Índicegeneral - uncornominan láminas planas, placas o losas, mientras que cuando las superﬁcies son ... se emplean en cursos sobre placas y cáscaras incluyen Ugural [12], Billington

Índice general

1. INTRODUCCIÓN 41.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Sobre las teorías de estructuras de pared delgada . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. De acuerdo al espesor relativo de la lámina . . . . . . . . . . . 61.2.2. De acuerdo al orden de los desplazamientos en dirección per-

pendicular a la superficie media . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3. De acuerdo a la curvatura de la superficie media . . . . . . . . 71.2.4. De acuerdo a la importancia de la flexión . . . . . . . . . . . . 71.2.5. De acuerdo con la cinemática adoptada . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Enfoque de este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Bibliografía sobre placas y cáscaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. FORMULACIÓN PARA LÁMINAS PLANAS 112.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Hipótesis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. (a) Hipótesis referida a las tensiones normales . . . . . . . . . 132.2.2. (b) Hipótesis referida a las deformaciones de rectas normales

a la superficie media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Consecuencias de las hipótesis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1. Contradicciones referidas a las deformaciones cortantes transver-sales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2. Contradicción referida la deformación normal a la superficiemedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3. Resumen acerca de la resolución de las contradicciones . . . . 162.4. Variables referidas al comportamiento de la superficie media . . . . . 17

2.4.1. Esfuerzos Resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2. Momentos resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3. Deformaciones y curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.4. Relaciones constitutivas entre variables de la superficie media 212.4.5. Ecuaciones de equilibrio de una placa . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5. Separación del problema de placas en membranal y flexional . . . . . 252.5.1. Mecanismo membranal en placas . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

ÍNDICE GENERAL 2

2.5.2. Mecanismo flexional en placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Condiciones de contorno de flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.1. Bordes empotrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6.2. Bordes simplemente apoyados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6.3. Borde libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6.4. Interpretación física del Corte de Kirchhoff . . . . . . . . . . . 292.6.5. Condiciones de fuerzas en las esquinas . . . . . . . . . . . . . 302.6.6. Condiciones generales de contorno en un borde curvo . . . . . 32

2.7. Formulación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.1. Ecuación diferencial en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.2. Formulación mixta del problema diferencial . . . . . . . . . . 34

2.8. Formulación de energía potencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.9. Expresión de trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.10. Teoría de placas incluyendo deformaciones transversales de corte . . . 392.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. SOLUCIONES DE PLACAS UTILIZANDO LA FORMULACIÓNDIFERENCIAL 443.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2. Solución mediante series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1. Descomposición de la carga en series de Fourier . . . . . . . . 453.2.2. Descomposición de la solución en series de Fourier . . . . . . . 463.2.3. Ecuación diferencial en términos de componentes de Fourier . 473.2.4. Cálculo de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.5. Cálculo de esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Ejemplo de solución de una placa mediante series de Fourier . . . . . 483.4. Solución mediante diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.1. Derivadas en función de diferencias finitas . . . . . . . . . . . 513.4.2. Derivadas parciales en función de diferencias finitas . . . . . . 533.4.3. Representación de ecuaciones diferenciales en el dominio uti-

lizando diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.4. Representación de condiciones de contorno utilizando diferen-

cias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.5. Solución de los desplazamientos en placas . . . . . . . . . . . . 583.4.6. Momentos en la placa a partir de los desplazamientos . . . . . 59

3.5. Ejemplo de solución de una placa mediante Diferencias Finitas . . . . 593.5.1. Ecuaciones en el dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.2. Condiciones de contorno de la placa . . . . . . . . . . . . . . . 613.5.3. Condiciones de simetría de la placa . . . . . . . . . . . . . . . 613.5.4. Sistema de ecuaciones simultáneas . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Problemas de Diferencias Finitas con mallas irregulares . . . . . . . . 633.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

ÍNDICE GENERAL 3

4. SOLUCIONES DE PLACAS UTILIZANDO LA FORMULACIÓNINTEGRAL 674.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Método de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1. Aproximación de funciones en el método de Ritz . . . . . . . . 684.2.2. Condiciones que deben cumplir las funciones de aproximación 69

4.3. Ejemplos de solución de placas mediante el método de Ritz . . . . . . 724.3.1. Placa simplemente apoyada en dos bordes y empotrada en los

otros dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.2. Placa simplemente apoyada-libre . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4. Método de Elementos Finitos usando la teoría de Kirchhoff . . . . . . 764.4.1. Elemento finito rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5. Método de Elementos Finitos con deformaciones transversales de corte 804.5.1. Elementos finitos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

1.1. Conceptos básicos

En la mecánica aplicada y la ingeniería estructural se conoce como estructurade pared delgada a una estructura que está limitada por dos superficies, la dis-tancia entre las cuales es considerada pequeña. Otras designaciones comunes sonestructuras laminares o láminas delgadas. Cuando las superficies son planas se de-nominan láminas planas, placas o losas, mientras que cuando las superficies soncurvas se conocen como cáscaras o láminas curvas.

