Nałogowy matematyk

NAŁOGOWY MATEMATYK Paul Erdos

1

NAŁOGOWY MATEMATYK

Paul Erdos był jednym z największych, najbardziej płodnych

i najoryginalniejszych matematyków wszech czasów. Sypiał

w nocy tylko trzy godziny, matematyką zaś zajmował się po

19 godzin dziennie, siedem dni w tygodniu, aż do dnia

śmierci w wieku 83 lat. Uważał, że matematyk to przyrząd

do przerabiania kawy na twierdzenia matematyczne.

FIZYCZNOŚĆ JEST NICZYM

Erdos kochał tylko matematykę. Powiedział kiedyś: „Nie

mogę znieść przyjemności seksualnej. Jest dziwaczna”. Nie

troszczył się o własność osobistą, jedzenie, ubrania ani o

podatki. Nigdy nie nauczył się przygotowywać posiłków,

potrafił tylko dolać mleko do płatków śniadaniowych. Jego

jedyną własność stanowiło kilka starych ubrań i dwie

sfatygowane walizki. Erdos stosował w życiu stare greckie

powiedzenie: „Człowiek mądry nie ma nic, czego nie mógłby unieść w rękach”.

Przemierzał świat jako wędrowny matematyk i nigdzie nie zatrzymywał się dłużej niż

miesiąc. Był jak pszczoła przelatująca z kwiatka na kwiatek. I podobnie jak pszczoła,

która przenosi pyłek i zapładnia krzyżowo rośliny, tak on zbierał od różnych matematyków

nowe problemy i ich rozwiązania, stosując coś w rodzaju „matematycznego krzyżowego

zapłodnienia”. Wzajemne relacje między nimi były proste. Koledzy matematycy troszczyli się

o jego potrzeby, a on obdarowywał ich w zamian owocami swojego umysłu.

OPIEKA NAD PAULEM

Ceną, jaką gospodarz musiał zapłacić za wizytę Paula Erdosa w swoim domu, było

zorganizowanie „pobytu wujka Paula”. To zaś oznaczało zaspokajanie bieżących potrzeb

gościa. Poza tym trzeba było dać mu trochę pieniędzy, zorganizować transport do następnego

miejsca przeznaczenia czy udać się do lekarza, żeby zdobyć następną porcję tabletek

amfetaminy.

Erdos był człowiekiem zupełnie nieprzystosowanym społecznie, o czym świadczy choćby

takie zdarzenie. Pewnego razu jeden z gospodarzy Erdosa zostawił otwarte okno, żeby ten

mógł wspiąć się do pokoju, kiedy przybedzie późno w nocy. Przed świtem rozpętała się silna

burza i deszcz zaczął zalewać parter budynku. Erdos nie zamknął okna, tylko obudził

gospodarza i powiedział: „Tam strasznie leje się przez okno. Może zrób coś z tym”.

Paul miał zawsze niezachwianą pewność, że wszystko zostanie zrobione we właściwym

czasie. Na przykład, w 1984 roku wyjechał z Ameryki do Japonii i nie waziął ze sobą

żadnych czeków ani kart kredytowych, miał, przy sobie tylko 50 dolarów w gotówce. Ale

wcale się tym nie przejmował, gdyż wiedział, że jak zawsze, zatroszczą się o niego

matematycy z 25 krajów, leżących na czterech kontynentach. „Nie było się czym martwić.

Wszędzie po drodze miałem przyjaciół”. I nie mylił się. Dla matematyków był bowiem

Żyjącym Skarbem Narodowym.


2

DAR ERDOSA DLA MATEMATYKI

Dla matematyka nie było większego honoru, jak wizyta Erdosa.

Pojawiał się nagle u drzwi któregoś ze swoich kolegów,

w jednym z 25 krajów i ogłaszał gotowość do

zajmowania się matematyką mówiąc: „Mój mózg jest

otwarty”. Następnie gościł nie dłużej niż miesiąc, aż do

wyczerpania sił gospodarza. Zasilał swój mózg kawą,

tabletkami kofeinowymi i benzedryną. Obaj uczeni

pracowali do wczesnych godzin porannych, po czym

wykończony gospodarz padał na łóżko.

