Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Naprężenia i odkształceniaStress & strain
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
ll
lll ∆
=−
=0
0ε
Simplifying assumptions:
1. Soil is continuous
2. Soil is homogeneous
3. Soil is isotropic
A continuous body subjected to a system of external forces
Normal strain definition
Naprężenia i odkształceniaShear strain definition Poison’s ratio definition
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
z
r
εεν −=
Gzx
zxτγ =
Naprężenia i odkształceniaStates of strains
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Stress definition
i
j
Aij AF
i ∆
∆=
→0limσ
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
στττστττσ
σ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Stress tensor
Naprężenia i odkształceniaNaprężenie jest to graniczna wartość stosunku siły działającej na nieskończenie mały
element pola przekroju ciała do wymiaru tego pola:
F
F
Przekrój ciała sztywnego.
AF
A ∆∆
=→∆ 0
limσgdzie: σ - naprężenie
F - siła
A - pole przekroju
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
i
j
Aij AF
i ∆
∆=
→0limσ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaThe state of stress at a point according to a “reference coordinate” is (9 components)
zyyzyz
zxxzxz
yxxyxy
yyy
xxx
ττσσττσσ
ττσσ
σσσσσσ
−===−===
−===
====
23
13
12
22
11
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
States of stress
Axisymmetric
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Normal stresses and strainsxzP
yzP
xyP y
yx
xz
z === σσσ ,,
yy
xx
zz
yxz∆
−=∆
−=∆
−= εεε ,,
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaVolumetric strain
Assume the initial volume is V0 = 1, so the final volume is:
)(
1)1)(1)(1(
1
)1)(1)(1(
00
0
0
strainssmall
VV
VVV
VV
V
zyx
zyxzyzxyxzyx
zyxp
ffp
zyxf
εεε
εεεεεεεεεεεε
εεεε
ε
εεε
++≈
++++++=
−+++=
−=−
=∆
=
+++=
zyxp εεεε ++=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia
Hooke’s law
εσ ⋅= E
( )ν+=
12EG
Shear modulus
Bulk modulus
( )ν213 −=
EK
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
KGGK
6223
+−
=ν
Naprężenia i odkształceniaHooke’s law in 3D
++
+−−
−−−−
=
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
E
τττσσσ
νν
ννν
νννν
γγγεεε
)1(2000000)1(2000000)1(2000000100010001
1
( )( )
( )( )
( )( )xyzz
zxyy
zyxx
E
E
E
σσνσε
σσνσε
σσνσε
+−=
+−=
+−=
1
1
1
G
G
G
yzyz
xzxz
xyxy
τγ
τγ
τγ
=
=
=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaElastic materials obey the principle of superposition.
The applied loading order is not important and the equilibrium strain is the same.
εσ
=Eγτ
=G
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaSoils are elastoplastic materials actually,
(elastic deformation + plastic deformation)
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Vertical stress
Naprężenia i odkształceniaHorizontal stress
iiv hγσ =
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Kvh ⋅= σσ
K – lateral earth pressure coefficient
Naprężenia i odkształceniaNaprężenie pierwotne lub geostatyczne σγz to naprężenie istniejące w gruncie od ciężaru wyżej leżących warstw. Zgodnie z zasadą superpozycji naprężeniecałkowite σz w gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego σγz i naprężenia odobciążenia zewnętrznego σqz:
qzzz σσσ γ +=W przypadku przyłożenia obciążenia nie na powierzchni półprzestrzeni, lecz na pewnej głębokości po wykonaniu wykopu, naprężenie całkowite σz w dowolnym punkcie wyznacza się jako sumę naprężenia pierwotnego geostatycznego σγzzmniejszonego o odciążenie wykopem ∆σγz:
( ) qzzzz σσσσ γγ +∆−=Wartość poziomej składowej naprężenia geostatycznego σγx oblicza się ze wzoru:
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
z0yx K γγγ σ=σ=σgdzie: K0 - współczynnik parcia bocznego w spoczynku,
σγz - pionowa składowa naprężenia pierwotnego.
Naprężenia i odkształcenia
σγz
σγy
σγx
σγx
σγy
σγz
σγz = γzσγx = σγy = K0σγz
Składowe naprężenia pierwotnego.
