SVEUILITE U ZAGREBU

GRAEVINSKI FAKULTET

NALAENJE OBLIKA KONSTRUKCIJA

OD UADI

ZAVRNI RAD IZ PREDMETA

GRAEVNA STATIKA 1

Student: Josip Joli, 0082043236

Mentor: prof. dr. sc. Kreimir Fresl

Zagreb, 11. rujna 2012.

Nalaenje oblika konstrukcija od uadi

1

Sadraj:

1. Uvod o konstrukcijama od uadi ................................................................................ 2

2. Vlane konstrukcije od uadi ..................................................................................... 5

2.1. Pravaste mree ................................................................................................. 5

2.2. Regularne mree od uadi .................................................................................. 5

2.3. Neregularne mree od uadi ............................................................................... 6

2.4. Lananice ........................................................................................................... 7

3. Traenje oblika konstrukcija od uadi ...................................................................... 14

3.1. Uvjeti ravnotee vora ..................................................................................... 14

3.2. Traenje sustava simultanih jednadbi .............................................................. 18

3.2.1. Metoda gustoe sila .................................................................................. 19

3.2.2. Poopeno pravilo geodetske mree ........................................................... 19

4. Rjeavanje sustava nelinearnih jednadbi ................................................................. 21

5. Primjeri.................................................................................................................... 25

6. Zakljuak ................................................................................................................. 45

Literatura ......................................................................................................................... 46

Nalaenje oblika konstrukcija od uadi

2

1. Uvod o konstrukcijama od uadi

Danas je u svijetu vrlo rasprostranjena primjena konstrukcija od uadi, najee u krovnim

konstrukcijama, viseim mostovima, izlobenim paviljonima itd. Razvoj takvih konstrukcija

uvelike moemo zahvaliti istraivanjima u podruju teorije konstrukcija te razvoju

informatike tehnologije koja nam omoguuje izradu i usporedbu mnogih varijantnih rjeenja

prije odabira konanog geometrijskog oblika konstrukcije.

Poetak primjene konstrukcija od uadi see u vremena nomadskih naroda, koji su kao

privremene nastambe upotrebljavali atore sastavljene od uadi, stupova i ivotinjske koe.

Uvidjeli su da je brza i jednostavna montaa i demontaa jedna od velikih prednosti ovakvih

konstrukcija. Ljudi su u prolosti pomou ueta premoivali potoke, rijeke i druge prepreke.

Iz tog, primitivnog naina razvili su se prvi visei mostovi, napravljeni od dva paralelna ueta

i drvenih dasaka.

Slika 1.1. Stari nomadski atori

Nalaenje oblika konstrukcija od uadi

3

Danas se zahvaljujui konstrukcijama od uadi premouju rekordno veliki rasponi. Trenutno,

najvei visei most na svijetu je Akashi Kaikyo, sagraen 1998. godine u Japanu, te

premouje raspon od 1991 m. No, oekuje se da e i taj rekord ubrzo biti sruen. Naime, u

Italiji je u tijeku gradnja viseeg mosta koji e spajati Siciliju s kopnom, iji e raspon biti

nevjerojatnih 4,83 km. Kao najpoznatije svjetske konstrukcije od uadi izdvojio bih:

Olimpijski kompleks u Mnchenu i The Millennium Dome u Londonu.

Slika 1.2. Akashi Kaikyo most, Japan

Zajedniko djelovanje vrste konstrukcije i ueta vano je zbog meudjelovanja konstrukcije i

ueta. Ue, koji je nelinearna tvorevina, ako povezuje dvije toke unutar konstrukcije (npr.

gredu i pilon) ponaanje cijelog sklopa ini nelinearnim. Pri proraunu viseih mostova

posebno je bitna modalna analiza ueta. Naime, ako se vlastita frekvencija ueta podudara s

vlastitom frekvencijom kolnike konstrukcije mosta, moe doi do pojave rezonancije. Takav

sluaj se dogodio na mostu Tacoma Narrows Bridge u Washingtonu 1940. godine. Vjetar

odgovarajueg smjera i brzine pobudio je most na gibanje te kako je frekvencija gibanja bila u

blizini rezonantne frekvencije mosta, amplituda gibanja postajala je iz sata u sat sve vea te

konstrukcija mosta naposljetku nije izdrala i most se sruio.

Nalaenje oblika konstrukcija od uadi

4

Uad pripada u konstrukcijske elemente kojima je jedna dimenzija (duljina kabela) znatno

vea od preostalih dviju. Zbog izuzetno male fleksijske krutosti, pretpostavljamo da uad ne

moe preuzeti momente savijanja. Isto tako, uad se odlikuje i svojstvom male poprene

krutosti, koja im onemoguava preuzimanje poprenih sila. Dakle, uad ima mogunost

preuzimanja samo uzdunih sila, pozitivnog predznaka (vlane sile).

