т16-3 Т20-3 Т25-2 Т26-2 Т30-3 Т31-2

Функције - Нуле функције Т12-3 Т20-3 Т28-2

Функције - Знак функције Т09-3 Т25-2 Т28-2 Т30-2

Функције - Парност/Непарност Т17-3 Т25-2 Т26-2 Т26-2 Т32-2

Функције - Понашање у тачкама прекида

Т04-4 Т19-3 Т22-3 Т25-3

Jov@'s lectures

Функције - Екстермум и ток

Т01-4 Т03-4 Т05-4 Т06-4 Т07-4 Т11-3 Т13-3 Т14-3 Т16-3 Т21-3 Т24-3 Т26-3 Т28-3 Т29-3 Т30-3 Т31-3 Т32-3

Функције - Конвексност и конкавност Т05-4 Т22-3 Т27-3

Функције - Асимптоте Т10-3 Т26-2 Т29-2 Т32-2

Функција - График функције Т15-3 Т18-3

ЕкоМат - Приход


ЕкоМат - Трошкови

Т02-6 Т05-6 Т06-6 Т07-6 Т08-6 Т09-5 Т10-4 Т11-5 Т12-5 Т16-4 Т18-5 Т21-5 Т22-5 Т22-4 Т25-4 Т26-4 Т27-5 Т28-4 Т32-4

ЕкоМат - Добит Т17-5 Т18-4

ЕкоМат - Еластичност

Т02-5 Т02-6 Т03-5 Т04-5 Т05-5 Т13-4 Т14-4 Т15-4 Т16-5 Т19-5 Т20-5 Т24-5 Т25-5 Т27-4 Т28-5 Т29-4 Т30-5 Т31-4 Т32-5

ЕкоМат - Рентабилна производња

Т01-6 Т08-5 Т14-5 Т15-5 Т22-5 Т26-5 Т29-5 Т31-5

Вероватноћа са комбинаториком


Вероватноћа - Бајесова формула и тотална вероватноћа

Т02-4 Т08-8 Т15-6 Т22-6 Т24-6 Т25-6 Т27-6 Т28-6 Т31-6

Jov@'s lectures

Економска математика - Капиталисање

Т01-7 Т02-7 Т03-7 Т04-7 Т05-7 Т06-7 Т07-7 Т08-7 Т09-7 Т10-7 Т11-7 Т12-7 Т13-7 Т14-7 Т15-7 Т16-7 Т17-7 Т18-7 Т19-7 Т20-7 Т21-7 Т22-7 Т22-7 Т24-7 Т25-7 Т26-7 Т27-7 Т28-7 Т29-7 Т30-7 Т31-7 Т32-7

Амортизација зајма

Т01-8 Т02-8 Т03-8 Т04-8 Т05-8 Т06-8 Т07-8 Т08-8 Т09-8 Т10-8 Т11-8 Т12-8 Т13-8 Т14-8 Т15-8 Т16-8 Т17-8 Т18-8 Т19-8 Т20-8 Т21-8 Т22-8 Т22-8 Т24-8 Т25-8 Т26-8 Т27-8 Т28-8 Т29-8 Т30-8 Т31-8 Т32-8 Д02-1 Д02-2

Испит з а економисте - Тестoви С т р а н а | 5

Jov@'s lectures

ПИСМЕНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ЕКОНОМИСТЕ 1

1. Одредити ранг векторског система:

=3

2

1

1v ;

=5

3

2

2v ;

=4

1

3

3v .

2. Једна фабрика производи производе А, B и C под следећим условима:

Машине Технички коефицијенти (час/ком) Капацитет

А B C (час) М1 2 2 1 260

М2 1 3 2 330

М3 3 4 3 550 Одредите програм производње, који ће капацитете машина искористити у потпуности. Систем једначина решите као матричну једначину. 3. Користећи Гаусов метод елиминације решите следећи систем једначина:

15352

2

9 42

4

321

321

321

321

=−+−=+−

=++=−+

xxx

xxx

xxx

xxx

4. Одредите екстрeмне вредности и испитати раст и опадање функције ( )32 1−= xy . 5. Дата је фукција тражње у имплицитном облику: 01470032 =−+ px . Одредити обим производње при коме се остварује максималан укупан приход. 6. Дате су информације:

( )82,0

140004'

270005,0

1000,−=+=+−=

=xTE

xxT

px

Одредите интервал рентабилне производње. 7. Дана 5.1.1999. године уложено је 1000 динара, а 12.2.2001. подигнуто је 1000 динара. Са

којим износом се располагало 31.12.2001. ако се обрачунава 8% камате годишње уз годишње капиталисање. За непотпуне периоде се користи конформна каматна стопа.

8. Зајам треба амортизовати за 5 месеци једнаким месечним ануитетима од 10286,5 динара, уз

годишње капиталисање и 12% камате годишње. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

1. Ранг векторског система

=3

2

1

1v ,

=5

3

2

2v ,

=4

1

3

3v се своди на ранг матрице

=453

132

321

A . Одредимо ранг матрице елементарним трансформацијама.

( ) ~1/

510

510

321

~

510

510

321

~

)3(/ )2(/

453

132

321

~

453

132

321

−⋅

−−−−

−−−−

−⋅−⋅

=rangA

( )

−−−⋅

−−−−

000

510

321

~1/

510

510

321

~

Пошто дуж главне дијагонале има два елемента различита од нуле, ранг матрице, тј. векторског система је 2=rangA .


Jov@'s lectures


1. Да ли једначина =++ 332211 vvv λλλ сем тривијалних има и других решења, где

=0

6

5,7

1v ;

=10

0

5,7

2v ;

=10

6

0

3v .

2. Производи ( )3,2,1=iPi се обрађују на три машине ( )3,2,1=jM j . Расположиви капацитети

машина М1, М2 и М3 су: 5900 часова, 6200 часова и 6600 часова респективно. Потребна времена обраде јединице производа P1 на машинама М1, М2 и М3 су редом : 3,4 и 5 часова. За производ P2 ови подаци су редом: 1,2 и 2 часа; а за P3 су: 4,2 и 1 час. Одредити програм прозводње који омогућује да се сви машински капацитети искористе у потпуности. Задатак решите применом детерминанти.

3. Наћи инверзну матрицу матрице

=10820

345

25,23

A . Проверити резултат!

4. Производ се израђује на три машине. Прва машина производи 35%, друга 25%, а трећа 40%

производа. Неисправних производа по машинама је 4%, 5% и 2% респективно. а) Наћи вероватноћу да је случајно изабрани производ неисправан. б) Ако је случајно изабрани производ неисправан, колика је вероватноћа да је он произведен на првој машини.

5. Дата је функција укупних трошкова производње: ( ) 10000010 2 += xxT .

а) Израчунати 25, =xTE , објаснити добијени резултат и аналитички потврдити тачност датог

објашњења. б) Донети одлуку о томе да ли је (или није) рационално ићи на повећање обима производње од 25 јединица производа. Одлуку образложити!

6. Дата је функција граничних прихода ( )( )2803

500000'

+=

ppP . Одредити функцију тражње облика

( )pfx = . Израчунати еластичност тражње за 40=p и објаснити добијени резултат. 7. Колико је уложено 14.1.2000. , ако улог заједно са каматом дана 28.8.2004. треба да износи

18500 динара, а годишња каматна стопа је 12%. Колика је камата? 8. Зајам од 10000 дин. амортизује се за 3 месеца једнаким месечним ануитетима, уз годишње

капиталисање и годишњу стопу 12%. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

2. Нека су zyx ,, количине призвода које се праве намашинама 321 ,, MMM

респективно. Кад представимо услове задатка у таблицу они изгледају:

1P 2P 3P

Укупно расположиво

1M 3 1 4 5900

2M 4 2 2 6200

3M 5 2 1 6600

Можемо формирати следећи систем једначина:

660025

6200224

590043

=++=++

=++

zyx

zyx

zyx

. Систем ћемо решити

методом детерминанти (Крамеровом методом).

84124032106

25

24

13

125

224

413

125

224

413

−=−−−++===sD

8000660066200759002620059004

66008620086600259002

26600

26200

15900

126600

226200

415900

126600

226200

415900

−=⋅−⋅+⋅−=−⋅−

−⋅−⋅+⋅+⋅===xD

4000590066600106200175900466006

62002066001659001062003

66005

62004

59003

166005

262004

459003

166005

262004

459003

−=⋅+⋅+⋅−=⋅−⋅−

−⋅−⋅+⋅+⋅===yD

4800590026200660026600462006

590010590086200566006

25

24

13

660025

620024

590013

660025

620024

590013

−=⋅−−⋅=⋅−⋅−

−⋅−⋅+⋅+⋅===zD

10008

8000=−

−==s

x

D

Dx , 500

8

4000=−

−==s

y

D

Dy , 600

8

4800=−

−==s

z

D

Dz . Дакле, решење је:

1000=x , 500=y и 600=z .


Jov@'s lectures


1. Дати су вектори

−=7

4

1

1a ,

=1

1

2

2a ,

−=2

1

1

3a у односу на базу јединичних вектора

{ }321 ,, eee . Изразите вектор 2a у односу на базу { }331 ,, eaa . 2. Фабрика израђује три врсте камиона Кi; i=1,2,3 у три погона. Технички и технолошки услови производње по јединици производа (1 јединица производа = =750 камиона) дати су табелом:

ПОГОНИ Ангажовање капацитета у % по јединици

производа Укупно

расположиви капацитети у %

К1 К2 К3 I 2 5 4 100 II 3 4 1 100 III 1 6 3 100

Помоћу матрица одредите програм производње који омогућује да се расположиви капацитети погона I , II и III искористе са 100%, 97% и 83% респективно. 3. Користећи Гаусов метод елиминације решите следећи систем једначина:

5645

2432

3523

1

321

321

321

321

=+−=−+=+−=++

xxx

xxx

xxx

xxx

4. Испитати раст и опадање функције ( )2221ln xxy −+= и наћи екстремне вредности.

5. Дат је инверзни облик функције тражње x

xp

6

2050000−= . Одредити

еластичност тражње и гранични приход за цену од 30 н.ј.

6. Дате су информације: ( ) 150005,0' += xxT ; 11

62000,

−==xT

E .

Показати да су минимални просечни трошкови једнаки граничним за исти ниво производње 7. На улог од 25000 динара обрачуната је камата од 10000 динара за 8 година и 6 месеци. Ако је

капиталисање континуелно, која је годишња каматна стопа коришћена . 8. Зајам од 50000 динара треба отплатити једнаким тромесечним ануитетима за једну годину, уз

годишњу каматну стопу 20% и тромесечно капиталисање. Израдити план амортизације!


Jov@'s lectures

5. Функција тражње се добије решењем једначине по x : x

xp

6

2050000−= ⇒

xpx 20500006 −=⋅ ⇒ 50000206 =+⋅ xpx ⇒ ( ) 50000206 =+⋅ px ⇒ 206

50000

+=

px ⇒

( )1032

50000

+⋅=

px ⇒

103

25000

+=

px .

