n T n p - claudio.sartori.nom.brclaudio.sartori.nom.br/eletromagcap2.pdf · Chama-se de semicondutores, ... possuem 4 elétrons na última camada, formando entre ... Um exemplo de

Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

Condutores e Isolantes: Em alguns materiais, como aos metais, algumas das cargas negativas podem se mover livremente. Chamamos esses materiais de condutores. Em outros materiais, como o vidro, borracha e plástico, as cargas não podem se mover livremente. Chamamos de isolantes ou não-condutores A estrutura e natureza elétrica dos átomos são

responsáveis pelas propriedades dos condutores e isolantes. Os átomos consistem de cargas positivas, os prótons, cargas neutras, os nêutrons e cargas negativas, os elétrons. Os prótons e os nêutrons estão compactados no núcleo central e os elétrons orbitar o núcleo. Quando os átomos de um condutor, como o

cobre, ficam juntos para formar um sólido alguns dos elétrons não ficam presos ao núcleo, mas tornam-se livres para percorrer o sólido. Chamamos estes elétrons de elétrons de condução. Há poucos elétrons livres em um isolante. Chama-se de semicondutores, materiais

formados por silício e germânio (Si, Ge), por exemplo, aqueles materiais que são intermediários entre condutores e isolantes. Os elétrons num átomo só podem assumir níveis de energia discretos, obedecendo a Teoria atômica de Bohr e o princípio da exclusão de Pauli, que diz que os elétrons possuem números quânticos distintos. Quando dois átomos se aproximam em uma ligação química, os níveis se sobrepõem devido à interação entre os campos dos dois átomos. Em um cristal, o grande número de superposição dos níveis de energia dos átomos, origina um contínuo de níveis de energia próximos, denominado banda de energia. A configuração dessas bandas de energia determinará a natureza do material. Figura 1 – Representação das bandas de energia em um

sólido semicondutor, isolante e condutor. Nos

proibida de enecondução (“gap

(1eV = 1,6.10-19J). Nos materiais condutores, não há essa separação.

Nos materiais semicondutores, essa separação é da ordem de 1 eV, de modo que alguns elétrons podem ser promovidos da banda de valência para a banda de condução. Os átomos de Si, C e Ge possuem 4 elétrons na última camada, formando entre si ligações covalentes e tetravalentes. Quando essas ligações num cristal desse material (Si, C ou Ge) são quebradas pela energia térmica dos elétrons a temperatura ambiente, surge os elétrons livres na banda de condução, gerando uma densidade de elétrons livres n, e aparecem “buracos” (ausência de elétrons na ligação) que geram a densidade de buracos p. Quando n = p denominamos de semicondutor intrínseco. A concentração n.p depende da temperatura:

pnTni

⋅=)(2 O avanço da microeletrônica se deve ao

grande desenvolvimento que das últimas décadas nos materiais semicondutores, com a descoberta que pode-se controlar o número de elétrons livres n ou de buracos p, inserindo-se átomos dopantes na rede cristalina do material semicondutor. Tabela I – Tipos de átomos doadores e aceitadores.

Dopantes Tipo Átomos Função

Doadores n

Com 5 elétrons na última camada: P,As, Sb

Aumenta n e reduz p

Aceitadores p

Com 3 elétrons na última camada: B,Ga, In

Aumenta p e reduz n

Os circuitos integrados, por exemplo, são

constituídos por milhares de diodos e transistores, estes por sua vez são fabricados por materiais semicondutores construídos a base dos elementos silício e germânio.

Finalmente temos os materiais supercondutores, assim chamados pelo fato de não haver resistência elétrica ao movimento de cargas elétricas através desses materiais. Quando as cargas elétricas se movem em um material, dizemos que ele está sendo atravessado por uma corrente elétrica. Naturalmente, os materiais possuem certa resistência à passagem de corrente elétrica. Por exemplo, o fio usado em dispositivos eletrônicos é um bom condutor de corrente elétrica, mas ainda assim apresenta certa resistência elétrica. Em um

E > 6 eV

Isolante

Banda de condução

E ≈ 6 eV

Banda de valência Semicondutor Condutor

14

materiais isolantes, há uma região rgia que separa as bandas de valência e de ”), da ordem de valores maiores que 6 eV

supercondutor a resistência elétrica é nula. Por exemplo, se você dispusesse de um material supercondutor na forma de um anel e fizesse passar


15

uma corrente elétrica por ele, esta irá atravessá-lo indefinidamente, sem a necessidade de uma bateria elétrica para mantê-la. A supercondutividade foi descoberta em 1911 pelo físico holandês Kammerlingh Onnes, que observou que mercúrio sólido perde sua resistência elétrica completamente a temperaturas inferiores a 4,2 K. Até 1986, a supercondutividade estava limitada a pouca utilidade prática, pois até então havia o conhecimento de que os materiais que se tornavam supercondutores necessitavam de uma temperatura abaixo de 20 K. Nos anos recentes, novos materiais supercondutores foram descobertos a temperaturas superiores, dando possibilidade de uma nova era de aplicações.

• Condutores esféricos: Se um excesso de carga é colocado em um material condutor esférico, esta carga é distribuída uniformemente na superfície externa do condutor. Por exemplo, ao colocarmos uma quantidade de elétrons em uma casca esférica condutora, estes elétrons se repelirão uns aos outros se distribuindo uniformemente sobre a superfície esférica externa.

Princípio da conservação da carga: Benjamin Franklin pensava que a carga elétrica era um fluido contínuo, como o ar e a água, por exemplo. Hoje sabemos que a matéria é composta de certa quantidade de átomos: ela é discreta. Assim ocorre com a carga elétrica. Experimentos mostram que a carga elétrica é discreta, que toda carga elétrica pode ser escrita como:

q ne n e C= = ± ± ⇔ = −; , ,..., , .1 2 1 6 10 19 Aqui e é denominada de carga elétrica elementar, uma importante constante da natureza. É de fundamental importância o princípio da conservação da carga elétrica: Num sistema eletricamente isolado, a soma algébrica das cargas negativas e positivas se mantém constante. A tabela a seguir mostra algumas propriedades das três partículas elementares de um átomo.

Tabela II – Dados das partículas que constituem o átomo.

Nome S Q Massa me =

−9 1110 31, . kg Momento angular

2π

Elétron e -1e 1 1/2 Próton p 1e 1836.15 1/2

Nêutron n 0 1836.68 1/2

Quando uma quantidade física, como a carga elétrica, assume valores discretos, dizemos que esta quantidade é quantizada. A matéria, a energia e momento angular são quantidades quantizadas. Por exemplo, em um bulbo de uma lâmpada de 100 W, em torno de 10 elementos de carga entram e deixam o bulbo a cada segundo.

19

Exemplo 1 - Um material de Cobre de 3,11 g contém igual quantidade de cargas positivas e negativas. Qual a magnitude da quantidade de cargas positivas neste material? Qualquer átomo neutro possui uma quantidade Ze de prótons e uma quantidade Ze de elétrons, onde Z é seu número atômico. Assim, a quantidade de carga no material é o produto de NZe, onde N é o número de átomos no material e e a carga elétrica elementar. Sendo M a massa molar do Cu (M=63,5 g/mol) teremos:

N N mMA= = =6 02 10 3 11

63 52 95 1023 22, . . .

., . Átomos.

Sendo o número atômico do Cu Z=23:

q NZe C= = =−( , . ).( ).( , . )2 95 10 29 1 6 10 13700022 19

A Conservação da carga elétrica: Se você esfregar uma haste em um tecido, medidas mostram que as cargas positivas se acumularam na haste e as negativas no tecido. Isto sugere que não há criação da carga, porém uma transferência da mesma. Essa hipótese de conservação da carga foi colocada pela primeira vez por Benjamin Franklin. Um exemplo de fenômeno que envolve a conservação da carga: o decaimento do urânio, no qual um núcleo se transforma espontaneamente em outro tipo de núcleo. Por exemplo, o 238 , ou urânio 238, o qual é encontrado, pode decair emitindo uma partícula alfa: e transformando-se em tório 234:

U

238 234 4U Th He→ + Outro exemplo de conservação da carga é o que acontece quando um elétron (e ) encontra sua anti-partícula, o pósitron (e ) , cuja carga é +e, dando origem a dois raios gama de alta energia:

−

+

e e− ++ → +γ γ Este processo é chamado de aniquilação.

Exercícios:

1) Qual a força eletrostática entre duas cargas de 1C separadas por uma distância de: a) 1 m. b) 1 km


16

2) Uma carga puntiforme de 3 00 10 6, . − C está a 12cm de uma outra carga puntiforme de − −1 5 10 6, . C . Calcule a magnitude da .força sobre cada carga. 3) Qual deve ser a distância entre as cargas puntiformes q C q1 226 0 47 0= = −. ; . Cµ µ para que a força entre elas seja de 5.7 N? 4) Em um dispositivo luminoso, uma corrente de flui durante 20ms. Qual a quantidade de carga que a atravessa?

2 5 104, . A

5) A figura ilustra três cargas puntiformes, de intensidades q q q1 2 3 20= = = Cµ , e o valor de d é 1,5m.

a)

d

q

q

1

2

q1

q2

q3

d

d

d

a) Encontre a força elétrica sobre a carga q1 em cada caso. 6) Porque experimentos em eletrostática não se realizam muito bem emdias húmidos? 7) As cargas q1 e q2 e q3 estão alinhadas nas posições x=-a, x=0 e x=a, respectivamente, no eixo x. Os valores das cargas são:q Q q Q q1 2 3 2= + Q= − = +, ; . Determine: a) A força elétrica resultante sobre a carga q1. b) A força elétrica resultante sobre a carga q2. c) A força elétrica resultante sobre a carga q3.

8) Dispõe-se de 4 cargas localizadas nos vértices de um quadrado, como mostra a figura abaixo:

+2q -2q

+q -q

x

y

a

a

Determine a força elétrica resultante sobre cada carga. 9) Duas cargas puntuais, de valores +q e +4q, estão a uma distância L entre si. Uma terceira carga é colocada de modo que o sistema permaneça em equilíbrio. a) Determine a localização, a magnitude e o sinal da terceira carga. b) Mostre que o equilíbrio do sistema é instável. 10) Determine a quantidade de elétrons em uma carga de 1 C. 11) A magnitude da força elétrica entre dois íons separados de 5 0 m é 3 710 10, . − 10 9, . − N . a) Qual o valor da carga elétrica de cada íon? b) Determine o excesso de elétrons do íon. 12) Quantos megacoulombs em de carga elétrica (prótons ou elétrons) estão presentes em 1,00 mol de gás molecular hidrogênio (H2)? 13) A atmosfera terrestre é constantemente bombardeada por raios cósmicos (prótons) provenientes do espaço. Se em cada metro quadrado da superfície terrestre é bombardeado por uma taxa média de 1500 prótons por segundo, qual seria a correspondente corrente interceptada pela superfície total da terra? 14) Qual a magnitude da força elétrica entre um íon de sódio Na + (carga + e) e um íon de cloro

Cl− (de carga -e) presentes no cristal NaCl (separação:Na-Cl: 2 8 )? 2 10 10, . − m 15) Coloca-se uma carga A de magnitude +Q em contato com uma carga neutra B. Em seguida aproxima-se a carga A de uma carga C de valor -2Q colocando-as em contato e separando-as. Sabendo que as cargas estão isoladas eletricamente, determine: a) O valor da carga A após o contato com a carga B. b) Os valores das cargas A,B e C após os contatos finais. c) Encontre a força de interação entre as cargas A e C, sabendo que sua separação é r. 16) aproxima-se um condutor de carga negativa de um corpo neutro. Em seguida aterra-se o corpo neutro. Qual será a carga final do corpo neutro?


17

17) Duas idênticas esferas condutoras, fixas no espaço, atraem-se com uma força de 0,108 N quando separadas por uma distância de 50,0 cm. As esferas são então conectadas por um fio condutor. Quando o fio é removido, as esferas exercem entre si uma força de 0,0360 N. Qual o valor inicial da carga das esferas? 18) Que quantidade de cargas positivas deveria ser colocada naTerra e na Lua para neutralizar sua atração gravitacional? Quantos kilogramas de hidrogênio seriam necessários para prover essa carga? 19) São colocadas algumas cargas no plano xy: q1=+3µC; x1=3,5 cm e y1=0,5cm; q2=-4µC; x2=-2,0 cm, y2=1,5 cm. a) Encontre a magnitude e direção da força eletrostática sobre a carga q2. b) Onde seria necessário colocar uma carga q3 = +4 µC para que anulasse a força eletrostática sobre a carga 2 ? 20) Uma lâmpada de 100 W opera a 120 V e passa por ela uma corrente de 0,83 A (assumindo a corrente estacionária). Quanto tempo demora para 1 mol de elétrons atravessar a lâmpada?


