Naviglio Piccolo · 2017-11-12 · ... il mondo oltre lo specchio cambia le cose nella ... vedremo che l’evoluzione del concetto e il suo rivoluzionario utilizzo hanno prodotto

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Circolo Famigliare di Unità Proletaria – Milano – Viale Monza 140

Giovedì 16 novembre 2017 - ore 21.00

Specchio, specchio delle mie brame …

a cura di

Maria Cristina Fighetti Pierluigi Boschetti

La favola insegna…il mondo oltre lo specchio cambia le cose nella forma e/o nella sostanza? Dalla matrigna di Biancaneve al Bianconiglio di Alice, o meglio dall’arte alla scienza, è un’escursione nell'argomento della simmetria, un piccolo tratto di strada lungo il pensiero dell'uomo. Giocano un ruolo di primo piano sia la simmetria sia il suo opposto, l'asimmetria, vista come violazione: si combatte una lotta tra avversari di pari potenza. Ordine e legge da una parte, arbitrarietà e possibilità dall'altra, qui rigidità e costrizione, là vivacità, gioco e libertà. Ad un estremo, la rigidità del blocco totale; all'altro la mancanza di forma, il caos. Da qualche parte nella scala, tra i due estremi, trova il suo posto particolare ogni stile, ogni individuo ed ogni opera d'arte, musica compresa. É così che, per numerose ragioni estetiche, psicologiche o per considerazioni di ordine scientifico, la simmetria non è mai perfetta, ma è sempre accompagnata da piccole "rotture" che ne aumentano l'interesse, perfino nei volti delle persone. È d’obbligo partire dall'uso della simmetria nelle piastrelle dell'Alhambra moresca, dove gli artigiani arabi, ligi al comandamento di non fare immagini di Dio, hanno liberato la loro fantasia nella progettazione di strutture simmetriche astratte (è stato dimostrato più di 500 anni dopo che non esistono altri tipi di simmetria per ricoprire completamente il piano oltre quelle da loro individuate). Si prosegue nelle varie manifestazioni umane fino ai profondi mutamenti nei paradigmi stessi della fisica contemporanea prodotti dall’evoluzione del concetto di simmetria. E. Wigner, premio Nobel per la fisica nel 1963, li sintetizza con un suo pensiero: “Al livello più profondo tutto ciò che troviamo sono le simmetrie e le loro conseguenze.” La semplificazione fornita da una visione simmetrica ci permette di formulare leggi ed equazioni per determinare l'evoluzione dei sistemi fisici. Per questo diciamo che, all'origine dell'Universo, le particelle di materia e di antimateria avrebbero dovuto essere esattamente simmetriche: tante particelle dell'uno e dell'altro tipo. Ma sappiamo anche che materia e antimateria dovrebbero "annichilirsi" nell'incontro, lasciando solo energia, per riprodursi poi nuovamente in coppie e via così. Ovvio che un universo siffatto sarebbe altamente instabile, ma siamo stati "fortunati". Una iniziale rottura di simmetria tra le due componenti, e precisamente una piccolissima eccedenza di materia, ha prodotto l'Universo materiale così come lo conosciamo, permettendo l'esistenza dell'uomo.

Quota di partecipazione € 3,00

Viale Monza 140 I Piano (M1 Gorla - Turro) Informazioni: www.navigliopiccolo.it email [email protected]

http://www.navigliopiccolo.it/

mailto:[email protected]

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SPECCHIO, SPECCHIO DELLE MIE BRAME…

Tutti sanno che una cosa è impossibile, poi arriva uno che non lo sa e la fa. (A. Einstein) Vogliamo brevemente esplorare il concetto di simmetria, appartenente al pensiero dell’uomo, mostrando che esso si manifesta in tutti campi, quali arte, costume, psicologia e scienza. In quest’ultimo ambito, vedremo che l’evoluzione del concetto e il suo rivoluzionario utilizzo hanno prodotto profondi cambiamenti nei paradigmi stessi della fisica contemporanea. Il fascino della simmetria Un breve raccontino tratto da “Il piccolo principe” dello scrittore francese Antoine de Saint-Exupéry esemplifica poeticamente il fascino che la simmetria esercita sull’uomo. Ecco un breve passo del dialogo tra un fiore e il piccolo principe:

“Come sei bello!” “Vero”, rispose dolcemente il fiore, “e sono nato insieme al sole…” Il piccolo principe indovinò che non era molto modesto, ma era così commovente! “Come fai ad essere così bello?” “Vedi, io sono un fiore e sono una creazione della

natura, e in quanto tale sono perfettamente simmetrico...” “Non capisco” rispose il piccolo principe sorpreso dall’uscita del fiore. “Ora ti spiego” disse superbamente il fiore. “In natura esistono tantissime simmetrie” “E a cosa servono?” “Beh, a fare i fiori belli, non c'è dubbio. Una simmetria della natura è qualcosa che il sole ci ha dato e che nessuno potrà mai imitare. Tutto, in natura, nasce da una simmetria. Tante cose in natura sono simmetriche, sai?” “Cosa?” “Ad esempio le stelle marine, i fiocchi di neve, le celle degli alveari delle api e i cristalli...

…l'uomo! ” ” Mai stata neve né api sul mio pianeta” Il piccolo principe però era attirato dai discorsi del fiore.

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“Tutti gli esseri viventi sono belli e simmetrici sotto diversi punti di vista... io, ad esempio, sono colorato e le simmetrie dei colori dei miei petali mi fanno bello”.

Significato originario di simmetria Il significato originario di simmetria era diverso da quello che intendiamo oggi. Con tale termine si intendeva la bellezza che deriva dall’armonia delle proporzioni. E infatti la ricerca artistica della bellezza, culminata nel canone di Policleto, era l'approfondita ricerca di proporzioni che rendessero l'opera "armoniosa" in tutti i suoi aspetti. Al riguardo Hermann Weyl (1885-1955), nel suo affascinante libro “La Simmetria”, ha efficacemente commentato "Attraverso la simmetria l’uomo ha cercato di percepire e creare ordine, bellezza e perfezione”. L’argomento rivestiva per i greci una tale importanza, non solo artistica, che li spinse persino a cercare un’interpretazione della struttura dell’universo con movimenti e disposizioni degli oggetti più simmetrici, sfere e cerchi. D'altra parte sappiamo che il permanere del concetto di “armonia delle sfere", sempre alla ricerca delle spiegazioni il più simmetriche possibili dell'universo, dominò l’astronomia per almeno 1500 anni. Ancora nel 1596 Kepler (1571-1630), nel suo "Mysterium cosmographicum", basava l’architettura del sistema planetario sui cinque solidi regolari. La successiva scoperta delle tre famose leggi, che portano il suo nome, fu in ogni caso la conseguenza dei suoi primi tentativi di inquadrare il sistema solare all’interno di leggi semplici e armoniose: spiegare le regolarità del mondo fisico attraverso regolarità matematiche risultanti da considerazioni di simmetria. Il termine συμμετρια (simmetria) deriva appunto da συν (con, insieme) e μετρον (misura) e originariamente stava ad indicare una relazione di misurabilità, riferita ad enti fra i quali si può stabilire un rapporto, a grandezze che ammettono un'unità di misura comune, concetto basilare negli Elementi di Euclide. Questa idea di simmetria è ancorata nel profondo dello spirito umano, quasi come sinonimo di bellezza e si ritrova in tutti i domini del pensiero: dall’arte, alla filosofia, alla scienza. La simmetria allo specchio Lo specchio è stato uno dei primi strumenti atto ad evidenziare in maniera tangibile la simmetria. L’uomo si alimenta di pensieri, emozioni, intelletto; ma è il suo corpo che, interagendo con l'ambiente, gli fornisce gli stimoli necessari per progettare ed evolversi. Allora è facile pensare che tra i primi istinti dell’uomo, ci sia stato quello di prendere coscienza del proprio corpo guardando la propria immagine, magari per verificarne l'armonia e la bellezza.

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Forse il primo modo per specchiarsi è nell'acqua come ci suggerisce il Narciso di Caravaggio

Caravaggio, Narciso 1597-1599 Allora poteva diventare conveniente procurarsi specchi che fossero sempre a disposizione. Lo specchio è da sempre legato all’universo femminile; infatti il cosiddetto specchio di

Venere, è il simbolo stesso del sesso femminile. Quotidianamente lo specchio aiuta le donne a mantenersi in armonia con sé stesse; un’ultima occhiata allo specchio prima di uscire, e via, come ci suggerisce l'immagine rappresentata nel vaso greco qui sopra. Dobbiamo però renderci conto che la simmetria perfetta è in qualche modo troppo dura, troppo rigida e diversa dalla natura delle persone, come è stato suggerito già da Immanuel Kant, che osserva: "Tutte le regolarità rigide (come le trame matematiche) sono intrinsecamente ripugnanti al gusto, in quanto la loro contemplazione non ci offre piaceri durevoli ... e ci stanca quasi subito". Dello stesso parere lo storico dell'arte, Ernst Gombrich, che sottolinea la monotonia nella simmetria assoluta: “Una volta che abbiamo colto il principio di ordine, siamo in grado di imparare le cose a memoria.

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– Abbiamo facilmente visto abbastanza, perché non sorprende più – in modo che, simmetria e asimmetria sono visti come una lotta tra due avversari di pari potenza, il caos informe, su cui abbiamo le nostre idee, e la forma troppo monotona, che illuminiamo di nuovi accenti”. Lo stesso conflitto è stato sottolineato anche dallo psicologo Rudolf Arnheim: “Simmetria significa riposo e collegamento, asimmetria significa movimento e distacco. Ordine e legge da una parte, arbitrarietà e possibilità dall'altra, qui rigidità e costrizione, là vivacità, gioco e libertà . [...] Ad un estremo ... la rigidità del blocco totale; all'altro ... la mancanza di forma altrettanto terrificante del caos. Da qualche parte nella scala, tra i due estremi, trova il suo posto particolare ogni stile, ogni individuo ed ogni opera d'arte.” Come ha suggerito Adorno, probabilmente l’asimmetria risulta più efficace quando traspare dalla simmetria di fondo su cui è costruita, e viceversa la simmetria risulta più interessante quando si nota qualche piccola asimmetria che la vivacizza. Fin dall'antichità lo specchio ha suggerito la realizzazione di acconciature per rendersi più belli, per correggere qualche piccola asimmetria del volto. E qui dobbiamo fare un'osservazione che si ricollega alle considerazioni estetiche precedenti e che si dimostrerà di un'importanza veramente cruciale. Vediamo attraverso alcune immagini come a volte la simmetria perfetta non è così "bella" come potrebbe sembrare. Alcune sia pur piccole “rotture di simmetria” nei volti, conferiscono quella bellezza che la simmetria perfetta nasconde. Usiamo una foto di Monica Bellucci per vedere se c’è una simmetria perfetta o no.