Еластичност тражње је: dp

dx

x

pE px ⋅=, . Како је =

+==

'

103

25000'

px

dp

dx

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )2

2'2'1

103

75000

31032500010310312500010325000

+−=

=⋅+⋅−=+⋅+⋅−⋅=+⋅= −−−

p

pppp

Одаавде је: ( ) 103

3

103

75000

103

25000 2, +−=

+−⋅

+

=p

p

pp

pE px

Гранични приход добијемо као први извод укупног прихода. Како је ( ) ( )pxppP ⋅= , то је:

( )103

25000

103

25000

+⋅=

+⋅=

p

p

pppP . Гранични трошкови су:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )2222

2

'''

'

103

250000

103

1025000

103

310325000

103

3103125000

103

103103'25000

10325000

103

25000

+=

+⋅=

+−+⋅=

+⋅−+⋅⋅=

=+

+⋅−+⋅⋅=

+⋅=

+⋅=

ppp

pp

p

pp

p

pppp

p

p

p

ppP

За 30=p добијамо: ( )( )

2510000

250000

100

250000

10303

25000030

22' ===

+⋅=P


Jov@'s lectures


1. Испитати линеарну зависност вектора:

−=

3

1

2

1a ,

=2

3

1

2a ,

=3

0

5

3a .

2. Две радионице ( 1R и 2R ) послале су у складиште укупно 6000 комада производа. Радионица

1R имала је 1,25% неисправних производа, а радионица 2R 3,5% неисправних. Уз помоћ

детерминанти одредите количину производа послатих из 1R и 2R посебно, ако је укупан број исправних производа 5880.

3. Решите матричну једначину:

=⋅

−21

4

13

341

152

123

X

4. Одредити област дефинисаности и испитати понашање функције у тачкама прекида и на

крајевима домена функције:

2

2

4

1

x

xy

+=

5. Дата је функција укупних трошкова производње: ( ) 62 1021000 ⋅++= xxxT .

Израчунати еластичност укупних и еластичност просечних трошкова у односу на ниво производње од 1000 јединица производа, а потом резултате економски интерпретирати.

6. Дата је функција граничних прихода: ( )( )2503

600000'

+=

ppP

Одредити функцију тражње ( )pfx = . 7. Дана 17.1.2002. уплаћено је 1200 динара. До којег дана ће овај улог донети 5300 динара

сложеног интереса. Годишња каматна стопа је 20%, а капиталисање континуелно. 8. Зајам од 200000 динара се амортизује за 3 године једнаким полугодишњим ануитетима уз



Jov@'s lectures

4. Крајеви дефинисаности функције 2

3

4

1

x

xy

+= су ∞± , а тачке прекода су оне за које је

иманилац разломка једнак нули. Дакле, у тачкама прекида иманилац разломка је 04 2 =x . Одавде је: 02 =x , тј. x = 0. Дакле, посматраћемо понашање функције у случајевима када

−∞→x , када +∞→x , кад се x приблажава нули са десне стране, тј. кад +→ 0x и када се x

приблажава нули са леве стране, тј. кад −→ 0x . Дакле,

� −∞=+=+

=

+

=+−∞→−∞→−∞→−∞→ 4

1lim

4

1

lim4

1

lim4

1lim

2

3

2

2

2

2

3

2

3 xx

x

x

x

xx

x

x

xxxxx

. Кад −∞→x тада −∞→y

� +∞=+=+

=

+

=++∞→+∞→+∞→+∞→ 4

1lim

4

1

lim4

1

lim4

1lim

2

3

2

2

2

2

3

2

3 xx

x

x

x

xx

x

x

xxxxx

. Кад +∞→x тада +∞→y

� ( )

+∞==⋅+

=+

++→

+

−

+→+→ 0

1lim

04

01lim

4

1lim

02

3

02

3

0 xxx x

x. Кад +→ 0x тј. кад се x приближава нули са десне

стране, тада +∞→y

� ( )

+∞==⋅+

=+

+−→

−

−

−→−→ 0

1lim

04

01lim

4

1lim

02

3

02

3

0 xxx x

x. Кад −→ 0x тј. кад се x приближава нули са леве

стране, тада такође +∞→y


Jov@'s lectures


1. Одредите ранг матрице:

−−

−

=

3231

5213

9404

4211

A .

2. Три радионице ( )3,2,1=iRi фабрике конфекције сашиле су заједно у јануару 4000 мантила. У фебруару су сашиле за 2%, 5% и 8% мање мантила него у јануару и тако приозвеле 3836 мантила. У марту су радионице 1R и 3R повећале своју производњу у односу на јануар за 6%

и 4% респективно, док је радионица 2R произвела исту количину као у јануару. У марту су све три радионице произвеле укупно 4152 мантила. Уз помоћ детерминанти одредите произведене количине мантила у јануару за сваку радионицу посебно.

3. Користећи Гаусов метод елиминације решите следећи систем једначина:

2 73

123

4 52

6

321

321

321

321

=++=++−−=−+

=+−

xxx

xxx

xxx

xxx

4. Испитати раст, опадање, конвексност и конкавност функције: 155 345 ++−= xxxy . 5. За цену од 8=p новчаних јединица тражња је 10 јединица производа, а за цену од 23=p

тражња износи 4 јединице производа. а) Одредити еластичност тражње за цену од 18=p н.ј., ако је функција тражње облика

bapx += . б) Објаснити економски резултат добијен под а). 6. Дате су информације:

( )

( ) 1800010010

900'

=+

=

Tx

xT

Одредити ( )800=xT . 7. Износ од 32000 динара уложен је 3.7.1997. уз полугодишње капиталисање и годишњу стопу

12%. Колико сложеног интереса ће донети до 31.12.2002. године. 8. Зајам треба отплатити једнаким тромесечним ануитетима од 14100,59 динара за једну годину,

уз годишњу каматну стопу од 20% и тромесечно капиталисање. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

3. Користећи Гаусов метод добијамо:

( ) ( )

273

123

452

3- /1 /2- /6

321

321

321

321

=++=++−−=−+

⋅⋅⋅=+−

xxx

xxx

xxx

xxx

⇒

16210

732

1637

6

32

32

32

321

−=−=+

−=−=+−

xx

xx

xx

xxx

. Систем можемо написати:

16210

732

7

10- /

7

2- /1637

6

32

32

32

321

−=−=+

⋅

⋅−=−

=+−

xx

xx

xx

xxx

.

Одавде је:

7

160 16

7

16

7

327

7

27

1637

6

3

3

32

321

+−=

+=

−=−=+−

x

x

xx

xxx

, односно:

7

48

7

16

7

81

7

27

1637

6

3

3

32

321

=

=

−=−=+−

x

x

xx

xxx

. Надаље је:

3

3

1637

6

3

3

32

321

==

−=−=+−

x

x

xx

xxx

. Из последње једначине видимо да систем није противречан. Дакле,

3

3

16337

63

3

3

2

21

==

−=⋅−=+−

x

x

x

xx

⇒

3

3

77

3

3

3

2

21

==

−==−

x

x

x

xx

⇒

( )

3

3

1

31

3

3

2

1

==

−==−−

x

x

x

x

⇒

3

3

1

2

3

3

2

1

==

−==

x

x

x

x

⇒

3

1

2

3

2

1

=−=

=

x

x

x

. Дакле,

решење система је: ( ) ( )3,1,2,, 321 −=xxx .


Jov@'s lectures



=2

3

1

1a ,

=5

1

2

2a ,

=18

17

14

b . у односу на базу јединичних вектора

{ }321 ,, eee . Изразите вектор b помоћу вектора 21,aa и јединичног вектора 3e . 2. У две радионице за један месец поправљено је 540 апарата. Од поправљених апарата, на име

рекламације, у радионице су враћена 24 апарата. Прва радионица је имала 5%, а друга 2,5% апарата на рекламацији. Одредити количину апарата поправљених у појединим радионицама. Постављени систем решити уз помоћ матрица.

3. Гаусовом поступком решите систем једначина:

6 7 3

7 3 2

8

54321

54321

54321

=+−++=+−++=++++

xxxxx

xxxxx

xxxxx

4. Испитати раст и опадање, и наћи екстремне вредности функције: 2221 xxey −+= .

5. Дата је функција тражње px 3144−= . Ако се обим производње рачуна у тонама, а приход

у хиљадама динара, одредити обим производње и продајну цену јединице производа при којима се остварује максималан приход, као и сам тај приход.

6. Дате су информације:

( )

( ) 12

04,0

500300

20'

eT

exT x

==

Одредити ( )xT . 7. Један износ је уложен на камаћење 17.1.1998. године. До 31.12.2001. обрачунат је сложен

интерес од 5410 динара. Капиталисање је тромесечно. Која сума је уложена ако је каматна стопа 16% годишње?

8. Зајам од 20000 динара треба отплатити за 7 месеци једнаким месечним ануитетима, уз

полугодишње капиталисање и 15% камате годишње. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

6. Функцију трошкова добићемо интегралом:

( ) ( ) ( ) =+=+=+= ∫∫∫x

xx

xx

dxeTdxeTdxxTTxT0

04.0

0

04.0

0

200200)('0)(

Интеграл ћемо решити методом смене, где је: tx =04.0 . Одавде је ( ) dtdxx ='004.0 ⇒

dtdx =04.0 ⇒ dtdt

dx 2504.0

== . Нове границе су: 004.0 11 == xt , xxt 04.004.0 22 == . Одавде је:

( ) ( ) ( ) =⋅+=+=⋅+= ∫∫xt

xt

xt eTdteTdteTxT

04.0

0

04.0

0

04.0

0

5000500025200)(

( ) ( ) ( ) ( )150005000 04.0004.0 −⋅+=−⋅+= xx eTeeT

Константу ( )0T ћемо одредити из услова задатка. Како је:

( ) ( ) ( ) 1230004.0 50015000300 eeTT ⋅=−⋅+= ⋅ , то је: ( ) ( ) 1212 50015000 eeT ⋅=−⋅+ , односно,

( ) 1212 5005005000 eeT ⋅=−⋅+ . Одавде је ( ) 5005005005000 1212 =+⋅−⋅= eeT . Дакле,

( ) xx eexT 04.004.0 500500500500 ⋅=−⋅+= , тј. ( ) xexT 04.0500⋅=


Jov@'s lectures



=2

3

1

1a ,

=5

1

2

2a ,

=2

4

3

3a .у односу на базу јединичних вектора{ }321 ,, eee .

Изразите вектор 3a помоћу вектора 21,aa и јединичног вектора 2e . 2. У једној фабрици треба одредити програм производње под следећим технолошким условима:

Постројења Утрошак машинских часова по јединици

производа Капацитети (час) A B C

E1 6 1 3 900 E2 4 3 1 750 E3 3 2 2 680

Капацитете треба искористити у потпуности. Проблем решити помоћу матрица. 3. Користећи Гаусов метод елиминације решите следећи систем једначина:

5645

2432

3523

1

=+−=−+=+−=++

zyx

zyx

zyx

zyx

4. Одредите екстремне вредности и превојне тачке функције 155 345 ++−= xxxy . 5. Дата је функција тражње неког производа: 1201,0 +−= pex .

Применом диференцијалног рачуна одредите максималну вредност укупног прихода, као и одговарајућу тражњу и продајну цену тога производа.

