N.º Foto: Hugo Pereira Andrade

Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame1N.º

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Hugo Pereira Andrade

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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame2

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Mathematical modeling and Engeneering problem-solving

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Exemplo 1.1:

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Underline

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Solução analítica para o problema do paraquedista em queda livre

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Excel:

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F9: =t_0 (ou seja, o valor inicial d t) F10: =F9+dt v: t utilizado é o k s encontra na coluna ao lado; eq. utilizada = v(t) dv/dt: o v utilizado é o correspondente v da coluna ao lado (G) eq. utilizada = dv/dt indica a velocidade que o paraquedista possui ao longo do tempo t v terminal: velocidade máxima que o paraquedista atinge (à medida que o tempo passa, é para esse valor que tende o dv/dt) g: constante gravitacional m: massa do paraquedista c_: constante não se representa apenas por c, pois essa sigla no excel é referente a colunas dt: passo

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Modellus:

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No modellus basta utilizar a equação v(t) pois ele calcula as diferentes velocidades ao longo do tempo. No modelo matemático, tudo o que está a vermelho são consideradas constantes enquanto que tudo o que está a verde representa valores numéricos. O passo (dt) utilizado é o mesmo que utilizado na resolução do excell (=2), e o valor máximo para t considerado é 50. No gráfico, a linha a azul é o v_ enquanto que a linha vermelha refere-se à v_terminal.

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Solução numérica para o problema do paraquedista em queda livre

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Exemplo 1.2

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Excel:

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B10: =t_0 (ou seja, o valor inicial d t) B11: =B10+dt A velocidade aproximada é referente à solução numérica. C10: =v_0 C11: =v(ti+1), sendo o v(ti) o valor da célula acima. A velocidade analítica é a que foi desenvolvida no Exemplo 1.1 (slide 3) D10: =v(t), ode o valor d t utilizado é o correspondente na coluna B. A velocidade terminal é a velocidade máxima que o paraquedista atinge (valor para o qual tendem as duas soluções). Por observação gráfica, pode-se concluir que a solução numérica apresenta um erro comparativamente à solução analítica.


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Modellus:

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A velocidade calculada analiticamente está representada no gráfico pela linha azul e ela é calculada da mesma forma que calculada no Exemplo 1.1 (ver slide 4) A velocidade calculada numericamente está representada no gráfico pela linha vermelha. Ela é calculada utilizando a expressão de v(t i+1) que se encontra no Excell (ver slide 6). Contudo, aqui para representar o valor anterior de v_ faz-se last(v_). A linha verde no gráfico corresponde à velocidade terminal, que é determinada da mesma forma que no Excell (ver slide 6).

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Exercício 1.12

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Eq. 1.13

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Modellus:

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Excell:

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Este problema é muito semelhante ao problema dos Exemplo 1.2 (ver slide 5). No caso do Excell, C9 corresponde apenas ao valor de c0, enquanto que as células C10 e as seguintes abaixo correspondem à fórmula C9+(-k*C9)*dt. A coluna D corresponde aos valores obtidos no modellus que servem assim para comparação. No caso do Modellus, utiliza-se apenas a expressão que se utlizou no caso do Excell: c(i+1)=c(i)+(-k*c(i))*dt. Para alterar o valor de c inicial basta ir ao menu condições iniciais e por a pretendida (antes de se carregar no botão de play).

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Exercício 1.13:

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Modellus:

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Excell:

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Este problema é muito semelhante ao problema dos Exemplo 1.2 (ver slide 5). No caso do Excell, C9 corresponde apenas ao valor de y0, enquanto que as células C10 e as seguintes abaixo correspondem à fórmula C9+(3*Q/A)*(sen(B10))^2-(Q/A)*dt. A coluna D corresponde aos valores obtidos no modellus que servem assim para comparação. No caso do Modellus, utiliza-se apenas a expressão que se utlizou no caso do Excell: y(i+1)= y(i)+(3*(Q/A)*sen(t(i))^2-Q/A*dt.

