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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO CAETANO DO SUL - FATEC-SCS TURMA: ADSMA2 DISCIPLINA: CÁLCULO I NOME: MAURY MITSUYUKI OSHIRO RA: 131680146 NOME: FELIPE RA: 121680123 ATIVIDADE: N3 Atividade apresentada como parte integrante da nota Peso 2 da disciplina MATEMÁTICA DISCRETA. 2º SEMESTRE 2013 1

N3 - FINAL

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO CAETANO DO SUL - FATEC-SCS

TURMA: ADSMA2

DISCIPLINA: CÁLCULO I

NOME: MAURY MITSUYUKI OSHIRO

RA: 131680146

NOME: FELIPE

RA: 121680123

ATIVIDADE: N3

Atividade apresentada como parte integrante da nota Peso 2 da disciplina MATEMÁTICA DISCRETA.

2º SEMESTRE 2013

1

VARIÁVEIS PONTUADAS NA ELABORAÇÃO DE ATIVIDADES N3

VARIÁVEIS PONTUAÇÃO VALOR OBTIDO

ENCADERNAÇÃO ESPIRAL 1,0

PÁG. ROSTO (IDENT.) 1,0

SUMÁRIO 1,0

NUMERAÇÃO PÁG. 0,5

OBJETIVO 0,5

FORMATAÇÃO PÁG 0,5

TEMAS PROPOSTOS 4,0

PRAZO DE ENTREGA 0,5

BIBLIOGRAFIA 0,5

CONCLUSÃO 0,5

VALOR FINAL OBTIDO

Será atribuído valor 1,0 PONTO, 0,5 PONTO OU 0,0 PONTO a cada item devidamente cumprido ou não.

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SÃO CAETANO DO SUL

SÃO PAULO

Sumário

1. - Introdução.......................................................................................................3

2. - Projeto escrito I – As origens da regra de L’Hopital........................................4

2.1 - Uma breve introdução...................................................................................4

2.2 - Biografia de L’Hopital (1661 – 1704).............................................................4

2.3 - Biografias de Johann Bernoulli (1667-1748).................................................5

2.4 - A regra de L’Hopital e seu enunciado...........................................................6

2.5 - Exemplos de aplicação.................................................................................7

3. - Projeto escrito II – As origens dos logaritmos.................................................8

3.1 - Significado do termo logaritmo......................................................................8

3.2 - Definição de logaritmo...................................................................................8

3.3 - Propriedades operatórias..............................................................................9

3.4 - Biografias de Napier, Briggs e Stifel..............................................................10

3.4.1 - John Napier (1550 – 1627).........................................................................10

3.4.2 - Michael Stifel (1487-1567).........................................................................11

3.4.3 - Henry Briggs (1561 – 1630).......................................................................12

4. - Conclusão.......................................................................................................13

5. - Referências.....................................................................................................14

6. - Gráficos de funções gerados pelo Winplot .....................................................15

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1. - Introdução

Este trabalho tem a função de descrever as origens de fundamentos muito

importantes para a matemática moderna.

Sendo assim este trabalho traz uma pequena abordagem sobre a regra de L’Hopital

que mudou o jeito de se calcular um limite indefinido e ajudou no cálculo de certas

derivadas.

Assim como as descobertas com os logaritmos que são importantíssimos para o

cálculo de crescimento e decrescimento de populações e aplicações financeiras, que

serão abordados no seguinte trabalho.

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2. - Projeto escrito I – As origens da regra de L’Hopital

2.1- Uma breve introdução

A regra de L’Hopital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi

incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por

Guillaume François Antoine, Marquês de L’Hopital, em 1696. Seu objetivo é calcular

o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo ou .

O que facilita realmente o estudo dos limites e das derivadas em um contexto geral,

pois, antes estes mesmos cálculos eram feitos por meio de regras trigonométricas.

2.2- Biografia de L’Hopital (1661 – 1704)

Guillaume de L'Hopital, seu nome completo levaria um parágrafo inteiro, damos uma

versão reduzida: Guillaume - François - Antoine Marquês de L'Hopital, Marques de

Saintemesme, Comte d'Entremont e Seigneur d'Ouques - La-Chaise. A família tinha

sido um lugar de destaque na França ao longo de muitas gerações que remontam

ao redor do século 12. Existem diferentes grafias do nome Hôpital; as versões

anteriores, sendo L'Hopital ou Lhospital com L'Hôpital de ser uma forma

relativamente moderna do nome. Seu pai era Anne-Alexandre de L'Hopital, um

tenente-general do exército do rei, ele era conde de Sainte-Mesme e duqeu

d'Orleans. Sua mãe Elisabeth Gobelin, filha de Claude Gobelin que era um

intendente no exército do rei e um conselheiro do Estado.