Wartość współczynnika K0 zależy od rodzaju gruntu i historii jego naprężenia i zmienia się w zakresie 0.2 ÷ 0.6 dla gruntów normalnie skonsolidowanych i 0.8 ÷ 2.0 dla gruntów prekonsolidowanych.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
5
2
325
5
2
5
3
23
2
2
22
5
2
23
2
2
22
5
2
23
222132
23
23
2132
2132
RyzP
RzRxyR
RxyzP
RxzP
RzP
rRzx
zRRrxy
RzyP
rRzy
zRRryx
RzxP
yzzy
yxxy
xzzx
z
y
x
πττ
νπ
ττ
πττ
πσ
νπ
σ
νπ
σ
=−=
+
+−−=−=
=−=
=
+
+−
−−=
+
+−
−−=
222
22
zyxR
yxr
++=
+=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
P
y
r
z
R
rx
z
σx
σz
σy
τzyτzx
τyz
τyx
τxy
τxz
Boussinesq solution
Naprężenia i odkształcenia
Naprężenia i odkształceniaPrzykład: Znaleźć naprężenia w gruncie wywołane przyłożeniem siły skupionej równej P = 50 kN w punkcie o współrzędnych x = 3m, y = 0m, z = 4m; ν=0.3.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
023
0222132
367.023
49.023
031.02132
266.02132
5
2
325
5
2
5
3
23
2
2
22
5
2
23
2
2
22
5
2
==−=
=
+
+−−=−=
==−=
==
−=
+
+−
−−=
=
+
+−
−−=
RyzP
RzRxyR
RxyzP
kPaR
xzP
kPaRzP
kParRzx
zRRrxy
RzyP
kParRzy
zRRryx
RzxP
yzzy
yxxy
xzzx
z
y
x
πττ
νπ
ττ
πττ
πσ
νπ
σ
νπ
σ
5
3222
22
=++=
=+=
zyxR
yxr
Flamant’s solution – extension to line loads
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaP
222
3
)(2
zxPz
z +=
πσ 222
2
)(2
zxzPx
x +=
πσ
)(2
22 zxP
y +=
πνσ
222
2
)(2
zxxzP
xz +⋅=
πτ
A strip load is the load transmitted by a structure of finite width and infinite length on a soil surface. The increase in stresses due to a surface stress qs(force/area) is as follows:
[ ]
[ ]
[ ])2sin(sin
)2cos(sin
)2cos(sin
βααπ
τ
βαααπ
σ
βαααπ
σ
+⋅=
+−=
++=
szx
sx
sz
q
q
q
−+=
+−=
−=
αβπ
τ
βαπ
σ
βαπ
σ
Bzq
RR
Bz
Bxq
Bxq
szx
sx
sz
22cos12
2sin21ln
2sin21
22
21
Naprężenia i odkształcenia
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
B
L
+
−=
−
+
LB
LBz
zB
q
84.06.2
62.038.1
21
11σ
Simplified solution for rectangular loaded areas beneath the centre of the loaded area
bearingpressure q
Naprężenia i odkształceniaMetoda punktów narożnych umożliwia wyznaczanie naprężenia pionowego oraz sumy naprężeń głównych pod narożem prostokątnego obciążonego obszaru według wzorów:
( )( )( ) nzn q
zBLzLBarctg
zBLzBzLzBLLBzq ησ =
+++
++++
++=
2222222222
222 22
gdzie:ηn - współczynnik wyznaczany z nomogramu w zależności od
stosunku L/B (długość obszaru obciążonego do jego szerokości) oraz od stosunku z/B (zagłębienie punktu poniżej powierzchni do szerokości),
q - obciążenie ciągłe.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
z/B
ηn
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0 0,05 0,1500,100 0,200 0,250
Nomogram do wyznaczania współczynnika ηn
A B
CD
ME
F
G
H
A
MGH
D
B E
FC
( ) qMGCHn
EMHDn
FBGMn
AFMEnzq ⋅+++= ηηηησ
( ) qCFMGn
DFMHn
BEMGn
AEMHnzq ⋅+−−= ηηηησ
a)
b)
Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża.
naroże wewnątrz obciążonego obszaru
naroże na zewnątrz obciążonego obszaru.
Naprężenia i odkształcenia
Naprężenia i odkształceniaMetodą punktów środkowych można wyznaczyć naprężenie pionowe pod środkiem prostokątnego obszaru obciążonego, posługując się wzorem:
z/B
η0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 qz 0ησ =Wartość σz można również wyznaczyć, stosując superpozycję naprężeń pod wspólnym narożem czterech obciążonych prostokątów o bokach L/2 i B/2.