Troviamo l’asse di simmetria per eseguire la riflessione

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foto originaria foto con riflessione della parte destra del volto

Non è lo stesso. Potrebbe dipendere da un errore di riflessione per l’inclinazione dell’asse di simmetria?

vediamo meglio, con l’asse di simmetria aggiustato

foto originaria

foto con riflessione della parte sinistra del volto

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foto con riflessione della parte destra del volto

Nei vari tentativi è cambiato l’aspetto originario. La simmetria del volto “vero” è imperfetta. La simmetria nell'arte antica Dalla necropoli di Saqqara riportiamo due antichissimi esempi di simmetria e della sua rottura.

Nella prima immagine si vede un bassorilievo della tomba di Ti della V dinastia (2504-2347 a.C.), nella seconda un bassorilievo dipinto, all’inizio della VI dinastia (2350-2190 a.C.). Notiamo la sensibilità con cui l’artista egizio ha reso più interessante la fila ordinata di asini, inserendone nel primo due a testa china e uno che procede in senso inverso e nel secondo uno che bruca. L'amore per la simmetria si manifesta anche nel bassorilievo assiro qui rappresentato dove le figure sono speculari rispetto all’asse centrale.

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Notiamo poi la simmetria del bassorilievo persiano qui sopra, che non è solo speculare, perché le figure sono anche ruotate di 180º attorno all'asse centrale. Infatti, per esempio, gli scudi che nelle figure di destra sono rivolti verso di noi, nelle figure di sinistra sono rivolti al muro. Fin dall'epoca sumerica la simmetria è rappresentata nelle immagini sui bassorilievi e sui vasi .come in quello qui riportato e noto come vaso d'Entemena della metà del III secolo A.C. in cui è ben visibile la simmetria centrale dell'aquila leontocefala Vaso sumerico di Entemena della metà del 3 secolo a.C. (Louvre) Anche le popolazioni indigene come gli indiani Navajo, Apache o i Tlingit, che sono un popolo indigeno del nord-ovest del Canada, prediligono immagini altamente simmetriche. Qui di seguito alcune realizzazioni evidenziano il loro interesse per la simmetria, talvolta con interessanti variazioni.

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immagini Tlingit totem Apache tappeto Navajo

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La simmetria nell'arte araba Tra tutte le manifestazioni antiche della simmetria un posto di assoluto rilievo merita l'uso che gli abilissimi artigiani moreschi del 1300 ne fecero nel decorare le pareti dell’Alhambra. Non potendo usare immagini antropomorfe per ragioni religiose, ricorsero a quanti più motivi geometrici e simmetrie poterono. Così riuscirono a creare mattonelle di ceramica con 17 tipi diversi di simmetria.

La residenza dei sultani di Granada era l’Alhambra, «La (fortezza) Rossa» che sovrasta la città, e i re spagnoli vi si trasferirono. Fu lì, ad esempio, che essi diedero a Colombo il beneplacito per il suo primo viaggio. E fu lì che lo stesso Colombo venne processato nel 1500, dopo essere stato arrestato nelle Indie per quelli che oggi si chiamerebbero «crimini di guerra». Naturalmente l’avventuriero fu assolto, e ricevette un nuovo beneplacito per il suo quarto e ultimo viaggio, pur perdendo il titolo di viceré. Non stupisce che l’Alhambra continuasse a essere una reggia anche sotto gli spagnoli, visto che i Mori ne avevano fatto una nuova meraviglia del mondo. All’originaria fortezza

Premettiamo un piccolo cenno storico. Nel 711 gli arabi passarono lo stretto di Gibilterra, e in breve tempo conquistarono la Spagna. L’intera penisola iberica, con la sola eccezione delle Asturie, divenne "al Andalus": un regno dapprima soggetto all’impero arabo, ma dal 756 sotto il governo autonomo dell’emiro di Cordoba. Un emiro che nel 929 arrivò a proclamarsi califfo, alla pari di quelli di Bagdad e Tunisi. Per quasi un secolo il califfato prosperò, economicamente e culturalmente. Agli inizi del nuovo millennio tuttavia il califfato incominciò a sgretolarsi, e perse lentamente un tassello dietro l’altro, Cordoba compresa. A metà del duecento era ormai ridotto al sultanato di Granada, e costretto a pagare tributi al regno di Castiglia. Ma rimaneva comunque la spina nel fianco della cristianità, come ultima roccaforte musulmana in Europa. Il suo destino fu segnato nel 1469, quando il matrimonio fra Ferdinando d’Aragona e Isabella di Castiglia pose le basi per l’unificazione della Spagna. Una volta saliti entrambi al proprio trono, i due re dedicarono i primi dieci anni di governo congiunto a chiudere i conti della Riconquista. E il 2 gennaio 1492 Granada capitolò, in seguito a un assedio durato sei mesi. Dopo aver emesso quello che passò alla storia come «l’ultimo sospiro del Moro», il sultano Boabdil consegnò le chiavi della città a Isabella, che vi entrò alla testa di un’interminabile processione, cantando il Te Deum e impugnando il crocifisso. Nonostante gli accordi, i Mori e gli Ebrei furono espulsi non solo dalla città, ma dal paese. E l’inquisizione, istituita dalla regina e istruita da Torquemada, si impegnò a ripulire etnicamente la Spagna dai rimanenti convertiti, considerati una macchia e una minaccia alla purezza religiosa dei cattolici. Il giorno della caduta di Granada uno spettatore di nome Cristoforo Colombo assistette allo spettacolo, e vi accennò in apertura del suo Diario di bordo. Dopo pochi mesi, finanziato da Ferdinando e Isabella, partì con tre caravelle alla ricerca di una nuova via per le indie. Il 12 ottobre 1492 «scoprì l’America», e al suo ritorno la consegnò ai Re Cattolici. In uno stesso anno, così, terminò la Riconquista della piccola Spagna e iniziò la Conquista dell’immenso nuovo Mondo, tutto da convertire e sfruttare.

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dell’Alcazaba, infatti, essi avevano gradualmente aggiunto nei secoli una serie di mura, porte, torrioni, palazzi, porticati, giardini e fontane, culminati nella perfezione architettonica del Palazzo dei Leoni. E i cristiani vi aggiunsero del loro: in particolare, il palazzo rinascimentale di Carlo V, le cui mura e il cui cortile costituiscono un quadrato circoscritto a un cerchio. A impressionare, allora come ora, sono però soprattutto le astratte decorazioni policrome dell’intero complesso moresco. Gli arabi, infatti, analogamente agli Ebrei, ma diversamente dai cristiani, prendono sul serio i Comandamenti. O, almeno, il secondo, che ordina esplicitamente: “non ti farai idolo né immagine alcuna di quanto è lassù nel cielo, né di quanto è quaggiù sulla terra, né di ciò che è nelle acque sotto la terra”. Il legislatore dell’Antico Testamento, che per i credenti è Dio stesso, proibisce dunque, senza fraintendimenti, qualunque tipo di raffigurazione di uccelli, animali e pesci, e più generalmente della natura. In una parola, pone divinamente fuori legge tutta l’arte figurativa che caratterizza la cultura cristiana, e di cui traboccano non solo i musei profani, ma anche gli edifici sacri! Accettando una restrizione così radicale, gli ebrei e gli arabi furono costretti a rivolgersi all’arte astratta, che costituisce dunque l’unico ornamento delle sinagoghe e delle moschee. E, soprattutto, dell’Alhambra, i cui fregi forniscono una specie di catalogo illustrato di quelli che, non a caso, vengono chiamati «arabeschi». Ecco qui una serie di esempi di mattonelle dell’Alhambra:

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Come è successo spesso, solo nel 1800 lo sviluppo matematico della teoria dei gruppi di Galois riuscì a dimostrare che effettivamente non era possibile costruire altri tipi di simmetria per mattonelle che ricoprissero l’intero pavimento, e quindi gli abili artigiani

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moreschi con il loro intuito sono stati capaci di trovare tutte le possibili simmetrie geometriche per tassellare il piano. Ritorna poi in questo quadro di Salvator Dalì il fascino dell’esplorazione nella simmetria

Salvador Dalì: Cinquanta dipinti astratti che, visti a 2 iarde di distanza, si trasformano in tre Lenin travestiti da cinese e che, a 6 iarde, appaiono come la testa di una tigre reale, 1962.

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Simmetria e asimmetria Per illustrare ulteriormente il rapporto dialettico tra simmetria e asimmetria, vorrei prendere ad esempio la facciata della cattedrale di San Michele a Lucca, in cui a prima vista appare evidente la simmetria rispetto all’ asse centrale e il suo valore estetico. Ad una indagine più dettagliata, però, si scopre che le colonnine sono una diversa dall'altra, come si vede dalla foto, cioè il canone estetico diviene quello della rottura di simmetria. In effetti, il risultato è di rendere la facciata più vibrante, più mossa, più interessante. Per quel che può valere, in tale esempio abbiamo quindi una simmetria valida a grandi linee (a livello ”macroscopico”) e una sua rottura nei dettagli (livello ”microscopico”).

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Si conferma che la simmetria è bella ed apprezzabile in un contesto di non simmetria; la simmetria spinta oltre un certo limite può sconfinare nell’uniformità. La godibilità estetica di una forma o oggetto simmetrico si accompagna, forse in maniera imprescindibile, al fatto che la sua percezione e la sua descrizione è semplificata: un oggetto, specie se complesso, senza proprietà di simmetria è più difficile da descrivere e la sua appropriazione visuale più laboriosa. La simmetria si apparenta quindi con la semplicità, con l’ordine, l’assenza di simmetria con la complessità, con la molteplicità. Sembra comunque che la simmetria o la rottura di simmetria sia lo snodo dove si inquadrano le capacità umane più profonde: arte e scienza. Vi sono situazioni che le contengono entrambe, come i così detti frattali. “La Scienza non è che la spiegazione di un miracolo che non riusciamo mai a spiegare e l'Arte è un'interpretazione di quel miracolo.” (Ray Bradbury, Cronache marziane, 1950) “Le leggi fisiche devono avere bellezza matematica" (Paul Dirac) Un frattale è un fenomeno naturale o un insieme matematico che presenta precise caratteristiche, alcune macroscopicamente evidenti anche ai non addetti ai lavori (caratteristiche che hanno reso questi oggetti immediatamente affascinanti a chiunque abbia avuto l’occasione di posarci sopra gli occhi), mentre altre nascoste in meandri più reconditi ma altrettanto affascinanti: tra queste il più famoso è lo schema ripetuto e visualizzato a qualsiasi livello di ingrandimento noto anche come simmetria ad espansione o simmetria evolutiva.

In geometria un frattale è un oggetto che si ripete nella struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero non cambia aspetto anche se visto con una lente di ingrandimento. Questa caratteristica è detta auto similarità o autosomiglianza. La costruzione della struttura segue una legge di sviluppo.