18

Campo Elétrico • Introdução: Suponha que uma carga fixa positiva q1 está fixa em um ponto do espaço e colocamos uma segunda carga q2 próxima a ela. Da Lei de Coulomb sabemos que q1 exerce uma força eletrostática repulsiva sobre q2 e poderíamos, conhecidas as cargas e a distância entre elas, determinar a força de interação. Porém permanece a questão: Como q1 "sabe" da presença de q2? Esta questão sobre ação à distância pode ser explicada devido a presença de um campo elétrico, criado no espaço em torno da carga q1. Em um dado ponto P do espaço, o campo elétrico dependerá da magnitude da carga q1 e da distância da carga q1 a P. Quando colocamos q2 em P, q1 interage com q2, através do campo elétrico em P. Como um exemplo prático de ação à distância, durante o vôo da espaçonave Voyager II em torno do planeta Urano, sinais de comando eram enviados da Terra para a espaçonave. Esses sinais enviados por ondas de rádio, (um tipo de onda eletromagnética), eram gerados por meio de oscilações de elétrons em uma antena de transmissão na Terra. O sinal movia-se através do espaço e era recebido pela espaçonave somente quando elétrons na antena receptora da nave oscilavam, 2,3 h depois do sinal ser enviado pela Terra. O sinal se propaga pela velocidade c da luz no vácuo. Este e muitos outros exemplos mostram que a eletricidade, o magnetismo, a ótica podem representar juntas uma maneira conjunta de se explicar um fenômeno. • O Campo Elétrico: O campo elétrico é um campo vetorial: consiste de uma distribuição de vetores, um em cada ponto da região em torno de um objeto carregado. Em princípio, definimos o campo elétrico quando colocamos uma carga teste ou carga de prova q0 em uma região do espaço próxima a um objeto carregado, em um ponto P, como mostra a figura 2 (a): E rrR ′−= P(x, y, z) Q(x’, y’, z’) r ′ r O (Origem) Figura 2 – (a) Cálculo do campo em P (x, y, z).

rrrr

rrQrE

′−′−

′−= 2

04)(

πε

Aqui:

• O vetor r′ localiza o ponto Q da carga .

r• O vetor identifica o ponto genérico do espaço P(x, y, z).

• O vetor rrR ′−= de Q a P. Podemos ainda escrever:

( )3

04)(

rrrrQrE′−

′−=

πε

Ou:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] 23222

04

ˆˆˆ)(

zzyyxx

azzayyaxxQrE zyx

′−+′−+′−

′−+′−+′−=

πε

O campo devido a n cargas pontuais Q1

localizada em 1r 2r, Q2 localizada em ,..., Qn

localizada em nr será dado por:

nn

n arr

Qarr

Qarr

QrE ˆ4

ˆ4

ˆ4

)(0

2220

212

10

1

−++

−+

−=

πεπεπε

∑= −

=n

mm

m

m arr

QrE1

210

ˆ4

)(πε

Esse resultado é conhecido como o princípio da superposição, que veremos adiante.

Figura 2 – (b) Carga de prova na presença de um

campo elétrico.

+ + + + + + + + + + + +Objeto carregado Carga teste

F + + + + + + + + + + +

Campo eem P

E

a) b)

P . +

Mede-se a força eletrostática F que atua na carga de prova. O Campo elétrico no ponto P devido a presença do objeto carregado é definido por:

E Fq

=0


19

Figura 3 – Representação das linhas de força de uma carga elétrica negativa.

A direção de E é a direção da força elétrica e o sentido depende do sinal da carga do corpo carregado. A unidade do sistema internacional (SI) para o campo elétrico é o Newton por Coulomb (N/C). Na figura a seguir ilustramos o sentido do campo elétrico para dois corpos carregados com cargas opostas: Figura 4 – Campo elétrico de carga positiva e negativa.

+ + + - - - - -- - - - -

+ + +

P

P

E E

Corpo carregado Ou seja, o campo converge em P para o objeto carregado negativamente e diverge em P para um objeto carregado negativamente. A força atuando entre duas partículas carregadas era pensada como uma interação direta e instantânea entre as partículas: A ação à distância era vista como:

Carga 1 → Carga 2 Hoje, sabemos que o campo elétrico atua como um intermediário entre as cargas, ou seja, a ação é simbolizada por:

Carga 1 → campo → Carga 2 A tabela a seguir ilustra alguns campos elétricos existentes na natureza:

Tabela III – Valores de Campos elétricos típicos.

Campo Valor (N/C) Na superfície de um núcleo de Urânio

3 0 1021, .

Átomo de Hidrogênio (órbita de um elétron)

5 0 1011, .

Acelerador de elétrons em um tubo de TV

105

Baixa atmosfera 102 Dentro de um fio de cobre em circuitos de casa

10 2−

• Linhas de Força - Linhas de Campo Elétrico: Michael Faraday introduziu a idéia de campo elétrico no século XIX, através de linhas de força que preenchiam o espaço ao redor de uma carga elétrica. A relação entre as linhas de campo e o vetor campo elétrico é: 1) Em qualquer ponto, a direção do campo

a de linha de força. elétrico é o da tangente à curv 2) O número de linhas de força por unidade de área, medida em um plano que é perpendicular às linhas de força, é proporcional à magnitude do campo elétrico E. Ou seja, se as linhas de campo estão mais juntas, o campo é intenso, se estão mais distanciadas, o campo é pequeno. A figura abaixo ilustra as linhas de força para cargas elétricas puntiformes de sinais iguais e de sinais opostos. Figura 5 – Linhas de força de cargas positivas (a) e dipolo elétrico (b).

(a)


20

(b)

Observe que: O número de linhas de força que saem da carga positiva é o mesmo que chegam à carga negativa; as linhas de força não se cruzam em nenhum ponto do espaço e convergem para a carga negativa, divergindo para a carga positiva. Equação das linhas de Força: Observe que:

x

y

EE

dxdy

=

O campo elétrico de uma carga pontual é dado por:

E k q

r= 2

Onde q é o valor da carga, r é a distância do ponto à carga elétrica. Se tivermos diversas cargas puntiformes q1,q2,...,qn , o campo elétrico resultante em um ponto P do espaço é da erposição: do pelo princípio da sup

E E E E ERP n= + + + +1 2 3 ...

Exemplo 2 - A figura abaixo mostra uma carga +8q na origem do eixo x e uma carga -2q localizada em x=L. Em que posição o campo elétrico resultante se anula? Figura 6 – Distribuição de cargas do Exemplo 2.

Observe que as únicas regiões possíveis do campo elétrico resultante se anular estão à direita da carga -2q (carga 2) e a esquerda da carga +8q (carga 1). Assim temos:

E E E E E= + = ⇒ = −1 2 1 20 Em módulo temos: E E1 2= . Chamando a distância do ponto à carga 1 de x, teremos:

k q

xk q

x L

x Lx

x L8 2 14

22 22=

−⇒

−= → =

( )( )

Exemplo 3 - O núcleo de um átomo de Urânio têm raio igual a 6,8 fm (fermi) . Assumindo que a carga positiva no núcleo está distribuida uniformemente, determine o campo elétrico num ponto da superfície do núcleo devido a esta carga. O núcleo tem uma carga positiva Ze, onde o número atômico Z para o átomo de urânio é de Z=92, e e C= −1 6 10 19, . é a carga de um próton. Se a carga está distribuída uniformemente, a força eletrostática sobre uma carga de prova na superfície do núcleo é a mesma se toda a carga nuclear estivesse concentrada no centro nuclear. Então:

E Ze

RNC= = =

−

−1

49 0 10 92 1 6 10

6 8 102 9 10

0 29

19

15 221

πε, . ( , . )

( , . ), .


21

• Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico: Duas cargas de mesma magnitude porém sinais opostos formam um dipolo elétrico. O campo elétrico num ponto P é dado por (Observe da figura): Figura 7 – Representação de dipolo elétrico.

+ -

+q -q

P

E(-)

E(+)

r(+)

r(-)

dp

z

E E E k q

rk q

rkq

z d z d= − = − = −+ −

+ −− +( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

[ ]2 21 112

2 12

2

Após uma pequena álgebra, chega-se a:

E k q

zdz

dz= − − +− −

2 22

221 1[( ) ( ) ]

É interessante usualmente verificar os efeitos do dipolo a distâncias grandes comparadas com suas dimensões. Assim, suponha que z d d

z>> ⇒ << a grandes distâncias 2 1. Pode-se expandir as duas quantidades no colchetes da equação acima por:

E k q

zdz

dz

dz= + + − − + ⇒ <2 1 1[( ...) ( ...)] < 1

Teremos o campo elétrico do dipolo dado por:

E k qd

z

p

z= =

2 123 0 3πε

Chamamos de p o momento de dipolo elétrico o produto q.d:

p qd= p possui sentido da carga negativa para a positiva e direção do eixo do dipolo. • Distribuições de Carga: Uma distribuição de carga consiste de muitas cargas pontuais (bilhões) espaçadas ao longo de uma linha, superfície ou volume. Desde que estas distribuições são dita contínua e contém um número enorme de cargas elétricas pontuais, o campo elétrico é encontrado considerando cada carga da distribuição. Nesse caso, é conveniente tratar o problema com o auxílio da densidade de carga, que pode ser de acordo com a tabela abaixo:

Nome Símbolo SI Unidade

Carga q C Densidade de Carga

Linear λ = rL C/m

Densidade de Carga Superficial

σ = rS Cm2

Densidade de Carga Volumétrica

ρ = rv Cm3

Aqui, escrevemos a densidade de carga

volumétrica por:

vQ

vv ∆∆

=→∆ 0

limρ

A carga total num volume finito é: dvQ

Vv∫∫∫= ρ

Campo Elétrico devido a uma distribuição de cargas:

rrrr

rrQrE

′−′−

′−∆

=∆ 204

)(πε

rrrr

rrv

rE v

′−′−

′−

′∆=∆ 2

04)(

πε

ρ

Se somarmos as contribuições para todas as cargas deste volume em uma dada região e considerarmos o volume elementar dv’ tendendo a zero a medida que esses elementos se tornam infinitos, o somatório se torna uma integral:

∫∫∫ ′−′−

′−

′′=

v

v

rrrr

rrvdr

rE 204

)()(

πε

ρ

A seguir, indicaremos os versores, elementos de volume e transformação de coordenadas que serão úteis na resolução de problemas.


22

Coordenadas Cilíndricas

Relações: P(r, f, z) → P(x,y,z):

φρ cos=x ; φρseny = ; z z= Relações: P(x,y,z) → P(r, f, z):

xyarctg=φ z=z 22 yx +=ρ

z P y r za φa f za ρa ya x xa

• Relações entre versores das coordenadas cartesianas para cilíndricas: Mostramos que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=

zz

y

x

aaasenaa

senaaa

ˆˆcosˆˆˆ

ˆcosˆˆφφφφ

φρ

φρ

• Relações entre versores das coordenadas cilíndricas para cartesianas: Manipulando as equações acima, veja que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+=

zz

yx

yx

aaasenaa

senaaa

ˆˆcosˆˆˆ

ˆcosˆˆφφφφ

φ

ρ

Produtos escalares entre os sistemas

cartesiano e cilíndrico

ρa φa za

xa φcos φsen− 0

ya φsen φcos 0

za 0 0 1

• Elemento de Volume:

dzdddv φρρ=

• Vetor deslocamento:

zyx azayaxr ˆˆˆ ++=

zyx azasenar ˆˆˆcos ++= φρφρ

zazar ˆˆ += ρρ

• Diferencial do deslocamento: Diferenciando a relação acima, vemos

que:

zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρ

• Coordenadas Esféricas

Relações: P(f,r,θ) → P(x,y,z):

θφsenrx cos= ; φθsenrseny = ; θcosrz =

Relações: P(x,y,z) → P(f,r,θ):

222 zyxr ++=

xyarctg=φ

zyxarctg

22 +=θ


23

z ra φa θ P r y θa r f za ya x xa

• Vetor deslocamento:

zyx azayaxr ˆˆˆ ++=

rarr ˆ= • Diferencial do deslocamento:

φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++=

• Relações entre versores das coordenadas cartesianas para esféricas: Veja que:

zyxr azayaxarr ˆˆˆˆ ++==

zyxr arasenrsenasenrar ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++=

zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++= Da figura, veja que:

zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+= E:

yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=+−=

−+=

zyxr

yx

zyx

aasensenasenaaasena

asenasenaa

ˆcosˆˆcosˆˆcosˆˆ

ˆˆcosˆcoscosˆ

θθφθφφφ

θφθφθ

φ

θ

Produtos escalares entre os sistemas cartesiano e esférico

ra θa φa

xa φθ cossen φθ coscos φsen−

ya φθsensen φθsencos φcos

za φcos θsen− 0

• Elemento de Volume: θφθ ddrdsenrdv 2=

Exemplo 4 - Encontre o Campo elétrico resultante sobre o eixo de um anel de raio R com densidade de carga uniforme e positiva.

Figura 8 – Anel de raio R com carga Q.

(Young & Freedman, Física III)


24

Cada elemento de carga se relaciona com a densidade linear l por: dq ds= λ . Este elemento de carga diferencial produz um vetor campo elétrico dE no ponto P, dado por:

dE k k ds

rdqr

= =2 2λ

Podemos escrever:

dE k ds

z R=

+

λ

( )2 2 , porém, somente a

componente do campo elétrico ao longo do eixo do anel contribuirá para o campo elétrico resultante:

21)()()(

cos222222 Rz

zRz

dskRz

dskdE rz

++=

+=

λλθ

23)(

cos22 Rz

dszkdE+

=λθ

Para adicionar todas as componentes integra-se sobre todos os elementos de campo:

∫ ∫+==

R

dsRz

zkdEEπλθ

2

022 2

3)(cos

E k z R

z R=

+

λ π22 2 3

2( )

23220 )(4

1Rz

zQE+⋅

=πε

Exemplo 5 – Seja um fio longo e carregado, com densidade linear λ por unidade de comprimento.O fio encontra-se sobre o eixo y. Deseja-se calcular a intensidade do campo elétrico, devido ao fio, num ponto P a uma distância r do ponto médio, como é mostrado na figura:

Figura 9 – Fio longo com densidade de carga linear λ..