Nasceu em 1661 em Paris, hoje lembrado no cálculo de formas indeterminadas pela

Regra para calcular os limites das frações cujos numeradores e denominadores

fossem próximos de zero, conhecida como Regra de L'Hopital que muitos acreditam

que na realidade tenha sido criação de Jean Bernoulli seu professor de matemática

leibiriziana.

Esta regra bem conhecida foi publicada no seu primeiro livro sobre cálculo

diferencial impresso: Analyse des Infiniment Petits, publicado em Paris (1686) e que

influenciou praticamente toda a matemática do século XVIII. Serviu como oficial da

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cavalaria mas saiu com problemas de saúde. À partir daquele momento dirigiu sua

atenção para matemática. Em 1691, Johann Bernoulli concordou em aceitar um

salário de 300 libras por ano de seu antigo aluno L'Hospital para solucionar

problemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o assunto.

Um desses problemas intitulava-se "Problema 0/0" quando publicou seu livro a regra

0/0 era apresentada como um teorema. Ele reconheceu sua dívida para com

Bernoulli e, para não se intitular como único autor, não colocou seu nome no livro.

Entretanto, Bernoulli acusou L'Hopital de plágio por publicar no livro os resultados

que ele obtivera.

L'Hopital faleceu em 2 de fevereiro de 1704 em Paris, França.

2.3- Biografias de Johann Bernoulli (1667-1748)

Matemático suíço nascido em Basel (ou Basiléia), centro universitário suíço, chegou

a defender uma tese de doutorado (1690) sobre efervescência e fermentação, pois o

pai o queria médico, mas no ano seguinte descobriu-se tão interessado em cálculo

que escreveu dois livros que só vieram a ser publicados mais tarde.

Décimo filho de Nicolauss Bernoulli o pai (1623-1708) e de Margaretha Bernoulli e

irmão de Jacob Bernoulli (1654-1705), doze anos mais velho. Os dois irmãos iriam

ter forte influência nos descendentes da família no gosto pelo desenvolvimento

matemático, apesar das objeções dos pais. Sobre a educação dele quando criança,

escreveu na autobiografia. Orientado pelo irmão Jacob, trabalhou com uma marquês

Francês o matemático Antoine L'Hopital (1661-1704), em Paris (1692) a quem após

a morte deste acusou-o de plágio no conteúdo do seu famoso livro mostrando seu

gênio irascível que o caracterizou em suas polêmicas, apesar das objeções dos pais

dele. Sobre sua educação escreveu na autobiografia e com seu irmão mais velho de

quem inicialmente foi aluno e amigo, tornou-se grande rival, especialmente após a

nomeação de Jacob para a cadeira de matemática em Basel, vaga pretendida por

ele, por isso teve que mudar para a Holanda (1695).

Ensinou matemática por dez anos na Holanda e voltou para ocupar a cadeira do

irmão, após sua morte. Também fez contribuições importantes à mecânica com um

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trabalho de energia cinética. Sua principal obra foi Opera Omnia (1742). Foi um dos

sócios estrangeiros eleitos para a Académie des Sciences de Paris e Fellow da

Sociedade Real de Londres (1712), na qual ganhou por duas vezes o cobiçado

prêmio bienal da Académie. Também foi membro de academias científicas de

Berlim, Londres, São Petersburgo e Bolanha. Morreu na sua cidade natal e foi o pai

e professor de mais de três famosos Bernoullis: Nicolaus II (1695-1726), Daniel

(1700-1782) e Johann II (1710-1790).

Conhecido como o Archimedes do seu tempo, tanto foi um professor

competentíssimo e um pesquisador infatigável; de contribuição inestimável para a

evolução da matemática como ciência, como dado a controvérsias.

Com seu comportamento intolerável, sua falta de tato e cimento, entre outras

confusões, além da intriga com seu irmão Jacob, brigou com Isaac Newton (1642-

1727) em defesa de Gottfried Leibniz (1646-1716), na disputa pelo paternidade do

cálculo, e expulsou de casa seu filho Daniel, pelo mesmo ter ganhou um prêmio da

Académie des Sciences (1738) pelo qual ele também competira.

2.4- A regra de L’Hopital e seu enunciado

No estudo inicial sobre limites, para calcular limites como limx→3 x² - 9/ x – 3 e

limx→0 senx / x usamos métodos algébricos geométricos ou trigonométricos.

