Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan

Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS

Program Studi : Pendidikan Matematika

Semester : IV (Empat)

Oleh : Nego Linuhung, M.Pd

Relatif Prima

Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika

FPB(a, b) = 1.

Contoh 1

20 dan 3 relatif prima sebab FPB(20, 3) = 1.

Begitu juga 7 dan 11 relatif prima karena FPB(7, 11) = 1.

Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima sebab FPB(20, 5) = 5 ≠ 1.

Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n

sedemikian sehingga ma + nb = 1

Contoh 2

Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena FPB(20, 3) =1, atau

dapat ditulis

2 · 20 + (–13) · 3 = 1

dengan m = 2 dan n = –13. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena

FPB(20, 5) = 5 ≠ 1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam

m . 20 + n . 5 = 1.

Temukan dua buah bilangan bulat a dan b yang relatif prima!

Definisi 1:

Bilangan-bilangan bulat a1, a2, a3,…,an, masing-masing tak nol, memiliki

kelipatan persekutuan b, jika ai|b untuk i = 1, 2, 3, …,n.

Untuk bilangan-bilangan bulat a1, a2, a3,…,an, masing-masing tak nol,

Definisi 2

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) mereka adalah bilangan positif

yang terkecil diantara kelipatan-kelipatan persekutuan untuk a1, a2,

a3,…,an. Kita lambangkan [a1, a2] sebagai KPK a1 dan a2 dan [a1, a2,

a3,…,an] sebagai KPK dari a1, a2, a3,…,an.

Perhatikan penjelasan berikut:

Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.

Kelipatan perekutuan terkecil (KPK – least common multiples atau

lcm) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar m sedemikian hingga

a| m dan b | m.

Bila a| n dan b | n, maka n ≥ m

Dalam hal ini kita nyatakan bahwa KPK[a, b] = m.

Contoh:

KPK [5,4]= 20

KPK [7, 6] = 42

KPK [15, 12] = 60

Teorema 1:

Jika b suatu kelipatan persekutuan a1, a2, a3,…,an maka [a1, a2,

a3,…,an]│b. dengan kata lain, jika h adalah KPK untuk a1, a2, a3,…,an,

yaitu h=[ a1, a2, a3,…,an] maka 0, ± h, ± 2h, ± 3h, … Merupakan

kelipatan persekutuan a1, a2, a3,…….,an. Bilangan b tadi salah satu dari

kelipatan-kelipatan itu.

Bukti:

Misalkan [ a1, a2, a3,…,an] = h, maka harus ditunjukkan bahwa h │b.

Andaikan h │ b, maka ada q dan r sehingga b = hq + r, dengan

0 < r < h.

Karena b suatu kelipatan persekutuan a1, a2, a3,…,an maka ai│b,

untuk setiap i = 1,2, 3, …, n.

h=[ a1, a2, a3,…,an] maka ai|h untuk setiap i = 1,2, 3, …, n.

Dari b = hq + r, dengan 0 < r < h, karena ai│b dan ai|h maka ai|r.

yaitu r kelipaan persekutuan dari a1, a2, a3,…,an. Hal ini bertentangan

dengan r < h, karena h adalah kelipatan persekutuan terkecil. Maka

pengandaian itu salah, berarti h │b yaitu [ a1, a2, a3,…,an] │b .

Teorema 2

Jika m > 0 maka [ma,mb] = m[a,b][3,5] = 15 dan [2.3, 2.5]=30 nampak bahwa 2 [3,5] = [2.3, 2.5]

Teorema 3

Jika m > 0 maka (ma,mb) = m(a,b)

Teorema 4

Jika a, b anggota bilangan bulat dan d = (a,b), maka

(a/d,b/d)=1

Teorema 5

(a,b) = 1, maka [a.b] = a.bContoh

(2,3) = 1 dan (16,13)=1

Penggunaan Algoritma Euclid merupakan salah satu alternatif

metode dalam menemukan FPB, kelemahan metode ini bahwa hanya

dapat diberlakukan untuk dua bilangan saja.

Algoritma ini tidak dapat menentukan KPK tetapi dengan bantuan

Algoritma ini FPB yang sudah ditemukan dapat digunakan untuk

membantu kita dalam menentukan KPK dengan menggunakan

teorema berikut:

Teorema 6:

Untuk dua bilangan bulat positif sebarang a dan b, berlaku hubungan

[a,b](a,b) = a.b

atau dengan kata lain hasil perkalian antara KPK dan FPB sama dengan

hasil perkalian kedua bilangan itu.

Teorema ini dapat dinyatakan ke dalam bentuk yang berbeda yaitu:

[a,b] = a.b / (a,b)

Atau dengan kata lain, KPK adalah hasil bagi antara perkalian dua

bilangan a dan b dengan FPB nya.

(a,b) [a,b] = a . b

Ambil d = (a,b), maka sesuai dengan Teorema 4, maka (a/d, b/d)=1

Sesuai dengan Teorema 5, karena (a/d, b/d)=1,

maka [a/d, b/d]= a/d,b/d, akibatnya

(a/d, b/d) [a/d, b/d]= 1. a/d . b/d = a/d . b/d

d2(a/d,b/d) [a/d,b/d] = d2 .a/d.b/d

d2(a/d,b/d) [a/d,b/d] = d2 .a.b/d2

d (a/d,b/d) . d [a/d,b/d] = a . b berdasarkan Teorema 2 dan 3, Maka

(d. a/d,d. b/d) . [d. a/d,d. b/d] = a . b

(a,b) [a,b] = a . b

Contoh

Kita dapat menentukan KPK dengan menggunakan teorema di atas yaitu:

KPK dari 66 dan 50

Misalkan

a = 66 dan b = 50

a·b = (66) (50) = 3300

(a,b) = 2

[a,b] = a.b / (a,b)

[66,55] = 3300/2

= 1650

Catatan: [a,b] artinya KPK dari a dan b dan (a,b) artinya FPB dari a

dan b

Latihan: Carilah!

1. [126,120]

2. [24,16]

3. [36,48]

4. [272,119]

5. [2378, 1769]

Kunci jawaban:

1. 2520

2. 48

3. 144

SEKIAN