Elektrotehniki fakultet Univerzitet u Sarajevu NAPREDNE TEORIJE STABILNOSTI NELINEARNIH DINAMIKIH SISTEMA -Diplomski rad- Mentor:Kandidat: Red. Prof. dr. Mujo Hebibovi, dipl.el.ing.Bartula Dejan Sarajevo,2011 2 Saetak Uovomradujepredstavljenonekolikogeneralizovanihinadopunjenihteorijastabilnostipo Ljapunovu. Posebno je predstavljena teorema parcijalne stabilnosti i izvedena, pri emu sestabilnost odnosi prema dijelu sistema. Dodatno su predstavljene teorije stabilnosti za vremenski promijenljive nelinearnedinamikesistemekaoposebansluajparcijalnestabilnosti,Lagranova(Lagrange) stabilnost,ogranienost,konanaogranienost,uvodustabilnoststanja,stabilnostsakonanim vremenom,kaoipojmovisemistabilnostikojisutakoeprezentovani.Naprednateorijastabilnosti ukljuujegeneralizovaneLjapunovovefunkcije,stabilnostskupova,stabilnostciklusaiteorema stabilnosti pomou vektora Ljapunovovih funkcija. Abstract Inthispaper,wepresentseveralgeneralizationsandextensionsofLyapunovstabilitytheory.In particular, partial stability theorems are presented and derived, wherein stability with respect to part of the system state is addressed. In addition, we present stability theorem for time-varying nonlinear dynamicalsystemsasaspecialcaseofpartialstability.Lagrangestability,boundedness,ultimate boundedness,input-to-statestability,finite-timestability,andsemistabilitynotionsarealso presented. Finally, advanced stability theorems involvinggeneralized Lyapunov functions, stability of sets,stabilityofperiodicorbits,andstabilitytheoremsviavectorLyapunovfunctionsarealso established. 3 Sadraj - Postavka diplomskog rada4 - Oznake 5 1.Uvod6 2.Parcijalna stabilnost nelinearnih sistema7 3.Teorija stabilnosti za nelinearne vremenski promijenljive sisteme21 4.Lagranova stabilnost, ogranienost ikonana ogranienost28 5.Uvod u stabilnost stanja35 6.Stabilnost nelinearnih dinamikih sistema u konanom vremenu39 7.Semistabilnost nelinearnih dinamikih sistema43 8.Generalizacija teorema Ljapunova48 9.Ljapunovova i asimptotska stabilnost skupova54 10.Poincare mape istabilnost periodikih ciklusa 58 11.Teorija stabilnosti pomou vektora Ljapunovovih funkcija 63 -Zakljuak 70 -Dodatak71 -Literatura 75 4 Postavka diplomskog rada Zadatakovogradajeprikazstablnostnelinearnihdinamikihsistemauznavedenedefinicijei teoreme koje su dokazane. Zatim je prikazana stabilnost(odnosno uslovi stabilnosti ) na primjerima nelinearnih dinamikih sistema. Zadatak treba da sadri: 1.Osnovne teoreme stabilnosti nelinearnih dinamikih sistema od kojih je najvanija parcijalna stabilnost. 2.Teorijustabilnostizavremenskipromijenljivenelinearnedinamikesistemekaospecijalan sluaj parcijalne stabilnosti. 3.Lagarnovustabilnost,ogranienost,konanuogranienost,teosnovesemistabilnosti nelinearnih dinamikih sistema. 4.GeneralizovaneLjapunovovefunkcije,Ljapunovovaiasimptotskastabilnostskupovakaoi Poincareove mape. 5.Primjerestabilnostizanelinearnedinamikesistemeodnosnozaanalizuuslovastabilnosti nelinearnih dinamikih sistema Red. Prof. dr. Mujo Hebibovi, dipl.el.ing. 5 Oznake Zskup cijelih brojeva , , ,+ + Z Z Z Zskup nenegativnih, pozitivnih, nepozitivnih, negativnih cijelih brojeva Rskup realnih brojeva n m R skupn m realne matrice

1 nR (realna kolona vektora) , , ,+ + R R R R skup nenegativnih, pozitivnih, nepozitivnih, negativnih realnih brojeva = jednako po definicijiC prazan skup, unija, presjek , _ cpodskup, pravi podskup || ||,||| ||| vektor ili matrina norma, vektor ili operator matrine norme : f A funkcijaf sa domenomA ikodomenom\ A { } : x x e e A za skupoveA ie | | 1, 1, ...,1 T ifxccparcijalni izvod funkije f u odnosu na ix ( )c o B { }:nx x o c e < Rc granica skupa

unutranji dio skupainf infinum; najvea donja granica supsupremum; najmanja gornja granica min( ) R ,max( ) R minimum, maksimumumsopstvenih vrijednosti Hermitove matriceR nR6 1. Uvod Temaovogdiplomskogradajeanalizastabilnostinelinearnihdinamikihsistemaodnosno analiza uslova stabilnosti nelinearnih dinamikih sistema. Teorija stabilnosti po Ljapunovovu ima veoma veliku primjenuu praksi jer je veina sistema nelinearna.Unastavkuebitiprezentovanateorijastabilnostinelinearnihdinamikih sistema.Potojeveinasistemaupraksinelinearnastabilnostsistemaodnosiseprema dijelunelinearnogdinamikogsistema.Zanelinearnidinamikisistemimamonekoliko definicija stabilnosti koje su navedene u ovom radu a to su: stabilnost u smislu Ljapunovova, asimptotskastabilnost,globalnaasimptotskastabilnostieksponencijalnastabilnost. PosebnojeprezentovanateorijastabilnostipoLagranujerjeumnogimininjerskim aplikacijamaprirodnodaseutvrdidalijezasvakipoetniuslovsistemaunekomprostoru rjeenje nelinearnog dinamikog sistema ogranieno.OsimnavedenihteorijastabilnostipoLjapunovovuiLagranuzanelinearnedinamike sisteme takoe su prezentovane Poincareove mape jer nam osiguravaju potrebne i dovoljne uslovestabilnostiperiodikihciklusajerukolikomoemotrajektorijusistemarelativnolako integrirationdadobijamopomouPoincareoveteoremepotrebneidovoljneusloveza stabilnost. Ovaj rad nam prua napredan tretman za teoriju stabilnosti ukljuujui parcijalnu stabilnost, teorijustabilnostizavremenskipromjenljivesisteme,Lagranovustabilnost,ogranienost, konanuogranienost,stabilnostulaznihstanja,stabilnostukonanomvremenu, semistabilnost,iteoremestabilnostipomouvektoraLjapunovovihfunkcija.Udodatnom Ljapunovovaiasimptotskastabilnostskupovakaoistabilnostpreiodikihciklusajetakoe sistematskiprikazana.Teoremelokalneiglobalnestabilnostisudatekoristeimanje semikontinualneLjapunovovefunkcije.Generalziraniinvarijantniskupteoremajeizveden gdjetrajektorijasistemakonvergirakaunijinajveeginvarijantnogskupakojisadrigranicu odpresjekakonanihdatihintervala.Ovinarezultatinampruajutrensparentne generalizacije prema standardnim Ljapunovovim i invarijantnim skupovima teorema. 7 2. Parcijalna stabilnost nelinearnih sistemaU mnogim ininjerskim aplikacijama, parcijalna stabilnost je stabilnost prema dijelu sistema i estoje neophodna.Parcijalnastabilnostproizilaziizstudijazaelektromagnetizam,inercionihnavigacionih sistema,stabilizacijaletjelicapomouiroskopai/ilizamajcaitd.Potrebadaserazmotriparcijalna stabilnostnavedenihsistemaproizilaziizinjenicedadefinisanipojmovistabilnostiukljuuju ravnoteu koordinata kao i koordinatehiper ravni koja je ograniena ali ne i kompaktna. Na osnovu togaparcijalnastabilnostpodrazumijevadakretanjesistemaleiupodprostoruumijestooko ravnotene take sistema. Slika 2.1 Klipni mehanizam Dodatno,parcijalnastabilnostjestabilnostzatvorenepetljeuodnosunadiosistemazatvorene petlje, koja se koristi u mnogim ininjerskim aplikacijama. Posebno kod stabilizacije letjelica pomou iroskopatraiseasimptotskastabilnostravnoteepoloajaletjelica,azahtjevasestabilnostpo Ljapunovu osa iroskopa u odnosu na letjelicu. Kod kontrole rotirajuih maina sa ne uravnoteenom masom, stabilizacija rotacije zbog inercije ose zahtjeva stabilizaciju kretanja u odnosu na podprostor. Modaveinaprateihaplikacijagdjejepotrebnaparcijalnastabilnostpredstavljaadaptivnu kontrolu,priemujeasimptotskastabilnostzatvorenepetljedatogstanjagarantovanabez potrebnog ostvarenja parametara greke konvergencije. Zadaljudemonstracijukorisnoipotrebnozaparcijalnuteorijustabilnostirazmotritemodva jednostavnaprimjera.Razmotritemojednainekretanjamehanizmanaslici2.1kojijeopsian sledeim relacijama:

2( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ), m t t c t t u t u u u u + =`` `

0,(0) u u =0(0) , u u =` `0 t > (2.1)gdje je :

22 22 2 2cos sin( ) sin ,sinB Arm m r m rl ru uu uu| |= + + |\ .(2.2)

2 2 2 422 2 2 3/ 22 2 2cos sin (1 2sin ) sin( ) sin cos ,( sin )sinAr l rc m r rl rl ru u u uu u uuu| |( += + + | ( \ .(2.3)mA i mBsutakemase,r il suduineipkei( ) u jekontrolaobrtnogmomentazadati motor.Predpostavkadaizaberemozakonzakontrolupovratneveze( , ) u | u u =`takavdaje ugaonabrzinaipkekonstantnatj.( ) t u O`prit gdjeje0 O > .Topodrazumijevadaje ( ) t t u ~ O prit . Osim toga( ) m u i( ) c usu funkcije od u i nesmijemo zanemariti ugaonu 8 poziciju u. Zbog toga to u ne konvergira jasno je da je sistem (2.1) nestabilan u optem smislu, ali je djelimino asimptotski stabilan u odnosu nau`. Sledeiprimjerukljuujenelinearnisistemprikazankaojednostavanmodeldualspinletjeliceza istraivanjefenomenarezonanse,adonedavnosekoristiozaistraivanjekorisnostirotacije /translacije(prenosa)pogonaodreenemasezastabilizacijuprenosnogkretanja.Sistem(slika2.2) ukljuujeekscentrinurotacionuinercijunaprenosnomoscilatorupoveavajuivezunelinearnosti izmeunepriguenogoscilatorairotirajuegkrutogtijela.OscilatornakolicamaseM supovezana zafiksnubarijerupomoulinearneoprugekrutostik .Kolicasuogranienanajednodimenzionalno kretanje. Rotacioni pogon sastoji se od masem i masenog momenta inercije I poznat kao udaljenost eod centra mase kolica. Znajui daq , q` ,u iu` oznaavaju translaciju poloaja, brzinu kolica, ugaonu poziciju i brzinu rotacije pogona jednaine dinamikog kretanja su date sledeim relacijama:

Slika 2.2 Rotaciono/translatorni pogon odreene mase 2(M + m)q(t) + me[ (t) cos(t) - (t) sin(t)] + kq(t) = 0, u u u u`` ``` (2.4) 2(I + me) (t) + meq(t) cos(t) = 0, u u````(2.5) Gdje je0, t >0(0) , q q =0,(0) q q = ` `0(0) , u u = i 0(0) u u =` `. Primjetimo da je kretanje ogranieno u horizontalnoj ravni, i da nisu ukljueni uticaji gravitacionih sila u analizi dinamike. Analizirajui(2.4) i(2.5)rezonujemodajenularjeenja( ( ), ( ), ( ), ( )) (0, 0, 0, 0) q t q t t t u u `` zasistem (2.4)i(2.5)nestabilnaustandardnomsluajualijedijeliminostabilnapoLjapunovuuodnosuna , q q` iu`.StandardnateorijastabilnostipoLjapunovunemoesekoristitijerugaonapozicijaurotirajueg pogona nemoe biti ignorisana iz relacija (2.4) i (2.5) kad( ) t u prit . Drugaaplikacijadijelimineteorijestabilnostipruadodatnufleksibilnostuizgradnjifunkcija Ljapunova za nelinearne dinamike sisteme. Posebno,generalizirajuiteoremstabilnostipoLjapunovudaukljuiparcijalnustabilnostslabi hipotezeofunkcijiLjapunovatakodaproirivanjeskupadozvoljenihfunkcijamogubitikoriteneza analizu stabilnosti sistema. NajjasnijiprimjerovogajeLagran-Dirihleov(Lagarnge-Dirichlet)problemstabilnostikojiukljuuje konzervativniOjler-Lagranov(Euler-Lagrange)sistemsanenegativnoodreenomfunkcijom kinetike energije T i pozitivno odreenom funkcijom potencijalne energije U. UovomsluajufunkcijaenergijeV=T+Ujejedinanenegativnoodreenaizbogtogasenemoe koristitikaofunkcijaLjapunovazaanalizustabilnostisistemakoristeistandardnuteorijustabilnosti 9 poLjapunovu.Lagran-Dirihleova(Lagrange-Dirihlet)funkcijaenergijemoebitiupotrebljenakao validnafunkcijaLjapunovaunutarokvirateorijeparcijalnestabilnostiidagarantujestabilnostpo Ljapunovu Lagran-Dirihleovog problema. Uovomdijelupredstavljenajeteoremaparcijalnestabilnostizanelinearnedinamikesisteme. Potrebno je uzeti u obzir autonomni sistem dat sledeim relacijama:

1 1 1 2( ) ( ( ), ( )), x t f x t x t = ` 1 10(0) , x x =0,xt e

1(2.6) 2 2 1 2( ) ( ( ), ( )), x t f x t x t = ` 2 20(0) , x x =(2.7) gdje 1, x eT1n_ R T jeotvoreniskuptakoda0 , eT22,nx eR2 11 :n nf R R T takodaza svako 22,nx eR1 2(0, ) 0 f x = i 1 2( , ) f x jeLipicov(Lipschitz)lokalitetu 1x , 2 22 :n nf R R T je takodazasvako 1, x eT2 1( , ) f x jeLipicovlokalitetu 2x i )0 0 00, , 0 ,x x x

< s = 1 T T je maksimalniintervalegzistencijezarjeenja 1 20( ( ), ( )), ,xx t xt t e

1 datogsistema.Sledeadefinicija upoznatcenassaosamtipovaparcijalnestabilnostiipredstavljastabilnostuodnosuna 1x za nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7). Definicija 2.1. i)Nelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jestabilanpoLjapunovuuodnosuna 1x akozasvako 0 c > i 220nxeRpostoji 20( , ) 0 x o o c = > tako da je 10x o < | | te slijedi da je 1( ) x t c < | |za svako 0 t > (slika 2.3(a)).

