Upload
dinhduong
View
234
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
n. 6 – Equivalências Lógicas
A equivalência lógica trata de evidenciar que é possível
expressar a mesma sentença de maneiras distintas,
preservando, o significado lógico original.
Def.: Diz-se que uma proposição 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) é
logicamente equivalente a uma proposição 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ), se as
tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.
Se as proposições 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) e 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) são ambas
tautologias, ou ambas contradições, então são equivalentes.
Notação para indicar equivalência lógica, símbolo: ⟺
𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )
Ou 𝑃 ≡ 𝑄
De maneira menos formal também encontramos a
representação simbólica de uma equivalência por: 𝑃 = 𝑄.
A relação de equivalência nos permite verificar quando
duas proposições (simples ou compostas) são equivalentes, ou
seja, quando estas proposições têm sempre valor lógico igual.
Exemplos de contradições:
𝑝 ~𝑝 𝑝 ˄ ~𝑝 V F F F V F
𝑝 𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 ~(𝑝 ˅ 𝑞) 𝑝 ˄ 𝑞 ~(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ (𝑝 ˄ 𝑞) V V V F V F V F V F F F F V V F F F F F F V F F
Tautologia e equivalência Lógica
Teorema: A proposição 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) é equivalente a
proposição 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ), ou seja:
𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )
se e somente se a bicondicional:
𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ↔ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )
for tautológica.
Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma
bicondicional tautológica, e vice-versa.
Para verificarmos se as equivalências são válidas,
trocamos o símbolo de equivalência () pela bicondicional
(), se resultar em uma tautologia é porque a equivalência é
válida.
Propriedades da Equivalência Lógica
a) Reflexiva (R): 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )
b) Simétrica (S): Se 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) então
𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )
c) Transitiva (T): Se 𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) e
𝑄 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑅 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) então
𝑃 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … ) ⟺ 𝑅 (𝑝, 𝑞, 𝑟, … )
Exemplos:
1. As proposições "~~𝑝" e "𝑝" são equivalentes, isto é,
simbolicamente: ~~𝑝 ⟺ 𝑝 (Regra da dupla negação).
Portanto, a dupla negação equivale à afirmação.
𝑝 ~𝑝 ~~𝑝 ~~𝑝 ⟺ 𝑝 V F V V F V F V
2. As proposições "~𝑝 → 𝑝" e "𝑝" são equivalentes, isto é,
simbolicamente: ~𝑝 → 𝑝 ⟺ 𝑝 (Regra de Clavius)
𝑝 ~𝑝 ~𝑝 → 𝑝 ~𝑝 → 𝑝 ⟺ 𝑝 V F V V F V F V
3. As condicionais "𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞" e "𝑝 → 𝑞" são equivalentes,
isto é, simbolicamente: 𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞 (Regra de
absorção)
𝑝 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞 V V V V V V V F F F F V F V F V V V F F F V V V
4. A condicional p→ q e a disjunção "~𝑝 ˅ 𝑞" são
equivalentes, isto é, simbolicamente: 𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ 𝑞
𝑝 𝑞 ~𝑝 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 ˅ 𝑞 𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ 𝑞 V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V
5. A bicondicional "𝑝 ↔ 𝑞" e a conjunção "(𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝)"
são equivalentes, isto é, simbolicamente:
𝑝 ↔ 𝑞 ⟺ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝)
𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝) 𝑝 ↔ 𝑞 ⟺ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝)
V V V V V V V V F F F V F V F V F V F F V F F V V V V V
6. A bicondicional "𝑝 ↔ 𝑞" e a disjunção "(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˄ ~𝑞)"
são equivalentes, isto é, simbolicamente:
𝑝 ↔ 𝑞 ⟺ (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˄ ~𝑞)
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ~𝑝 ˄ ~𝑞 (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˄ ~𝑞) 𝑝 ↔ 𝑞 ⟺ (𝑝 ˄ 𝑞) ˅ (~𝑝 ˄ ~𝑞)
V V F F V V F V V V F F V F F F F V F V V F F F F F V F F V V V F V V V
Exemplos de bicondicionais tautológicas:
1. (𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐) ↔ (𝑝 → 𝑞)
Corresponde a: 𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 ⟺ 𝑝 → 𝑞
Portanto: 𝑝 ˄ ~𝑞 → 𝑐 é equivalente a 𝑝 → 𝑞
Nesta equivalência consiste o “método de demonstração por
absurdo”.
