1

Vitensenteret

Når matematikk blir magisk

AvNils Kr. Rossing

Vitensenteret/Skolelaboratoriet ved NTNU

2

Vitensenteret

Har du opplevd nøkkelhulles magiske tiltrekning?

Nils Kr. Rossing

3

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

4

Vitensenteret

En liten detalj i et

bilde

Nils Kr. Rossing

5

Vitensenteret

Albrecht Dürer(1471-1528)

Melencholia I

6

Vitensenteret

Albrecht Dürers magiske kvadrat

Nils Kr. Rossing

7

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Albrecht Dürers magiske kvadrat

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

=34

=34

=34

=34

34=

34=

34=

34= =3434

=

8

Vitensenteret

Magiske kvadrater med 3 x 3 ruter

8 1 63 5 74 9 2

=15

=15

=15

15=

15=

15= =1515=

9

Vitensenteret

Hvordan gjør man det?

NØ

8635

7

4

91

2

23 78

9

1. Plasser 1 midt på øverste rad

2. Plasser neste Nord-Øst for forrige

3. Opptatt? Plasser neste under forrige

10

Vitensenteret

Et 5 x 5 kvadrat

Nils Kr. Rossing

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

11

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Albrecht Dürers magiske kvadrat

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

=34

12

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Albrecht Dürers magiske kvadrat

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Utenfor diagonaleneteller ned

På diagonaleneteller opp

13

Vitensenteret

Det dobbelt magiske kvadratet

Nils Kr. Rossing

18

99

86

616

681

98

199

116

69

888

968

11

96

=264

=264

=264

=264

26

4=

26

4=

26

4=

26

4= =26426

4=

14

Vitensenteret

Men hva er så magisk med dette kvadratet?

Nils Kr. Rossing

18

99

86

616

681

98

199

116

69

888

968

11

96

18

99

86

61 6

681

98

19 9

116

69

88 8

968

11

96

Alle summer er 264

15

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Bryllups-datoen

16

Vitensenteret

− 33 år3. mars3 333 år−3 3 33

=

17

Vitensenteret

Velg et tresifret tallFørste siffer større enn siste siffer

682-286

6

1010

+6931089

93

18

Vitensenteret

(10-a+c+a-1-c)(1+a-1-c+10-a+c)

Velg et tresifret tall abcFørste siffer større enn siste siffer a>c

abc-cba

(10-a+c)

1010

9

(10-b+b-1)(a-1-c)(a-1-c)9+(10-a+c)

8

+1

10

9

19

Vitensenteret

Så hva blir svaret på vårt lille regnestykke…?

33 • 33 = 1089

20

Vitensenteret

9801

21

Vitensenteret

… om å multiplisere 1089

22

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

98011089

23

Vitensenteret

5 : 9801

0,0005101520253035404550556065707580

7 : 9801 0,0007142128354249566370778491990613

…98…105

…112

Hva om tar et tall og deler på 9801?

24

Vitensenteret

1:1089 = 0,00091827364554637281911:9801 = 0,0001020304050607080910

2:1089 = 0,00183654729109274563822:9801 = 0,0002040608101214161820

3/1089 = …

Våger vi å ta et tall å dele på 1089?

25

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Fillete tabeller

26

Vitensenteret

Det er tre typer løgn

LøgnForbannet løgn

Statistikk

Nils Kr. Rossing

27

Vitensenteret

Theodore P. Hills utfordringProfessor Emeritus ved Georgia Institute of Technology

Kast mynt og kron 200

ganger og skriv opp

resultatet, eller forfalsk

resultatet av 200 kast, så skal

jeg avsløre hvem som har

jukset og hvem som har

kastet.

www.skolelab.ntnu.no/

28

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Simon Newcombs oppdagelse

10313,4510635

24,732352986,45

3437,698739,8

29

Vitensenteret

Simon Newcombs oppdagelse

www.skolelab.ntnu.no/

30

Vitensenteret

Benfords gjenoppdagelse

www.skolelab.ntnu.no/

Benfords lov

Tilfeldige tall fra avis

Folketall i 3141 distrikter i USA

31

Vitensenteret

Hva kan så dette brukes til?

www.skolelab.ntnu.no/

Benfords lov Skattedata (riktige) Tilfeldige tall skrevetned av 741 studenter

Skattedata (forfalskede)

32

Vitensenteret

Hvordan sannsynliggjøre Benfords lov?

La oss tenke oss innbyggertallet i en liten norsk kommune:

www.skolelab.ntnu.no/

10002000

30004000

5000

En økning fra 1000 til 2000 er en fordobling av antallet.En økning fra 2000 til 3000 er en relativ økning på 50%En økning fra 3000 til 4000 er en relativ økning på 33%En økning fra 4000 til 5000 er en relativ økning på 25%

33

Vitensenteret

Så hvordan klarte Theodor Hill å avsløre studentene sine?

www.skolelab.ntnu.no/

34

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Et stykke papir

35

Vitensenteret

To sider og to kanter?

Et stykke papir

Nils Kr. Rossing

To sider og en kant To sider og to kanter

I matematikken ser vi etter mønster

36

Vitensenteret

Et stykke papir

Nils Kr. Rossing

To sider og to kanter

37

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Et stykke papir

Hva med:• To sider og tre kanter?• En side og null kanter?• To sider og null kanter?• Tre side og to kanter?

• En side og en kant?

38

Vitensenteret

I skrivebordsskuffen tilMöbius fant man etter hans

død, et papir som bare hadde en side og en kant.

August Ferdinand Möbius

Möbius-båndet

(1790-1868)

39

Vitensenteret

Möbiusbåndet

Nils Kr. Rossing

40

Vitensenteret

Bruk av Möbius-bånd i verkstedet

41

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Möbiusbåndet (½ vridning)

Klippes langs midten

42

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Möbiusbåndet (2 · ½ vridning)

Klippes langs midten

43

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Möbiusbåndet (3 · ½ vridning)

Klippes langs midten

44

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

Möbiusbåndet (4 · ½ vridning)

Klippes langs midten

45

Vitensenteret

Nils Kr. RossingKlippes langs ⅓ fra kanten

Möbiusbåndet (½ vridning)

46

Vitensenteret

Klipp langs ett ”8-tall”

Nils Kr. Rossing

47

Vitensenteret

Nils Kr. Rossing

48

Vitensenteret

Den magiske matematikken

Nils Kr. Rossing

• … om å se mønster• … om systematisere og se muligheter• … om forenkle en problemstilling

• … om å være nysgjerrig• … om å utforske• … om å stille spørsmål, annerledes spørsmål