Nakamura Capitulo 1 2

8/18/2019 Nakamura Capitulo 1 2

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JORGE NAKAMURA

MUROY

NUEVA EDICION


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JORGE NAKAMURA MUROY

Ingeniero Mecánico - Electricista.

Master of Science en Ingenieria Mecánica.

Profesor Principal e la !ac"lta

e Ingenier#a Mecánica y El$ctricae la Uni%ersia Nacional e Ingenier#a.

Jefe el &eparta'ento e Energ#a

y Mecánica.

AR(E Y &IAGRAMA)I*N+ Jes,s )arrasco . &IUJOS+ Maria Est/er Mestan0a ).REVISIÓN FINAL: E"aro Sato N. - Jorge &. Na1a'"ra G.


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INTRODUCCIÓN

GEOMETRIA DESCRIPTIVA: Es la ciencia el tra0ao2 3"e tiene por finalia

llegar a la representaci4n e5acta 6 perfecta e los o78etos y sol"cionar lospro7le'as 3"e p"ieran presentarse en el espacio.

9a sol"ci4n e los pro7le'as son reali0aos por 'eio e '$toos neta'entegráficos2 7asánose en análisis pre%ios reali0aos so7re fig"ras si'ples talesco'o el p"nto2 la recta y el plano2 /asta llegar a las for'as co'ple8as co'o sonlos pris'as2 las pirá'ies2 los cilinros2 los conos2 etc.

El t$r'ino :Geo'etr#a &escripti%a: significa la presentaci4n o escripci4n gráficae los o78etos2 reali0aa lle%ano las tres i'ensiones el espacio so7re tan soloos2 3"e son las i'ensiones con 3"e c"enta el papel o la lá'ina so7re la c"al se/acen los tra0aos. Esto se logra 'eiante el e'pleo e los planos e

pro6ecci4n2 3"e no son 'ás 3"e planos 3"e oc"pan iferentes posiciones en elespacio2 so7re los c"ales se pro6ecta el o78eto 6 l"ego son giraos /astaencontrarse toos so7re "n 'is'o plano. Es asi co'o se consig"e la re"cci4ne lo trii'ensional al plano; 7ii'ensional2 sin perer precisi4n en lasconstr"cciones.

Se o7ser%ará 3"e la i'portancia el c"rso raica en el /ec/o e 3"e per'ite a3"ien la práctica2 a3"irir 6 esarrollar /a7iliaes relati%as a la %is"ali0aci4n elos o78etos 'eiante pro6ecciones2 /acieno tra7a8ar s" i'aginaci4n2 sin la c"alser#a i'posi7le la resol"ci4n e pro7le'as.

9a ciencia e la Geo'etr#a &escripti%a tiene s"s or#genes en !rancia. !"e creaa

por GASPAR& MONGE e la Esc"ela Militar e ME?@ pero es to'aa in'eiata'ente por el go7ierno 6eclaraa :SE)RE(O MI9I(AR &E GRAN BA9OR: por espacio e casi CD aos.

)9AU&E )RO


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CONTENIDO

IN(RO&U))I*N

)API(U9O I+ )ONS(RU))IONES GEOME(RI)AS ASI)AS

=.=

=.

(ra0ar rectas paralelas a "na recta aa..

(ra0ar rectas perpenic"lares a "na recta aa.. =

=.C (ra0ar la 'eiatri0 e "n seg'ento e recta...

=. (ra0ar "na recta paralela a otra2 a "na istancia aa...

=.@ (ra0ar la 7isectri0 e "n áng"lo. C

=. isectri0 e "n áng"lo con %$rtice C

=.> (ra0ar por "n p"nto ao "na recta conc"rrente con otras os C

=.F (ra0ar "na circ"nferencia 3"e pase por tres p"ntos aos

=.? allar "na circ"nferencia 3"e pase por "n p"nto 6 sea tangente

a os rectas +

=.=D (ra0ar "na circ"nferencia 3"e pase por os p"ntos 6 sea tangente

a "na circ"nferencia @

=.== (ra0ar rectas tangentes a os circ"nferencias aas. @

=.= &i%iir "n seg'ento en partes

=.=C &i%iir "n seg'ento en proporci4n

=.= (raslao e "n áng"lo.. >

=.=@ 9"gar Geo'$trico e toos los p"ntos 3"e e3"iistan

"na recta 6 "n p"nto >

=.= 9"gar Geo'$trico e toos los p"ntos 3"e eter'inan "n áng"lo

&ao con los e5tre'os e "n >

=.=> 9"gar Geo'$trico e toos los p"ntos 3"e eter'inan "n áng"lo

&e ?D con los e5tre'os e "n seg'ento. F

)API(U9O II+ PROYE))IONES.= Pro6ecci4n e "n p"nto ?