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Roots of equations, bracketing methods

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Exemplo 5.1

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Aproximação gráfica

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Para este exemplo, considerou-se o mesmo problema que o exemplo 1.1 (ver slide 2). Contudo, neste exemplo, o nosso objectivo é encontrar a raíz da função f(c), utilizando um método gráfico. O valor de c em B12 é dado por c_inicial, enquanto que as seguintes células abaixo basta representar a anterior + dc (passo). A função f(c) é dada pela funcão v(t)-v, representada ao lado, onde t é uma constante. O objectivo consiste descobrir qual o valor na qual f(c) muda de sinal (pois isso significa que nesse intervalo existe um zero). Sendo assim, após obter o aspecto geral da função (colunas referentes ao gráfico), alterando o valor de c_inicial e o passo, pode-se obter uma aproximação razoável do zero da função.

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Mathcad

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: --> atribuir um valor a uma variável = --> cálculo alt gr + 2 --> gráfico root(função, variável) --> zero da função Ter em conta que a função tem que estar igualada a zero.

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Exemplo 5.2

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Utilização de gráficos de computadores para a localização de raízes

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Excell

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Neste exemplo é aplicada o mesmo raciocínio que no exemplo 5.1 (ver slide 12). Neste exemplo pode-se ver como quanto maior for a aproximação, maior será o rigor do valor da raíz da função.

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Mathcad

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Para se fazer um intervalo faz-se --> variável:valor inicial,passo;valor final Mais uma vez neste caso, pode-se concluir que quanto maior for a aproximação, maior será a precisão do valor da raíz da função.

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Exemplo 5.3

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Bissecção

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Exemplo 5.4

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Erro estimado da bisecção

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Excell

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Neste exemplo, pretende-se descobrir a raíz da função f(c) que provém do exemplo 5.1 (ver slide 12). Para isso, utiliza-se o método da bissecção. Para tal necessitamos de um valor para o extremo inferior do intervalo (cL) e de outro valor para o extremo superior do intervalo (cU). Seguidamente calcula-se o valor da função para os respectivos extremos da função. O valor cR corresponde à média entre o cL e o cU ((cL+cU)/2). Função if: =If(condição; valor se verdade; valor se falso) B20: =If(I19<0;B19;G19) C20: =If(I19<0;G19;C19) Erro =epsilon A Módulo da função: =abs(valor) O valor da raíz é encontrado quando tanto cL como cU não mantêm o mesmo valor com um erro mínimo.

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Exemplo 5.5

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Localização de raízes utilizando o computador

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Mathcad

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O método utilizado neste exemplo é o mesmo que o método utilizado no exemplo 5.1 (ver slide 12).


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Exemplo 5.6

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Método da falsa posição

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Excell

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A resolução deste exemplo é exactamente a mesma que a do exemplo 5.3+5.4 (ver slide 18). A única diferença encontra-se no cálculo do cR pois utiliza-se em vez da média, a função cR=cU-(f(cU)*(cL-cU))/(f(cL)-f(cU)).


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Roots of equations: Open methods

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Exemplo 6.1

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Iteração do ponto simples fixo

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Excell:

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A expressão de x(i+1)=e(-x). Na coluna B, o valor inicial de i considerado é 0, nas restantes células abaixo basta considerar a anterior + 1 (ex: B10=B9+1). Na coluna C, o valor de x_i inicial considerado é 0, e nas restantes células abaixo considera-se a expressão de x_i+1 considerada acima (ex: C10=exp(-C9)). Na coluna D está representado o erro absoluto do valor calculado de x_i+1. Para tal utiliza-se a expressão de epsilon A indicada abaixo na tabela. Há que ter em conta que quanto amior for o valor de i, menor vai ser o erro, logo mais preciso será o valor da raíz que queremos calcular.


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Mathcad

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Neste caso, o intervalo i vai de 0 a 10 com uma passo de 1 (quando, o intervalo está sobre a forma valor inicial..valor final, então o passo considerado vale 1). Neste exemplo, todos os valores considerados referem-se a matrizes, por isso em índice usa-se o índice matricial e não o outro.

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Exemplo 6.3

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Método de Newton-Raphson

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Excell

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No método de Newton-Raphson, é necessária a função e a sua respectiva derivada para calcular o valor de x_(i+1) que irá se aproximar cada vez mais do valor real da raíz. Na coluna B o valor inicial de i é 0 e nas restantes células abaixo, basta acrescentar uma unidade (ex. B12=B11+1). Na coluna D, está representada a função f(x_i), considerando-se o valor inicial de x_i=0. Na coluna E, está represnetada a derivada da função f'(x_i). Na coluna C está representada na célula C11 o valor de x_i=0 e nas restantes o valor de x_i+1 é obtido através da expressão x_i+1 ao lado representada.