Seja o fio dividido em pequenos pedaços dy. A carga dq em cada elemento será:

dydydqdydq

LQ

Lρλλ ==⇒==

O Campo elétrico devido a este elemento de carga será:

20

20 4

14

1rdydE

rdqdE λ

πεπε=⇒=

O campo total em P terá componentes em x e em y, de forma que:

⎩⎨⎧

⋅=⋅=

αα

sendEdEdEdE

y

x cos

Assim, com , teremos: 222 yxr +=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

−⋅=

+⋅=

22

22

yxydEdE

yxxdEdE

y

x

Assim, teremos:

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+⋅

−=

+⋅=

3220

3220

4

4

yx

ydydE

yx

xdydE

y

x

πελ

πελ

Os campos totais serão dados pelas integrais das expressões anteriores:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅

−=

+⋅=

∫

∫

−

+

−

dyyx

yE

dyyx

xE

L

Ly

L

Lx

23220

23220

4

4

πελ

πελ

Calculando as integrais:

( )( )

Ly

Ly

xyxx

yxyE+=

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+= 2322

22

04πελ

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+−−

+

+= 2322

22

2322

22

04 LxxLxL

LxxLxLEx πε

λ

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+= 2322

22

0

24 Lxx

LxLEx πελ


25

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=

220

24 Lxx

LEx πελ

Mostre que: Ey=0 Veja que se

LLxxL ≅+⇔>> 22 Então:

xEx

λπε 021

=

No livro do Hayt, a expressão mostrada idêntica é:

ρρπερ aE L ˆ

2 0

=

Aqui: r é a distância do fio ao ponto, perpendicular ao fio

(em coordenadas cilíndricas, se o fio estiver sobre o eixo Oz, por exemplo).

ρa : vetor unitário que sai do ponto P que se quer calcular o campo elétrico.

Exemplo 6 – Um plano infinito carregado com uma carga positiva Q distribuída uniformemente sobre sua superfície no plano xy. A densidade superficial de carga é rS = σ. Encontre o campo elétrico em P situado a uma distância a do plano.

z y´ dy’ y r’ θ P(x,0,0) x

Ed , xEd

Vamos calcular o campo elétrico em P como o campo devido a contribuição de infinitos fios colocados no plano zy:

As densidades superficial e linear de carga se relacionam por:d

ydydzdyd

dQAd

dQSL

LS ′=⇒

′=

′′=

′= ρρ

ρρ

Da figura observe que:

θρπε

ρcos

2 0 ′= L

xdE

θπε

ρcos

2 220 yx

yddE S

x′+

′=

222202 yx

x

yx

yddE S

x′+′+

′=

πε

ρ

2202 yx

yddE Sx +

′=

περ

Fazendo a integração, consideraremos a contribuição de todas as faixas:

∫+∞

∞− ′+′

= 2202 yx

yxdE Sx πε

ρ

∫+∞

∞− ′+′

= 2202 yx

ydxE S

x περ

( )( )∫+∞

∞−′+

′= 22

0 12xy

Sx

x

ydxE

περ

Fazendo: xduydxyu =′⇒′

=

∫+∞

∞− += 2

0 11

2 uxdu

xE S

x περ

∫+∞

∞− += 2

0 12 udu

xxE S

x περ

Como:

Carctguu

du+=

+∫ 21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−′

=−∞→+∞→ x

yarctgxyarctgE

yy

Sx ''

0

limlim2περ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

222 0

πππερ S

xE

02ερ S

xE =


26

Observe que se o ponto P estivesse no semieixo Ox negativo:

02ερ S

xE −=

Se definirmos um vetor sempre normal ao plano:

NS aE ˆ

2 0ερ

=

Observações: • O campo é constante em módulo e direção. • Se uma segunda lâmina com mesma densidade

de carga, porém negativa, estivesse localizada no plano paralelo ao anterior x = a teríamos na prática, um capacitor plano, desde que desprezassem os efeitos de borda. Nesse caso, o campo será dado por:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<<

<

=

ax

axa

x

E xS

;0

0;ˆ

0;0

0ερ

Exemplo 7 – Um disco carregado com uma

carga positiva Q distribuída uniformemente sobre sua superfície no plano xy. A densidade superficial de carga é rS = σ. Se o raio externo do disco é R, determine o campo no eixo do disco.

rdrdAdQ sS πρρ 2==

ρπρρρ ddAdQ sS 2==

zazr ˆ=

ρρar ˆ=′

ρρaazrr z ˆˆ −=′−

22 ρ+=′− zrr

rrrr

rrdQrEd

′−′−

′−= 2

04)(

πε

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++=

222204

2)(

ρρπερπρρ

zz

zd

rdE Sz

φφρ senaaa yx ˆcosˆˆ +=

As componentes Ex e Ey são nulas. Mostre isso integrando.

( )ρ

ρ

ρπεπρ

dz

zrE

RS

z ∫+

=0

232204

2)(

R

Sz

z

zrE

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

ρ

ρρπε

πρ

022

0

14

2)(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

+−=

zzR

zrE S

z11

2)(

220ε

ρ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

220

112

)(zRz

zrE S

z ερ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

220

12

)(zR

zrE Sz ε

ρ

Observe que interessante: quando R tender a

infinito, teremos: teremos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

∞→∞→ 220

lim12

)(limzR

zrER

SzR ε

ρ

02

)(ερ S

z rE =

Ou seja, o campo do disco infinito fica idêntico ao de um plano infinito, o que era esperado!!!.


27

Aplicações:

1. Forno de Microondas:

o muda, pois na

devem quebrar pelo menos uma de suas

pos se separam, aumentando assim a sua

ilustram a orientação de m dipolo na presença de um campo elétrico niforme, a molécula de água e a energia associada à tação devido ao torque.

Na água, as moléculas se encontram livres para

se mover relativamente às outras moléculas. O campo elétrico produzido por cada dipolo afeta os outros dipolos em sua volta.Como resultado, as moléculas podem estar ligadas em grupos de dois ou três, devido ao fim negativo de um dipolo (oxigênio) e ao fim positivo de outro dipolo (hidrogênio) que se atraem. Quando cada grupo é formado, a energia potencial elétrica é transferida através de movimento térmico do grupo e para as moléculas em volta. Quando ocorre a colisão entre as moléculas, há a transferência inversa de energia. A temperatura da água, que está associado com o movimento térmico das moléculas, nãmédia, a energia transferida é zero. Em um forno de microondas, porém, ocorre um processo diferente. Quando está funcionando, as microondas produzidas pelo forno produzem um campo elétrico que oscilam rapidamente numa direção para frente e para trás. Se há água no forno, o campo elétrico oscilante exerce torques também oscilantes na molécula de água, rodando continuamente para trás e para frente alinhando seus momentos de dipolo com a direção do campo elétrico. As moléculas que estão ligadas aos pares podem se alinhar, porém aquelas ligadas em grupos de trêstrês ligações. As energias para quebrar essas ligações vêm do campo elétrico, isto é, das microondas. Então as moléculas que se separaram dos grupos podem formar outros grupos, transferindo a energia que ganharam em energia térmica. Então a energia térmica é adicionada à água quando os grupos se formam, mas não é removida quando os grutemperatura.

Graças ao dipolo elétrico que a molécula de água forma, é possível cozinhar alimentos a partir de um forno de microondas. As figuras abaixouuro

2. Tubo de Raios Catódicos.

Em 1897, J.J. Thompson, juntamente com um grupo dos estudantes diplomado dele, tinha a intenção de investigar o elétron. Ele projetou alguns tubos que continham eletrodos dentro com o ar evacuado dos tubos. Estes foram chamados “Tubos” de Crookes nomeados mais tarde de “Tubos” de Raios Catódicos. Foram executadas Experiências nestes tubos nas quais atas voltagens geradas por uma corrente elétrica passada entre os dois elétrodos. Foram gerados raios como emanações procedidas do elétrodo de Cátodo ao elétrodo de Ânodo. Considerando que estas emanações originaram do elétrodo de Cátodo que eles seriam chamados "Raios" Catódicos. J.J. Thompson projetou alguns tubos especiais que investigaram as propriedades destes "Raios" Catódicos. Ele projetou um tubo que permitiu Raios Catódicos imprensar contra uma tela de superfície de Sulfeto de Zinco. Como os raios imprensaram na superfície, emitiu uma faísca de luz de forma que o caminho do raio invisível poderia ser observado. Ele procedeu fazer um campo elétrico que


28

consiste em um prato positivo e um prato negativo perto do vacinity dos Raios. Quando a corrente elétrica do campo elétrico foi invertida, o caminho dos “raios” foi mudado para longe do prato negativo e para o prato positivo. Esta era uma indicação clara que deduziu que os raios possuíam uma carga negativa. Uma sombra em forma de cruz foi formada na frente do tubo. O único modo que os “raios” pudessem lançar uma impressão de sombra

gia

s dentro dos átomos. É interessante notar que a terçeira

ossa compreensão da quím

Thompson determinou a carga de pólvora para amontoar

eterminação da carga de pólvora por

trário

provar que o cátodo roduziu que um fluxo de partículas negativamente arregadas chamado elétrone.

3. Impressoras jato de Tinta. (DeskJet).

4.

na parte de trás do tubo era se eles fossem além do caminho de saída e formassem a cruz. Isto indicaria fortemente que os teriam que possuir massa

Mas se os “raios” possuíssem massa que significaria que eles não eram raios (pura radiação) e sim partículas com uma massa finita! Outro tubo experimental envolvendo uma roda de remo colocada no caminho dos raios de cátodo resultado no movimento da roda de remo quando a corrente foi invertida. Para que a roda de remo seja usada para mover, os Raios teriam que ter impulso passando para a roda. Isso significaria que o assim chamou raios teriam que possuir impulso isto para dar impulso a algum outro objeto. Estes “raios” eram na verdade elétrons. Em 1891 um Professor chamado Stony (Prof. de Eletricidade) investigava uma fonte de enerpara reações químicas. Ele sugeriu que uma corrente elétrica fosse o resultado de partículas móveis que ele sugeriu deveriam ser chamadas "elétrons". Estas experiências definitivamente definiram os raios como partículas atuais que têm uma carga de negativa e uma massa finita. Em 1886, Professor Goldstein executou experiências semelhantes que usam uma superfície de cátodo perfurada. Isto produziu uma partícula que possuiu uma carga positiva e uma massa umas 2000 vezes mais que o elétron de Thompson. Esta partícula foi chamada de próton. Considerando que elétrons e prótons vieram da superfície de um objeto, é lógico concluir que todo objeto está composto destas partícula

partícula subatômica do átomo não foi observada até 1932 uns 35 anos depois da descoberta do elétron e o próton.

A partícula tinha sido predita em 1920, mas não foi descoberta até 1932, quando Chadwick observou estas partículas neutras que ele chamou de nêutrons enquanto executava uma série de experiências de câmara de nuvem. Era o caminho de condensação dos nêutrons semelhante para os rastros de jato que motores a jato fazem quando a altitude que permitiu a observação destas partículas. Como a chave para n

ica reside em nosso conhecimento dos elétrons e prótons, a descoberta atrasada dos nêutrons não alterou o quadro formado do átomo em 1932.

Em 1909, Robert Millikan executou a experiência de gota de óleo legendária dele que lhe permitiu determinar a magnitude exata da carga de pólvora do elétron, 1.60 X 10-19 C. Mais cedo,

relação do elétron, 1.76 X 108 coulomb / grama, assim esta dMillikan permitiu a determinação da massa do elétron, 9.09.10-28 gramas. A experiência de J.J. Thompson demonstrou que átomos estão realmente compostos de agregados de partículas carregadas. Antes do trabalho dele, acreditava-se que átomos eram distribuídos de maneira uniforme. A primeira evidência ao conveio quando as pessoas começaram a estudar as propriedades de átomos em campos elétricos. Se uma amostra de gás é introduzida na região entre dois pratos carregados, um fluxo atual pode ser observado e sugere que os átomos estiveram abaixo quebrados em componentes carregados. Em 1897, Thompson teve a intenção de pc

Experiência de Millikan.

Robert Andrew Millikan nasceu em 22 de

março, 1868, em Morrison. (EUA), como o segundo filho do Reverendo Silas Franklin Millikan e Mary Jane Andrews. Os avós dele eram da Velha ação de Inglaterra Nova que tinha vindo para a América antes das 1750, e era o colono pioneiro no Oeste Mediano. Sua infância teve aspectos rurais e freqüentou a escola secundária de Maquoketa (Iowa). Depois de trabalhar pouco tempo como um repórter de tribunal, ele entrou em Faculdade de Oberlin (Ohio) em 1886. Durante seu curso de estudante universitário seus assuntos favoritos eram gregos e matemáticos; mas depois da graduação em 1891 levou, durante dois anos, um posto pedagógico em física elementar. Era durante este período que desenvolveu o interesse no


29

assunto no qual chegou a superar. Em 1893, depois de obter o mestrado em física, foi designado Professor em Física na Universidade de Columbia. Ele recebeu o Ph.D depois (1895) na pesquisa da polarização de luz emitida

up

ht, (1908);

última instância aos estudos significantes

Tempo, Importe, e Valores (1932). Logo antes a morte

aios Cósmicos (1947) e a sua Autobio

ião de Honour, e

ástico, e

: Clark Blanchard, Glenn

de dezembro, 1953, em San

De Conferências de Nobel, Físicas 1922-1941.