. (ipos e pro6ecci4n =D

.C. Planos principales e pro6ecci4n =

. Pro6ecciones en el pri'er 6 tercer c"arante =C.@ Pro6ecciones 6 ep"rao e "n p"nto =

. U7icaci4n e "n p"nto por coorenaas =@

.> Posiciones relati%as e os p"ntos entre s# =>

PRO9EMAS RESUE9(OS + =?

PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS

.F Bistas principales e "n s4lio o >

PRO9EMAS RESUE9(OS ?

Q==


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PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS + C

)API(U9O III+ 9A RE)(AC.= Pro6ecciones e "na recta @

C. P"ntos contenios en "na recta

C.C Posiciones partic"lares e "na recta >C. Rectas 3"e se cortan >D

C.@ Rectas 3"e se cr"0an >D

C. Bisi7ilia e rectas 3"e se cr"0an .>=

C.> Beraera 'agnit" e "na recta >

C.F Bista e p"nta e "na recta >C

C.? Orientaci4n 6 peniente e "na recta >

C.=D Rectas paralelas l >@

C.== Rectas perpenic"lares

PRO9EMAS RESUE9(OS

>@

>>

PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS 2 =D

)API(U9O IB+ E9 P9ANO.= &eter'inaci4n e "n plano =D>

. Rectas contenias en "n plano =DF

.C P"ntos contenios en "n plano =D?. Posiciones partic"lares el plano =D?

.@ Bista e canto e "n plano ===. Beraera 'agnit" e "n plano ==

.> Orientaci4n 6 peniente e "n plano ==C.F Pro6ecciones e "n c#rc"lo ==PRO9EMAS RESUE9(OS ==@

PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS =C=. )API(U9O B+ RE)(AS 6 P9ANOS PARA9E9ISMO 6

PERPEN&I)U9ARI&A&

PARA9E9ISMO+@.= Principios f"na'entales =C@

@. Por "n p"nto tra0ar "n plano paralelo a otro plano ao [email protected] Por "n p"nto tra0ar "n plano paralelo a os rectas aas =C

@. Por "na recta tra0ar "n plano paralelo a otra recta aa =C=@.@ &eter'inar si "na recta es paralela a "n plano =C>

PERPEN&I)U9ARI&A&+@. Principios f"na'entales =CF@.> Por "n p"nto (ra0ar "na recta perpenic"lar a "n plano =CF

@.F Por "n p"nto tra0ar "n plano perpenic"lar a "na recta =D@.? (ra0ar "n p lano 3"e con ten ga a "na rec ta 6 sea

Perpenic"lar a "n plano ao 140

VIII


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F.= &ef iniciones + CF. Ang"la entre os rectas 3"e se cr "0an F.C Ang"la entr e "na r ecta 6 "n plano @F. Ang"lo entr e os planos F

PRO9EM AS RESUE9(OS CD

PRO9EMAS )OMP9EMEN( ARIOS >)API(U9O I+ GIROS?.= Giro e "n p"nto @C

2 ?. Ber aer a 'agnit" e "na r ecta 'eiante gir os @?.C Bista e p"nta e "na recta.2 @@?. Bista e canto e "n plano @?.@ Beraer a 'agnit" e "n plano 'eiante giros @?. &eter'inaci4n e "n áng"lo iero entr e os planos @F?.> &eter'inaci4n el áng"lo entr e "na r ecta 6 "n plano @?

