Tema 6:

Nombres Complexos

Mª Remei Ferrer Guasch 1r Batx A

Ies Sa Colomina

Índex

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

1. Què són els nombres complexos?

Relació amb els vectors..................................................................pàg. 3

2. Formes de donar un complex..........................................................pàg. 4

3. El pas d’ una forma a l’ altra............................................................pàg. 5

4. Operacions amb nombres complexos.............................................pàg. 9

5. Radicació de complexos..................................................................pàg. 12

6. Aplicacions.......................................................................................pàg. 13

7. Curiositats.........................................................................................pàg. 14

8. Valoració personal............................................................................pàg. 15

9. Bibliografia........................................................................................pàg. 16

1. Què són els nombres complexos?

2

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

Relació amb els vectors

Els nombres complexos neixen, bàsicament, per donar sentit a l’ arrel

quadrada d’ un nombre negatiu, tractant-lo com un nombre més.

Els podem definir com el conjunt de tots els nombres reals i imaginaris,

i, es simbolitzen amb una ℂ.

Així, el nou nombre es designa per la lletra i , corresponent a la

part imaginària.

En un nombre complex en forma binària podem distingir dos

components:

a + bi a component real b component imaginari

En conclusió, els nombres imaginaris són els nombres complexos, el

component imaginari dels quals no és zero.

Reals ℝ (b = 0) Ex: 3

ℂ (a+bi) Imaginaris (b ≠ 0) Ex: 4+3i

Imaginaris purs (a = 0 , b ≠ 0) Ex: 3i i

- a + bi i - a- bi són oposats - z = a + bi i z = a - bi són conjugats

3

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

La representació gràfica d’ aquests nombres és diferent de la dels

nombres reals, que es representen en la recta real. En aquest cas, surten de la

recta i omplen el pla, denominat pla complex, utilitzant els eixos cartesians, en

què la’ eix X s’ anomena eix real i la Y, eix imaginari.

Per exemple, el nombre a + bi, es representa mitjançant el punt (a, b), que

és anomenat afix, o mitjançant un vector d’ origen (0, 0) i extrem (a, b).

2. Formes de donar un nombre complex

Els nombres complexos poden venir donats de dos maneres diferents:

de forma binòmia o de forma polar.

Un nombre complex en forma binòmia, ve donat per un component real i un imaginari. Un exemple és: 3 + 2i

Per altra banda, un nombre complex en forma polar, està compost pel

seu mòdul i l’ argument. El mòdul consisteix en la longitud del vector

mitjançant el qual es representa el nombre complex, mentre que l’ argument és

l’ angle que forma el vector amb l’ eix real. Un nombre complex z, el mòdul del

qual és r, i l’ argument α, es pot designar així: z = rα

Ex: z = 4 + 3i, que en forma polar seria: 536º 52’ . En aquest cas, el 5 és el

mòdul i el 36º 52’ és l’ argument i, vendria representat de la manera següent:

ιzι = 5

arg(z) = 36º 52’

Nota:

El nombre 0

no té sentit en forma polar

4

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

3. El pas d’ una forma a l’ altra

Pas de forma binòmia a forma polar

Si tenim un nombre complex z = a + bi en forma binòmia i el volem

passar a forma polar, existeixen les relacions següents:

Pas de forma polar a forma binòmia

Si tenim un nombre complex z = rα en forma polar i volem passar-lo en

forma binòmia, existeixen les relacions següents:

Segons aquestes igualtats, el nombre complex es pot expressar així:

Aquesta expressió s’ anomena forma trigonomètrica i queda així:

5

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

Activitats del pas de forma binària a polar o a la inversa

1. Passar a forma polar els nombres complexos següents:

a) = 120º

es troba en el segon quadrant,

perquè la seva part real és negativa i la

part imaginària és positiva, per tant

només és vàlid

Solució:

b) =

6

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

Com que la part real d’ aquest nombre és 0, l’ argument de la forma

polar, ha de ser a la força .

Solució:

c) =

En aquest cas agafem com a argument del nombre complex,

perquè la part real és negativa i, no valdria 0º com a argument.

Solució:

d) =

Perquè la part real i la imaginària es troben ambdues en el primer quadrant,

ja que són positives

Solució:

7

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

e) =

Perquè la part real i imaginària són positives

Solució:

f) =

Perquè la part real és negativa i la imaginària és

positiva

Solució:

2. Passar a forma binòmia els nombres complexos següents:

a) =

8

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

b) =

c) =

d) =

e) =

9

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

4. Operacions amb nombres complexos

a) En forma binòmia

Les operacions de nombres complexos segueixen les regles de les

operacions dels nombres reals i tenint en compte que . A més, el

resultat d’ operar dos nombres complexos és un altre nombre complex.

Suma

Resta

Multiplicació

Si multipliquem , pel seu conjugat, , el resultat és sempre un

nombre real:

Divisió

El denominador es multiplica pel seu conjugat, perquè d’ aquesta manera

quan operem, el denominador sigui un nombre real.

10

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

No es pot dividir per 0.

Propietats

-El 0 és l’ element neutre de la suma

-L’ 1 és l’ element neutre del producte

-Tot nombre complex té un oposat.

-Tots els nombres complexos, , excepte el 0, tenen un invers

b) En forma polar

Producte

Quan multipliquem dos nombres complexos, el resultat és un altre nombre

complex.