Se denomina superficie media al lugar común de los puntos equidistantes deambas superficies. En cualquier punto de la superficie media se puede trazar unarecta perpendicular, y se define así la dirección del vector normal a la superficieen ese punto. Esa recta normal intercepta a las dos superficies externas de la lámina,y a la distancia h entre ellas se denomina espesor de la lámina. El espesor puedevariar de un punto a otro de la lámina, y a los efectos del análisis supondremosque esa variación es suave. La geometría de una lámina puede entonces definirseespecificando la posición de la superficie media y el espesor en cada punto.

Figura 1.1: Estructura de pared delgada

En lo que sigue supondremos que la superficie media es una superficie continuay tiene una variación suave. En la Figura 1.2.a se muestra una superficie media

4

Introduccion 5

continua a pesar que las superficies externas de la estructura son discontinuas. Estecaso se debe a un cambio de espesor en la estructura. Un ejemplo de discontinuidaden la superficie media, también asociada a un cambio en el espesor, se muestra en laFigura 1.2.b. Finalmente, en la Figura 1.2.c se ilustra un caso en el que la tangentede la superficie media presenta una discontinuidad.

Figura 1.2: Ejemplos de discontinuidades en superficies de una lámina.

Un punto fuera de la superficie media se identifica por su mínima distancia aella. En la Figura 1.3 se muestra que un punto P ∗ se podrá identificar por medio deP y de la distancia PP ∗. Nótese que otro punto, como el Q, no es adecuada paraubicar la posición de P ∗ porque la distancia QP ∗ no es mínima.

La superficie media de una estructura laminar puede ser completa (como en elcaso de esferas, elipsoides, etc.) o incompleta (como en placas planas, bóvedas cilín-dricas, cilindros, etc.). En una lámina incompleta aparecen contornos. Se suponeque el contorno define una curva sobre la superficie media y que el corte es perpen-dicular a ella.

Figura 1.3: Ubicación de un punto fuera de la superficie media

Una lámina se denomina delgada si la relación entre el espesor h y una dimensióncaracterística d de la superficie media es muy pequeña comparada con la unidad.Como dimensión característica d es común emplear el diámetro en placas circulares,

Introduccion 6

las dimensiones de los lados en placas rectangulares, y el radio de curvatura mínimode la superficie en láminas curvas. Para que la lámina pueda considerarse delgadase debe cumplir que

h

d<< 1

Esto significa que h es por lo menos un orden de magnitud menor que d. En algunostextos se emplea la condición inversa, según la cual una lámina es delgada si

d

h>> 1

Si esta condición no se cumple se dice que la lámina es de espesor intermedio o deespesor grueso, en cuyo caso será necesario relajar las hipótesis de Kirchhoff que sedesarrollan más adelante. Si una lámina es lo suficientemente gruesa, entonces sucomportamiento no difiere demasiado del de un sólido tridimensional. En láminasdelgadas, por el contrario, algunos esfuerzos y deformaciones resultan significativa-mente más importantes que otros, de modo que es razonable realizar simplificaciones,controlando al mismo tiempo el error asociado a esas simplificaciones.

1.2. Sobre las teorías de estructuras de pared del-gada

La forma de una estructura de pared delgada depende de una serie de factores,entre ellos su función, el tipo de cargas a las que estará sometida, el material quese emplee, consideraciones estéticas, económicas, y otras. Prácticamente no existenya limitaciones asociadas a dificultades de cálculo gracias al desarrollo de métodosnuméricos en los últimos 40 años.

En láminas delgadas el análisis lineal ha sido formulado hace más de 150 añosy las ecuaciones de Lagrange para placas planas son ahora aceptadas casi univer-salmente. Por el contrario, no existe una única teoría para el análisis lineal de láminascurvas delgadas, y distintos autores consideran diferentes niveles de aproximación.La mayor parte de las teorías que se emplean en la actualidad tiene su origen en eltrabajo de A. E. H. Love de 1892 [8]. Love hizo hipótesis de deformación similaresa las de Kirchhoff en láminas planas, y a las de Navier en vigas.

En general, se puede decir que las diferentes teorías de láminas atienden lossiguientes aspectos:

1.2.1. De acuerdo al espesor relativo de la lámina

En láminas delgadas el valor máximo de h/R se puede despreciar frente a launidad. Para cálculos técnicos se acepta

Introducción 7

max

(h

R

)≤ 1

20

En esas teorías se desprecian términos del orden de hR. Las láminas se consideran

gruesas si

max

(h

R

)>1

20

Para muchas aplicaciones prácticas en ingeniería civil se tiene que las cáscaras estánen el rango

1

1000>

(h

R

)>1

50

Por ejemplo, una cáscara metálica esférica en una central nuclear tiene h/R = 900;una esfera de recipiente de presión para almacenar gas tiene h/R = 450; una torrede enfriamiento de hormigón armado h/R = 200; una cáscara rebajada de hormigónpara techo h/R = 50.