2. (𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟) ↔ (𝑝 → (𝑞 → 𝑟))
Corresponde a: 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 ⟺ 𝑝 → (𝑞 → 𝑟)
Portanto: 𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟 é equivalente a 𝑝 → (𝑞 → 𝑟)
Equivalência Lógica denominada “Regra de exportação-
Importação”
Exemplo de bicondicional não tautológica:
1. "𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3" e "~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1)"
Corresponde a: (𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3) ↔ ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1)
Entretanto, pela tabela-verdade observamos que o bicondicional
não é tautológico.
𝑥 = 1 𝑥 ≮ 3 𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3 𝑥 < 3 𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1 ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1) (𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3) ↔ ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1)
V V V F F V V V F V V V F F F V V F F V V F F F V F V F
Proposições associadas a uma condicional
Def.: Dada a condicional 𝑝 → 𝑞, chamam-se proposições
associadas a 𝑝 → 𝑞 as três proposições condicionais que
contém 𝑝 e 𝑞:
a. Proposição recíproca de 𝑝 → 𝑞 é 𝑞 → 𝑝
b. Proposição contrária de 𝑝 → 𝑞 é ~𝑝 → ~𝑞
Também denominada de inversa de 𝑝 → 𝑞
c. Proposição contrapositiva de 𝑝 → 𝑞 é ~𝑞 → ~𝑝
𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑞 → ~𝑝
A equivalência entre 𝑝 → 𝑞 é ~𝑞 → ~𝑝 estabelece um
procedimento para demonstrar teoremas condicionais como,
“se a + b = c então a = c – b” , onde
a + b = c é a hipótese e a = c – b é a tese.
Para provar a propriedade podemos usar a contrapositiva
ou a negação da tese. Se a negação da tese levar a concluir a
negação da hipótese então a propriedade estará demonstrada.
Negando a tese, 𝑎 ≠ 𝑐 − 𝑏. Somando b a ambos os
membros, a desigualdade permanece.
Assim, 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑐 − 𝑏 + 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑐
O que contraria a hipótese.
Portanto a propriedade é verdadeira.
Tabela-verdade das proposições associadas:
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 ~𝑝 → ~𝑞 ~𝑞 → ~𝑝 𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑞 → ~𝑝 𝑞 → 𝑝 ⟺ ~𝑝 → ~𝑞 V V F F V V V V V V V F F V F V V F V V F V V F V F F V V V F F V V V V V V V V
Logo,
A condicional 𝑝 → 𝑞 e a contrapositiva ~𝑞 → ~𝑝 são
equivalentes:
𝑝 → 𝑞 ⟺ ~𝑞 → ~𝑝
A recíproca 𝑞 → 𝑝 e a contrária ~𝑝 → ~𝑞 da
condicional 𝑝 → 𝑞 são equivalentes:
𝑞 → 𝑝 ⟺ ~𝑝 → ~𝑞
Entretanto, pela tabela-verdade ainda podemos observar
que:
𝑝 → 𝑞 e a sua recíproca 𝑞 → 𝑝: não são equivalentes
𝑝 → 𝑞 e a sua contrária ~𝑝 → ~𝑞: não são equivalentes
Negação conjunta de duas proposições
Def.: Chama-se negação conjunta de duas proposições 𝑝 e 𝑞
a proposição "𝑛ã𝑜 𝑝 𝑒 𝑛ã𝑜 𝑞", isto é, ~p ˄ ~q.