Estabeleceremos agora outra técnica para calcular esses limites, que utiliza

derivadas formas indeterminadas 0 / 0 ou ∞ / ∞

Quando, numa expressão da forma f (x) / g(x); se tem limx→c f(x) = 0 e limx→c g(x)

= 0 diz-se que ela esta associada a uma indeterminação da forma 0/0 para x = c.

Quando, numa expressão da forma f(x)/g(x), ambas se tem limx→c = ∞ diz-se que

ela está associada a uma indeterminação da forma ∞ / ∞ para x=c.

De maneira informal, podemos enunciar a Regra de L’Hôpital da seguinte forma:

Se f(x) / g(x) tem a forma indeterminada 0 / 0 ou ∞ / ∞ em x = c e se limx→c f’(x)/

g(x) existe ou limx→c = ∞ então limx→c f(x)/ g(x) = limx→c f’(x)/ g(x)

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Analogamente, utiliza-se a Regra L’Hôpital, para o caso de termos a forma

indeterminada 0/0 ou ∞ / ∞ quando limx→∞ f(x)/ g(x)

Podemos também definir o seu enunciado da seguinte maneira:

Sejam f e g funções deriváveis num intervalo ou união de intervalos, com: “Se ou”,

“então se”, “com ou” ou “com ... ou”.

É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é uma

equivalência) e que tem de existir (se o limite do quociente das derivadas não existir

nada se pode concluir).

2.5- Exemplos de aplicação

Utilizando a regra de L’Hôpital para determinar os limites a seguir temos:

a) limx→3 x² - 6x + 9/ x² - 7x + 12 = 2x – 6/ 2x – 7 = 0

b) limx→0 ex – e-x / ln (x+1) = ex + e-x / 1/(x+1) = (x+1) * (ex + e-x ) = (0+1) * (1+1)

= 2

c) limx→+∞ sen (5x) /( 2/x) = (-5/x² * cos (5/x))/-2/x² = 5/2cos(5/x) = 5/2 * 1 = 5/2

d) limx→0 x²/1 – cos2x = 2x/ 2sen2x = x/ sen2x = 1/2cos2x = ½

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3 - Projeto escrito II – As origens dos logaritmos

3.1- Significado do termo logaritmo

Na matemática, o logaritmo (do grego: logos = razão e arithmos = número) de base

b, maior que zero e diferente de 1, literalmente, significa a evolução de um número.

Os logaritmos foram criados em 1590, pelo importante matemático escocês John

Napier e publicados em 1614, com o título Mirifici Logaruth Morum Canonis

Descriptio.

O símbolo log, contração de logarithm, é devido ao astrônomo Kepler que, em 1624,

publicou seu Chilias Logarithmorum.

3.2- Definição de logaritmo

Os logaritmos foram criados por John Napier (1550-1617) e desenvolvidos por Henry

Briggs (1531-1630); foram introduzidos no intuito de facilitar cálculos mais

complexos. Através de suas definições podemos transformar multiplicações em

adições, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em

divisões.

Dados dois números reais positivos a e b, onde a ≠ b e a > 1 e b > 0, existe somente

um número real X tal que ax = b ou log ab = x

Temos:

A = base do logaritmo

B = logaritmando

X = logaritmo

O logaritmo de b na base a é o expoente que devemos atribuir ao número a para

obter b.

Exemplos:

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Log24 = 2, pois 2² = 4

Log327 = 3, pois 3³ = 27

Log12144 = 2, pois 12² = 144

3.3- Propriedades operatórias

1ª propriedade: Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0.

Loga1 = 0

Loga1 = X

ax = 1 (a0 =1)

X = 0

2ª propriedade: O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1.

Logaa = 1

Logaa = x

ax= a

x = 1

3ª propriedade: O logaritmo de uma potência de base a é igual ao expoente m.

Logaam= m

Logaam= x

ax= a

x = 1

4ª propriedade: Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os

logaritmandos também são iguais.

Logab = Logac

10

Logab = x → ax = b

Logac = x → ax = c

b = c

5ª propriedade: A potência de base a e expoente Logab é igual a b.

alogab= b

alogab= bx

logab = ax

logax = logab

x = b

3.4- Biografias de Napier, Briggs e Stifel

3.4.1 - John Napier (1550 – 1627)

O escocês John Napier ingressou no St. Salvator’s College em St. Andrrews, onde

estudou com o matemático John Rutherford. Na Escócia do século XVI, os

interesses intelectuais concentravam-se na religião, na Teologia e na política em vez

de nas ciências e na matemática, e o primeiro trabalho de Napier refletia esse clima.