1.2.2. De acuerdo al orden de los desplazamientos en direc-ción perpendicular a la superficie media

Si expandiéramos los desplazamientos en serie de potencias en dirección de lanormal (distancia a la superficie media de la lámina) y se retiene términos lineales,se denomina teoría de primer orden. Si se retienen términos cuadráticos o cúbicosse denominan “de orden superior”. La teoría de Kirchhoff-Love es de primer orden,y equivale a la teoría de Kirchhoff para placas y de Navier-Bernoulli para vigas.

1.2.3. De acuerdo a la curvatura de la superficie media

Se denominan teorías generales aquellas que sirven para cáscaras con curvaturasgrandes. En cambio, teorías de cáscaras rebajadas sirven para láminas de poca cur-vatura, que se pueden proyectar en un plano y se pueden tratar como una extensiónde la teoría de placas.

1.2.4. De acuerdo a la importancia de la flexión

En láminas los momentos flectores se relacionan con las curvaturas de manerasimilar que en placas, por ejemplo

M11 =Eh3

12 (1− ν2)(χ11 + ν χ22)

Las teorías membranales desprecian la contribución de los momentos flectores. Esoreduce las variables del problema y lleva a ecuaciones sencillas. En muchos casos

Introducción 8

basta con las ecuaciones de equilibrio, y eso conduce a resultados que pueden seradecuados.

El empleo de teorías membranales se justifica en dos casos:(a) Cuando la rigidez flexional de una lámina es muy baja (h→ 0) la lámina es

una membrana.(b) Cuando los cambios de curvatura son muy pequeños (χij → 0) la lámina se

comporta como una membrana, a pesar que la rigidez puede no ser baja. La mismateoría membranal describe las dos situaciones mencionadas.

La diferencia es que en el primer caso no se admiten esfuerzos de compresión.En forma análoga a la diferencia entre una cable y una barra de reticulado.

1.2.5. De acuerdo con la cinemática adoptada

Se distingue entre teorías de pequeños desplazamientos, en las que las relacionesentre desplazamientos y deformaciones se consideran lineales, o de grandes despla-zamientos, en las que las cinemáticas son cuadráticas. Para estudiar el fenómeno depandeo es necesario considerar teorías de grandes desplazamientos.

1.3. Enfoque de este trabajo

Este trabajo contiene un enfoque introductorio al tema, tal como se presentaen cursos avanzados a nivel de pregrado en ingeniería, o en cursos de maestría eningeniería. No se emplea la notación tensorial de cáscaras, sino que se recurre sola-mente a notación indicial y notación explícita en coordenadas cartesianas o polares.La presentación se limita a teorías de primer orden y lineales en la cinemática.

En primer lugar se estudian placas en los Capítulos 2 a 4, considerando el pro-blema flexional. Un capítulo se dedica a placas planas plegadas. El tema de cáscarasse ve en los capítulos restantes. Inicialmente se ve la teoría membranal de cáscaras,para luego considerarse efectos flexionales en una forma clásica. En este trabajo nose presenta una teoría general de cáscaras, que es preferible en cursos más avanzadossobre el tema.

1.4. Bibliografía sobre placas y cáscaras

La bibliografía sobre estructuras laminares es sumamente extensa, y abarca tantolibros como artículos en revistas especializadas. El libro de Love [8] de finales delsiglo XIX, es un clásico en el tema, y en el Siglo XX el clásico han sido los textos deTimoshenko [11] y Flugge para cáscaras [4]. Hubo una fuerte corriente de estudiossobre el tema en Rusia, que se refleja en textos como las referencias [9, 1]. En Europase destacan los estudios de Koiter [6] y Donnell [3]. Los textos más recientes quese emplean en cursos sobre placas y cáscaras incluyen Ugural [12], Billington [2]

Introducción 9

y Gould [5], mientras que para la teoría membranal de cáscaras se ha empleadoPflugge [10]. El texto que más se acerca al enfoque de estas notas es el de Ugural.

La revista Thin-Walled Structures se especializa en este tipo de estructuras,pero otras revistas también publican artículos referidos al tema, como InternationalJournal of Solids and Structures, ASCE Journal of Engineering Mechanics, y otras.

1.5. Problemas

Problema 1.1. Como manera introductoria de comparar las estructuras quetrabajan membranalmente y aquellas que trabajan flexionalmente, consideremos lasdos estructuras que se dibujan en la Figura 1.4, una de ellas es una cercha, mientrasque la segunda es una viga. Ambas estructuras tiene el mismo volumen de material,y cubren la misma longitud 2L entre los soportes. La cercha tiene sección transversalcuadrada [1× 1], mientras que la viga tiene sección rectangular

[1×

√5]. Considere

L = 40. Evalúe las tensiones en cada una de ellas, compare los valores y comenteacerca de la eficiencia de cada solución.

Figura 1.4: Efectos membranales y flexionales en estructuras sencillas. (a) Cercha.(b) Viga.