@.=D Por "n p"nto tra0ar "n plano perpenic"lar a os planos aos ==

PRO9EMAS RESUE9(OS =

PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS =

)API(U9O BI+ IN(ERSE))IONES

.= Intersecci4n e "na recta con "n plano. M$too e la %istae canto =>

. Intersecci4n e "na recta con "n plano. M$too el plano

)ortante =F

.C Intersecci4n e planos. M$too e la %ista e canto =?

. Intersecci4n e planos. M$too e la intersecci4n e "naRecta con "n plano =>D

.@ Intersecci4n e planos. M$too el plano cortante =>=

PRO9EMAS RESUE9(OS =>PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS =F

)API(U9O BII+ &IS(AN)IAS>.= &istancia e "n p"nto a "na recta 189

>. Menor istancia entre os rectas =?=

>.C &istancia e "n p"nto a"n plano =?C

>. Menor istancia con peniente aa entre os rectas 3"e

se cr"0an =?

>.@ Menor istancia /ori0ontal entre os rectas 3"e se cr"0an 194>. Menor istancia con áng"lo eter'inao con el plano frontal. =?@

>.> Menor istancia frontal entre os rectas 3"e se cr"0an 196

>.F &istancia paralela a "na irecci4n aa entre os rectas 3"e

Se cr"0an =?>

PRO9EMAS RESUE9(OS =??

PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS =F

)API(U9O BIII+ ANGU9OS


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PRO9EMAS RESUE9(OS D

PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS >

)API(U9O + IN(ERSE))I*N &E RE)(AS )ON PO9IE&ROS

Y SUPER!I)IES

10.1 &efinici4n F=

=D. P"ntos contenios en las caras e "n poliero F=D.C Intersecci4n e "na recta con "n pris'a F

10.4 Intersecci4n e "na recta con "na pirá'ie FC

=D.@ S"perficies. )ono2 cilinro2 esfera FC

10.6 P"ntos contenios en la s"perficie e "n cono F

=D.> Intersecci4n e "na recta con "n cono F

=D.F P"ntos contenios en la s"perficie e "n cilinro F@

. 10.9 Intersecci4n e "na recta con "n cilinro F@

=D.=D P"ntos contenios en la s"perficie e "na esfera F

10.1 Intersecci4n e "na recta con "na esfera F

PRO9EMAS RESUE9(OS F>PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS ?>

)API(U9O I+ P9ANOS (ANGEN(ES A SUPER!I)IESP9ANOS (ANGEN(ES A )ONOS+

==.= Plano tangente a "n cono por "n p"nto contenio en s"

s"perficie CD=

==. Plano tangente a "n cono por "n p"nto e5terior CD11.3 Plano tangente a "n cono2 paralelo a "na recta aa CDC

P9ANOS (ANGEN(ES A )I9IN&ROS+

==. Plano tangente a "n cilinro por "n p"nto e s" s"perficie CD==.@ Plano tangente a "n cilinro por "n p"nto e5terior 30411.6 Plano tangente a "n cilinro paralelo a "na recta aa ; CD@

P9ANOS (ANGEN(ES A ES!ERAS+==.> Plano tangente a "na esfera por "n p"nto e s" s"perficie 306

==.F Plano tangente a "na esfera por "na recta aa CD11.9 Por "n p"nto tra0ar "n plano tangente a os esferas CD>

11.10 (ra0ar "n plano tangente a os conos e re%ol"ci4n con %$rtice

co',n CD?

==.== Por "na recta tra0ar "n plano 3"e /aga "n áng"lo ao con el

plano /ori0ontal o con el frontal. C=C

==.= Por "na recta tra0ar "n plano 3"e /aga "n áng"lo ao con"n plano c"al3"iera 314

==.=C &ese "n p"nto tra0ar "na recta 3"e for'e áng"los aos con

os pianos C=@

11.14 (ra0ar "na recta 3"e conecte a otras os /acieno áng"los

aos con ellos C=?

==.=@ Por "n p"nto tra0ar "n plano 3"e /aga áng"los aos con

otros os pIanosCD

x


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=.= Secci4n plana e "n pr is'a C?