ii)Nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je stabilan po Ljapunovu u odnosu na 1xuniformno u 20xako za svako0 c > postoji( ) 0 o o c = > tako da je 10x o < | | te slijedi da 1( ) x t c < | |za svako0 t > i za svako 220nxeR . iii) Nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je asimptotski stabilan u odnosu na 1x ako je stabilan po Ljapunovuuodnosuna1x akozasvako220nxeR postoji 20( ) 0 x o o = > takodaje 10x o < | | te slijedi da je 1lim ( ) 0xx t= (slika 2.3(b)). iv)Nelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jeasimptotskistabilanuodnosuna 1x uniformnou 20xakojestabilanpoLjapunovuuodnosuna 1x uniformnou 20x akozapostoji0 o > takodaje 10x o < | | te slijedi da1lim ( ) 0xx t= uniformno u 10x i 20x za svako 220nxeR . v)Nelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jeglobalnoasimptotskistabilanuodnosuna 1x akoje stabilan po Ljapunovu u odnosu na 1xako je 1lim ( ) 0xx t= za svako 110nx eR i 220nxeR . vi) Nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je globalno asimptotski stabilan u odnosu na 1xuniformno u20xako je stabilan po Ljapunovu u odnosu na 1x uniformno u 20xi ako je 1lim ( ) 0xx t=uniformno u 10x i 20x za svako110nx eR i 220nxeR . 10 vii)Nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je eksponencijalno stabilan u odnosu na 1x uniformno u 20x akopostojeskalari, , 0 o | o > takodaje 10x o < | | teslijedi 1 10( ) , 0,tx t x e t|os > | | | | za svako 220nxeR . viii)Nelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jeglobalnoeksponencijalnostabilanuodnosuna 1xuniformnou 20x akopostojeskalari, 0 o | > takodaje 1 10( ) , 0,tx t x e t|os > | | | | zasvako 110nx eR i 220nxeR . Slika 2.3 (a) Parcijalna stabilnost po Ljapunovu u odnosu na 1x (b)Parcijalnaasimptotskastabilnost u odnosu na 1x . | |1 2 2 1 2, , .TTTx y y x z x x x( = = = Sledee,predstavitemodovoljneuslovezaparcijalnustabilnostnelinearnogdinamkogsistema (2.6)i(2.7).Zasledeerezultatedefiniimo 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ), V x x V x x fx x '`= gdjeje 1 2 1 1 2 2 1 2( , ) ( , ) ( , )TT Tfx x f x x f x x( = za datu kontinualnu diferencijalnu funkciju 2:nV R R T .Predpostavit emo da rijeenje 1 2( ( ), ( )) x t x tsistema (2.6) i (2.7) postoji i da je jedinstveno za svako 0 t > .VanojenapomenutidastandardnateorijaopostojanjuLjapunovefunkcije 1 2( , ) V x xzadovoljavausloveoteoremi2.1kojaebitiprikazanaunastavkuinijedovoljnadaosiguradasva rjeenja sistema (2.6) i (2.7) poinju u 2nR T i mogu biti produena do beskonanosti, budui da se nijednostanjesistema(2.6)i(2.7)nekoristikaonezavisnapromijenjljiva.MeutimLipicova neprekidnostod 1( , ) f i 2( , ) f pruadovoljneuslovezapostojanjeijedinstvenostrijeenjaza sistem (2.6) i (2.7) i van odreenog vremenskog intervala. Teorema 2.1. Razmotrimo nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7). i)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 2:nV R R T iskup funkcije( ) o takoda je:

2(0, ) 0, V x =22nx eR (2.8) 11

1 1 2( ) ( , ), x V x x o s | |21 2( , )nx x e R T(2.9)

1 2( , ) 0, V x x s`

21 2( , )nx x e R T(2.10) onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i ( 2.7) je stabilan po Ljapunovu u odnosu na1x . ii)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 2:nV R R T iskupfunkcija( ) o ,( ) | zadovoljavajui uslove (2.9) i (2.10) i ako je :

1 2 1( , ) ( ), V x x x | s | | 21 2( , )nx x e R T(2.11) ondadatinelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jestabilanpoLjapunovuuodnosuna1xuniformno u 20x . iii) Ako postoje kontinualne diferencijalne funkcije 2:nV R R Ti2:nW R R Ti skup funkcija( ) o ,( ) | i ( ) , tako da je 1 2( ( ), ( )) W x x ` ograniena sa donje ili gornje strane , ukljuujui uslove (2.8) i (2.9) i ako je :

2(0, ) 0, W x = 22nx eR(2.12)

1 1 2( ) ( , ), x W x x | s | | 21 2( , )nx x e R T (2.13) 1 2 1 2( , ) ( ( , )), V x x W x x s `

21 2( , )nx x e R T (2.14) onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je asimptotski stabilan u odnosu na1x . iv)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 2:nV R R T iskupfunkcija ( ), ( ), ( ) o | zadovoljavajui uslove (2.9) i (2.11) i ako je : 1 2 1( , ) ( ), V x x x s `| |21 2( , )nx x e R T(2.15) onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je asimptotski stabilan u odnosu na 1xuniformno u 20x . v)Akoje 1nR T = iakopostojekontinualnediferencijalnefunkcije 1 2:n nV R R Ri 1 2:n nW R R Ri skup funkcija( ) | i( ) , skup funkcije( ) o tako da je 1 2( ( ), ( )) W x x ` ogranienasadonjeiligornjestranesa(2.8)i(2.9)uzuslove(2.12)-(2.14)ondadatinelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je globalno asimptotski stabilan u odnosu na1x . vi)Akoje 1nR T = iakopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 1 2:n nV R R R,skupfunkcije( ) iskup funkcija( ) o i( ) | zadovoljavajuiuslove(2.9),(2.11)i(2.15)ondadati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je globalno asimptotski stabilan u odnosu na 1xuniformno u 20x . vii)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 2:nV R R T ipozitivnekonstante , , , 1 p o | >zadovoljavajui sledee uslove: 12 1 1 2 1( , ) ,p px V x x x o | s s | | | |21 2( , )nx x e R T(2.16) 1 2 1( , ) ,pV x x x s `| |21 2( , )nx x e R T (2.17) ondadatinelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jeeksponencijalnostabilanuodnosuna1xuniformno u 20x . viii)Ako je 1nR T = i ako postoji kontinualna diferencijalnafunkcija 1 2:n nV R R R i pozitivne konstante , , , 1 p o | >zadovoljavajui uslove (2.16) i (2.17) onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je globalno eksponencijalno stabilan u odnosu na1xuniformno u 20x . Dokaz. i)Neka 220nx e R i0 c > budutakvida { }11 1(0) :nx xcc e < c = R | | B T , definiimo ( ) q o c = i{ }1 1 20(0) : ( , ) x V x xq cq e < = T B .Potoje( , ) V neprekidnoi 20(0, ) 0, V x = slijedida je qT neprazan i postoji 20( , ) 0 x o o c = > tako da je 1 20( , ) V x x q < i 1(0) xceB . Na osnovu toga je (0)o q_ B T . Poto za 1 2( , ) 0 V x x s` slijedi da je 1 2( ( ), ( )) V x t x t vremenski nerastua funkcija i zbog toga za svako 10(0) xo qe _ B Tslijedi :

1 1 2 10 20( () ) ( (), ()) ( , ) ( ). x t Vx t x t Vx x o q o c s s < = | |Takosezasvako 10(0) xo qe _ B T , 1( ) (0), 0, x t tce > B uspostavljamostabilnostpoLjapunovuu odnosu na 1x . ii) Neka je0 c >i neka su(0)cB iqdati kao u predhodnom sluaju. Neka( ) 0 o o c = > bude tako da je( ) ( ) | o o c = . Onda slijedi iz relacije (2.11) da je, za svako 210 20( , ) (0)nx xoe R B , 1 1 2 1 0 2 0( ( ) ) ( ( ), ( ) ) ( , ) ( ) ( ), x t V x t x t V x x o | o o c s s < = | |i zbog toga je 1( ) ( 0), 0 x t tce > B . iii)StabilnostpoLjapunovuslijedi iz i).Dabipokazali asimptotskustabilnostpredpostavimoda,kao apsurd(pogreanapretpostavka), 1 2( ( ), ( )) 0 W x t x t kadt ili,ekvivalentno, 1 2limsup ( ( ), ( )) 0tW x t x t> .Udodatnompredpostavimo 1 2liminf ( ( ), ( )) 0tW x t x t> to podrazumijeva da postoje konstante0 T > i0 k > tako da je 1 2( ( ), ( )) , W x t x t k > t T > . Na osnovu ovoga izrelacije (2.9) slijedi da je 1 2( ( ), ( )) V x t x t kadt ,to je u kontradikciji sa (2.9) i zbog toga je 1 2liminf ( ( ), ( )) 0tW x t x t= .Potoje 1 2limsup ( ( ), ( )) 0tW x t x t> i 1 2liminf ( ( ), ( )) 0tW x t x t= slijedidapostojedvijerastue sekvence{ }0iit=i{ }0iit=' ikonstanta0 k > takodaje 1, 0,1,...,i i i it t t i t+' < < = kadi te slijedi: 1 2 1 2 1 2( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )),2i i i ikW x t x t W x t x t k W x t x t ' ' = < < = ,i it t t' < takodaje 1 2( ( ), ( )) , W x t x t q s`0 t >. U sluaju kad je 1 2( ( ), ( )) W x x `ograniena s gornje strane slijedi iz (2.18) da je 2 , 1, 2,...,ki it t i ' > = i zbog toga je 1 2 2 2( ( ( ), ( ))) ( )iitk ktW x t x t dtq '>}. Koristei (2.14) slijedi da je:

1 1 11 2 10 20 1 2 1 2 1 21 10( ( ), ( )) ( , ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))i ii it t tn nn ni it tV x t x t V x x V x t x tdt V x t x t dt V x t x t dt+' '= = '' ' = + + + } } }` ` ` 10 20 1 2 10 20 1 21 1( , ) ( ( ), ( )) ( , ) ( ( ( ), ( )))i ii it tn ni it tV x x V x t x t dt V x x W x t x t dt ' '= =s + s } }`

10 20( , )2 2k kV x x nq| |s |\ .(2.19) Zadovoljnovelikon desnastranarelacije(2.19)postajenegativnatojekontradiktornosa(2.9). Sluajkad 1 2( ( ), ( )) W x x `jeogranienasadonjestranedovodidoslinihsuprotnostikoristei identine argumente. Tako u oba sluaja, 1 2( ( ), ( )) 0 W x t x t kadt i zbog toga slijedi iz (2.13) da 1( ) 0 x t pri, t osigurava asimptotsku stabilnost sistema (1.6) i (1.7) u odnosu na1x . iv)Ljapunovauniiformnastabilnostu20x slijediizii).Neka0 c > i ( ) 0 o o c = > budutakvidaza svako 10(0) xoeB i 1( ) (0), 0 x t tce > B ,(postojanjetakvogpara( , ) o c proizilaziizuniformne stabilnosti po Ljapunovu), i predpostavimo uslove (2.15). Zbog uslova (2.15) podrazumijeva se da, iz (2.10)slijedi,zasvako 10(0) xoeB , 10 20( , ) ( ) V x x o c < ,jenerastuafunkcijavremenaizbogtoga jer je( , ) V ograniena ispod, slijedi iz teoreme o monotonoj konvergenciji da postoji0 L >tako da je 1 2lim ( ( ), ( ))tV x t x t L= . Predpostavimo da za neko10(0) xoeB ,apsurd (kontradikcija),0 L >tako da je{ }1 1 2( ) (0) : ( , ) x t V x x Lce s = T BLza svako 10(0) xoeB neprazan skup i 1( ) , 0 x t t e > TL. Tako, kao i dokazu za i), postoji 0 o > tako da je(0)oc B TL. Na osnovu ovoga iz (2.15) slijedi da za svako dato 1( ) (0) \ x toeB TL i0 t > :

1 2 10 20 1 2 10 20 10 0( ( ), ( )) ( , ) ( ( ), ( )) ( , ) ( ( ) )t tV x t x t V x x V x s x s ds V x x x t ds = + s } }| |

10 20( , ) ( ) . V x x t o s Znajui da je 10 20( ( , ) ) ( ), t V x x L o > slijedi da 1 2( ( ), ( )) V x t x t L < to je u suprotnosti. Na osnovu toga,0 L = ,iako 10(0) xoeB izaberemoproizvoljnoslijedida 1 2( ( ), ( )) 0 V x t x t kadt za svako10(0) xoeB .Potoje 1 2 1( ( ), ( )) ( ( ) ) 0, V x t x t x t o > > | | slijedida 1( ( ) ) 0 x t o | | ili ,ekvivalentno, 1( ) 0 x t , 0 t , uspostavljajui asimptotsku stabilnost u odnosu na 1x uniformno u 20x . 14 v)Neka0 o > budetakodaje 10x o < | | .Potoje( ) o skup funkcijeslijedidapostoji0 c >tako da je 10 20( , ) ( ) V x x o c < . Sad na osnovu (2.14) podrazumijeva se da je 1 2( ( ), ( )) V x t x t nerastua funkcija vremena i stoga slijedi iz (2.9) da je1 1 2 10 20( ( ) ) ( ( ), ( )) ( , ) ( ), 0 x t V x t x t V x x t o o c s s < > | | . Zbog toga slijedi da je 1( ) (0), 0 x t tce > B . Dokaz je isti kao u sluaju iii). vi)Neka0 o > budetakodaje 10x o < | | .Potoje( ) o skup funkcijeslijedidapostoji0 c >takodaje( ) ( ) | o o c s .Sadnaosnovu(2.11)podrazumijevasedaje 1 2( ( ), ( )) V x t x t nerastua funkcija vremena i stoga slijedi iz (2.11) da je 1 1 2 10 20( ( )) ( ( ), ( )) ( , ) ( ) (), 0 x t V x tx t V x x t o | o o c s s < s > | | . Inae 1( ) (0), 0 x t tce > B . Dokaz je isti kao i u sluaju iv). vii) Neka0 c >i(0)cB dato kao i za dokaz i) ineka pq oc = i 1\( )p q|o = Sad na osnovu (2.17) da je 1 2( , ) 0 V x x s`i stoga kao i u dokazu za ii) slijedi da jesvako210 20( , ) (0)nx xoe R B , 1( ) (0) x tceB. Slijedi da iz(2.16) i (2.17) za svako0 t > i 210 20( , ) (0)nx xoe R B :

1 2 1 1 2( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )),pV x t x t x t V x t x t|s s `| |to podrazumijeva da je:

1 2 10 20( (), ()) ( , )tV x t x t V x x e|s sad slijedi iz (1.16) 1 1 2 10 20 10( ) ( (), ()) ( , ) , 0,t tpx t Vx t x t Vx x e x e t | |o | s s s > | | | | i zbog toga je:

1 /1 1 0( ) , 0,ptpx t x e t||o| |s > |\ .| | | | te slijedi uspostavljanjeeksponencijalne stabilnosti u odnosu na 1xuniformno u 20x . viii) Dokaz slijedi kao i u vi) i vii). Postavljajui 1n n = i 20 n = ,Teorema2.1namjenjujesezanelinearneautonomnesistemetipa forme 1 1 1( ) ( ( )) x t f x t = ` . U ovom sluaju (respektivno,asimptotski) stabilnost po Ljapunovu u odnosu na 1x uniformnou 20x jeekvivalentnaklasinojteorijistabilnostipoLjapunovuzanelinearne autonomne sisteme. Primjer 2.1. U ovom primjeru, primjenjena je Teorema 2.1 na Lagran-Dirihleov problem ukljuujui konzervativni Ojler-LagaranovsistemsanenegativnomdefinisanomfunkcijomkinetikeenergijeTipozitivno definisanomfunkcijompotencijalaU.Posebnojeuzetourazmatranjesfernogklatnaprikazanogna slici2.4gdjeu oznaavaugaonupozicijuklatnauodnosunavertikalnuz-osu.| oznaavapoziciju uglaklatnaux-yravni,moznaavamasuklatna,L oznaavaduinuklatna,k oznaavatorzionu krutost opruge igoznaava gravitaciono ubrzanje. 15 Slika 2.4Sferno klatno Definiimo| | ,Tq u | =da bude generalozovani sistem pozicijai,Tq u |( ` `` =da bude generalizovani sistem brzina, slijedi da su ureene jednakosti kretanja date kao Ojler-Lagranove jednaine: ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 0,dq t q t q t q tdt q q| | | | c c = ||c c\ . \ .` `` 0(0) , q q =0(0) , q q = ` ` 0, t >(2.20) ( , ) ( , ) ( ) q q T q q U q = ` ` oznaava Lagranov sistem. 2 2 12( , ) ( ) ( sin ) T q q m L L u | u( + ` `` = oznaava kinetiku energiju sistema. 2 12( ) (1 cos ) U q mgL k u | + = oznaava potencijalnu energiju sistema. Ekvivalentno (2.20) moe biti napisana kao: 2( ) sin ( ) cos ( ) ( ) ( ) sin ( ) 0, t t t t g L t u u u | u + =`` ` 0(0) , u u = 0(0) , u u =` `0, t >(2.21) 2 2sin ( ) ( ) sin ( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, t t t t t t k mL t u | u u | u | + + =`` ` ` 0(0) , | | =0(0) , | | =` `(2.22) Sledee,razmotrimoLagra-Dirihleovufunkcijuenergije( , ) ( , ) ( ) V q q T q q U q = ` ` iprimijetimoda kintikaenergija( , ) T q q` nijepozitivnodefinitnauq` kaou takodajesin 0, u = funkcija( , ) V q q`nemoe se koristiti kao funkcija Ljapunova zaanalizu stabilnosti sistema koristei teoriju Ljapunova. IpakLagran-Direhleovafunkcijaenergije( , ) V q q` moesekoristitikaovalidna(korektna)funkcija 16 LjapunovauteorijiparcijalneteorijestabilnostigrantujuistabilnostpoLjapunovuuondnosuna Tu | u( `.Nekaje 1Tx u | u( = `,2, x | =` 2 2 2 1 12 2( ) max (1 cos( )), , s mgL s ks L s o = ` )i{ }1max | |, | |, | | x u | u =`| | .Uzmimodaje( ) o skupfunkcijaidaje 1 2 1( , ) ( , ) ( ) V x x T q q x o = > ` | | . Dalje primjetimo da je 2 2(0, ) 0, V x x = eR i 1 2( , ) 0 V x x =`. Slijedi iz i),Teorema2.1,daOjler-Lagranovsistemdatrelacijama(2.21)i(2.22)jeparcijalnostabilanpo Ljapunovuuodnosuna 1x .Konano,moeselakopokazatipomousimulacijedaOjler-Lagranov sistem dat relacijama (2.21) i (2.22) nije stabilan po Ljapunovu u standardnom sluaju. Drugavanaaplikacija(primjena)parcijalneteorijestabilnostijepovezanostteorijestabilnosti izmeuvremenskinezavisnihsistemaivremenskizavisnihsistema.Dabividjelivezuizmeudva navedena sistema razmotrimo vremenski promijenljiv sistem dat sledeom relacijom (relacija 2.23): ( ) ( , ( )), x t f t x t = `0 0( ) , x t x =0, t t >(2.23) gdje 0( ) , ,nx t t t e > R i| )0 1: ,n nf t t R R .Zatimdefiniimo 1( ) ( ) x x t = T i 2( ) , x t = T gdjeje 0, t t = T iprimjetimodarjeenje 0( ), , x t t t > zanelinearnevremenskipromijenljivedinamike sistema(2.23)moebitiekvivalentnokarakteriziranakaorijeenje 1( ), 0, x > T T nelinearnog autonomnog dinamikog sistema:

1 1 2( ) ( ( ), ( )), x fx x = ` T T T1 0(0) , x x = 0, > T (2.24)

2( ) 1, x = ` T 2 0(0) , x t = (2.25) gdje 1( ) x ` i 2( ) x ` oznaavadiferencijalnostuodnosunaT .Uovomsluajurezultatistabilnostiza vremenski nezavisne sisteme neprimjenjuju argumente date kao (2.24) i (2.25) i zbog toga jedno od stanja,uovomsluaju 2x predstavljavrijeme,jeneogranieno.Ispisujuivremenskipromijenljivi nelinearni dinamiki sistem (2.23) pri uslovima (2.24) i (2.25) jasno je da parcijalna teorija stabilnosti osiguravaprirodnuformulacijuzaadresiranjeteorijestabilnostizaautonomneineautonomne sisteme unutar jedinstvenog okvira. Teorema 2.2. Razmotrimonelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)ipredpostavimodaje 2nR T pozitivni invarijantniskupuodnosuna(2.6)i(2.7)gdjeje( )1 2, f x kontinualanpoLipicuu 1x uniformnou 2x .Daljeprepostavimodapostojefunkcije2: ,nV R R T i 1 2, , : W W W R T takodaje ( , ) V kontinualno diferencijabilna funkcija, 1( ) W i 2( ) W su kontinualne i pozitivno defnitne funkcije, ( ) W je kontinualna i nenegatvno definitna funkcija i za svako 21 2( , )nx x e R Tslijedi:

1 1 1 2 2 1( ) ( , ) ( ), Wx Vx x W x s s(2.26)

1 2 1( , ) ( ). V x x Wx s ` (2.27) 17 Onda postoji_ TT0tako da za svako 210 20( , ) ,nx x e R T0{ }1 1 1( ) : ( ) 0 x t x W x e = = T kad t . Ako , dodatno, 1nR T i 1( ) W je radijalno ograniena onda za svako 1 210 20( , ) ,n nx x e R R{ }11 1 1() : ( ) 0nx t x Wx e = = R kadt . Dokaz. Predpostavimo uslove (2.26) i (2.27). Zatim slijedi iz Teoreme 2.1 da nelinearni dinamiki sisitem dat relacijama(2.6)i(2.7)jestabilanpoLjapunovuuodnosu1x nauniformnou 20x .Neka0 c > bude takoda(0)cc B T ineka( ) 0 o o c = > budetakodaako 10(0) xoeB ,ondaslijedidaje1( ) (0), x tceB 0 t > . Poto je funkcija 1 2( ( ), ( )) V x t x t nerastua i ograniena ispod nule, slijedi da, za teoremuomonotonojkonvergenciji(Teorema2.10), 1 2lim ( ( ), ( ))tVx t x t postojiikonaanje. Zbog toga za svako0 t >i 1 1 2 10 20 1 20 0( ( )) ( ( ), ( )) ( , ) ( ( ), ( )),t tW x d V x x d V x x V x t x t s = } }`T T T T Tslijedi da 10lim ( ( ))ttWx d}T T postoji i konaan je. Sledee,za(2.26) 1( ) , x t c s | | 0 t > izasvako 22nx eR i( )1 2, f x jeLipicovaneprekidnostnaTuniformno u 2xte slijedi da je : 2 21 11 2 1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ( ), ( )) || ( ) ||t tt tx t x t f x x d L x d = s} }| | T T T T T 1 2 1( ), L t t c s 2 1, t t > (2.28) gdjeje 1L Lipicovakonstantaod( )1, f na{ }1 1: x x c e < | | T .Sadzasvako 0, c > nekaje 1 ( )Lcco o c = = funkcija prinosa slijedi : 1 2 1 1 ( ) ( ) , x t x t c < | | 2 1, t t o s topokazujedaje 1( ) x uniformnokontinualna.Potoje 1( ) x uniformnokontinualnai( ) W je kontinualnanakompaktnomskupu(0)cB ,slijedidaje 1( ( )) W x t uniformnokontinualnazasvako 0 t > .NaosnovuBarbalatoveleme(Barbalat`slema)slijedidaje 1( ( )) 0 W x t kadt . Konano,udodatnom,ako 1nR T = i( ) W jeradijalnoneogranienaondakaoiudokazuzaiv) Teoreme 2.1, za svako 110nx eRpostojic ,0 o >tako da je 10(0) xoeB i 1( ) (0), x tceB 0 t > .Teorema2.2pokazujedaseparcijalnetrajektorijesistema 1( ) x t nalazeu kadt tei beskonanosti.Potopozitivniogranieniskupparcijanihtrajektorija 1( ) x t jepodskupod,Teorema2.2jeslabijanegostandardniinvarijantniprincipgdjemoemozakljuitidaseparcijalna trajektorija 1( ) x t nalaziunajveeminvarijantnomskupu/sadranomu .Ovonijetanou optemsmisluzaparcijalnustabilnostsistemajerpozitivniorgranieniskupparcijalnetrajektorije 18 1( ) x t , 0 t >nije invarijantni skup.U ovom sluaju gdje je( )1 2, f x periodino, gotovo periodinoili asimptotskinezavisanod 2x ,ondainvarijantniprincipzaparcijalnostabilnesistememogubiti derivirani. Sledee, date su dvije konzervativne teoreme za parcijalnu stabilnost. Teorema 2.3. Predpostavimodajenelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)asimptotskistabilanuodnosuna1xuniformnou 20x , 2 11 :n nf R R T i 2 12 :n nf R R T sukontinualnodifrencijabilne.Neka 0 o > bude tako da(0)oc B T i 10(0) xoeB podrazumijeva da je 1lim ( ) 0xx t=uniformno u 10x i u 20x zasvako 220nxeR iusvojimodaje 1fxccogranienna (0)oB uniformnou 2x .Ondapostoji kontinualna diferencijabilna funkcija 2: (0)nVo R R B i skup funkcija( ), ( ) o | i( ) tako da slijedi: 1 1 2 1( ) ( , ) ( ), x V x x x o | s s | | | | 21 2( , ) (0) ,nx xoe R B(2.29) 1 2 1( , ) ( ), V x x x s `| | 21 2( , ) (0) ,nx xoe R B(2.30) Teorema 2.4. Predpostavimo da je nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) eksponencijalno stabilan u odnosu na1xuniformnou 20x , 2 11 :n nf R R T i 2 12 :n nf R R T sukontinualnodifrencijabilne.Neka 0 o > bude tako da(0)oc B Ti 10(0) xoeBpodrazumijeva da je 1 10( )tx t x e |os | | | | za neko , 0 o | > izasvako0 t > i 220nxeR ,ipredpostavimodaje 1fxccogranienna (0)oB uniformnou 2x .Ondazasvako1, p > postojikontinualnadiferencijabillnafunkcija 2: (0)nVo R R B i pozitivne kostante, o | i tako da slijedi: 1 1 2 1( , ) ,p px Vx x x o | s s | | | | 21 2( , ) (0) ,nx xoe R B (2.31) 1 2 1( , ) ,pV x x x s `| | 21 2( , ) (0) ,nx xoe R B (2.32) Konanozavravamoovajdiogdjeobapoetnastanja 10x i20x leeublizinipoetnetake.Zaove rezultatemodifikovalismoTeoremu2.1dabiodbaciliinjenicudapoetnostanje0 10 20,TT Tx x x( = leiublizinipoetnetaketakodaje 10x o < | | zamijenjenosa0x o < | | udefniciji.Daljezaove rezultatepredpostavilismo 2 11 :n nf R R T i 2 12 :n nf R R T takodaje 1(0, 0) 0 f = i 2(0, 0) 0 f = . 19 Teorema 2.5. Razmotrimo nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7). i)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 2:nV R R T iskup funkcije( ) o takoda (0, 0) 0, V = te slijedi : 1 1 2( ) ( , ), x V x x o s | | 21 2( , )nx x e R T (2.33)

1 2( , ) 0, V x x s` 21 2( , )nx x e R T (2.34) onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je stabilan po Ljapunovu u odnosu na1x . ii)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 2:nV R R T iskupfunkcija( ) o ,( ) | zadovoljavajui uslove (2.33) i (2.34) i ako je : 1 2 1( , ) ( ), V x x x | s | | 21 2( , )nx x e R T (2.35) gdje je 1 2,TT Tx x x( = , onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je stabilan po Ljapunovu u odnosu na1xuniformno u 20x . iii) Ako postoje kontinualne diferencijalne funkcije 2:nV R R Ti2:nW R R Ti skup funkcija( ) o ,( ) | i ( ) ,tako da je 1 2( ( ), ( )) W x x ` ograniena sa donje ili gornje strane , ukljuujui uslove (2.33) i ako je :