6. Гранични трошкови неке производње су: ( ) 10504' += xxT . И познато је да је

( ) 7000050 ==xT . Одредити ( )xT . 7. Дана 6.12.1997. уложено је 1000 динара. Са којом сумом ће се располагати 31.12.2002.

године, ако је до 5.10.2000. обрачунавана камата уз 18% годишње, а потом је стопа смањена на 9%? Капиталисање је сво време било годишње.

8. Сачинити план амортизације зајма од 6000 динара. Зајам се отплаћује једнаким месечним

ануитетима за 6 месеци уз полугодишње капиталисање и 5% камате годишње.


Jov@'s lectures

8. Z = 6 000

26

12 ==m 50.0041239112

05.0111

6

11

=−

+=−

+=s

c m

pp

p = 5% ( )

12

626

51.004123911

50.004123916000

11 ⋅⋅−⋅⋅−

−⋅=

+−⋅=

gmsc

c

p

pZA

61

6 ==s 651.004123911

50.004123916000 −−

⋅=A

g = 12

6 40.169080536000⋅=A

041,014.4832=A Код рачунања s , капиталисање је полугодишње и зато је у бројиоцу 6. Како су ануитети месечни, у имениоцу је 1. Зато је s = 6. Период (Пол.) ј

Дуг на почетку периода (полугодишта)

1−jD Интерес на

крају периода (полугодишта)

1−⋅= jcj DpI

Отплата на крају периода (полугодишта)

jj IAB −=

1 6,000.00 24.74 989.74

2 5,010.26 20.66 993.82

3 4,016.44 16.56 997.92

4 3,018.52 12.45 1,002.04

5 2,016.48 8.32 1,006.17

6 1,010.32 4.17 1,010.32

∑ 21,072.02 86.90 6,000.00

Провера: а) 1,010.3265 == BD

б) ∑∑==

− =⋅6

1

6

11

jj

jcj IpD ⇒ 21,072.02 ⋅ 0.004123915 = 86.89922655

ц) ∑=

==6

1

6,000.00j

j ZB

д) 6,086.906

1

6

1

=+∑∑== j

jj

j IB

6,086.90041,014.483266 =⋅=⋅ A


Jov@'s lectures

ПИСМЕНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ЕКОНОМИСТЕ 8 1. Испитати линеарну зависност векторског система уз помоћ елементарне базне

трансформације:

=0

12

30

1v ;

=20

0

30

2v ;

=20

12

30

3v .

2. Три машине различитог ефекта рада за 1 час могу произвести укупно 48 комада производа.

Ако прва машина ради 6 часова , а друга 3 часа, њихов заједнички учинак је 120 комада производа. Исти је учинак (120 ком.) ако све три машине раде и то прва 4, друга 2 и трећа 2 часа. Колика је производња на час сваке од мачина посебно? Систем решити уз помоћ детерминанти.

3. Дате су матрице:

=321

012

011

A и

=52

03

21

B .

а) Израчунати BAC ⋅= −1 ! б) Колики је ранг матрице A? в) Да ли матрица A регуларна?

4. Сијалица може припадати трима различитим серијама Ѕ1, Ѕ2 и Ѕ3, при чему је Р(Ѕ1)=0,25;

Р(Ѕ2)=0,5; Р(Ѕ3)=0,25 (вероватноћа да је сијалица произведена у тој серији). Вероватноћа да ће сијалица из прве серије радити одређени број (к) часова је 0,1; из друге серије 0,2; из треће серије 0,4. Колика је вероватноћа да ће случајно изабрана сијалица радити к часова?

5. Дати су следећи подаци:

( )( )

35

6

,3'

,24000'

2000, =

=+−=

=xTE

xxT

xxP

Одредити оптимални обим производње и максималну добит.

6. Дата је функција укупних трошкова производње ( ) baxexT += , где су а и b позитивне константе. Покажите да су минимални просечни трошкови производње једнаки одговарајућим граничним трошковима те производње, на истом нивоу производње.

7. За које ће време износ од 40000 динара уложен у банку уз каматну стопу 6% и годишње

капиталисање да се повећа на 60000 динара. 8. Зајам од 10000 динара амортизује се за 4 месеца једнаким месечним ануитетима уз годишње

капиталисање и 18% камате годишње. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

4. Пошто су вероватноће да је сијалица произведена у одговарајућој серији, 25.0)( 1 =SP ,

5.0)( 2 =SP и 25.0)( 3 =SP , а вероватноћа да ће сијалица радити исправно k часова из тих

серија је 1.0)( 1 =SAP , 2.0)( 2 =SAP и 4.0)( 3 =SAP , вероватноћа да ће случајно изабрана

сијалица радити k часова је добијена формулом тзв. тоталне вероватноће:

)()()()()()()( 332211 SAPSPSAPSPSAPSPAP ⋅+⋅+⋅=

%5.22225.0100.010.0025.04.025.02.05.01.025.0)( ==++=⋅+⋅+⋅=AP


Jov@'s lectures


1. Одредити инверзну матицу, матрице А:

=211

121

112

A .

2. Користећи Гаусов метод елиминације решити следећи систем једначина:

1 4

53 23

0 2 4

102322

4321

4321

4321

4321

=+++=+++=−++=++−

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

3. Одредите област дефинисаности и знак функције: ( )( ) xx

xxxf

4

62

−−+= .

4. Дата је функција укупног прихода ( ) xxxP 2,06300−= . Уз помоћ диференцијалног рачуна

одредите обим производње уз који се постиже максималан приход.

5. Дата је функција граничних трошкова ( )10010

900'

+=

xxT и ( ) 18000 =T . Одредити ( )800=xT .

6. У једно предузеће стигло је 50 комада неког производа. Ако се зна да је 10% производа

неисправно, израчунати вероватноћу да се међу 10 произвољно узетих производа налази баш 2 неисправна производа.

7. Један улог је за 6 година и 3 месеца донео на име сложеног интереса износ величине улога.

Израчунати годишњу каматну стопу ако је капиталисање: а) годишње, б) тромесечно, в) континуелно.

8. Одредите план амортизације зајма од 10000 динара који треба отплатити једнаким

двомесечним ануитетима за годину дана уз полугодишње капиталисање и 18% камате годишње.


Jov@'s lectures

1. Инверзна матрица је:

⋅=−

332313

322212

3121111

det

1

AAA

AAA

AAA

AA

4222118

1

2

1

1

1

2

211

121

112

211

121

112

det =−−−++===A

( ) 31421

121 11

11 =−=−= +A ( ) ( ) 11211

121 32

23 −=−−=−= +A

( ) ( ) 11221

111 21

12 −=−−=−= +A ( ) 12112

111 13

31 −=−=−= +A

( ) 12111

211 31

13 −=−=−= +A ( ) ( ) 11211

121 23

32 −=−−=−= +A

( ) ( ) 11221

111 12

21 −=−−=−= +A ( ) 31421

121 33

33 =−=−= +A

( ) 31421

121 22

22 =−=−= +A

Одавде је:

−−

−−

−−

=

−−−−−−

⋅=−

4

3

4

1

4

14

1

4

3

4

14

1

4

1

4

3

311

131

113

4

11A


Jov@'s lectures


1. Испитати линеарну зависност векторског система:

=3

2

1

1v ;

=5

1

2

2v ;

=7

4

3

3v .

2. Два радника радећи заједно могу да заврше добијени радни задатак за 12 дана. Уколико први

ради 2 дана, а други 3 дана они заврше само 20% читавог посла, односно радног задатка. За колико дана би први радник сам урадио посао? Колико је пак потребно другом да задатак обави сам ?

3. Одредите асимптоте функције: xx

y4

163 −

=

4. Дата је функција укупних трошкова производње ( ) xexT 002,025000= . Покажите да су

минимални просечни трошкови једнаки одговарајућим граничним трошковима, на истом нивоу производње.

5. Дата је функција граничног прихода ( )( )2103

250000'

+=

ppP . Одредити функцију укупног прихода

( )pP . 6. Из скупа од 6 исправних и 5 неисправних производа извлачи се одједном 5 производа.

Колика је вероватноћа да у том узорку буде само исправних производа? 7. Колико сложеног интереса ће бити обрачунато на улог од 10000 динара од 13.4.1998. до

12.9.2000. године, уз годишњу каматну стопу од 12% ако је капиталисање континуелно? 8. Зајам треба отплатити помоћу једнаких тромесечних ануитета од 14852,80 динара, за 2

године уз тромесечно капиталисање и 16% камате годишње. Израдити план амортизације за прву годину.


Jov@'s lectures

7. K = 10000 gpg eKK ⋅⋅=

од 13.04.1998. до У 1998. години улог је стајао дана: 17(апр) + 31(мај) 12.09.2000. + 30(јун) + 31(јул) + 31(авг) + 30(сеп) + 31(окт) + 30(нов) + p = 12% = 0.12 + 31(дец) = 262 дана I = ? 1999. год. - 1 година

У 2000. год. је било 31(јан) + 29(феб) + 31(мар)+30(апр) + +31(мај) +30(јун)+31(јул)+31(авг)+12(сеп) = 256 дана.

23.365,13100001000010000 32900714125.0417261771.212.0366

2561

365

26212.0

=⋅=⋅=⋅= ⋅

++⋅eeeK g

23.365,300.000,1023.365,13 =−=−= KKI g


Jov@'s lectures


1. Испитати линеарну зависност вектора:

−=

3

1

2

1a ;

=2

3

1

2a ;

=3

0

5

3a .

2. За проширење и уређење три приградска насеља вршена су испитивања ради одређивања

потребних средстава за поједине комуналне објекте на јединицу популације (1 јединица популације=500 становника). Добијени су следећи подаци:

Комунални објекти Потрбна средства на јединицу

популације у насељу Расположива

финансијска средства

(у 106 динара) N1 N2 N3

Путеви 1 1 1 60 Градски саобраћај 0 2 4 160 Електрификација 3 0 2 90

Применом матричног рачуна одредите колико је становника могуће сместити у поједина насеља уз услов да сва расположива финансијска средства буду искоришћена у потпуности. 3. Одредити област дефинисаности и интервале монотоности (раст и опадање) функције:

( )x

xxf

−+=

1

1ln .

4. Једначином 084 2 =−+ pxp задата је функција тражње неког производа, где x представља количину производа у хиљадама тона, а p цену у динарима по килограму. Одредити цену p и количину x у условима остварења максималног укупног прихода, као и висину тога прихода.

5. Дате су информације: ( ) 15005,0' += xxT ; 11

62000,

−==xT

E . Одредите функцију укупних

трошкова производње. 6. Неки производ се може произвести на било којој од 4 машине Мi (i=1,2,3,4). Машине могу

произвести дневно 200, 320, 270 и 210 комада производа респективно. Вероватноће производње неисправних производа на појединим машинама су: 2%, 5%, 3% и 1% респективно. Из скупа свих готових производа се насумице вади један производ. Колика је вероватноћа да је извучен неисправан производ?

7. Колико је било уложено 16.1.1995. ако је улог заједно са каматом дана 28.9.2000. износио

13500 динара, а годишња каматна стопа у том периоду је износила 19%? Колика је камата обрачуната?

