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Revista Mexicana de Física
ISSN: 0035-001X
Sociedad Mexicana de Física A.C.
México
Rubio, J. de Jesús; Ordaz, G.; Jiménez-Lizárraga, M.; Iván Cabrera, R.
Solución general de la ecuación de Navier-Stokes para describir la dinámica de un fluido viscoso
homogéneo en una tubería abierta
Revista Mexicana de Física, vol. 59, núm. 3, mayo-junio, 2013, pp. 217-223
Sociedad Mexicana de Física A.C.
Distrito Federal, México
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=57027860006
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Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal
Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto
RESEARCH Revista Mexicana de Fısica59 (2013) 217–223 MAY–JUNE 2013
Solucion general de la ecuacion de Navier-Stokes para describir la dinamica de unfluido viscoso homogeneo en una tuberıa abierta
J. de Jesus Rubioa,b, G. Ordaza, M. Jimenez-Lizarragac, R. Ivan CabreraaaSeccion de Estudios de Posgrado e Investigacion, ESIME Azcapotzalco, Instituto Politecnico Nacional,
Av. de las Granjas no. 682, Col. Santa Catarina, Mexico D.F., 02250, Mexico,phone:(+52)55-57296000. Ext.64497;
email: [email protected]; [email protected] de Investigacion e Inovacion Tecnologica, Instituto Politecnico Nacional,
Cerrada Cecaty s/n, Col. Santa Catarina, Mexico D.F., 02250, Mexico.phone:(+52)55-57296000. Ext.64497;
email: [email protected]; [email protected] of Physical and Mathematical Sciences, Autonomous University of Nuevo
Leon, San Nicolas de los Graza Nuevo Leon, Mexico.email: [email protected]
Received 24 May 2012; accepted 31 January 2013
En este artıculo se presenta un analisis en terminos de partıculas para la solucion unidimensional de la ecuacion de Navier-Stokes bajocondiciones de frontera que permite describir un fluido de una tuberıa en la industria petrolera.
Descriptores:Analisis en terminos de particulas; ecuacion de Navier-Stokes.
This paper presents a particle analysis of the unidimentional solution of the Navier-Stokes equation with border conditions which lets todescribe a fluid on a petroleum industry pipe.
Keywords: Particle analysis; Navier-Stokes equation.
PACS: 02.30.Yy; 02.60.Lj; 02.60.Cb
1. Introduccion
En este artıculo se plantea el problema de modelar la dinami-ca de un fluido viscoso compresible que viaja a traves de unsistema de tuberıas en circuito abierto, esto es, se desarrollala solucion del comportamiento de un fluido que viaja en unasola direccion teniendo presente sus caracterısticas fısicas.
El punto de partida del problema se da en el momentoen el que se elige un ejemplo real que sucede en un proce-so especıfico de la industria petrolera, y es el de transportargas amargo a traves de distancias muy largas donde eso im-plica tener estaciones de compresion a cierta distancia comoindican las normas que a esto corresponde (14 km), lo masinteresante de este ejemplo es que la tuberıa que debe sersubterranea y no se extiende de manera uniforme, es decir,debido a muchos factores ya sea del subsuelo o por motivode cruzamiento de la ruta por otras lıneas de tuberıas, porrıos o carreteras provoca desviaciones como las que se mues-tran en la Fig. 1, se les llamacruzamientosen ingenierıa dediseno, cuyas desviaciones generanpuntos de rupturaque noson mas que la seccion de tuberıa que se degrada para efec-tuar un cambio de nivel. Hasta este punto el analisis se tornacomplicado ya que al observar la dinamica del fluido que laspartıculas toman en los cambios de nivel se destaca la difi-cultad de modelar y mas aun de obtener la solucion de talcomportamiento.
Ahora bien, el fluido en estudio (gas amargo) cuyas ca-racterısticas de homogeneidad y compresibilidad resultan ser
interesantes pero a la vez complicadas desde un nivel departıculas debido a la composicion del mismo (gas metano,propano, butano, etano, acido sulfhıdrico), torna aun mas in-teresante su estudio.