1 1 2( ) ( , ), x W x x | s | |21 2( , )nx x e R T(2.36) 1 2 1 2( , ) ( ( , )), V x x W x x s ` 21 2( , )nx x e R T(2.37) onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je asimptotski stabilan u odnosu na1x . iv)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 2:nV R R T iskupfunkcija ( ), ( ), ( ) o | zadovoljavajui uslove (2.33) i (2.35) i ako je : 1 2 1( , ) ( ), V x x x s `| | 21 2( , )nx x e R T (2.38) onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je asimptotski stabilan u odnosu na 1xuniformno u 20x . v)Akoje 1nR T = iakopostojekontinualnediferencijalnefunkcije 1 2:n nV R R Ri 1 2:n nW R R Ri skupfunkcija( ) | i( ) , skup funkcije( ) o tako da je 1 2( ( ), ( )) W x x ` ogranienasadonjeiligornjestranesauslovima(2.33)i(2.36)uzuslov(2.37)ondadatinelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je globalno asimptotski stabilan u odnosu na1x . vi)Akoje 1nR T = iakopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 1 2:n nV R R R,skup funkcije( ) iskup fukcija( ) o i( ) | zadovoljavajuiuslove(2.33),(2.36)i(2.37)ondadati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je globalno asimptotski stabilan u odnosu na 1xuniformno u 20x . 20 vii)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija 2:nV R R T ipozitivnekonstante , , , 1 p o | >zadovoljavajui sledee uslove: 1 1 2 1( , ) ,p px V x x x o | s s | | | |21 2( , )nx x e R T (2.39) 1 2 1( , ) ,pV x x x s `| |21 2( , )nx x e R T (2.40) ondadatinelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jeeksponencijalnostabilanuodnosuna1xuniformno u 20x . viii)Ako je 1nR T = i ako postoji kontinualna diferencijalnafunkcija 1 2:n nV R R Ripozitivne konstante , , , 1 p o | >zadovoljavajui uslove (2.39) i (2.40) onda dati nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je globalno eksponencijalno stabilan u odnosu na 1xuniformno u 20x . 21 3. Teorija stabilnosti za nelinearne vremenski promijenljive sisteme Uovomdijelukoristimorezultatekojisupredstavljeniupredhodnompoglavljudabiproirili direktnu metodu Ljapunova za nelinearne vremenski promijenljive dinamike sisteme, time pruamo ujedinjenjeizmeuteorijeparcijalnestabilnostizaautonomnesistemeiteorijestabilnosttiza vremenski promijenljive sisteme. Posebno je razmatran nelinearni vremenski promijenljivi dinamiki sistem predstavljen sledeom relacijom (3.1): ( ) ( , ( )), x t f tx t = `0 0( ) , x t x =0, t t >(3.1) gdje( ) x t eT ,0, t t >n_R T takodaje0eT , | )0 1: ,nf t t R T teslijedidaje( ) , f zajednikikontinuranout ix izasvako| )0 1, , ( , 0) 0 t t t f t e = i( , ) f t jeLipicovlokalitetuxuniformno u t za svakotu kompaktnom podskupu| ) 0, . Primjetimo da unutar i van predpostavke rijeenja( ) x t ,0, t t >u(3.1) postoji i jedinstveno na intervalu| )0 1, t t . Sledea definicija prua osam tipova stabilnosti za nelinearne vremenski promijenljive dinamike sisteme. Definicija 3.1. i)Nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jestabilanpoLjapunovuakozasvako 0 c > i| )00, t e postoji 0( , ) 0 t o o c = > takodaje 0x o < | | teslijedidaje( ) x t c < | | zasvako 0t t >. ii) Nelinearni vremenski promijenljividinamiki sistem (3.1) je uniformno stabilan po Ljapunovu ako zasvako0 c > postoji( ) 0 o o c = > takodaje 0x o < | | teslijedidaje( ) x t c < | | zazasvako 0t t > i za svako| )00, t e . iii) Nelinearni vremenski promijenljivi dinamiki sistem (3.1) je asimptotski stabilan ako je stabilan po Ljapunovuakozasvako | )00, , t e postoji 0( ) 0 t o o = > takodaje 0x o < | | teslijedidaje lim( ) 0.xx t= iv) Nelinearni vremenski promijenljivi dinamiki sistem (3.1) jeuniformno asimptotski stabilan ako je stabilan po Ljapunovu i ako postoji0 o >tako da je 0x o < | | podrazumijevajui da jelim( ) 0xx t=uniformno u 0t i 0x za svako| )00, t e . v)Nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeglobalnoasimptotskistabilanakoje stabilan po Ljapunovu ilim( ) 0xx t= za svako 0nx eR i| )00, t e . vi)Nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeglobalnouniformnoasimptotski stabilanakojeuniformnostabilanpoLjapunovuiakojelim( ) 0xx t= uniformnou 0t i 0x zasvako 0nx eR i | )00, t e . 22 vii) Nelinearni vremenski promijenljivi dinamiki sistem (3.1) je (uniformno) eksponencijalno stabilan akopostojeskalari, , 0 o | o > takodaje 0x o < | | teslijedi 0 0( ) ,tx t x e t t|os > | | | | i | )00, t e . viii)Nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeglobalno(uniformno) eksponencijalnostabilanakopostojeskalari, , 0 o | > takodaje 0 0( ) ,tx t x e t t|os > | | | | i za svako 0nx eRi | )00, t e . Primjetimo da uniformna asimptotska stabilnost je ekvivalentna uniformnoj stabilnosti po Ljapunovu ipostojanje0 o > takodazasvako0 c > postoji( ) 0 T T c = > takoda 0x o < | | i 0t t >podrazumijeva da( ) x t c < | |za svako 0( ) t t T c > +. Za svako poetno stanje u krugu radijusa o u vremenu 0t t =grafik rjeenja sistema (3.1) je unutar datog cilindra za svako 0( ) t t T c = +(slika 3.1). UniformnastabilnostpoLjapunovuiuniformnaasimptotskastabilnostmogubitidodatno karakterizirane (nadopunjene) sa skupomfunkcija i skupom funkcija . Slika 3.1 Uniformna asimptotska stabilnost Teorema 3.1. Razmotrimo nelinearni vremenski promijenljividinamiki sistem (3.1). i) Ako postoji kontinualna diferencijalna funkcija| ) : 0, V R Ti skupfunkcije( ) o tako da je: ( , 0) 0, V t =| ) 0, , t e (3.2) ( ) ( , ), x V t x o s | || ) ( , ) 0, t x e T ,(3.3) ( , ) 0, V t x s` | ) ( , ) 0, t x e T ,(3.4) onda dati nelinearni vremenski promijenljividinamiki sistem (3.1) je stabilan po Ljapunovu. 23 ii) Ako postoji kontinualna diferencijalna funkcija| ) : 0, V R Ti skup funkcija( ) o ,( ) | zadovoljavajui uslove (3.3) i (3.4) i ako je :

( , ) ( ), V t x x | s | | | ) ( , ) 0, t x e T , (3.5) ondadatinelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeuniformnostabilanpo Ljapunovu. iii) Ako postoje kontinualne diferencijalne funkcije| ) : 0, V R Ti | ) : 0, W R Ti skup funkcija( ) o , ( ) | i ( ) takodaje( , ( )) W x `ogranienasadonjeiligornjestrane,ukljuujui uslove (1.2) i (1.3) i ako je : ( , 0) 0, W t = | ) 0, , t e (3.6) ( ) ( , ), x W t x | s | || ) ( , ) 0, t x e T , (3.7) ( , ) ( ( , )), V t x W t x s `| ) ( , ) 0, t x e T , (3.8) onda je nula rjeenja( ) 0 x t za sistem (3.1) asimptotski stabilna. iv)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija| ) : 0, V R T iskupfunkcija( ), ( ), ( ) o | zadovoljavajui uslove (3.4) i (3.5) i ako je : ( , ) ( ), V t x x s `| || ) ( , ) 0, t x e T , (3.9) ondadatinelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeuniformnoasimptotski stabilan. v)Akoje 1nR T = iakopostojekontinualnediferencijalnefunkcije| ) : 0, V R T i | ) : 0, W R T iskupfunkcija( ) | i( ) ,skup funkcije( ) o takodaje( , ( )) W x ` ograniena sa donje ili gornje strane sa (3.2) i (3.3) uz uslove (3.6)-(3.8) onda nula rjeenja( ) 0 x t za sistem (3.1) je asimptotski stabilna. vi)Akoje 1nR T = iakopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija| ) : 0, V R T ,skup funkcije( ) iskup funkcija( ) o i( ) | zadovoljavajuiuslove(3.3),(3.5)i(3.9)ondadati nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeglobalnouniformnoasimptotski stabilan. vii)Akopostojikontinualnadiferencijalnafunkcija| ) : 0, V R T ipozitivnekonstante , , , 1 p o | >zadovoljavajui sledee uslove: ( , ) ,p px V t x x o | s s | | | | | ) ( , ) 0, t x e T ,(3.10) ( , ) ,pVtx x s `| | | ) ( , ) 0, t x e T ,(3.11) 24 ondadatinelinearni vremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)je(uniformno)eksponencijalno stabilan. viii)Ako je 1nR T = i ako postoji kontinualna diferencijalnafunkcija| ) : 0, V R Ti pozitivne konstante, , , 1 p o | > zadovoljavajuiuslove(3.10)i(3.11)ondadatinelinearnivremenski promijenljividinamiki sistem (3.1) je globalno (uniformno) eksponencijalno stabilan. Dokaz. PrvoprimjetimodazahtjevizapostojanjeLjapunovefunkcije| ) : 0, V R T zadovoljava navedeneuslove,islijediizTeoreme2.39dapostojijedinstvenorjeenjezasistem(3.1)zasvako 0t t > .Sledee,nekaje 1 2 1 0 2 0, 1, ( ) ( ), ( ) , n n n x t t x t x t t t = = = =1 1 2 2 1( , ) ( , ) f x x fx x = i 2 1 2( , ) 1 f x x = .Gdjeje 0, t t = T iprimjetimodarjeenje 0( ), , x t t t > zanelinearnevremenski promijenljivedinamikesistema(3.1)moebitiekvivalentnokarakteriziranokaorjeenje 1( ), 0, x > T T nelinearnog autonomnog dinamikog sistema:

1 1 1 2( ) ( ( ), ( )), x f x x = ` T T T1 0(0) , x x =

0, > T

2( ) 1, x = ` T 2 0(0) , x t = gdje 1( ) x ` i 2( ) x `oznaava diferencijalnost u odnosu naT . Dalje primjetimo da za( , 0) 0, 0 f t t = >slijedidaje 1 2(0, ) 0 f x = zasvako 22nx eR .Vanojezapamtitida(3.3)uzrelaciju(3.9)nisu dovoljni uslovi da garantuju asimptotsku stabilnost nelinearnog vremenski promjenljivog dinamikog sistema. Primjer 3.1. Razmotrimo nelinearni vremenski promijenljividinamiki sistem:

1 1 2( ) ( ) ( ),tx t x t e x t= ` 1 10(0) , x x =0, t > (3.12)

2 1 2( ) ( ) ( ), x t x t x t = ` 2 20(0) x x = .(3.13) DabiispitalistabilnostovogsistemarazmotrimopolaznufunkcijuLjapunova 2 21 2( , ) (1 )tV t x x e x= + + . Napomenimo, poto je: 2 2 2 21 2 1 2( , ) 2 , x x V t x x x + s s +1 2( , ) , x x e R R 0, t > (3.14) slijedidaje( , ) V t x pozitivnodefinitna,radijalnoneogranienaizadovoljavauslove(3.3)i(3.5). Sledee, poto je:

2 2 21 1 2 2 2( , ) 2 2 2 3tV t x x x x x e x= + `

22 21 1 2 2 min22 2 2 ( ) ,Tx x x x x Rx R x s + = s (3.15) Teorema2.39jenavedenauknjizi[1]WassimM.Haddad,VijaySekharChellaboina.NonlinearDynamicalSystemsandContorl.Chapter2. Dynamical Systems and Differential Equations, page 96.25 gdje je: 2 101 2R | |= > |\ .

i| |1 2,Tx x x = te slijedi iz vi) i vii) (Teorema 2.6) sa2 p = da je nula rjeenja 1 2( ( ), ( )) (0, 0), x t x t za sistem dat relacijama (3.12) i (3.13), globalno eksponencijalno stabilna. Teorema 3.2. (LaSalle-Yoshizawa Theorem) Razmotrimonelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)ipredpostavimodaje | ) 0, T ,pozitivniinvarijantniskupuodnosuna(3.1)gdjeje( ) , f t kontinualanpoLipicuuxuniformnout .Daljeprepostavimodapostojefunkcije| ) : 0, V R T i 1 2, , : W W W R Ttakodajeje( , ) V kontinualnodiferencijabilnafunkcija, 1( ) W i 2( ) W sukontinualneipozitivno defnitne funkcije,( ) W je kontinualna i nenegatvno definitna funkcija i za svako| ) ( , ) 0, t x e T ,slijedi:

1 2( ) (, ) ( ), Wx V t x W x s s (3.16) ( , ) ( ). V t x W x s `(3.17) Ondapostoji_ TT0takodazasvako| )0 0( , ) 0, , t x e T0{ } ( ) : ( ) 0 x t x W x e = = T kad t . Ako , dodatno, nR T i 1( ) W je radijalno ograniena onda za svako| )0 0( , ) 0, ,nt x e R{ }1() : ( ) 0nx t x Wx e = = R kadt . Dokaz. DokazjedirektnaposlijedicaTeoreme2.2pri 1 2 1 0 2 0, 1, ( ) ( ), ( ) , n n n x t t x t x t t t = = = =1 1 2( , ) ( , ) f x x f t x = , 2 1 2( , ) 1 f x x =

i1 2( , ) ( , ) V x x V t x = . AkojeW homomorfnoi{ }1(0) 0, W= uspostavljavezupremanastanku.Alternativno,akou relaciji (3.17),( , ) 0, V t x s`| ) ( , ) 0, t x e T , i ako integral u( , ) V t x`zadovoljava nejednakost(3.18) ( , ( , , )) (, ),ttV s t x d V t xco+s }` T T T (3.18) gdje je(0,1) o e , za svako 0t t >ixeT , i neko0 c > , onda uniformna asimptotska stabilnost nula rjeenja( ) 0 x t sistema (3.1) moe biti uspostavljena. Teorema 3.3. Predpostavimo da je nelinearni vremenski promijenljivi dinamiki sistem (3.1) uniformno asimptotski stabilan i| ) : 0,nf R Tje kontinualno difrencijabilna funkcija. Neka0 o > budetakoda(0)oc B T sadranoudomenusa(3.1)iusvojimodaje 1fxccogranien na (0)oB uniformnout .Ondapostojikontinualnadiferencijabilnafunkcija | ) : 0, (0) Vo R B i skup funkcija( ), ( ) o | i( ) tako da slijedi: ( ) ( , ) ( ), x V t x x o | s s | | | | | ) ( , ) 0, (0) t xoe , B(3.19) 26 1 2 1( , ) ( ), V x x x s `| || ) ( , ) 0, (0) t xoe , B(3.20) Teorema 3.4. Predpostavimodajenelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)eksponencijalno stabilanii| ) : 0,nf R T jekontinualnodifrencijabilnafunkcija.Neka0 o > budetakoda (0)oc B T i usvojimoda je 1fxcc ogranien na (0)oBuniformno ut . Onda za svako1, p > postoji kontinualnadiferencijabilnafunkcija| ) : 0, (0) Vo R B ipozitivnekostante, o | i takoda slijedi: (, ) ,p px V t x x o | s s | | | || ) ( , ) 0, (0) t xoe , B (3.21) ( , ) ,pVtx x s `| |

| ) ( , ) 0, (0) t xoe , B(3.22) Konano,navedenesuLjapunovovaiitova(Chetav)teoremanestabilnostizavremenski promijenljive sisteme. Teorema 3.5. Razmotrimonelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1).Predpostavimodapostoji kontinualna diferencijabilna funkcija | ) : 0, V R T i skup funkcija( ) | i( ) tako da je : ( , 0) 0, V t =| ) 0, , t e (3.23) (, ) , V tx x | s | |

| ) ( , ) 0, t x e T ,

(3.24)

( , ) ( ), V t x x >`| |

| ) ( , ) 0, t x e T ,

(3.25)