8. Зајам треба отплатити једнаким месечним ануитетима од 63576 динара за 5 месеци, уз

тромесечно капиталисање и 24% камате годишње. Израдити план амортизације зајма.


Jov@'s lectures

6. Пошто је прва машина произвела 200 комада, друга 320, трећа 270, а четврта 210, вероватноћа да ћемо из групе производа узети производ направљен на првој машини је

2.01000

200

210270320200

200)( 1 ==

+++=HP 32.0

1000

320

210270320200

320)( 2 ==

+++=HP

27.01000

270

210270320200

270)( 3 ==

+++=HP 21.0

1000

210

210270320200

210)( 4 ==

+++=HP .

Вероватноћа неисправног производа произведеног на првој машини је: 02.0%2)( 1 ==HAP .

Такође је: 05.0%5)( 2 ==HAP , 03.0%3)( 3 ==HAP и 01.0%1)( 4 ==HAP . Вероватноћа да ће

бити извучен неисправан производ одређује се формулом тоталне вероватноће:

)()()()()()()()()( 44332211 HAPHPHAPHPHAPHPHAPHPAP ⋅+⋅+⋅+⋅=

01.021.003.027.005.032.002.02.0)( ⋅+⋅+⋅+⋅=AP 0302.00021.00081.0016.0004.0)( =+++=AP

%02.3)( =AP


Jov@'s lectures

ПИСМЕНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ЕКОНОМИСТЕ 12 1. За израду производа Р1 и Р2 користе се сировине Ѕ1 и Ѕ2. За једну јединицу производа Р1

потребно је утрошити 4 јединице сировине Ѕ1 и 5 јединица сировине Ѕ2. За једну јединицу

производа Р2 троши се 3 јединице сировине Ѕ1 и 2 јединице сировине Ѕ2. Од сировине Ѕ1

располаже се са 663 јединице, а од Ѕ2 са 680 јединица. Применом матричног рачуна утврдите

програм производње који омогућује искоришћење расположивих количина сировина у потпуности.

2. Елементарном базном трансформацијом решити следећи систем једначина:

9 2

8423

43 2

=−+=++=++

zyx

zyx

zyx

3. Одредити област дефинисаности и нуле функције ( ) 62

1 +

+= xx

xf .

4. Дата је функција укупних прихода ( ) pppP 8025,0 2 +−= . Помоћу еластичности тражње

одредити максималну вредност укупних прихода. 5. Дате су информације:

( )

( ) 2

002,0

300001000

60'

exT

exT x

===

Одредите функцију укупних трошкова производње ( )xT . 6. Из кутије која саджри 20 сијалица јачине 40W и 30 сијалица од 60W извлачимо 2 сијалице

одједном. Kолика је вероватноћа да ће обе сијалице бити јачине 40W? 7. Колико динара је требало уложити 30.6.1997.г. ако 23.2.2002.г. укамаћена вредност износи

69365,20 динара? Годишња каматна стопа у том периоду је била 11%, а капиталисање континуелно.

8. Зајам се отплаћује за три године једнаким полугодишњим ануитетима од 4409,04 динара, уз



Jov@'s lectures

1. Нека је x број јединица производа 1P , а y број јединица производа 2P . Да би се искористио

у потпуности расположиви капацитет сировина, тада важи систем једначина: 68025

66334

=+=+

yx

yx.

Овај систем ћемо решити матрићном методом. Дати систем можемо написати у облику BXA =⋅ , где је:

=

25

34A ,

=

y

xX ,

=

680

663B . Одавде је: •=⋅ −1 / ABXA

11 BAXAA •=⋅• −− 1 BAXI •=⋅ − 1 BAX •= −

Инверзна матрица је:

⋅=−

2212

21111

det

1AA

AA

AA

715825

34det −=−==A

( ) 221 1111 =⋅−= +A ( ) 331 12

21 −=⋅−= +A

( ) 551 2112 −=⋅−= +A ( ) 441 22

22 =⋅−= +A

−

−

=

−−−

−−

−=

−−

⋅−

=−

7

4

7

57

3

7

2

7

4

7

57

3

7

2

45

32

7

11A

=

=

−

+−

=

⋅−⋅

⋅+⋅−

=

•

−

−

=85

102

7

5957

714

7

272033157

20401326

6807

4663

7

5

6807

3663

7

2

680

663

7

4

7

57

3

7

2

X

Дакле треба направити 102=x јединица производа 1P и 85=y број јединица производа 2P .


Jov@'s lectures


1. За израду производа Р1 и Р2 користе се сировине Ѕ1 и Ѕ2. За једну јединицу производа Р1

потребно је утрошити 4 јединице сировине Ѕ1 и 5 јединица сировине Ѕ2. За једну јединицу

производа Р2 троши се 3 јединице сировине Ѕ1 и 2 јединице сировине Ѕ2. Од сировине Ѕ1

располаже се са 1326 јединице, а од Ѕ2 са 1360 јединица. Применом матричног рачуна

утврдите програм производње који омогућује искоришћење расположивих количина сировина у потпуности.

2. Елементарном базном трансформацијом решити следећи систем једначина:

2

8342

24 3

−=+−−=+−

=−+

zyx

zyx

zyx

3. Наћи екстремне вредности функције: 42

3

−=

x

xy .

4. Гранични трошкови неке производње су ( ) 122,0' += xxT , а трошкови по јединици производа

на нивоу од 20 јединица производа износе 19,25 динара. а) Израчунати и објасити еластичност укупних трошкова производње у односу на обим производње од 40 јединица производа. б) Потврдити аналитички тачност интерпретације дате под а).

5. Дата је функција укупног прихода ( ) pppP 8025,0 2 +−= . Одредити цену за коју се остварује максималан укупан приход, као и максималну вредност укупног прихода.

6. Радник контролише рад трију машина. Вероватноће да у току једног дана неће бити потребно

да поправља машине су: 0,9 за прву, 0,95 за другу и 0,8 за трећу. Колика је вероватноћа да ће бити потребна поправка у току дана на све три машине?

7. Колика камата је обрачуната на износ од 11000 динара у периоду од 18.4.1996.г. до

27.10.1999.г. уз годишњу каматну стопу 12% ако је капиталисање континуелно? 8. Зајам се амортизује за 3 месеца једнаким месечним ануитетима од 3396,791 динара уз

годишње капиталисање и 12% годишње каматне стопе. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

1. Нека је x број јединица производа 1P , а y број јединица производа 2P . Да би се искористио

у потпуности расположиви капацитет сировина, тада важи систем једначина: 136025

132634

=+=+

yx

yx.

Овај систем ћемо решити матричном методом. Дати систем можемо написати у облику BXA =⋅ , где је:

=

25

34A ,

=

y

xX ,

=

1360

1326B . Одавде је: •=⋅ −1 / ABXA

11 BAXAA •=⋅• −− 1 BAXI •=⋅ − 1 BAX •= −

Инверзна матрица је:

⋅=−

2212

21111

det

1AA

AA

AA

715825

34det −=−==A

( ) 221 1111 =⋅−= +A ( ) 331 12

21 −=⋅−= +A

( ) 551 2112 −=⋅−= +A ( ) 441 22

22 =⋅−= +A

−

−

=

−−−

−−

−=

−−

⋅−

=−

7

4

7

57

3

7

2

7

4

7

57

3

7

2

45

32

7

11A

=

=

−

+−

=

⋅−⋅

⋅+⋅−

=

•

−

−

=170

204

7

11907

1428

7

544066307

40802652

13607

41326

7

5

13607

31326

7

2

1360

1326

7

4

7

57

3

7

2

X

Дакле треба направити 204=x јединица производа 1P и 170=y број јединица производа 2P .


Jov@'s lectures

ПИСМЕНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ЕКОНОМИСТЕ 14 1. Одредити ранг векторског система:

=3

0

1

1v ;

=0

2

1

2v ;

=2

4

1

3v

2. Дати систем једначина решити као матричну једначину:

1432

19253

11 32

321

321

321

=++=++=++

xxx

xxx

xxx

3. Одредите област дефинисаности, раст и опадање функције, као и екстремне вредности за

функцију: ( )4

12

2

−+=

x

xxf

4. Дата је функција укупних трошкова ( ) 52 1010 += xxT . Израчунати и објаснити eластичност

укупних трошкова за 80=x . Испитајте да ли је рационално донети одлуку о повећању обима производње са 80 јединица на више.


( )( )

( ) 162501000

20005,0'

400008'

=

+=+−=

T

xxT

ppP

Наћи интервал рентабилне производње. 6. У кутији се налази 12 жутих, 8 црвених и 20 плавих куглица. Извлаче се три куглице

одједном. Колика је вероватноћа да је извучена бар једна плава куглица? 7. Један улог је зе 5 година и три месеца донео на име сложеног интереса износ величине улога.

Израчунати годишњу каматну стопу ако је капиталисање: а) годишње, б) тромесечно, в) континуелно.

8. Зајам од 120000 динара треба отплатити за 7 месеци једнаким месечним ануитетима, уз полугодишње капиталисање и 12% камате годишње. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

8. Z = 120 000

26

12 ==m 40.0097587912

12.0111

6

11

=−

+=−

+=s

c m

pp

p = 12% ( )

12

726

41.009758791

40.00975879120000

11 ⋅⋅−⋅⋅−

−⋅=

+−⋅=

gmsc

c

p

pZA

61

6 ==s 741.009758791

40.00975879120000 −−

⋅=A

g = 12

7 80.14848774120000⋅=A

17,818.53=A Код рачунања s , капиталисање је полугодишње и зато је у бројиоцу 6. Како су ануитети месечни, у имениоцу је 1. Зато је s = 6. Период (Пол.) ј

Дуг на почетку периода (полугодишта)

1−jD Интерес на

крају периода (полугодишта)

1−⋅= jcj DpI

Отплата на крају периода (полугодишта)

jj IAB −=

1 120,000.00 1,171.06 16,647.47

2 120,000.00 - 16,647.47 = 103,352.53 1,008.60 16,809.93

3 103,352.53 - 16,809.93 = 86,542.59 844.55 16,973.98

4 86,542.59 - 16,973.98 = 69,568.61 678.91 17,139.62

5 69,568.61 - 17,139.62 = 52,428.99 511.64 17,306.89

6 52,428.99 - 17,306.89 = 35,122.10 342.75 17,475.78

7 35,122.10 - 17,475.78 = 17,646.32 172.21 17,646.32

∑ 484,661.15 4,729.71 120,000.00

Провера: а) 17,646.3276 == BD

б) ∑∑==

− =⋅7

1

7

11

jj

jcj IpD ⇒ 484,661.15 ⋅ 0.009758794 = 4729.71

ц) ∑=

==7

1

120000j

j ZB

д) 71.729,1247

1

7

1

=+∑∑== j

jj

j IB

124,729.7117818.5377 =⋅=⋅ A


Jov@'s lectures

ПИСМЕНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ЕКОНОМИСТЕ 15 1. Oдредити ранг векторског система:

=3

2

1

1v ;

=5

3

2

2v ;

=4

1

3

3v

2. Одредити инверзну матрицу матрице А и испитати добијени резултат, где је

−=

123

325

210

A

3. Испитати функцију и нацртати график функције ( )x

xxf

12 += .