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Oggetti con un tale comportamento potrebbero apparire costruzioni artificiali, sebbene siano frequenti in natura: la disposizione dei rami di un albero, la conformazione di un cavolfiore, la distribuzione degli alveoli polmonari, la superficie delle nuvole, il percorso di un fiume, la conformazione delle coste, la struttura delle galassie, il lampo di un fulmine, le ramificazioni del deposito di uno ione in un processo elettrolitico, eccetera.

In effetti i frattali sono un nuovo potente linguaggio matematico, grazie al quale è possibile descrivere fenomeni naturali e risolvere problemi della realtà – perfino le complesse dinamiche dei mercati finanziari – che erano stati un tempo accantonati. Si tratta di una Matematica moderna che si avvale in modo determinante dell'Informatica, anche se la sua genesi è antica. I frattali non sono però solo oggetti matematici, privi di ogni attrattiva per chiunque non sia interessato alla materia, ma, grazie alla loro varietà e al loro piacevole aspetto grafico, possono diventare addirittura oggetto di "arte". Alla fine del '700 si organizzano, in Europa e in America, le Esposizioni Universali in cui ogni Paese mette in mostra il meglio della propria produzione industriale. Con l'introduzione del ferro si riescono a costruire in tempi brevi enormi strutture, spesso smontabili e riutilizzabili. La Torre Eiffel è stata realizzata come simbolo dell'Esposizione Universale di Parigi da Gustave Eiffel.

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La struttura della Torre Eiffel a Parigi è riecheggiata da un classico frattale, il triangolo di Sierpinski. Il triangolo di Sierpinski si ottiene mediante il seguente metodo iterativo: - prendere come figura di partenza un triangolo equilatero di lato 1; - eliminare dalla sua superficie il triangolo che si ottiene unendo i punti medi dei lati del triangolo di partenza, ottenendo 3 triangoli di lato 1/2 ; - ripetere l’operazione su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati ottenendo così 9 triangoli di lato 1/4 ; - ripetere l’operazione su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati e così via, iterativamente, o almeno fino a che è possibile distinguere i triangoli.

Lo stesso schema compare in decorazioni arabe e di stile cosmatesco.

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Anche le spirali sono alla base dei frattali. La spirale è quella curva piana che ha la proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno ad un punto, come la traiettoria descritta da un punto P mobile su una semiretta che ruota attorno al suo centro O; OP è detto raggio vettore (r) della spirale e i tratti curvilinei sono detti spire. La definizione geometrica è complicatissima se si pretende di darne una

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rappresentazione statica. Probabilmente per questo i greci non ci riuscirono, mentre Archimede ne scrisse un trattato con occhio dinamico.

È una struttura molto diffusa in natura: dai cicloni alle galassie, dalle corna di alcuni animali (come i montoni) fino alle conchiglie, dal moto dei cicloni alla molecola del DNA, dai fiori di girasole fino alle zanne degli elefanti. Ci sono anche le galassie a spirale.

Numerosi artisti hanno utilizzato forme a spirale, tra cui l’impressionista Van Gogh

La Land Art (<<Arte del territorio>>) è nata negli Stati Uniti nel 1969-1970. Nel 1970 Robert Smithson realizza la Spiral Jetty sul Great Salt Lake. La forma è fortemente simbolica ed evocativa; il camminamento in pietre è inserito in un sistema naturale in evoluzione.

Pollock fu l'inventore e il massimo rappresentante della corrente Action Painting che dilagava in tutto il suo studio, uno spazio pienamente vissuto. Nel 1947, l'artista mise a punto la tecnica del dripping, consistente nell'eliminazione del pennello, che è sostituito da gocciolature di colori sintetici puri su tele o più cartoni distesi al suolo.

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E' attraverso questa tecnica che nasce il celebre dipinto Pali Blu (1953). Non appena il matematico Richard Taylor si trovò di fronte quest'opera, gli venne spontaneo pensare ai frattali. L'intreccio di linee rifletteva la caratteristica fondamentale del frattale, la "autosomiglianza". Da qui attraverso un'analisi al computer dei suoi quadri ci si rese conto che le tele gocciolate di Pollock sono frattali di cui è anche possibile calcolare la dimensione, tipica grandezza frattale (vedi appendice), scoprendo come è andata crescendo nel corso degli anni. Abbiamo indagato sull'aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non è altrettanto godibile. L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico.

Nella musica la frattalità è evidente poiché l’autosomiglianza è testimoniata nella gradita ripetizione dei temi riproposti tante volte in tonalità diverse con sfumature differenti in uno stesso brano.

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Secondo i risultati dell'analisi di un buon numero di composizioni musicali è emerso che anche per il ritmo vale quanto già scoperto per l'altezza dei suoni: la musica risulta piacevole quando ha una struttura frattale che permette di realizzare un equilibrio dinamico fra prevedibilità e sorpresa. Un brano di musica che consiste di note scelte a caso ci risulta fastidioso, così come la ripetizione senza fine dello stesso motivo diventa implacabilmente noiosa. A tutti noi piacciono suoni che abbiano una loro struttura e varietà. Brani risalenti fino a 3 secoli fa e su dozzine di compositori e stili sono stati interpretati alla luce dei frattali, oggetti geometrici fantastici, sorprendenti, in grado non solo di stupire per la loro bellezza e armonia, ma anche in quanto riescono a descrivere un'ingente quantità di fenomeni naturali e persino la buona musica. Potete trovare con Internet video musicali relativi a musica frattale ed interpretazioni di brani di compositori come Bach, Mozart e Beethoven. Simmetria e armonia Filosofi, matematici, artisti e pensatori in genere da sempre sono stati affascinati dalla simmetria, con interpretazioni mutevoli del concetto. Nel mondo greco antico, il termine simmetria assume i significati di armonia, proporzione, intesa soprattutto come proporzione numerica fra elementi spaziali. L'etimologia del termine di origine greca fa proprio riferimento a una relazione di misura fra parti o elementi diversi. Pitagora scoprì un vero e proprio ponte tra la musica, disciplina che apparteneva al mondo delle arti, e il mondo fisico, un ponte rappresentato dalla matematica. Non è un caso che grandi musicisti siano stati anche pregevoli matematici; nella musica, infatti, si verificano sia relazioni di proporzione tra le note, sia relazioni geometriche nella struttura delle composizioni. Inizialmente, l’idea di armonia si è concentrata sull’uguaglianza delle parti rispetto all’insieme, intesa come intercambiabilità tra parti uguali, che possono essere scambiate l’una con l’altra preservando l’insieme. Tutto ciò può essere codificato in specifiche operazioni matematiche, come le riflessioni, le rotazioni, e le traslazioni, che consentono di descrivere con precisione come le parti devono essere scambiate tra loro. Il risultato è una definizione della simmetria di una figura geometrica in termini della sua invarianza, rispetto allo scambio tra parti regolato da ciascuna specifica operazione. Così, quando le due metà di una figura a simmetria bilaterale vengono scambiate per riflessione, la figura originale resta immutata e tale figura si dice invariante per riflessione tra destra e sinistra. E di ciò abbiamo visto realizzazioni anche nell’arte antica. Nel tempo il concetto ha acquisito un significato più ampio, legato ad una relazione di proporzione, fondata sui numeri (interi), e con la funzione di armonizzare i differenti elementi in un insieme unitario, ma un gusto estetico ha comunque caratterizzato l’introduzione della simmetria nella comprensione del mondo, o, in modo più generale, nelle regolarità che formano l’essenza della nozione di legge fisica. La simmetria ha il grande pregio di fornire all'uomo uno strumento per comprendere in sintesi sistemi complessi. Le regolarità messe in evidenza nei fenomeni naturali si rispecchiano nelle leggi fisiche anche quando sono espresse nel linguaggio specialistico che è quello matematico, sia esso geometrico, sia funzionale. Le caratteristiche sono pertanto riconoscibili per gli addetti ai lavori semplicemente osservando la forma in cui sono scritte e, viceversa, dalla forma si possono dedurre i fondamentali caratteri del fenomeno descritto. In conclusione, la simmetria sostanziale e formale ha il grande pregio di fornire all'uomo uno strumento per comprendere in sintesi sistemi complessi.

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Dalla fine del XIX secolo (ad opera di Galois) la teoria della simmetria ha avuto sviluppi molto significativi in matematica (teoria dei gruppi) e in particolare nella fisica moderna, tanto che vedremo alcune delle più grandi scoperte della fisica teorica del XX secolo come scoperte di particolari simmetrie dei sistemi fisici. Come ha ben sottolineato Eugene Wigner, tra i pionieri della riflessione sul ruolo della simmetria in fisica, da una parte ci sono le condizioni iniziali che sono arbitrarie, complicate, e impossibili da prevedere. Dall’altro ci sono le leggi della natura che riassumono regolarità indipendenti dalle condizioni iniziali. Le leggi sono a volte difficili da scoprire, perché possono essere nascoste dalle irregolarità delle condizioni iniziali o dall’influenza di fattori incontrollabili come l’attrito o le fluttuazioni termiche. I principi di simmetria, invece, riassumono in sé le regolarità delle leggi che sono indipendenti dalle dinamiche specifiche e quindi giocano un ruolo importante. La simmetria strutturale ha un esempio eccezionale in fisica: il dualismo onda-corpuscolo. Fino agli inizi del XX secolo la divisione tra materia e onda è chiara nelle leggi ed equazioni fisiche che presentano i due oggetti come separati in casa. Einstein scopre però che, per spiegare alcuni fenomeni, la luce (onda, radiazione) si deve comportare come particella (fotone). Ipotesi sconvolgente! Ma non basta: De Broglie nel 1924 ipotizza nella sua tesi di laurea che per simmetria le particelle, in alcune situazioni, devono mostrare comportamento da onda (De Broglie, 1924). Ipotesi puramente teorica, oltretutto fortemente avversata dagli accademici che mettevano in dubbio la validità della tesi stessa, e De Broglie si poté laureare solo con l’appoggio di Einstein. L'ipotesi fu verificata sperimentalmente tre anni dopo! Le conseguenze, sviluppate dalla meccanica quantistica, stanno nell’interpretazione del dualismo onda-particella che abbina la natura corpuscolare della materia e della radiazione alla natura probabilistica dell'evento fisico, in cui la probabilità ha un andamento in qualche modo periodico analogo al fenomeno ondulatorio. In particolare la nuova visione comporta la perdita di valore del concetto di "traiettoria", a favore della sola probabilità che la particella si trovi in un dato punto a un dato istante, e l’unificazione dei concetti energia e massa. Un richiamo alle simmetrie geometriche Queste sono le più semplici e familiari forme di simmetria: sono quelle trasformazioni che, applicate alle figure geometriche, le riportano nella forma iniziale. Qualcosa cambia, ma non la forma.