O Aparelho:

sui aproximadamente 12 poleg

bombardeiro que voa a 30,000 pés de Hudson Bay

por s erfícies incandescentes - usando para este propósito ouro fundido e prata. Na companhia de seus professores, Millikan passou um ano (1895-1896) na Alemanha, nas Universidades de Berlim e Göttingen. A convite de Michelson, resolveu ficar assistente no Laboratório de Ryerson recentemente estabelecido na Universidade de Chicago (1896). Millikan era um professor eminente, e atravessando os graus habituais ele se tornou o professor naquela universidade em 1910, um posto que ele reteve até 1921. Durante os anos em Chicago ele gastou muito tempo preparando livros de ensino e simplificando o ensino de física. Ele era autor ou co-autor dos títulos: Um Curso de Faculdade em Física, com S.W. Stratton (1898); Mecânica, Física Molecular, e Calor (1902); A Teoria de Óptica, com C.R. Mann traduziu do alemão (1903); Um Primeiro Curso em Física, com H.G. (1906); UM Curso de Laboratório em Física para Escolas Secundárias (1907); Eletricidade, Soe, e LigFísicas Práticas - revisão de UM Primeiro Curso (1920); O Elétron (1917; rotação. eds. 1924, 1935). Como um cientista, Millikan fez numerosas descobertas, principalmente nos campos de eletricidade, ótica, e física molecular. O sucesso principal dele era a determinação precisa da carga de levada por um elétron e usou o método “de gota de óleo”; ele também provou que esta quantidade era uma constante para todos os elétrons (1910), demonstrando assim a estrutura atômica de eletricidade. Logo, ele verificou a equação fotoelétrica de Einstein experimentalmente, e fez a primeira determinação da constante h de Planck (1912-1915). Além dos estudos dos movimentos de Brownian em gases acabaram toda a oposição com as teorias atômicas e cinéticas. Durante 1920-1923, Millikan se ocupou com trabalho relativo de espectroscopia dos elementos (que explorou a região do espectro entre o ultravioleta e radiação-X), estendendo assim o espectro ultravioleta distante além do limite conhecido. A descoberta da lei de movimento de uma partícula que se cai para a terra depois de entrar na atmosfera da terra, junto com as outras investigações dele em eletricidade, o conduziu em de radiação cósmica (particularmente com câmaras de ionização). Ao longo da vida Millikan permaneceu um autor prolífico e faz numerosas contribuições a diários científicos. Ele não só era um cientista de ponta, mas a natureza religiosa e filosófica era evidente nas conferências e na reconciliação de ciência e religião e em seus livros: Ciência e Vida (1924); Evolução em Ciência e Religião (1927); Ciência e a Civilização Nova (1930);

dele ele publicou Elétrons (+ e–), Prótons, Fótons, Nêutrons, Mésons, e R

grafia (1950). Durante a Primeira Guerra Mundial,

Millikan era o Více-presidente do Conselho de Pesquisa Nacional e estudou dispositivos meteorológicos. Em 1921, ele foi designado o Diretor do Laboratório de Física no Instituto de Tecnologia da Califórnia, Pasadena,; ele também foi Presidente do Conselho Executivo daquele instituto. Em 1946 ele se aposentou deste posto. Millikan foi Presidente da Sociedade Física americana, Vice-presidente da Associação americana para o Avanço de Ciência, e foi o sócio americano do Comitê em Cooperação Intelectual da Liga de Nações, e o representante americano ao Congresso Internacional de Físicas, conhecido como o Congresso de Solvay, em Bruxelas em 1921. Ele obteve os graus de doutor honorário de vinte e cinco universidades, e era um sócio ou o sócio honorário de muitas instituições instruídas no país e no estrangeiro. Ele foi o Prêmio de Comstock da Academia Nacional de Ciências, da Medalha de Edison do Instituto americano de Engenheiros Elétricos, da Hughes Medal da Sociedade Real de Grã Bretanha, e do Prêmio de Nobel para Físicas 1923. Ele também foi feito o Chefe da Legrecebeu a Ordem chinesa de Jade. Millikan era um jogador de tênis entusigolfe também era um das recreações dele. Millikan Greta Erwin Blanchard casado em 1902; eles tiveram três filhosAllen, e Max Franklin. Ele morreu nos 19º Marino, a Califórnia.

Vários destes detectores Geiger-Müller (GM) foram construídos em 1939 no laboratório de física do Caltech para uso em estudos de raios cósmicos. O exemplo acima pos

adas e é feito de cobre. A etiqueta de papel identifica três datas: 2

de agosto de 1947; 25 de janeiro de 1948; e 8 de julho de 1950. A data 1947 se refere para viajar de balão vôos executados a latitudes diferentes do Texas para Saskatoon. Um vôo típico levaria os instrumentos para 70,000 a 80,000 pés. A data de 1948 data se refere a experiências executadas em um B-29


30

para Lima, Peru. Robert Millikan e Neher estavam entre o pessoal neste vôo.

Robert Millikan (1868-1950) era o Cientista de América mais famoso dos anos vinte, e o segundo americano receber o Prêmio Nobel em física. O posterior foi premiado para as medidas da carga do elétron (pelo Millikan, conhecido " experiência " da gota) e por confirmar as equações de Einstein experimentalmente para o efeito fotoelétrico. Em 1921, Millikan deixou a Universidade de Chicago para encabeçar o Instituto de Califórnia de Tecnologia em Pasadena, recentemente criado. No CalTech, ele serviu também como Diretor do Departamento de Física. A pesquisa dele enfocou a natureza e origem de raios cósmicos - Millikan cunhou o termo "raio" cósmico. Estas investigações ajudadas demonstram a fonte extraterrestre desta radiação e sua variação em intensidade com latitude. Doado pelo Instituto de Califórnia de cortesia de Tecnologia de Broto Cowan.

Exemplos Exemplo 1 – Uma carga positiva Q é distribuída

uniformemente ao longo de uma semi-circunferência de raio a. Obtenha o campo elétrico no centro de curvatura P. O campo elétrico da metade da esquerda da semicircunferência na direção x anula o campo elétrico da metade do lado direito. O componente y restante

aponta para o sentido negativo do eixo y. A carga por unidade de comprimento da semicircunferência é:

2e Q k dl k ddEa a a

λ λ θλπ

= = =

senporém sen .yk ddE dE

aλ θ θθ= =

Portanto, / 2 / 2

00

2 2sen [ cos ]yk kE da a

π πλ λθ θ θ= = −∫

/ 20 2

2 2[ cos ] ,yk kEa a

π 2kQa

λ λθπ

= − = =

Orientado de cima para baixo. Exemplo 2 – Uma carga elétrica Q é distribuída uniformemente ao longo dos quatro lados de um quadrado. Dois lados adjacentes possuem a mesma carga +Q distribuída ao longo desses lados. (a) Supondo que os outros dois lados possuam a mesma carga –Q distribuída, determine os componentes x e y do campo elétrico resultante no centro do quadrado. O quadrado tem lado a. (b) Repita o cálculo supondo que os quatro lados possuam a mesma carga Q distribuída. (a) Ex = Ey, e Ex = 2Ecomprim. do fio α, carga Q =

2 onde,

412

220

axaxx

Q=

+πε

2 20 0

2 ,5 / 4 5x

Q QEa aπε πε

⇒ = =

20

2ˆ ˆsentido , ,sentido .5y

Qi E jaπε

− = −

(b) Supondo que todos os lados do quadrado possuem a mesma carga, por simetria concluímos que os campos elétricos fornecem uma resultante igual a zero no centro do quadrado.

Exemplo 3 – (a) Determine a carga total sobre a coroa anular da figura, sabendo que esta possui uma densidade superficial de carga σ.


31

(b) Se a coroa anular está sobre o plano yz, determine sobre o eixo Ox o campo elétrico E.

(c) Mostre que, para pontos sobre o eixo Ox suficientemente próximos da origem, o módulo do campo elétrico é aproximadamente proporcional à distância entre o centro da coroa e o ponto considerado.

(d) Uma partícula puntiforme de carga –q e massa m pode-se mover sobre o eixo Ox e é colocada sobre o ponto x = 0,01R1 e a seguir liberada. Determine a freqüência de oscilações da partícula.

(a) Q = Aσ = π σ)( 21

22 RR −

(b) Lembre que o campo elétrico de um disco, Eq.

(22-11), é dado por:

[ ]( ).1)/(/112

2

0

+−= xREεσ

Portanto,

( )2 22 1

0

ˆ( ) 1 1/ ( / ) 1 1 1/ ( / ) 12

xE x R x R x i

xσε

⎡ ⎤ ⎡= − + − − +⎣ ⎦ ⎣⎤⎦

( )2 22 1

0

ˆ( ) 1/ ( / ) 1 1/ ( / ) 1 .2

xE x x R x R x i

xσε−

= ⇔ + − +

c) Note que

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+−≈==+

−

2)/(1)/(11)/(/1

21

1

2/121

1

21

RxRxRx

RxxR

0 1 2

ˆ( )2

x x xE x iR R x

σε⎛ ⎞

⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0 1

1 1 ˆ( ) ,2

xE x iR R x

σε⎛ ⎞

⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

e considerar pontos suficientemente próximos significa que (x/R1)2 << 1.

d)

0 1 2

1 1( )2qF qE x x mx

R Rσε⎛ ⎞

= = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1 2

1 12 2 2

qfm R R

ω σπ π ε

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1

Exemplo 4 – (a) Determine o campo elétrico

produzido por uma linha carregada com densidade linear de carga uniforme ρL e comprimento a no ponto P(x,y,z).

(b) Faça o limite em que a tende a infinito e calcule o campo elétrico de uma linha infinita.

z P(x,y,z) r r′ y x Fazendo a distribuição de cargas:

2 2a a

LQ za

ρ = ⇔ − ≤ ≤ +

O Campo elétrico é dado por:

rrrr

rrQrE

′−′−

′−∆

=∆ 204

)(πε

20

( )4

Ldz r rdE rr rr r

ρπε

′ ′−=

′−′−

ˆ ˆx y zr xa ya za= + +

ˆzr z a′ ′=


32

r r xa ya z z a′ ′− = + + −( )ˆ ˆx y z

( )22 2r r x y z z′ ′− = + + −

( )30

( )4

LdE r r r dzr rρ

πε′ ′= −

′−

( )( )3

22 20

ˆ ˆ( )4

Lx y zdE r xa ya z z a dz

x y z z

ρ

πε′ ′⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

′+ + −−

( )( )

2

2

322 2

0

ˆ ˆ( )4

a

a

Lx y zE r xa ya z z a dz

x y z z

ρ

πε

+

−

′ ′⎡ ⎤= +⎣ ⎦′+ + −

∫

( )

+ −

2

2

322 2 0

ˆ( )4

a

a

Lx y

dzE r xx y z z

ρπε

+

−

′⎡ ⎤= +⎣ ⎦

′+ + −∫

( )

( )

a ya

2

2

322 2 0

ˆ4

a

a

Lz

z z dza

x y z z

ρπε

+

−

′ ′−+

′+ + −∫ {1}

( ) ( )( )2 2

2 2

3 322 2 22 22

a a

dz dz

x y z zx y z z

+ +

− −

′ ′=

′+ + −′+ + −∫ ∫

a a

( )2

2

3 2 3 222 2

2 2

1

1

a

a

dz

x y z zx y

+

−

′=

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞′−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎠⎝ ⎠

∫

Chamando de:

⎝

2 2

z ztgx y

θ′−

=+

2 2z z tg x yθ′ = − +

2 2secdz d x yθ θ′ = − + 2

( ) ( ) ( )2 2

2 2

2 2

3 3 2 3 22 2 222 2

sec1

1

a a

a a

d x ydz

x y tgx y z z

θ θ

θ

+ +

− −

′ − +=

+ +′+ + −∫ ∫

( )

2

( ) ( )2 2

2 2

2 2 2

3 3 22 2 222 2

sec

sec

a a

a a

x ydz d

x yx y z z3 2

θ θ

θ

+ +

− −

′ + −=

+′+ + −∫ ∫

( )

( )( )

2 2

2 2

1 22 2 2

3 3 2 32 222 2

secsec

a a

a a

x ydz d

x yx y z z

θ θθ

+ +

− −

+′=−

+′+ + −∫ ∫

( )

2

2 2

3 2 222 2

1sec

a

a a

dz dx yx y z z

2a

θθ

+

− −

′=−

+′+ + −∫ ∫

( )

2 2

2 2

3 2 222 2

1 cosa a

a a

dz dx yx y z z

θ θ + +

− −

′=−

+′+ + −∫ ∫

( )]

2

2

22

3 2 222 2

1a

ax

axa

dz senx yx y z z

θ

θθ =

=−

+

−

′=−

+′+ + −∫

2 2 22

1cos 1 1sec

sen senθ θ θθ

+ = ⇔ + =

22

11sec

sen θθ

= −

22

111

sentg

θθ

= −+

22

2

1 11

tgsentgθθθ+ −

=+

22

2 1tgsen

tgθθ

θ=

+

2 1tgsen

tgθθθ

=+

2 2

2

2 21

z zx y

senz zx y

θ

′−

+=

⎛ ⎞′−⎜ ⎟ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )

2 2

22 2

2 2

z zx y

senx y z z

x y

θ

′−

+=

′+ + −

+

( )22 2

z zsenx y z z

θ′−

=′+ + −

+

( ) ( )

2 2

22

3 2 2 22 222 2

1a a

aa

z

z

dz z zx y x y z zx y z z

+ ′=+

−′=−

′ ′−=−

+ ′+ + −′+ + −∫

( ) ( )