4. Дата је функција укупних трошкова производње ( ) 62 10240002 ⋅++= xxxT . Одредити и

објаснити еластичност укупних трошкова за онај ниво производње на коме су просечни трошкови најмањи.

5. Дати су следећи подаци:

( )( )

51

11

55'

80001,0'

1000, =

=+−=

=xTE

xT

xxP

Наћи интервал рентабилне производње. 6. У једном предузећу се производе артикли X и Y. Познато је да је од производа X 25%

неисправних, а од производа Y 10% неисправних. Производ Y износи 60% укупне производње. Ако се на случај узме лош производ, колика је вероватноћа да је то производ Y?

7. Дана 17.5.1991. уплаћено је 1200 динара. До којег дана ће овај улог донети 5300 динара

сложеног интереса? Годишња каматна стопа 20%, а капиталисање је годишње. За непотпуне периоде интерес се обрачунава уз помоћ конформне каматне стопе.

8. Зајам се амортизује за 3 године једнаким годишњим ануитетом од 91984,772 динара уз

годићње капиталисање и 18% камате годишње. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

1. Ранг векторског система

=3

2

1

1v ,

=5

3

2

2v ,

=4

1

3

3v се своди на ранг матрице

=453

132

321

A . Одредимо ранг матрице елементарним трансформацијама.

( ) ~1/

510

510

321

~

510

510

321

~

)3(/ )2(/

453

132

321

~

453

132

321

−⋅

−−−−

−−−−

−⋅−⋅

=rangA

( )

−−−⋅

−−−−

000

510

321

~1/

510

510

321

~

Пошто дуж главне дијагонале има два елемента различита од нуле, ранг матрице, тј. векторског система је 2=rangA .


Jov@'s lectures

ПИСМЕНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ЕКОНОМИСТЕ 16 1. Две радионице ( и ) послале су у складиште укупно 20000 комада неког производа.

Радионица имала је 6,25% неисправних производа, а радионица 4,75% неисправних. Уз помоћ детерминанти одредите количину производа послатих из и посебно, ако је укупан број исправних производа 18840.

2. Одредити инверзну матрицу матрице А, где је

−−=112

233

121

A

. 3. Одредите област дефинисаности, раст и опадање функције, као и екстремне вредности за

функцију: ( ) 2

2x

exf−

= .

4. Дата је функција укупних трошкова ( ) 12 2 ++= xxxT . Да ли просечни трошкови расту или опадају при повећању производње са нивоа 5 јединица производа?

5. Дата је функција граничних прихода ( )( )2405,0

50000'

+=

ppP . Одредити и објаснити 20, =pxE .

6. У кутији се налази 12 жутих, 8 црвених и 20 плавих куглица. Извлаче се три куглице

одједном. Колика је вероватноћа да је извучена бар једна црвена куглица. 7. Један улог је за 5 година и 6 месеци донео на име сложеног интереса износ величине улога.

Израчунати годишњу каматну стопу ако је капиталисање а) годишње, б) полугодишње, в) континуелно.


тромесечно капиталисање и 15% камате годишње. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

3. � Како функција није ни у облику разломка, квадратног корена или логаритма, област

дефинисаности је цела x оса, тј. Re: ∈xD . � Раст и опадање одређујемо помоћу знака првог извода функције. Дакле,

22

'22

'

2

2222

22

1

2'

xxxx

exxex

eey−−−−

⋅−=

⋅−⋅=

−⋅=

= . Како је 2

2x

e−

увек веће од нуле

(позитивно) без обзира каквог је знака x , то значи да ће знак првог извода зависити само од члана .x−

-∞ 0

+∞

x− + -

'y + -

y � � � Екстремне вредности функције одређујемо из једначине у којој први извод изједначимо са

нулом. 0' 2

2

=⋅−=−

x

exy ⇒ 0=x . Да би знали да ли је у питању минимум или максимум

функције, треба наћи други извод функције:

'

2

2

''

⋅−=

−x

exy

( ) ( ) =

−⋅⋅−−=

−⋅⋅−−=

⋅−+⋅−=

−−−−−−

22

2'' 22

'222

'

22'

222222

xexe

xexeexexy

xxxxxx

( )122222

222

−⋅=⋅+−=−−−

xeexexxx

Одавде је ( ) ( ) ( ) 0111100'' 22

02

<−=−⋅=−⋅=−

ey . Функција у тој тачки има максимум. Он

износи: ( )1,0maxM


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 20020601 Тест 17

1. Одредити ранг векторског система за векторе:

=2

0

1

a ;

−=

1

0

2

b ;

=1

1

1

c ;

=0

1

0

d

Напишите једну произвољну линеарну комбинацију датих вектора. 2. Два погона (П1, П2) једног предузећа требало је по месечном плану да произведу 360 комада

неког производа. Први погон је испунио план са 112%, а други са 110%, и тако су укупно произвели 400 комада истог производа. Одредити број комада производа у погонима по плану, као и стварно произведене количине производа. Задатак решити применом детерминанти.

3. Испитати парност или непарност функције: x

xy

+−=

2

2log

4. Дата је функција тражње: x =1000- 0,2p. Одредити: а) за коју цену ће укупни приход бити

максималан; б) одредити одговарајућу тражњу и укупан приход. 5. На основу датих информација одредити функцију добити:

( )( )

( ) 61020

10002'

90002'

⋅=+=

+−=

T

xxT

xxP

6. У једној кутији налази се 20 комада ломљивих предмета. 5 комада од њих вреди по 100

динара, 4 комада по 200 динара, 7 комада по 500 динара и 4 комада по 1000 динара. Приликом транспортовања у пакету су случајно сломљена 4 предмета. Колика је вероватноћа да је вредност сваког сломљеног предмета 1000 динара?

7. Обрачунати применом каматног броја укупну камату на дан 31.12.2002. на следеће улоге, уз

годишњу каматну стопу од 27%: 20000 дин Va 18.06.2002. 40000 дин Va 28.08.2002. 90000 дин Va 06.09.2002.

8. Зајам од 200000 динара треба отплатити за 6 месеци месечним једнаким ануитетима, уз



Jov@'s lectures

2. Нека је x број производа предузећа 1P , а y број производа предузећа 2P . Месечни план можемо формирати једначину: 360=+ yx . Након испуњења 112% и 110% плана можемо формирати једначину: 400%110%112 =⋅+⋅ yx . Овим смо добили систем једначина:

4001.112.1

360

=⋅+⋅=+

yx

yx. Детерминанта система је =⋅−⋅== 12.111.11

1.112.1

11sD

02.012.11.1 −=−= . Детерминанте 44003964001.13601.1400

1360−=−=−⋅==xD ,

2.32.40340036012.140040012.1

3601−=−=⋅−==yD . Одавде је

02.0

4

−−==

s

x

D

Dx ,

2002

400 ==x , 1602

320

02.0

2.3 ==−−==

s

y

D

Dy . План производа по плану је био 200=x и 160=y .

Произведене су количине 224200%112%1121 =⋅=⋅= xx и 176160%110%1101 =⋅=⋅= xy


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 20020602 Тест 18 1. Одредити ранг векторског система за векторе:

=

4

3

2

1

a ;

−=

3

5

4

5

b ;

=

11

1

8

7

c

2. Један погон производи вентилаторе. Уколико му је дневна производња 240 комада онда у

уговореном року може да се испоручи купцу 100 комада мање од уговорене количине. У случају да је број дневно произведених вентилатора 275 комада укупно произведена количина вентилатора у предвиђеном року биће за 250 комада већа од уговорене количине. Колико вентилатора треба да испоручи погон купцу по уговору? Колики је уговором предвиђени рок за испоруку вентилатора?

3. Испитати функцију и нацртати њен дијаграм: 75,05,025,0 24 ++−= xxy 4. Дате су функција тражње и функција производне цене производа x:

xxp

px

3000002001,0*

40000200

++=

+−=

Одредити функцију добити и максималну добит. 5. Дате су следеће информације:

( )( ) 40010

3505'

=

+=

T

xxT

где је x обим производње. Одредити функцију укупних трошкова. 6. У сандуку има 6 исправних и 4 неисправна производа. Ако контрола на случајан начин узме 2

производа. колика је вероватноћа да ће један производ бити неиправан? 7. Колико интереса ће бити обрачунато на износ од 12000 динара у периоду од 12.05.1993. до

29.09.2002. уз годишњу каматну стопу од 10%, ако је капиталисање континуелно? 8. Зајам од 30000 динара треба отплатити за 5 месеци, месечним једнаким ануитетима, уз



Jov@'s lectures

5. Функцију укупних трошкова ћемо добити интеграљењем

( ) ( ) ( ) ( ) =++=++=+= ∫∫∫∫xxxx

dxxdxTdxxTdxxTTxT0000

3505035050)('0)(

( ) ( ) ( ) xxTxx

TdxxdxTxTx

xxx

⋅+⋅+=++=++= ∫∫ 3505.203502

5035050)( 2

00

2

00

. Константу ( )0T

ћемо добити из услова ( ) 40010 =T . Зато ћемо одредити функцију просечних трошкова:

( ) ( ) ( ) ( )3505.2

03505.20 2

+⋅+=⋅+⋅+== xx

T

x

xxT

x

xTxT . Дакле,

( ) ( ) ( ) ( )375

10

035025

10

0350105.2

10

010 +=++=+⋅+= TTT

T . Одавде је ( )

40037510

0 =+T ⇒

( )375400

10

0 −=T ⇒

( )25

10

0 =T ⇒ ( ) 25025100 =⋅=T . Функција укупних трошкова је

2503505.2)( 2 +⋅+⋅= xxxT .


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 20020603 Тест 19 1. Решите следећи систем једначина користећи Гаусов метод елиминације:

112

1652

113

=+−=+−−

=++

zyx

zyx

zyx

2. Програм производње једног погона у одређеном временском периоду предвиђа производњу три најважнија резервна дела за тракторе. Ови производи Пи(и=1,2,3) у процесу производње пролазе кроз три машине Мј(ј=1,2,3). Потребно време обраде јединице појединих производа у часовима као и расположиве временске капацитете машина у часовима приказује следећа табела:

Машине Производи Капацитети П1 П2 П3

М1 2 1 3 520 М2 4 2 1 840 М3 4 2 1 460

Применом матрица одредите такав програм производње који омогућује да се у потпуности искористе сви расположиви машински капацитети.

3. Испитати понашање функције у тачкама прекида: 1

12 −

=x

y


250000'

+=

ppP

Одредити функцију укупног прихода P(x). 5. Дата је функција укупних трошкова: ( ) 9002001,0 2 ++= xxxT

Одредити еластичност укупних трошкова за: а) x=290; б) x=300; ц) x=310; и објасните добијени резултат.

6. У једној кутији налази се 6 исправних и 4 неисправна производа. Производи се извлаче

насумице један за другим док се сви не извуку. Колика је вероватноћа да су прво извучени исправни производи, а затим неисправни?

7. Који улог ће донети сложени интерес од 5000 динара за време од 5 година и 100 дана уз

годишњу каматну стопу од 8%, ако је капиталисање полугодишње, уз примену конформне каматне стопе.