Illustriamo alcuni esempi: nel quadrato possiamo eseguire rotazioni di 90° e multipli attorno al centro, oppure riflessioni speculari attorno alle rette indicate, riportando la figura in se stessa.

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Nel pentagono e nell’esagono si possono eseguire analoghe operazioni attorno al centro (con angoli di 72° e 60° rispettivamente) e le riflessioni speculari attorno alle rette indicate. Esempi tridimensionali di simmetrie per rotazione continue e discrete.

Figure tridimensionali invarianti per rotazioni, continue a sinistra e discrete a destra, attorno ad un asse. Principi classici di conservazione e simmetria dei sistemi in fisica La semplificazione descrittiva ha storicamente classificato i sistemi fisici a seconda del tipo di grandezze che rimangono inalterate nell’evoluzione di quel sistema. La prima è l’energia: i fisici sono tuttora disposti a scommettere tutto ciò che è a loro più caro sul fatto che l’energia complessiva dell’Universo deve risultare inalterata. È un atto di fede o, se volete, un principio fondamentale che nella vulgata si traduce con il detto: ”nulla si crea, nulla si distrugge, tutto si trasforma”. L'energia è di diversi tipi: potenziale (quella che compete ad un corpo per il fatto di essere in presenza di un altro oggetto materiale; dipende dalla rispettiva distanza), cinetica (quella dei corpi in movimento; dipende dalla velocità), termica, elettromagnetica, etc. Einstein mostrò che anche la massa è un tipo di energia. Ora, i risultati sperimentali suggeriscono che l'energia di un sistema può sì cambiare tipo, passando da potenziale a cinetica o termica, o altre forme, ma in modo da mantenere costante la quantità totale, se non ci sono scambi con altri sistemi. Si parla allora di sistema isolato, pur sapendo bene che l’unico sistema veramente isolato per definizione è l’Universo. Ma dobbiamo accontentarci di buone approssimazioni: basta che gli scambi siano minimi, trascurabili. L’esempio dell’oscillazione del pendolo in presenza della Terra mostra bene l’alternanza energia potenziale-energia cinetica. Lo smorzamento delle oscillazioni è allora indice che l’energia si trasmette all’ambiente circostante sotto l’aspetto di calore o, se volete, di energia cinetica delle molecole dell’aria e del supporto.

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La seconda grandezza è l'impulso totale (detto anche momento) del sistema isolato. Dipende dalla massa e dalla velocità (prodotto). Un esempio per illustrarlo: ci sono N palline di ugual massa in fila e a contatto che vengono colpite da una pallina anche lei della stessa massa. L'ultima pallina della fila si allontana dalla fila e lo fa con la velocità della pallina incidente. Se la fila viene colpita da due

palline sempre della stessa massa le ultime due palline si staccano della fila e si allontanano con la velocità delle palline incidenti. E questo perché l'impulso iniziale, prodotto delle masse per le velocità, deve mantenersi inalterato anche alla fine dell'urto assieme all’energia, sempre che non intervengano scambi con l’esterno. La terza grandezza è il momento angolare, proprietà che lega la velocità di rotazione di un corpo alla distribuzione della massa attorno all’asse di rotazione. Ciò permette a pattinatori e atleti di ruotare su sé stessi più in fretta se avvicinano gambe e braccia al corpo, o smorzare la rotazione se le allontanano, sempre che non intervengano forze esterne.

Dalle leggi della dinamica applicate ai singoli sistemi fisici si ottengono i principi di conservazione, verificabili sperimentalmente nei sistemi con determinate caratteristiche. La fisica classica stabilisce la conservazione delle grandezze sostanzialmente su base empirica, ma ciò implica una simmetria strutturale degli enti fondamentali, tempo e spazio, in genere sottaciuta. La relazione tra leggi di conservazione e simmetria è chiaramente presente nella fisica newtoniana. Implicitamente veniva riconosciuto che la possibilità di riprodurre esperimenti in differenti luoghi e in tempi diversi si basa sull’invarianza delle leggi di natura sotto traslazioni spazio-temporali. L’invarianza per traslazione spaziale è legata all’omogeneità dello spazio (tutti i punti sono equivalenti) e alla conservazione della quantità di moto, quella per traslazione temporale all’omogeneità del tempo e alla conservazione dell’energia. Il caso della conservazione del momento angolare è connesso all’isotropia dello spazio (stesse caratteristiche fisiche in tutte le direzioni). Se la direzione della forza tra una coppia di particelle non fosse diretta lungo la linea da una particella all’altra, non sarebbe invariante per rotazioni intorno a quella linea. Quindi, sono possibili soltanto forze di tipo centrale. Se poi tali forze sono uguali ed opposte, si conserva il momento angolare. Avete

presente la dinamica pianeta-sole, con aumento della velocità del pianeta al diminuire

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della distanza dal Sole? Non sarebbe così se le forze dipendessero dalla posizione di tre o più particelle. Senza le regolarità incorporate nelle leggi della fisica saremmo incapaci di cogliere il senso degli eventi fisici; senza queste regolarità non saremmo nemmeno capaci di scoprire le leggi stesse. La fede dei fisici nella validità dei principi di conservazione si dimostra assoluta; tanto che nel 1930 Wolfang Pauli, forte della sua fiducia, postulò l'esistenza di una particella neutra fantasma in un certo fenomeno (decadimento beta) perché altrimenti l'energia non si sarebbe conservata nel bilancio massa-energia. Il suo atto di fede fu premiato molto tempo dopo: nel 1956 gli sperimentali riuscirono a scoprire il neutrino. Simmetrie e relatività – uguaglianza delle leggi per osservatori diversi I principi di invarianza forniscono struttura e coerenza alle leggi della natura, così come le leggi forniscono struttura e coerenza a un insieme di eventi. Una volta stabilita questa “gerarchia”, il passo successivo è quello di comprendere che i principi di simmetria sono perfino più potenti, essi determinano la forma stessa delle leggi della natura. Un esempio di utilizzo in senso forte della simmetria è dato dalla relatività. È infatti fondamentale che le descrizioni dei fenomeni e, in particolare, le leggi fisiche non dipendano dalla posizione spazio-temporale dell’osservatore rispetto al fenomeno: le leggi, per essere tali, devono essere invarianti rispetto all'osservatore. Se così non fosse, ogni osservatore vedrebbe i fenomeni in maniera inconciliabile con quanto vedono altri osservatori e le sue stesse osservazioni non sarebbero ripetibili, variando da istante a istante e da luogo a luogo. Fino alla seconda metà dell'Ottocento era chiaro che in fisica doveva venire rispettata l’invarianza nella misura del tempo, condizione sottintesa nell’assunzione di spazio e tempo assoluti e universali (Newton:” Non definisco tempo, spazio, luogo e moto, in quanto notissimi a tutti.”); le equazioni usate per descrivere i fenomeni hanno la stessa forma anche se la direzione del tempo è invertita (i fenomeni reali non si comportano così!). Le trasformazioni, formulate da Galileo per spostare le analisi da un riferimento a un altro in moto relativo uniforme, contengono il tempo come invariante. Con l'introduzione della teoria della relatività speciale l’invarianza del tempo è stata posta sotto inchiesta, poiché emergevano fenomeni che implicavano l’invarianza della velocità della luce, contrastante con quella del tempo, data per scontata. Per passare da un osservatore all’altro si richiedono allora nuove trasformazioni, le trasformazioni di Einstein-Lorentz, dove l’invariante è la velocità della luce. Esse agiscono contemporaneamente sullo spazio e sul tempo, ma dipendono dal rapporto tra velocità dell’oggetto in moto e velocità della luce, in modo tale che, se questo rapporto diviene molto piccolo, si ritrova la trasformazione di Galileo e il tempo ritorna ad essere lo stesso, in ottima approssimazione, per tutti gli osservatori. La nuova simmetria è contraria agli archetipi percettivi della razza umana, poiché gli effetti sono sensibili a velocità decisamente lontane dalla sensibilità comune, ma risulta incorporata nel sistema di riferimento primordiale della fisica; una simmetria codificata nella cosiddetta invarianza di Lorentz, o invarianza di Einstein-Lorentz, o covarianza relativistica. Si può mostrare che le trasformazioni di Lorentz sono delle rotazioni dell’Universo a 4 dimensioni (tre coordinate spaziali + una temporale), e che le leggi della relatività sono invarianti sotto il gruppo delle rotazioni dello spazio-tempo, una nozione geometrica più semplice da applicare (credeteci!).

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Il problema si riconduce a quello di esprimere le leggi della fisica in modo che non subiscano cambiamenti nel corso di rotazioni dello spazio-tempo. In realtà quindi le rotazioni dello spazio-tempo riuniscono le trasformazioni relativistiche del tempo, i movimenti di traslazione nello spazio ordinario e le rotazioni nello spazio, che comprendono come caso particolare le rotazioni dello spazio ordinario. Tutto questo comporta che per esprimere una legge fisica invariante nello spazio ordinario o nello spazio-tempo è necessario far ricorso a delle grandezze o a degli oggetti geometrici che si conservino nel corso di una rotazione. Questo profondo cambiamento di atteggiamento divenne evidente nella formulazione della teoria generale della relatività. Il principio di equivalenza, un principio di simmetria locale, secondo cui le leggi della natura sono invarianti per cambiamenti locali delle coordinate spazio-temporali, determina la dinamica della gravità, dello spazio-tempo stesso. Emily Noether – nuova consapevolezza della simmetria e dei principi conservazione Dalle invarianze delle equazioni per traslazioni temporali, rotazioni e traslazioni spaziali derivano le leggi di conservazione, rispettivamente, dell’energia, del momento angolare e dell’impulso; per generalizzare e formalizzare matematicamente questo risultato bisogna attendere il 1918, con il teorema di Emmy Noether che descrisse la relazione che intercorre tra le proprietà di invarianza di un sistema fisico e le leggi di conservazione in casi ben più generali, non solo nei tre casi “classici” finora citati. Noether dimostrò infatti che se un sistema fisico è invariante sotto alcuni gruppi di trasformazioni continue, allora da ciascuna proprietà di simmetria segue la conservazione di una quantità fisica del sistema. Il teorema di Noether rappresenta un passo fondamentale nella comprensione della natura, associando alla nozione essenzialmente matematica di “simmetria” quella marcatamente fisica di “legge di conservazione”. Questa connessione ha portato negli anni a risultati di fondamentale importanza, e trova applicazioni profonde in numerosi campi della fisica, dalla elettrodinamica (dove spiega, ad esempio, la conservazione della carica elettrica) alla relatività, dalla meccanica quantistica alla fisica delle particelle elementari. Abbiamo visto che le leggi di conservazione delle grandezze fisiche sono nate come teoremi nel seno della meccanica classica, e sono state codificate come principi nelle sue estensioni. In questo quadro, il teorema di Noether segna una rivoluzione: i principi di conservazione della fisica derivano da proprietà di simmetria, o di invarianza, dei sistemi analizzati, o meglio delle leggi che li descrivono. Questo può sembrare un vantaggio solo concettuale, perché lo svolgersi dei fenomeni fisici era già stato compreso. Ma se ciò è opzionale per la fisica basata sulla osservazione sperimentale diretta dei fenomeni, è invece l’autorizzazione a procedere nell’ambito del molto piccolo o del molto grande, dove lo strumento matematico è quello che apre la via. I fisici stessi non sono stati veloci a capire subito quali profonde implicazioni avesse il teorema di Noether e cioè la stretta connessione tra simmetria e leggi di conservazione. La teoria della relatività e la meccanica quantistica hanno cambiato la nostra visione dello spazio, del tempo e dei fenomeni microscopici, valorizzando l’importanza della simmetria. Gradualmente la connessione tra simmetria e leggi di conservazione evidenziata dal teorema di Noether ha generato una nuova consapevolezza. Il matematico russo Pavel Alexandrov definì Emily Noether “il più grande matematico donna di tutti i tempi”, ma la sua storia è anche un gigantesco monumento al femminile nella Scienza.