2

2

23 2 2 22 222 2

2

1a

a

a

a

zdzx y x y zx y z z

+

−

⎡′ −⎢=−⎢+ + + −′+ + − ⎣

∫

( )2

22 22

az ⎤+ax y z

⎥−⎥+ + + ⎦

{a}

A outra integral será:


33

( )

( )

( )

( ) ( )

22

22

3 22 222 2

1a

a

aa

z

z

z z dz

x y z zx y z z

′=++

−′=−

⎤′ ′−=−

′+ + −′+ + − ⎦∫ ⎥

⎥

( ) ( )2 22 2 2 22 2

1 1a ax y z x y z

⎡ ⎤⎢ ⎥=− −⎢ ⎥+ + − + + +⎣ ⎦

{b}

Substituindo {a} e {b} em {1}:

( ) ( )2 2

2 2 2 22 2 2 20 2 2⎣ ⎦

1ˆ( )4

a aL

x ya a

z zE r xa yax y x y z x y z

ρπε

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤=− + −⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ + + − + + +

( ) ( )2 22 2 2 2 02 2

1 1 ˆ4

Lz

a aa

x y z x y z

ρπε

⎥−⎢ ⎥+ + − + + +⎣ ⎦

Podemos transf rmar para coordenadas cilíndricas:

⎡ ⎤⎢−

o

2 2

cosx y

xy sen

ρρ φρ φ

⎧ = +⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎩

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+=

zz

yx

yx

aaasenaa

senaaa

ˆˆcosˆˆˆ

ˆcosˆˆφφφφ

φ

ρ

⎪⎩

⎪⎧

⎨=+=−=

zz

y

x

aaasenaa

senaaa

ˆˆcosˆˆˆ

ˆcosˆˆφφφφ

φρ

φρ

( ) ( )2 2

2 2 22 20 2 2

1ˆ( ) cos4

a aL

x ya a

z zE r a senρ az z

ρ ρ φ φπε ρ ρ ρ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤=− + −⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

( ) ( )2 22 2 02 2

1 1 ˆ4

Lz

a aa

z z

ρπερ ρ

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥+ − + +⎣

⎦

( ) ( )2 2

2 2 22 20 2 2

ˆ( ) cos4

a aL

a a

z zE r a sen az z

ρ ρ φ φπε ρ ρ ρ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎡ ⎤=− + −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

x y⎣ ⎦

( ) ( )2 22 2 02 2

1 1 ˆ4

Lz

a aa

z z

ρπερ ρ

⎡⎢− −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

( ) ( )2 2

2 22 20 2 2

( )4

a az zρL

a aE r a

z zρπε ρ ρ ρ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥=− −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

( ) ( )2 22 2 02 2

1 1 ˆza4

L

a az z

ρπερ ρ

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

Limite de um fio infinito:

Se imaginarmos que o fio é muito comprido:

( ) ( )2 2

2 22 20 2 2

( ) lim4

a aL

a a a

z zE r az z

ρρπε ρ ρ ρ→∞

⎡ ⎤− +⎢ ⎥=− −⎢ ⎥+ − ++⎣ ⎦

( ) ( )2 22 2 02 2

ˆ4

1 1lim Lza

ρa a

az z περ ρ→∞

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥+ −

+ +⎣ ⎦

⎤⎥

[ ]0

( ) 1 14

LE r aρρπε ρ

=− − − [ ]0

ˆ04

0 zaLρπε

− −

0

2( ) L

4E r aρ

ρπε ρ−

=−

0

( )2

LE r aρρπε ρ

=

Exemplo 5 – (a) Determine o campo elétrico

roduzido por um plano quadrado de lado a carregada

tende a infinito e o campo elétrico de um plano infinito.

P(x,y,z)

a/2 y x

do a distribuição de cargas:

pcom densidade superficial de carga uniforme ρS e comprimento a no ponto P(x,y,z).

(b) Faça o limite em que acalcule

z

r r′

a/2

(a) Fazen


34

2 2

2 2

a a

S a a

yQxA

ρ− ≤ ≤ +⎧

= ⇔ ⎨− ≤ ≤ +⎩

O Campo elétrico é dado por:

rrrr

rrQrE

′−′−

′−∆

=∆ 204

)(πε

( )30

( )4

S dx dydE r r rr r

ρπε

′ ′′= −

′−

zˆ ˆx yr xa ya za= + +

ˆ ˆx yr x a y a′ ′ ′= +

( ) ( ) ˆ ˆx yr r x x a y y a za′ ′ ′− = − + − + z

( ) ( )2 2 2r r x x y y z′ ′ ′− = − + − +

( )30

( )4

SdE r r r dx dyr rρ

πε′ ′= −

′− ′

( ) ( )

( ) ( )( )3 22 2 20

ˆ ˆ( )

4x y zS

x x a y y a zadE r dx dy

x x y y z

ρπε

′ ′⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ′ ′=′ ′− + − +

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

3 22 2 20

( )4

a a

a a

Sx

x x dx dyE r a

x x y y z

ρπε

+ +

− −

⎡′ ′ ′−⎢= +⎢

′ ′− + − +⎢⎣∫ ∫

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

3 22 2 2ˆ

a a

a ay

y y dx dya

x x y y z

+ +

− −

′ ′ ′−+

′ ′− + − +∫ ∫

)( ) ( )(2 2

2 2

3 22 2 2ˆ

a a

a az

zdx dy ax x y y z

+ +

− −

⎤′ ′ ⎥

⎥′ ′− + − + ⎥⎦

∫ ∫

( ) ( )

22

22

2 2 20

1( )4

aa

aa

x

Sx

x

E r dy ax x y y z

ρπε

′=++

−′=−

⎡ ⎡ ⎤⎢ ⎢ ⎥ ′= +⎢ ⎢ ⎥′ ′− + − +⎢ ⎣ ⎦⎣

∫

( ) ( )

22

22

2 2 20

14

aa

aa

y

Sy

y

dx ax x y y z

ρπε

′=++

−′=−

⎡ ⎡ ⎤⎢ ⎢ ⎥ ′ +⎢ ⎢ ⎥′ ′− + − +⎢ ⎣ ⎦⎣

∫

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2 2 22 204

a

a

a

a

x

Sz

x

z x xdy a

y y z x x y y z

ρπε

′=++

−′=−

⎡ ⎡ ⎤⎢ ′−⎢ ⎥ ′⎢ ⎢ ⎥⎡ ⎤′ ′ ′⎢ − + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢⎣

∫

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 22 22 20 2 2

1 1( )4

a

a

Sx

a aE r d

x y y z x y y z

ρπε

+

−

⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟ y a′= − +⎢ ⎜ ⎟′ ′− + − + + + − +⎢ ⎝ ⎠⎣∫

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 22 22 20 2 2

1 14

a

a

Sy

a adx a

x x y z x x y z

ρπε

+

−

⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟ ′− +⎢ ⎜ ⎟′ ′− + − + − + + +⎢ ⎝ ⎠⎣∫

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

22 22 22

0 2

22 22 22

4

a

a

a

a

Sza

a

z x

y y z x y y zdy a

z x

y y z x y y z

ρπε

+

−

⎡ ⎡ ⎤−−⎢ ⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′⎢ − + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎢ ⎥ ′⎢ ⎢ ⎥+⎢ ⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′⎢ − + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 22 22 22 2

0

( ) ln ln4

a

as

yS a a

xy

E r y y x y y z y y x y y z aρπε

′=+

′=−

⎧ ⎫− ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡′ ′ ′ ′ ⎤= − + + + − + − − + − + − + +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎪ ⎪⎩ ⎭⎥⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2a

2 22 22 22 2

0

ln ln4

axS a a

yx

x x y x x z x x y x x z aρπε

′=+

′

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′=−

− + − + − + − − + + + − + +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

−

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

22 22 22

0 2

22 22 22

4

a

a

a

a

Sza

a

z x

y y z x y y zdy a

z x

y y z x y y z

ρπε

+

−

⎡ ⎡ ⎤−−⎢ ⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′⎢ − + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎢ ⎥ ′⎢ ⎢ ⎥+⎢ ⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′⎢ − + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣

∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 2 22

2 2 20 2

( ) ln4

a

as

ya

Sx

ay

y y x y y zE r a

y y x y y z

ρπε

′=+

′=−

⎧ ⎫⎡ ⎤′ ′− + + + − +− ⎪ ⎪⎢ ⎥= +⎨ ⎬⎢ ⎥′ ′⎪ ⎪− + − + − +⎣ ⎦⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

2 2 22

2 2 20 2

ln4

a

a

xa

Sy

ax

x x y x x za

x x y x x z

ρπε

′=+

′=−

⎧ ⎫⎡ ⎤′− + + + − +− ⎪ ⎪⎢ ⎥ +⎨ ⎬⎢ ⎥′ ′⎪ ⎪− + − + − +⎣ ⎦⎩ ⎭

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 22 22 20 2 24

a a

a a

y ya a

Sz

a ay y

x y y x y yArctg Arctg a

z x y y z z x y y z

ρπε

′ ′=+ =+

′ ′=− =−

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡′ ′− − + − ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢− ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢′ ′ ⎥⎪ ⎪− + − + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2

( ) ln ln4

a a a a a aS

xa a a a a a

y x y z y x y zE r a

y x y z y x y z

ρπε

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡− + + + − + + + + + + +− ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢⎤⎥= − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢⎪ ⎪− + − + − + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭⎥⎦

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 20 2 2

ln4

a a a a a a

ya a a a a a

y x z x y x za

x yπε

⎤ ⎡ ⎤+ + + − + + + + + + +⎥ ⎢ ⎥

2 2 2 2

lnSx

x z x y x z

ρ⎧ ⎫⎡ −− ⎪ ⎪⎢ − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ − + + + − + + +⎦ ⎣ ⎦− + −⎣⎩ ⎭

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 22 22 2 2 2

02 2 2 2

2 2 2 22 22 2 2 2

4

a a a a

a a a a

S

2

za a a a

a a a a

x y x yArctg Arctg

z x y z z x y za

x y x yArctg Arctg

z x y z z x z

ρπε

y

⎧ ⎫⎡ ⎤− − − +⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − + − + + +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨ ⎬

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ + − + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2

( ) ln ln4

a a a a a aS

xa a a a a a

y x y z y x y zE r a

y x y z y x y z

ρπε

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡− + + + − + + + + + + +− ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢⎤⎥= − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦⎪ ⎪− + − + − + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2

ln ln4

a a a a a aS

ya a a a a a

x y x z x y x za

x y x z x y x z

ρπε

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡− + + + − + + + + + + +− ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢− +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢⎪ ⎪− + − + − + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭

⎤⎥⎥⎦

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 22 22 2 2 2

02 2 2 2

2 2 2 22 22 2 2 2

4

a a a a

a a a a

Sz

a a a a

a a a a

x y x yArctg Arctg

z x y z z x y za

x y x yArctg Arctg

z x y z z x y z

ρπε

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − + − + ++⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨ ⎬

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ + − + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭


35

(b) Observando que quando o valor de a tende a

infinito:

2 2

02 2

2 22 2lim ( ) ln ln

4 2 22 2

a a

Sxa

a a

a aE r a

a a

ρπε→∞

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪− + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

+

2 2

02 2

2 22 2ln ln

4 2 2

a a

Sy

a a

a aa

a a

ρπε

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪

2 2

− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭− + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪

2 2

2 2 2 2

2 20

2 2 2 2

4 4 42 4 2 4

4 42 4 2 4

Sz

a aArctg Arctgz a z z a z

aρ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪

a aArctg Arctgz a z z a z

πε ⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪−

− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +

[ ] [ ]{ }0

lim ( ) ln 1 ln 14

Sxa

E r aρπε→∞

−= − +

[ ] [ ]{ }0

ln 1 ln 14

Syaρ

πε−

− +

2

2 20

444 2 4

Sz

aArctg az a z

ρπε

⎪ ⎪⎧ ⎫⎡ ⎤⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥+⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

2

0

4lim ( ) 44 2 2

Sza

aE r Arctg az a

ρπε→∞

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

0

2lim ( ) 4S

4 4 za zπε→∞

aE r Arctg aρ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Fazendo a expansão por séries de potências para a função arco-tangente, t remos: e

3

30

2 2 16 2lim ( ) 44 2 3

Sza

z zE r aa a

ρ ππε→∞

⎧ ⎫⎛⎪ ⎪= − + −⎜ ⎟⎨ ⎬⎜⎪ ⎪⎝⎩ ⎭

⎞⎟⎠

Considerando apenas o primeiro termo:

0

lim ( ) 44 2

Sza

E r aρ ππε→∞

⎧ ⎫⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

0

lim ( )2

Sza

E r aρε→∞

=

0

( )2

SzE r aρ

ε=

Veja que é o mesmo resultado que chegamos nteriormente: a

NS aE ˆ

2 0ερ

=

Então, para um plano infinito carregado, teremos:


14

. Quatro cargas positivas de 10 nC estão local

um ponto distante 8 cm de cada uma das o força total nesta quint

2. a carga Q=0.1 localizada na origem do es

pone uma terceira carga positiva é zero.

3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estão local

e a carga

mC localizada em P1(2, 5, 8). nquanto Q2. = -5mC localizada em P2(6, 15, 8).

Consi

) Encontre as coordenadas de P3, se a carga Q3, exper enta uma força total F3 = 0 em P3.

5.. Seja a carga pontual Q = 25 nC localizada em P1 (4, em P2(-3, 4,-2).