A negação conjunta de duas proposições 𝑝 e 𝑞 também
se indica pela notação " 𝑝 ↓ 𝑞 " . Assim,
𝑝 ↓ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˄ ~𝑞
Tabela-verdade:
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 ˄ ~𝑞 𝑝 ↓ 𝑞 𝑝 ↓ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˄ ~𝑞 V V F F F F V V F F V F F V F V V F F F V F F V V V V V
Negação disjunta de duas proposições
Def.: Chama-se negação disjunta de duas proposições 𝑝 e 𝑞
a proposição "𝑛ã𝑜 𝑝 𝑜𝑢 𝑛ã𝑜 𝑞", isto é, ~p ˅ ~q.
A negação disjunta de duas proposições 𝑝 e 𝑞 também
se indica pela notação " 𝑝 ↑ 𝑞 " . Assim,
𝑝 ↑ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ ~𝑞
Tabela-verdade:
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 ˅ ~𝑞 𝑝 ↑ 𝑞 𝑝 ↑ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ˅ ~𝑞
V V F F F F V V F F V V V V F V V F V V V F F V V V V V
Os símbolos ↓ e ↑ são chamados de conectivos de SCHEFFER.
Exercícios:
1. Demonstre as seguintes equivalências:
a. 𝑝 ˄ (𝑝 ˅ 𝑞) ⟺ 𝑝
b. (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑟 → ~𝑞
c. 𝑞 ↔ 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞
2. Mostre que as proposições “𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3” e "~(𝑥 <
3 ˄ 𝑥 = 1) " não são equivalentes.
3. Julgue se são logicamente equivalentes as proposições:
“Quem tem dinheiro, não compra fiado” e “Quem não tem,
compra”, provando sua resposta.
4. Determine:
a. A contrapositiva da recíproca de 𝑥 = 0 → 𝑥 < 1
b. A contrapositiva da contrária de 𝑥 < 1 → 𝑥 < 3
5. Sabendo que as proposições 𝑝 e 𝑞 são verdadeiras e que a
proposição r é falsa, determine o valor lógico (V) ou (F) das
seguintes proposições:
a. (~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟)
b. [(𝑝 ↑ 𝑞) ˅ (𝑞 ↓ 𝑟)] ↑ (𝑟 ↓ 𝑝)
c. (~𝑝 ↑ ~𝑞) ↔ [(𝑞 ↓ 𝑟) ↓ 𝑝]
6. Demonstre: [(𝑝 ↑ ~𝑝) ↑ (𝑝 ↑ ~𝑝)] ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑝
Resoluções:
1. Demonstre as seguintes equivalências:
𝑎. 𝑝 ˄ (𝑝 ˅ 𝑞) ⟺ 𝑝
𝑝 𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 𝑝 ˄ (𝑝 ˅ 𝑞) 𝑝 ˄ (𝑝 ˅ 𝑞) ⟺ 𝑝
V V V V V V F V V V F V V F V F F F F V
𝑏. (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑟 → ~𝑞
𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑞 ~𝑟 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 𝑝 ˄ ~𝑟 𝑝 ˄ ~𝑟 → ~𝑞 (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ↔ 𝑝 ˄ ~𝑟 → ~𝑞
V V V F F V V F V V V V F F V V F V F V V F V V F F V F V V V F F V V F V V V V F V V F F V V F V V F V F F V V F F V F
F F V V F V V F V V F F F V V V F F V F
𝑐. 𝑞 ↔ 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞
𝑝 𝑞 𝑝 ˅ 𝑞 𝑞 ↔ 𝑝 ˅ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 ↔ 𝑝 ˅ 𝑞 ⟺ 𝑝 → 𝑞
V V V V V V V F V F F V F V V V V V F F F V V V
2. Mostre que as proposições
𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3 e ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1) não são equivalentes.
𝑥 = 1 𝑥 < 3 𝑥 ≮ 3 𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3 𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1 ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1) 𝑥 = 1 ˅ 𝑥 ≮ 3 ↔ ~(𝑥 < 3 ˄ 𝑥 = 1)
V V F V V F F V F V V F V V F V F F F V F F F V V F V V
Não são equivalentes porque as tabelas-verdade das
proposições não são idênticas, e também a bicondicional não é
uma tautologia.