Ele foi um protestante fervoroso e dono de uma grande propriedade e de fazendas.

Há evidências de que começou trabalhando a ideia de logaritmos por volta de 1590.

Seu importante trabalho matemático culminou com a publicação de dois tratados em

latim. Em Constructio, as palavras “números-artificiais” são usadas por Napier em

vez de logaritmos que será adotada mais tarde.

Hoje Napier é mais conhecidos como o “inventor dos logaritmos”, mas até

recentemnete sabíamos muito pouco sobre sua intervenção. Sabemos que ele

inventou uma ferrmenta computacional chamada “logaritmo” que simplificava a

aritmética substituindo a multiplicação pela adição.

A equação que concluía isso era simplesmente

In (ax) = In a + In x.11

Para multiplicar dois números positivos "a" e "x", era preciso procurar seus

logaritmos em uma tabela, somá-los e encontrar o número que correspondia àquela

soma em uma tabela inversa. Essa tabela representou a chave e Napier passou os

últimos 20 anos de sua vida trabalhando em uma tabela que nunca terminou. Foi

responsável pela criação do sistema de logaritmo neperiano, que é o de base e. É

por isto que o nome neperiano deriva de John Napier. Em 1617 Napier inventou um

dispositivo mecânico feito de osso no qual os números eram estampados. Quando

combinados apropriadamente, "os ossos de Napier" podiam realizar a multiplicação.

Os ossos de Napier foram utilizados por Oughtred em 1630 na invenção da régua de

cálculo. Ele também realizou outros trabalhos matemáticos, incluindo a trigonometria

esférica e o desenvolvimento da notação decimal.

3.4.2 - Michael Stifel (1487-1567)

Nasceu em 1487 em Esslingen, Alemanha. Frequentou a universidade de

Wittenberg onde foi premiado para um M.A. . Fez sua vida na igreja entrando para o

monastério de Augustinian em Esslingen. Ele foi ordenado em 1511 enquanto no

monastério.

Porém Stifel não conformou-se corretamente a fé católica e ele ficou infeliz tirando

dinheiro dos pobres. Foi forçado a sair do monastério de Esslingen em 1522. Buscou

refúgio com luterano e finalmente foi para Wittenberg onde morou durante algum

tempo na própria casa de Luther.

Em 1523 Luther obteve uma posição de pastor para Stifel mas a pressão anti-

luterana o forçou a sair de várias posições. Em 1528 Luther montou uma paróquia

em Lochau (agora Annaberg).

Stifel cometeu o erro de predizer o fim do mundo e quando perceberam que ele

estava errado foi preso e despedido de seu posto.

Em 1535 ele entrou para uma paróquia em Holzdorf e permaneceu lá durante 12

anos.

12

Na guerra religiosa de Scherdalkadic de 1547, o duque luterano Maurice de Saxônia

e imperador romano Charles V tentaram levar uma região da Saxônia longe do

controle protestante. Stifel foi forçado a fugir novamente da paróquia dele.

Nesta época Stifel foi para a Prussia e obteve uma paróquia perto de Konigsberg.

Durante este tempo ele dissertou em matemática e teologia na Universidade de

Konigsberg.

Argumentos com colegas conduzidos ao retorno dele para Saxônia três anos depois.

Em 1559 Stifel obteve um posto na Universidade de Jena onde ele dissertou em

aritmética e geometria.

A pesquisa de Stifel estava em aritmética e álgebra. Ele inventou logaritmos

independentemente de Napier usar uma aproximação totalmente diferente. O

trabalho mais famoso dele Arithmetica Integra foi publicada em 1544 enquanto ele

estava em Hozdorf.

O trabalho contém coeficientes de binômio e a anotação +, - , √.

Stifel usou uma reestruturação inteligente das cartas LEO DECIMVS para “provar”

que Leo X era 666, o número da besta cedido do livro da Revelação.

3.4.3 - Henry Briggs (1561 – 1630)

Nasceu em Yorkshire, Inglaterra, estudou no St. John’s College, em Cambridge.

Graduou-se em 1581 e 1585 e tornou-se palestrante de matemática em 1592. Em

1596 Briggs tornou-se o primeiro professor de geometria do Gresham College de

Londres. Por volta de 1615 engajou-se completamente no estudo, cálculo e ensino

dos logaritmos. Encontrou-se com Napier e propôs melhorias para o sistema

logarítimico desenvolvido por ele. Brigg ajudou a publicar algumas obras de Napier e

em 1617 escreveu Lagarithmorum chilias prima. Arothmetica logarithmica, escrito

em 1624, foi sua principal obra.

Essas tábuas logarítmicas foram ferramentas uteias para aqueles que faziam

cálculos maiores. Ele passou vparios anos no Mertom College de Oxford.

13

4. - Conclusão

Este trabalho teve por objetivo explorar e relatar os acontecimentos, que levaram a

descoberta de conceitos matemáticos fundamentais para o cálculo. Como a

invenção dos logaritmos por Napier, e também pela criação da regra de L’Hopital

que facilitou os cálculos com limites indeterminados, como também, no cálculo de

derivadas e integrais.

Tudo isso devemos levar em conta pois foram esses grandes pensantes que

deixaram a matemática como ela é hoje.

14

5. - Referências

Wikipedia: REGRA DE L'HÔPITAL (s.d). Disponível em:

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l'H%C3%B4pital>. Acesso em 28 de Outubro

de 2013.

Wikipedia: GUILLAUME FRANÇOIS ANTOINE, MARQUÊS DE L'HÔPITAL (s.d).

Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Guillaume_Fran

%C3%A7ois_Antoine,_Marqu%C3%AAs_de_l'H%C3%B4pital>. Acesso em 28 de

Outubro de 2013.

eCálculo: L'HÔPITAL (s.d). Disponível em:

<http://ecalculo.if.usp.br/historia/lhospital.htm>. Acesso em 30 de Outubro de 2013.

Trabalhos Feitos: AS ORIGENS DA REGRA DE L'HÔPITAL (s.d). Disponível em:

<http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/As-Origens-Da-Regra-De-l'Hopital/

495010.html>. Acesso em 30 de Outubro de 2013.

Klickeducação: QUAL A ORIGEM DOS LOGARITMOS? (s.d). Disponível em: <

http://www.klickeducacao.com.br/bcoresp/bcoresp_mostra/0,6674,POR-972-

281,00.html>. Acesso em 1 de Novembro de 2013.

MUNDO EDUCAÇÃO: LOGARITMOS (s.d). Disponível em: <

http://www.mundoeducacao.com/matematica/logaritmos.htm>. Acesso em 1 de

Novembro de 2013.

Universidade de Lisboa: UM POUCO DE HISTÓRIA (s.d). Disponível em: <

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/historia.htm>. Acesso em 1 de Novembro

de 2013.

15

6. - Gráficos de funções gerados pelo Winplot

(I)f(x) = ax + b , função polinomial do 1º grau:

1) a = 2 e b = 1

16

2) a = -2 e b = 3

17

3) a = -3 e b = -1

18

4) a = 1 e b = -2

19

5) a = 3 e b = 0

20

6) a = -2 e b = 0

21

7) a = 0 e b = 4

22

8) a = 0 e b = -3

23

9) a = 0,5 e b = -2

24

10) a = -0,8 e b = 0,5

25

11) a = -0,6 e b = -0,8

26

12) a = 0,25 e b = 0,75

27

(II) f(x) = ax² + bx + c, , função polinomial do 2º grau.

1) Mantenha a>0 fixo, variando b e c;

28

2) Mantenha a<0 fixo, variando b e c;

29

3) Mantenha b>0 fixo, variando a e c ;

30

4) Mantenha b <0 fixo, variando a e c;

31

5) Mantenha c>0 fixo, variando a e b;

32

6) Mantenha c<0 fixo, variando a e b.

33

(III) função módulo para os casos seguintes:

1) f ( x )=|x|

34

2) f ( x )=−|x|

35

3) f ( x )=|x+3|

36

4) f ( x )=|−x+4|

37

5) f ( x )=−|x+5|

38

6) f ( x )=−|2x|

39

7) f ( x )=|x2−4|

40

8) f ( x )=|x2−6 x+5|

41

9) f ( x )=|2 x2−6 x|

42

10) f ( x )=−|−2x2|

43

11) f ( x )=−|x2|

44

12) f ( x )=−|x2+7 x−12|

45

IV) funções polinomiais diversas:

1) f ( x )=x3+x2+ x+1

46

2) f ( x )=4 x3+3 x2+2 x+1

47

3) f ( x )=6 x6−4 x3+2 x2−6

48

4) f ( x )=x4−4 x3+4

49

5) f ( x )=x3−6 x2+12 x−3

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6) f ( x )=x4−2 x2+2

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