Slika 1.3. The Millennium Dome, London, UK

Nalaenje oblika konstrukcija od uadi

5

2. Vlane konstrukcije od uadi

2.1. Pravaste mree

Pravasta mrea je konstrukcija kod koje svako ue cijelom svojom duljinom lei na pravcu,

te je svako za sebe u ravnotei. Kod takvog tipa mree nije potrebno provoenje postupka

''nalaenja oblika'', ve se oblik mree odreuje neposredno geometrijski iz poznatih rubnih

uvjeta. Kako svako ue lei na najkraoj spojnici svojih rubnih toaka, pravasta mrea je

ujedno i geodetska (o kojoj e biti govora kasnije).

Za razliku od ostalih mrea, one ne mogu izgubiti prednapon pod djelovanjem poprenog

optereenja iz razloga to se poprenim pomakom uad moe samo produljiti i dodatno

nategnuti. Prednapon bi se eventualno mogao izgubiti djelovanjem dovoljno velike uzdune

sile, ali u realnim je okolnostima vjerojatnost takvog optereenja zanemarivo mala.

Najjednostavniji oblik pravaste mree je ravninska mrea (kada sva uad lei u istoj ravnini),

no takav oblik nije pogodan za nosive konstrukcije, te se kao i ostale pravaste mree rijetko

primjenjuje u graevinarstvu.

2.2. Regularne mree od uadi

Regularna mrea od uadi je sustav dviju familija uadi, sedlastog oblika. Na mjestima

kontakta dviju familija nastaju dvije uravnoteene sile kojima kablovi meusobno djeluju

jedan na drugi. Pri djelovanju vertikalnog optereenja sile se u konkavnoj (nosivoj) uadi

poveavaju, dok se u konveksnoj (prednaponskoj) uadi smanjuju.

Slika 2.1. Regularna mrea od uadi: Hakamets Stadion, Tampere, Finska

Nalaenje oblika konstrukcija od uadi

6

2.3. Neregularne mree od uadi

Neregularne mree od uadi su sloenijeg oblika, te njihovo ponaanje nije tako jednostavno.

Za razliku od regularnih mrea, kod neregularnih mogu postojati vie od dvije familije uadi,

isto tako ue moe na jednom dijelu biti konkavno, a na drugom konveksno, ue moe biti

prekinuto u nekom svom voru, a moe se dogoditi da unutar mree postoje i kruti elementi.

Slika 2.2. Neregularna mrea od uadi: Institut za lagane konstrukcije, Stuttgart, Njemaka

Nalaenje oblika konstrukcija od uadi

7

2.4. Lananica

Nit duljine L ovjeena o dvije nepomine toke na horizontalnom razmaku l i optereena

vertikalnim raspodijeljenim optereenjem po cijeloj duljini u ravnotenom poloaju zauzima

zakrivljeni oblik koji nazivano lananica.

Uobiajeno je uad prikazati modelom lananice optereene vlastitom teinom. Uvoenjem

modela lananice mogue je razviti teorijsku podlogu za statiku i dinamiku analizu uadi

razliitih fizikalnih i geometrijskih karakteristika.

Diferencijalna jednadba lananice

Slika 2.3. Shematski prikaz lananice

Uvjeti ravnotee na diferencijalnom elementu su

cos ( )cos( ) 0,

sin ( )sin( ) 0,

cos sin 0.2

x

y

x dx

F S S dS d

F S qdx S dS ddxM S dy S dx qdx

(2.1)

Ako primijenimo trigonometrijske transformacije za sinus i kosinus zbroja dva kuta u prve

dvije jednadbe, dobivamo

( )(cos cos sin sin ) cos ,( )(sin cos cos sin ) sin .S dS d d SS dS d d S qdx

(2.2)

Za diferencijalno mali kut d vrijedi: sin d d , cos 1d , pa slijedi

( )(cos sin ) cos ,( )(sin cos ) sin .S dS d SS dS d S qdx

(2.3)

Nalaenje oblika konstrukcija od uadi

8

Zanemarivanjem diferencijalnih veliina drugog reda, poput cosdS d , dobivamo

sin cos 0,

cos sin .S d dS

S d dS qdx

(2.4)

Jednadbe (4) se mogu prikazati kao totalni diferencijali u obliku

( cos ) 0,( sin ) .

d Sd S qdx

(2.5)

Iz ( cos ) 0d S slijedi cos . .S konst H (2.6)

Iz jednadbe (2.6) vidimo da je horizontalna komponenta sile u proizvoljnom presjeku

lananice uvijek jednaka.

Sila u proizvoljnom presjeku lananice je

,cos

HS

(2.7)

pa ako je uvrstimo u drugu jednadbu u (2.5), dobivamo

( tg ) .d H qdx (2.8)