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Mathcad

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Neste caso, o exemplo é tratado exactamente da mesma maneira que no excell (ver slide 28).


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Exemplo 6.6

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O método da secante

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Excell

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No método da secante é necessário 2 valores iniciais, o x_-1 e o x_0. A função considerada é a f(x). Para calcular o valor da raíz basta aplicar a expressão ao lado indicada.

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Mathcad

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No mathcad, a única diferença é k o valor mínimo do índice é 0, sendo assim, o mathcad não admite o índice como i-1, visto que se irá chegar a valores de índices negativos. Sendo assim, este problema foi resolvido considerande que x_i-1=x_i e x_i=x_i+1. Logo, neste caso o que pretendemos calcular é o valor de x_i+2.

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Exemplo 6.9

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Método de Newton-Raphson modificado para múltiplas raízes

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Neste método, são necessárias 3 funções para o cálculo do valor da raíz (x_i+1): a função f(x), a 1ª derivada da função f(x) (f'(x)) e a 2ª derivada da função f(x) (f''(x)). Sendo assim, na coluna B, o valor inicial de i é 0 e os restantes valores das células abaixo são obtido através da adição de uma unidade na célula anterior. Na coluna D encontra-se o valor da função de f(x) considerando x0(C11)=0. Na coluna E encontra-se o valor da 1ª derivada da função de f(x) (f'(x)) considerando x0(C11)=0. Na coluna F encontra-se o valor da 2ª derivada da função de f(x) (f''(x)) considerando x0(C11)=0. Na coluna C encontram-se os valores de x_i+1 aplicando-se a expressão ao lado representada.

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Mathcad

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Neste exemplo encontram-se algumas coisas inacabadas. f(x) representa a função que pretendemos estudar. g(x) trata-se da 1ª derivada da função f(x). h(x) trata-se da 2ª derivada da função g(x). Aqui falta também representar a tabela de valores de x_i+1.

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Exemplo 6.10

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Iteração de pontos fixos para um sistema não linear

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Excell

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Ambas as equações possuem duas resoluções. A primeira resolução possui as respectivas resoluções indicadas acima. Consideram-se como x_0 e y_0 os valores 1.5 e 3.5, respectivamente. Nas restantes células abaixo aplica-se a mesma equação mas com os valores anteriores d x e y. Como se pode concluir, as soluções afastam-se dos valores pretendidos alcançar. Sendo assim, utiliza-se a segunda resolução para as raízes das funções. Aplicando-se o mesmo método que na primeira resolução, conclui-se que os valores d x e de y convergem para os valores das raízes pretendidos.


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Mathcad

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No mathcad para a resolução de sistemas utiliza-se a função given. Começa-se por escrever os valores iniciais. De seguida, então, escrevem-se o comando Given. De seguida escrevem-se as equações que nos interessam (com boleanos, como se fossem textos). Por fim, cria-se uma variável com as soluções do sistema que é dada por Find(x,y)


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Exemplo 6.11

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Método de Newton-Raphson para sistemas não lineares

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Excell

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Coluna B: i_inicial=0; restantes células correspondem à anterior +1. Coluna E: du/dx Coluna F: du/dy Coluna G: dv/dx Coluna H: dv/dy Coluna I: função u Coluna J: função v Coluna K: Jacobiano =du/dx*dv/dy-dv/dx*du/dy Coluna C: x_0=1.5, C24=C23-((I23*H23-J23*C23)/K23) Coluna D: y_o=3.5; D24=D23-((J23*F23-I23*G23)/K23) Os valores vão convergir para a solução pretendida

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Engeneering aplications: Roots of equations

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Exemplo 8.1

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A Lei dos gases ideais

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v = R_*T/p f(v)=(p+a_/v^2)*(v-b_)-R_T f'(v)=p-a_/v^2+(2*a_*b_)/v^3 v(i+1)=v(van der waals)=v-f(v)/f'(v)

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Exercício 8.3

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Excell

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Neste exemplo, para a localização da raíz da função recorre-se ao método da bissecção (ver slide 18). Função a considerar:

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que pode ser escrita como por exemplo D24: f(xL)=A24/(1-A24)*sqrt((2*C18)/(2+A24))-C19

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Exercício 8.4

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Excell:

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Neste exemplo para a localização da raíz recorre-se ao método de Newton-Raphson (ver slide 27). A função f(t) considerada é: F(t)=c_in(1-exp(-0.04*t))+c_0*(exp(-0.04*t))-c.