=. Secci4n plana e "na pirá'ie C@D

=.C Secci4n plana e "n cilinro C@=

=. Secciones planas e "n cono circ"lar r ecto C@

=.@ (r a0ar "na recta tangente a "na secci4n c4nica C@C

=. &eter 'inaci4n el tipo e c"r%a 3"e será la secci4n c4nica C@C

=.> &eter 'inaci4n e las as#ntotas e la /ip$r7ola C@

=.F Secci4n plana e la esfer a 2 C@@

PRO9EMAS RESUE9(OS C@

PRO9EMAS )OMP9EMEN( ARIOS C

)API(U9.O III+ IN(ERSE))I*N &E S*9I&OS=C.= (ipos e intersecciones C?

=C. M$toos para eter'inar inter secciones e s4lios C>=

=C.C Intersecci4n e os pris'as C>=

=C. Intersecci4n e "n pris'a con "na pirá'ie C>C

=C.@ Intersecci4n e pir á'ies C>

=C. Inter secci4n e "n cono con "n pris'a C>@

=C.> Intersecciones e cilinr os C>>

=C.F Intersecci4n e "n cilinr o con "n cono C>?

=C.? Intersecci4n e os conos CFC

=C.=D Intersecci4n e os esf eras CFPRO9EMAS RESUE9(OS CF>

PRO9EM AS )OMP9EMEN( ARIOS C?

PRO9EMAS RESUE9(OS + C

PRO9EMAS )OMP9EMEN(ARIOS C@

)API(U9O II IN(ERSE))I*N &E P9ANOS )ON

PO9IE&ROS Y SUPER!I)IES

)API(U9O IB+ &ESARRO99OS

=.= &efinici4n D=

. &esarrollo e "n pris'a D

=.C &esarrollo e "na pirá'ie recta DC

=. &esarrollo e "na pirá'ie o7lic"a D

=.@ &esarrollo e "n tronco e pirá'ie D@

=. &esarrollo e "n cilinro rectoD

=.> &esarrollo e "n cilinro o7l#c"o D>

=.F &esarrollo e "n cono circ"lar recto DF

=.? &esarrollo e "n tronco e cono recto D?

=.=D &esarrollo e "n cono o7lic"o =D

=.== &esarrollo e "n tronco e cono o7l#c"o =

=.= &esarrollo e "na pie0a e re"cci4n c4nica =C

PIE


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CAPITULO I

CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASlCAS

El esarrollo e pro7le'as e Geo'etr#a &escripti%a2 re3"iere e cierta práctica en el"so e los art#c"los e i7"8o co'o son las esc"aras2 el co'pás2 la regla T(2 etc. yae'ás e'ana el conoci'iento e alg"nos procei'ientos 7ásicos para laconstr"cci4n e

fig"ras geo'$tricas.

El o78eto e este cap#t"lo pre%io2 es proporcionar alg"nos conoci'ientos 7ásicos en lat$cnica el tra0ao2 los c"ales serán i'partios a tra%$s e los casos 3"e se esarrollan acontin"aci4n.

1.1 TRAZAR RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA:

Posicionar las esc"aras e tal 'oo 3"e"no e los laos e la esc"araesli0ante coincia con la recta aa.(enieno co'o g"#a la esc"ara fi8a

'o%er la esc"ara esli0ante tal co'o se

'"estra en la fig"ra2 o7teni$nose e este'oo las paralelas eseaas.

PAGINA =


10/27

=. (RA


11/27


=.@ (RA


12/27

=.F (RA


13/27


=.=D (RA


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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

(ANGEN(ES IN(ERNAS+ Rea- li0ar "na constr"cci4n si'ilar a la anterior pero tra0ano "na cir- ; c"nferenciacon raio ig"al a la s"'a rXr;.

=.= &IBI&IR UN SEGMEN(O ENPAR(ES IGUA9ES+&i%iir el seg'ento MN en > partesig"ales.(ra0ar por el e5tre'o M2 "n seg'entoc"al3"iera H/acieno "n áng"lo c"aI-3"iera 6 'arcar so7re $l > p"ntosseparaos entre s# "na istancia cono-

cia Hpor e8e'plo = c'..Unir el p"nto > con el e5tre'o N.Por caa "no e los p"ntos restantestra0ar paralelas a > -N.9as intersecciones e estas paralelascon el seg'ento MN eter'inan lasi%isiones 7"scaas.