3. Julgue se são logicamente equivalentes as proposições: “Quem
tem dinheiro, não compra fiado” e “Quem não tem, compra”,
provando sua resposta.
Proposições:
p: quem tem dinheiro
q: compra fiado
Premissas:
Quem tem dinheiro, não compra fiado: p ~ q
Quem não tem, compra: ~p q
Para serem equivalentes: p ~ q ~ p q
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 p ~ q ~p q p ~ q ~ p q
V V F F F V F V F F V V V V F V V F V V V F F V V V F F
Não são equivalentes porque as tabelas-verdade das
proposições não são idênticas, e também a bicondicional não é
tautológica.
4. Determine:
a. A contrapositiva da recíproca de 𝑥 = 0 → 𝑥 < 1
𝑥 = 0 → 𝑥 < 1
𝑥 < 1 → 𝑥 = 0 (recíproca de 𝑥 = 0 → 𝑥 < 1)
~(𝑥 = 0) → ~(𝑥 < 1) (contrapositiva de 𝑥 < 1 → 𝑥 = 0)
𝑥 ≠ 0 → 𝑥 ≮ 1 (resposta)
b. A contrapositiva da contrária de 𝑥 < 1 → 𝑥 < 3
𝑥 < 1 → 𝑥 < 3
~(𝑥 < 1) → ~(𝑥 < 3) (contrária de 𝑥 < 1 → 𝑥 < 3)
𝑥 ≮ 1 → 𝑥 ≮ 3 (contrária de 𝑥 < 1 → 𝑥 < 3) ~(𝑥 ≮ 3) → ~(𝑥 ≮ 1) (contrapositiva da contrária de 𝑥 ≮ 1 → 𝑥 ≮ 3)
𝑥 < 3 → 𝑥 < 1 (resposta)
5. Sabendo que as proposições 𝑝 e 𝑞 são verdadeiras e que a
proposição r é falsa, determine o valor lógico (V) ou (F) das
seguintes proposições:
a. (~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟)
(~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟) ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑞) ˄ (~𝑞 ˅ 𝑟)
𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑞 𝑝 ˄ ~𝑞 ~𝑞 ˅ 𝑟 (~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟)
V V V F F V F V V F F F F F V F V V V V V V F F V V V V F V V F F V F F V F F F F F F F V V F V F F F F V F V F
Outra forma de resolução:
(~𝑝 ↓ 𝑞) ˄ (𝑞 ↑ ~𝑟) ⟺ (𝑝 ˄ ~𝑞) ˄ (~𝑞 ˅ 𝑟)
(𝑝 ˄ ~𝑞) ˄ (~𝑞 ˅ 𝑟)
(𝑉 ˄ 𝐹) ˄ (𝐹 ˅ 𝐹)
( 𝐹) ˄ (𝐹)
𝐹
b. [(𝑝 ↑ 𝑞) ˅ (𝑞 ↓ 𝑟)] ↑ (𝑟 ↓ 𝑝)
Seja: 𝑝 = 𝑉 , 𝑞 = 𝑉 e 𝑟 = 𝐹
Então: [(𝑝 ↑ 𝑞) ˅ (𝑞 ↓ 𝑟)] ↑ (𝑟 ↓ 𝑝) ⟺ [(~𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ (~𝑞 ˄ ~𝑟)] ˅ ( ~𝑟 ˄ ~ 𝑝)
[(~𝑝 ˅ ~𝑞) ˅ (~𝑞 ˄ ~𝑟)] ˅ ( ~𝑟 ˄ ~ 𝑝)
[(𝐹 ˅ 𝐹) ˅ (𝐹 ˄ 𝑉)] ˅ ( 𝑉 ˄ 𝐹) [𝐹 ˅ 𝐹] ˅ (𝐹)
𝐹 ˅ 𝐹 𝐹
c. (~𝑝 ↑ ~𝑞) ↔ [(𝑞 ↓ 𝑟) ↓ 𝑝]