Solución: Para la estructura tipo cercha, se calcula la fuerza F en cada miembroy resulta F = −

√54P . Los esfuerzos internos axiales son de compresión y valen σ =

FA= 0,56P . Para la estructura tipo viga, el momento máximo ocurre al centro M =

PL2, mientras que los esfuerzos por flexión valen σ = 2×0,3PL. Para L = 40 se tiene

una tensión en la fibra extrema de σ = 24P . La relación entre esfuerzos flexionalesy axiales entre las dos estructuras son de 42,8. Como se observa, la configuraciónde cercha es más eficiente para resistir cargas en el modo axial que la configuración

Introducción 10

de viga en el modo flexional. En la configuración axial todas las fibras en la seccióntienen el mismo nivel de esfuerzos, mientras que en la de viga sólo tienen el esfuerzomáximo las fibras extremas de la sección.

Capítulo 2

FORMULACIÓN PARALÁMINAS PLANAS

Este capítulo contiene las ecuaciones fundamentales de placas, desarrolladas sigu-iendo las hipótesis de Kirchhoff, con lo cual se construye una teoría técnica. Lahistoria del desarrollo de las ecuaciones que gobiernan el problema es sumamenteinteresante y puede consultarse en la Referencia [8]. La presentación del problemaes un tema clásico en la literatura y puede encontrarse en casi todos los textos sobreeste tema; sin embargo, la discusión acerca de las contradicciones que implican lashipótesis de Kirchhoff se encuentran muy bien tratadas en el texto de Novozhilov[9]. El desarrollo principal corresponde a lo que se denomina “teoría clásica de pla-cas” pero se incluye también la teoría de placas incluyendo deformaciones cortantes,obtenidas de la anterior relajando una hipótesis.

2.1. Introducción

Para modelar el comportamiento de una lámina plana de espesor grueso, lasecuaciones de la teoría de elasticidad [13] resultan adecuadas. En ese caso, en elentorno de un punto cualquiera de la placa (no necesariamente sobre la superficiemedia), los esfuerzos se caracterizan usando el tensor de esfuerzos

σ =

σ11 σ12 σ13σ12 σ22 σ23σ13 σ23 σ33

(2.1)

Las deformaciones se caracterizan mediante el tensor de deformaciones

ε =

ε11 ε12 ε13ε12 ε22 ε23ε13 ε23 ε33

(2.2)

Las relaciones elásticas entre deformaciones y tensiones, para material elástico, lineale isótropo, se reducen a:

11

Formulación para láminas planas 12

σ11 =E

(1 + ν) (1− 2ν) [(1− ν) ε11 + ν (ε33 + ε22)]

σ22 =E

(1 + ν) (1− 2ν) [(1− ν) ε22 + ν (ε11 + ε33)] (2.3)

σ33 =E

(1 + ν) (1− 2ν) [(1− ν) ε33 + ν (ε11 + ε22)]

σ12 =E

1 + νε12

σ13 =E

1 + νε13 (2.4)

σ32 =E

1 + νε32

Las ecuaciones de equilibrio en tres dimensiones resultan

∂σ11∂x1

+∂σ12∂x2

+∂σ13∂x3

+ F1 = 0

∂σ21∂x1

+∂σ22∂x2

+∂σ23∂x3

+ F2 = 0 (2.5)

∂σ31∂x1

+∂σ32∂x2

+∂σ33∂x3

+ F3 = 0

Finalmente, las ecuaciones cinemáticas se escriben en la forma

ε11 =∂u1∂x1

ε22 =∂u2∂x2

ε33 =∂u3∂x3

(2.6)

ε12 =1

2

(∂u1∂x2

+∂u2∂x1

)ε13 =

1

2

(∂u1∂x3

+∂u3∂x1

)ε23 =

1

2

(∂u2∂x3

+∂u3∂x2

)

(2.7)

2.2. Hipótesis de Kirchhoff

En lo que sigue estudiaremos el comportamiento de láminas con pequeños des-plazamientos, de modo que se supone que los desplazamientos son suficientementemenores que el espesor

ui

h<< 1 (2.8)


donde ui son las componentes de desplazamiento. Las variables que se escriban acontinuación con un asterisco se refieren a los valores en puntos que no están nece-sariamente sobre la superficie media, mientras que aquellas sin asterisco se refierena valores sobre la superficie media de la lámina.

Las hipótesis de Kirchhoff1 pueden expresarse así:

2.2.1. (a) Hipótesis referida a las tensiones normales

Se acepta que las tensiones normales que actúan sobre planos paralelos a lasuperficie media son despreciables frente a otras componentes de tensión.

Como consecuencia de ello, la componente σ∗33 de un punto cualquiera de lalámina es nula:

σ∗33 = 0 (2.9)

2.2.2. (b) Hipótesis referida a las deformaciones de rectasnormales a la superficie media

Esta hipótesis puede descomponerse en tres enunciados:Hipótesis (b.1) Las fibras que eran rectas y perpendiculares a la superficie

media antes de la deformación permanecen rectas después de la deformación. Paraaclarar el sentido de esta hipótesis, observemos la Figura 2.1, para el caso de unalámina plana. El desplazamiento u∗i de un punto fuera de la superficie media, talcomo el punto P ∗ en la Figura 2.1, puede expresarse como

u∗1 = u1 + x3 β1 u∗2 = u2 + x3 β2 (2.10)

donde ui son los desplazamientos de la superficie media (del punto P en la figura)y βi son las rotaciones de la fibra recta a consecuencia de la deformación.