Kilka godzin później budziło go pytanie: „Istniejesz”?, co

w wydaniu Erdosa znaczyło, czy już nie śpi. Następnie,

nie czekając na odpowiedź, Erdos przechodził do rzeczy:

„Niech n będzie liczbą całkowitą a k zbiorem takim, że...”

Kiedyś na przykład wpadł na przyjęcie

bożonarodzeniowe i złapawszy swojego gospodarza za

guzik zaczął: „Wesołych świąt. Niech f od n będzie

funkcją taką, że...”

Mimo to matematycy uwielbiali te wizyty, gdyż oznaczały czas radosnych uniesień, kiedy to

tańczyli z Erdosem po Matematycznej Krainie. Żeglarze mają „żonę w każdym porcie”,

natomiast mottem Erdosa było: „Inny dach, inny dowód”.

Erdos nie zgadzał się zwolnić tempa, mawiał przy tym: „W grobie będzie mnóstwo czasu na

odpoczynek”.

Był jednym z najpłodniejszych matematyków w historii. Typowy znakomity matematyk

publikuje w ciągu życia do 100 artykułów. Każdy artykuł zawiera nowe i oryginalne

koncepcje, które nigdy przedtem nie były publikowane. Erdos zaś ogłosił niesamowitą liczbę

1500 prac - średnio jedną na 15 dni.

PAUL SIĘGAŁ W GŁĄB I WSZERZ

Paul Erdos bardzo się różnił od innych matematyków.

Praktycznie, każdy matematyk spędza większość życia zajmując się jedną dziedziną, a często

nawet jednym problemem. Na przykład Andrew Wiles spędził ładnych kilka lat, próbując

dowieść Wielkiego Twierdzenia Fermata. Konsultował się przy tym zaledwie z kilkoma

kolegami. Za to Erdos uwielbiał pracować z innymi matematykami i zajmował się

jednocześnie zagadnieniami z wielu różnych dziedzin.

NARKOTYKI OGŁUPIAJĄ

Substancje stymulujące, takie jak kokaina i amfetamina, zwiększają zdolność do wysiłku.

Jednocześnie jednak niszczą zdolność oceny, co jest dobre, a co jest bezwartościowe. Można

więc szybciej pracować, ale efekty tej pracy bywają nieudane.


3

Historia współczesnego przemysłu muzycznego ustana

jest porażkami kapel, które tworząc swoje utwory

pomagały sobie biorąc „drągi”. Członkowie tych

zespołów pod wpływem narkotyków pisali muzykę i, gdy

wykonywali ją w stanie „upojenia", wydawała im się

wspaniała. Jednakże postronni słuchacze, a także oni

sami, kiedy wytrzeźwieli, uważali ją za nieudaną. Kilka

słynnych grup napisało wiele albumów pod wpływem

narkotyków, a następnie musiało zasiąść do pracy od

nowa.

Erdos należał do niezwykle rzadkich wyjątków, u których

środki pobudzające dawały pozytywny efekt. Ostrzegał

jednak przed nimi innych matematyków, gdyż uważał

siebie za przypadek szczególny.

Zajmował się rozmaitymi dziedzinami matematyki. Dokonał np. pionierskich odkryć w teorii

liczb i kombinatoryce, na której opiera się cała nasza wiedza z zakresu komputerów. Wraz z

Markiem Kacem i Aurel Winter zapoczątkował dziedzinę zwaną probabilistyczną teorią liczb,

a pracując z Paulem Turanem, przyczynił się bardo rozwoju teorii aproksymacji.

W 1949 roku Erdos zaskoczył kolegów matematyków, kiedy, pracując z Atle Selbergiem,

podał elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych. Poprzedni dowód był

poprawny, lecz „raczej nieporządny”, bo wykorzystywał pierwiastki kwadratowe z liczb

ujemnych. Dowód Erdosa i Selberga był znacznie lepszy.

Obaj uczeni umówili się, że opublikują dowód w tym samym piśmie i w tym samym czasie.

Jednakże Selberg złamał umowę i pierwszy ogłosił wyniki, zbierając laury. W H/k s/ość ludzi

była tym oburzona, ale Erdos zupełnie ule nic przejął i dalej zajmował się pracą.

Jest w nauce stare powiedzenie: „To nie odpowiedź lin je Nagrodę Nobla, ale pytanie". Jedną

z najwspanialszych cech Erdosa była umiejętność stawiania pytań, mogących sprowokować

interesujące odpowiedzi. Wiedział, do którego z matematyków należy kierować dane pytania.