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Figlia del matematico Max Noether, nacque nella città bavarese di Erlangen nel 1882 e fin da giovane mostrò spiccate capacità negli studi scientifici, a quel tempo preclusi al genere femminile. Per questo si accontentò di studiare lingue, ma dopo aver passato gli esami necessari all'insegnamento del francese e dell'inglese, scelse ugualmente di rivolgersi allo studio della matematica all'Università di Erlangen dove il padre insegnava. Completata la tesi sotto la supervisione di Paul Albert Gordan lavorò all'Istituto di Matematica per sette anni, senza essere pagata. Nel 1915 venne invitata da David Hilbert e Felix Klein a far parte del Dipartimento di Matematica dell'Università di Gottinga. Nel 1907 lo storico Karl Brandi aveva espresso la sua profonda disapprovazione “Molti di noi giudicano l’accesso delle donne agli organismi universitari come qualcosa di dannoso per l’influsso umano e morale che può avere sul corpo insegnante maschile e su un uditorio fino ad ora omogeneo”. E continuava su questo tono affermando che la presenza femminile avrebbe compromesso il buon esito dell’insegnamento: “Non vorrei rinunciare a quel tono di confidenza informale […] una condizione fondamentale per una perfetta riuscita della lezione risiede nell’omogeneità di sesso”. Questo atteggiamento si applicò alla Noether e l’opposizione veniva in particolare dai membri non matematici della facoltà. “Come si può consentire che una donna diventi Privatdozent? Se diventa Privatdozent può diventare professore e membro del Senato accademico. Si può permettere che una donna entri a far parte del Senato?” Queste erano le ragioni formali. Ma altre inquietanti preoccupazioni agitavano le menti: “Cosa penseranno i nostri soldati quando torneranno all’università e scopriranno che gli si chiede di studiare sotto la guida di una donna?” Hilbert, che non aveva peli sulla lingua ed era sempre molto diretto nelle sue argomentazioni, sembra rispondesse così agli argomenti formali: “Cari signori, non vedo perché il sesso della candidata debba costituire un argomento contro la sua ammissione come Privatdozent. In fin dei conti il Senato accademico non è uno stabilimento termale”. In conclusione, la richiesta non fu accolta. Nel 1919 le venne infine concesso di sostenere l'esame per l'abilitazione, che ottenne nel maggio dello stesso anno, ma fino al 1922, anno in cui finalmente ottenne la nomina a Professore straordinario non ufficiale (ci mancherebbe altro!), lavorò senza paga insegnando nei corsi di Hilbert. Durante gli anni trascorsi a Gottinga ottenne rispetto e stima a livello mondiale per i suoi innovativi lavori in matematica, venendo invitata a tenere una conferenza plenaria al Congresso Internazionale dei Matematici di Zurigo nel 1932. L'anno seguente il governo nazista le vietava l'attività d’insegnamento in quanto ebrea. Emigrò di conseguenza negli Stati Uniti dove ottenne un posto nel collegio femminile Bryn Mawr in Pennsylvania, anche se non certo adeguato al suo livello scientifico. L’eminente matematico tedesco Hermann Weyl, anche lui rifugiato negli Stati Uniti per problemi razziali, era stato l’artefice della sistemazione di Emmy nel prestigioso College di Bryn Mawr, vicino a Princeton, e la conosceva benissimo, essendo stato a lungo suo collega a Göttingen: “Nei miei anni passati a Göttingen, 1930-1933, lei è stata senza dubbio il più forte centro di attività matematica, sia dal punto di vista della fecondità del suo programma di ricerca scientifica, sia riguardo la sua influenza su una vasta cerchia di allievi” In Germania intanto, durante un banchetto, Hilbert fu apostrofato dal nuovo ministro nazista per l’educazione: “Come va la matematica a Göttingen, ora che l’abbiamo liberata dall’influenza ebraica?”. “Matematica a Göttingen?”, rispose Hilbert, “Non se ne vede più nemmeno l’ombra”. Nel 1935 Emmy si sottopose ad un intervento chirurgico per una cisti ovarica e, nonostante i segni iniziali di ripresa, morì dopo quattro giorni.

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“…Pochi giorni fa una insigne matematica, il Professor Emmy Noether, prima appartenente all’Università di Gottinga e negli ultimi due anni al college Bryn Mawr, è morta a 53 anni. Nel giudizio dei matematici più competenti, la Signorina Noether era il più significativo e creativo genio matematico apparso finora da quando è iniziata l’educazione universitaria delle donne…». È Albert Einstein a salutare così Emmy Noether (Professor Einstein, New York Times May 5, 1935).

Nella sua non lunga vita Noether compì studi sulla connessione tra simmetria e leggi di conservazione trovando quel teorema (1918) che dire fondamentale è ancora lontano dall'esprimere appieno le sue potenzialità in quanto capace di variare i paradigmi di riferimento delle nostre teorie fisiche. Il teorema stabilisce: se un sistema fisico è invariante per una trasformazione di simmetria, allora esiste una proprietà del sistema che si conserva nel tempo e, viceversa, in un sistema fisico una proprietà che si conserva nel tempo è indice di una simmetria del sistema, cioè di una trasformazione che lo lascia inalterato. La legge di simmetria spiega in modo semplice un fenomeno atomico Possiamo visualizzare l’effetto della simmetria dei sistemi fisici nelle proprietà degli spettri atomici. L'atomo d'idrogeno ha come nucleo un protone positivamente carico che trattiene con un elettrone negativo nel suo campo elettrico a simmetria sferica. Questa simmetria del campo comporta che l'energia del sistema dipende solo dalla distanza dell'elettrone dal nucleo e non dalla direzione elettrone-nucleo; la rappresentazione geometrica è quella di un elettrone rotante in un’orbita attorno al nucleo, lo spazio è isotropo e la direzione dell’orbita non influenza l’energia. Per evidenziare i possibili valori di energia si usa uno strumento, lo spettroscopio. Esso ci mostra una serie di righe separate, in successione tipica ed unica per ogni elemento,

chiamata “spettro”. Tali righe sono collegate alle possibili energie dell’elettrone quando si trova a diverse distanze dal nucleo. Si capisce che la distanza non può assumere qualsiasi valore perché le righe sono separate: l’energia è quantizzata e riferita ai così detti livelli quantici. La sorpresa è che applicando un campo elettrico esterno alcune righe dello spettro si dividono in un certo numero di righe addizionali (effetto Stark-Lo Surdo).

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La rottura della simmetria centrale causata dall'introduzione del campo elettrico esterno crea un’anisotropia dello spazio e una differenza di energia per le orbite non dirette come il campo esterno. Questo uso della simmetria pur interessante e utile, si inserisce in un contesto teorico che già prevede il fenomeno anche se in maniera più complicata, risolvendo l'equazione di Schrödinger, cosa non semplice. Qui non aggiunge novità sostanziali, ma semplifica di molto l’interpretazione. Analogamente si può ottenere lo sdoppiamento di righe utilizzando un campo magnetico esterno (effetto Zeeman). In questo caso l’interazione del campo magnetico è con il momento angolare dell’elettrone e con lo spin, la proprietà magnetica dell’elettrone rappresentata classicamente come rotazione a trottola.

Cambiamento di paradigma: la scoperta dei quark Il Teorema di Noether introduce un cambiamento di paradigma dove la teoria non è più la spiegazione di un esperimento, ma è la simmetria che diventa sorgente di teorie completamente nuove, soggette naturalmente a verifiche sperimentali. E. Wigner, premio Nobel, sintetizza questo cambiamento con il seguente pensiero: Al livello più profondo tutto ciò che troviamo sono le simmetrie e le loro conseguenze. Un interessante esempio di questa evoluzione del pensiero della fisica è dato da come si sono scoperti i quark, costituenti primari delle particelle atomiche pesanti. Spendiamo qualche parola al riguardo, pur senza approfondire. Negli anni '60 del secolo scorso la fisica aveva scoperto un vero "Zoo" costituito da diverse centinaia di particelle, neutre o dotate di carica (in figura sono rappresentate alcune particelle e la carica è indicata in alto a destra del simbolo della particella). Due fisici Murray Gell-Man e George Zweig predissero proprio in base a ricerche di simmetria l'esistenza dei quark come costituenti elementari delle particelle più pesanti:

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La loro considerazione fu la seguente: inseriamo ogni particella in un sistema di assi cartesiani mettendo in ascissa e ordinata due caratteristiche delle varie particelle, per vedere come sono distribuite. Ai nostri scopi non è necessario spiegare il significato delle caratteristiche usate (diciamo solo per informazione che erano isospin e stranezza). Le due grandezze erano suscettibili di assumere solo i valori 0, + 1,-1. Il risultato fu incredibile; la figura seguente illustra che le particelle si disponevano ai vertici di un esagono regolare, con entusiasmo dei due fisici. Perché? Una figura simmetrica di questo tipo non poteva essere casuale: rafforzava l'ipotesi che esistessero dei costituenti più elementari con caratteristiche opportune per rendere conto della figura trovata. Era stata lanciata l'idea dei quark che si rivelò vincente. Non ci tratteniamo oltre su questo discorso. Sottolineiamo solo che la scoperta dei quark è stata suggerita non dalla ricerca di spiegazioni di un esperimento, ma da considerazioni altamente teoriche di simmetria. Da lì in poi lo sviluppo delle teorie fisiche cominciò a seguire strade diverse dal passato. Non più teorie nate per spiegare i risultati di esperimenti, ma suggerite da considerazioni teoriche per spingere avanti le frontiere della conoscenza e in attesa di una necessaria conferma sperimentale. Rottura o Violazione della simmetria Non possiamo chiudere l'argomento senza una riflessione d'importanza capitale per il destino del nostro Universo e della nostra stessa esistenza. Abbiamo abbondantemente osservato che per numerose ragioni nell'ambito della simmetria non tutto scorre per il verso giusto. Vuoi per ragioni estetiche, psicologiche o per considerazioni di ordine scientifico, la simmetria non è mai perfetta. Per inciso, osserviamo anche che il diagramma appena sopra, quello che ha portato all'ipotesi dei quark, non gode di una perfetta simmetria: se questa fosse completa, le masse delle particelle coinvolte dovrebbero essere esattamente uguali. Poiché non è così, si parla di "rottura della simmetria". Percezione e descrizione di un oggetto simmetrico sono compiti certamente più semplici di quelli riferiti a un oggetto complesso, senza proprietà di simmetria. La simmetria è legata alla semplicità e all’ordine, la sua assenza alla complessità e alla molteplicità. La fisica si occupa della descrizione dei fenomeni naturali che molto raramente si presentano in forma simmetrica: anche i rimbalzi di una palla sul pavimento non sono regolari. Per venirne a capo è necessario semplificare e fornire una descrizione idealizzata di un fenomeno perfetto e regolare, nel quale poi introdurre il “disturbo” della complessità. Le leggi fondamentali della fisica classica rispecchiano questa ricercata regolarità nella loro formulazione matematica. Non è un caso se, ad esempio, le formule si prestino ad essere usate tranquillamente con il tempo che scorre simmetricamente sia in avanti che all’indietro, cosa che in natura non si verifica. Voi, infatti, riconoscete se il filmato dei rimbalzi della palla riproduce l’avanzare o il regredire del tempo, ma questo non c’è nelle leggi meccaniche del moto. Per introdurre il “disturbo” bisogna ricorrere alla termodinamica e, guarda un po’, il principio che ce lo fa conoscere è indicato solo a parole, non in formula. Il concetto di simmetria gioca quindi un ruolo fondamentale nella meccanica classica, ma anche di più nella meccanica quantistica, la teoria deputata a descrivere i fenomeni che avvengono nell’infinitamente piccolo, cioè a livello nucleare e subnucleare. Le leggi matematiche con cui i fisici descrivono la struttura dell'atomo prevedono che, oltre alla materia ordinaria, esista anche un'altra forma di materia: la cosiddetta antimateria

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formata da antiparticelle, identiche a quelle che ci circondano salvo per il fatto di avere cariche opposte. L'antimateria comprende ad esempio antielettroni (o positroni, usati nella PET), uguali agli elettroni ma dotati di carica elettrica positiva, antinuclei dotati di carica negativa, e così via. Queste antiparticelle sono produzione ordinaria nei laboratori di alte energie.

Eppure nell'Universo che conosciamo l'antimateria risulta quasi totalmente assente, non c'è traccia di antiatomi e, ancor meno, di una sorta di mondo alla rovescia, con pianeti e galassie fatti di antimateria. È il caso di precisare che per "carica" si intende sia la carica elettrica (quella che determina il comportamento di due particelle nell'interazione elettromagnetica) sia caratteristiche analoghe ma meno familiari, come la carica di colore che determina il comportamento nelle interazioni nucleari forti, o lo spin, che determina il comportamento in campo magnetico e che distingue le particelle costituenti la materia dalle particelle mediatrici delle forze fondamentali. Dunque particelle e antiparticelle, avendo massa uguale, si comportano in modo identico sotto l'effetto della forza di gravità ma si comportano in modo opposto per quanto riguarda tutte le altre forze fondamentali. Di cruciale importanza è il fatto che quando particelle ed antiparticelle entrano in contatto fra loro, tendono molto rapidamente ad annichilirsi, ovvero a fondersi l'una con l'altra, trasformando tutta l'energia in loro possesso in radiazione elettromagnetica: energia del tipo della luce ma di intensità molto elevata.

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Si tratta di una delle più spettacolari evidenze del fatto che la massa (e dunque la materia) non è altro che una particolare forma di energia, come previsto dalla teoria di Einstein, dove anche la radiazione elettromagnetica è vista come particella priva di massa e di carica, ma portatrice di energia, detta fotone. A conferma, sotto certe condizioni il processo di annichilazione può essere invertito, cioè possono crearsi coppie di particelle ed antiparticelle a partire da fotoni di sufficiente energia. E' questo il meccanismo utilizzato per creare artificialmente antiparticelle nei laboratori di ricerca in tutto il mondo. L'annichilazione fra particelle e antiparticelle è il motivo per cui, in un Universo come il nostro, dominato dalla materia, è molto difficile osservare l'antimateria e, ad oggi, non c’è alcuna evidenza che nell’Universo ci siano regioni composte di antimateria. Bisogna dire che in un Universo totalmente simmetrico non ci sarebbe posto per noi, osservatori fatti di materia! I fotoni e le particelle dotate di massa avrebbero vita brevissima, nel caos di alterni processi di annichilazione e di produzione di coppie. Ma noi esistiamo e così i pianeti, le stelle e le galassie. Insomma, la materia c’è, persino quella “oscura”! Questo vuol dire che una quantità di particelle, quelle di un determinato tipo (la materia, appunto), sono sopravvissute nel brodo primordiale del Big Bang. Se le contiamo, vediamo però che esse sono straordinariamente poche: un protone ogni 100 milioni di fotoni. C’è dunque una violazione della simmetria tra materia e antimateria, ma da questo ultimo dato si deduce che essa debba essere molto piccola. Le particelle cioè si devono comportare in maniera impercettibilmente diversa dalle antiparticelle. Il fascino della simmetria ci fa credere che un'immagine del nostro universo con tutti gli oggetti aventi posizioni e velocità riflesse come da uno specchio magico (corrisponde all'inversione della parità P), con tutta la materia sostituita da antimateria (corrisponde alla inversione della carica C) e con il tempo (T) che scorre all'indietro, evolverà esattamente come il nostro universo. In ogni istante i due universi sono identici e la trasformazione, detta CPT, può trasformare l'uno nell'altro. La simmetria CPT è la simmetria fondamentale delle leggi fisiche sotto trasformazioni che riguardano le inversioni simultanee di Carica, Parità e Tempo. Ad oggi è considerata l'unica simmetria discreta esatta della natura…

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Un fenomeno naturale rispetta la simmetria di parità P se, osservato riflesso in uno specchio totale (ovvero scambiando la destra con la sinistra, il basso con l’alto, il davanti con il dietro), mostra un fenomeno altrettanto realizzabile in natura. Questo comporta che la natura non distingua la destra dalla sinistra, che sarebbero dunque pure convenzioni senza alcun significato fondamentale. La simmetria di parità a livello fondamentale è in apparenza talmente "naturale" che fino al 1956 la si riteneva assolutamente valida per tutte le leggi della natura.

Lo storico esperimento di Chien Shiung Wu, svoltosi in quell’anno, mise in evidenza una grande violazione di questa simmetria nei decadimenti di nuclei radioattivi di cobalto. Nonostante la straordinaria importanza del suo contributo, “Madame Wu” (come era universalmente nota nell’ambito della comunità scientifica) non fu inclusa per la scoperta tra i vincitori del Nobel: il comitato svedese attribuì il prestigioso riconoscimento soltanto a Tsung Dao Lee e a Chen Ning Yang, che avevano supposto il fenomeno in via teorica. Molti altri esperimenti mostrarono in seguito che in effetti le forze nucleari deboli - responsabili dei fenomeni radioattivi e dei processi che mantengono acceso il sole - violano la simmetria di parità in modo addirittura massimale: i processi elementari che violano tale simmetria sono altrettanto frequenti di quelli che la rispettano. La simmetria combinata CP sembrava essere una simmetria universale della natura. Oltre ad invertire gli assi spaziali (operazione di parità P) si invertono anche le cariche elettriche delle particelle coinvolte (operazione di coniugazione di carica C), ovvero si considera un fenomeno in cui al posto di protoni (di carica elettrica positiva) si hanno antiprotoni (di carica elettrica negativa), al posto di elettroni (negativi) si hanno positroni (positivi) eccetera, e si ottengono sempre fenomeni realizzabili in natura. Dunque la distinzione tra destra e sinistra in natura veniva ad essere soltanto relativa alla distinzione tra cariche positive e negative: ciò che per la natura è la destra in un fenomeno che riguarda le particelle diventa la sinistra nel corrispondente fenomeno che riguarda le antiparticelle, e viceversa. Si è supposto che lo squilibrio tra materia e antimateria si potesse attribuire a una differenza di comportamento tra particelle e antiparticelle, con violazione CP.

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È quasi ironico che, in un mondo dove tutte le leggi che lo governano sono figlie di una simmetria, ci sia all’origine l’asimmetria fondamentale tra materia e antimateria. La fisica della violazione CP è diventata oggi un settore di grande precisione e offre la possibilità di esplorare l’esistenza di una fisica che dia traccia di nuovi fenomeni. Questo compito è affidato a LHC-b, uno dei quattro principali esperimenti del Large Hadron Collider al Cern di Ginevra, ma affrontato anche nelle SuperB-factory. L’avventura continua anche perché l’entità della violazione osservata, infatti, non è ancora sufficiente a spiegare perché il nostro Universo sia fatto di materia e non di antimateria. Alla ricerca di SUSY, ovvero SuperSymmetry: modello matematico o principio fisico? Per evidenziare una volta di più il ruolo che la simmetria ha raggiunto nella fisica, la ricerca si è orientata allo studio della Supersimmetria. La supersimmetria è una teoria che fu formulata originariamente in seguito alla individuazione di una proprietà quantistica magnetica delle particelle elementari, chiamata spin: è visualizzata classicamente come la rotazione della particella attorno ad un asse, ma ha valori quantizzati.

Bo = campo magnetico La teoria prevede sostanzialmente l’esistenza di una simmetria tra le due grandi famiglie in cui si dividono le particelle elementari, i fermioni e i bosoni, con differenti proprietà di aggregazione. La famiglia dei fermioni è composta da tutti i costituenti della materia – quark, elettroni e neutrini – ed è caratterizzata dal fatto che tutte le particelle hanno spin semintero (1/2 , 3/2 ecc.); la famiglia dei bosoni è composta dalle particelle mediatrici delle forze fondamentali, ossia i fotoni (per l’elettromagnetismo), i gluoni (per la forza nucleare forte), i bosoni W e Z (per la forza nucleare debole) e gli ipotetici gravitoni (per la forza gravitazionale), tutte con spin intero (0,1,2 ecc.). Apparentemente non hanno nulla in comune, ma diversi fisici nei decenni passati sospettavano che ci fosse invece qualche collegamento tra di esse, spinti dall’inclinazione mentale a cercare sempre un principio unitario laddove esiste invece apparente molteplicità. Ancora una volta si vede che l’uomo persegue in una visione perfetta del suo mondo e insiste nel cercare conferme. La proposta della supersimmetria sostiene che fermioni e bosoni possiedono dei “partner” simmetrici, con identiche proprietà. La cosa appare quantomeno bizzarra, soprattutto per un fatto evidente: se questa nuova pletora di particelle esistesse davvero, le avremmo già viste da tempo, perché se la simmetria è vera allora dovrebbero avere la stessa massa dei loro partner ordinari.