Seja: 𝑝 = 𝑉 , 𝑞 = 𝑉 e 𝑟 = 𝐹
Então: (~𝑝 ↑ ~𝑞) ↔ [ (𝑞 ↓ 𝑟) ↓ 𝑝] ⟺ ~(~𝑝 ˅ ~𝑞) ↔ [ ~(~𝑞 ˄ ~𝑟) ˄ ~ 𝑝]
~(~𝑝 ˅ ~𝑞) ↔ [ ~(~𝑞 ˄ ~𝑟) ˄ ~ 𝑝]
~(𝐹 ˅ 𝐹) ↔ [ ~(𝐹 ˄ 𝑉) ˄ 𝐹]
~(𝐹) ↔ [ ~(𝐹) ˄ 𝐹]
𝑉 ↔ [ 𝑉 ˄ 𝐹]
𝑉 ↔ 𝐹
𝐹
6. Demonstre: [(𝑝 ↑ ~𝑝) ↑ (𝑝 ↑ ~𝑝)] ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑝
Seja: 𝑝 = 𝑉 e ~𝑝 = 𝐹
Então:
[(𝑝 ↑ ~𝑝) ↑ (𝑝 ↑ ~𝑝)] ⟺ 𝑝 ˄ ~𝑝
[~(~ 𝑝 ˅ 𝑝) ˅ ~ (~𝑝 ˅ 𝑝)] ↔ 𝑝 ˄ ~𝑝
[~(𝑉) ˅ ~ (𝑉)] ↔ 𝐹
[𝐹 ˅ 𝐹] ↔ 𝐹
𝐹 ↔ 𝐹
𝑉
Exercícios:
1. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 119) Numa proposição
composta s, aparecem às proposições simples 𝑝, 𝑞 e 𝑟. Sua
tabela verdade é:
Usando a conjunça o (˄) , a disjunça o (˅) e a negaça o ( ˥ ), pode-
se construir sentenças equivalentes a s. Uma dessas sentenças é:
2. Julgue os itens (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 121):
a. “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria
no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro,
então meu cliente não é culpado.” É uma tautologia.
b. “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria
no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma
do crime estaria no carro.” Não é uma tautologia.
3. Verifique as equivalências (CASTRUCCI, 1982, p. 34):
a. ~(𝑝 ˄ ~𝑝) ⟺ (𝑝 ˅ ~𝑝)
b. 𝑝 ˄ (~𝑝 ˅ 𝑞 ) ⟺ (𝑝 ˄ 𝑞)
c. 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) ⟺ 𝑞 → (𝑝 → 𝑟)
d. ~(𝑝 → 𝑞) ⟺ ~(~𝑞 → ~𝑝)
𝑝 𝑞 𝑟 𝑠
L1 V V V V
L 2 V V F V
L3 V F V F
L4 V F F V
L5 F V V V
L6 F V F V
L7 F F V F
L8 F F F V
a. (𝑝 ˄ 𝑞 ˄ 𝑟) ˅ (~𝑝 ˄ ~ 𝑞 ˄ 𝑟)
b. (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ 𝑟) ˄ (~𝑝 ˅ ~𝑞 ˅ 𝑟)
c. (𝑝 ˄ 𝑞 ˄ ~𝑟) ˅ (𝑝 ˄ ~ 𝑞 ˄ ~𝑟)
d. (~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
e. (𝑝 ˄ 𝑞 ˄ ~𝑟) ˅ (~𝑝 ˄ ~ 𝑞 ˄ 𝑟)
e. ~(𝑝 ˅ ~ 𝑞 ) ⟺ ~𝑝 ˄ 𝑞
4. Verifique se são equivalentes as proposições:
a. Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é
retângulo. E O triângulo é retângulo ou o triângulo
não é retângulo.
b. Se é bonito, é feliz. E Não é bonito ou feliz.
c. A: se o céu está escuro, choverá;
B: o céu não está escuro ou não choverá.