Ha de tomarse en cuenta que la tuberıa se supone lisa (sinrugosidad) y que el medio continuo se concibe en partıculaselementales cuyo analisis se realiza de manera local, es decir,se busca la descripcion a traves de su expresion mas elemen-tal, donde las condiciones de frontera suponen que el viaje delas partıculas a traves de la tuberıa es a una distancia cons-tante entre una y otra, cuyas dinamicas son hasta cierto puntoindependientes.
En base a los conocimientos de mecanica de fluidos [1-4],en los cuales se engloban los matematicos y los fısicos se de-be plantear un modelo que describa la dinamica de un flui-do y con ello la solucion, que muestre el comportamiento enterminos de partıculas en su estado estacionario y transitorio,se procede a desarrollar el modelo a partir de las ecuaciones
FIGURA 1. Seccion de tuberıa seleccionada para el estudio del flui-do.
218 J. DE JESUS RUBIO, G. ORDAZ, M. JIMENEZ-LIZARRAGA, R. IVAN CABRERA
ciones de fluidos viscosos con caracterısticas homogeneas deNavier-Stokes [13].
2. Tratamiento del modelo matematico
La expresion mas general de la ecuacion de Navier-Stokes es:
ρ
(∂~u
∂t+ ~u · ∇~u
)= −∇P
+ λ∇ (∇ · ~u) + µ∆~u + fc (x, t) (1)
donde:P : Presion del compresor a traves de la tuberıaλ : Constante
Sin embargo, cuando el fluido es incomprensible peroviscoso, la ecuacion anterior se simplifica bastante pues secumplen las siguientes condicionesdρ/dt = 0, ∇ · ~u = 0,fc(x, t) = 0 (porque se desprecia el efecto de las fuerzasexternas) que significa que debe existir homogeneidad en ladensidad. Lo que lleva a resolver la siguiente ecuacion de Na-vier - Stokes para fluidos viscosos:
k∇2~u−∇P − ~u · ∇~u =∂~u
∂t(2)
conk = µ/ρ y donde:µ : Parametro de viscosidad del fluidoρ : Densidad del fluido~u : Vector de velocidad∇~u : Termino convectivo
Si definimos el vector de velocidad~u como sigue:
~u = uj ≡ {ux.uy, uz}
la Ec. (2) se puede expresar como:
k∂2uj
∂x2i
− ui∂uj
∂xi− ∂P
∂xj=
∂uj
∂t(3)
Como se considera que la partıcula se desplaza de maneraunidimensional, la Ec. (3) se reescribe como:
∂
∂x
[k
∂u
∂x− u2
2− P
]=
∂u
∂t(4)
donde se observa que
k∂u
∂x− u2
2− P
es laecuacion de Riccati.Por este hecho, se propone la siguiente solucion para la
ecuacion de Riccati:
u = −2k∂
∂xlnβ (x, t) =
−2k
β (x, t)∂β (x, t)
∂x(5)
Ahora, se obtiene la derivada con respecto a la posicionde (5), y entonces se tiene lo siguiente:
∂u
∂x=
∂
∂x
[ −2k
β (x, t)∂β (x, t)
∂x
]
= −2k
[∂β (x, t)
∂x
∂
∂x
{β−1 (x, t)
}
+1
β2 (x, t)∂
∂x
{∂β (x, t)
∂x
} ]
Por lo tanto, se obtiene:
∂u
∂x= 2k
(1
β (x, t)∂β (x, t)
∂x
)2
− 2k
β (x, t)∂2β (x, t)
∂x2(6)
Sustituyendo (5) y (6) en (4), se obtiene:
∂
∂x
[k
{2k
(1
β (x, t)∂β (x, t)
∂x
)2
− 2k
β (x, t)∂2β (x, t)
∂x2
}]
+∂
∂x
[−1
2
( −2k
β (x, t)∂β (x, t)
∂x
)2
−P
]
=∂
∂t
[−2k
∂
∂xlnβ (x, t)
]
Utilizando la propiedad de las derivadas parciales
∂
∂t
[−2k
∂
∂xlnβ (x, t)
]=
∂
∂x
[−2k
∂
∂tlnβ (x, t)
],
se tiene lo siguiente:
∂
∂x
[2k2
(1
β (x, t)∂β (x, t)
∂x
)2
− 2k2
(1
β (x, t)∂2β (x, t)
∂x2
) ]
+∂
∂x
[−2k2
(1
β (x, t)∂β (x, t)
∂x
)2
− P
]
=∂
∂x
[−2k
∂
∂tlnβ (x, t)
]
De la ecuacion anterior, se cancela el termino
∂
∂x
[2k2
(1
β (x, t)∂β (x, t)
∂x
)2]
,
y considerando (5), se obtiene lo siguiente:
∂
∂x
[−2k2
(1
β (x, t)∂2β (x, t)
∂x
)− P
]
=∂
∂x
[ −2k
β (x, t)∂β (x, t)
∂t
]
Rev. Mex. Fis.59 (2013) 217–223
SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION DE NAVIER-STOKES PARA DESCRIBIR LA DINAMICA DE UN FLUIDO VISCOSO. . . 219
Se cancela el termino∂x a ambos lados de la igualdad. Inte-grando a ambos lados de la igualdad se obtiene lo siguiente:
∫∂
[−2k2
(1
β (x, t)∂2β (x, t)
∂x
)− P
]
=∫
∂
[ −2k
β (x, t)∂β (x, t)
∂t
]
− 2k2
(1
β (x, t)∂2β (x, t)
∂x
)− P + ca
=−2k
β (x, t)∂β (x, t)
∂t+ cb
La ecuacion anterior se puede reescribir como sigue:
−2k2
β (x, t)∂2β (x, t)
∂x− (P+cb−ca)=
−2k
β (x, t)∂β (x, t)
∂t
Multiplicando la ecuacion anterior por−β (x, t) divi-diendo por2k2, la nueva ecuacion por resolver es:
∂2β (x, t)∂x
+ P β (x, t) =1k
∂β (x, t)∂t
(7)
dondeP =
P + cb − ca
2k2.
La Ec. (7), tiene una estructura muy similar a la ecuacion deSchrodinger [12]:
∇2β + P β =1k
∂β
∂t(8)
Utilizando el metodo de variables separables, se proponela siguiente solucion:
β (x, t) = β (x)β (t) (9)
sustituyendo (9) en (7), se obtiene:
∂2β (x)∂x
β (t) + P β (x) β (t)− 1k
∂β (t)∂t
β (x) = 0
β′′ (x)β (t) + P β (x) β (t)− 1k
β′ (t)β (x) = 0
dividiendo entreβ (x) β (t), se obtinene:
β′′ (x)β (x)
+ P − 1k
β′ (t)β (t)
= 0 (10)
Como el tercer termino de (10) solo depende del tiempo,se refiere ael como la parte transitoria del sistema, mientrasque los otros dos terminos solo dependen de la posicion, adichos terminos se les nombra como la parte estacionaria delsistema. Es decir, de la parte transitoria del sistema se tiene:
1k
β′ (t)β (t)
= −λ2 (11)
donde−λ2 ∈ < es una constante. Por otra parte, se cono-ce que la derivada de un logaritmo natural se puede expresarpara este problema como sigue:
β′ (t)β (t)
=∂ lnβ (t)
∂t
Sustituyendoβ′(t)/β(t) por ∂ lnβ(t)/∂t en la Ec. (11),se tiene lo siguiente:
d lnβ (t) = −kλ2dt (12)
Integrando a ambos lados de (12), se obtiene:∫
d lnβ(t) = −∫
kλ2dt
lnβ (t) + c1 = −kλ2t + c2
lnβ (t) = −kλ2t + c
dondec = c2 − c1.Aplicando la funcion exponencial a ambos lados, se ob-
tiene:β (t) = Ae−kλ2t (13)
dondeA = eC .Sustituyendo (11) en (10), se obtiene la parte estacionaria
del sistema como sigue:
β′′ (x)β (x)
+ P + λ2 = 0
multiplicando la ecuacion anterior porβ(x):
β′′ (x) + P β (x) + λ2β (x) = 0 (14)
Se propone el siguiente cambio de variable, para tratar laEc. (14) y llevar a una forma conocida:
y =2√
P0
αe−αx
2 (15)
dondey ∈[0, 2
√P0
α
], esto implica que:
e−αx
2 =αy
2√
P0
(16)
Ahora derivando (15) con respecto ax, se tiene que:
dy
dx=
d
dx
2√
P0
αe−αx
2 =2√
P0
α
(−α
2e−αx
2
)
=−α
2
(2√
P0
αe−αx
2
)⇒ dy
dx=−α
2y
Utilizando la dy/dx del desarrollo anterior, la segundaderivada parcial dex, (d/dx)(d/dx) se reescribe en termi-nos dey para posteriormente ser usada en la Ec. (14):
d
dx
(d
dx
)=
dy
dx
d
dy
(dy
dx
d
dy
)=−α
2y
d
dy
(−α
2y
d
dy
)
=α2
4y
{d
dy
(y
d
dy
)}
=α2
4y
{y
d
dy
(d
dy
)+
dy
dy
d
dy
}
=α2
4y
{y
d2
dy2+
d
dy
}
Rev. Mex. Fis.59 (2013) 217–223
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donde se aplico la derivada
d
dy(uv) = u
dv
dy+
du
dyv
con u = y y v = d/dy, y quedy/dy = 1. Por lo tanto(d/dx)(d/dx) finalmente da:
d
dx
(d
dx
)=
α2
4y2 d2
dy2+
α2
4y
d
dy(17)
Aplicando (17) a (14), se produce el siguiente resultado:
α2
4y2β′′ (y) +
α2
4yβ′ (y) + P β (y) + λ2β (y) = 0 (18)
dondeP se ha definido en (7). La presion que ejerce el com-presor a traves de la tuberıaP se define como sigue:
P = 2k2P0e−αx (19)
Observacion 1: Es conocido que la presion que ejerce elcompresor a traves de la tuberıa cuando se tiene un tubo rectodecae de manera lineal con la posicion. Pero en este estudio,se analiza un tubo el cual tiene cuatro desviaciones conside-radas como gargantas las cuales forman un punto de rupturadescrito en la Fig. 1. El hecho descrito anteriormente podrıajustificar el resultado de que la presion decae de manera ex-ponencial con la posicion.