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materia mediatori massa ………….. …………………………………………………. .. Spin 1/2 1/2 1 1 1 1 2 0

Spin 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 3/2 1/2

Ma la simmetria, sostengono i teorici, non è perfetta, è “rotta”: le particelle della supersimmetria hanno le stesse proprietà di quelle ordinarie, ma massa diversa, nello specifico qualche centinaio di volte la massa del protone (da qui l’aggettivo “super”). Quindi, per vederle, bisogna usare potenti acceleratori di particelle. Anni di ricerche in LHC (CMS e LHCb), l’esperimento LUX realizzato nelle profondità delle miniere del South Dakota, il successivo LUX-Zeplin, da completare non prima del 2020, non hanno avuto esiti positivi. Ma ci sono altri esperimenti in corso, tra cui lo XENON1T presso i Laboratori Nazionali del Gran Sasso, attualmente il più sensibile attivo a livello mondiale. L’esperimento AMS-02 in orbita dal 2011 sulla Stazione Spaziale Internazionale avrebbe dovuto già da tempo rilevare indizi cosmici della presenza di superpartner, e anche in questo caso non è emerso niente. La ricerca tuttavia prosegue perché la supersimmetria avrebbe un ruolo fondamentale nell'unificazione delle tre forze non-gravitazionali e si sospetta che le superparticelle costituiscano la materia oscura (materia che non emette luce ma rilevabile sperimentalmente per gli effetti gravitazionali che produce).

Molecole allo specchio

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Molte molecole, tra quelle che si trovano in natura e quelle di sintesi, sono chirali, hanno cioè la stessa formula chimica ma sono l'una l'immagine speculare dell'altra, come la mano destra e la mano sinistra, e non sono quindi sovrapponibili. Quando succede questo, come in figura, la molecola è chirale (dal greco “χείρ”, mano). Per molte caratteristiche chimico-fisiche, come per esempio la temperatura di ebollizione, non fa differenza quale delle due forme della sostanza, chiamate enantiomeri, sia presente. Fino ad alcuni decenni fa, per esempio, non ci si preoccupava della chiralità delle molecole di un farmaco, finché non ci si accorse che negli organismi viventi la differenza esiste eccome, tanto che un certo enantiomero di un farmaco può essere benefico e l'altro tossico. Un esempio…odoroso: l’enantiomero R e l’enantiomero S del carvone mutano l’odore di menta nell’odore di cumino.

Ma come fa il nostro naso a cogliere una differenza così particolare tra due molecole “quasi” uguali? L’odore è il risultato di un riconoscimento molecolare tra il composto “portatore dell’odore” e una molecola che è presente nel nostro naso (molecola recettore). La caratteristica di questo recettore è che esso stesso è chirale e dunque interagisce in modo diverso con i due enantiomeri e da qui l’associazione ad odori differenti. Quello che succede nel nostro naso è analogo a ciò che avviene in molte altre reazioni biochimiche, ma le conseguenze possono essere più importanti, ad esempio quando si tratta di prodotti farmaceutici. In figura è riprodotta la formula della molecola dell’aspartame e quella del suo enantiomero, con effetti opposti per il gusto.

Un caso tristemente noto è quello del Talidomide. Si tratta di un farmaco venduto prevalentemente negli anni cinquanta; esso risultava molto più efficace rispetto agli altri presenti sul mercato e agiva come sedativo e antinausea. Era rivolto, dunque, tra gli altri, alle donne in gravidanza. Nel 1961 fu ritirato dal commercio poiché ci si accorse che le donne che in gravidanza avevano fatto uso di tale farmaco mettevano al mondo bambini con gravi problematiche congenite. Gli studi successivi hanno evidenziato come un enantiomero della molecola può essere utilizzato senza rischi anche dalle donne incinte, mentre l’altro enantiomero ha un effetto teratogenico.

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Il chimico, che deve sintetizzare un composto chirale, mette a punto una sintesi che prepara entrambi gli enantiomeri e alla fine potrebbe separarli. Ma non è cosa semplice poiché si tratta di due molecole che hanno stesse proprietà fisiche e chimiche; inoltre se si preparano due enantiomeri e soltanto uno è il prodotto desiderato vuol dire che l’altro andrà buttato, con grosso spreco di reattivi, solventi, quindi soldi. Comunque è bene sapere che le tecniche di separazione esistono: può essere effettuata una vera reazione tra i due enantiomeri e un’altra sostanza chirale, per poi separarli con tecniche comuni.

Quando si parla di vita terrestre si parla di chimica del carbonio, vale a dire di una chimica dove il carbonio assume il ruolo di attore principale perché, grazie alle sue caratteristiche, crea lo scheletro delle strutture molecolari tipiche della vita. Accanto al carbonio, vi sono tre coprotagonisti vale a dire idrogeno(H), azoto(N) e ossigeno(O). Allo scheletro di carbonio si legano principalmente questi tre attori. Quindi questa combinazione si potrebbe definire arbitrariamente la “regola del CHNO” o, meglio in italiano, “la regola del CIAO”. Poi ci sono attori minori come fosforo (P), magnesio(Mg), cobalto (Co), ferro(Fe), zolfo(S), sodio(Na), potassio(K), calcio(Ca), iodio(I), zinco(Zn), rame(Cu), ecc. Insomma c’è un po’ di tutto. Alcuni elementi si organizzano in molecole, mentre altri rimangono in forma di ioni a dare il proprio contributo alla formazione del vivente. Tutto prodotto dal cosmo, poiché questi elementi si formano per fusione nucleare nelle stelle e sono sparsi nell’universo dalle esplosioni delle supernove. Si è visto che si possono formare più di un milione di composti. Questo numero è legato al fatto che, anche se le molecole sono fatte degli stessi atomi, la loro disposizione è tale da avere proprietà chimiche e fisiche differenti (sono degli isomeri). Una particolarità del carbonio è la capacità di formare catene di atomi di varia lunghezza, anche cicliche. Tali catene sono alla base degli idrocarburi e di tutti composti organici. Anche il silicio presenta caratteristiche simili al carbonio, ma non ha quella stabilità dimostrata dal carbonio per creare la vita; non è detto che non si possano scoprire in futuro forme di vita al silicio. Le proteine sono le molecole base per la formazione della vita e sono utilizzate per qualsiasi cosa, dai capelli fino agli enzimi che permettono di accelerare le reazioni chimiche. Esistono 20 aminoacidi che costruiscono i milioni di proteine che sono i mattoni fondamentali degli esseri viventi.

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Gli aminoacidi sono molecole chirali, potendo formarsi nei due modi speculari. Gli aminoacidi costruiti in laboratorio si ottengono nelle due forme senza discriminazione. Ma le proteine della vita hanno voluto seguire una strada estremamente selettiva: in qualche modo, una mistura di “mani destre e sinistre” nel mondo pre-biotico ha voluto accettare solo quelle sinistre per proseguire nell’evoluzione biologica. Teoricamente le proteine che usano sia aminoacidi sinistri che destri dovrebbero lavorare altrettanto bene nel costruire la vita. E invece no. Proteine sintetiche costruite con un mix di aminoacidi destrorsi e sinistrorsi non compiono il loro lavoro. Lo fanno soltanto quelle che vedono un nettissimo predominio delle forme di sinistra. Alcuni aminoacidi, come l’acido aspartico, hanno una forma che favorisce la formazione di cristalli composti solo da molecole sinistrorse o solo da destrorse. Un piccolo eccesso iniziale di una delle due forme favorirebbe il processo successivo a spese delle forme opposte, ma sembrerebbe non esservi alcuna valida ragione per questa strana scelta, che in qualche modo ricorda la vittoria della materia sull’antimateria all’origine dell’Universo, come sappiamo. In effetti, Daniel Glavin e Jason Dworkin, del Goddard Space Flight Center della NASA, analizzando alcuni meteoriti extraterrestri sono giunti alla conclusione che la preferenza per la "sinistra" non sarebbe una caratteristica del nostro pianeta o della particolare forma in cui si è sviluppata la vita sulla Terra, ma che essa si sarebbe manifestata ben prima del suo sviluppo e che riguarderebbe quanto meno l'intero Sistema solare. Lo studio dei mattoni elementari della vita che si trovano nello spazio va avanti: un gruppo di ricercatori del California Institute of Technology ha annunciato su “Science” di aver osservato per la prima volta molecole chirali al di fuori del sistema solare.

Illustrazione delle molecole chirali trovate nello spazio: sullo sfondo, la nube molecolare Sagittarius B2(N) (Cortesia B. Saxton, NRAO/AUI/NSF/N.E. Kassim, Naval Research Laboratory, Sloan Digital Sky Survey)

Le singole molecole, che siano zuccheri o amminoacidi, appartengono alla chimica non vivente. Per parlare di vivente, serve un insieme di processi genetici, cioè un ciclo di trasmissione dell’informazione, e per questo servono dei polimeri, ovvero catene di molecole più complesse, come sono le catene che formano il RNA. Erano l’anello mancante, ma siamo riusciti a produrle. Oltre alla polimerizzazione, l'altro punto chiave del passaggio dalla materia non vivente alla vita è l'esistenza di un metabolismo. Non sappiamo ancora come tutte queste molecole si siano messe a cooperare per far funzionare la vita in un sistema complesso, quale sia la scintilla che ha coordinato i lavori affinché nascesse il cosiddetto Last Unknown Common Ancestor (LUCA), che

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probabilmente fu un batterio Archaea estremofilo, microrganismo capace di vivere e riprodursi in condizioni ambientali che per la maggior parte degli organismi sarebbero proibitive. Questo è oggetto di ricerca di una disciplina a sé, la biologia sintetica, o chimica dei sistemi.

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APPENDICE: qualche informazione sui frattali Un oggetto frattale può anche essere quasi lo stesso a diversi livelli. Questa caratteristica è illustrata nell'ingrandimento dell'insieme di Mandelbrot qui sotto riportato.