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Jing

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Engeneering aplications: Linear algebraic equations

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Exemplo 12.1

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Excell:

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Neste exemplo, o objectivo é determinar a solução de um sistema de quações utilizando matrizes. 1º Criar a matriz onde A representa os valores à esquerda das reacções (coeficientes c1 a c5) e B representa as soluções que pretendemos obter à direita das equações (matriz B). 2º Matriz inversa: fazer a matriz inversa da matriz A -- ={matriz.inversa(D42:H46)}. 3º Multiplicar a matriz inversa de A pela matriz B para obter a solução pretendida -- ={matriz.mult(D48:H52;I42:I46)} 4º Verificação: Multiplicar a matriz A pela matriz solução e verificar se dá a matriz B -- ={matriz.mult(D42:H46;D54:D58)} Para fikar km a forma da matriz inicial fazer F2+ctrl+shift+enter

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Mathcad:

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Para escrever uma matriz fazer ctrl+M e especificar o número de colunas e o número de linhas. Para fazer a matriz inversa basta fazer a matriz pretendida e por o índice -1 (botão matriz inversa) e fazer =. De resto o método é o mesmo que utilizado no excell.


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Exercício 12.6

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Excell:

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Neste exemplo utiliza-se exactamente o mesmo procedimento que no exemplo 12.1 (ver slide 51)

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Carimbo

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Mathcad

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Neste exemplo, para a resolução do problema recorre-se ao usa da função lsolve(A,B) para a resolução de um sistema de equações. A refere-se à matriz com os dados iniciais e B refere-se à matriz de soluções.

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Neste método utilizou-se exactamente o mesmo que no exemplo 12.1 (ver slide 51).

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Neste método utiliza-se a regra de Laplace para a resolução do sistema. Esse método consiste em, na matriz pretendida substituir em cada coluna pela matriz B e depois calcular o seu determinante. Esse determinante dividido pelo valor do determinante da matriz A dará uma solução. Repetir o mesmo processo para as restantes colunas da matriz A.


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Least-squares regression

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Exemplo 17.1

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Regressão linear

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Excell

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Neste exemplo, o objectivo é construir uma recta de ajuste para os pontos considerados. Para isso, tem-se em conta o método dos mínimos quadrados. Nas colunas C e D encontram-se os valores dados. Nas colunas ao lado encontra-se a multiplicação de C e D (coluna E) e a coluna C ao quadrado (coluna F). De seguida, faz-se o somatório de cada uma das colunas (por exemplo, C13: =sum(C6:C12)). É necessário também saber o número de pontos k temos. Para isso utiliza-se a função count (por exemplo, C15: =count (C6:C12)). De seguida calcula-se a1 pela formula. Faz-se a média da coluna D e a média da coluna C (por exemplo, C23: =média(D6:D12)). Por fim calcula-se a0 pela fórmula (por exemplo C28: =C23-C21*C24). Há que ter em conta que a1 é o declive e a0 o valor na origem.

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Para confirmar os valores obtidos pode-se utilizar a função slope(yinicial:yfinal;xinicial:xfinal) para confirmar o declive e intercept(yinicial:ufinal;xinicial:xfinal) para confirmar o valor na origem.

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Jing

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Exemplo 17.4

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Linearização de uma equação

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Excell

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Neste caso o declive é calculado através da função slope e a ordenada na é dada por 10^função intercept (funções descritas no slide 58). log x: E5: =Log(C5;10) (o 10 indida a base do logaritmo) log y: F5: =log(D5;10) O y modelo é dado por a2*x^b2 onde a2 é o valor da ordenada na origem e b2 é o declive (por exemplo, G5: =$C$12*C5^$C$11.

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Mathcad

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Para a resolução deste problema no mathcad recorre-se a matrizes. As funções para o cálculo do declive e da ordenada na origem são as mesmas que usadas no excell com a excepção que 1º se apresentam os valores de xx e dps os valores d yy.