Dalje predpostavimo da za dovoljno malo0 o >postoji vrijeme 00 t >i 0x eTtako da 0x o < | | i 0 0( , ) 0 V t x > . Onda je nula rjeenja( ) 0 x t sistema (3.1) nestabilna. Teorema 3.6. Razmotrimonelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1).Predpostavimodapostoji kontinualnadiferencijabilnafunkcija| ) : 0, V R T iskupfunkcija( ) | ,ifunkcija | ) : 0, , W R T vrijeme 00, t > i skalari, 0 c > tako da je : 0( , 0) 0, V t = (3.26) (, ) , V tx x | s | |

| ) ( , ) 0, t x e T , (3.27) ( , ) 0, V tx >

| ) ( , ) 0, (0) t xce , B

(3.28) ( , ) ( , ) ( , ). V t x V t x W t x > +` (3.29)

Dalje predpostavimoda za dovoljno malo0 o >postoji vrijeme 00 t >i 0x eTtako da 0x o < | | i 0 0( , ) 0 V t x > . Onda je nula rjeenja( ) 0 x t sistema (3.1) nestabilna. 27 Teorema 3.7. Razmotrimonelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1).Predpostavimodapostoji kontinualnadiferencijabilnafunkcija| ) : 0, V R T iskupfunkcija( ) ,skalar0 c > i otvoreni skup(0)c_ B tako da je :

( , ) 0, V tx> | ) ( , ) 0, t x e ,

(3.30)

0s u p s u p ( , ) ,t xV t x> e< (3.31) 0 , ec (3.32) ( , ) 0, V tx=

| ) ( , ) 0, ( (0)) t xce c , B (3.33) ( , ) ( ), V t x x >`| |

| ) ( , ) 0, t x e , (3.34) Onda je nula rjeenja( ) 0 x t sistema (3.1) nestabilna. 28 4. Lagranova stabilnost, ogranienost ikonana ogranienost Upredhodnompoglavljuupoznalismosesakonceptimastabilnostiiparcijalnestabilnostiza nelinarne dinamike sisteme. U odreenim ininjerskim aplikacijama, kako god, vie je prirodno da se utvrdi da li je za svaki poetni uslov sistema u sferi radijusao rjeenje nelinearnog dinamikog sistema ogranieno. Ovo nas dovodi do zakljuka o Lagranovoj stabilnosti, ogranienosti i konanoj ogranienosti. U ovom dijelu predstavljena je teorema o Ljapunovu za ograniene i konano ograniene nelinearne dinamike sisteme. Definicija 4.1. i)Nelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jestabilanpoLagranuuodnosuna 1x akozasvako 10x eT i 220nxeRpostoji 10 20( , ) 0 x x c c = > tako da je 1( ) , x t c < | | 0 t > ii)Nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je ogranien u odnosu na 1xuniformno u 2x ako postoji 0 > takoda,zasvako(0, ) o e postoji( ) 0 c c o = > takoda 10x o < | | podrazumijeva1( ) x t c < | |za0 t > . iii) Nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je konanoogranien u odnosu na 1xuniformno u2xsa granicomc akopostoji0 > takoda,zasvako(0, ) o e postoji( , ) 0 T T o c = > takoda 10x o < | | podrazumijeva1( ) x t c < | | za0 t > .Nelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)jekonanoogranienuodnosuna 1x uniformnou 2x sagranicomc akozasvako(0, ) o e postoji ( , ) 0 T T o c = > tako da10x o < | |podrazumijeva da je 1( ) , x t c < | | t T >. Primjetimo da ako je nelinearni dinamiki sistem globalno ogranien u odnosu na 1xuniformno u2xonda je stabilan po Lagarnu u odnosu na 1x . Ako nelinearni dinamki sistem je (globalno) ogranien uodnosuna 1x uniformnou 2x ondapostoji0 c > takodaje(globalno)konanoogranienu odnosuna 1x uniformnou 2x sa granicomc .Akonelinearnidinamkisistemje(globalno) ogranien u odnosu na 1xuniformno u 2xsa

granicomc onda je (globalno) konano ogranien u odnosu na 1xuniformno u 2x . Sledei rezultati prezentuju Ljapunov-like teoremu za ogranienost i konanu ogranienost.Definiimo 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ), V x x V x x fx x '`= gdjeje 1 2 1 1 2 2 1 2( , ) ( , ) ( , )TT Tfx x f x x f x x( = zadatu kontinualnu diferencijalnu funkciju 2:nV R R T . Teorema 4.1. Razmotrimonelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7).Predpostavimodapostojikontinualna diferencijalna funkcija 2:nV R R Ti skup funkcija( ) o ,( ) | tako da je : 1 1 2 1( ) ( , ) ( ), x V x x x o | s s | | | | 1x eT , 22nx eR

(4.1) 1 2( , ) 0, V x x s` 1x eT , 1, x > | |

22nx eR (4.2) 29 gdjeje0 > takoda 1( )(0)o qc B T zaneko( ) | > .Akonelinearnidinamkisistemje (globalno)ogranienuodnosuna 1x uniformnou 2x .Zasvako(0, ), o e10(0) xoeBpodrazumijeva da je1( ) x t c < | |za0 t >gdje se: 11( ( )), ( , ),( )( ), (0, ],o | o o c c oo q o e=e=(4.3) i { } 1( ( ))sup 0: (0)rro |> c = B T .Akoudodatnom 1neR T i( ) o jeskup fukcija,onda nelineranidinamikisistem(2.6)i(2.7)jeglobalnoogranienuodnosuna 1x uniformnou 2x iza svako110,nx eR1( ) , x t c < | | 0 t > gdje jecdato kao (4.3) sa 10x o =| | . Dokaz. Nekaje (0, ] o e ipredpostavimo10x o < | | .Akoje1( ) , x t s | | 0 t > ondaslijediiz(4.1)daje1 11( ) ( ( )) ( ), x t o | o q s s s | | 0 t > .Alternativnoakopostoji0 T > takoda 1( ) x T > | |ondaslijediizkontinualnostiza 1( ) x dapostojiT < T takodaje 1( ) x = | | T i 1( ) , x t > | || | , t T e T . Zbog toga slijedi iz (4.1) i (4.2) da je:

1 1 2 1 2( ( ) ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ) , x T V x T x T V x x o | q s s s s | | T Ttopodrazumijevadaje 11( ) ( ) x T o qs | | .Nekaje( , ) o e ipredposatavimo 10(0) xoeB i 10x > | | . Za svako 0 t >tako da je1( ) , 0, x t t t ( > e | | islijedi iz (4.1) i (4.2) da je: 1 1 2 10 20( ( ) ) ( ( ), ( )) ( , ) ( ), x T V x t x t V x x o | o s s s | | 0, t > topodarazumijevadaje 11( ) ( ( )), x t o | os | |0, t t( e .Akopostoji0 T > takodaje 1( ) x T s | |onda slijedi kao i u dokazu za predhodni sluaj da je 11( ) ( ), x t t T o qs > | | . Zbog toga ako je 10(0) \ (0) xo eB B onda je 11( ) ( ( )), x t o | os | | 0 t > . Konano ako 1nR T = i( ) o je skup funkcijeslijedidaje( ) | skup funkcijeizbogtogaje = .Zbogtogajenelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) globalno ogranienu odnosu na 1xuniformno u 2x .Teorema4.2. Razmotrimonelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7).Predpostavimodapostojikontinualna diferencijabillnafunkcija 2:nV R R T iskupfunkcija( ) o ,( ) | zadovoljavajuiuslove (4.1). Unastavkupredpostavimopredpostavimodapostojikontinualnafunkcija: W R T takodaje1( ) 0, W x >10x > | |i

1 2 1( , ) ( ), V x x W x s ` 1x eT ,

1, x > | |

22nx eR (4.4) 30 gdje je 0 >tako da 1( )(0)o qc B T za neko( ) q | > . Onda je nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) konano ogranien u odnosu 1xna uniformno u 2x sa granicom 1( ) c o q= . Na osnovu ovoga je 11limsup ( ) ( ( ))tx t o | s | | .Ako,udodatnom, 1nR T = i( ) o jeskup funkcijeonda nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7) je globalno konano ogranien u odnosu na 1xuniformno u 2x sa granicomc . Dokaz. Nekaje (0, ] o e ipredpostavimo10x o < | | .KaoiudokazuzaTeoremu4.1slijedidaja 11( ) ( ) , 0 x t t o q cs = > | | .Neka( , ) o e gdjeje { } 1( ( ))sup 0: (0)rro |> c = B T i predpostavimo 10(0) xoeB i 10x > | | .UovomsluajuslijediizTeoreme4.1daje 11( ) ( ( )), x t o | os | | 0 t > . Prepostavimo, kao apsurd, da je 11( ) ( ), x t | qs | | 0 t > ili ekvivalentno 1 11( ( )) ( )( ) (0) \ (0), x to | o | q e = O B B 0 t > .PotojeO kompaktnoi( ) W jekontinualnoi 1( ) 0, W x >11( ) ( ) , x t | q > > | | teslijediizTeoreme2.13da 11min ( ) 0xk W xe> =Opostoji.Na osnovu ovog slijedi iz relacije (4.4) da je :

1 2 10 20( ( ), ( )) ( , ) , V x t x t V x x kt s 0 t >(4.5) to podrazumijeva da je: 1 10( ( ) ) ( ) ( ) , x T x kt kt o | | o s s | | | | 0 t > (4.6) Nekaje( ) / t k | o > teslijedidaje 1( ( ) ) 0, x t o < | | tojekontradiktorno.Naosnovutogapostoji ( , ) 0 T T o q = > takodaje 11( ) ( ) x T | q< | | .TakoizTeoreme4.1slijedidaje 1 1 11( ) ( ( ( ))) ( ), x t t T o | | q o q s = > | | ,toosiguravadajenelinearnidinamikisistem(2.6)i (2.7) konano ogranien u odnosu 1xna uniformno u 2x sa granicom1( ) c o q= . Dalje slijedi da je 11limsup ( ) ( ( ))tx t o | s | | .Konanoako 1nR T = i( ) o jeskup funkcijeondaslijedidaje ( ) | jeskup funkcijeizbogtogaje = .Stogajenelinearnidinamikisistem(2.6)i(2.7)je globalno konano ogranien u odnosu na 1xuniformno u 2x sa granicomc . Definicija 4.2. i)Nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jestabilanpoLagranuakozasvako 0nx eR i 0nt eRpostoji 0 0( , ) 0 t x c c = > tako da je ( ) , x t c < | |0t t > . ii)Nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeuniformnoogranienakopostoji 0 > takoda,zasvako(0, ) o e postoji( ) 0 c c o = > takoda 0x o < | | podrazumijeva( ) , x t c < | |0t t > .Nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeglobalnouniformno ogranienakozasvako(0, ) o e postoji( ) 0 c c o = > takoda 0x o < | | podrazumijeva( ) , x t c < | |0t t > . Teorema2.13jenavedenauknjizi[1]WassimM.Haddad,VijaySekharChellaboina.NonlinearDynamicalSystemsandContorl.Chapter2. Dynamical Systems and Differential Equations, page 44.31 iii)Nelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1)jeuniformnokonanoograniensa granicomc akopostoji0 > takoda,zasvako(0, ) o e postoji( , ) 0 T T o c = > takoda 0x o < | | podrazumijeva ( ) x t c < | | za 0t t T > + .Nelinearnivremenskipromijenljividinamiki sistem(3.1)jekonanoograniensagranicomc akozasvako(0, ) o e postoji( , ) 0 T T o c = >tako da0x o < | |podrazumijeva da je ( ) , x t c < | |0t t T > + . Za sledee rezultate definiimo: ( , ) ( , ) ( , )V VV t x t x f t xt xc c+c c`=gdje je : V R R Tdata kao kontinualna diferencijabilna funkcija. Posljedica 4.1. Razmotrimonelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1).Predpostavimodapostoji kontinualna diferencijabilna funkcija: V R R Tiskup funkcija( ) o ,( ) | tako da je: ( ) ( , ) ( ), x V t x x o | s s | | | | xeT , t eR (4.7) ( , ) 0, V t x s` xeT , , x > | |

t eR

(4.8)

gdje je0 > tako da 1( )(0)o qc B T za neko( ) q | > . Onda je nelinearni vremenski promijenljivi dinamki sistem (3.1) je uniformno ogranien. Ako u dodatnom neR T i( ) o jeskup funkcija, onda nelinerani vremenski promijenljivi dinamiki sistem (3.1) je globalno uniformno ogranien. Dokaz. PredhodnorjeenjejedirektnaposlijedicaTeoreme4.1.Sledee,nekaje 1, n n =21, n =1 0 2 0( ) ( ), ( ) , x t t x t x t t t = =1 1 2 2 1( , ) ( , ) f x x fx x = i 2 1 2( , ) 1 f x x = .Gdjeje 0, t t = T i primjetimodarijeenje 0( ), , x t t t > zanelinearnevremenskipromijenljivedinamikesistema(3.1) moebitiekvivalentnokarakteriziranokaorijeenje 1( ), 0, x > T T nelinearnogautonomnog dinamikog sistema:

1 1 1 2( ) ( ( ), ( )), x f x x = ` T T T1 0(0) , x x =0, > T

2( ) 1, x = ` T 2 0(0) , x t = gdje 1( ) x ` i 2( ) x `oznaava diferencijalnost u odnosu naT . Posljedica 4.2. Razmotrimonelinearnivremenskipromijenljividinamikisistem(3.1).Predpostavimodapostoji kontinualna diferencijabilna funkcija: V R R Tiskup funkcija( ) o ,( ) | tako da relacija (4.7) predstavlja uslov. Dalje predpostavimo da postoji kontinualna funkcija: W R T tako da je ( ) 0, W x > x > | |i ( , ) ( ), V t x W x s `xeT ,

, x > | | , t eR (4.9) 32 gdje je 0 >tako da 1( )(0)o qc B T za neko( ) q | > . Onda je nelinearni dinamiki sistem (2.6) i (2.7)konanoogranienuodnosu1x nauniformnou 2x sagranicom 1( ) c o q= .Naosnovuovoga je 1limsup ( ) ( ( ))tx t o | s | | .Ako,udodatnom, nR T = i( ) o jeskup funkcijeonda nelinearni vremenski promijenljivi dinamiki sistem (3.1) je globalno unifomno konano ogranien sa granicomc . Definicija 4.3. Definiimo nelinearni autonomni dinamiki sistem:

( ) ( ( )), x t fx t = `0(0) , x x =0,xt e

1(4.10) i)Nelinearnidinamikisistem(4.10)jestabilanpoLagranuakozasvako 0nx eR postoji 0( ) 0 x c c = > tako da je ( ) , x t c < | | 0 t > . ii)Nelinearnidinamikisistem(4.10)jeogranienakopostoji0 > takoda,zasvako(0, ) o e postoji( ) 0 c c o = > takoda 0x o < | | podrazumijeva ( ) , x t c < | | 0 t > .Nelinearnidinamiki sistem(4.10)jeglobalnoogranienakozasvako(0, ) o e postoji ( ) 0 c c o = > takoda0x o < | |podrazumijeva ( ) , x t c < | | 0 t > . iii)Nelinearnidinamikisistem(4.10)jekonanoograniensagranicomc akopostoji0 > tako da,zasvako(0, ) o e postoji( , ) 0 T T o c = > takoda 0x o < | | podrazumijeva ( ) x t c < | | za t T > .Nelinearnidinamikisistem(4.10)jekonanoograniensagranicomc akozasvako (0, ) o e postoji( , ) 0 T T o c = > tako da 0x o < | |podrazumijeva da je ( ) , x t c < | | t T > . Posljedica 4.3. Razmotrimonelinearnidinamikisistem(4.10).Predpostavimodapostojikontinualna diferencijabilna funkcija: V R Tiskup funkcija( ) o ,( ) | tako da je: ( ) ( ) ( ), x V x x o | s s | | | |

xeT ,

(4.11) ( ) ( ) 0, Vx fx ' s xeT ,, x > | | (4.12)

gdje je0 > tako da 1( )(0)o qc B T za neko( ) q | > . Onda je nelinearni dinamki sistem (4.10) je ogranien. Ako u dodatnom neR T i ( ) V x prix | |onda nelinerani dinamiki sistem (4.10) je globalno ogranien. Posljedica 4.4. Razmotrimonelinearnidinamikisistem(4.10).Predpostavimodapostojikontinualna diferencijabilnafunkcija: V R T iskup funkcija( ) o ,( ) | sauslovimadatimurelaciji(4.11) i ( ) ( ) 0, Vx fx ' | |

(4.13) 33 gdje je 0 >tako da 1( )(0)o qc B T za neko( ) q | > . Onda je nelinearni dinamiki sistem (4.10) konano ogranien sa granicom 1( ) c o q= . Na osnovu ovoga je 1limsup ( ) ( ( ))tx t o | s | | . Ako , u dodatnom, nR T =i( ) V x prix | |onda nelinerani dinamiki sistem (4.10) je globalno konano ogranien sa granicomc . Dokaz. Dokaz je direktna posljedica posljedice 4.2. Posljedice4.3.i4.4.predstavljajuLjapunov-liketeoremuzaogranienostikonanuogranienost nelinearnogdinamikogsistema.Dabiobjasnilioverezultaterazmotrimonelinearnidinamiki sisitem(4.10)ipredpostavimodapostojipozitivnodefinitna,radijalnoograniena,kontinualna diferencijabilna funkcija:nV R Ri0 >tako da je : ( ) 0, V x s` nx eR , , x > | |

0, t > (4.14) U nastavku neka( ) o i( ) | budu skup funkcija tako da je : ( ) ( ) ( ), x V x x o | s s | | | |

nx eR ,

(4.15) U ovom sluaju moe se pokazati da je skup{ }: ( ) ( )nx V x| e s = R Tpozitivno invarijantan.Da biovopokazalipredpostavimo,kaoapsurd,dapostojitrajektorija( ), 0, x t t > takoda(0) xeT i ( ) x TeT za neko0 T > . Ako(0) xeB onda slijedi( ) ( ) ( ) V x x | | s s | | . Poto je( ), 0 x t t >kontinualnoslijedidapostoji 0 t > takodaje ( ()) ( ) V x t | = i ( ) , (, ], x t t TeT izbogtogaje ( ) , ( , ] x t t T > | | . Slijedi iz (4.14) da je : ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ),TtV x T V x t V x t dt V x t | | < = + s =}` tojekontradiktorno.Zbogtogaako(0) xeT onda( ) , 0 x t te > T .Slinojeza, o > ako (0) (0) xoeB ondamoebitipokazanotoda { }( ) : ( ) ( )nx t x V xo| o e e s = R T .Sledeeako xoeT ondaje( ) ( ) ( ) x V x o | o s s | | topodrazumijevada(0) xceB gdjeje 1( ( )) c o | o= . Zbog toga ako(0) (0) xoeBonda( ) (0), x tceB 0 t > (slika 4.1). Ako relaciju (4.14) zamijenimo sa: ( ) 0, V x | |

0, t >

(4.16) ondakoristeiidentineargumentekaoupredhodnomsluajumoesepokazatidaako (0) (0) xoeB onda(0) (0), 0 x toe > T .Moesepokazatidazasvakoq > trajektorijapoinjeu (0)oB ulazei u skup { }: ( ) ( )nx V x| e s = R T u konanom vremenu. Zbog toga trajektorija ili 34 ulaziu T ukonanomvremenuiliprilazi T kadt ,to,potoje T pozitivnoinvarijantno, podrazumijeva da trajektorija konano ulazi u(0)cB gdje je 1( ( )) c o | = (slika 4.2).

Slika 4.1 Prikaz skupova(0) (0) o o cc c c c B T B TT i ograniene trajektorije.

Slika 4.2 Prikaz skupova(0) (0) (0) c o oc c c c B T B B T i konano ograniene trajektorije. 35 5. Uvod u stabilnost stanja sistema Uovompoglavljuupoznatemosesapojmomstabilnostistanjaukljuujuiuznemireninelinearni dinamiki sistem. Razmotrit emo nelinearni dinamiki sistem definisan sledeom relacijom: ( ) ( ( ), ( )), x t F x t u t = ` 0(0) , x x = 0, t > (5.1) gdje( ) ,nx t eR 0, t > ( ) ,mu t eR 0, t > i:n m nF R R R jeLipicovkontinuitetna n m R R . Ulazu je predpostavljen kao djelimina kontinualna funkcija vremena sa vrijednostima u mR tako da je| ) : 0,mu R .Prepostavimodajenelinarnidinamikisistem(5.1)sa( ) 0 u t globalno asimptotskistabilan,ondaakojeogranienulaz( ), u t 0, t > slijedidajestanje( ), x t 0, t >ogranieno. Za linerani dinamiki sistem ( ) ( ) ( ), x t Ax t Bu t = + ` 0(0) , x x =0, t > (5.2) gdje jeAHurwitz-a matrica te slijedi da je

( )0( ) (0) ( )tAt A tx t e x e Bu d= +}TTT .(5.3) Koristeiinjenicudazaasimptotskustabilnumatricu,n nAeR , 0,At te e t|s > | | gdjeje | |submultiplikativnamatrinanorma,0 > i0 ( ) A | o < < gdjeje { } ( ) max Re : ( ) , A spec A o e = te slijedi daje : ( )00( ) ( )tt tx t e x e B u d| | s +}| | | | | | | |TT T 00sup ( ) ,tte x B u||s ss + | | | | | |TT (5.4) ( ), u t 0, t > jeogranienoondaje( ), x t 0, t > takoeogranieno.Primijetimodaako sluajukadaje 00, x = stanje proporcionalno odgovara ulaznoj granici. Za nelinearne asimptotski stabilne dinamike sistemesaogranienimulazomnemoradapodrazumijevadajestanjeogranieno.Dabiovo dokazali razmotrimo sledei sistem: 2( ) ( ) ( ) ( ), x t x t x t u t = + `0(0) , x x =0, t >(5.5) kojijeasimptotskistabillanza( ) 0 u t .Usluajukadje(0) 2 x = i( ) 1 u t rijeenjesistema, definisanogrelacijom(5.5),datojekao( ) 1 (1 0.5 )tx t e = tojeneogranienoizapravoima konano vrijeme smirivanja. 36 Definicija 5.1. Za nelinearni dinamiki sistem dat kao (5.1) kaemo da ima stabilan ulaz ako za svako 0nx eR i svaki kontinualni ogranieni ulaz( ) ,mu t eR 0, t >rjeenje sistema (5.1) postoji i zadovoljava: 00( ) ( , ) sup ( ) ,tx t x t u q s s| |s + |\ .| | | | | |TT 0, t > (5.6) gdje( , ), 0, s t s q > gdje je vrstafunkcije i( ), 0, s s >je vrsta funkcije. Nejednakostulaznogstanja(5.6)garantujedajezaogranieniulaz( ) ,mu t eR stanje( ), x t 0, t >ogranieno.Kadset poveavastanje ( ), x t 0, t > jeogranienosa 0sup ( )tu>| | T vrstomfunkcije. U sluaju kad je( ) 0 u t relaciju (5.6) piemo kao :

0( ) ( , ), x t x t q s | | | |(5.7) izbogtogastabilnostulaznogstanjapodrazumijevadajenularjeenja ( ) 0 x t sistema(5.1)(pri ( ) 0 u t )globalnoasimptotskistabilna.Dodatno(5.6)podrazumijevadaakolim( ) 0tu t= onda slijedidajelim( ) 0tx t= .Dabiovodokazalineka0 > budetakoda( ) / 2 c s zadato0 c > . Potojelim( ) 0tu t= slijedidapostoji 10 t > takodaje 1( ) , u t t t s > | | .Potoje ( ), x t 0, t >ogranieno slijedi : 1 1 1() ( , ) ( ) ( , ) / 2, x t t t t t t q q o c s + s + | | | |1, t t > (5.8) zaneko0 o > .Poto 1( , ) 0 t t q o prit slijedidapostoji 20 t > takoda( , ) / 2, t q o c s2t t > .Zbogzogaiz(5.8)slijedida( ) / 2, x t t c s > | | T gdjeje 1 2max( , ), tt = T topodrazumijeva dajelim( ) 0tx t= .Sledeateoremanamdajepotrebne idovoljneuslovestabilnostiulaznogstanja za nelinearni dinamiki sistem. Teorema 5.1. Nelinearnidinamikisistem(5.1)imastabilnoulaznostanjeakoisamoakopostojikontinuana diferencijabilnaradijalnoneograniena,pozitivnodefinitnafunkcija:nV R R ikontinualne funkcije1 2, etakve da za svako,mu eR slijedi: 1( ) ( , ) ( ), Vx F x u x ' s | | 2( ) x u > | | | | (5.9) Dokaz. Zauslove(5.9)neka( ) u budetakoda( ) ,mu t eR 0 t > .Sa( , ) ( , ), f t x F x u = ( , ) ( ), V t x V x =1( ) ( ), W x x = | | i 2(||| |||), u = gdje je |0, )||| ||| sup ( ) ,tu u te = | | slijedi iz poslijedice 4.2 da postoji10 t >tako da je: ( ) (||| |||), x t u s | |1t t > (5.10) 37 gdjeje 12 o | = igdjeje( ), ( ) o | skup funkcijatakodaje ( ( ) ) ( ) ( ( ) ), x t V x x t o | s s | | | |nx eR .Sledee,Bezgubitkanageneralizacijineka 10 t > bude tako da je 2( ) (||| |||), x t u > | |1t t s . Tako da je

()( ( ))( ) ( , ( )) |x x tdV x tVx F x u tdt=' = 1( ( ) ) x t s | |

11( ( , )), V x t |s a.e. 1t t s.(5.11)Primjetimodarelacija(5.11)garantujedaje( ) x t definisanozasvako0 t > .Zatimslijediiz komparacije(poreenja)principada(5.11)podrazumijevadapostoji funkcija q takodaje 0 ( ( )) ( ( ), ), V x t V x t q s2t t s . Zbog toga slijedi:

0( ) ( , ), x t x t q s | | | |1t t s , (5.12) gdjeje 1 (, ) ( ( ), ) s t s t q o q |= .Sadslijediiz(5.10)i(5.12)daje 0( ) ( , ) (||| |||), x t x t u q s + | | | |0 t > . Poto je0x i ( ) u odreeno slijedi da je ulazno stanje stabilno. Primjer 5.1. Razmotrimo nelinearni dinamiki sistem: 21 1 2( ) ( ) ( ), x t x t x t = + `1 10(0) , x x = 0, t > (5.13) 2 2( ) ( ) ( ), x t x t u t = + ` 2 20(0) x x = . (5.14) Dabisepokazalodasistem(5.13)i(5.14)imastabilnaulaznastanjarazmotritemoradijalno neogranienu, pozitivno definitnu funkciju 2 4 11 2 1 2 2 4( , ) , V x x x xo= + 0, o >inapomenimo da 2 31 2 1 1 2 2 2( , ) ( ) ( ) V x x x x x x x u o = + + +`

2 2 4 4 31 1 2 2 2 2(1 ) , x x x x x x u o c oc o = + + (0,1), c e

2 2 41 1 2 2(1 ) , x x x x o c s + | |2| | ,uxc>

121 2 122,Txx x Rx ( ( s ( | |2| | ,uxc> (5.15) gdje je:

11 1/ 21/ 2 (1 )Ro c | |= | \ .. 38 Sad,izaberemo1/ 4(1 ) o c > osiguravajuidaje 10, R > izbogtogaje 1 2( , ) 0, V x x . Sledee, za | |2| | ,uxc< slijedi da je 2 2 4 4 31 2 1 1 2 2( , ) | | / V x x x x x x u o o c s + +` 2 2 4 2 4 31 1 2 2 1(1 ) | | / x x x x x u c o c o c = + +

121 2 222,Txx x Rx ( ( s ( 22| | 1/ 21| | ,uxco > (5.16) gdje je : 21 1/ 21/ 2Rco | |= |\ .. Napomenimodasa1/ 4(1 ), o c > 20, R > izbogtogaje 1 2( , ) 0, V x x .Neka { }min 1 min 2min ( ), ( ) R R o = i 1/ 22( ) ,oc =22ss0 > s .Relacije(5.15)i(5.16)podrazumijevajudaje 2 41 2 1 2( , ) ( ), V x x x x o s +`2( ), x u > izbogtogaslijediizTeoreme5.1dasistem(5.13)i(5.14) ima stabilna ulazana stanja. 39 6. Stabilnost nelinearnih dinamikih sistema u konanom vremenu Pojmoviasimptotskeieksponencijalnestabilnostiuteorijidinamikihsistemapodrazumijeva konvergencijutrajektorijesistemadoravnotenogstanjaprekobeskonanoghorizonta.Umnogim aplikacijamapoeljnojadadinamikisistemposjedujevlastitetrajektorijekojekonvergirajuprema Ljapunovom ravnotenom poloaju i moraju to uiniti u konanom vremenu prije nego asimptotski. U ovom poglavlju predstavljene su teoreme Ljapunova za stabilnost autonomnih sistema u konanom vremenu. Posebno je razmotren sledei nellinearni dinamiki sistem dat kao: ( ) ( ( )), x t fx t = ` 0 0( ) , x t x =0,xt e

1(6.1) gdjeje 0( ) , ,nxx t t e _ e R T 1 jevektorstanjasistema, 0x1 jemaksimalniintervalpostojanja rjeenja( ) x t , T jeotvoreniskup,0 , eT (0) 0, f = i( ) f jekontinualnonaT .Usvojimada sistem(6.1)posjedujejedinstvenorijeenjeunekom vremenuzasvakopoetnostanjeprihvatajui mogunost da je poetak dat u sledeem smislu. Za svako{ } \ 0 xeT postoji0x > T tako da ako su|1 1: 0, ) T T y i|2 2: 0, ) T T y dva rjeenja sistema (6.1) pri tome je 1 2(0) (0) , x = = y y onda je { }1 2min ,x s T T T i 1 2( ) ( ) t t = y y za svako|0, )xt e T . Bez gubitka na optosti moemo usvojiti da za svako x ,xT je izabrano tako da bude najvei broj uskupu +R . Teorema 6.1. Razmotrimonelinearnidinamikisistem(6.1).Prepostavimodapostojikontinualnadiferencijabilna funkcija: V R T tako da je ( ) ( ) ( ( )), Vx fx V x ' s w, x eT (6.2) gdje je: R R w kontinualna funkcija i( ) ( ( )), t t = ` z w z 0 0( ) , t = z z 0, t e

