Naprezanja uslijed djelovanja momenta savijanja i poprečne ... · vrijednosti Tz pozitivne ako promatrani presjek okreće u smjeru kretanja kazaljke na satu. My je pozitivan ako

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK

ZAVRŠNI RAD

Osijek, 15.09.2016 Zvonimir Hađinac



ZAVRŠNI RAD

TEMA: NAPREZANJA USLIJED DJELOVANJA MOMENTA

SAVIJANJA I POPREČNE SILE NA RAVNI ŠTAP

Osijek, 15.09.2016 Zvonimir Hađinac

----------------------------



U radu treba analizirati utjecaj momenta savijanja i poprečne sile na naprezanje ravnog štapa, Štap treba biti konstantne krutosti, dvoosno ili jednoosno simetričnog poprečnog presjeka.

U uvodu treba opisati problem, u teoretskom dijelu izvesti temeljne jednadžbe za rješavanje zadanog problema. Riješiti nekoliko primjera.

Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije), spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u.

Osijek,

Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za

Završne i diplomske ispite:

Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak- Klečina

ZNANSTVENO PODRUČJE:

TEHNIČKE ZNANOSTI

ZNANSTVENO POLJE: TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI

ZNANSTVENA GRANA:

TEHNIČKA MEHANIKA

TEMA: NAPREZANJA USLIJED DJELOVANJA MOMENTA SAVIJANJA I POPREČNE SILE NA RAVNI ŠTAP

PRISTUPNIK: ZVONIMIR HAĐINAC

NAZIV STUDIJA: PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ

1

SVEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK Naprezanja uslijed djelovanja momenta savijanja i poprečne sile na ravni štap

Zvonimir Hađinac

SADRŽAJ

1. SAŽETAK .......................................................................................................................... 2 2. UVOD ................................................................................................................................. 3 3. OPĆENITO O SAVIJANJU RAVNIH ŠTAPOVA ........................................................... 4 4. ČISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA) .............................................. 6 5. PRORAČUN ČVRSTOĆE PRI ČISTOM SAVIJANJU ................................................. 11 6. RACIONALNI OBLICI PRESJEKA PRI ČISTOM SAVIJANJU .................................. 12 7. OPĆI SLUČAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA) ................................................... 13 8. PRORAČUN ČVRSTOĆE PRI SAVIJANJU SILAMA ................................................. 16 9. RIJEŠENI PRIMJERI ....................................................................................................... 17 10. USPOREDBE NAPREZANJA ..................................................................................... 31 11. ZAKLJUČAK ............................................................................................................... 33 12. LITERATURA .............................................................................................................. 33

2


Zvonimir Hađinac

1. SAŽETAK

U ovom radu pokazujemo kako poprečna sila i moment djeluje na razvijanje naprezanja u ravnom štapu. U teoretskom dijelu je opisan način djelovanja sile i momenta kao i izvod osnovnih formula. Riješeno je 12 zadataka i napravljena je usporedba naprezanja po presjecima za svaki od njih.

Ključne riječi: naprezanje, sila, poprečni presjek, moment savijanja, iskoristivost.

3


Zvonimir Hađinac

2. UVOD

Kod savijanja štapova pojavljuje se iskrivljenje njegove uzdužne osi tj. dolazi do promjene zakrivljenosti štapa. Vlakna paralelna sa osi se skraćuju na konkavnoj strani, a produljuju na konveksnoj strani.

Savijanje nastaje uslijed djelovanja momenta savijanja u poprečnom presjeku štapa i samo je jedan od elemenata koji karakteriziraju unutarnje naprezanje u poprečnom presjeku štapa, a odnosi se na moment koji djeluje na u ravnini presjeka i prolazi kroz težište presjeka.

Dakle, moment savijanja djeluje u ravnini okomitoj na ravninu poprečnog presjeka štapa. Moment savijanja se može pojaviti i uslijed djelovanja vanjskih sila koje mogu biti u proizvoljnom položaju u odnosu na os štapa, naravno, to ne vrijedi za sile čiji se pravci djelovanja poklapaju sa osi štapa ili za momente vanjskih sila čije ravnine djelovanja leže okomito na os.

Razmatrat ćemo savijanja gdje moment savijanja u poprečnim presjecima štapa prolazi kroz jednu od glavnih osi inercije presjeka pa je tako jednak momentu rezultantnog sprega unutarnjih normalnih sila koje se pojavljuju u poprečnom presjeku štapa s obzirom na glavnu centralnu os tog presjeka. Ovakav slučaj savijanja imamo kod djelovanja sustava koncentriranih sila na štap koje djeluju u ravnini položenoj kroz jednu od glavnih osi inercije poprečnog presjeka štapa. Djelovanjem momenta savijanja nastaju normalna naprezanja u presjeku (σ). Također, djelovanjem poprečnih sila na štap nastaje složenije, ravninsko stanje naprezanja (τ). Općenito, vrijedi da su normalna naprezanja u krajnjim vlaknima ekstremnih vrijednosti dok će posmična naprezanja uzrokovana poprečnim silama biti nula. Na neutralnoj osi je situacija obrnuta, posmična naprezanja su ekstremna a normalna su jednaka nuli.