Como indica la Figura, se supone que el sentido positivo del eje x3 normal a lacáscara va hacia abajo. De acuerdo a las ecuaciones (2.10), el desplazamiento u∗ide un punto fuera de la superficie media es igual al desplazamiento ui del puntocorrespondiente ubicado sobre la superficie media más la rotación βi de la secciónplana a la que pertenece el punto, multiplicada por la distancia x3 del punto a lasuperficie media. Esta hipótesis no contiene ninguna afirmación sobre la orientaciónfinal del plano con respecto a la superficie media deformada.Hipótesis (b.2) Adicionalmente, en lo que se denomina “teoría clásica de pla-

cas”, se supone que las fibras rectas perpendiculares a la superficie media permanecenperpendiculares a la superficie media deformada.

Nuevamente referimos el caso a una lámina plana y la hipótesis implica que lasrotaciones β no son variables independientes sino que dependen de la variación de

1Usaremos el término hipótesis para referirnos a las suposiciones iniciales que acepta la teoría.


Figura 2.1: Hipótesis b.1

los desplazamientos, como se muestra en la Figura 2.2. Las rotaciones β puedenexpresarse como

β1 = −∂u3∂x1

β2 = −∂u3∂x2

(2.11)

Figura 2.2: Hipótesis b.2

Hipótesis (b.3) Las fibras rectas y normales a la superficie media antes de ladeformación no cambian de longitud después de la deformación.

Por lo tanto, los desplazamientos u∗3 de puntos ubicados sobre una fibra PP ∗

perpendicular a la superficie media no varían con x3:

u∗3 = u3 (2.12)

2.3. Consecuencias de las hipótesis de Kirchhoff

Las hipótesis que se han planteado tienen consecuencias importantes acerca delcomportamiento de la estructura. No todas esas consecuencias son consistentes entre


ellas y se plantean algunas contradicciones que se señalan en esta sección.

2.3.1. Contradicciones referidas a las deformaciones cortantestransversales

Veremos que el valor de las deformaciones cortantes depende en principio delcamino que se siga para computarlas, de manera que hay que decidir cuál consid-eración se acepta en la teoría.Consideraciones cinemáticas:Sabemos que la expresión cinemática general para evaluar las deformaciones

cortantes, por ejemplo ε∗13, es

ε∗13 =1

2

(∂u∗1∂x3

+∂u∗3∂x1

)(2.13)

donde

u∗1 = u1 + x3 β1 siendo β1 = −∂u3∂x1

(2.14)

Los desplazamientos membranales de la superficie media no dependen de la coorde-nada x3 de modo que al derivar resulta:

∂(u∗1)

∂x3=

∂(x3 β1)

∂x3(2.15)

Substituyendo en la ecuación de ε∗13 se tiene

ε∗13 =1

2

[∂(x3 β1)

∂x3+

∂u3∂x1

]

=1

2

(β1

∂x3∂x3

+∂u3∂x1

)

=1

2(β1 − β1)

= 0

De este razonamiento cinemático se concluye que para la teoría clásica de placas,la deformación cortante ε∗13 debe ser nula (similar a la teoría clásica de vigas). Deigual manera resulta nula la deformación ε∗23.Consideraciones constitutivas:La conclusión anterior sobre despreciar la contribución de las deformaciones cor-

tantes se obtuvo por consideraciones puramente cinemáticas. Veremos a continuaciónque cuando se acepta esa consecuencia ya no pueden emplearse las ecuaciones consti-tutivas para establecer tensiones cortantes. Si se pretendiera emplear las ecuacionesconstitutivas para calcular las tensiones σ∗13 asociadas a ε∗13 se tendría que


σ∗13 =E

1 + νε∗13 = 0 (2.16)

Sin embargo, como se verá más adelante, la satisfacción de las ecuaciones de equili-brio en dirección normal a la lámina y de las ecuaciones de equilibrio de momentos,requiere de la existencia de tensiones σ∗13 y σ∗23, y por lo tanto no deben ser nulas.Aceptaremos la siguiente salida para esta contradicción:Contradicción 1: La aceptación de que las deformaciones cortantes transver-

sales son nulas no implica que las tensiones cortantes transversales se considerennulas.

2.3.2. Contradicción referida la deformación normal a la su-perficie media

Veremos que el valor de las deformaciones en dirección normal a la superficiemedia dependerían del camino seguido en el cómputo.Consideraciones cinemáticasSi se desea obtener ε∗33 a partir de las relaciones cinemáticas se tiene

ε∗33 =∂u∗3∂x3

= 0 (2.17)

debido a que u∗3 no varía con x3 por hipótesis (b.3).Consideraciones constitutivasSi se usa la ecuación constitutiva de σ∗33 resulta:

σ∗33 =E

1 + ν[(1− ν) ε∗33 + ν (ε∗11 + ε∗22)] (2.18)

De acuerdo a la hipótesis (a), se supuso que σ∗33 = 0, de donde se obtiene la siguienterelación entre deformaciones:

ε∗33 = −ν

1− ν(ε∗11 + ε∗22) (2.19)

como en un estado plano de tensiones. Esta expresión está en contradicción con elvalor nulo para ε∗33 que se obtuvo de consideraciones puramente cinemáticas (2.17).Contradicción 2: La aceptación de que las fibras no cambian de longitud en

sentido normal a la superficie media no implica que las deformaciones correspondi-entes ε∗33 sean nulas, sino que queda definida en función de ε∗11 y ε∗22.