1z (6.3) predstavljajedinstvenorjeenje( ), t z0t e

1z.Akoje | |0 00 0,xt t + _ T 1 1zkompaktanintervali 0 0 0( ) , V x s eR zz onda slijedi da je( ( )) ( ), V x t t s z | |0 0, t t t e +T . Dokaz. Razmotrimo familiju dinamikih sistema datih kao:

1( ) ( ( )) , t t = + `nz w z 0 0( ) , t = z z (6.4) gdje +eZ n i ,0t e

1n z. Sad slijedi da postoji kompaktan interval | |0 00 0,xt t + _ T 1 1ztako da je( ) 0( , ), t s zn| |0 0, t t t e +T definisanozadovoljnovelikon .DaljeslijediizLeme3.1da ( ) 0( , ) ( ) t t s z znpri n unifomno na| |0 0, t t +T gdje je( ), t z0t e

1zrjeenje sistema (6.3). Lema3.1jenavedenauknjizi[1]WassimM.Haddad,VijaySekharChellaboina.NonlinearDynamicalSystemsandContorl.Chapter3. Stability Theory for Nonlinear dynamical Systems, page 162.40 Daljepokazateseda ( ) 0( ( )) ( , ), V x t t s s zn, > n m | |0 0, t t t e +T gdjejem dovoljnovelikodaje ( ) 0( , ) s tnz definisanona| |0 0, t t +T zasvako.Primjetimodajeza 0, t t =0 0 0 ( ) 0 0( ) ( ( )) ( , ) V x V x t t = s = z s zn.Predpostavimo,kaoapsurd,dapostoji| |1 2 0 0, , tt t t e +T( ) 0( ( )) ( , ), V x t t > s zn( |12t t t e i 1 ( ) 1 0( ( )) ( , ), V x t t = s znzaneko> n m.Potoje( ) V kontinualno diferencijabilna slijedi da je 1 ( ) 1 0 ( ) 1 01( ( )) ( , ) ( ( , )) V x t t t > = +`` s z w s zn nn

1 11 1( ( ( ))) ( ( ( ))) , V x t V x t = + > +n nw w(6.5) tojeukontradikciji.Zatotoje ( ) 0( ( )) ( , ), V x t t s s zn| |0 0, , t t t e +T , > n m izatotoje ( ) 0( , ) ( ) t t s z znunifomno na| |0 0, t t +T tim je dokazan rezultat. Definicija 6.1. Razmotrimonelinearnidinamikisistem(6.1).Nularjeenja( ) 0 x t sistema(6.1)jestabilnau konanomvremenuakopostojiotvorenisusjedniskup_ AT poetnetakeifunkcija { } ( ) : \ 0 0, T A koja se naziva funkcija definisanog vremena, tako da slijedi: i)Konvergencijakonanogvremena.Svako { } \ 0, ( )xx t e s A jedefinisanona | ) { } 0, ( ) , ( ) \ 0xT x t e s A za sve vrijednosti| ) 0, ( ) , t T x e i ( )lim ( , ) 0t T xx t= s . ii)StabilnostLjapunova.Zasvako0 c > postoji0 o > takoda(0)oc B A izasvako { } (0) \ 0, xoeB ( , ) (0) t xce s B za svako| ) 0, ( ) t T x e . Nularjeenja ( ) 0 x t sistema(6.1)jeglobalnostabillnaukonanomvremenuakojestabilnau konanom vremenu sa n= = R A T . Primjetimodaakojenularjeenja( ) 0 x t sistema(6.1)stabilnaukonanomvremenuondajei asimptotski stabilna i zbog toga je stabilnost u konanom vremenu stroija stavka nego asimptotska stabilnost.Teorema 6.2.Razmotrimonelinearnidinamikisistem(6.1).Prepostavimodapostojikontinualnadiferencijabilna funkcija: , V+R T realni brojevi0 c > i(0,1) o e kao i susjedni skup_ / T tako da je : (0) 0, V =(6.6) ( ) 0, V x >{ } \ 0, xe/ (6.7) ( ) ( ) ( ( )) , Vx fx c V xo' s { } \ 0. xe/(6.8) Onda je nula rjeenja ( ) 0 x t sistema (6.1) stabilna u konanom vremenu. Na osnovu ovoga postoji otvoreni susjedni skupA kao i funkcija definisanog vremena| ) : 0, T A tako da je : 41 10 01( ) ( ( )) ,(1 )T x V xcoos

0, x eA(6.9) i( ) T je kontinualno na skupuA. Ako je, n= R T ,( ) V radijalno neograniena ,i uz uslov (6.8) na nR , onda je nula rjeenja( ) 0 x t sistema (6.1) globalno stabilna u konanom vremenu. Dokaz. Potoje( ) V pozitivnodefinitnoi( ) V `uzimanegativnevrijednostinaskupu{ } \ 0, / slijedidaje ( ) 0 x t jedistveno rjeenje sistema (6.1) za0 t > zadovoljavajui da je(0) 0 x = .Zbog toga za svaki poetni uslov u skupuT , sistem (6.1) ima jedinstveno rjeenje u zadatom vremeskom intervalu. Neka_ 1/budeotvoreniogranieniskuptakoda0e1 ic 1T .Ondajec1 kompaktnoi 0ec1 . Slijedi iz Weierstrass teoreme da kontinualna funkcija( ) V postie minimum nac1i zbog togaje( ) V pozitivnodefinitna,min ( ) 0xV xec>1.Nekaje0 | < < min ( )xV xec1i { } : ( ) x V x|| e s = T 1 . Slijedi iz uslova (6.8) da je | c T / pozitivno invarijantno u odnosu na sistem (6.1). Slijedi iz uslova (6.8), pozitivne definitnosti, i standardnih Ljapunovih argumenata da, za svako0 c > , postoji0 o > tako da(0)o |c c B T / i ( ) , x t c s | | 0, x o < | | 0xt e

1 . (6.10) Vie od toga poto je rjeenje( ) x t sistema (6.1) ogranieno za svako 0xt e

1 moe biti produeno na semi-interval| ) 0, t e i zbog toga je( ) x tdefinsano za svako0 t > . Dalje slijedi iz Teoreme 6.1 sa ( ) co= w y yi 0( ) ( , ( )), t t V x = z sgdje( ) 0,1 o e te slijedi: 0( ( )) ( , ( )), V x t t V x s s0(0), xoeB| ) 0, , t e (6.11) gdje je( , ) s s tim da jek c = . Na osnovu (6.11) i pozitivne definitnosti ( ) V slijedi da je : ( ) 0, x t =101( ( )) ,(1 )t Vxcoo>

0(0), xoeB (6.12) topodrazumijevakovergencijutrajektorijasistema(6.1)ukonanomvremenuzasvako 0(0) xoeB . Konvergencija uz uslov (6.10) podrazumijeva da je nula rjeenja( ) 0 x t sistema (6.1) stabilna u konanom vremenu s tim da(0)o= AB . Konano,ako n= R T i( ) V jeradijalnoneograniena,ondaglobalnastabilnostukonanom vremenu porizilazi koristei standardne argumente. Teorema 6.3. Neka( ) 0,1 o e iA budu kao i u definiciji 6.1. Ako je nula rjeenja ( ) 0 x t sistema (6.1) stabilna u konanomvremenuifunkcijakonanogvremena( ) T jekontinualnapri0 x = ondatuegzistira 42 (postoji)kontiualnafunkcija: V R A iskalar0 c > takodaje(0) 0, V = ( ) 0, V x > , x eA0, x = i( ) ( ( )) , V x c V xos `xeA . Primjer 6.1. Razmotrimo nelinerani dinamiki sistem( dat kao 1 13 5( ) ( ( )) ( ( )) , x t x t x t = `

0(0) , = x x 0, t > (6.13) gdjexeR.Zaovajsistem,pokazatemodajenularjeenja( ) 0 x t za(6.13)globalnostabilnau konanomvremenu.Nekaje 43( ) V x x = ineka= R T .Ondaje, 8 2 2 13 15 3 24 4 43 3 3( ) ( ( )) V x x x x V x| |= + s = | |\ .`zasvakoxeR.Zbogtoga,slijediizTeoreme6.2da je nula rjeenja ( ) 0 x t za (6.13) globalno stabilna u konanom vremenu.Slika 6.1 pokazuje stanje trajektorije u vremenu za (sa 01 x = . Slika 6.1. Trajektorija stanja u vremenu 43 7. Semistabilnost nelinearnih dinamikih sistema Uovompoglavlubitepredstavljenookvirnoanalizastabilnostizasistemekojiimajukontinum (neodreen)ravnotenipoloaj.Potosvakisusjednineizoliranipoloajravnoteesadridrugi ravnoteni poloaj, i zbog toga nemogu biti asimptotski stabilni. Zbog toga asimptotska stabilnost nije adekvatanpojamzastablnostovakvihsistema. Dva pojmakojasurelevantnazaovakvesistemesu konvergencija i semistabilnost. Konvergencija je svojstvo ime svako rijeenje sistema konvergira do granine take tako da moe da zavisi od poetnih uslova sistema. Semistabilnost je dodatni zahtjev da sva rijeenja konvergiraju ka graninim takama koje su stabilne po Ljapunovu. Semistabilnost za ravnotenipoloajpodrazumijevastabilnostpoLjapunovu,ipodrazumijevanjeuasimptotskoj stabilnosti. Vano je napomenuti da semistabilnostnije samo ekvivalentna asimptotskoj stabilnosti ravnotenog poloaja nekog skupa. Doista je mogue za trajektoriju da konvergira ka ravnotenom poloaju nekog skupaadanekonvergiranijednojravnotenojtaki.Semistabilnostnepodrazumijevadaje ravnotenipoloajnekogskupaasimptotskistabilanubilokomsmislu.Tojezbogtogatoje stabilnostskupovadefinisanauuslovimaudaljenosti(posebnousluajunekompaknogskupa),i mogue izgraditi primjer u kome je dinamika sistema semistabilna. Uovompoglavljunavedenisupotrebniidovoljniuslovizasemistabilnost.Posebno,razmotrenje nelinearni dinamiki sistem(datsledeom relacijom: ( ) ( ( )), x t fx t = ` 0 0( ) , x t x =0,xt e

1 (7.1) gdjeje 0( ) , ,nxx t t e _ e R T 1 vektorstanjasistema,T jeotvoreniskup,:nf R T jeLipicov kontinuitetnaT ,{ }1(0) : ( ) 0 f x fxe = = T je ne prazan skup, i )000, ,x x = 1 T00xs s Tje maksimalniintervalpostojanjarjeenja( ) x sistema(7.1).Usvojiemodazasvakipoeniuslov 0, x eT sistema(7.1)postojijedinstvenorjeenjedefinisanonaintervalu| ) 0, ,izbogtoga rijeenjesistema(7.1)definieglobalnusemipropusnostnaskupuT .Tj.kaemodajedinamiki sistem(7.1)konvergentanuodnosunazatvoreniskup c _ TT akolim( , )tt xs postojizasvako cx eT . Definicija 7.1. RavnotenatakaxeT sistema(7.1)jestabilnapoLjapunovuakozasvakiotvorenipodskup cAskupaT kojisadrix ,postojiotvorenipodskup oA skupaT kojisadrix takodaje ( )t o cc s A A za svako0 t > . Ravnotena takaxeT sistema (7.1) je semistabilna ako je stabilna poLjapunovuiakopostojiotvorenipodskup skupaT kojisadrix takodazasvakopoetno stanjeu trajektorijasistema(7.1)konvergirakaravnotenojtakikojajestabilnapoLjapunovu, tako da je ,lim( , )tt x= s y gdje jeeT y ravnotena taka sistema (7.1) koja je stabilna po Ljapunovuixe .Ako,udodatnom,,n= = R T ondajeravnotenatakaxeT sistema(7.1)globalno 44 semistabilniravnotenipoloaj.Zasistem(7.1)kaemodajestabilanpoLjapunovuakojesvaka ravnotena taka sistema (7.1) stabilna po Ljapunovu. Za sistem (7.1) kaemo da je semistabilan ako je svaka ravnotena taka sistema (7.1) semistabilna. Konano za sistem (7.1) kaemo da je globalno semistabilan ako je sistem (7.1) semistabilan i ako jen= = R T. Definicija 7.2. Domena semistabilnosti je skup taaka 0x eT tako da ako je( ) x t sistema (7.1) sa 0(0) , x x = 0, t >onda( ) x t konvergira ka ravnotenoj taki koja je stabilna po Ljapunovu u skupuT. Napomenimodaakojesistem(7.1)semistabilan,ondadomenasemistabilnostisadriravnoteni skup u svojoj unutranjosti. Teorema 7.1. Razmotrimonelinearnidinamikisistem(7.1).Neka budeublizini 1(0) f iusvojimodapostoji kontinualna diferencijabilna funkcija: V R ( ) ( ) 0, Vx fx ' . Poto je1zogranieno slijedi da je pozitivna granica granica skupa zaxneprazna iinvarijantna.Slijediiz(7.2)daje(( , )) 0, V t x s` s 0 t > izbogtogaslijedi(Teorema3.3)da ( , ) t x / s kadt ,gdjeje/ najveiinvarijantniskupkojijesadranuskupu { } : ( ) ( ) 0 V f ' = e = 1zy y y .Napomenimodaje 1(0) f = invarijatnoizbogtogaje= / topodrazumjevadaje 1lim (( , )), (0) 0tdist t x f = s .Potojesvakatakau 1(0) f stabilnapo Ljapunovuslijedidaje *lim( , )tt x x= s ,gdjeje * 1(0) x f e stabilnapoLjapunovu.Zbogtoga,po definiciji, sistem (7.1) je semistabilan. Teorema 7.2. Razmotrimonelinarnidinamikisistem(7.1)ineka budeotvorenisusjedniskupod 1(0) f . Predpostavimodaputanja xO sistema(7.1)jeogranienazasvakoxe iusvojimodapostoji kontinualna diferencijabilna funkcija: V R tako da ( ) ( ) 0, Vx fx ' s . xe(7.3) Akojesvakatakaunajveeminvarijantnomskupu/od{ } : ( ) ( ) 0 x Vx fx ' e = jestabilnapo Ljapunovu , onda je sistem (7.1) semistabilan. 45 Dokaz. Potojesvakorjeenjesistema(7.1)ogranieno,slijediizhipotezeza( ) V daje,zasvako xe , pozitivanogranieniskup( ) x e sistema(7.1)idajeneprazanisadranunajveeminvarijantnom podskupu/od{ } : ( ) ( ) 0 x Vx fx ' e = .Potojesvakatakaravnoteeu/stabilnapo Ljapunovu,slijedida( ) x e sadrijedinstvenutakuzasvako xe idalim( , )tt xs postojizasvako xe .Potojelim( , )tt xe s /stabilanpoLjapunovuzasvakoxe ,semistabilnostje neposredna. Teorema 7.3. Razmotrimonelinarnidinamikisistem(7.1).Prepostavimodajesistem(7.1)semistabilansa domenom(oblast,podruje)semistabilnsti 0T .Ondapostojikontinualnanenegativnafunkcija 0: V+R T i skupfunkcije( ) o tako da je : i)( ) 0, V x =1(0), x f eii) 1( ) ( ( , (0))), V x dist x f o>0, xe Tiii)( ) 0, V x 0, xe T a to slijedi iz uslova ii). Dabipokazalidaje( ) V kontinualnona 10 \ (0) f T ,definiimo| )10: \ (0) 0, T f T kao { }1( ) inf : (( , )) ( , (0)) / 2, 0 T h dist t dist f t h< > > = z s z z i oznaimo { }10 : ( ( , ), (0)) , 0 x dist t x f tcce < > = s T .(7.5) Napomenidaje 1(0) fc otvorenipozitinoinvarijantan,isadranuotvorenomsusjednom skupuod 1(0) f .Razmotrimo 10 \ (0) f e z T idefiniimo 1( , (0)) 0 dist f > = z .Ondaslijediiz semistabilnostisistema(7.1)dapostoji0 h > takoda( , ) h e s z /2.Posljedicatoga, ( , ) h t + e s z /2zasvako0 t > ,izbogtoga,slijedidaje( ) T z pravilnodefinisano.Potoje/2je otvoren,ondapostojisusjedniskup(( ( ), ) Toc s z z B /2.Zbogtogaje ( )( (( ( ), )))Ts To =zs z z A B susjedniskupodz i 0c AT .Izaberimodaje0 q > takodaje / 2 q < i( )qc z B A .Ondazasvako( ) t T > z i( )qe y z B ,| |1 1(1 2 ) /(1 ) (( , ), (0)) 2 (( , ), (0)) t t dist t f dist t f + + s s s y s y . Zbog toga za svako( )qe y z B , 46