1. Construir as tabelas-verdade
Resolução:
1. Correta letra (d): (~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
Conferência utilizando as linhas da tabela-verdade:
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 1: 𝑝 = 𝑉, 𝑞 = 𝑉 , 𝑟 = 𝑉 , 𝑠 = 𝑉
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
(𝐹 ˅ 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝑉 ˅ 𝐹)
( 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹)
( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )
𝑉
Linha 1 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 2: 𝑝 = 𝑉, 𝑞 = 𝑉 , 𝑟 = 𝐹 , 𝑠 = 𝑉
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
(𝐹 ˅ 𝑉 ˅ 𝑉) ˄ (𝑉 ˅ 𝑉 ˅ 𝑉)
( 𝑉 ˅ 𝑉) ˄ (𝑉 ˅ 𝑉)
( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )
𝑉
Linha 2 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 3: 𝑝 = 𝑉, 𝑞 = 𝐹 , 𝑟 = 𝑉 , 𝑠 = 𝐹
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
(𝐹 ˅ 𝐹 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹 ˅ 𝐹)
( 𝐹 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹)
( 𝐹 ) ˄ (𝑉 )
𝐹
Linha 3 resulta em 𝐹, logo corresponde a tabela-verdade.
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 4: 𝑝 = 𝑉, 𝑞 = 𝐹 , 𝑟 = 𝐹 , 𝑠 = 𝑉
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
(𝐹 ˅ 𝐹 ˅ 𝑉) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹 ˅ 𝑉)
( 𝐹 ˅ 𝑉) ˄ (𝑉 ˅ 𝑉)
( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )
𝑉
Linha 4 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 5: 𝑝 = 𝐹, 𝑞 = 𝑉 , 𝑟 = 𝑉 , 𝑠 = 𝑉
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
(𝑉 ˅ 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝐹 ˅ 𝑉 ˅ 𝐹)
( 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹)
( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )
𝑉
Linha 5 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 6: 𝑝 = 𝐹, 𝑞 = 𝑉 , 𝑟 = 𝐹 , 𝑠 = 𝑉
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
(𝑉 ˅ 𝑉 ˅ 𝑉) ˄ (𝐹 ˅ 𝑉 ˅ 𝑉)
( 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝑉 ˅ 𝐹)
( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )
𝑉
Linha 6 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 7: 𝑝 = 𝐹, 𝑞 = 𝐹 , 𝑟 = 𝑉 , 𝑠 = 𝐹
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
(𝑉 ˅ 𝐹 ˅ 𝐹) ˄ (𝐹 ˅ 𝐹 ˅ 𝐹)
( 𝑉 ˅ 𝐹) ˄ (𝐹 ˅ 𝐹)
( 𝑉 ) ˄ (𝐹 )
𝐹
Linha 7 resulta em 𝐹, logo corresponde a tabela-verdade.
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 8: 𝑝 = 𝐹, 𝑞 = 𝐹 , 𝑟 = 𝐹 , 𝑠 = 𝑉
(~𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟) ˄ (𝑝 ˅ 𝑞 ˅ ~𝑟)
(𝑉 ˅ 𝐹 ˅ 𝑉) ˄ (𝐹 ˅ 𝐹 ˅ 𝑉)
( 𝑉 ˅ 𝑉) ˄ (𝐹 ˅ 𝑉)
( 𝑉 ) ˄ (𝑉 )
𝑉
Linha 8 resulta em 𝑉, logo corresponde a tabela-verdade.
Caso em alguma das alternativas tivesse dado algum valor
lógico diferente daquele da coluna do s, não seria uma
equivalência.
2. Julgue os itens (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 121):
a. “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria
no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro,
então meu cliente não é culpado.” É uma tautologia.