2.3.3. Resumen acerca de la resolución de las contradic-ciones

En la resolución de las contradicciones 1 y 2 se ha privilegiado la satisfacción delas consideraciones cinemáticas y de equilibrio por encima de la vinculación entre


tensiones y deformaciones mediante ecuaciones constitutivas. La tabla a continuaciónresume las hipótesis, consecuencias y lo que no se implica dentro del contexto de lateoría clásica de placas.

Hipótesis Implica No implicau3 < h Cinemática Lineal

u∗i = ui + x3 βi ε∗13 = 0 σ∗13 = 0βi = −∂u3

∂xiε∗23 = 0 σ∗23 = 0

u∗3 = u3 ε∗33 = 0σ∗33 = 0 ε∗33 = − ν

1−ν(ε∗11 + ε∗22)

Finalmente, la forma que tiene los tensores de acuerdo a las hipótesis adoptadases la siguiente

σ∗ij =

σ∗11 σ∗12 σ∗13σ∗21 σ∗22 σ∗23σ∗31 σ∗32 0

ε∗ij =

ε∗11 ε∗12 0ε∗21 ε∗22 00 0 ε∗33

(2.20)

Nótese que los tensores de la placa no corresponden ni a estado plano de tensiónni a estado plano de deformación.

2.4. Variables referidas al comportamiento de lasuperficie media

2.4.1. Esfuerzos Resultantes

En las teorías técnicas es habitual expresar el estado tensional en un puntocualquiera del plano medio mediante esfuerzos integrados en el espesor.

Nij =

∫ h/2

−h/2

σij dx3 (2.21)

Esto permite construir un tensor simétrico de esfuerzos de la forma siguiente

Nij =

N11 N12 N13

N12 N22 N23

N13 N23 0

(2.22)

Las componentes N11, N22, N12 corresponden a los esfuerzos axiales N en la teoríade vigas, mientras que N13 y N23 corresponden a los esfuerzos cortantes. Estos sonesfuerzos por unidad de longitud, de modo que para obtener fuerzas es necesariomultiplicar esos valores por la longitud sobre la superficie media en la que actúan. LaFigura 2.3 muestra los sentidos positivos de los esfuerzos membranales y cortantes.


Figura 2.3: (a) Esfuerzos membranales. (b) Esfuerzos cortantes.

2.4.2. Momentos resultantes

Adicionalmente, se definen momentos resultantes, integrando en el espesor

Mij =

∫ h/2

−h/2

σij x3 dx3 (2.23)

Los momentos pueden agruparse como un tensor

Mij =

M11 M12 0M12 M22 00 0 0

=[

M11 M12

M12 M22

](2.24)

Los sentidos de los momentos están fijados por los sentidos positivos de las tensionesque les dan origen, de modo que resultan como en la Figura 2.4. Los momentosflectores positivos M11 y M22 producen tensiones positivas (tracciones) en la parteinferior de la placa y compresión en la superior. Para los momentos torsores se harespetado la reciprocidad de las tensiones tangenciales, y ello conduce a que la cuplatorsora sobre la cara normal a x1 tiene un momento con sentido vectorial entrante.

Los vectores momento usando la regla de la mano derecha hacen que la definiciónsegún (2.18) genere M11 < 0, M22 > 0, M21 < 0, M12 > 0.

Casos particulares

Para ilustrar que esfuerzos resultantes surgen de determinadas situaciones ten-sionales, consideremos

(a) Un caso de tensiones σij constante en el espesor, como en la Figura 2.5.a.Los momentos resultan

Mij = σij

∫ h/2

−h/2

x3dx3 = σijx232|h/2−h/2

=σij

2

[(h

2

)2−(−h

2

)2]

= 0


Figura 2.4: (a) Momentos flectores y torsores. (b) Representacion vectorial de losmomentos.

De manera que un estado de tensiones constantes en el espesor no producen mo-mentos.

(b) Por otra parte, consideremos el estado tensional de la Figura 2.5.b, con unavariación lineal y tensión nula en la superficie media. En este caso

Nij =

∫ h/2

−h/2

σij dx3 = 0 (2.25)

no hay efectos membranales, sino sólo momentos.(c) Finalmente, hay casos en los que se combinan esfuerzos membranales con

momentos, y para ello es necesario una variación de tensiones, con tensiones nonulas en la superficie media, como se muestra en la Figura 2.5.c. Aquí se combinanefectos de membrana y de flexión.

