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Puntajes estándary curva normal
Nazira Calleja
Curva normal“Dios ama la curva normal”
Campana de Gauss
Pocos casos
Pocos casos
La mayoría de los casos
Distribución normalDistribución de datos de una variable
que asemeje la forma de una curva normal
En la naturaleza,casi todas las variables se distribuyen de esta forma
ESTATURA
Peso
IQCalificaciones
Hojas de los árboles Cabellos de las personas
Habilidades
cognitivas
Historia de la distribución normal 1733 Abraham De
Moivre presentó la distribución normal por primera vez.
1809 Gauss justificó rigurosamente la distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos. Algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.Fue una de las mentes
más brillantes que ha vivido sobre la Tierra.
Historia de la distribución normal 1812 Laplace amplió el concepto en su
libro Teoría analítica de las probabilidades y usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos.
1872 Esprit Jouffret usó el nombre de "campana" (bell surface) por primera vez.
1875 Francis Galton, Charles Pierce y Wilhem Lexis otorgaron independientemente la denominación de "distribución normal".
Lo que sabes es muy poco; lo que ignoramos, inmenso.
Distribución normal
Unimodal
SimétricaMesocúrtica
Media = Mediana = Modo
Pafnuty Chevichev
Distribución normal
Sólo 3 puntos de 1000 caerán fuera del área de 3 desviaciones estándar a ambos lados de la media.
Curva normal o Campana de Gauss
Distribución normalCombinaciones
Puntajes ZEstandarización
Puntajes originales o brutosX
Puntaje Z: Número de desviaciones estándar en el que se encuentra ubicado un puntaje en relación con la media de la distribución.
Puntajes estandarizadosZ
En SPSS: Analizar – Descriptivos – Guardar valores tipificados como variables
Distribución de puntajes Z
Distribución depuntajes originales o brutos
X
Distribución depuntajes estandarizados
Z
Media = 0Desviación estándar = 1
Puntaje X
Puntaje Z
De Z a X D
e X
a Z
-3 -2 -1 0 1 2 3
Puntaje Z positivo: El puntaje X es > la mediaSe ubica a la derecha o arriba de la media
Puntaje Z negativo: El puntaje X es < la mediaSe ubica a la izquierda o abajo de la media
El puntaje Z indica:
a) Qué tan lejos se encuentra de la media.
b) En qué dirección.
Los estadísticos han construido tablas que indica el valor de estas proporciones para cada posible puntaje Z, que ahora se calcula electrónicamente.
Calculadoras electrónicas de puntajes Z y áreas bajo la curva:• http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html• http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/normz.html
Tabla de ZLos estadísticos han construido tablas que indica el valor de estas proporciones para cada posible puntaje Z.
Calculadoras electrónicas de puntajes Z y áreas bajo la curva:
• http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html• http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/normz.ht
ml
Z %%Z
Z
% Z
Puntaje X
Puntaje Z
Percentil
Ejemplo 1Una compañía farmacéutica fabrica píldoras de vitaminas que contienen un promedio de 507 gramos de vitamina C con una desviación estándar de 3 gramos.
-3 -2 -1 0 1 2 3
498 501 504 507 510 513 516
68%
95%
99.7%
Casos Puntajes brutos de creatividad
Puntajes z de creatividad
1 12 -0.232 13 0.043 9 -1.054 18 1.415 7 -1.606 9 -1.057 14 0.318 16 0.869 10 -0.78
10 12 -0.2311 7 -1.6012 13 0.0413 14 0.3114 19 1.6815 10 -0.7816 16 0.8617 12 -0.2318 16 0.8619 19 1.6820 11 -0.51
Media 12.85 0Desviación estándar 3.66 1
Ejemplo 2
Casos Puntajes brutos de creatividad
Puntajes z de creatividad
1 12 -0.232 13 0.043 9 -1.054 18 1.415 7 -1.606 9 -1.057 14 0.318 16 0.869 10 -0.78
10 12 -0.2311 7 -1.6012 13 0.0413 14 0.3114 19 1.6815 10 -0.7816 16 0.8617 12 -0.2318 16 0.8619 19 1.6820 11 -0.51
Media 12.85 0Desviación estándar 3.66 1
Ejemplo 2
Caso núm. 5(con puntaje bruto de 7):
El puntaje bruto de 7 se encuentra 1.6 unidades de desviación estándar debajo de la media
Casos Puntajes brutos de creatividad
Puntajes z de creatividad
1 12 -0.232 13 0.043 9 -1.054 18 1.415 7 -1.606 9 -1.057 14 0.318 16 0.869 10 -0.78
10 12 -0.2311 7 -1.6012 13 0.0413 14 0.3114 19 1.6815 10 -0.7816 16 0.8617 12 -0.2318 16 0.8619 19 1.6820 11 -0.51
Media 12.85 0Desviación estándar 3.66 1
Ejemplo:
Caso núm. 14(con puntaje bruto de 19):
El puntaje bruto de 19 se encuentra 1.68 unidades de desviación estándar arriba de la media
Puntaje bruto
Percentil
Puntaje z
Comparación de puntajes de diferentes distribuciones con puntajes z
0 0.25 1.28 2.33
Comparación de puntajes de diferentes distribuciones con puntajes z
Estudiante 1 Estudiante 2
Examen Estadística Contabilidad
Puntaje obtenido 76 (de 100) 82 (de 100)
¿Quién tuvo una mejor ejecución, el estudiante A o el estudiante B? Es difícil comparar los puntajes obtenidos por ambos porque puede ser, entre otras cosas, que la clase de contabilidad haya sido más fácil que la de estadística; o que los alumnos de contabilidad hayan variado más o menos que los de estadística en sus calificaciones finales... Sólo se pueden comparar si las tales calificaciones se convierten en puntajes estandarizados.
Ejemplo 3
Estudiante A Estudiante BExamen Estadística Contabilidad
Puntaje obtenido 76 (de 100) 82 (de 100)Media 54 72Desviación estándar 20 15Puntaje Z (76-54)/20 = 1.1 (82-72)/15 = 0.67
Conclusión: La ejecución del estudiante A fue mejor que la del estudiante B.En este ejemplo, la unidad de medición fue la misma (puntaje sobre 100); sin embargo, también es posible hacer comparaciones de puntajes de distribuciones basadas en unidades diferentes. Todo lo que se necesita es conocer la media y la desviación estándar de las distribuciones correspondientes.
Comparación de puntajes de diferentes distribuciones con puntajes z
El precio promedio de un litro de leche es de $6.30 y la desviación estándar es de 80 centavos. El precio promedio de un paquete de jamón es de $18.00 y la desviación estándar es de $1.50. Si pagamos $8.90 por un litro de leche y $21.90 por un paquete de jamón en un supercito de 24 horas, ¿cuál es relativamente más caro?
8.90 – 6.30
Zleche = ––––––––––––– = 3.25
0.80
21.90 – 18.00
Zjamón = ––––––––––––– = 2.60
1.50
Conclusión: Estamos pagando un poco más por la leche que por el jamón.
Leche:
Jamón:
Ejemplo 4
Teorema del límite centralUna distribución tenderá a ser aproximadamente normal en la medida que se aumenta el tamaño de la muestra.