Producte per un complex de mòdul 1

Potència

En elevar , a un nombre natural, , el seu mòdul s’ eleva a i el seu

argument es multiplica per

,ja que:

Quocient

11

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

Per dividir dos nombres complexos, es divideixen els respectius mòduls i en

restem els arguments.

, ja que:

Aplicant les propietats de la potencia d’ un nombre complex, s’ obtñe una

fórmula anomenada fórmula de Moivre:

Activitats per operar amb nombres complexos

1. Efectua les operacions següents amb nombres complexos en forma binòmia

12

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

2. Efectua les operacions següents amb nombres complexos en forma polar

3. Demostra la fórmula de Moivre agafant un nombre complex,

5. Radicació de complexos

Els nombres reals positius tenen dos arrels quadrades.

Ex:

Els nombres reals negatius, per la seva banda, també tenen dos arrels

quadrades, però imaginàries.

Ex: , ja que

Obtenció de les arrels n-èssimes d’ un nombre complex

L’ arrel n-èssima d’ un nombre complex té un mòdul i un

argument , ja que:

13

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

Un nombre complex, , té n arrels n-èssimes. Totes elles tenen el

mateix mòdul i els seus arguments varien:

Per a , els afixos d’ aquestes n arrels són els vèrtexs d’ un n- àgon

regular amb centre a l’ origen.

Activitats de radicació de nombres complexos

1. Calcula:

Passem el nombre complex a forma polar:

14

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

Té dos solucions:

Passem el nombre complex a forma polar:

L’ argument és , perquè la part real és negativa i la imaginària

positiva i es troba en el segon quadrant.

6. Aplicacions

Aquests nombres tan peculiars, tenen moltes aplicacions en molts

camps. Per exemple, en l’ anàlisi d’ un senyal, es fan servir per obtenir una

descripció adequada de senyals que varien periòdicament, on en una ona en

concret, el valor absolut |z| del corresponent z és l'amplitud i l'argument arg(z)

la fase; en matemàtiques aplicades, es fan servir sovint per calcular algunes

integrals impròpies; en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica; en

dinàmica de fluids, les funcions complexes es fan servir per descriure el flux

potencial en dues dimensions; certs fractals es dibuixen al pla complex, per

exemple el conjunt de Mandelbrot i els conjunts de Julia...

15

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

Conjunt de Mandelbrot

També, amb els nombres complexos es pot treballar amb logaritmes

negatius.

7. Curiositats

Les següents potències són nombres reals, tot i que el nombre està

compost únicament per la unitat imaginària i: Per a comprovar-ho, necessitem conèixer una propietat dels

logaritmes:

Una altra curiositat és que els nombres complexos estan desordenats,

és a dir no segueixen un ordre com els nombres reals.

16

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

8. Valoració personal

Primerament, he de dir que aquest treball l’ he realitzat pensant en què si

no hagués fet el treball i hagués d’ aprendre’m el tema, llegís un treball i

entengués perfectament el tema proposat i recordés el tema, pel que havia

llegit. Per tant, l’ he fet de la millor manera possible, pensant en els altres i,

introduint dibuixos que he realitzat al Paint per deixar més clara l’ explicació.

Trobo que fer aquest tipus de treball, m’ ha ajudat a ser autodidacta i

anar al meu ritme, parant-me en les coses que més dificultat em presentaven.

Personalment, el que m’ ha costat més ha set l’ apartat de radicació dels

nombres complexos, perquè no entenia les fórmules que sortien al llibre, però

amb una mica d’ esforç i parant atenció en tot, ho he començat a entendre, ja

que s’ havia d’ aplicar el que havia fet durant tot el tema. Probablement, us heu

adonat que és l’ apartat que més està copiat del llibre, però la única raó és

perquè no ho sabia explicar d’ una altra manera

També, he après a saber utilitzar millor el Word per posar fórmules i

símbols matemàtics, que per ser sincera, em va costar bastant de temps.

Una pàgina web que m’ ha servit per complementar i acabar d’ entendre

el tema ha set la del projecte Descartes de CNICE. Aquesta pàgina descoberta,

trobo que em servirà de gran ajuda durant tot el curs, per altres temes.

Per últim, vull comentar una anècdota que m’ ha passat quan estava fent

l’ apartat de les aplicacions:

He trobat per Internet, que els fractals tenen alguna cosa que veure amb

els nombres complexos i, m’ ha fet molta gràcia, perquè la paraula “fractal”, una

paraula desconeguda per molta gent, jo ja l’ havia sentit abans, quan a 2n d’

Eso vam haver de fer un treball per poder participar en la Festa de les

Matemàtiques, en què un exercici era sobre els fractals i, ens vam haver d’

informar. Jo ja no me’n recordava de la seva existència, però quan he vist

aquesta paraula escrita en una pàgina d’ Internet buscant les aplicacions dels

nombres complexos, m’ ho ha fet recordar i, no he hagut d’ informar-me de què

eren, perquè ja ho sabia.

17

Treball Nombres complexos 1r Batx. Mª Remei Ferrer Guasch

Finalment, penso que aquest treball ha servit per introduir- me en el món

dels nombres complexos desconegut fins ara per mi i, que si ara sento a parlar

d’ ells, em sonin algunes coses.

9. Bibliografia

Webs:

http://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_complex

http://gaussianos.com/category/numeros-complejos/

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

Llibres:

J. Colera, M. J. Oliveira, R. García, E. Santaella, Matemàtiques I, ed. Anaya

18