SPECJALNY JĘZYK

Erdos posługiwał się własną odmianą angielskiego. Na kobiety mówił „boss”, a na mężczyzn:

„niewolnik”. Dzieci zaś były dla niego „epsilonami”, gdyż w matematyce epsilon oznacza coś

bardzo małego. „Sam”to były Stany Zjednoczone, a „Joe”(od imienia Józefa Stalina -

Związek Radziecki.

Tak więc w jego języku Show-Sama- i-Joego były to wiadomości międzynarodowe. Alkohol

nosił miano „trucizny” a wszystko, co nie było mową, stanowiło „hałas”. Tak więc „trucizna,

bossy i hałas” to odpowiednik frazy „wino, kobiety i śpiew”.

„Faszystą” był każdy, kto go denerwował lub stawiał na jego drodze przeszkody. Erdos

uważał, że Bóg, którego nazywał „S.F.” (Supreme Fascist), czyli „Najwyższym Faszystą”, ma

wielką księgę zawierającą wszystkie najdoskonalsze i najelegantsze możliwe dowody.

Uważał też, że S.F. jest bardzo złośliwy i trzyma swoją księgę w ukryciu, nie udostępniając


4

jej ludziom. Zadaniem matematyków jest wydostanie tych dowodów „wprost z księgi”.

Jeśli matematyk przestawał zajmować się matematyką, Erdos mówił, że „zmarł”. A kiedy

ktoś naprawdę umarł, używał słowa „wyjechał”.

Matematycy mają własny, dziwaczny język. Twierdzenie może być „głębokie”, argument

przeciwko niemu „uderzający”, a dowód twierdzenia może być „piękny”, „elegancki”,

„czysty” lub „wyjątkowo piękny”.

ERDOS I ŚRODKI POBUDZAJĄCE

Erdos pierwszy raz sięgnął po amfetaminę, gdy w 1971 roku

umarła mu matka. Zaczął ją brać jako środek antydepresyjny,

zalecony przez lekarza. Potem zażywał jej w małych dziennych

dawkach przez cały czas. Jego kolega Ronald Graham martwił

się, że Erdos jest uzależniony. Graham znalazł się kiedyś w

Księdze Rekordów Guinessa. Udało mu się bowiem wykorzystać

w dowodzie matematycznym ogromną liczbę, taką jakiej nikt

wcześniej nie użył w tego typu naukowych spekulacjach. W 1996

roku był dyrektorem Ośrodka Informacyjno-Badawczego w

AT&T Laboratories.

Wiedziony troską Graham ofiarował Erdosowi 500 dolarów, jeśli ten na miesiąc odstawi

„spidy”. Erdos uważał, że małe dawki amfetaminy działają dokładnie tak samo, jak wielka

ilość kawy. Przyjął wyzwanie, ale ceną za to była utrata kreatywności. Jak sam mówił:

„Wcześniej, kiedy patrzyłem na kawałek pustej kartki, mój umysł był pełen pomysłów. A

teraz, widzę tylko pustą kartkę papieru”. Oskarżał nawet Grahama o „powstrzymanie

postępów matematyki na cały miesiąc”. Erdos nie brał przez miesiąc środków pobudzających,

lecz kiedy zainkasował 500 dolarów, ponownie zaczął przyjmować amfetaminę w małych,

dziennych dawkach.

POCZĄTKI

Paul Erdos urodził się 26 marca 1913 roku w Budapeszcie. W kilka dni po jego urodzeniu

obie jego siostry (w wieku trzech i pięciu lat) zmarły na szkarlatynę. Rodzice Paula,

nauczyciele matematyki, zawsze uważali, że dziewczynki były o wiele bystrzejsze od niego.

Kiedy Paul miał półtora roku, jego ojciec został schwytany przez Rosjan podczas ataku na

Cesarstwo Austro-Węgierskie i na sześć lat zesłany na Sybir.

W 1917 roku, zanim skończył cztery lata, Erdos umiał już mnożyć w pamięci liczby

czterocyfrowe. Musiał liczyć w pamięci, bo nie umiał jeszcze tych liczb zapisać. Jednakże

jego głównym osiągnięciem w tym czasie było samodzielne odkrycie liczb ujemnych.