SustituyendoP de (7) yP de (19) en la Ec. (18), se tienelo siguiente:
α2
4y2β′′ (y) +
α2
4yβ′ (y)
+(
P0e−αx +
cb − ca
2k2
)β (y) + λ2β (y) = 0 (20)
pero
e−αx =α2y2
4P0
debido a (16), entonces:
α2
4y2β′′ (y) +
α2
4yβ′ (y)
+(
α2
4y2 +
cb − ca
2k2
)β (y) + λ2β (y) = 0 (21)
Multiplicando por4/α2, se tiene que:
y2β′′ (y) + yβ′ (y)
+(
y2 − 2ca − 2cb − 4k2λ2
α2k2
)β (y) = 0 (22)
Finalmente, si se define:
ν =√
2ca − 2cb − 4k2λ2
αk(23)
Sustituyendo (23) en (22), se tiene:
y2β′′ (y) + yβ′ (y) +(y2 − ν2
)β (y) = 0 (24)
La Ec. (24), se conoce como laecuacion diferencial deBessel de ordenν [10], cuya solucion general esta definidacomo sigue:
β (y) = C1Jν (y) + C2Yν (y) (25)
donde:Jν (y) Es una funcion de Bessel de primer tipoy.Yν (y) Es una funcion de Bessel de segundo tipo
tambien conocida como de Neumann.C1, C2 Son constantes arbitrarias determinadas a
partir de las condiciones de frontera.Como la solucion es infinita cuandoy = 0 y como
Yν(y) −→ ∞ cuandoy −→ 0, esto significa que el coefi-ciente deYν (y) esC2 = 0, dejando la solucionβ (y) expre-sada como sigue:
β (y) = C1Jν (y) (26)
Entonces, regresando a la forma (9) de la solucion porvariables separables, y usando (13), se tiene lo siguiente:
β (y, t) = β (y) β (t)
β (y, t) = C1Jν (y) Ae−kλ2t (27)
2.1. Solucion estacionaria
Retomando el analisis para la obtencion de la solucion esta-cionaria la Ec. (26), el cual se normaliza a partir de la unidad,recuerde quey ∈ [0, (2
√P0/α)] debido a (15), lo cual deter-
mina las cotas de integracion, esto es:
2√
P0α∫
0
C21Jν (y) Jν (y) dy = 1 (28)
entonces:
C21 =
12√
P0α∫0
Jν (y) Jν (y) dy
(29)
por lo tanto:
C1 =
√√√√√√1
2√
P0α∫0
Jν(y)Jν(y)dy
(30)
Observese que los ceros de la funcion de Bessel no pue-den determinarse a priori por lo que es difıcil encontraruna solucion cerrada para expresar la normalizacion de laconstante y entonces la constante depende de los valoresC1 (α, P0, λ).
El resultado de la integral numerica se obtuvo mediantesimulacion en el programa Mathematica V. 5.0, tomando encuenta los datos de la Tabla I propios del fluido en cuestion:
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SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION DE NAVIER-STOKES PARA DESCRIBIR LA DINAMICA DE UN FLUIDO VISCOSO. . . 221
TABLA I. Datos de las propiedades del medio continuo.
Nombre Sımbolo Valor Unidades
Constante λ 0.5 No aplica
Constante de decaimiento α 1/4 No aplica
Presion inicial de
descarga del compresor P0 200 psi=lbf /in2
Viscosidad absoluta del gas µ 1.49× 10−5 lbf s/in2
Densidad del gas ρ 6.57× 10−5 lb/in3
Coeficiente de Viscosidad k=µρ
0.2267 No aplica
Constante ca 0.5 No aplica
Constante cb 0.5 No aplica
Sustituyendo los datos de la Tabla I en (30), se tiene:
C1 = 0.883114 (31)
Ahora bien, la solucion estacionaria (26), para unν fijotomado de (23) como
ν =√
2ca − 2cb − 4k2λ2
αk,
se escribe en forma general:
β(y) =
√√√√√√1
2√
P0α∫0
Jν (y) Jν (y) dy
[Jν(y)] (32)
Al igual que en la obtencion del coeficiente (31), median-te simulacion en Mathematica V. 5.0 se obtiene la respuestade la solucion estacionaria del sistema de la Fig. 2.
Observese que el comportamiento es oscilatorio decre-ciente, y bajo rangos de periodo en los que la partıcula es im-pulsada nuevamente por el superpotencial retoma amplitudy regresa a la dinamica de decaimiento, aun mas detenida-mente, se encuentran singularidades periodicas en el sistemaque representan sin lugar a dudas la fase de turbulencia de lapartıcula, fısicamente representa la transicion de la misma enla degradacion de la tuberıa, del sistema de estudio.
FIGURA 2. Comportamiento estacionario del sistema.