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Exemplo 17.5

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Regressão polinomial

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Excell

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Este problema é resolvido à custa de matrizes numa resolução semelhante ao exemplo 12.1 (ver slide 51). A matriz A e a matriz acima são definidas a partir dos valores dados. y_reg é definido através do polinómio a0+a1*x+a2*x^2.


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Mathcad

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Este exemplo é resolvido de forma semelhante ao exemplo 12.1 (ver slide 51).


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Quantificação do erro na regressão linear

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Excell:

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N: número de células da coluna de x (coluna E); Utilização da função count. a0: Ordenada na origem da recta; utiliza-se a função intercept(yy;xx) a1: declive da recta; utiliza-se a função slope(yy;xx). r: Utiliza-se a fórmula ao lado representada. r^2: valor de r ao quadrado Syx: Utiliza-se a fórmula ao lado representada. Nas colunas G,H,I,J,K e L utiliza-se a condição encontrada, por exemplo, na célula G15: =if(isnumber(E15);E15*F15;"").


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Derivadas e Primitivas

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Regra do trapézio

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No método do trapézio para o cálculo de derivadas fixa-se um valor para o dt (que vai ser como a precisão). De seguida calcula-se t, considerando o valor de t_inicial =0 e as células seguintes são a anterior + dt. Obtendo-se o valor de t, calcula-se o valor da função para esse valor de t. De seguida, calcula-se a área utilizando-se a fórmula ao lado indicada, consideranso-se A_inicial=0. Por exemplo F15: =(D15-D14)*(E14+E15)/2. Por fim, a primitiva F(t) é dada pela soma das áreas.

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Chamada

SUM(F$14:F15)


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Mathcad

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Neste caso, aplica-se directamente o integral da função f(t), sendo a sua primitiva representada por F(t). O valor inicial é obtido substituindo na função F(t), o t por 0 P(t) representa a expressão de F(t).


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Cálculo de integrais

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No modellus, a função f corresponde à função na qual pretendemos estudar o seu integral (representada no gráfico pela fução vermelha) e a função I corresponde ao seu integral (função azul).

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Modellus


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Reacção: A <=> B

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O reagente A é representado no gráfico pela linha azul e nos indicadores pelo indicador azul vertical. O produto B é representado no gráfico pela linha vermelha enquanto que nos indicadores é representado pelo indicador vermelho vertical. Os inidcadores horizontais correspondem às constantes de velocidade k1 e k2.

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Reacções:

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Para o cálculo desste integral utiliza-se a fórmula ao lado indicada.

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Integração (método de Simpson 1/3)

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Mathcad


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Ponto de equilíbrio de uma titulação

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Neste exemplo, o objectovo é calcular o ponto de equilíbrio de uma titulação recorrendo a derivadas. Os valores das colunas A e B são fornecidos. Os valores da coluna C, são obtidos através de, por exemplo C4: =(B4-B3)/(A4-A3). Da mesma forma, os valores da coluna D são dados por, por exemplo, D5: =(C5-C4)/(A5-A3). Por fim, os valores da coluna E são dados pela fórmula ao lado indicada, por exemplo E4: =(B5-2*B4+B3)/((A4-A3)^2. No gráfico a verde está representado o pH em função do volume. No gráfico laranja está representado o volume em função da 1a derivada (dpH/dv).

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No gráfico verde está representado o volume em função da 2a derivada (d2pH/d2v) (coluna D), assim como no gráfico a rosa só que nesse gráfico está representada a coluna E. Por outro lado, no gráfico laranja está represnetado o zero da função da segunda derivada da coluna D (gráfico verde), enquanto que no gráfico azul está representado o zero da função da segunda derivada da coluna E (gráfico rosa).

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Reacção de 1ª ordem:

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Numa reacção deste tipo, é necessário fornecer o valor da concentração de A inicial. Da mesma maneira, existe apenas uma constante de velocidade. O valor de As é dado de acordo com a equação para reacções de 1ª ordem.


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Reacção de 2ª ordem

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Este exemplo, é exactamente o mesmo que o do slide anterior (slide 74), contudo muda apenas a expressão de As pois esta reacção trata-se de uma de 2ª ordem. Há ter em atenção que no gráfico, os valores de A e As são coincidentes.