4


Zvonimir Hađinac

3. OPĆENITO O SAVIJANJU RAVNIH ŠTAPOVA

Slika 2.1.

Djelovanjem opterećenja na ravni štap (sl.2.1), koje djeluje u ravnini okomitoj na uzdužnu os štapa, os štapa mijenja svoju zakrivljenost. U unutarnjem presjeku štapa pojavljuje se poprečna sila zT i moment savijanja yM .

Slika 2.2.

Štap prerežemo na udaljenosti x od lijevog oslonca i postavimo jednadžbe ravnoteže. Djelovanje na štap zamjenjuju unutarnje sile (sl.2.2), poprečna zT i moment savijanja yM . Iz jednadžbi ravnoteže slijedi:

1

1

z

A z

z A i(z)

0

2

A y

2

y A i0

F =0F -qx-T =0T =F -qx= F

M =0

xF x-q -M =02

xM =F x-q = M2

5


Zvonimir Hađinac

Iz ovih jednadžbi možemo zaključiti da je poprečna sila zT jednaka algebarskom zbroju svih sila okomitih na os nosača s obje strane promatranog presjeka, a moment savijanja yM je jednak sumi momenata u odnosu na težište poprečnog presjeka.

Također, ako poprečnu silu zT i moment savijanja yM nanosimo duž osi nosača u mjerilu, dobijemo dijagram momenta savijanja i poprečne sile. Ordinate tih dijagrama predstavljaju iznose zT i yM .

Slika 2.3

Pravilo za određivanje predznaka zT i yM (slika 2.3) je dogovorno i uzima se da su

vrijednosti zT pozitivne ako promatrani presjek okreće u smjeru kretanja kazaljke na satu. yM je pozitivan ako štap savija konkavno prema dolje.

Ako pogledamo infinitezimalni dio nosača (sl.2.2) i postavimo jednadžbe ravnoteže, dobijemo slijedeće:

20

( ) 0

( ) 02

z z z z

y z y y

F T T dT qdxdxM M T dx qdx M dM

Nakon sređivanja i uz zanemarivanje člana 2dxqdx , dobijemo:

2

2

z

yz

y

dT qdxdM

Tdxd M

qdx

Ove jednadžbe predstavljaju diferencijalne zavisnosti pri savijanju i pomoću njih možemo lako kontrolirati konstruiranje dijagrama momenata savijanja i poprečnih sila. Za savijanje u kojem se u poprečnom presjeku pojavljuje poprečna sila i moment savijanja, takvo savijanje

6


Zvonimir Hađinac

nazivamo savijanje silama, a ako se pojavljuje samo moment savijanja, onda takvu vrstu savijanja nazivamo čisto savijanje.

4. ČISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)

Pri analizi deformacija i naprezanja pri čistom savijanju pretpostavljamo slijedeće :

a) Ravni poprečni presjeci ostaju pri deformaciji štapa ravni i okomiti na savijenu os štapa (Bernoullieva hipoteza).

b) Materijal štapa je homogen i izotropan.

c) Između uzdužnih vlakana nema nikakvog uzajamnog djelovanja sila.

d) Normalna naprezanja proporcionalna su deformacijama (Hookeov zakon).

Za izdvojeni element ravnog štapa (sl. 3.1) razmatramo uvjete ravnoteže uslijed djelovanja vanjskog momenta M i unutarnjih sila. Unutarnje sile u presjeku su predstavljene produktom xdA , xydA i xzdA .

Slika 3.1

7


Zvonimir Hađinac

Iz uvjeta ravnoteže dobivamo šest jednadžbi:

0; 0

0; 0

0; 0

0; )

0;

0; 0

x xA

y y xyA

y z xzA

x x t xz xyA

y y s xA

z z xA

F N dA

F T dA

F T dA

M M M y z dA

M M M z dA M

M M y dA

Kako je yT = zT = 0 i 0tM , a na poprečnom presjeku djeluje samo moment savijanja sM M , zaključujemo da su posmična naprezanja jednaka nuli i da na površini presjeka djeluje samo sila x dA pa nam ostaju tri jednadžbe:

0

0

xA

xA

xA

dA

z dA M

y dA

Kako dobivene jednadžbe nisu dovoljne za određivanje naprezanja jer ne znamo kako su ta naprezanja raspoređena u ravnini presjeka, promatramo deformaciju štapa.