Pewnego razu powiedział do swojej mamy: „Jeśli odejmiesz 250 od 100, to dostaniesz 150

poniżej zera”.

Do szkoły poszedł, gdy był już nastolatkiem, ponieważ wcześniej matka uczyła go sama w

domu. Obawiała się, że w szkole złapie jakąś infekcję i umrze jak jego siostry.

Mając 17 lat Erdos poszedł na uniwersytet, a kiedy miał ok. 19 lat, napisał swoją pierwszą

pracę i udowodnił pierwsze twierdzenie. Mówiło ono, że zawsze znajdzie się co najmniej

jedna liczba pierwsza (podziełna tylko przez 1 i samą siebie) między liczbą n a 2n. Mówiąc


5

prościej, zawsze można znaleźć chociaż jedną liczbę pierwszą pomiędzy liczbami np. 3 i 6,

400 a 800 itd. Pierwszy dowiódł tego twierdzenia Czebyszew, ale dowód Erdosa był „o wiele

lepszy i schludniejszy”. Erdos stał się nagle sławny wśród europejskich matematyków. Dla

uczczenia jego sukcesu powstał nawet mały wierszyk:

Powiedział to Czebyszew, ja zaś powiem inaczej, Zawsze między n a 2n liczbę pierwszą

zobaczę.

Mając lat 21, otrzymał stopień doktora i od 1934 roku kontynuował matematyczną karierę na

Uniwersytecie w Manchesterze.

Pod koniec lat 30. XX wieku nagonka na Żydów była tak wielka, że Erdos nie mógł wrócić na

Węgry. Dlatego wyemigrował do Stanów Zjednoczonych. Podczas II wojny światowej

większość jego krewnych mieszkająca na Węgrzech została zamordowana.

W czasach zimnej wojny osoba ekstrawertycznego matematyka budziła w Stanach

Zjednoczonych podejrzenia. Ubierał się bowiem dziwacznie i miał silny europejski akcent. A

w Stanach panicznie bano się wówczas komunizmu. Pewnego razu, kiedy Erdos próbował po-

wrócić do kraju z jakiejś podróży, urzędnik na granicy zapytał go o Karola Marksa. Erdos nie

wiedział zbyt wiele na jego temat, więc odpowiedział szczerze: „Nie jestem kompetentny,

żeby go osądzać, ale niewątpliwie był to wielki człowiek". Przez to jedno zdanie nie

wpuszczono go do kraju. Erdos miał mnóstwo najróżniejszych kłopotów z władzami.

Rosjanie nie lubili go za to, że spędzał tak dużo czasu w Stanach Zjednoczonych. Brytyjczycy

nie lubili go, bo korespondował z jednym z matematyków w komunistycznych Chinach i w

swoich listach używał wielu matematycznych symboli. Uważano, że owe symbole to rodzaj

jakiegoś sekretnego kodu.

Większość dziesięciolecia lat 50. XX wieku Erdos spędził w Izraelu, lecz w końcu na

początku lat 60. pozwolono mu wrócić do Stanów. Cały czas jednak wędrował po świecie,

szukając problemów do rozwiązania.

BEZUŻYTECZNA MATEMATYKA?

Matematyka zawsze była królową nauk. Jest to najwspanialsza, najwyższa i najczystsza rzecz,

jaką kiedykolwiek stworzył umysł ludzki. Jednocześnie wydaje się, że sporo jej dokonań jest

całkowicie bezużytecznych. Jednak, gdy minie odpowiednio dużo czasu i nadejdzie właściwy

moment, to może się okazać, że przeważająca część różnych matematycznych badań znajdzie

zastosowanie.

Angielski matematyk, G.H. Hardy tak pisał w swojej książce A Mathematician's Apology:

„Nigdy nie dokonałem niczego użytecznego. Żadne z moich odkryć nie zrobiło i nie zrobi,

pośrednio ani bezpośrednio, w dobrej intencji ani złej, najmniejszej różnicy w rozkoszach

świata”. Nie miał racji. To, że teoria liczb, w której się specjalizował była absolutnie

bezużyteczna, nie oznaczało wcale, że tak będzie zawsze. Obecnie jego prace z tej dziedziny

stały się bardzo ważne dla przesyłania numerów naszych kart kredytowych z jednego

komputera do drugiego. Teoria liczb jest bowiem wykorzystywana do kodowania i

dekodowania bezpiecznych informacji.