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Reacção reversível:

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Este exemplo é exactamente o mesmo que tratado no slide 70. Contudo, em vez de os valores das consentrações (As e Bs) serem dados pelos indicadores de barras (como no slide 70), estes são dados pela função xt e os seus valores de concentrações iniciais correspondentes (A0 e B0).

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ções


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Resolução de equações diferenciáveis ordinárias:

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No mathcad, para a resolução de equações diferenciais ordinárias utiliza-se a função odesolve. Para u uso dessa função é necessário: 1º Given 2º Escrever a expressão que se pretende calcular (utilizando booleanos, não iguais para cálculo ou para definição de valores); 3º Escrever o valor inicial da função; 4º Função Odesolve(variável independente,limite superior do integral,passo(opcional)). Há que ter em conta que para esta função, pode-se qualquer valor para o valor inicial (quer esteja no domínio ou não). A função odesolve não permite resolver sistemas de equações.

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Equação de 1ª Ordem

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Mathcad


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No modellus, para fazer uma segunda derivada tem-se que se fazer uma 1ª derivada normal, e de seguida ao fazer-se uma derivada da 1ª derivada obtém-se então a 2ª derivada pretendida. Para que a equaçõ possa ser resolvida, tem que se dar valores aos parâmetros no ponto inicial (neste caso x0 e v0).

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Modellus


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Tanto a resolução como o raciocínio para a resolução desta equação é semelhante à que se encontra no slide 77.

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Mathcad


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Modellus

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Para a resolução de equações diferenciais no modellus, basta escrever normalmente a equação e fornecer o valor inicial para a nossa variável na derivada (neste caso, A0).

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Excell

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Para a resolução desta equação utilizou-se o método de euler (ver slide 88). A coluna A é obtida fazendo-se A10=0 (t_inicial), de seguida, os restantes valores são obtido somando-se anterior dt. Por exemplo A11=A10+dt. A coluna B (representado a área da função no tempo dt). Resulta das somas do dA (coluna C). À célula B10=B0. As restantes células são obtidas através da soma da célula da área com a respectiva variação, por exemplo B11=B10+C10. Por fim, a coluna C representa a variação da área ao longo do tempo dt e é obtida através da expressão da equação (depende de equação para equação). Por exemplo, C10=k*B10*(L-B10)*dt. Da mesma forma, C11=k*B11*(L-B11)*dt e assim, por adiante.

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Equação ODE logística

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Mathcad

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Uma equação logística é uma equação onde à partida já se sabe qual é a sua solução. Para a resolução destas equações no mathcad, primeiro passo é separar a derivada, ou seja, todos os elementos ligados a A ficam no lado do dA e todos os elementos ligados a t ficam no lado oposto da equação. A equação ao lado, é um exemplo de uma equação que cumpre esses requesitos. De seguida, calcula-se o integral em ambos os membros da equação obtida e resolve-se a equação obtida em ordem a 1 dos parãmetros (neste caso, resolveu-se em ordem a A utilizando-se o solve (por o cursor na variável segundo a qual se deseja resolver a equação e fazer solve)). Por fim, basta definir as constantes e o intervalo onde se deseja calcular a função A.

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Modellus

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No modellus, para o cálculo de uma equação ODE logística, determinaram-se 2 tipos de soluções. A solução A provém do cálculo directo da derivada da função f (está representada no gráfico pela linha azul). A solução As provém da solução analítica da função f (cuja expressão foi dada) (está representada no gráfico pela linha amarela. Por fim, a solução A_euler foi obtida através do método de euler (ver slide 88), no qual a expressão consiste na nossa função f, contudo considerande como A, a solução A_euler anterior (está representada no gráfico pela linha vermelha). Nesta solução é necessário definir que o A_euler inicial, neste caso, corresponde à A inicial. Embora pareça que no gráfico todas as 3 linhas se subrepõem, com um zoom considerável, pode-se concluir que apenas a linha azul e a linha amarela se sobrepõem, enquanto que a vermelha está apenas próxima. Ou seja, o método de euler é uma boa aproximação para o cálculo de derivadas mas não fornece o valor exacto.

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Equação ODE logística

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Mathcad

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Esta exemplo é resolvido exactamente da mesma maneira que o exemplo resolvido no slide 82 contudo, a única diferença neste é a equação considerada.