Inocente: 𝑝 Culpado: ~𝑝
Arma está no carro: 𝑞 Arma não está no carro o: ~𝑞
(P1): Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime
estaria no carro. ~𝑝 → 𝑞
(P2): Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então
meu cliente não é culpado. ~𝑞 → 𝑝
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~p q ~𝑞 → 𝑝 (~𝑝 → 𝑞) → (~𝑞 → 𝑝)
V V F F V V V V F F V V V V F V V F V V V F F V V F F V
Sim, (~𝑝 → 𝑞) → (~𝑞 → 𝑝) é uma tautologia.
b. “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria
no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma
do crime estaria no carro.” Não é uma tautologia.
Inocente: 𝑝 Culpado: ~𝑝
Arma está no carro: 𝑞 Arma não está no carro o: ~𝑞
(P1): Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime
estaria no carro. ~𝑝 → 𝑞
(P2): Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime
estaria no carro. ( 𝑝 ˅ 𝑞)
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~p q 𝑝 ˅ 𝑞 (~𝑝 → 𝑞) (𝑝 ˅ 𝑞 )
V V F F V V V V F F V V V V F V V F V V V F F V V F F V
Como, (~𝑝 → 𝑞) → (𝑝 ˅ 𝑞 ) é uma tautologia e a questão
afirma que não é uma tautologia, então esta questão está
errada, ou seja, é falsa.
3. Resolução: Construir as tabelas-verdade.
4. Verifique se são equivalentes as proposições:
a. Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é retângulo.
E O triângulo é retângulo ou o triângulo não é retângulo.
Proposições:
O triângulo é retângulo: 𝑝
O triângulo não é retângulo: ~𝑝
Premissas:
(P1): Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é
retângulo: ˥ (𝑝 ˄ ~𝑝)
(P1): O triângulo é retângulo ou o triângulo não é
retângulo: (𝑝 ˅ ~𝑝)
𝑝 ~𝑝 𝑝 ˄ ~𝑝 ˥ (𝑝 ˄ ~𝑝) 𝑝 ˅ ~𝑝 ˥ (𝑝 ˄ ~𝑝) ↔ 𝑝 ˅ ~𝑝
V F F V V V F V F V V V
Logo,
˥ (𝑝 ˄ ~𝑝) ↔ 𝑝 ˅ ~𝑝 ˥ (𝑝 ˄ ~𝑝) ⟺ 𝑝 ˅ ~𝑝
V V V V
Portanto, é uma equivalência.
b. Se é bonito, é feliz. E Não é bonito ou feliz.
Proposições:
É bonito: 𝑝 Não é bonito: ~𝑝
É feliz: 𝑞
Premissas:
(P1): Se é bonito, é feliz: 𝑝 → 𝑞
(P1): Não é bonito ou feliz: ~𝑝 ˅ 𝑞
𝑝 𝑞 ~𝑝 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 ˅ 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ˅ 𝑞) (𝑝 → 𝑞) ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞)
V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V V V V V
Portanto, é uma equivalência.
c. A: se o céu está escuro, choverá;
B: o céu não está escuro ou não choverá.
Proposições:
Céu está escuro: 𝑝 Não está escuro: ~𝑝
Choverá: 𝑞 Não choverá: ~𝑞
Premissas:
(P1): Se o céu está escuro, choverá: 𝑝 → 𝑞
(P1): O céu não está escuro ou não choverá: ~𝑝 ˅ ~𝑞
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 ˅ ~𝑞 (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ˅ ~𝑞) V V F F V F F V F F V F V F F V V F V V V F F V V V V V
Logo,
(𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ˅ ~𝑞) (𝑝 → 𝑞) ⟺ (~𝑝 ˅ 𝑞)
F F V F V V V V
Portanto, NÃO é uma equivalência.
Referências Bibliográficas
ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, 2002. CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. V. 1. Rio de Janeiro: Elsevier. 2010
CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 5 ed. São Paulo: Nobel, 1982. DIAS, Carlos Magno Corrêa. Lógica matemática: introdução ao cálculo proposicional. 3 ed. Curitiba: C. M. C. Dias, 2011. GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemáti5ca, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, 2008.