=.=C &IBI&IR UN SEGMEN(O ENUNA PROPOR)ION &A&A+

allar "n p"nto so7re el seg'ento Ae tal 'oo 3"e A Z >.&e ac"ero al procei'iento 6a e5-plicao2 i%iir el seg'ento A en ?partes ig"ales 6 e este 'oo 3"earáientificao el p"nto 7"scao.


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)API(U9O =+ )ONS(RU))IONES GEOME(RI)AS ASI)AS

=.= (RAS9A&O &E UN ANGU9O+)on %$rtice en O 6 tenieno co'o lao elseg'ento OP2 constr"ir "n áng"lo ig"al aláng"lo inicao en la parte inferior.

So7re el áng"lo ao2 tra0ar el arcoe raio r = 6 /acer lo 'is'o to'anoco'o centro O. ;9"ego2 to'ar el arco e raio r 6traslaarlo co'o se '"estra en el gráfico.9a intersecci4n e los os a'os nosper'ite constr"ir el áng"lo.

2

=.=@ 9UGAR GEOME(RI)O &E (O&OS 9OS PUN(OS LUE ELUI&IS(AN &EUNA R E)(A UN PUN(O+Sea Y la recta aa 6 O el p"nto conocio.(ra0ar "na recta P= paralela a Y2 a "naistancia :a;.)on centro en TO 6 raio :a: tra0ar "n arco 3"ecorta a P=2 en los p"ntos = 6 . Estos osp"ntos e3"iistan e Y 6 e :O:2 es ecir2pertenecen al l"gar geo'$trico 7"scao.Repetir el procei'iento tra0ano la paralela P6 se /allarán os p"ntos 'ás. Unieno tooslos p"ntos eter'inaos 'eiante esteprocei'iento2 se /allará el l"gar2 geo'$trico

3"e res"lta ser "na pará7ola c"6o foco es :O:.

=.=G 9UGAR GEOME(RI)O &E (O&OS 9OS PUN(OS LUE &E(ERMINAN UN ANGU9O &A&O )ON 9OS E(REMOS &E UN SEGMEN(O+

Seg,n el seg'ento. Se 7"sca el l"gar geo'$tricoe toos los p"ntos2 tal co'o P2 3"e eter'inan"n áng"lo T[ con los e5tre'osY.(ra0ar en pri'er l"gar "na recta 9 3"eeter'ine el ang"lo T[ con la recta Y.Por Y tra0ar "na perpenic"lar a la recta 9. .

9a intersecc#4n e esta perpenic"lar con la'eiatri0 Y2 eter'ina el p"nto TOEl l"gar geo'$trico 7"scao es la c#rc"nferencia)on centro en TO 6 3"e pasa por los e5tre'os eY. Este l"gar geo'$trico es conocio co'o AR)O )APA


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GEOMETR.IA DESCRIPTIVA

=.=> 9UGAR GEOME(RI)O &E (O&OS 9OS PUN(OS LUE &E(ERMINAN2 UN ANGU9O &E ?D )ON 9OS E(REMOS &E UN SEGMEN(O.

Este es "n caso partic"lar el arco capa02 en 3"e el áng"lo ao es ?D A pesar e tratarse e "n si'ple caso partic"lar el pro7le'a anterior2 es i'portantefa'iliari0arse con esta constr"cci4n geo'$trica por la frec"encia con 3"e se le "sa en la

resol"ci4n e pro7le'as e Geo'$tria &escripti%a.Sea A el seg'ento ao.Si se to'a el p"nto 'eio e este seg'ento 6 se tra0a "na circ"nferencia con centro eneste p"nto 6 con "n raio ig"al a A2 se tenrá el l"gar geo'$trico 7"scao.En efecto2 si ese "n p"nto c"al3"iera e esta circ"nferencia2 tal co'o P2 se tra0an rectas3"e lo "nan con los e5tre'os A 6 2 $stas rectas eter'inan entre s# "n áng"lo e ?D.Esta conici4n se c"'plirá con toos los p"ntos e la circ"nferencia tra0aa.

.

!ig"ra .=>

2 .

=;.