Grecy spędzili mnóstwo czasu, badając dziwną (i „bezużyteczną”) krzywą zwaną elipsą. Dwa

tysiące lat później Kepler odkrył, że krzywymi, po których planety krążą wokół Słońca, są

właśnie elipsy.


6

W roku 1854 niemiecki matematyk Bernhard Riemann postanowił skonstruować całkowicie

sztuczną geometrię. W naszej zwykłej geometrii, którą prawie w całości zawdzięczamy

greckiemu matematykowi Euklidesowi, jest absolutnie możliwe ułożenie dwóch linii prostych

obok siebie tak, żeby się nigdzie nie przecinały. Riemann stworzył geometrię, w której

niemożliwe jest istnienie dwóch linii nie przecinających się. Twór ten uważano za całkowicie

bezużyteczny, dopóki Albert Einstein nie ogłosił, że dziwaczna, zakrzywiona przestrzeń

Riemanna to prawdziwa forma naszego wszechświata. A linie równoległe w naszym świecie

nie przecinają się dlatego, że widzimy tylko maty jego skrawek.

PIERWSZORZĘDNY SEKS

Paul Hoffman w swojej książce o Erdosie pt: Man Who Lo-ved Only Numbers wspomina, że

ów znakomity teoretyk liczb miał bardzo cierpliwą żonę, z którą uprawiał seks tylko w dni o

numerach będących liczbami pierwszymi: „Było to niezłe ustalenie dla początku miesiąca,

ponieważ dwa, trzy pięć, siedem następują szybko po sobie, w końcu miesiąca liczby

pierwsze występują rzadziej: dziewiętnaście, dwadzieścia trzy a następnie mamy przerwę aż

do dwudziestu dziewięciu”.

ABY NIE SAMOTNIE

Erdos współpracował z większą liczbą matematyków niż jakikolwiek inny matematyk w

historii. Na przykład, owocem jego współpracy z Canfieldem i Pomerance'em jest

aproksymacja Erdosa, Canfielda i Pomerance'a. Aporoksymację tę można wykorzystać do

odkodowania zaszyfrowanych liczb, takich jak ogromne transakcje międzybankowe lub po

prostu numer karty kredytowej, kiedy chcemy kupić książkę przez Internet.

LICZBA KEVINA BACONA LUB PAULA ERDÓ$A

W grze „Kevin Bacon" staramy się w kilku krokach powiązać danego aktora z Kevinem

Baconem. Matematycy mają własną grę typu „Kevin Bacon”. Lubią oni wykazywać, jak

blisko byli od napisania pracy z Erdosem - i chętnie podają swoją liczbę Erdosa.

Na przykład, w internetowej gazetce „RISKS 20-24" matematyk Martin Ward umieścił swój

artykuł pt.: Regular Breakins at the Pentagon? Pisze on: „W każdym tygodniu notuje się setki

prób włamań, z czego 99,95% to próby nie udane. Powiedzmy, że takich prób jest w tygodniu

200. To znaczy, że w ciągu roku ma miejsce pięć „udanych" prób włamania się do systemów

Pentagonu. Okazuje się, że czasem 99,95% to wielkość niewystarczająca”. Podpisał swój

artykuł: Martin Ward, liczba Erdosa 4.


7

NISKA LICZBA ERDOSA, WYSOKA POZYCJA

Sam Erdos ma liczbę Erdosa równą zero. Około 500 matematyków ma liczbę Erdosa „jeden”

- to znaczy, że napisali pracę wspólnie z Erdosem. Około 5600 matematyków ma liczbę

Erdosa „dwa”. Pisali oni pracę wspólnie z kimś, kto pisał pracę wspólnie z Erdosem.

Około 63 laureatów Nagrody Nobla ma liczbę Erdosa poniżej „dziewięciu”, a wszyscy

laureaci prestiżowego medalu Fieldsa za osiągnięcia w matematyce mają liczbę Erdosa

poniżej „sześciu”. Ronald Graham ma liczbę Erdosa „jeden”, a Albert Einstein „dwa”. Liczba

Erdosa Andrew Wilesa wynosi natomiast „cztery”.