8. Зајам треба отплатити једнаким тромесечним ануитетима од 8460,355 динара за једну годину,

уз годишњу каматну стопу 20% и капиталисање тромесечно. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

5. Еластичност укупних трошкова је: dx

dT

T

xE xT ⋅=, .

( ) 2002.09002001.0''2 +=++== xxxT

dx

dT. Одавде је:

( ) =++

+⋅=

++

+⋅=+⋅

++=

100

900002000100

20002

90020100

20100

2

2002.09002001.0 22,

xx

xx

xx

xx

xxx

xE xT

900002000

200022

2

, +++=

xx

xxE xT

а) ( ) 19921.0754100

748200

900002902000290

29020002902290

2

2

, <==+⋅+⋅+⋅=xTE

б) ( ) 1780000

780000

900003002000300

30020003002300

2

2

, ==+⋅+⋅+⋅=xTE

ц) ( ) 10075.1806100

812200

900003102000310

31020003102310

2

2

, >==+⋅+⋅+⋅=xTE


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 20020604 Тест 20

1. Решите следећи систем једначина користећи Гаусов метод елиминације:

525

1

14322

=−+=−−

=++

zyx

zyx

zyx

2. Дати су вектори a и b и матрица А:

=5

2

3

a [ ]214=b

−−−=

321

504

123

A

Покажите да је истинита релација: ( ) ( )AbaAba ⋅⋅=⋅⋅ .

3. Одредите област дефинисаности и нуле функције: 1

ln−

=x

xy

4. Дате су следеће информације:

( )( ) 20001,0'

40000400'

+−=+−=

xxP

ppP

Одредити одговарајуће функције укупних прихода и израчунати и објаснити граничне приходе за 100=x и 120=p .

5. Дата је функција укупних трошкова производње: ( ) baxexT += , где су а и b позитивне

константе. покажите за дату функцију , да је истинита једнакост: 1,, =−xTxT EE

6. У једном погону ради три радника и три раднице. На случај се одабирају три особе. Наћи

вероватноћу да они буду: а) сви радници; б) две раднице и један радник; ц) једна радница и два радника.

7. 5.01.2000. године уложено је 1000 динара, а 2.02.2001. подигнуто 1000 динара. Са којим

износом ће се располагати 31.12.2002. године, ако се обрачунава камата од 8% годишње декурзивно, уз годишње капиталисање. Задатак решити помоћу конформне каматне стопе.

8. Зајам од 200000 динара треба отплатити за 3 године, полугодишњим једнаким ануитетима, уз



Jov@'s lectures

7. 05.01.2000. 10001 =K

02.02.2001. 10002 =K

1=m 08.0%8 ==p

31.12.2002. ?=gK

Како је сума 1K уложена 05.01.2000. стајала до 02.02.2001. и с обзиром да је 2000. година била

преступна, период колико је стајао уложени капитал 1K је 361 (у 2001.) и 33 дана (у 2002.).

Дакле, 365

33

366

3611 +=g . Тог момента њен укамаћени износ је био:

1

111

gm

g m

pKK

⋅

+⋅= . Дакле,

40.108608.110001

08.011000 07675.1365

33

366

361

1 =⋅=

+⋅=+

gK .

Тог дана је подигнуто 10002 =K и на рачуну је остало: 4.86100040.108621 =−=− KK g . Овај

износ је стајао до 31.12.2002., што чини 332 дана у 2001. и целу 2002 годину. Дакле 31.12.2002.

укамаћен износ је био: 08.10008.14.861

08.014.86 909589.1

1365

332

=⋅=

+⋅=+

gK .

K2

K1

05.01.2000 02.02.2001 31.12.2002

Kg


Jov@'s lectures

ПИСМЕНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ЕКОНОМИСТЕ 20020605 Тест 21

1. Дата је функција: ( ) 32 −=x

xf . Одредити

−−

xff

111 .

2. За израду два типа столова Си(и=1,2), користе се две врсте дасака Дј (ј=1,2).

Столови Даске у м3

Д1 Д2 С1 С2

0,075 0,1

0,1 0,05

расположиви капацитети у м3 15 10

Применом Матрица одредите такав програм производње који ће расположиве количине дасака искористити у потпуности.

3. Одредите екстремне вредности,раст и опадање функције: ( ) ( )32 1−= xxf .

4. Дата је функција тражње у инверзном облику x

xp

5,0

1018000−=

Покажите да је за дату функцију истинита релација ( ) ( )pxExpP ,1' +=


( )( ) 6040

20'

==

+=

xT

xxT

Одредите функцију укупних трошкова ( )xT . 6. У кутији се налазе 4 неисправна и 6 исправних артикала. У једном извлачењу на случај су

извучена два артикла. Одредите: а) број свих могућих случајева, б) број случајева код којих су оба артикла неисправна, ц) број случајева код којих су оба артикла исправна, д) број случајева са по једним неисправним и исправним артиклом.

7. Колико интереса ће бити обрачунато на износ од 10000 динара у периоду од 18.4.2002. до

27.10.2004. , уз годишњу каматну стопу од 12% и полугодишње капиталисање? За непотпуне периоде користити конформну каматну стопу.

8. Зајам од 250000 динара амортизује се за две године једнаким месечним ануитетима уз

месечно капиталисање и 10% камате годишње. Израдити план амортизације за прво полугодиште.


Jov@'s lectures

1. Инверзна функција се добија решавањем једначине по x-у, кад од функцијског израза

направимо једначину. Дакле, 32 −=x

y ⇒ 32 += yx

⇒ xy

=+ 3

2 ⇒

3

2

+=

yx . Кад на

крају међусобно заменимо ознаке x-а и y-а, добије се: ( )3

21

+==−

xyxf . Да би израчунали

−−

xff

111 треба најпре израчунати x

x

x

x

xx

f31

231

2

31

211

+=

+=

+=

− . На крају,

( )( ) ( )

x

x

xx

x

x

xx

x

xxff

113

312

932

312

31

31322

331

22111

++⋅=

+++⋅=

+++

=+

+

=

−− .


Jov@'s lectures

ПИСМЕНИ ИСПИТ ИЗ

МАТЕМАТИКЕ ЗА ЕКОНОМИСТЕ 20020606 Тест 22

1. Дата је функција ( )x

xf3

2 += . Одредити

−−

xff

111

2. Одредити ранг векторског система { }fdcba ,,,, за

=3

2

1

a ;

−−−

=6

4

2

b ;

=3

0

2

c ;

=6

2

3

d ;

=9

4

4

f

3. Одредити превојну тачку и конкавност и конвексност функције 45

522 +−

−=xx

xy .

4. Дата је функција тражње у инверзном облику x

xp

20100000−= .

Покажите да је истинита релација ( ) ( )pxExpP ,1' += .


( )( ) 6101,18000

2002,0'

⋅==

+=

xT

xxT

Одредите функцију укупних трошкова ( )xT . 6. Производи се набављају у три фабрике. Вероватноћа да је производ из прве фабрике

исправан је 0,9; да је исправан из друге фабрике је 0,8; а да је исправан из треће фабрике је 0,75. Колика је вероватноћа да се из прве и друге фабрике добијају исправни производи, а из треће неисправни?

7. Пре осам година уложено је 12000 динара, пре пет година уплаћено је још 4000 динара, а пре

две године исплаћено је 7000 динара. Којим укамаћеним износом ће се располагати четири године након последњег плаћања? Капиталисање је полугодишње, а годишња каматна стопа 10%.

8. Зајам од 200000 динара амортизује се за три године једнаким полугодишњим ануитетима, уз

полугодишње капиталисање и 18% камате годишње. Израдити план амортизације


Jov@'s lectures

2. Одређивање ранга векторског система

=3

2

1

a ,

−−−

=6

4

2

b ,

=3

0

2

c ,

=6

2

3

d ,

=9

4

4

f , се своди

на одређивање ранга матрице

−−−

96363

42042

43221

. Дакле, користећи елементарне

трансформације над матрицом, добијамо: ~

)3(/ )2(/

96363

42042

43221 −⋅−⋅

−−−

~)1(/

11100

11100

43221

~

11100

11100

43221

~

)3(:/

)4(:/

33300

44400

43221

~ −⋅

−

−

−−

−−−−−−

−

−

−

00000

11010

43221

~

00000

11100

43221

~ . Како дуж главне дијагонале има два елемента

разлилита од нуле, то значи: 2=rangA .


Jov@'s lectures


1. Решити следећи систем једначина применом матрица:

2 2

14 4

2525

=−=++=+−

zx

zyx

zyx

2. Одредити ранг векторског система { }cba ,, где

=

5

4

3

2

1

a ;

−=

0

1

4

3

2

b ;

=

0

0

0

6

3

c

3. Испитати понашање функције x

xy

12 += на крајевима интервала дефинисаности.

4. Дата је функција укупних трошкова производње ( ) 10002 += xxT . Покажите да су минимални

просечни трошкови једнаки граничним трошковима на истом нивоу производње. 5. Дате су информације:

( )( )

35

6

3'

24000'

2000, =

=+−=

=xTE

xxT

xxP

а) Одредите оптимални обим производње и максималну добит, б) Израчунајте интервал рентабилне производње.

6. Одређени артикал производи се у једној фабрици на 4 машине. Прва машина производи 23%,

друга 33%, трећа 27% и четврта 17% артикала. Неисправних производа по машинама је 2%, 3%, 4% и 5% респективно. Наћи вероватноћу да је случајно изабрани поризвод исправан.

7. Једна трећина износа од 60000 динара била је под интересом 1,5 година, две петине су биле 4

месеца, а остатак 80 дана. Рачуна се прост интерес од 4%. Одредите укупан интерес. 8. Зајам се амортизијуе за 4 године једнаким годишњим ануитетом од 169376,69 динара уз

годишње капиталисање и 25% годишње камате. Одредити величину зајма и израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

6. Пошто је прва машина произвела 23%, вероватноћа да ћемо из групе производа узети производ направљен на првој машини је 23.0%23)( 1 ==HP . Такође важи и за другу, трећу и

четврру машину: 33.0%33)( 2 ==HP , 27.0%27)( 3 ==HP и 17.0%17)( 4 ==HP . Вероватноћа

исправног производа на првој машини је: 98.002.01%21)( 1 =−=−=HAP . Такође је:

97.003.01%31)( 2 =−=−=HAP , 96.004.01%41)( 3 =−=−=HAP и

95.005.01%51)( 4 =−=−=HAP . Вероватноћа да ћемо из групе производа узети исправан

производ је добијена формулом тзв. тоталне вероватноће:

)()()()()()()()()( 44332211 HAPHPHAPHPHAPHPHAPHPAP ⋅+⋅+⋅+⋅=

1615.02592.03201.02254.095.017.096.027.097.033.098.023.0)( +++=⋅+⋅+⋅+⋅=AP9662.0)( =AP

%62.96)( =AP


Jov@'s lectures


1. Наћи инверзну функцију функције ( ) ( )65log2 += xxf и израчунати ( )81−f .

2. Фабрика аутомобила израђује две врсте возила у два базична погона. Технолошки услови производње као и добит по јединици производа (1 јединица =200 возила), дати су следећом табелом

Погони Ангажовање капацитета у % по јединици производа

Укупно раположиви капацитети у % камиони камионети

I II

8,25 7,5

3,5 5,0

100 100

Добит по једном производу у милионима динара

1 0,6

Елементарном базном трансформацијом одредите онај програм производње који омогућује да се капацитет И погона искористи са 86%, а другог са 80%. За добијени производни програм одредите укупну добит фабрике.

3. Дата је функција ( ) ( )12 2 ++= − xxexf x . Одредите ектремне вредности дате функције.

4. Дате су функција тражње и функција производне цене јединице производа x:

xxp

px

3000002001,0*

40000200

++=

+−=

Одредите функције укупног прихода ( )pP и ( )xP и функцију укупних трошкова ( )xT

5. Дата је фукција граничних прихода ( )( )2405,0

50000'

+=

ppP . Покажите да за дату функцију важи

релација ( ) ( )pxExpP ,1' += .

6. Један производ се може произвести на било којој од 4 машине Ми(и=1,2,3,4). Машине могу произвести дневно 200, 300, 270 и 210 комада производа респективно. Вероватноће производње неисправних производа су 2%, 5%, 3% и 1% респективно. Из скупа готових производа извучен је насумице један производ и утврђено је да је он исправан. Колика је вероватноћа да је он произведен на другој машини?

7. Колико интереса ће бити обрачунато на износ од 11000 динара у периоду од 18.4.2002. до 27.10.2004. уз годишњу каматну стопу од 12%, ако је капиталисање полугодишње уз примену конформне каматне стопе?

8. Зајам од 100000 динара треба отплатити за 2 године једнаким тромесечним ануитетима, уз полугодишње капиталисање и 16% камате годишње. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

7. 11000=K

−

+⋅=−

+⋅=−=⋅⋅

111gmgm

g m

pKK

m

pKKKI

од 18.04.2002. до У 2002. години улог је стајао дана: 27.10.2004. 12(апр)+31(мај) + 30(јун) = 73 дана (од 181 дан) p = 12% = 0,12 Пуних периода (полугодишта): I = ? од 1.7.2002 год. до 30.6.2004. год. 4 полугодишта

У 2004. год. је било 31(јул) + 31(авг) + 30(сеп) + 27(окт) = 119 дана. (од 184 дана у том полугодишту)

Одавде је:

( ) ( ) =−⋅=−⋅=

−

+⋅=++

13421343366.111000106.11100012

12.0111000 050054.5184

1194

181

73

I

48.37633421343366.011000 =⋅= . Дакле, 48.3763=I


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 25 1. Три радионице Ri(i=1,2,3) једне фабрике сашиле су у јануару заједно 4000 мантила. У

фебруару су сашиле за 2%, 5% и 8% респективно мање него у јануару, и тако произвеле укупно 3836 мантила. У марту су радионице R1 и R3 повећале производњу у односу на јануар за 6% и 4% респективно, док је радионица R2 произвела исту колишину као и у јануару. У марту су све три радионице заједно произвеле укупно 4152 мантила. Применом детерминанти одредите произведене количине мантила за сваку радионицу посебно. Одредите производње појединих радионица у фебруару и у марту.

2. Одредите знак функције, област дефинисаности и испитајте парност функције: 4

12

2

−−=

x

xy .

3. Наћи вредност функције y када : 2→x :

4

652

2

−+−=

x

xxy

4. Дата је функција укупних трошкова: ( ) xexT 005,02000= Показати да је истинита следећа

релација: ( ) ( )( )xT

ExTxT,

1' +=

5. Дата је функција тражње: 503

80000

+=

px Одредите еластичност тражње за цену p=50 новчаних

јединица. Објасните и аналитички проверите добијени резултат. 6. Одређени артикал се у једној фабрици производи на три машине. Прва машина производи

50%, друга 30%, а трећа 20% артикала. Неисправних производа на машинама има 3%, 4% и 5% респективно. Наћи вероватноћу да је случајно изабрани производ исправан.

7. На улог од 25000 динара обрачуната је камата од 10000 динара за време од 8 година и 6

месеци. Којом годишњом каматном стопом је вршено камаћење ако је капиталисање: а) полугодишње, б) континуелно.

8. Зајам од 2000000 динара треба отплатити за 3 године једнаким полугодишњим ануитетима,

уз полугодишње капиталисање и 18% камате годишње. Израдити план амортизације.


Jov@'s lectures

3. Кад заменимо у функцијски израз x = 2, добијемо неодређени израз облика 0

0. Да би се

решили неодређености, раставићемо на чиниоце и именилац и бројилац разломка. Бројилац разломка ћемо раставити на чиниоце као квадратни трином:

( )( )212 xxxxacbxax −−=++ , где су x1,2 решења једначине која се направи од тринома.

Дакле, 0652 =+− xx ⇒ 2

15

2

242552,1

±=−±=x . 32

151 =+=x и 2

2

152 =−=x . Именилац

разломка ћемо раставити на чиниоце као разлику квадрата. Одавде је:

Функција изгледа: ( )( )( )( ) 4

1

4

1

22

32

2

3lim

22

32lim

4

65limlim

222

2

22−=−=

+−=

+−=

+−−−=

−+−=

→→→→ x

x

xx

xx

x

xxy

xxxx


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 26 1. Фабрика аутомобила израђује три врсте аутомобила у три базична погона. Технолошки

услови производње као и добит по јединици производа (1 јед. = 500 возила) дати су : Погони Ангажовање капацитета у % по јед. производа,

типа: Укупно распо-ложиви капацитет

Лака пут. возила Лимузине Камионети I 2 3 7,5 100% II 6 5 2,5 100% III 10 1 5 100%

Добит по јед. 30 50 70

Елементарном базном трансформацијом одредите онај програм производње који омогућује да се сви расположиви капацитети искористе у потпуности. За добијени производни програм одредите укупну добит фабрике аутомобила.

2. Испитати парност и одредити област дефинисаности и асимптоте функције: 12 +

=x

xy

3. Наћи екстремну вредност функције: 1

2

−=

−

x

ey

x

4. Дата је функција добити и инверзни облик функције тражње: ( ) 6400004004 2 −+−= xxxD

( ) 60003 +−= xxp Доказати да су минимални просечни трошкови једнаки граничним трошковима на оном нивоу производње на коме су просечни трошкови минимални.

5. На основу датих информација одредите интервал рентабилне производње: ( ) 60002' +−= ppP

( ) 12002' += xxT

3,12000, ==xTE

6. Из скупа од 4 исправних и 5 неисправних производа извлаче се одједном 4 производа. Колика је вероватноћа да у том узорку буде више неисправних него исправних производа?

7. Дана 17.04.2001. уплаћен је улог од 30000 динара. Којим износом ће се располагати 20.05.2003. године уз годишњу каматну стопу 8%, ако је капиталисање годишње, уз обрачун конформне каматне стопе?



Jov@'s lectures

8. Z = 300 000

2=m 014466592.012

18.0111

6

11

=−

+=−

+=s

c m

pp

p = 18% ( )

12

526

014466592.11

014466592.0300000

11 ⋅⋅−⋅⋅−

−⋅=

+−⋅=

gmsc

c

p

pZA

61

6 ==s 5014466592.11

014466592.0300000 −−

⋅=A

12

5=g 20876306.0300000⋅=A

92.65628=A Код рачунања s, капиталисање је полугодишње и зато је у бројиоцу 6. Како су ануитети месечни, у имениоцу је 1. Зато је s = 6. Период (Месец)

ј

Дуг на почетку периода (месец)

1−jD

Интерес на крају

периода (месец)

1−⋅= jcj DpI

Отплата на крају периода

(месец)

jj IAB −=

1 300 000 4 339.98 58 288.94

2 300 000 - 58 288.94= 241 711.06 3 496.74 59 132.18

3 241 711.06 - 59 132.18 = 182 578.88 2 641.29 59 987.62

4 182 578.88 - 59 987.62 = 122 591.26 1 773.48 60 855.44

5 122 591.26 - 60 855.44 = 61 735.82 893.11 61 735.81

∑ 908 617.02 13 144.6 299 999.99

Провера: а) D4 = B5 = 27 099.81

б) ∑∑==

− =⋅5

1

5

11

jj

jcj IpD ⇒ 908 617.02 ⋅ 0.014466592 = 13 144.59

ц) ∑=

==5

1

300000j

j ZB

д) ∑ ∑= =

=+5

1

5

1

59.313144j j

jj IB

59.31314492.6562855 =⋅=⋅ A


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 27 1. Решите применом матрица следећи систем једначина:

92834

133 22

9545

=++=+=++

zyx

yx

zyx

2. Испитати ранг матрице А помоћу трансформације матрице:

−−

−−−

=5

2

1

341

242

121

A

3. Одредите тачке инфлексије следеће функције: 12 +

=x

xy

4. Дата је функција тражње: 40

20000

+=

px Одредите еластичност тражње за цену p+60 новчаних

јединица, објасните и аналитички проверите добијени резултат. 5. За дате релације одредите функцију укупних трошкова Т(x):

( ) 105,02000' += xexT

( ) 2020020 eT = 6. Одређени артикал се у једној фабрици производи на три машине. Прва машина производи

50%, друга 30%, а трећа 20% артикала. Неисправних производа на машинама има 3%, 4% и 5% респективно. Наћи вероватноћу да је случајно изабрани производ неисправан

7. Дана 18.03.1998. уплаћен је улог од 1000 динара. Којим износом ће се располагати

17.09.2002. године уз годишњу каматну стопу 16%, ако је капиталисање тромесечно, уз обрачун конформне каматне стопе?

8. Зајам од 24500 динара треба отплатити за 4 године једнаким месечним ануитетима, уз

годишње капиталисање и 30% камате годишње. Израдити план амортизације за прва три месеца.


Jov@'s lectures

2. Радећи трансформације над матрицом у циљу добијања елемената различитих од нуле дуж главне дијагонале, добијамо:

↵

−⋅↵−⋅

−−

−−−

=)1(/)2(/

5

2

1

341

242

121

A ~

−

−−

−

6

0

1

220

000

121

~

−−−−

0

6

1

000

220

121

Пошто дуж главне дијагонале постоје два елемента различита од нуле, то значи да је 2=rangA .


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 28 1. Фабрика аутомобила израђује две врсте аутомобила у два базична погона. Технолошки

услови производње као и добит по јединици производа (1 јед. = 500 возила) дати су : Погони Ангажовање капацитета у % по јед.

производа, типа: Укупно распо-ложиви капацитет

Лака пут. возила Лимузине

I 8,25 3,5 100% II 8,5 6 100%

Добит по јед. 12 7

Помоћу матрица одредите онај програм производње који омогућује да се капацитет погона I искористи са 80%, а II са 92%. За добијени производни програм одредите укупну добит фабрике аутомобила.

2. Одредите нуле и знак следеће функције: 12

22

2

−+−+=

xx

xxy .

3. Наћи екстремну вредност функције: 1

2

−=

x

xy .

4. Дата је функција укупних трошкова: ( ) 9002001,0 2 ++= xxxT . Одредите онај обим производње за који су минимални просечни трошкови једнаки граничним трошковима, затим израчунати еластичност просечних трошкова у том случају.


800000'

+=

ppP . Наћи функцију тражње облика

( )pfx = . Одредити еластичност тражње за цену п+40 новчаних јединица и објаснити добијени резултат.

6. У једној радионици производе једну врсту робе у три смене. Једног дана од укупне производње произвели су у првој смени 40%, у другој 30%, а у трећој смени 30% производа. У првој смени било је 5%, у другој 7%, а у трећој смени 10% неисправних производа. Колика је вероватноћа да је узета роба исправна?

7. Који улог ће донети сложени интерес од 5000 динара за време од 5 година и 100 дана уз годишњу каматну стопу од 8%, ако је капиталисање полугодишње, уз примену конформне каматне стопе?



Jov@'s lectures

4. Просечни трошкови су: x

xx

xx

x

xTxT

9002001,0

9002001,0)()(

2

++=++== . Минимални

просечни трошкови се добијају за случај када је 0)( ' =xT . Дакле,

( ) ( ) =+=+=

++= −− '1'1'

90001,090001,0900

2001,0)(' xxx

xxT

2

2

22 90001,01

90001,0)1(90001,0x

x

xx

−=⋅−=⋅−⋅+= −

090001,0

2

2

=−x

x ⇒ 090001,0 2 =−x ⇒ 90001,0 2 =x ⇒

01,0

9002 =x ⇒ 900002 =x ⇒

900002,1 ±=x ⇒ 300=x . Ово је обим производње при коме су просечни трошкови

минимални. Минимални просечни тошкови су 2632000,3300

9002030001,0)300( =++=++⋅=T

Гранични трошкови су: ( ) 2002,09002001,0)(''2 +=++= xxxxT

Обим производње при коме су минимални просечни тошкови једнаки граничним је:

26)300(2002,0)(' ==+= TxxT ⇒ 202602,0 −=x ⇒ 3002

600

02,0

6 ===x

Еластичност просечних трошкова је:

2

2

,

90001,0900

2001,0 x

x

xx

xE

xT

−⋅++

=

2

2

2,

90001,0

9002001,0 x

x

x

xx

xE

xT

−⋅++

=

9002001,0

90001,090001,0

9002001,0 2

2

2

2

2

2

, ++−=−⋅

++=

xx

x

x

x

xx

xE

xT

=++⋅

−⋅=+⋅+⋅

−⋅== 90060009000001,0

9009000001,0

9003002030001,0

90030001,02

2

300,xTE

07800

0

900600000,900

90000,900 ==++

−=


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 29 1. Један погон фабрике ципела производи серијски мушке, женске и дечије ципеле. За

производњу једне серије мушких ципела потребно је употребити 5 m2 сировине S1, 4 m2 сировине S2 и 20 часова радног времена. За производњу једне серије женских ципела потребно је употребити 3 m2 сировине S1, 2 m2 сировине S2 и 8 часова радног времена. За производњу једне серије дечијих ципела потребно је употребити 2 m2 сировине S1, 1 m2 сировине S2 и 5 часова радног времена. У једном периоду погон располаже са 2800 m2 сировине S1, 2100 m2 сировине S2 и 10100 часова радног времена. Елементарном базном трансформацијом одредите онај програм производње погона који ће у потпуности искористити расположиве капацитете свих ресурса.

2. Наћи све асимптоте функције: 2

2

6

21

xx

xxy

−−−= .

3. Одредите екстремне вредности функције: 8

42 +

=x

y

4. Дате су функција тражње и функција производне цене јединице производа x:

40000200 +−= px

xxp

3000002001,0* ++=

а) Одредите еластичност укупних прихода за цену p=160. Добијени резултат објасните економски и аналитички је проверите.

б) Одредите еластичност укупних и просечних трошкова за x=8000. Добијени резултат објасните економски и аналитички је проверите.

5. За дате информације одредите интервал рентабилне производње:

270005,0 +−= px

( ) 140004' += xxT

18,01000, ==xTE

6. Имамо 6 исправних и 5 неисправних производа. Ако узмемо на срећу 5 производа, колика је

вероватноћа да ћемо узети бар 1 неисправан производ? 7. Колико динара је уложено 30.06.1997. године ако је 23.02.2002. године укамаћена вредност

износила 69365,20 динара? Годишња каматна стопа је 11%, а капиталисање: а) тромесечно, конформном каматном стопом; б) континуелно.

8. Зајам од 100000 динара треба отплатити за 5 година једнаким годишњим ануитетима, уз



Jov@'s lectures

2. Асимптоте. А) Хоризонтална:

∞=−

−=−

−−=

−

−−=

−

−−

=−

−−∞→∞→∞→∞→ 00

161

111

lim6

1

lim6

1

lim6

1lim

2

23

3

2

3

3

3

33

3

2

3

3

2

3

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

xx

xx

xxxxxx

тј. нема хоризонталне асимптоте. Б) Вертикална: Вертикална асимптота постоји у тачкама прекида функције дате у облику разломка. Тачке прекида функције добијамо кад је иманиоц разломка једнак нули, тј.

06 2 =− xx ⇒ ( ) 061 =− xx ⇒ 01 =x ∨ 061 =− x

Вертикалне асимптоте су: 01 =x и 6

12 =x

Ц) Коса асимптота је права облика y = кx + н, где је x

xfk

x

)(lim

∞→= , а [ ]kxxfn

x−=

∞→)(lim . Одавде је:

( ) =−

−−=

−

−−

=−

−−=−

−−=−−−

=∞→∞→∞→∞→∞→

3

3

3

2

3

3

33

3

32

3

3

32

3

2

32

3

6

1

lim6

1

lim6

1lim

6

1lim6

1

lim

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

xx

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

kxxxxx

6

1

61

111

lim23

=−

−−=

∞→

x

xxx

( ) ( ) =−

+−−−=−

−⋅−−−⋅=

−

−−−=

∞→∞→∞→ 2

323

2

23

2

3

6

6666lim

6

616lim

6

1

6

1lim

xx

xxxx

xx

xxxxxx

xx

xxn

xxx

6

1

61

166

lim6

66

lim6

66

lim6

66lim

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

=−

−−=

−

−−=

−

−−

=−

−−=∞→∞→∞→∞→

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

xx

xx

xxxxxx

Коса асимптота је: 6

1

6

1 += xy


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 30 1. Фабрика аутомобила израђује три врсте аутомобила у три базична погона. Технолошки

услови производње као и добит по јединици производа (1 јед. = 750 возила) дати су : Погони Ангажовање капацитета у % по јед.

производа, типа: Укупно распо-

ложиви капацитет Лака пут. возила Лимузине Камионети

I 2 5 4 100%

II 3 4 1 100%

III 1 6 3 100%

Добит по јед. 80 160 270

Применом матрица одредите онај програм производње који омогућује да се расположиви капацитети погона I, II и III искористе респективно са 100%, 97% и 83%.

2. Одредите знак функције: 2

2

6

21

xx

xxy

−−−= .

3. Одредите област дефинисаности, и интервале монотоности (раст и опадање) функције: ( )12 2 ++= − xxey x

4. Дата је функција тражње једног производа: ( ) 1802 +−= ppx . Помоћу диференцијалног рачуна одредите максималну вредност укупног прихода, као и одговарајућу тражњу и продајну цену тога производа.

5. Дата је функција граничних прихода: ( ) 4004' +−= xxP . У односу на који ниво производње је

еластичност укупног прихода: 3

2, =xPE . Објасните добијени резултат, затим аналитички

проверите тачност датог објашњења.

6. Имамо 6 исправних и 5 неисправних производа. Ако узмемо на срећу 5 производа, колика је вероватноћа да ћемо узети бар 1 исправан производ?

7. У једном четворогодишњем периоду на почетку сваке године уложен је у банку износ од 20000 динара уз 25% годишње камате и годишњег капиталисања. Са којим износом се располаже на крају пете године?

8. Одредите план амортизације зајма од 18000 динара који треба отплатитиједнаким полумесечним ануитетима за 3 месеци уз тромесечно капиталисање и 25% камате годишње.


Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 31 1. Фабрика возила израђује три врсте камиона Ки(и=1,2,3) у три базична погона. Технолошки

услови производње као и добит по јединици производа (1 јед. = 750 камиона) дати су : Погони Ангажовање капацитета у % по јед. производа, типа: Укупно распо-

ложиви капацитет К1 К2 К3 I 2 4 6 100% II 6 2 8 100% III 4 10 4 100%

Применом матрица одредите онај програм производње камиона који омогућује да се расположиви капацитети погона I, II и III искористе респективно са 28%, 34% и 36%. Инверзну матрицу одредите елементарном базном трансформацијом.

2. Одредите област дефинисаности и пресеке са координатним осама за: 44

52 ++

=xx

xy

3. Одредите екстремне тачке функције: xx

y4

163 −

=

4. Дата је функција укупних трошкова: ( ) 90020100

2

++= xx

xT где је x обим производње.

Одредите елстичност укупних трошкова за: а) x=290; б) x=300; ц) x=310. Извући закључке у вези са производњом.

5. Дате су следеће информације: ( ) 24000' +−= xxP

( ) xxT 3' =

35

62000, ==xTE

Одредите оптимални обим производње и максималну добит и израчунајте интервал

рентабилне производње.

6. У једној радионици производе једну врсту робе у три смене. Једног дана од укупне

производње произвели су у првој смени 40%, у другој 30%, а у трећој смени 30% производа.

У првој смени било је 5%, у другој 7%, а у трећој смени 10% неисправних производа. Колика

је вероватноћа да је узета роба неисправна?

7. Дана 16.02.1999. дато је на камаћење 8000 динара. Уз коју годишњу каматну стопу ће овај

износ порасти за 5617,64 динара за време до 17.09.2002. године, ако је капиталисање

континуелно?

8. Зајам од 200000 динара треба отплатити за 3 године једнаким полугодишњим ануитетима, уз



Jov@'s lectures

МАТЕМАТИКА ЗА ЕКОНОМИСТЕ 32 1. Користећи Гаусов поступак елиминације решите следећи систем једначина:

8423

43 2

9 2

=++=++=−+

zyx

zyx

zxx

2. Наћи све асимптоте и испитати парност функције: 2

3

1 x

xy

−= .

3. Одредите екстремне вредности функције: 2

3

3 x

xy

−−= .

4. Дата је функција укупних трошкова: ( ) xexT 005,080000= . Покажите да су минимални просечни трошкови једнаки граничним трошковима те производње.

5. Дата је функција тражње у инверзном облику: x

xp

4020000−= . Одредите еластичност

тражње за цену p=60 новчаних јединица и објасните добијени резултат. 6. Имамо 6 исправних и 5 неисправних производа. Ако узмемо на срећу 5 производа, колика је

вероватноћа да ће сви бити исправни? 7. Колико сложеног интереса ће бити обрачунато на улог од 12000 динара који је камаћен од

17.05.1993. године до 20.09.2002. године уз годишњу каматну стопу од 20%, ако је капиталисање континуелно?



Documents

My ST Econom Zbi01 Free - matema.rs · он произведен на првој машини . 5. Дата је функција укупних трошкова производње