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Modellus

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Nesta equação, o método utilizado para a sua resolução é idêntico ao do slide 83. Contudo, o que difere é na determinação da solução As (cuja exprexão é diferente mas, contudo, é novamente dada). Da mesma forma como no slide 83, as soluções A_euler e As não se sobrepõem no gráfico, nesta resolução acontece o mesmo. Logo, A_euler aqui corresponde também a uma boa aproximação da derivada da função.

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Método de Runge-Kutta de 4ª ordem:

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Mathcad

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Neste exemplo pretende-se resolver a equação diferencial da/dt=-0.2*a*t. Para tal, utilizando o método de runge-kutta de 4a ordem é necessário: 1º Fornecer os valores d t0 e a0 (pois vai-se estudar diferentes pares de pontos à que tratá-los como vectores) 2º Fornecer o intervalo de i:valor inical,passo(opcional);valor final 3º Fornecer o passo dt 4º Calcular as constantes k1, k2, k3, k4 (com as expressões calculadas ao lado); 5º Cálculo de ai+1 através da expressão de yi+1. 6º Gráfico de ai em função de ti.


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Para a resolução desta equação diferencial, o método utilizado é exactamente o mesmo do slide anterior (ver slide 86). Contudo, há que ter em conta que os parâmetros cin, V e Q são constantes. Ao ter-se uma equação diferencial, deve-se deixar do lado esquerdo da equação apenas a derivada, tudo o resto deverá ir para o membro direito da equação.

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Mathcad


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Método de Euler

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O método de Euler é utilizado também para a resolução de equações diferenciais. Para a resolução desta euqação diferencial, utilizando este método, basta fazer uma matriz, na qual a primeira linha está ligada à variação do tempo (o intervalo de tempo e o passo é por nós determinado) e a segunda linha está então a derivada pretendita. A derivada prentendida é obtida fazendo-se Ai (variável segundo a qual se faz a derivada) + função * dt. Ao lado encontra-se o gráfico de Ai em função de ti.

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Mathcad

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Este exemplo, é exactamente igual ao que esta no slide anterior, contudo, este mostra apenas que para a resolução da equação diferencial não é necessário que as funções se apresentem sobre a forma de matriz. Há que também ter em atenção que neste caso, ti+1 é dado por i*dt.

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Para a resolução desta equação diferencial utilizou-se a função odesolve (ver slide 77).

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Resolução de sistemas de equações - função rkfixed:

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A função rkfixed pode ser utilizada para a resolução de sistemas de equações mas também se aplica a apenas uma equação. Neste exemplo pretende-se resolver um sistema químico. Para tal, definimos as constantes k1 e k2 (pois não se alteram ao longo de todo o problema). De seguida é necessário fornecer as concentrações de A e de B sob a forma de matriz (pois a resolução do problema baseia-se no método de runge-kutta de 4ª ordem (ver slide 86). Depois define-se a matriz D (que varia ao londo do tempo e dos valores das concentrações) e na qual se define o sistema de equações que se pretende calcular. Por fim utiliza-se a função rkfixed (a variável que a define tem que estar em maiúsculas). Os parâmetros desta função são: rkfixed(matriz com os valores iniciais,valor inicial de t, valor final de t, número total de pontos, matriz com o sistema de equações que se pretende resolver). De seguida, como solução é apresentada uma matriz, na qual a primeira coluna (0) representa os valores de t, na segunda coluna (1) estão representados os valores da concentração de A e na terceira coluna (2) estão representados os valores da concentração de B. Embora na matriz apresentada só se encontram os 7 primeiros pontos, clicando em cima da matriz podem-se ver os 100 pontos pretendidos.

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Mathcad


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O método utilizado neste exemplo é exactamento o mesmo que no slide anterior, o que muda é a reacção considerada. Na matriz obtida, a primeira coluna (0) representa o tempo considerado, na segunda coluna (1) estão representadas as concentrações de A, na terceira coluna (2) estão representadas as concentrações de B, na quarta coluna (3) estão representadas as concentrações de C e, por fim, na quinta coluna (4) estão representadas as concentrações de D.

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Mathcad


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Exercícios Fogler

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Neste exemplo, para a sua resolução utilizou-se a função rkfixed (ver slide 91).

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Neste exemplo, recorre-se à função rkfixed para a resolução do sistema de equações (ver slide 91).