Budući da je moment savijanja u svim poprečnim presjecima jednak, za pretpostaviti je i da će zakrivljenost biti jednaka, tj. os štapa postaje krivulja s konstantnom zakrivljenošću, kružni luk.

Kako smo već prije pretpostavili da vrijedi Bernoullijeva hipoteza (sl.3.2), pretpostavka nas dovodi do zaključka da točke presjeka AA zbog simetričnosti ne mogu dobiti pomake lijevo ili desno. Identično vrijedi i za ostale presjeke na četvrtinama ili osminama duljine.

8


Zvonimir Hađinac

Slika 3.2

Ako dio štapa predstavimo pravokutnom mrežom (sl.3.3), uočavamo da se uzdužne linije koje su paralelne s osi štapa prelaze u kružne lukove, a poprečne se zakreću, ali ostaju ravne i okomite na kružne lukove. Pravokutna mreža ostaje nepromijenjena u središnjem dijelu dok se uzdužna mreža produljuje na konveksnoj strani, a skraćuje na konkavnoj.

Slika 3.3

Linije mreže koje ne mijenjaju svoju duljinu pripadaju tzv. neutralnom sloju. Presječnica neutralnog sloja i ravnine poprečnog presjeka čini neutralnu os presjeka.

Ako pogledamo sliku 3.1 I jednadžbe ravnoteže koje smo dobili, možemo zaključiti da unutarnje sile tvore spreg sila koji je u ravnoteži s vanjskim momentom u zadanom presjeku, odnosno, postoji jedna točka u kojoj je 0x jer djeluju normalna naprezanja različitih predznaka. Pomoću te točke možemo odrediti položaj neutralne osi.

9


Zvonimir Hađinac

Slika 3.4

Ako izdvojimo element na slici 3.3 u presjecima n-n i m-m, kao što je prikazano na slici 3.4, uočavamo da je oblik tog elementa takav da se presjeci n-n i m-m zakreću jedan prema drugom oko neutralne osi, ali ostaju ravni. 0oA B u neutralnom sloju prelazi u luk ' '0 0A B polumjera ne mijenjajući duljinu dok vlakno se AB savija po luku 1 1AB sa polumjerom

z .

Relativno produljenje vlakna AB na udaljenosti z od neutralnog sloja:

1 1x x

A B ABAB

' '0 0 0 0AB A B dx A B d

1 1 ( )AB z d

xxz

Deformacije xx razmjerne su s udaljeosti od neutralnog sloja i mijenjaju se po linearnom zakonu. Budući da smo na početku pretpostavili da između uzdužnih vlakana nema nikakvih djelovanja, , nema posmičnih naprezanja u poprečnom presjeku, zaključujemo da su normalna naprezanja u smjeru okomito na os jednaka nuli. Vlakno AB je zbog toga u stanju jednoosnog tlačnog ili vlačnog naprezanja. Hookeov zakon nam daje vezu između naprezanja i deformacija.

10


Zvonimir Hađinac

x xx E ; xE z

Uvrštavajući izraz xE z

u već prije dobijene jednadžbe, dobivamo slijedeće izraze:

0xA A

EdA z dA

Izraz predstavlja statički moment presjeka u odnosu na neutralnu os . Neutralna os prolazi težištem presjeka jer je iznos 0.

0xA A

Ey dA z ydA

E

je različit od nule pa je A

z ydA =0, što znači da je centrifugalni moment jednak nuli. To

znači da osi y i z moraju biti glavne osi inercije presjeka a moment djeluje u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih osi.

xA

z dA 2

yA

E Ez dA I M

1y

M IE

Ovaj izraz nam pokazuje zakrivljenost osi štapa a naziva se još progibna linija štapa ili elastična linija.

Kombinirajući izraze:

xE z

; 1 yM IE

Dobijemo konačni izraz za normalna naprezanja x u svakoj točki poprečnog presjeka:

xy

M zI

Normalna naprezanja imaju ekstremne vrijednosti u krajnjim točkama koje su najudaljenije od neutralne osi.

11


Zvonimir Hađinac

5. PRORAČUN ČVRSTOĆE PRI ČISTOM SAVIJANJU

Najveće normalno naprezanje mora biti manje od dopuštenog naprezanja za karakteristični materijal od kojeg je štap izgrađen.

max dop

Ako je presjek simetričan i ako je neutralna os ujedno i os simetrije, vrijedi:

min,maxy

MW

max

max

v vdopy

t vdopy

MWMW

maxt , maxv predstavljaju maksimalno tlačno, odnosno, vlačno naprezanje.