(a) Se e = e0., determine E em P(1, 2, 3). (b) Em que ponto do eixo y Ex = 0?

de 120 nC estão

localizadas em A(0,0,l) e B(0, 0, -1) no espaço livre, ) Determine E em P(0.5, 0, 0).

b) Qual carga na origem forneceria um campo de mesm ódulo?

r f z

Solução:

o d por:

. Quatro cargas positivas de 10 nC estão local

um ponto distante 8 cm de cada uma das o força total nesta quint

2. Uma carga Q=0.1m localizada na origem do es

ponente x da força em uma terceira carga positiva é zero.

3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estão local

e a carga

mC localizada em P1(2, 5, 8). nquanto Q2. = -5mC localizada em P2(6, 15, 8).

Consi

) Encontre as coordenadas de P3, se a carga Q3, exper enta uma força total F3 = 0 em P3.

5.. Seja a carga pontual Q = 25 nC localizada em P1 (4, em P2(-3, 4,-2).

(a) Se e = e0., determine E em P(1, 2, 3). (b) Em que ponto do eixo y Ex = 0?

de 120 nC estão

localizadas em A(0,0,l) e B(0, 0, -1) no espaço livre, ) Determine E em P(0.5, 0, 0).

b) Qual carga na origem forneceria um campo de mesm ódulo?

r f z

Solução:

o d por:

Exercícios: Willian H. Hayt, Jr.; John A. Buck, pg. 30

Exercícios: Willian H. Hayt, Jr.; John A. Buck, pg. 30

11

izadas no plano z = 0 nos vértices de um quadrado de 8 cm de lado. Lima quinta carga positiva de 10 nC está localizada em

izadas no plano z = 0 nos vértices de um quadrado de 8 cm de lado. Lima quinta carga positiva de 10 nC está localizada em

utras cargas. Calcule o módulo dautras cargas. Calcule o módulo daa carga para e = e0. a carga para e = e

Um mC esta paço livre, enquanto Q = 0.2mC está em A(0.8, 0.6,

0). Determine o lugar dos pontos no plano z = 0 em que a com

paço livre, enquanto Q = 0.2mC está em A(0.8, 0.6, 0). Determine o lugar dos pontos no plano z = 0 em que a com nte x da força em

izadas cm A( l, 0, 0). B(- l, 0, 0), C(0, l, 0) e D(0, -1, 0) no espaço livre. Determine a força total sobr

izadas cm A( l, 0, 0). B(- l, 0, 0), C(0, l, 0) e D(0, -1, 0) no espaço livre. Determine a força total sobr

em A. em A. 4. Seja Q1 = 8 4. Seja Q

eedere e = e0. (a) Determine F2 a força sobre Q. (b

dere e = e

imim

1-2, 7) e a carga Q2;= 60 nC localizada-2, 7) e a carga Q

6. Duas cargas pontuais 6. Duas cargas pontuais

(a((a(o mo m

7. Uma carga pontual de 2mC está localizada em A(4, 3, 5) no espaço livre. Determine E , E e E em P(8, 12, 2)

7. Uma carga pontual de 2mC está localizada em A(4, 3, 5) no espaço livre. Determine E , E e E em P(8, 12, 2). .

Campo elétrico n ponto é da oCampo elétrico n ponto é da o

0.

C esta

1 = 8

0. (a) Determine F2 a força sobre Q. (b

1

2;= 60 nC localizada

APAP rr04 εAPr

2

m

aaar ˆ5ˆ3ˆ4 ++=

PEπ

=Q

E coordenadas cartesianas: zyxA

zyxP aaar ˆ2ˆ12ˆ8 ++= As relações entre os

rversores das

coordenadas cilíndricas pola es: e as cartesianas são obtid com o auxílio da figura:

f

r f

Da figura, então vemos que:

as

φa ya

ρa

xa

φφ φρ senaaax ˆcosˆˆ −=

φφ φρ cosˆˆˆ asenaay +=

zz aa ˆˆ =

aaarrr ˆ3ˆ9ˆ4 zyxAPAP −+=−=

106)3(94 222 =−++=−= APAP rrr Como:

xyarctg=φ

22 yx +=ρ

087,36643,043

=== radarctgAφ

031,56983,08

12=== arctgPφ rad

CN

APP r

QE 81,169106

36104

1024 9

6

20

==⋅

= −

−

πππε

Em coordenadas cartesianas:

AP

APP rrr

EAP

rrQ−

= 24πε

−

0

zyxAPAP rrr 106106106−APAP aaa

rrr ˆ3ˆ9ˆ4−+=

−=

zyxP aaE 81,1693ˆ106

81,1699ˆ106

81,1694 ⋅−

⋅+

⋅ a106

=

PE = zyx aaa ˆ480,49ˆ441,148ˆ974,65 −+


15

Substituindo: φφ φρ senaaax ˆcosˆˆ −=

φφ φρ cosay + ˆˆ senaa =

(( ) zaasen

asen )ˆ480,49ˆcos44,148974,65

ˆ441,148cos974,65−+−

+=

φ

ρ

φφ

φφ

das

ˆˆ +φφρρ

E+ Para acharmos o campo em coordenacilíndricas:

zzaEaEaEE ˆ += recisamos então descobrir o ângulo f. Para isso observe figura a seguir:

rvando o paralelogramo no plano xy formado pelas projeções dos vetores

Pa Obse

PA rr , e APr no plano xy,:

( )APP φφφφ −+= z

)asen ˆ75,75441,14875,75cos974,65

00+

+ ρ

y f fA fP

x

( ) 075,7587,3631,5631,56 =−+=φ Substituindo em:

( )asenE ˆ441,148cos974,65 += ρφφ ( ) zaasen ˆ480,49ˆcos44,148974,65 −+−+ φφφ

( )E 00=

( zaasen ˆ480,49ˆ75,75cos44,14875,75974,65 −+− φ

( ) ( ) zaaaE ˆ480,49ˆ839,36944,63ˆ8736,1432397,16 −+−++= φρ

zaaaE ˆ01,27ˆ11,160 −−= φρ ˆ48,49

8. Dadas duas cargas pontuais de -lmC em P (0, 0, -0.5

e e = e .

nC está localizada em A( -

ontos P(x, y, z.) no qual 500 V/m.

(b) Determine y1, se P(-2, y1, 3) pertencer a este lugar.

em (3, 0, 0) e (-3, = e .

a) Determine |E| em P(0, y,0). e |E| vs. y em P.

11. Uma carga Q0, localizada na origem no

/m no

(a) Determine Q0. Determine E em M( l, 6, 5) m:

(b) coordenadas cartesianas: (c) coordenadas cilíndricas: (d) coordenadas esféricas.

12. A densidade volumétrica de carga

1

) e P2(0, 0, -0.5), e uma carga de 2mC na origem, determine E em P(0, 2, l) em componentes esféricas. Consider 0

9. Uma carga pontual de 100

1, 1, 3) no espaço livre: (a) Encontre o lugar dos p

E =

10. Duas cargas de 20 e -20 nC estão localizadas 0, 0), respectivamente. Considere e

0

((b) Esboc

espaço livre produz um campo no qual Ez=l k Vponto P( -2. l, -1),

e

zyxv e −−−= 0ρρ existe em todo o espaço li e.

Calcule a carga total presente. Solução:

vr

dvQV

v∫∫∫= ρ

Em coordenadas cartesianas:

∫ ∫ ∫+∞+∞+∞

∞− ∞− ∞−

−−−= xdydzeQ zyx0ρ d

( ) ( ) dzedyedxedxe xx ∫∫∫∫∞−∞−

+−

∞−

−−

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+0

0ρzy

+∞−

+∞−

+∞ ⎞⎛=

0

Q

dzedyeeeQ zyxx ∫+∞

−+∞

−∞+− ⎟⎞⎜⎛ −+=0

0ρ ∫ ∞−∞−

∞− ⎠⎝ 0

( ) dzedyeeeQ zy+∞

−+∞

−−+−= 000 0ρ ∫∫

∞−∞−

−− (0

dzedyeQ zy ∫∫+∞

∞−

−

∞−

= 02ρ

Como as outras integrais são idênticas:

+∞−

2.2.2 0ρ=Q

08ρ=Q

13 Uma densidade volumétrica uniforme de arga de 0.2 mC/m3 está presente através de um

r = 3 cm até r = 5 cm. Se rv = 0 em ualquer outra parte, determine:

(a) a carga total presente dentro da casca e (b) r1, se metade da carga está localizada na

região 3 cm < r < r1. o:

c a casca esférica de q

Soluçã


16

22

2.0ππ

φθθµ

dvQV

v∫∫∫= ρ

∫ ∫ ∫ ′′′′′⋅=ππ

φ θ

φθθµ2

0 0

05.0

03.0

22.0 ddrdsenrQr

rdrddsenQ ′′′′′= ∫∫∫05.0

03.000

( ) pCrQ 1.823

)cos(2,005.0

03.0

32

00=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛′−= ππ φθµ

14. Seja:

( ) 22

1,0

1015 mC

zev µφπρ ρ

+−= −

na região:⎪ ≤≤− πφπ e r =0 em qualquer outra ⎪⎩ ;az

parte. (a) Determine a carga total presente. (b) Calcule a carga dentro da região:

⎨

⎧ ≤≤ 100 ρ

v

⎪

⎪⎨ ≤≤− 22

ππ φ

⎩

⎧

≤≤−

≤≤

1010

40

z

ρ

ume esférico de 2 mm de raio contém uma densidade volumétrica uniforme de carga de 1015C

uma grande região conte

de lado e que não há dade

olum

e carga:

15. Um vol

/m. (a) Qual a carga total confinada dentro do volume

esférico? (b) Considere agora que nha uma dessas pequenas esferas em cada quina de

uma grelha cúbica de 3 cma carga entre as esferas. Qual é a densinenhum

v étrica de carga média através desta região?

16. A região na qual 4 < r < 5, O < θ < 25° e 0,9π < f <1,1π conté a densidade volumétrica dm um

( )( ) φθρ 2154 sensenr −1v 0 r −=

ão, rv = 0. Determine a carga dentro desta região.

z =- 5. Se e

P( l, 2. 3) ) determine E no ponto do plano z = 0 onde a

direç E é dada por

Fora desta regi

17. Uma linha de cargas uniforme de 16 nC/m está

localizada ao longo da linha definida por y = -2,

.

Duas linhas de cargas uniformes de 0,4

m.C/m ocalizadas no plano x = 0 em y - 0,6 e y =0,6 m, respectivamente. Considere e = e0.

(x, 0, z).

9. Uma linha de carga uniforme de 2mC/m está localizada no eixo z. Determine E em coordenadas cartesianas em P(1,2,3) se a carga se estende de:

z +¶. (b) z = -4 a z = +4.

olução:

)

3 2 1 r E x f y

= e0: (a) determine E em (bão do vetor zy aa ˆˆ 3

231 −

18. e - 0,4 p-C/m estão l

=

Determine E em : (a) P(b) Q(2,3,4). 1

(a) z = -¶ a =

S (a z

Como: ρρπε2 0

ρ aE L ˆ=

Observe da figura que: 0

12 435,63=== arctgarctg x

yφ

512 2222 =+=+= yxρ Como em coordenadas cilíndricas:

φφρ senaaa yx ˆcosˆˆ +=

51coscos =⇒= φ

ρφ x

52

=⇒= φρ

φ senysen

yx aaa ˆˆˆ5

25

1 +=ρ

uindo:

Substit

ρρπεa

2 0

=ρE L

(E 2= )21

yx aa ˆˆ52 55

0

+πεµ

( )aaE ˆˆ 21 += yx 550πε

µ


17

( )yx aaE ˆˆ10

3652

51

9 += −ππµ

( )mkVaaE yx ˆ4,14ˆ2,7 += Solução: (b) z 1 E x y

Como:

4

3 2

r f -4

( )∫ ′−′−

=Q

rrrr

dQrE 304

)(πε

zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ ++=

zazr ˆ′=′

( ) zyx azaarr ˆ3ˆ2ˆ ′−++=′−

( )222 321 zrr −++=′−

( )235 zrr −+=′−

Observe que: zddQ L ′= ρ Substituindo na integral, teremos:

( )( ) ( )( ) zda′ ˆzaaz

rE zyxL ′−++

′−+= ∫

−

4

4232

0

3ˆ2ˆ354

)(πε

ρ

Separando por componentes, teremos:

( )( )zd

zE L

x ′′−+

= ∫−

4

4232

0 35

14περ

4

42

0 1463

4

=

−=−

−=

z

z

L

zzzE

περ

5 +

x

332

4περL

xE = 0

332

36104

1029

6

ππ

−

−⋅=xE

CNEx 97,4898326000 ≅=

( )( )zd

zE L

y ′′−+

= ∫−

4

4232

0 35

142περ

332

42

0περL

yE =

CNEy 96,97973212000 ≅=

( )( )( )

zdz

zE Lz ′

′−+

′−= ∫

−

4

4232

0 35

34περ

4

42

0 146

14

−=+−=

z

Lz

zzE

περ

=z

332ρL

4 0πεzE =

CNEz 98,48983

6000 ≅=2

Logo: ( )mkVaarE ˆ899,4ˆ( +ax 798,9ˆ899,4) += zy

120 nC/m dos três ções do es 21. Duas linhas de carga uniformes idênticas com rL = 75 nC/m estão localizadas no espaço livre, em x = 0, y= ≤ 0,4 m. Que força por unidade de comprimento cada linha de cargas exerce sobre a outra?