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CAPITULO II

PROYECCIONES

.= PROYE))ION &E UN PUN(O+

I'agine'os "n p"nto en el espacio 6 "n plano c"al3"iera2 tal co'o se '"estra en la fig"ra

.=.

_-


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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Si "n o7ser%aor se "7ica elante el p"nto A2 la l#nea e %isi4n 3"e "ne s" o8o con el p"nto A2i'pactará so7re el plano P2 eter'inano so7re $l "n p"nto AW. H!ig"ra . Ha Al p"nto AW se leconoce corno pro6ecci4n el p"nto A so7re el plano P.Esta 'is'a efinici4n es %ália Si el plano e pro6ecci4n se enc"entra entre el o7ser%aor 6 elp"nto a pro6ectar H!ig"ra . H7 .

l: : \

]

. (IPOS &E PROYE))ION+

9as pro6ecciones p"een clasificarse en+- Pro6ecci4n )4nica.

- Pro6ecci4n )il#nrica.

- Pro6ecci4n Ortogonal.

PROYE))ION )ONI)A+

Es la 3"e se o7tiene c"ano elo7ser%aor se enc"entra a "na istanciafinita el plano e pro6ecci4n.

En este caso2 las l#neas e %isi4n ora6os pro6ectantes se originan en "np"nto Ho8o el o7ser%aor eno'inaofoco 6 son i%ergentes. H!ig"ra .C.El ta'ao e la pro6ecci4n epeneráe las istancias relati%as entre el foco2el o78eto 6 el plano e pro6ecci4n.9os i7"8os eno'inaos enPERSPE)(IBA2 corresponen a estetipo e pro6ecci4n.


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)API(U9O II+ PROYE))IONES

En la fig"ra . se '"estra "na pro6ecci4n en perspecti%a. O7ser%ar 3"e las partes 'ás cercanas elescritorio tienen "n ta'ao 'a6or.

. .

PROYE))ION )I9lN&RI)A+

Es a3"ella 3"e se o7tiene s"ponieno 3"e el

o7ser%aor se /alla en el infinito2 e tal 'oo 3"e

toas las lineas e %isi4n o ra6os pro6ectantes

res"ltan paralelos entre si.

Un e8e'plo e "na pro6ecci4n cil#nrica se

'"estra en la fig"ra .@. .


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GEOME(RIAOES)AIPJIQIA

PRO!ECCION ORTOGONAL:)orrespone al caso partic"lar e la pro6ecci4n cil#nrica2 en el 3"e las l#neas e%isi4n o ra6os pro6ectantes son perpenic"lares al plano e pro6ecci4n. H!ig"ra

.Este es el tipo e pro6ecci4n e'pleao; en GEOME(RIA &ES)RIP(IBA as# co'oen el i7"8o t$cnico.

En aelante toas las pro6ecciones "saas en este te5to seránOR(OGONA9ES.

.C P9ANOS PRIN)IPA9ES &EPROYE))ION+

El plano e pro6ecci4n %isto en el párrafo anterior p"ee tener iferentesposiciones2 e ac"ero a la irecci4n en 3"e se enc"entra el o7ser%aor conrespecto al o78eto.E5isten tres posiciones clara'ente efinias 3"e se conocen co'o los Planos

Principales e Pro6ecci4n2 el pri'ero es el P9ANO ORI


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. PROYE))IONES EN E9 PRIMER Y (ER)ER )UA&RAN(E+9os planos principales e pro6ecci4n e5plicaos en el acápite anterior2 p"een"7icarse entre el o7ser%aor 6 el o78eto o ta'7i$n etrás el o78eto. As#2 tan solo %ariano la posici4n elos planos principales e pro6ecci4n2se tenr#an iferentes casos conpro6ecciones 3"e por#an eferir "nae otras(al es el caso e las os

pro6ecciones 3"e se '"estran en lasfig"ras F Ha 6 .F H72 las c"ales seiferencian ,nica'ente en laposici4n e los planos e pro6ecci4ncon respecto al o7ser%aor 6 alo78eto.&e las '"c/as posi7iliaes 3"ep"een presentarse2 los os casos'ostraos son los 'ás "s"ales.&e la fig"ra .F Ha correspone a laeno'inaa PROYE))ION EN E9PRIMER )UA&RAN(E OPROYE))ION &IN H&EU(S)EIN&US(RIE NORMEN2 en la c"al losplanos e pro6ecci4n están sit"aosetrás el o78eto. Este '$too epro6ecci4n es e'pleao en los pa#sese"ropeos.