Słynny gracz w baseball, Henry L. „Hank” Aaron, ma liczbę Erdosa „dwa”. Razem bowiem z

Carlem Pmerance'm podpisywali tę samą piłkę, kiedy wspólnie zostali uhonorowani stopniem

naukowym na Emory University w 1995 roku. Pomerance zaś napisał wiele prac wspólnie z

Erdosem. Dzięki temu „Hank” Aaron zyskał swoją liczbę Erdosa „dwa”.

Sam Erdos żartował na temat ułamkowych liczb Erdosa. Jeśli jakiś matematyk napisał

wspólnie z nim n prac, to jego liczba Erdosa wynosi l/n. Inaczej mówiąc, jeśli ktoś napisał 12

prac z Erdosem, to jego liczba Erdosa wyniesie 1/12.

Mimo że ów genialny matematyk pracował z wieloma naukowcami na całym świecie, to

tylko dwóch z nich ma liczbę Erdosa niższą niż 1/50, a około trzydziestu niższą niż 1/10.

ERDOS FILANTROP

Erdos był człowiekiem niezwykle hojnym. Kiedy w 1984 roku otrzymał 50 tys. dolarów

nagrody Wolfa, zatrzymał dla siebie tylko 750 dolarów, a resztę rozdał, głównie młodym

ludziom, by ich zachęcić do matematyki.

Erdos zapalał iskrę zainteresowania wśród swoich studentów, wypowiadając magiczne słowa:

„Chciałbym przedstawić jeden z moich ulubionych problemów”. To znaczyło, że ma

problem, którego sam nie rozwiązał, ale uważa, że mógłby to zrobić ktoś słuchający jego

wykładu - za pieniądze. Zapoczątkował ten zwyczaj w 1954 roku. Nagroda pieniężna mogła

wynosić od 10 dolarów (za łatwy, ale ciekawy i podchwytliwy problem) do 10 tys. dolarów

(za problem uważany przezeń za „beznadziejny”, którego rozwiązanie mogło zająć

dziesięciolecia lub nawet stulecia).

Do roku 1984 zaoferował nagrody na łączną sumę 30 tys. dolarów, z czego przyszło mu

zapłacić 5 tys. dolarów. Jednakże jego hojność wyrażała się nie tylko w dzieleniu

posiadanymi pieniędzmi. Równe hojnie służył swoim umysłem, z czego skorzystało kilka

pokoleń młodych matematyków.

Zawsze poszukiwał i wspomagał utalentowanych młodych ludzi zainteresowanych

matematyką. Dawał im do rozwiązania problemy, z którymi mogli sobie poradzić i

obserwował ich postępy, traktując ich przy tym jak równych sobie.

W 1984 roku Willy Moser, profesor matematyki na Uniwersytecie McGilla w Montrealu

powiedział: „Obecnie jest pewnie ze 100 matematyków, którzy rozwinęli się dzięki

problemom, jakie Erdos im zasugerował i pomógł rozwiązać”.


8

HYPATIA

Hypatia (370-415) była egipską filozofką, a także pierwszą słynną matematyczką i

astronomem. Słynęła z urody, elokwencji i wielkiego intelektu. Miała też wielu uczniów.

Niestety w tamtych czasach Aleksandrią targały napięcia między chrześcijanami i

niechrześcijanami. Hypatia stanowiła zaś rzucający się w oczy symbol nauki i wiedzy, którą

chrześcijanie uważali za pogańską i niechrześcijańską. Kiedy więc patriarchą Aleksandrii

został Cyryl, jego zwolennicy napadli Hypatię, rozdrapali jej skórę muszlami ostryg i zabili.

Po tym incydencie Aleksandria podupadła intelektualnie i nie była już ośrodkiem nauki.

KONIEC ŻYCIA

Matka Erdosa zwykła mawiać: „Paul, nawet człowiek tak zajęty jak ty, nie może być w

dwóch miejscach naraz”. Paul Erdos zmarł w Warszawie 26 września 1996 roku, po dwóch

atakach serca, lub, jak mawiał w swoim specjalnym języku, „wyjechał” w nieskończenie

długą podróż, w której niepotrzebny jest paszport.

Przypuszczalnie przebywa teraz razem z wszystkimi wielkimi matematykami przeszłości i

przyszłości i może być w wielu miejscach naraz w tym samym czasie, „rozgryzając”

matematyczne problemy i rozwiązując jakieś naprawdę kosmiczne równania.

Documents

Nałogowy matematyk