I frattali includono l'idea di un modello dettagliato che si ripete. A qualunque scala si osservi l'oggetto, presenta sempre gli stessi caratteri globali. Una prima e sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Una curva piana, infatti, si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una funzione che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo. La costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un'equazione, ma su un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola, ma la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione dovuta ai limiti per lo più dei mezzi di calcolo), e, dopo un certo numero di iterazioni, l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche (oppure l'hardware del computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti). Pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un adeguato numero di iterazioni o quando il computer non può più procedere oltre. Alla base dell’auto-similarità sta una particolare trasformazione geometrica chiamata omotetia che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma. Un frattale è un ente geometrico che mantiene la stessa forma se ingrandito con una omotetia opportuna, detta omotetia interna. Un’altra caratteristica basilare dei frattali è la dimensione frattale, parametro molto importante che determina il "grado di irregolarità" dell'oggetto preso in esame. Un frattale è un oggetto geometrico in cui la dimensione frattale bassa produrrà un basso livello di

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irregolarità; traducendo questo concetto in immagine grossolana possiamo equipararlo alla “risoluzione” del frattale: aumentando il valore numerico della dimensione frattale, ne aumentiamo la risoluzione. Con semplicissime regole gli studiosi sono in grado di riprodurre comportamenti anche complessi, come il movimento delle folle, oppure la crescita di una pianta. Negli ultimi venti anni, i modelli frattali sono usciti allo scoperto, acquistando il ruolo di struttura chiave nella modellizzazione matematica in tutti i settori: dalle scienze naturali a quelle economiche e sociali, dalla fisiologia alla tecnologia avanzata e il loro campo di applicazione è in costante crescita. La geometria frattale è inoltre strettamente collegata alla teoria del caos. Di frattali ce ne sono di un'infinità di tipi: per esempio i frattali iterativi, i frattali aleatori, oppure ancora i quaternioni. La generazione di frattali aleatori è sfruttatissima nel settore dell'intrattenimento a partire dai primi anni '80: alcuni videogames hanno sfruttato la capacità di generare landscape in maniera relativamente semplice. Avatar, il film di James Cameron del 2009, ha ben dimostrato cosa è possibile ottenere con i frattali aleatori generando il mondo di Pandora.

foresta frattale

Troviamo i frattali nella maggior parte della scienza moderna, che sfrutta e usa proprietà matematiche che, per la loro difficoltà o per la loro recente scoperta, non sono state utilizzate precedentemente, come, per esempio, le teorie sulla risoluzione di sistemi non lineari, complicati dal punto di vista teorico, tanto quanto da quello pratico; oppure nella creazione dei transistor e diodi di dimensioni microscopiche, i quali processi ormai non è più possibile calcolare con la matematica ordinaria. I quaternioni trovano un'importante applicazione nella modellizzazione delle rotazioni dello spazio: per questo motivo questi sono ampiamente usati nella fisica teorica (nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica) e in settori più applicativi, come la computer grafica 3D e la robotica (per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi). Li troviamo in chimica, per descrivere le proprietà chimiche delle superfici; nell’industria farmaceutica, per descrivere le proprietà di alcune sostanze farmacologiche; nell’industria grafica, per ricostruire immagini di oggetti e ambienti simili-naturali; in anatomia, per descrivere e comparare sistemi molto irregolari come la parete cellulare dei capillari polmonari, i bronchi, i villi intestinali, la rete dei capillari; nelle scienze della terra, dove suoli con differenti composizioni si possono associare a differenti dimensioni frattali, correlate a loro volta con proprietà del suolo quale la percolazione o la capacità di ritenzione idrica.

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Neppure il campo musicale è esente. In natura esistono tre tipi di rumori (noise):

rumore bianco (white noise) rumore marrone (brown noise) rumore rosa (pink noise) Il white noise è il suono che si ode quando la radio non è sintonizzata su una stazione: esso è del tutto casuale, e la sua ampiezza e frequenza a un dato momento è indipendente dagli istanti precedenti. Il brown noise è più strutturato del white noise, in esso sono presenti ugualmente suoni casuali, ma collegati ognuno al precedente da una regola. Infine, il pink noise, che è più strutturato del bianco, ma meno strutturato del marrone; esso è più gradevole all'orecchio di quello bianco, forse troppo casuale, e di quello marrone, forse troppo rigido. Come Mandelbrot ha dimostrato i rumori alla periferia del sistema nervoso centrale somigliano al white noise, mentre, più ci si avvicina al cervello, più si presentano pink noises. Forse è per questo che preferiamo i suoni "rosa". Applicati alla musica, i procedimenti frattali offrono risultati molto promettenti; la loro dinamica caotica offre, infatti, quel miscuglio di regole ed imprevedibilità che tanto affascina l'animo umano. Il senso della musica e quello del ritmo sembrano affondare le radici nella notte dei tempi, e alcuni studi hanno voluto attribuirli addirittura all'uomo di Neanderthal. Negli ultimi anni, numerosi studiosi si sono impegnati per rintracciare il piacere che si ricava dalla musica in alcune sue caratteristiche strutturali come la generazione e la violazione dell'aspettativa. A questo scopo è stata usata spesso la matematica, come nel caso dell'analisi schenkeriana (chiarificazione delle dinamiche interne alla musica tonale, attraverso una visione sintetica che integra l'aspetto armonico con quello contrappuntistico), la topografia neurale o ancora modelli geometrici della tonalità. Una particolare relazione matematica ha ricevuto recentemente molta attenzione ed è la distribuzione frattale 1/N (N è la frequenza temporale degli eventi, legata al parametro p, che misura l'intensità degli eventi stessi, con N uguale a P/p elevato alla d – ossia N = (P/p)d – dove d è la dimensione frattale, mentre P è una costante).

Esempio: in altre parole, per un oggetto frattale di grandezza P, costituito di unità più piccole di grandezza p, diciamo N il numero di unità che si possono far entrare nell’oggetto. Allora d, detta dimensione frattale di Hausdorff , è tale che N = (P/p)d. Per intuire il senso della dimensione frattale, costruiamo il triangolo di Sierpinski seguendo l’algoritmo indicato in precedenza (pag.14). Prendiamo il triangolo base, con lato lungo 1 (P = 1). Uniamo i punti medi dei lati del triangolo: la figura è ora costituita da 3 triangoli autosimili a quello iniziale, con lato 1/2 (p = 1/2, N = 3). Ci vogliono tre triangoli base per costruire la nuova figura (non quattro, perché

quello centrale è vuoto). Iterando avremo p = ¼, N = 9, ecc…

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Dalla definizione deve essere N= (P/p)d cioè, nel primo caso, 3 = 2d, nel secondo 9 = 4d. Per trovare d si richiede l’uso dei logaritmi; in entrambi i casi si ottiene d = 1,5849625… Ma anche senza conoscere i logaritmi si capisce che 1< d <2 perché (21=)2< 3 <4(=22) e come pure (41=) 4<9<16(=42). La dimensione d non è intera! È facile nel mondo dei frattali.

La dimensione frattale d è una quantità statistica che dà un'indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. In sostanza, i pezzi musicali piacevoli, in particolare del mondo occidentale, sono considerati molto regolari e prevedibili, e si è mostrato che le fluttuazioni dell'altezza del suono di un pezzo seguono proprio la legge di potenza 1/N. In quest'ultimo studio, gli studiosi hanno analizzato 1788 movimenti di 558 composizioni musicali di musica classica occidentale per verificare se una legge simile si possa applicare anche al ritmo. Si è così riscontrato come la stragrande maggioranza dei ritmi obbedisca a una legge di potenza 1/N elevato a una potenza β, con questo parametro che varia tra 0,5 e 1. L'aspetto che più ha sorpreso è che i compositori le cui opere mostrano spettri di altezza che seguono le legge 1/N pressoché identici, mostrano anche spettri frattali caratteristici: pur rimanendo frattali, i ritmi di Beethoven, per esempio, tendono a collocarsi verso il lato della prevedibilità dello spettro, mentre le opere di Mozart si collocano all'opposto sul versante di una maggiore imprevedibilità. L'ubiquità degli spettri ritmici di tipo 1/N nelle composizioni scritte in circa quattro secoli dimostrerebbe che oltre all'altezza dei suoni anche i ritmi mostrano un equilibrio tra prevedibilità e sorpresa, contribuendo in modo sostanziale alla nostra esperienza estetica della musica. Questo fatto a sua volta indica che tale struttura non è un mero artefatto dell'esecuzione o della percezione, ma è un fattore intrinseco alla composizione scritta, prima che venga eseguita. Si può arrivare così a ipotizzare che gli stessi compositori manipolino sistematicamente i ritmi 1/N per conferire alle loro composizioni identità uniche.

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Maria Cristina Fighetti Mi presento: sono laureata in Fisica (qui a Milano, meglio non dire quando), ho insegnato matematica e fisica nei Licei Scientifici milanesi fino al 1999, sono socia dell’AIF (Associazione per l’Insegnamento della Fisica). Sono profondamente convinta che una visione generale della Fisica moderna debba essere un patrimonio della conoscenza comune e non solo un argomento da addetti ai lavori, per il buon motivo che il nostro modo di vivere ne è totalmente condizionato, nel bene e nel male. L’informazione scientifica nel nostro Bel Paese è mediamente assopita sull’800, sia a livello scolastico sia a livello divulgativo. Anche per questo, una volta in pensione, ho proposto un progetto di diffusione della cultura della fisica moderna nei Licei, che è stato recepito dalla cattedra di Storia della Fisica dell’Università di Milano. Ho quindi collaborato con l‘università per la realizzazione di appositi seminari multimediali per le scuole medie superiori e inferiori, che sono stati tenuti sia presso l’Università (con prestigiosa sede a Brera) che, a richiesta, presso le singole scuole. Gli argomenti proposti (relatività speciale e generale, quantizzazione della materia e della radiazione, meccanica quantistica, grandi personaggi della Fisica moderna,...) venivano scelti da gruppi di studenti e/o docenti interessati e presentati con il supporto di animazioni computerizzate per agevolarne la comprensione attraverso l’uso delle immagini. Per un paio di anni è stato possibile perfino mostrare applicazioni sperimentali della teoria nello stesso contesto. Da qualche anno collaboro allo svolgimento delle Olimpiadi Italiane della Fisica sia a livello regionale che nazionale, con corsi di supporto per gli studenti di Milano e hinterland e con partecipazione alla realizzazione delle prove.

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Pierluigi Boschetti Laureato in Fisica Teorica ... qualche anno fa (1969). Dopo un breve periodo di insegnamento e di ricerca all’Università, durante il quale ha pubblicato diversi articoli su giornali internazionali di Fisica, ha lavorato nell’informatica fino al 1994. Da piccolo aveva la passione della scultura; qualche anno dopo la laurea, in una giornata piovosa sul lago, per passare il tempo, ha ripreso l’antica passione e lasciata l’informatica si é dedicato nuovamente alla scultura e alla pittura, che ha poi praticato professionalmente. Da pensionato coltiva anche lo studio della musica suonando il flauto traverso e delle lingue antiche, greco ed ebraico biblico. Continua privatamente lo studio della matematica e della fisica.

Quota di partecipazione € 3,00

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Naviglio Piccolo · 2017-11-12 · ... il mondo oltre lo specchio cambia le cose nella ... vedremo che l’evoluzione del concetto e il suo rivoluzionario utilizzo hanno prodotto