U slučaju kada neutralna os nije os simetrije, uspoređujemo krajnja vlakna:

max 1 max1

max 2 max2

;

;

v x v vdopy

t x v t dopy

MWMW

U slučaju jednakih karakteristika na tlačno i vlačno naprezanje:

max maxmin

vdopy y

M MzI W

maxz je najveća udaljenost od neutralne osi tlačno ili vlačno opterećenog vlakna presjeka.

minmax

yy

IW

z predstavlja najmanji moment otpora presjeka. Na slici 5.1 je prikazana

raspodjela normalnog naprezanja po simetričnom i nesimetričnom presjeku.

12


Zvonimir Hađinac

a) nesimetričan presjek b) simetričan presjek

Slika 5.1.

6. RACIONALNI OBLICI PRESJEKA PRI ČISTOM SAVIJANJU

Pod racionalnim oblikom presjeka podrazumijevamo presjek s minimalnim utroškom materijala i koji za neki zadani moment otpora W ima najmanju površinu presjeka, odnosno, za zadanu površinu presjeka A ima najveći moment otpora W.

Presjek je racionalniji ako je po karakteristikama bliži idealnom momentu otpora, odnosno, što mu je veći dio mase udaljeniji od neutralne osi.

Za zadanu površinu A poprečnog presjeka nekog štapa idealni moment otpora bi imao

raspoređenu masu u dvije jednake lamele na udaljenosti 2h od neutralne osi (sl.4.1).

Slika 4.1

Moment tromosti i otpora idealnog presjeka: 2

22 ( )2 2 4yidA h AhI

13


Zvonimir Hađinac

12

2

yidyid

IW Ahh

Kako je presjek oblika dvije nepovezane lamele neizvediv, nastojimo naš presjek što više približiti teoretski najpovoljnijem. Tako, omjerom momenta otpora presjeka i idealnog presjeka iste visine, dobijemo veličinu koju zovemo stupanj iskorištenosti presjeka:

21y y

yid

W WW Ah

7. OPĆI SLUČAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

U općem slučaju savijanja silama, također, uvodimo slijedeće pretpostavke:

a) progibe smatramo malim

b) imeđu vlakana ne postoje unutarnje sile u pravcu normala na vlakna c) normalna naprezanja uslijed momenta savijanja mijenjaju se po visini presjeka

prema linearnom zakonu.

xz

M yI

U slučaju ravnog štapa konstantnog poprečnog presjeka i jednom osi simetrije i slučaju djelovanja sila okomito na os štapa, savijanje je u ravnini u kojoj leži os štapa i os simetrije.

Kako uz moment djeluje još i poprečna sila zT pojavljuju se i posmična naprezanja xy i

xz (slika 6.1). Uvjeti ravnoteže nam daju slijedeće jednadžbe:

14


Zvonimir Hađinac

Slika 6.1

0; 0

0; 0

0;

0; ( ) 0

0;

0; 0

x xA

y xyA

z xz zA

x xz xyA

x x yA

z xA

F dA

F dA

F dA T

M y z dA

M zdA M

M ydA

Ako izostavimo jednadžbe koje nam daju 0 ostaje nam da promatramo četiri uvjeta ravnoteže i veličine x i xz . Kako nema djelovanja u pravcu osi štapa, u krajnjim gornjim i donjim točkama presjeka xz = 0 (Slika 6.2).

Slika 6.2

15


Zvonimir Hađinac

Kako je posmično naprezanje u krajnjim točkama presjeka xz = 0, posmične deformacije su također, xz = 0 xz = 0. Rezultat je vitoperenje poprečnog presjeka u slučaju savijanja silama.

Ako je poprečna sila jednolika iskrivljenje je jednako, tj. 1AA = 1BB . Produljenja vlakana ne ovise o tome da li su poprečni presjeci ravni. Izrazi za normalno naprezanje u slučaju čistog savijanja vrijede i u ovom slučaju. Budući da se poprečna sila mijenja duž osi nosača, mijenja se i iznos xz a s time se pojavljuju i normalna naprezanja . Ako je odnos visine poprečnog presjeka i duljine štapa mali, pomaci zbog vitoperenja su daleko manji nego pomaci zbog rotacije presjeka oko neutralne osi od čistog savijanja, dakle, poprečni presjeci i dalje ostaju ravni i okomiti na os štapa. Ostaje samo da odredimo zakon raspodjele xz , a što ćemo dobiti iz jednadžbe koja nam daje vezu s poprečnom silom:

0;z xz zA

F dA T

Slika 6.3

Slika 6.3 predstavlja izdvojeni element štapa infinitezimalne duljine dx sa silama u lijevom i desnom presjeku, kao i normalnim i posmičnim naprezanjima. Pretpostavljamo da su naprezanja xz po širini presjeka raspoređena jednoliko. Dio štapa raspolovimo po uzdužnoj osi (slika 6.4) i postavljamo jednadžbe ravnoteže:

Slika 6.4

1 3 2

1 3 2( ) 0x x zx x xA A A

F dA dA d dA

Uz izraz yxy

MI

i 1 2A A dobijemo:

16


Zvonimir Hađinac

1 2

1 2 0y y y

zxy yA A

M M dMz dA b dx z dA

I I

2

2 0y

zxy A

dMb dx z dA

I

Kako je y zdM

Tdx

i zx xz a 2 yA

z dA S dobijemo:

z yxz

y

T Sb I

yI je moment tromosti presjeka , b je širina presjeka na visini točke u kojoj tražimo posmično

naprezanje, zT poprečna sila, a yS statički moment.

Općenito, normalna naprezanja će u krajnjim rubnim vlaknima imati ekstremne vrijednosti, dok će posmična xz biti nula. Posmična naprezanja xz će ekstremnu vrijednost imati na neutralnoj osi, gdje će normalna biti jednaka nuli.

8. PRORAČUN ČVRSTOĆE PRI SAVIJANJU SILAMA

Čvrstoću štapa izloženog djelovanju sila provjeravamo kroz “kritične” točke presjeka u kojima su naprezanja najveća. To su točke najvećih normalnih x , tangencijalnih xz i normalnih naprezanja 1 , 2 .

Normalna naprezanja provjeravamo u krajnjim vlaknima poprečnog presjeka s maksimalnim iznosom momenta savijanja, a uvjet čvrstoće je:

maxmaxx dop

y

MW

Tangencijalna naprezanja provjeravamo na neutralnoj osi poprečnog presjeka gdje je poprečna sila maksimalna, uvjet čvrstoće je:

max maxmax

z yxz dop

y

T SI b

Na mjestima nagle promjeneširine presjeka, koja su u blizini ruba, provjeravamo glavna naprezanja koja u tim slučajevima mogu biti mjerodavna jer s utu moguća velika normalna naprezanja i velika posmična naprezanja.

17


Zvonimir Hađinac

9. RIJEŠENI PRIMJERI

Za odabrane primjere poprečnih presjeka treba odrediti normalna i posmična naprezanja. Svi presjeci imaju jednaku površinu poprečnog presjeka 16200 . Odabrana poprečna sila je 10zT kN a odabrani moment savijanja oko y osi je 10yM kNm . Osi u poprečnom presjeku su orijentirane kao na slici 9.1.

Slika 8.1

Obzirom da su sve površine poprečnih presjeka jednake, uspoređujemo maksimalna normalna i maksimalna posmična naprezanja za sve presjeke.

18


Zvonimir Hađinac

Primjer 1.

2

3 36 4

63 3

3 3

62

3

6

3

1620010

10180 90 10.94 10

12 1210.94 10 243.1 10

45

45 180 22.5 182.3 10

10 101: 41.13 /243 10

2 : 010 103:243 10

y

z

y

yy

y y

yx

y

x

yx

y

A mmM kNmT kN

bhI mm

IW mm

z

S A z mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka

W

2

42

6

41.13 /

1: 010 45 180 22.52 : 0.926 /

10.94 10 1803: 0

xz

z yxz

y y

xz

N mm

TočkaT S

Točka N mmI b

Točka

19


Zvonimir Hađinac

Primjer 2.

2

3 36 4

63 3

3 3

62

3

6

3

1620010

1090 180 43.74 10

12 1243.74 10 486 10

90

90 90 45 364.5 10

10 101: 20.58 /486 10

2 : 010 103: 20.58486 10

y

z

y

yy

y y

yx

y

x

yx

y

A mmM kNmT kN

bhI mm

IW mm

z

S A z mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka

W

2

42

6

/

1: 010 90 90 452 : 0.926 /43.74 10 90

3: 0

xz

z yxz

y y

xz

N mm

TočkaT S

Točka N mmI b

Točka

20


Zvonimir Hađinac

Primjer 3.

2

3 3 3 36 41 1 2 2

63 3

4 3 3

2,3,5,6 3 3

1620010

10180 150 120 90 43.34 10

12 12 12 1243.34 10 577.9 10

75

180 30 60 2 30 45 22.5 384.8 10

180 30 60 324 10

1:

y

z

y

yy

y y

y y

yx

A mmM kNmT kN

b h b hI mm

IW mm

z

S A z mm

S A z mm

MTočka

W

6

23

62

3

4 32

6

4 32

6

10 10 17.30 /577.9 10

4 : 010 107 : 17.30 /

577.9 10

10 324 102 : 1.246 /43.34 10 60

10 324 103: 0.623 /43.34 10 120

y

x

yx

y

z yxz

y y

z yxz

y y

N mm

TočkaM

Točka N mmWT S

Točka N mmI bT S

Točka N mmI b

Točka

4 3

26

4 32

6

4 32

6

10 384.8 104 : 1.48 /43.34 10 60

10 324 105 : 1.246 /43.34 10 60

10 324 106 : 0.623 /43.34 10 120

z yxz

y y

z yxz

y y

z yxz

y y

T SN mm

I bT S

Točka N mmI bT S

Točka N mmI b

21


Zvonimir Hađinac

Primjer 4.

2

3 3 3 32 2 6 41 1 2 2

63 3

4 3 3

2,3,5,6

1620010

1030 120 210 302 ( ) 2 ( 30 210 75 ) 76.14 10

12 12 12 1276.14 10 846 10

90

210 30 75 30 60 30 580.5 10

210 30 75 472.5

y

z

y t

yy

y y

y y

A mmM kNmT kN

b h b hI A y mm

IW mm

z

S A z mm

S A z

3 3

62

3

62

3

4 32

6

4 3

10

10 101: 11.82 /846 10

4 : 010 107 : 11.82 /846 10

10 472.5 102 : 0.296 /76.14 10 210

10 472.5 103:76.14 10

yx

y

x

yx

y

z yxz

y y

z yxz

y y

mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka N mm

WT S

Točka N mmI bT S

TočkaI b

2

6

4 32

6

4 32

6

4 32

6

2.07 /30

10 580.5 104 : 2.31 /76.14 10 30

10 472.5 105 : 0.296 /75.2 10 210

10 472.5 106 : 2.07 /75.2 10 30

z yxz

y y

z yxz

y y

z yxz

y y

N mm

T STočka N mm

I bT S

Točka N mmI bT S

Točka N mmI b

22


Zvonimir Hađinac

Primjer 5.

2

3 3 3 32 2 6 41 1 1 1

66 3

4 3 3

2,3,5,6

1620010

1030 240 150 302 ( ) 2 ( 150 30 135 ) 199.3 10

12 12 12 12199.3 10 1.328 10

150150 30 135 120 30 60 823.5 10

150 30 13

y

z

y t

yy

y y

y y

A mmM kNmT kN

b h b hI A y mm

IW mm

zS A z mm

S A z

3 3

62

6

62

6

4 32

6

4

5 607.5 10

10 101: 7.53 /1.328 10

4 : 010 107 : 7.53 /

1.328 10

10 607.5 102 : 0.203 /199.3 10 150

10 607.5 103:

yx

y

x

yx

y

z yxz

y y

z yxz

y y

mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka N mm

WT S

Točka N mmI bT S

TočkaI b

32

6

4 32

6

4 32

6

4 32

6

1.016 /199.3 10 30

10 823.5 104 : 1.377 /199.3 10 30

10 607.5 105 : 0.203 /199.3 10 150

10 607.5 106 : 1.016 /199.3 10 30

z yxz

y y

z yxz

y y

z yxz

y y

N mm

T STočka N mm

I bT S

Točka N mmI bT S

Točka N mmI b

23


Zvonimir Hađinac

Primjer 6.

2

4 46 4

63 3

22 3 3

62

3

1620010

10144 21.11 10

64 6421.11 10 293.1 10

721 144 2 144 248.8 102 4 3

10 101: 34.12 /293.1 10

2 : 0103:

y

z

y

yy

y y

yx

y

x

yx

y

A mmM kNmT kN

dI mm

IW mm

z

S A z mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka

W

62

6

4 32

6

10 34.12 /293.1 10

1: 010 248.8 102 : 0.819 /21.11 10 144

3: 0

xz

z yxz

y y

xz

N mm

TočkaT S

Točka N mmI b

Točka

24


Zvonimir Hađinac

Primjer 7.

2

2

3 32 1

2 22 1

3

4 4 4 41 2

1620010

10

( sin )2 180

( )sin23 ( )2 sin3 sin cos

240 192 96.1564 64 64 64

y

z

t

t

y

A mmM kNmT kN

rP površina kružnog odsječka

r ry težište kružnog vijencar rry težište kružnog odsječka

d dI

6 4

63 3

32

1 3 3

3 32 2

2 3

2 2

10

96.15 10 801.3 10120

74120 sin120 74 2 180 2( sin 74) 248.8 1074 74 742 180 3 sin cos180 2 180 2 180 2

(120 96 )sin(120 96 ) 2 2 561.9 102 3 (120 96 )

2

yy

y y

y y

mm

IW mm

z

S A z mm

S A z mm

3

25


Zvonimir Hađinac

62

3

62

3

4 32

6

4 3

6

10 101: 12.48 /801.3 10

2 : 010 103: 12.48 /

801.3 10

10 248.8 101: 0.181 /96.15 10 144

10 561.9 102 :96.15 10 4

yx

y

x

yx

y

z yxz

y y

z yxz

y y

MTočka N mm

WTočka

MTočka N mm

WT S

Točka N mmI bT S

TočkaI b

2

4 32

6

1.218 /8

10 248.8 103: 0.181 /96.15 10 144

z yxz

y y

N mm

T STočka N mm

I b

26


Zvonimir Hađinac

Primjer 8.

1 2

2

3 36 4

6 63 3 3 3

2 3 3

62

3

1620010

10180 180 29.16 10

36 3629.16 10 29.16 10243 10 ; 486 10

120 601 90 90 60 248.8 102

10 101: 41.15 /243 10

2

y

z

y

y yy y

y y

yx

y

A mmM kNmT kN

b hI mm

I IW mm W mm

z z

S A z mm

MTočka N mm

WTočka

62

3

4

26

: 010 103 : 20.58 /486 10

1: 0110 90 90 602: 0.926 /

2 29.16 10 903 : 0

x

yx

y

xz

z yxz

y y

xz

MTočka N mm

WTočka

T ShTočka N mmI b

Točka

27


Zvonimir Hađinac

Primjer 9.

1 2

2

0

3 3 3 32 2 2 2 6 41 1 2 2

1 1 2 2

66 3

1620010

10270270 30 270 30 (270 15)2 210

270 30 230 270 270 30270 30 75 270 30 75 140.9 10

12 12 12 12140.9 10 11.566 10 ;

90

y

z

y t t

y yy y

A mmM kNmT kN

y mm

b h b hI A y A y mm

I IW mm W

z z

63 3

4 3 3 2,3 3 3

62

6

62

3

40.9 10 671 10210

270 30 75 60 30 30 661.5 10 ; 270 30 15 607.5 10

10 101: 6.386 /1.566 10

4 : 010 105 : 14.9 /671 10

2 :

y y y y

yx

y

x

yx

y

xz

mm

S A z mm S A z mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka N mm

WT

Točka

4 3

26

4 32

6

4 32

6

10 607.5 10 0.16 / ;140.9 10 270

10 607.5 103: 1.437 /140.9 10 30

10 661.5 104 : 1.565 /140.9 10 30

z y

y y

z yxz

y y

z yxz

y y

SN mm

I bT S

Točka N mmI bT S

Točka N mmI b

28


Zvonimir Hađinac

Primjer 10.

2

0

33 32 2 23 31 1 2 2

1 1 2 2 3 3

3 3 32 2

1620010

10240 30 15 180 30 120 120 30 225 96.67

240 30 120 30 180 30

12 12 1230 180 240 30 120 30180 30 23.33 240 30 81.67 120

12 12 12

y

z

y t t t

A mmM kNmT kN

y mm

b hb h b hI A y A y A y

1 2

2 6 4

6 63 3 6 3

4 3 3 2,3 3 3

5,6

30 128.33 125.6 10

125.6 10 125.6 10876.5 10 ; 1.299 10143.3 96.67113.3 30 41.67 120 30 128.3 603.5 10 ; 120 30 128.3 461.9 10

240 30 81

y yy y

y y y y

y y

mm

I IW mm W mm

z zS A z mm S A z mm

S A z

3 3

62

3

62

6

4 32

6

4

.67 588 10

10 101: 11.41 /876.5 10

4 : 010 107 : 7.698 /

1.299 10

10 461.9 102 : 0.306 / ;125.6 10 120

10 461.93:

yx

y

x

yx

y

z yxz

y y

z yxz

y y

mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka N mm

WT S

Točka N mmI bT S

TočkaI b

32

6

4 32

6

4 32

6

4 32

6

10 1.226 /125.6 10 30

10 603.5 104 : 1.602 /125.6 10 30

10 588 105: 1.561 / ;125.6 10 240

10 588 106: 0.195 /125.6 10 30

z yxz

y y

z yxz

y y

z yxz

y y

N mm

T STočka N mm

I bT S

Točka N mmI bT S

Točka N mmI b

29


Zvonimir Hađinac

Primjer 11.

1

2

0

3 32 21 1 2 2

1 1 2 2

3 32 2 6 4

6

1620010

10300 30 135 2 120 30 60 101.67

300 30 2 120 30

2 212 12

300 30 30 120300 30 33.33 2 2 120 30 41.7 31.83 1012 12

31.83 10 648.33

y

z

y t t

yy

A mmM kNmT kN

y mm

b h b hI A y A y

mm

IW

z

2

63 3 3 3

4 3 3

2,3 3 3

62

3

31.83 1058.6 10 ; 313.1 10101.67

300 30 33.33 2 18.33 30 9.165 310 10

300 30 33.33 299.97 10

10 101: 15.18 /658.6 10

4: 0

5:

yy

y y

y y

yx

y

x

yx

Imm W mm

zS A z mm

S A z mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka

6

23

4 32

6

4 32

6

4 3

6

10 10 31.94 /313.1 10

10 299.97 102: 0.314 / ;31.83 10 300

10 299.97 103: 1.571 /31.83 10 60

10 310 104: 1.62331.83 10 60

y

z yxz

y y

z yxz

y y

z yxz

y y

N mmWT S

Točka N mmI bT S

Točka N mmI bT S

TočkaI b

2/N mm

30


Zvonimir Hađinac

Primjer 12.

2

0

3 3 3 36 41 1 2 2

63 3

4 3 3

2,3

1620010

10300 30 135 2 120 30 60 101.67

300 30 2 120 30180 179 127 127 64.35 10

12 12 12 1264.35 10 719 10

89.5180 26 76.5 358.10

y

z

y

yy

y y

y

A mmM kNmT kN

y mm

b h b hI mm

IW mm

zS A z mm

S A z

3 3

62

3

62

3

4 32

6

180 26 76.5 2 26 63.5 31.75 462.86 10

10 101: 13.19 /719 10

1: 010 101: 13.19 /719 10

10 358.102: 0.309 / ;64.35 10 180

3:

y

yx

y

x

yx

y

z yxz

y y

mm

MTočka N mm

WTočka

MTočka N mm

WT S

Točka N mmI b

Točka

4 3

26

4 32

6

4 32

6

4 3

10 358.10 1.07 /64.35 10 52

10 462.86 104: 1.383 /64.35 10 52

10 358.105: 0.309 / ;64.35 10 180

10 358.106:64.

z yxz

y y

z yxz

y y

z yxz

y y

z yxz

y y

T SN mm

I bT S

Točka N mmI bT S

Točka N mmI bT S

TočkaI b

2

6 1.07 /35 10 52N mm

31


Zvonimir Hađinac

10. USPOREDBE NAPREZANJA

Tablica 9.1.

Usporedba maksimalnih normalnih naprezanja

Tablica 9.2.

Usporedba maksimalnih normalnih naprezanja

POPREČNI PRESJEK

max 2/N mm

41.13

20.58

17.30

11.82

7.53

34.12

USPOREDBA %

min/

546

273.3

229.7

157

100

453.1

POPREČNI PRESJEK

max 2/N mm

12.48

41.15

14.9

11.41

31.94

13.19

USPOREDBA %

min/

165.7

546.5

197.9

151.5

424.2

175.2

32


Zvonimir Hađinac

Tablica 9.3.

Usporedba maksimalnih posmičnih naprezanja

Tablica 9.4.

Usporedba maksimalnih posmičnih naprezanja

POPREČNI PRESJEK

max 2/N mm

0.926

0.926

1.48

2.31

1.377

0.819

USPOREDBA %

min/

131.1

131.1

180.7

282.1

168.1

100

POPREČNI PRESJEK

max 2/N mm

1.218

0.926

1.565

1.602

1.623

1.383

USPOREDBA %

min/

148.7

131.1

191.1

195.6

198.2

168.9

33


Zvonimir Hađinac

11. ZAKLJUČAK

Poprečne sile i momenti savijanja koji djeluju na 12 različitih presjeka prikazali smo tablično. Usporedba se radi sa presjekom koji ima najmanja naprezanja u slučaju normalnih i posmičnih naprezanja. I presjek se pokazao kao presjek sa najvećim iskorištenjem kod normalnih naprezanja (ima najmanja naprezanja u rubnim vlakancima). Razlika normalnih naprezanja u odnosu na ostale presjeke se kreće oko 2-5 puta. Najveća razlika je u odnosu na trokutni profil koji je stoga i najmanje iskoristiv. U slučaju posmičnih naprezanja, najmanja naprezanja ima puni kružni presjek, sa malom razlikom u odnosu na ostale pune presjeke, kvadratni,pravokutni i trokutni. Potpuno suprotno od normalnih naprezanja T,H i I profili imaju najlošiju iskoristivost a osobito H profil sa 2.8 puta većim posmičnim naprezanjem. Ovim radom je pokazana važnost pravilnog odabira oblika presjeka pri konstruiranju kao jedan od mnogih faktora s kojima racionalno oblikujemo konstrukciju.

12. LITERATURA

[1] Šimić, V.: Otpornost materijala 1, Školska knjiga, Zagreb,1992

[2] Bazjnac, D.: Nauka o čvrstoći , Tehnička knjiga, Zagreb, 1968

[3] Brnić, J., Turkalj, G.: Nauka o čvrstoći 1, Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci, 2004

[4] http://www.mathalino.com/reviewer/mechanics-and-strength-of-materials/mechanics-

and-strength-of-materials

[5] http://forum.civilea.com/

34


Zvonimir Hađinac

Documents

Naprezanja uslijed djelovanja momenta savijanja i poprečne ... · vrijednosti Tz pozitivne ako promatrani presjek okreće u smjeru kretanja kazaljke na satu. My je pozitivan ako