Figura 2.5: (a) Acción membranal pura. (b) Acción flexional pura. (c) Combinaciónde membrana y flexión


2.4.3. Deformaciones y curvaturas

Las relaciones cinemáticas lineales para un punto cualquiera fuera de la superficiemedia de una placa se expresan como en la (2.6). Substituyendo las componentes dedesplazamiento por sus valores en términos de las hipótesis de Kirchhoff (2.11) setienen relaciones en función de las componentes de desplazamiento de la superficiemedia:

ε∗11 =∂

∂x1(u1 + x3 β1) =

∂u1∂x1

+ x3∂β1∂x1

ε∗22 =∂u2∂x2

+ x3∂β2∂x2

ε∗12 =1

2

(∂u1∂x2

+∂u2∂x1

)+ x3

1

2

(∂β1∂x2

+∂β2∂x1

)(2.26)

Debe notarse que u1, u2, u3 no varían para diferentes valores de x3.Designamos las deformaciones específicas sobre la superficie media como

ε11 =∂u1∂x1

ε22 =∂u2∂x2

ε12 =1

2

(∂u1∂x2

+∂u2∂x1

)(2.27)

Además, aproximamos los cambios de curvatura χij de la superficie media por

χ11 =∂β1∂x1

χ22 =∂2β2∂x2

χ12 =1

2

(∂β1∂x2

+∂β2∂x1

)(2.28)

que para la teoría de placas clásica (ec. 2.11) resulta

χ11 = −∂2u3∂x21

χ22 = −∂2u3∂x22

χ12 = −∂2u3

∂x1∂x2(2.29)

entonces se pueden escribir las deformaciones de un punto cualquiera de la placa enfunción de lo que ocurre en la superficie media:

ε∗ij = εij + x3χij (2.30)

para i, j = 1, 2. Así, las variables de deformación de una placa se reducen a seisvalores: tres de deformación εij y tres de curvatura χij. Esas variables constituyentensores simétricos

εij=

[ε11 ε12ε12 ε22

](2.31)

χij =

[χ11 χ12χ12 χ22

](2.32)


2.4.4. Relaciones constitutivas entre variables de la superfi-cie media

Vimos que la condición constitutiva

σ∗33 =E

1 + ν[(1− ν) ε∗33 + ν (ε∗11 + ε∗22)]

conducía a la relación

ε∗33 = −ν

1− ν(ε∗11 + ε∗22)

Sustituyendo esa condición en las otras ecuaciones constitutivas se puede llegar a

σ∗11 =E

1− ν2(ε∗11 + νε∗22)

σ∗22 =E

1− ν2(ε∗22 + νε∗11)

σ∗12 =E

1 + νε∗12

que son las ecuaciones constitutivas elásticas, lineales, de un punto fuera de la su-perficie media.

Adicionalmente, resulta conveniente contar con una expresión para los esfuerzosresultantes Nij. Si se integran las ecuaciones constitutivas en el espesor de la placa,se puede demostrar que conducen a

N11 = K (ε11 + νε22)

N22 = K (ε22 + νε11) (2.33)

N12 = K (1− ν) (ε12)

De manera similar se pueden encontrar ecuaciones constitutivas para momentos:

M11 = D (χ11 + νχ22)

M22 = D (χ22 + νχ11) (2.34)

M12 = D (1− ν)χ12

donde

K =Eh

1− ν2D =

Eh3

12 (1− ν2)= K

h2

12(2.35)

son la rigidez membranal K y la rigidez flexional D de una placa. Es necesariorecordar que en la teoría de placas clásica no hay relaciones constitutivas para losesfuerzos cortantes transversales.


2.4.5. Ecuaciones de equilibrio de una placa

Escribiremos por separado las ecuaciones de equilibrio membranales y flexionales.

Componentes membranales

Consideremos en primer lugar las componentes de fuerzas que están en el propioplano medio de la placa (componentes membranales). Para sumar fuerzas es nece-sario multiplicar los esfuerzos resultantes por las longitudes del arco sobre el cualactúan, y además hay que distinguir entre los valores de los esfuerzos que actúan en

caras opuestas. Por ejemplo, sobre una cara actúa[(

N11 +∂N11

∂x1dx1

)dx2

], mientras

que sobre la cara opuesta actúa [−N11dx2].

Figura 2.6: Esfuerzos membranales que deben satisfacer la ecuacion de equilibrio.

Sumando contribuciones y simplificando (dx1dx2), que aparece en todos los tér-minos que no se cancelan, resultan dos condiciones

∂N11

∂x1+

∂N12

∂x2+ p1 = 0

(2.36)

∂N21

∂x1+

∂N22

∂x2+ p2 = 0

Estas ecuaciones son similares a las que aparecen en estados planos de tensión,sólo que están escritas en términos de fuerzas resultantes en el espesor en lugar deescribirse en términos de tensiones.

Para garantizar equilibrio sobre el contorno de la placa se deben satisfacer lascondiciones de fuerzas.

Componentes flexionales

Las componentes de flexión que entran en las ecuaciones de equilibrio se muestranen la Figura 2.7. Nuevamente hay que multiplicar por el arco sobre el cual actúan


Figura 2.7: Esfuerzos flexionales que deben satisfacer la ecuación de equilibrio.

cada uno de los esfuerzos a fin de sumarlos, y hay que distinguir entre las accionessobre una cara y sobre su opuesta.