2.2. Solucion transitoria
Retomando tambien la Ec. (13), dondet ∈ [0, 0.005] en se-gundos. Como en la solucion estacionaria, se debe encontrarel coeficienteA, que depende de las condiciones de fronte-ra (Vease Tabla I). Se procede a normalizar la Ec. (13) y setiene:
0.005∫
0
A2βa (t) βa (t) dt = 1 (33)
dondeβa (t) = e−kλ2t. Entonces:
A2 =1
0.005∫0
βa (t) βa (t) dt
(34)
por lo tanto:
A =
√√√√√1
0.005∫0
βa (t)βa (t) dt
(35)
Usando la Ec. (13), la solucion transitoria del sistema seexpresa en forma general como sigue:
β (t) =
√√√√√1
0.005∫0
βa (t) βa (t) dt
e−kλ2t (36)
El calculo del coeficiente es llevado a cabo mediante laherramienta de simulacion ya mencionada, tomando en cuen-ta los valores de la Tabla 1 se tiene queA dependeA (k, λ, t),y con valor:
A = 3.76087 (37)
La solucion transitoria del sistema tiene entonces ladinamica de la Fig. 3.
Es ası como se llega a la obtencion de la solucion generaldel sistema, que describe el comportamiento general de la en-
FIGURA 3. Comportamiento transitorio del sistema.
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222 J. DE JESUS RUBIO, G. ORDAZ, M. JIMENEZ-LIZARRAGA, R. IVAN CABRERA
FIGURA 4. Comportamiento general del sistema.
tidad elemental que conforma el medio que se esta estudian-do y que de manera general se escribe como sigue:
β (y, t) = C1Jν (y) Ae−kλ2t (38)
Para el caso particular del sistema y agregando los resul-tados de los coeficientes, se tiene:
β (y, t) = (0.883114)Jν (y) (3.76087) e−kλ2t
β (y, t) = 3.3213Jν (y) e−kλ2t (39)
Aprovechando la herramienta del software MathematicaV. 5.0, usado tambien para la obtencion de las respuestas es-tacionaria y transitoria, ası como los coeficientes que a estascorresponden, entonces se tiene el comportamiento generaldel sistema de la Fig. 4.
Es ası como se llega a la respuesta del sistema, lo quese convierte en el tema de estudio para la aplicacion de masherramientas y metodos de analisis del caso particular queaquı se aborda. En este caso, los cambios de forma del tubomodifican el perfil de velocidades en el sistema de referenciacartesiano usado en este artıculo.
3. Conclusiones
En este trabajo se logra un avance en el estudio mas profun-do de la descripcion del comportamiento de un gas de hidro-carburos a traves de un contenedor tubular, que en primerainstancia puede dar una vision del comportamiento y la des-cripcion del mismo. Como trabajo futuro, se va a utilizar elmodelo dinamico propuesto para detectar las fallas en unatuberıa, o se va a abordar el problema tridimensional y a par-tir de el reducir el problema al unidimensional, tambien, sedisenara un controlador inteligente para mejorar el compor-tamiento del gas de hidrocarburos a traves del contenedor tu-bular [22-31].
Agradecimientos
Los autores agradecen al editor y a los revisores por sus va-liosos comentarios y sugerencias que permitieron mejorar es-ta investigacion significativamente. Los autores agradecen ala Secretaria de Investigacion y Posgrado, a la Comision deOperacion y Fomento de Actividades Academicas del IPN,y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa por su ayudaen esta investigacion. El tercer author agradece a CONACYTpor el proyecto 169734.
1. F. A. Sanchez, G. J. Gutierrez y A. Medina,Rev. Mex. Fis.55(2009) 467-471.
2. F. de J. Guevara,Rev. Mex. Fis.57 (2011) 125-132.
3. M. Pliego, C. Fuentes, G. J. Gutierrez y A. Medina,Rev. Mex.Fis. 56 (2010) 475-481.
4. M. Pliego, G. J. Gutierrez y A. Medina,Rev. Mex. Fis.57(2011)1-5.
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Rev. Mex. Fis.59 (2013) 217–223
SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION DE NAVIER-STOKES PARA DESCRIBIR LA DINAMICA DE UN FLUIDO VISCOSO. . . 223
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