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9a fig"ra .F H7 correspone a "naPROYE))ION EN El (ER)ER)UA&RAN(E O PROYE))ION ASA HAMERI)AN S(AN&AR& ASO)IA(ION2 en la 3"e los planose pro6ecci4n están entre el

o7ser%aor 6 el o78eto. Este '$tooe pro6ecci4n es e'pleao en losEstaos Unios e Nortea'$rica 6p"ee %erse en los planos 6iagra'as e este origen.

O7ser%ar 3"e en las pro6ecciones&IN 6 ASA2 ae'ás e la iferenciaen la posici4n e los planos epro6ecci4n2 p"een e5istir iferenciasen las %istas o7tenias2 co'o es el

caso e las %istas en los planos eperfil TP e la fig"ras .F Ha 6 .F H7.

.@ PROYE))IONES Y &EPURA&O &E UN PUN(O+

(ra0ar las pro6ecciones 2 ! Y P e "n o78eto2 tal co'o se /a /ec/o con el triáng"loe la fig"ra .> H72 res"lta s"'a'ente co'ple8o.

Esta co'ple8ia se e7e f"na'ental'ente a 3"e los planos 2 ! Y P 6 el o78eto apro6ectar constit"6en "n con8"nto trii'ensional 3"e trata'os e graficar so7re lasos i'ensiones 3"e tiene n"estro papel e i7"8o.

Para facilitar el tra0ao e las pro6ecciones 6 no tener 3"e /acerlo en la


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posici4n trii'ensional e los planos e pro6ecci4n2 se rec"rre a lo 3"e seeno'ina el &EPURA&O. .se to'a en pri'er l"gar2 el caso e "n PUN(O en el espacio2 c"6as pro6ecciones A2 A! AP so7re los planos /ori0ontal2 frontal 6 e perfil se '"estran en la fig"ra.? Ha.Seg"ia'ente2 i'agine'os 3"e los planos /ori0ontal 6 e perfil son giraos en lafor'a 3"e se o7ser%a en la fig"ra .? H72 /asta 3"e s" posici4n coincia con la

el plano frontal !.En esta for'a se /a7rá conseg"io3"e los tres planos escansenso7re "na 'is'a s"perficieconfor'ano "na fig"ra7ii'ensional2 fácil'ente grafica7leso7re el papel.9o 3"e se /a conseg"io coneste procei'iento es eleno'inao &EPURA&O &E9PUN(O A2 co'o se '"estra en lafig"ra .=D. A la istancia el p"nto TA al plano/ori0ontal2 se le eno'ina )O(A 6las istancias e este p"nto alos planos frontal 6 e perfil se lasconoce co'o A9EJAMIEN(O 6 APAR(AMIEN(O respecti%a'ente.9a artic"laci4n o 7isagrae5istente entre los planos /ori0ontal6 frontal2 se conoce co'o 9INEA&E (IERRA.

. UI)A)ION &E UN PUN(O POR )OOR&ENA&AS+Es posi7le eter'inar las pro6ec-cienes /ori0ontal 6 frontal e "np"nto en el ep"rao2 e'pleano"n siste'a e coorenaas2 e talfor'a 3"e ánose tres n,'eros se"7ican las pro6ecciones 'en-cionaas. Por e8e'plo2 si se tiene "np"nto Ha2 72 c2 las pro6ecciones

6 ! s$ eter'inarán seg,nseinica en la fig"ra .==. En la ;fig"ra.= e la página sig"iente se'"estran las pro6ecciones e losp"ntos A H2 2=D 6 H@2 @2 = 6el seg'ento M H2 2=D N HF2 @2 F.


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.> POSI)IONES RE9A(IBAS &E &OS PUN(OS EN(RE SI+Meiante las pro6ecciones ortogonales e os p"ntos so7re los planos principalese pro6ecci4n2 es posi7le eter'inar c"al e los p"ntos está elante o etrás conrespecto al otro2 as# co'o c"al está arri7a o a7a8o 6 ta'7i$n a la erec/a o a lai03"iera.