Solução: (a) (1) (2) z dQ’ -0,4 0,4 E 1 r x y

20. Uma linha de cargas uniforme deo está situada ao longo de toda a extensã

eixos coordenados. Considerando as condiaço livre, determine E em P(-3, 2, -1). p

1221 QdEFd ′=


18

ρρπερ aE L ˆ

2 02 =

yaE ˆ8,0

36102

10759

9

2

ππ

−

−⋅=

= y2 aE ˆ5,1687

LEFd Lρ221 =

921 1=Fd 1075ˆ5,687 −⋅yaL

921 1075ˆ5,1687 −⋅= yaLFd

mNaLFd 21

yˆ10265625,1 4−⋅=

mNaLFd 21

y µˆ5625,126 ⋅=

rficial de carga niforme de 5nC/m2 está presente na região x=0, -2 < y <

A(b) PB(0, 3, 0)

23. Dada uma densidade superficial de carga rS 2 na região r < 0,2 m, z = 0 e rS =0 em qualquer

gar, determine E em: (b) PA(r=0, z=-0.5).

z y

22. Uma densidade supeu0 e " z. Se e = e0, determine E em:

(a) P (3, 0, 0). = 2mC/m

utro luo

x

rrrr

rrdA

rEd S

′−′−

′−= 2

04)(

πε

ρ

ρρ ar ˆ′=′

zar ˆ5.0−=

ρρ aarr z ˆˆ5.0 ′−−=′−

225,0 ρ′+=′− rr O elemento de área da distribuição será expresso em coordenadas cilíndricas:

φρρ ′′′=′ dd Ad Assim:

( )( )∫∫=

πρ2

EA ′′′−−′+

ρ φρρρρπε

ρ

0 02322

0

ˆˆ5,05,04

ddaazS

( )( )∫∫ ′′′−−

′+=

πρ

ρ φρρρρπε

ρ2

0 02322

0

ˆˆ5,05,04

ddaaE zS

A

49

0

108,1

36104

24

⋅==−

ππ

µπερ S Como:

: φφρ senaaa yx ˆc Como osˆˆ += teremos ao substituir na expressão acima apenas a dependência em : za

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

′+

′′−⋅= ∫∫

2,0

02322

2

0

4 ˆ5,0

5,0108,1 zA addEρ

ρρφπ

zA aE ˆ15,02108,1 4 ⎥⎢ −−⋅⋅= π

25,0

2,0

022

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

′+

=′

=′

ρ

ρρ

⎡

zA aE ˆ25,0

1

2,025,0

15,0106,3222

4

⎥⎥⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

+⋅= π

⎦⎠( )[ ]a143047,05,04 − zAE 106,3 ⋅= π

mkVaE zA ˆ089,8−=

(a) PA(r=0, z=0.5).

Analogamente e por questões de simetria, chega-se a: mkVaE zA ˆ089,8= 24. Três densidades de cargas superficiais stão posicionadas no espaço livre como se segue: 20

0 nC/m2 em y = 4 e 40 nC/m2 em z tude de E em:

3, -2); (b) PB(-2, 5, -1); (c) PC(0, 0, 0);

25. Determine E na origem se as seguintes istribuições de carga estão presentes no espaço livre:

enC/m2 em x=-3; -3=2. Determine a magni (a) PA(4, d


19

Uma carga pontual de 12 nC, em P(2,0,6). orme de

Uma densidade superficial de carga uniforme de em

(2,0,6)

rL=3nC/m

y 2 rS =0,2nC/m2

x

• Campo devido à carga puntiforme:

Uma densidade linear de carga unif3nC/m, em x = -2, y = 3.

0,2 nC/m2 x = 2. Solução: 6 z Q

-2 θ

ρa E(0) ? 0 3

rrrr

rrQrEQ ′−

′−′−

= 204

)(πε

zx aar ˆ6ˆ2 +=′

zyx aaar ˆ0ˆ0ˆ0 ++=

zx aarr ˆ6ˆ2 −−=′−

40)6()2( 22 =−+−=′− rr

zx aarr

ˆ40

ˆ40

−−=′−

rr 62′−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅= −

−

zxQ aarE ˆ406ˆ

402

4036104

1012)(29

9

ππ

zxQ aarE ˆˆ)(40

2,16404,5 −−=

• Campo devido à dens ade de carga linear:

id

ρρπερ

aE LL ˆ

2 0

=

Observando a figura, escrevemos:

( ) 1332 22 =+−=ρ

132cos == ρθ x ;

13

yx asenaa ˆˆcosˆ θθρ −=

yx aaa ˆ133ˆ

132ˆ −=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛⋅

= −L aE 21039

⎝−

−

yx a133ˆ

131336102

9

ππ

3== ρθ ysen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= yxL aaE ˆ

133ˆ

13254

yxL aaE ˆ13

ˆ13

−=162108

• Campo devido à densi de de carga superficial:

da

NS

S aE ˆ2 0ερ

=

Observe que: xN aa ˆˆ −=

( )xS aE ˆ

36102

2,09

9

−⋅

= −

−10

π

⋅−= π xS aE ˆ6,3 O campo resultante será dado por:

SLQR EEEE ++=)0(

zxQ aarE ˆˆ)( 2,16404,5 −−=

40

yxL aE 162ˆ108−= a

1313

xS aE ˆ6,3 ⋅−= π

xa 46,12ˆ86,3)0( −−= zyR aaE ˆ56,2ˆ −

26. Uma densidade linear de carga uniforme de 5nC/ y=0, z = 2m no espaço livre, enquanto outra de -5nC/m está localizada em y=0, z=-2. Uma densidade superficial de 0,3 nC/m2 stá em y=-0,2m. Determine |E| na origem. 27. Dado o campo elétrico:

(V/m)

m está em

e

( ) ( ) yx ayxayxE ˆ42ˆ24 +−−= Determine:

(a) a equação da linha de força que passa

(b) O vetor unitári Ea especificando a direção de E no ponto Q(3, -2, 5).

pelo ponto P(2, 3, -4). o


20

Solução: ( )

yxyx

dxdy

EE

dxdy

x

y

2442

−+−

=⇔=

( ) ( dxyxdyyx 4224 +−=− )( ) ( 4224 ) 0++− yxdyyx =dx

dyyFdx

xFdF

∂∂

+∂∂

=

Comparando as duas expressões:

( )dxyxyxFyxxF

x∫ +=⇒+=

∂∂ 42),(42

)(4),( 2 yxyxyxF ϕ++=

( )dyyxyxFyxyF

y∫ −=⇒−=

∂∂ 24),(24

2 xyxy φ+−= Comparando as expressões:

Então: +−= 224),(

)(4),( yxF

22 )(;)( yyxx −== ϕφ

CxyxyyxF +423324)3,2( 22 −=++−⋅⋅= CF

44924 −=++−⇒ C 23−=C

4234),( 22 −=−+−= xyxyyxF

19422 − xy −= xy (b) Q(3,-2,5)

)ayx ˆ42 + ( ) xayxE ˆ24 −−= ( y

( ) ( ) yx aaE ˆ)2(432ˆ)2(234 −⋅+⋅−−⋅−⋅=

yx aaE ˆ2ˆ16 +=

yxE aaE

ˆ260260

En ==2ˆ16

+

an 12,0ˆ99,0 += yxE aˆ

28. mpo elétrico: Seja o ca

yx ayxaxE ˆ15ˆ5 23 −=

o pont

b) tário especificando a direção de E no ponto Q(3, -2, 5).

Um vetor unitário a l,m,0) qu é

perpendicular a em Q(3, -2, 5).

29. Se:

Determine:

(a) A equação da linha de força que passa pel P(4,2, 1). o

( O vetor uni Ea

(c) e Nˆ =(

Ea

( )yxy axsenaxeE ˆ5ˆ5cos20 5 −= − ,

determine: P π/6; 0,1; 2);

(b) O vetor unitário na direção de E no ponto P. uação da linha de direção que passa por

Solução:

(a

(a) |E| em (

(c) A eqP.

) ( )yx asenaeE ˆ5ˆ5cos20 661,05 ππ −= ⋅−

( )yx aaeE ˆ5,0ˆ866,020 5,0 −−= −

( )yx aaE ˆ5,0ˆ866,013,12 −−=

13,12=E

(b) yxE aaa ˆ5,0ˆ866,0ˆ −−=

(c) xexsene

dxdy

EE

dxdy

y

y

x

y

5cos20520

5

5

−

−−=⇔=

xtgdxdy 5−=

dxxtgy ∫−= 5

Cxy += 5cosln51

C+=11,0 π

655cosln

5π

56=C

cosln5,0 −

1286,0=C

1286,05cosln5

30. Da

1+−= xy

da a intensidade do campo elétrico:

( )mVaxayE yx ˆ400ˆ400 += , determine:

(b) A equ ual |E| =800

(a) A equação da linha de direção que passa pelo ponto A(2, 1, -2).

ação na superfície na qV/m;


21

(c) Esboce a linha de força da parte (a). (d) Esboce o traçado produzido pela interseção do plano z=0 com a superfície da parte (b).

1. Em coordenadas cilíndricas com: 3

( ) ( ) ( ) φφρρ φρφρφρ aEaEE ˆ,ˆ,, += a equação diferencial que descreve as linhas de direção é:

( )φρρ

φ

ρ

dd

EE

=

em qualquer plano z = constante. Calcule a equação da linha que passa pelo ponto:

P(r = 4, f = 100 , z = 2) no campo:

( ) φρ φρφρφρ asenaE ˆ32ˆ3cos2, 22 +=

Soluçã :

o

( )φρρ

φ

ρ

dd

EE

=

( )φρρ

φρφρ

dd

sen=

323cos2

2

2

φφρρ

φρφρ dctgd

ddctg 33 =⇒=

∫∫ = φφρρ dctgd 3

. Csen += φρ 3lnln 31

Csen 33lnln3 += φρ

Csen 33lnln3 =− φρ

Csen

33

ln3

=φ

ρ

Cesen

33

3=

φρ

( ) Cesen

F 33

3, −=

φρφρ

( ) 2103

410,4 30

30 =−

⋅=== Ce

senF φρ

1263 == Ke C φρ 31283 sen=


22

tão colocadas nos vértices de um triângulo equilátero,

Exercícios – Halliday – Resnick - Tipler

1) Três cargas elétricas es

conforme mostra a figura:

+Q

+q

-Q

a a

a

s.

de magnitudes =0,2

a) Qual a intensidade e direção do vetor campo elétrico sobre um ponto no meio da reta que une as cargas? b) Qual a intensidade e direção da força elétrica sobre um elétron colocado neste ponto? 5) Um átomo de plutônio-239 tem um raio

uclear

Trace as linhas de força devido as cargas +Q e -Q e determine a direção da força que atua em +q devido

as cargas elétricaà presença das du 2) Qual a magnitude de uma carga puntual cujo campo elétrico à 50 cm da carga possui intensidade 2

/C? N

3) Duas cargas puntiformes Q1 mC e Q2=0,085mC estão distanciadas de 12 cm. a) Qual a intensidade do campo elétrico produzido uma sobre a outra? b) Qual a intensidade da força que atua em cada carga? 4) Duas cargas iguais e opostas de magnitude 0,2mC estão separadas de 15cm.

n de 6,64 fm e um número atômico de Z=94. Assumindo que a carga positiva está distribuída uniformemente sobre o núcleo, qual a magnitude e direção do campo elétrico na superfície do núcleo devido à carga positiva? 6) Duas carga s puntiformes estão dispostas como mostra a figura:

x

y

q q1 2

d As cargas são q1= + 1mC e q2= + 3mC e estão separadas por uma distância d=10 cm. Faça um gráfico do campo elétrico E (x) para ambos valores positivos e negativos de x, tomando E positivo quando apontar para a dir egativo quando

7) Determine a magnitude e direção do mpo e

os vértices, sendo q=0,01mC e 5,0cm

eita e E napontar para a esquerda. ca létrico em P, centro do quadrado da figura abaixo, com cargas na= .

a

+q

P

-q +2q

-2q

8) Um elétron é colocado em cada vértice de m triân

campo elétric

a que atua em um elétron aí olocado?

n distancia

létrico uni

u gulo eqüilátero de 20 cm de lado. a) Qual é o o no ponto médio de um de seus lados? b) Qual a forçc 9) Calcule o momento de dipolo elétrico de um elétron e um próto dos de 4,3 nm. 10) Um elétron é colocado em um campo

forme de magnitude e 2 00 104, . NC . Calcule

ação de

a aceleração do elétron (ignorar a gravidade). 11) Um elétron é acelerado na direção oeste com aceler 1 8 109

2, . ms

por um campo elétrico.

e, tem massa d e carga de +2e.