Nomogram do wyznaczania współczynnika η0.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaRozkład Naprężenia Pod Fundamentami Sztywnymi
S1 S2
S2>S1
q1
qmax
ZZ
przy qmaxRzeczywistyrozkład naprężeń
Teoretycznyrozkład naprężeń
w początkowym okresie obciążenia przy obciążeniu granicznymRozkład naprężenia pionowego w poziomie posadowienia absolutnie sztywnego fundamentu
Teoretyczny rozkład naprężenia w poziomie posadowienia wyznacza się ze wzoru
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
2
2
12r
qρ
σ−
=gdzie:
ρ - odległość rozpatrywanego punktu odśrodka fundamentu,
r - promień podstawy fundamentu
Naprężenia i odkształceniaNaprężenia pionowe na głębokości z (poniżej poziomu posadowienia) wyznacza się jako naprężenia średnie (całkowe) w obrębie prostokąta znajdującego się pod obszarem obciążanym wg wzoru:
szs qησ =
gdzie: ηs- współczynnik rozkładu naprężeniaq
L
z
σz
σzs
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Rozkład naprężenia σz i naprężenie średnie σzs na głębokości z pod obszarem prostokątnym obciążonym równomiernie
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
z/B
ηs
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Naprężenia i odkształcenia
Nomogram do wyznaczania współczynnika η
Naprężenia i odkształceniaSimplified solution for square loaded areasbeneath the centre of the loaded area
bearingpressure qB
B
+
−=
76.1
2
21
11
zB
qzσ
bearingpressure q
Simplified solution for circular loaded areasbeneath the centre of the loaded area B - diameter
+
−=
50.1
2
21
11
zB
qzσ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Simplified solution for continuous loaded areas (strip loads) of width B and infinite length beneath the centre of the loaded area
Naprężenia i odkształcenia
+
−=
6.2
38.1
21
11
zB
qzσ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
In preliminary analyses of vertical stress increase under the center of rectangular loads, geotechnical engineers often use an approximate method (sometimes called the 2:1 method). The vertical stress increase under the center of the load is:
))(( zLzBBLqs
z ++=σ The approximate method is reasonably
accurate (compared with Boussinesq’s elastic solution) when z > B
Naprężenia i odkształceniaChart solutions for rectangular and circular loaded area - pressure bulbs (stress bulbs).
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaRozkład naprężenia w gruncie od działania obciążenia ciągłegoZastosowanie superpozycji do wyznaczania naprężenia od obciążenia ciągłego.
Obszar obciążony dzieli się na mniejsze elementy, w środku elementów przykłada się zastępcze siły skupione.
P
P
L=mLi
B=nBi P=qLiBiz
r
R
σz
Wartość naprężenia pionowego normalnego w dowolnym punkcie ośrodka gruntowego obciążonego wyznacza się na podstawie wzoru Boussinesqa:
25
22 12
3
+
=
zrz
Pz
π
σ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaWyznaczanie naprężenia pod narożem prostokątnego obszaru obciążonego
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
dσz
dPy
x
M
0
B
z
r
Ldy
dx
Na danym obszarze A wydziela sięnieskończenie mały element o polu dA = dx dy;elementarna siła dP = qdA wywołuje w rozpatrywanym punkcie M na głębokości zponiżej powierzchni półprzestrzeni elementarne naprężenie:
25
22 12
3
+
=
zrz
dPd z
π
σ
Naprężenie pionowe w rozpatrywanym punkcie M od obciążenia ciągłego działającego wobszarze A wynosi:
∫ ∫
++
=L B
z
zyxz
qdxdy
0 02
222
25
12
3
π
σ
Wyznaczanie naprężeńpionowych od obciążenia ciągłego za pomocąelementarnych zastępczych siłskupionych.
Naprężenia i odkształcenia
http://www.prenhall.com/coduto/html/Geotechnical/Software.htm
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Geotechnical Engineering: Principles and Practices includes the following computer software:
STRESSP - Geostatic and induced stresses beneath a point loadSTRESSL - Geostatic and induced stresses beneath a line loadSTRESSR - Geostatic and induced stresses beneath a rectangular area loadSTRESSC - Geostatic and induced stresses beneath a circular area load
Naprężenia i odkształcenia
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
FLAC (Version 4.00)
LEGEND
23-Oct-04 18:48 step 4096 2.417E+00 <x< 7.583E+00 -4.126E+00 <y< 1.039E+00
YY-stress contours -1.10E+05 -9.00E+04 -7.00E+04 -5.00E+04 -3.00E+04 -1.00E+04
Contour interval= 1.00E+04Net Applied ForcesMax Vector = 5.000E+04
0 1E 5
-3.500
-2.500
-1.500
-0.500
0.500
3.000 4.000 5.000 6.000 7.000
JOB TITLE : .