(o'ar co'o e8e'plo2 los p"ntos A 6 e la fig"ra .=C. 9a %ista en el espacio elas pro6ecciones e estos os p"ntos se '"estra en la fig"ra Ha 6 en la fig "ra H7se tiene el ep"rao corresponiente. (o'ano pri'era'ente la %ista /ori0ontal 6e7io a 3"e en ella esta'os 'irano ese arri7a2 poe'os esta7lecer 3"e elp"nto A está elante el p"nto 2 es ecir2 'ás cerca el plano frontal epro6ecci4n 6 ae'ás poe'os o7ser%ar 3"e el p"nto esta a la erec/a elp"nto A. Es i'portante notar 3"e 'eiante la %ista /ori0ontal es i'posi7leesta7lecer c"al e los os p"ntos está arri7a 6 c"al a7a8o.En ca'7io en la %ista frontal se o7ser%a2 clara'ente2 3"e A está enci'a e 6ta'7i$n2 al ig"al 3"e en la %ista /ori0ontal2 %e'os 3"e se enc"entra a la erec/ae A. A3"# ta'7i$n se o7ser%ará 3"e 'eiante la %ista frontal no se p"eeesta7lecer 3"$ p"nto está elante o etrás.Meiante este e8e'plo2 se o7ser%a 3"e con las pro6ecciones ortogonales se p"eeesta7lecer la "7icaci4n relati%a e os p"ntos entre s#.

AP9I)A)ION A 9AS BISII9I&A&ES+En el tra0ao e las pro6ecciones e "n s4lio es '"6 i'portante inicar las l#neas3"e son %isi7les 6 a3"ellas 3"e son in%isi7les " oc"ltas.9as l#neas %isi7les2 e ac"ero con las nor'as el &i7"8o ($cnico2 se tra0an conl#neas contin"as o l#neas llenas 6 las l#neas in%isi7les se tra0an con l#neasp"nteaas o iscontin"as.En la fig"ra .= se '"estran os c"7os. Si se o7ser%an las aristascorresponientes en estos os c"7os2 se %erá 3"e oc"pan e5acta'ente la 'is'aposici4n 6 lo ,nico 3"e se /a 'oificao son las %isi7iliaes2 En la fig"ra Ha elp"nto ) se consiera %isi7le 6 G in%isi7le2 en ca'7io en la fig"ra H72 G; es %isi7le 6); in%isi7le.

)on este e8e'plo poe'os arnos c"enta e lo i'portante 3"e es inicar


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correcta'ente las %isi7iliaes2 6a 3"e co'o se o7ser%a2 "na 'oificaci4n e ellasca'7ia total'ente la %is"ali0aci4n el s4lio en el espacio.

)o'o otro e8e'plo tene'os las t"7er#as 3"e se '"estran en la fig"ra .=@. En ellas

el e5tre'o %isi7le2 es ecir2 el 'ás cercano al o7ser%aor2 se inicacon%encional'ente con "na elipse. A3"# en estas os t"7er#as lo ,nico 3"e se /a'oificao es ;el e5tre'o %isi7le2 pero este si'ple ca'7io /ace 3"e la iea 3"e setenga e posici4n e la t"7er#a en el espacio2 sea co'pleta'ente iferente.

En los planos e pro6ecci4n2 las %isi7iliaes serán las sig"ientes+BIS(A ORI


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&eter'inar las posiciones relati%as e los p"ntos A 6 e tos ep"raos 'ostraos.

Sol"ciones+a En la %ista /ori0ontal se eter'ina 3"e A está elante e . En la %ista frontal

se o7ser%a 3"e está enci'a e A. !inal'ente tanto en la %ista /ori0ontalco'o en la frontal %e'os 3"e está a la erec/a e A.

7 elante e A H&eter'inao en la %ista e perfil. a la erec/a e A HEn la %ista frontal. A enci'a e HEn la %ista frontal o e perfil.

Pro7le'a &eter'inar las %isi7iliaes en los e5tre'os e las t"7er#as 'ostraas.

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Nakamura Capitulo 1 2