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Para a resolução desta equação diferencial utilizou-se o método de runge-kutta de 4ª ordem (ver slide 86). No excel calculouse nas colunas D,E,F e G os valores de k1, k2, k3 e k4 (respectivamente) pelas fórmulas ao lado apresentadas. Por exemplo, k1 = D13: =0,000273*EXP(16306*((1/535)-(1/(535+90,45*C13))))*(1-C13); k2 = E13:=0,000273*EXP(16306*((1/535)-(1/(535+90,45*(C13+0,5*D13*dt)))))*(1-(C13+0,5*D13*dt)); k3 = F13:=0,000273*EXP(16306*((1/535)-(1/(535+90,45*(C13+0,5*E13*dt)))))*(1-(C13+0,5*E13*dt)) e, por fim, k4 = G13:=0,000273*EXP(16306*((1/535)-(1/(535+90,45*(C13+F13*dt)))))*(1-(C13+F13*dt)). Na coluna C, na célula C13= x0 enquanto que as restantes são dadas de forma semelhante a C14:=C13+(1/6)*(D13+2*E13+2*F13+G13)*dt. Na coluna B, na célula B13=t0=0 enquanto que as restantes são dadas pela anterior +dt. O valor máximo de t considerado foi 1500.

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Excel


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Este exemplo é exactamente o mesmo que no slide anterior mas resolvido em modellus. Como se pode concluir, é muito mais simples pois basta definir a equação que se pretende calcular.

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Modellus

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Neste exemplo, pretende-se resolver um sistema de equações utilizando o excell e o método de runge-kutta de 4ª ordem. Coluna A: A16=t0=0; A17=A16+dt; As células prolongam-se até t=50 Coluna B: B16=A0=C7; B17=B16+(1/6)*(C16+2*D16+2*E16+F16)*dt; Coluna C: C16=-k_1*$B16+k_2*$G16*$L16 Coluna D: D16=-k_1*($B16+0,5*C16*dt)+k_2*($G16+0,5*H16*dt)*($L16+0,5*M16*dt) Coluna E: E16=-k_1*($B16+0,5*D16*dt)+k_2*($G16+0,5*I16*dt)*($L16+0,5*N16*dt) Coluna F: F16=-k_1*($B16+E16*dt)+k_2*($G16+J16*dt)*($L16+O16*dt) As restantes colunas são dadas da mesma forma mas aplicando-se às equações dB/dt e dC/dt

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Este sistema de equações é exactamente o mesmo do slode anterior, mas resolvido em modellus. Mais uma vez se conclui que este método é o mais eficaz pois basta colocar-se as equações e as condições iniciais e tem-se a equação diferencial resolvida. No gráfico, a linha azul corresponde à concentração de A enquanto que a linha roxa corresponde às concentrações de B e de C (ao fazer-se zoom conclui-se que estas não se encontram sobrepostas).

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Modellus


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Carimbo

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Caixa de texto

CÈLULA A CÉLULA E CÉLULA I =SE(A10<t_2;A10+dt;"") =SE(É.NÚM(B10);0,8*EXP(-0,2*(A10+(2/3)*dt));"") =SE(É.NÚM(A11);I10+dt*(B10+4*C10+B11)/6;"") CÉLULA B CÉLULA F CÉLULA J =SE(É.NÚM(A10);0,8*EXP(-0,2*A10);"") =SE(É.NÚM(A10);-4*EXP(-0,2*A10)-(-4*EXP(-0,2*t_1));"") =SE(É.NÚM(A11);ABS(I11-F11)/I11*100;"") CÈLULA C CÉLULA G CÉLULA K =SE(É.NÚM(B10);0,8*EXP(-0,2*(A10+0,5*dt));"") =SE(É.NÚM(A11);G10+dt*(B11+B10)/2;"") =SE(É.NÚM(A11);K10+dt*(B10+3*E10+3*D10+B11)/8;"") CÉLULA D CÉLULA H CÉLULA L =SE(É.NÚM(B10);0,8*EXP(-0,2*(A10+(1/3)*dt));"") =SE(É.NÚM(A11);ABS((F11-G11)/F11*100)) =SE(É.NÚM(A11);(ABS(F11-K11)/F11)*100;"")


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N.º Foto: Hugo Pereira Andrade