Marek Cala Katedra Geomechaniki
Naprężenia pionowe wywołane siłą P= 50 kN.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształcenia FLAC (Version 4.00)
LEGEND
23-Oct-04 18:52 step 6872 1.219E+00 <x< 8.781E+00 -6.663E+00 <y< 8.990E-01
YY-stress contours -4.50E+04 -4.00E+04 -3.50E+04 -3.00E+04 -2.50E+04 -2.00E+04 -1.50E+04 -1.00E+04 -5.00E+03 0.00E+00
Contour interval= 5.00E+03Net Applied ForcesMax Vector = 1.000E+04
0 2E 4 -6.000
-5.000
-4.000
-3.000
-2.000
-1.000
0.000
2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000
JOB TITLE : .
Marek Cala Katedra Geomechaniki
Naprężenia pionowe wywołane obciążeniem ciągłym q= 50 kN/mb o szerokości 2 m
θσθσθσσσσσθ2
22
12121 sincos2cos
22⋅+⋅=⋅
−+
+=
Bardzo przydatnym i poglądowym sposobem przedstawienia stanu naprężenia jest koło Mohra. Znając wartość i kierunek składowych naprężenia σ1 i σ3, można wyznaczyć naprężenia normalne i styczne w dowolnym kierunku, stosując następujące związki:
Naprężenia i odkształcenia
θσστθ 2sin2
21 ⋅−
=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
221
maxσστ −
=
Naprężenia i odkształceniaWzory na naprężenia główne oraz ich kierunek:
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
22
1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +
−+
+=
22
2 22 xyyxyx τ
σσσσσ +
−−
+=
yx
xy
σστ
θ−
⋅=
22tan
Transformacja składowych stanu naprężenia.
Wartości składowych stanu naprężenia można określić z następujących wzorów:
ϕτϕσσσσ
σ 2sin2cos22 xy
yxyx +−
++
=
ϕσσ
ϕττ 2sin2
2cos yxxy
−−=
Naprężenia i odkształceniaKoło Mohra dla odkształceń
22
1 22 xyyxyx γ
εεεεε +
−+
+=
22
2 22 xyyxyx γ
εεεεε +
−−
+=
θεεγθ 2sin2
21 ⋅−
=
θεθεθεεεεεθ2
22
12121 sincos2cos
22⋅+⋅=⋅
−+
+=
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaKoło Mohra dla przestrzennego stanu naprężenia i odkształcenia
If all the principal stresses are considered (3-D), there are three Mohr’s circles. However, in general we concern the maximum shear mostly and therefore the major and the minor are only important. (σ2- intermediate principal stress.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaOdwzorowanie Stanu Naprężenia w Układzie p – q
Przedstawienie na jednym wykresie wielu stanów naprężenia dokonuje się poprzez nanoszenie punktu, którego współrzędne są równe:
231 σσ +
=p2
31 σσ −=q
W większości przypadków naprężenia główne występują na pionowych bądź na poziomych płaszczyznach, a zatem równania można napisać w postaci:
2yxq
σσ −=
2yxp
σσ +=
Ten sposób przedstawienia stanu naprężenia w gruncie sprowadza się do naniesienia jednego najwyżej leżącego punktu dla q dodatniego lub najniżej leżącego punktu dla q ujemnego na kole Mohra.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkształceniaŚcieżki NaprężeniaŚcieżka naprężenia to linia prosta lub krzywa powstała w wyniku połączenia szeregu punktów stanu naprężenia naniesionych na wykres, przedstawia ciągłośćkolejnych stanów naprężenia.
AB
C
D
E
A
B
C
D
EŚcieżka naprężenia
p
q
a) b)
σθ
τθ
koło Mohra wykres p –q
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Przedstawienie kolejnych stanów naprężenia przy zwiększeniu pionowej składowej naprężenia σ1 i stałej wartości składowej σ3
Naprężenia i odkształceniaExample problem:
At some point on the free surface of a machine element, the Cartesian stresses were determined. Construct the Mohr's circle for this state of plane stress to determine the principal stresses and principal directions.
MPaxyyxyx 33
222
2
1 =+
−+
+= τ
σσσσσ
4.22
2tan =−
⋅=
yx
xy
σστ
θ
MPaxyyxyx 7
222
2
2 =+
−−
+= τ
σσσσσ
o38.67=θ
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Literatura• Szymański A. – Wykłady z mechaniki gruntów i
budownictwa ziemnego• Wiłun Z. – Zarys geotechniki• Lambe T. W. Whitman R.V (1976, 1977) Mechanika
gruntów,Tom I i II, Arkady, Warszawa• Verruijt A. 2001. Soil Mechanics• Coduto D.P. 1999. Geotechnical Engineering.• Coduto D.P. 2001. Foundation design.• Jarominiak A. 1999. Lekkie konstrukcje oporowe.• Myślińska E. 2001. Laboratoryjne badania gruntów.• Obrycki M., Pisarczyk S. 1999. Zbiór zadań z mechaniki
gruntów.
Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki