n +1 n - 1 t + Trepository.unair.ac.id/25578/13/13. Bab 4.pdf · 2016. 7. 25. · Untuk n = 0,1,2 disubstitusikan pada persamaan 4.2 diperoleh hasil sebagai berikut : ... pelayanan

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Distribusi probabilitas banyaknya pelanggan dalam sistem antrian

M/M/1/K

Pada model antrian, kedatangan pelanggan dalam sistem antrian dan kepergian

pelanggan yang telah dilayani dari sistem antrian mengikuti proses input-output.

Untuk mendapatkan rumusan probabilitas banyaknya pelanggan dalam sistem

antrian M/M/1/K sebanyak n pelanggan (Pn) dilakukan melalui penguraian Pn

pada proses input-output.

Penguraian Pn pada proses Input Output diperoleh melalui uraian berikut:

Gambar 6. Diagram Transisi Proses Input Output

Dengan menggunakan persamaan Chapman Kolmogorov (2.4) dan asumsi

proses input output pada subbab (2.4) maka berdasarkan gambar 6 dapat ditulis :

n +1

n

n - 1

n

0 t t + T

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Skripsi PENENTUAN KAPASITAS PENGANTRI OPTIMAL DALAM SISTEM ANTRIAN M/M/1/K

Francisca Maria Ratna Andini

(4.1)

Jika kedua ruas pada persamaan 4.1 dibagi dengan dan untuk maka

diperoleh:

Atau dapat ditulis

Kondisi Steady State atau mensyaratkan yaitu




membuat penulisan

Pn-1 (t) menjadi Pn-1

Pn (t) menjadi Pn

Pn+1 (t) menjadi Pn+1

Sehingga diperoleh:

(4.2)

Untuk n = 0,1,2 disubstitusikan pada persamaan 4.2 diperoleh hasil sebagai

berikut :

1. Untuk n=0 Pn-1 = 0 , ,

dari persamaan (4.2) didapatkan:

(4.3)

2. Untuk n=1

dari persamaan (4.2) dan (4.3) didapatkan:

(4.4)

3. Untuk n=2

dari persamaan (4.2), (4.3), dan (4.4) didapatkan:




(4.5)

Secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut:

(4.6)

Jika diasumsikan bahwa : , k-1

, k

maka

(4.7)

Menentukan P0 dengan menggunakan Hukum Total Probabilitas

sehingga

(4.8)




Maka dari persamaan (4.7) dan (4.8) didapatkan:

, n = 1,2, …., k (4.9)

4.2 Ukuran performansi di dalam sistem antrian M/M/1/K

Setelah mendapatkan Pn maka langkah selanjutnya adalah memperoleh ukuran

performansi pada teori antrian M/M/1/K :

a. Menentukan rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem antrian (Ls) dengan batas

maksimum tempat antrian sebesar K.

Ls = E(n)

=

=

=

=




= (4.10)




b. Menentukan rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)




(4.11)

c. Menentukan rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam sistem antrian (Ws)




(4.12)

e. Menentukan rata-rata waktu pelanggan dalam tempat antrian (Wq)

Wq = (rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam sistem antrian) – (waktu dalam

pelayanan)

(4.13)

5. Kapasitas pengantri optimal dalam sistem antrian M/M/1/K.

Jika ρ diketahui, kapasitas sistem optimal dapat diperoleh melalui dua kriteria,

yaitu :

a. Menentukan nilai K sedemikian hingga ketika nilai K diperbesar maka nilai Lq

tidak naik signifikan atau bernilai konstan. Untuk menentukan K optimal akan

dihitung dengan bantuan software S-Plus dengan algoritma sebagai berikut :

1. Input nilai ρ dan n (misal: n = 200 )

2. Hitung Lq (k), untuk k = 1,2, … ,n

3. Tentukan LQM =

4. Untuk k = 1,2, … ,n

Jika = LQM maka:

(i) Kopt = k

(ii) break




5. Tampilkan K optimal adalah Kopt

b. Jika ditentukan nilai Pb (probabilitas pelanggan ditolak) maka akan

didapatkan nilai k optimal yaitu nilai k yang memenuhi dan dengan

Persamaan di atas dapat diuraikan menjadi :

Jadi, jika ditentukan nilai Pb maka diperoleh :

(4.14)

4.4 Menerapkan antrian tipe M/M/1/K pada data real.

Setelah mendapatkan rumusan performansi pada sistem antrian M/M/1/K

maka selanjutnya rumusan tersebut akan diimplementasikan pada data real

sehingga dilakukan penelitian dan perhitungan sebagai berikut :

1. Pengumpulan Data

Pengumpulan data ini diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Mencatat banyaknya kedatangan pelanggan setiap 20 menit sehingga

diperoleh data banyaknya kedatangan per 20 menit




b. Mencatat banyaknya pelayanan pelanggan setiap 20 menit. Waktu

pelayanan pelanggan dimulai pada saat pelanggan dilayani oleh dokter

sampai selesai.

2. Pengujian Distribusi

Menguji data banyaknya kedatangan pelanggan dan data banyaknya

pelanggan dilayani setiap 20 menit. Berdasarkan lampiran 3 dengan

bantuan software SPSS 14, diperoleh nilai p-value untuk data banyaknya

kedatangan pelanggan sebesar 0.176 dan untuk data banyaknya pelanggan

dilayani sebesar 0.333 Dengan α = 0.05 maka p-value kedua data tersebut

lebih besar dari α sehingga terbukti bahwa data banyaknya kedatangan

pelanggan data banyaknya pelanggan dilayani berdistribusi Poisson.

b. Menghitung nilai performansi pada antrian tersebut

1. Menghitung Laju Kedatangan

Dengan data pada lampiran 1 diketahui bahwa n = 29 dan diambil t = 20

maka akan didapatkan nilai laju kedatangannya adalah :




sehingga

2. Menghitung Laju Pelayanan

Dengan data pada lampiran 2 diketahui bahwa n = 27 dan diambil t = 20

maka akan didapatkan nilai laju pelayananya adalah :

sehingga

maka nilai

3. Menghitung rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem antrian (Ls)

가




4. Menghitung rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)

5. Menghitung rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam sistem antrian (Ws)

6. Menghitung rata-rata waktu pelanggan dalam tempat antrian (Wq)

c. Mendapatkan nilai K yang optimum pada antrian tersebut nilai ρ = 0,89




1. Dengan menggunakan algoritma melalui Software S-Plus 2000 diperoleh

nilai optimal K sebesar 46 yang dapat dilihat pada lampiran 5.

2. Misalkan ditentukan nilai Pb = 0,1 maka akan didapatkan nilai K optimal

yaitu :




Documents

n +1 n - 1 t + Trepository.unair.ac.id/25578/13/13. Bab 4.pdf · 2016. 7. 25. · Untuk n = 0,1,2 disubstitusikan pada persamaan 4.2 diperoleh hasil sebagai berikut : ... pelayanan