Determine a magnitude e direção do campo elétrico. 12) Uma partícula a, núcleo de um átomo de H e 6 64 10 27, . − kg


23

13) Uma nuvem carregada produz um campo

a por uma força

Qual a magnitude e direção do campo elétrico que balanceia seu peso? elétrico no ar próximo à superfície da Terra. Uma partícula de carga − −2 0 10 9, . C é atuadeletrostática descendente de intensidade 3 0 10 6, . − N quando colocada no ca a) Qual é a magnitude do campo elétrico?

b) Qual é a magn

mpo.

itude e direção da força

mpo? o próton?stática e a

rça gravitacional?

cemos o campo elétrico E em um do po

as d

al) entre a rra uma nuvem é de . Qual a magnitude da

17) Suponha que durante uma descarga elétrica

nergia nesta quantidade carga

g

eletrostática exercida sobre um próton colocado sobre o ca c) Qual é a força gravitacional sobre d) Qual a razão entre a força eletrofo 14) Se conheda nto, é possível encontrar o potencial V neste ponto? 15) Determine o potencial elétrico produzido pelas carg o problema 7 no ponto P. 16) A ddp (diferença de potenci Tee 1 2 109, . Vmudança na energia potencial elétrica de um elétron que se move entre esses pontos? entre uma nuvem e a Terra a ddp seja de 1 0 109, . V e uma quantidade de carga transferida de 30 C. a) Qual a mudança de ede transferida? b) Se esta energia fosse usada para locomover um automóvel de 1000 kg , qual a velocidade atingida

elo automóvel? p c) Se a energia utilizada fosse para derreter o

elo, a 00 C , qual a quantidade de gelo que seria erretida? (Dd do:calor de fusão do geloa :3 3 105, . J

kg ).

18) No problema 6 determine o potencial e rico em qualquer ponto x gerado pelas cargas elétricas. 19) Uma gota dágua carrega uma carga de 30 pC e tem um potencial de 500 V na sua superfície. (com V 0 no infinito). a) Qual o raio da gota?

b) Se duas gotas com mesmo raio e carga combinam para formar uma outra gota esférica, qual o encial na superfície desta nova gota?

20) Determine o potencial elétrico em P evido a presença das 6 cargas pontuais abaixo. ssuma V=0 no infinito.

lét

=

pot

dA


24

Texto : Leitura optativa

Tabela 1: Algumas partículas elementares de

um átom

o:

Várias partículas elementares são agora experimentalmente conhecidas pelas várias propriedades pelas quais os físicos as identificam.

Ele está dividido em quatro grandes classes: o fóton, o léptons, o baryons, e o mésons. Prótons e nêutrons são os componentes básicos

de núcleos atômicos que, combinou com elétrons, átomos de forma.

Fótons são as unidades fundamentais de radiação eletromagnética que inclui ondas de rádio, luz visível, e raios de X. O nêutron é instável como uma partícula isolada e desintegra pelo processo:

n ± p + e + Xe com uma vida comum de 917 segundos.

Quando se combinam com prótons, porém, forma certos núcleos atômicos, como oxigênio-16 ou o ferro-56, os nêutrons ficam estabilizados. A maioria das partículas elementares diferentes do elétron, fóton, próton, e nêutron foram descobertos desde 1945, alguns por meio de raios cósmicos, em experiências que usam aceleradores de alto-energia (veja Aceleradores de Partícula). A existência de outras partículas foi predita,

as eles não têm contudo sido observar-tal como omgráv

iton responsável por transmitir a força itaci

roca de m tipo particular de boson. Interações nucleares são

os mais áveis pela ligação de prótons

toine H. Becquerel, Pierre rie, e esultado

da troca

em outras, mas a energia total é onservada e não muda. Para interações de partícula

elementares estas leis de conservação permanecem com e

, supondo sergrav onal.

Em 1930 o físico britânico Paul M. Dirac predisse em estudos teóricos que, para todo tipo de partícula elementar, há outro tipo chamado sua antipartícula. A antipartícula do elétron foi achada em 1932 pelo físico americano Carl D. Anderson que chamou de o pósitron. O antipróton foi achado em 1955 pelos físicos americanos Owen Chamberlain e Emilio Segrè. É conhecida agora que a predição de Dirac é válida para todas as partículas elementares. Algumas partículas elementares, como o fóton, são a própria antipartícula dele. Físicos geralmente usam uma barra para denotar uma antipartícula; assim a antipartícula de

uma particula também pode ser classificada em termos do giro deles/delas, ou momento angular, como bósons ou férmions. Bósons têm um giro que é um múltiplo inteiro de uma certa constante, h,; fermions têm um giro que é um múltiplo de meio-inteiro daquela constante.

Interações: Partículas elementares exibem forças, e eles constantemente são criados e são aniquilados. Criação, aniquilação, e força, de fato, são fenômenos relacionados e chamados de interações. Quatro tipos de interações são conhecidos (embora mais foram postulados): Cada tipo de interação acontece pela tu

fortes e são response nêutrons e a formação de núcleos. Estas

interações resultam da troca de glúons. Logo, as forças são interações eletromagnéticas responsáveis pelos elétrons que estão ligados aos núcleos em átomos e moléculas. Estas interações resultam da troca de fótons. Do ponto de vista prático, esta ligação é de grande importância porque todas as reações químicas representam transformações eletromagnéticas de elétrons e núcleos. Muito mais fracas são as interações fracas denominadas que governam o decaimento radioativo de núcleos atômicos, observados (1896-98) pelos físicos franceses e químicos AnCu Marie Curie. Estas interações são o r

de bósons fracos: W+, W -, ou partículas de Z°. A interação gravitacional de assunto é importante em uma balança grande, embora é o mais fraco das interações de partícula elementares. Esta interação é o resultado teoricamente da troca de grávitons.

Leis de conservação A dinâmica de interações de partícula

elementares é governada por equações de movimento que é a generalização das três leis fundamentais de Newton da dinâmica. Na dinâmica de Newton, não são criados, nem são destruídas; eles são conservados. Energia existe em muitas formas que podem ser transformadas c

feito, mas foram descobertas leis de conservação adicionais que originaram papéis importantes na estrutura e interações de núcleos e partículas elementares. Simetria e Números de Quantum

Princípios de simetria eram quase exclusivamente aplicados a problemas em mecânicas dos fluidos e cristalografia até o começo do 20º século na física. Depois de 1925, com o sucesso


25

orque números de quantum e regras de seleção são nec s de fenômeno

Em sua maioria, os princípios de simetria dizem ue um lterado) uando são transformadas certas coordenadas de espaço,

ou muda

x, y, e z, de todas partículas (quer dizer, quando os sinais deles são

mudados). Uma o) entre duas rtículas UM e B, por exemplo, que tem pA de

impulso

Um + B ± C + D (R) tem sid e B com

pulsos -pA e -pB produzem partículas C e D com

a (C)

O princí gação de carga de ser ilustrado se referindo à reação R. Se as

os pelo tipartículas UM, B, Ç, e D, então

Um + B ± Ç + D C(R)

am que metria al (ou conservação de aridade) é observada em todas as interações. Em

1956 os

simetria de reversão de tempo não é servada em interações fracas.

rton Richter. A teoria modelo padrão de partícula

eletromagnéticas. Em 1916 Albert Einstein publicou a

crescente de teoria de quantum descrevendo o átomo e processos atômicos, os físicos descobriram aquelas considerações de simetria conduzidas a números de quantum (que descrevem estados atômicos) e para regras de seleção (que governam transições entre estados atômicos). P

essárias a descriçõeatômico e subatômico, considerações de simetria são centrais às físicas de partículas elementares.

Paridade (P)

q fenômeno particular é invariante (inaq

m de um certo modo. O princípio de simetria de reflexão espacial, ou paridade (P) conservação, estados que as leis de natureza são invariante quando são refletidos três coordenadas de espaço, as

reação (colisão, ou interaçãpa

s de vetor e pB poder ter uma certa probabilidade de se render duas outras partículas C e D com os próprios impulsos característicos deles o PC e pD. Esta reação

o chamado R. Se partículas UM imimpulsos o -PC e -pD à mesma taxa então como R, a reação é invariável debaixo de paridade (P). Simetria de Conjugação de carg

pio de simetria de conjupopartículas UM, B, C, e D são substituídan

Esta reação hipotética ser denominada C(R) e é a reação conjugada de R. Se (R) e C(R) procede à mesma taxa, então a reação é invariante debaixo de conjugação de carga de pólvora (C).

Simetria de Inversão de tempo (T) O princípio de simetria de inversão de tempo, ou reversão de tempo, tem uma definição semelhante. Os estados de princípio que se uma reação (R) é invariante abaixo (T), então a taxa da reação inversa

C + D ± UM + B T(R) está em uma proporção definida à taxa de (R).

Simetria e Forças de Interações

Foram achados os tipos de simetria observados pelos quatro tipos diferentes de interações para ser bastante diferente. As 1957 acreditarsi de reflexão espacip

físicos chinês-americanos Tsung Dao Lee e Chen Ning Yang mostraram aquela conservação de paridade tida, de fato, não sido testado para interações fracas e várias experiências sugeridas para examinar isto. Um destes foi executado o ano seguinte pelo físico chinês-americano Chien-Shiung Wu e os colaboradores dela que acharam que, realmente, não é observada simetria de reflexão espacial em interações fracas. Uma conseqüência era a descoberta que as partículas emitiram em interações fracas tende a espiralar ao longo da direção do movimento deles/delas. Em particular, o ue de neutrinos e uµ que só são envolvido em interações fracas e gravitacionais sempre giram de uma maneira canhota. Os físicos americanos James W. Cronin e Val L. Fitch e os colaboradores deles/delas também descobriram, em 1964, aquela ob

Simetria e Quarks

A classificação de partículas elementares estava baseado nos números de quantum deles/delas e assim fez de mãos dadas com idéias sobre simetria. Trabalhando independentemente com tais considerações, os físicos americanos Murray Gell-Mann e George Zweig propuseram em 1963 são formados aquele baryons e mesons de componentes menores que Gell-Mann chamado quarks. Eles sugestionaram três tipos de quarks, cada que tem um antiquark. Evidência indireta muito boa para o quark modela de baryons e mesons tem acumulado, especialmente como a descoberta em 1974 de partículas de J/Y pelos físicos americanos Samuel C. C. Ting e Bu

s elementares postulou a existência de seis tipos de quarks tudo dos quais foi experimentalmente confirmado.

Teoria de campo de Interações

Antes do mid-19º século, interação, ou força, era acreditada comumente que agia a uma distância. O cientista inglês Michael Faraday iniciou a idéia que interação é transmitida de um corpo a outro por um campo. O físico escocês James Maxwell pôs as idéias de Faraday em forma matemática e resulta na primeira teoria de campo, comumente chamado as equações de Maxwell para interações


26

ampo. Acredita-se agora iversalmente que as outras duas interações, fortes e

fracas, t ampo.

s de Campo

es são imensamente iferentes de um do outro. O esforço para os unificar em

ebrada esenvol

a unificação e todas as interações, mas também de s com todas as partículas constituintes,

foi tentado nas idéias de supersimetria e supergravidade. Serão procurados tais desenvolvimentos indubitavelmente.

A meta final é uma compreensão da estrutura fundamental de assunto por princípios de simetria unificados. Infelizmente, não é provável que esta meta seja alcançada no futuro. Há dificuldades em ambos os aspectos teóricos e experimentais do empenho. No lado teórico, as complexidades matemáticas de teoria de medida de quantum são grandes. No lado experimental, o estudo de partícula elementar estrutura a dimensões menores e menores requer aceleradores maiores e maiores e detectores (veja Detectores de Partícula). Os recursos humanos e financeiros requeridos para progresso de futuro são tão grandes que o passo de progresso será reduzido inevitavelmente. Contribuído por: Chen Ning Yang

teoria de interações gravitacionais, e isso se tornou a segunda teoria de cun

ambém podem ser descritas através de teorias dec

Com o desenvolvimento da teoria do quantum, foram encontradas certas dificuldades com teorias de campo nos anos trinta e quarenta. As dificuldades foram relacionadas aos campos muito fortes que têm que existir na vizinhança imediata de uma partícula e chamamos de divergência. Remover parte dessa dificuldade foi criado um método chamado renormalização, desenvolvido nos anos 1947-49 pelo físico japonês Shin'ichiro Tomonaga, e os físicos americanos Julian Schwinger e Richard Feynman e o físico Dyson anglo-americano. Métodos de Renormalização mostraram que as dificuldades de divergência podem ser isoladas sistematicamente e podem ser removidas. O programa alcançou grandes sucessos práticos, mas a fundação de teoria de campo permanece insatisfatória.

Unificação de Teoria

Os quatro tipos de interaçõdum único conceitual foi iniciado por Albert Einstein antes das 1920. Os físicos americanos Sheldon Glashow e Steven Weinberg e o físico paquistanês Abdus Salam em 1979 compartilharam o Nobel em física com o trabalho de um modelo próspero que unifica as teorias de interações eletromagnéticas e fracas. Isto era acabado reunindo idéias de simetria de medida desenvolvidas pelo matemático alemão Hermann Weyl, Yang, e o físico Robert Laurence Mills americano e de simetria qud vida pelo físico japonês-americano Yoichiro Nambu, o físico britânico Peter W. Higgs, e outros. Uma contribuição muito importante para estes desenvolvimentos foi feita pela física holandesa Gerardus ' t Hooft que inseriu no programa de renormalização essas teorias.

Prospectos para o Futuro É reconhecido agora que as propriedades de todas as interações são ditadas por várias formas de simetria de medida. Em retrospecto, o primeiro uso desta idéia era à procura de Einstein para uma teoria gravitacional que é simétrico com respeito a transformações de coordenada que culminaram na teoria geral de relatividade em 1916 (veja Gravitação; Relatividade). Exploração de tais idéias será certamente um tema principal de física de partículas elementares durante os anos próximos. Extensão qualitativa do conceito de simetria de medida para facilitar, possivelmente, umeventual não só dtodas as interaçõe

já

Documents

n T n p - claudio.sartori.nom.brclaudio.sartori.nom.br/eletromagcap2.pdf · Chama-se de semicondutores, ... possuem 4 elétrons na última camada, formando entre ... Um exemplo de