1 10 01 2 1 2() ( ) sup ( ( , ), (0)) sup ( ( , ), (0))1 1 t tt tV V dist t f dist t ft t > >+ + = ` `+ + ) )z y s z s y 1 10 ( ) 0 ( )1 2 1 2sup ( ( , ), (0)) sup ( ( , ), (0))1 1 t T t Tt tdist t f dist t ft t s s s s+ + = ` `+ + ) )z zs z s y (7.6) Zbog togaslijedi:

1 10 ( )1 2| ( ) ( ) | sup ( ( ( , ), (0)) ( ( , ), (0)))1 t TtV V dist t f dist t ft s s+ s + zz y s z s y 1 10 ( )2 sup (( , ), (0)) (( , ), (0))tTdist t f dist t f s ss zs z s y

100 ( )2sup ( ( , ), ( ( , ), \ (0), ().t Tdist t t fqs ss e ezs z s y z y z T B (7.7) Sad, slijedi iz kontinualne zavisnosti rjeenja( , ) s na poetnim uslovima sistema (7.1) i relacije (7.7) da je( ) V kontinualno na 10 \ (0) f T . Dabipokazalidaje ( ) V kontinulanona 1(0) f ,razmotrimo 1e(0) x f e .Neka{ }1nnx=bude sekvencau 10 \ (0) f T kojakonvergiraprema ex .Potoje ex stabilnopoLjapunovuslijedidaje e( ) x t x jedinstveno rjeenje sistema (7.1) sa 0 ex x . Prema kontinualnoj zavisnosti rjeenja( , ) sna sistemu poetnih stanja slijedi da e e( , ) ( , ) t x t x x = s s kadn , 0 t > .Neka0 c > inekapostoji e( ) 0 x o o = > takodazasvakorjeenjesistema(7.1)u e( ) xoB postojitakodaje e e ( , ) ( ( ))tT T x xo cc = c s B zasvako t T > .Sledee,napomenimodapostojipozitivni cjeli broj 1Ntako da e( )nx xoeBza svako1n N > . Zatim slijedi iz (7.4) da

10( ) 2 sup ( ( , ), (0)) 2 ,n nt TVx dist tx f cs ss + s 1n N > . (7.8) Sledee, slijedi (Lema 3.1) da( , )nx s konvergira prema e( , ) x suniformno na0,T ( . Zbog toga je : 1 1 0 0lim sup ( ( , ), (0)) sup (lim(, ), (0))n nn nt T t Tdist t x f dist t x f s s s s= s s

1e0sup ( ), (0)) 0,tT dist x f s s= =(7.9) 47 topodrazumijevadapostojipozitivnicijelibroj 2 2 e 1( , ) N N x N c = > takodaje 10sup ( ( , ), (0))nt T dist t x f cs s< s zasvako 2n N > .Kombinujui(7.8)sarezultatimaiznaddaje ( ) 4nV x c sza svako 2n N > podrazumijeva da elim ( ) 0nnV x x= = . Sledee,pokazatemodaje( ( )) V x t strogoopadajuazajednosarezultatimasistema(7.1)na 1\ (0) f T .Napomenimodazasvako 10 \ (0) x f eT i0 1 2 h < s takoda 10( , ) \ (0), h x f e s Tslijediizdefinicijeza( ) T daje( , )) h x V(s postignutzanekovrijeme t takoda 0 ( ) t T x s s .Zbog toga slijedi: 11 2( , )) ( ( , ), (0))1th x dist t h x ft+= ++V(s s ( ) ( )11 2 2( ( , ), (0)) 1 1 1 2 2 1t h hdist t h x ft h t h t (+ += + (+ + + + + ( s

( )2( ) 1 ,2 1 ( )hV xT x (s (+( (7.10) to podrazumijevada je( )212( ) ( )1 ( ) 0, V x V x T xs + oznaavarjeenjesistema(8.1).Usvojimodapostojimanjesemikontinualna funkcija : V R T tako je( ) V kontinualna u ishoditu i(0) 0, V = (8.2) 49 ( ) 0, V x >, x eT 0, x = (8.3) ( ( )) ( ( )), V x t V x s T 0 . t s s T (8.4) Ondajenularjeenja( ) 0 x t sistema(8.1)stabilnapoLjapunovu.Ako,dodatno,postojineka rastua neograniena sekvenca{ }0 ,nnt= sa 00, t =tako da 1( ( )) ( ( )),n nV x t V x t+ budetakoda(0)c_ B T .Potoje(0)ccBkompaktnoi( ), V x , x eT jemanjesemikontinualnostislijedidapostoji (0)min ( )xV xcoec=B. Napomenimo da je0 o > poto je0 (0)cecB ( ) 0, V x > , x eT 0 x = . Sledee, poto je(0) 0 V = i ( ) V je kontinualno u ishoditu slijedi da postoji( | 0, o c e tako da( ) , V x o < (0) xoeB . Sad, slijedi iz relacije (8.4) da je za svako(0) (0) xoeB : ( ( )) ( (0)) , V x t V x o s < 0, t >to,potoje( ) , V x o > (0), xcecB podrazumijevadaje( ) (0), x tcecB 0 t > .Zbogtogazasvako 0 c > takodaje (0)c_ B T postoji0 o > takodaakoje(0) , x o < | | ondaje ( ) , x t c < | | 0, t > to dokazuje stabilnost po Ljapunovu. Dabidokazaliasimptotskustabilnostneka 0(0) xoeB ipredpostavimodapostojinekarastua neogranienasekvenca{ }0 ,nnt=00, t = takodajeispunjenuslov(8.5).Ondaslijedida ( ) (0), x tcecB 0, t > izbogtoga,slijedidajepozitivniogranieniskup 0( ) x e od( ), x t 0, t >neprazan,kompaktan,invarijantnopovezanskup.Osimtogaje, 0( ) ( ) x t x e kadt .Sad, potoje( ( )), V x t 0, t > nerastuiiogranienodozdosanulomslijedidajelim ( ( )) 0tV x t |> =pravilnodefinisan.Osimtoga,potoje( ) V manjesemikontinualnomoesepokazatida 0( ) , ( ), V x | e s e y y i zbog toga, poto je( ) V nenegativno,0 | =ako samo i akoje{ }0( ) 0 x e =ili,ekvivalentno,( ) 0 x t kadt .Naovajnainjeuspostavljena(idokazana)asimptotska stabilnost. Manjesemikontinualnafunkcija( ), V gdje( ) V postajekontinualnauishoditu,zadovoljavajui uslove (8.2) i (8.3) naziva se polazna generalizirana Ljapunova funkcija za nelinearni dinamiki sistem (8.1).Ako,udodatnom,( ) V zadovoljavauslov(8.4),( ) V nazivasegeneralizovanaLjapunova funkcijazanelinearnidinamikisistem(8.1).Napomenimodaakojefunkcija( ) V kontinualno diferencijabilna na skupuTu Teoremi 8.1 i ako( ) ( ) 0, Vx fx ' s , x eT onda je( ( )) V x t nerastua funkcija vremena . U ovom sluaju Teorema 8.1 je specijalizirana prema Teoremi 3.1. Teorema 8.2. Razmotrimo nelinearni dinamiki sistem (8.1) i neka je0( , ), t x s 0, t > oznaimo rjeenje sistema (8.1) sapoetniuslovom 0x .Predpostavimodajenularjeenja( ) 0 x t sistema(8.1)stabilnapo 50 Ljapunovu.Ondapostojimanjesemikontinuaalnafunkcija 0: , V R T gdje 0, _ TT takoda0 0 , e

T ( ) V je kotinualna u ishoditu, i

(0) 0, V =(8.6)

( ) 0, V x > 0, x eT 0, x = (8.7) (( , )) (( , )), V t x V x s s s T

0 , t s s T0. x eT(8.8) Dokaz. Nekaja 0 c > .Potoje nula rjeenja( ) 0 x t sistema(8.1) stabilnapo Ljapunovu slijedi dapostoji0 o > takodaako 0(0), xoeB onda 0( , ) (0), t xce s B 0 t > .Sad,neka { }0 0 0( 0 ) : 0 ( 0 ) ( , ) , ta d p o s t o ji t i x t a ko d a je t xc o= e > e y y = s T B Btojest, 0 0( ( 0))t t o >= s T B .Npomenimoda 0(0),c_ TB0T jepozitivnoinvarijantno,i 0(0)o_ B T .Zbogtogaje0 0e

T .Sledee,definiimo 0( ) sup ( , ),tV x t x>= s0, x eT ipotoje0T pozitivnoinvarijantnoiogranienoslijedidaje( ) V pravilnodefinisanona0T .Sad,0 x =podrazumijeva( , ) 0, t x s zbog togaje(0) 0 V = . Dalje je( ) (0, ) 0, V x x x > = > s0, x eT 0 x = . Sledee, poto( ) f u sistemu (8.1) je takvo da za svako 0, x eT ( , ), t x s 0, t > predstavlja jedinstveno rjeenjesistema(8.1),slijedidaje( , ) ( , ( , )), t x t x = s s s TT 0 t s s T .Osimtoga,zasvako , 0, t > Ttako da je, t >T

0 0( ( , )) sup ( , ( , )) sup ( , )) V x x xu uu u> >= = + s s s s T T T sup ( , )) sup ( ( ), ( , ))t tx t txu uu u> > > + = s s sT TT T 0sup ( , (, )) ( (, )), t x V t xuu>= = s s s (8.9) to dokazuje (8.8).Sledee, poto je nula rjeenja( ) 0 x t sistema (8.1) stabilna po Ljapunovu slijedi dazasvako 0 c > postoji 0 o > takodaako 0(0), xoeB onda 0 / 2( , ) (0), t xce s B 0, t > to podrazumijeva da je 0 0 0 ( ) sup ( , ) / 2tV x t x c>= s s . Zbog toga, za svako 0 c > postoji0 o > tako da ako 0(0), xoeB onda 0 ( ) , V x c < omoguavajui da je( ) V kontinualno u ishoditu. Konano,dabipokazalidaje ( ) V manjesemikontinualnonasvakommijestuskupa 0, T nekaje 0x eT i 0, c > i napomenimo da poto je 0( ) sup ( , )tV x t x>= sonda postoji ( , ) 0 T T x c = > tako da ( ) ( , ) V x T x c < s . Sad razmotrimo sekvencu{ }01iix= eT takoda ix x kadi . Sledee, potojeodpredpostavkedaje( , ) t s kontinualnozasvako0 t > i 0: R T jekontinualno, 51 slijedida( , ) lim ( , )iiT x T x= s s .Sledee,napomenimodaje 0( , ) sup ( , ) ,i t iT x t x>s s s1, 2, 3,..., i = izbogtogaslijedidaje 0liminf sup ( , ) liminf ( , ) lim ( , ) ,t i i ii i it x T x T x> > = s s s1, 2, 3,..., i = to podrazumijeva da je ( ) ( , ) lim ( , )iiVx Tx Tx c c < + = + s s 0 lim inf sup (, ) lim inf ( )t i ii it x Vx c c> s + = + s . (8.10) Sad,potoje 0 c > proizvoljnarelacija(8.10)podrazumijevadaje( ) liminf ( )iiV x V xs .Potoje { }1iix=nekaproizvoljnasekvencakojakonvergirakax ,slijedidaje( ) V manjesemikontinualna funkcija na 0T . Teorema 8.3. Razmotrimo nelinearni dinamiki sistem (8.1), neka je( ), x t 0, t > i oznaava rjeenje sistema (8.1), i neka c c TT bude kompaktno invarijantni skup u odonsu na (8.1). Predpostavimoda postoji manje semikontinualna funkcija:cV R T tako da( ( )) ( ( )), V x t V x s T 0 , t s s T za svako0 cx eT . Ako0,cx eT onda( ) x t eR= / / kadt . Primjer 8.1. DabismoilustrovalikorisnostTeoreme8.1razmotrimojednostavniskalarninelinearnidinamiki sistem dat kao :( ) ( )( ( ) 1)( ( ) 2), x t x t x t x t = + `0(0) , x x = 0, t >(8.11) sa generalizovanom polaznom funkcijom Ljapunova

22( 2) , 0,( )( 1) , 0.x xVxx x + Napomenimo da za svako, x eR slijedi | |222 ( 1) ( 2 ) , 0 ,( ) ( ) ( 1) ( 2 ) 0,2 ( 1) ( 2 ) , 0 ,x x x xV x DV x x x xx x x x+ + < + = s + >`= to podrazumijevadaje( ( )), V x t 0, t > nerastuezajednosatrajektorijamasistema.Napomenimoda 1( ), V= { } \ 4, eR i{ }14(4) 0 V= .Potojesamoinvarijantniskupu, , eR za dinamikisistem(8.11)ravnotenataka 1 2 32, 0, 1,e e ex x x = = = slijedida, = C / { } 0,1, 4, e{ }02,1, = / { }10, = / i{ }40, = / to podrazumijeva da je{ } 2, 0,1 = / . Zbog toga, slijedi iz Teoreme8.3dazasvako 0x eR rje