La suma de fuerzas en sentido normal a la placa lleva a la condición

∂N13

∂x1+

∂N23

∂x2+ p3 = 0 (2.37)

Nótese que los esfuerzos cortantes son vitales para poder mantener en equilibrio laplaca. Si se hubieran despreciado los cortantes por ser nulas las deformaciones cor-tantes, entonces no habría posibilidad de equilibrar a p3. Estrictamente, el equilibriofrente a cargas normales es mantenido por la variación del cortante.

En la suma de momentos se anula la contribución de las fuerzas externas p3 y delas variaciones de N13, que introducen un diferencial de orden superior, y se llega a

∂M11

∂x1+

∂M12

∂x2−N13 = 0

(2.38)

∂M21

∂x1+

∂M22

∂x2−N23 = 0

Debe notarse que los mismos resultados pueden obtenerse si se integran las ecua-ciones de equilibrio de elasticidad tridimensional y se consideran las definiciones deesfuerzos resultantes, como se muestra a continuación


Deducción del equilibrio flexional a partir de las ecuaciones de equilibriotridimensionales

Partiendo de las ecuaciones de equilibrio en tres dimensiones

∂σij

∂xi

+ ρ (bj − aj) = 0 i, j = 1, 3 (2.39)

donde ρ es la masa por unidad de volumen (densidad), bj es la fuerza másica (porunidad de masa) y aj es la aceleración. Restringiéndonos a problemas estáticos, sesupone aceleración nula.

La integración de las dos primeras ecuaciones en el espesor de la placa conducena las condiciones de equilibrio del estado plano membranal (ec. 2.36). La integral dela tercera resulta

∫ h/2

−h/2

[∂σ13∂x1

+∂σ23∂x2

+∂σ33∂x3

+ ρb3

]dx3 = 0 (2.40)

por ser las xi variables independientes en los dos primeros términos es posible inter-cambiar la operación de derivada parcial con la integración. El tercer término resultade integración inmediata, en tanto que en base a la hipótesis de homogeneidad delmaterial el último resulta la integral de una constante. Luego

∂

∂x1

∫ h/2

−h/2

σ13 dx3 +∂

∂x2

∫ h/2

−h/2

σ23 dx3 + σ33|h/2−h/2 + hρb3 = 0 (2.41)

∂N13

∂x1+

∂N23

∂x2+ p3 = 0 (2.42)

donde se ha reemplazado la definición de los cortes transversales y se han agrupadolas acciones transversales al plano de la placa (fuerzas másicas y de contacto) enuna variable p3. Nótese que al integrar la ecuación en el espesor desde el punto devista de esta ecuación de equilibrio es indistinto que las cargas estén aplicadas en lacara superior, en la cara inferior o en el interior de la placa.

Además de esta ecuación de equilibrio de fuerzas resulta necesario plantear elequilibrio de momentos respecto al plano medio a donde han sido trasladadas to-das las acciones. Tomando momento entonces de las ecuaciones de equilibrio en lasdirecciones x1 y x2 respecto al plano medio

∫ h/2

−h/2

[∂σ1i∂x1

+∂σ2i∂x2

+∂σ3i∂x3

+ ρbi

]x3 dx3 = 0 i = 1, 2 (2.43)

Nótese primero que bi es uniforme (constante) y por lo tanto la integral asociadase anula. Similarmente a la ecuación de traslación se permuta el orden de integracióny derivación en los dos primeros términos. En cuanto al tercero es posible integrarpor partes de forma que


∫ h/2

−h/2

∂σ3i∂x3

x3 dx3 = σ3i x3|+h/2−h/2 −

∫ +h/2

−h/2

σ3i dx3 (2.44)

El primer término del segundo miembro se anula por las condiciones de contornoen las superficies inferior y superior de la placa donde las tensiones de contacto sonnormales a la placa y no se admiten tensiones rasantes. Se tiene entonces

∂

∂x1

∫ h/2

−h/2

σ1i x3 dx3 +∂

∂x2

∫ h/2

−h/2

σ2i x3 dx3 −∫ +h/2

−h/2

σ3i dx3 = 0 (2.45)

∂M1i

∂x1+

∂M2i

∂x2−Ni3 = 0 i = 1, 2 (2.46)

o

∂Mij

∂xi−Ni3 = 0 i, j = 1, 2 (2.47)

Se han obtenido entonces las tres ecuaciones de equilibrio relevantes para elproblema de flexión de placas, escritas en términos de esfuerzos integrados en elespesor y de la carga total aplicada en la dirección x3 a partir de las ecuaciones deequilibrio en tres dimensiones.

2.5. Separación del problema de placas en mem-branal y flexional

De lo visto en este capítulo, se deduce que las ecuaciones de placas se separan endos grupos que no están acoplados entre ellos. De la observación de las ecuaciones deequilibrio de fuerzas, se desprende que la placa no puede usar esfuerzos membranalespara resistir las cargas p3, ni puede usar esfuerzos flexionales para resistir a p1 yp2. El desacoplamiento de estos efectos hace que la solución sea más sencilla deencontrar, pero es una desventaja desde el punto mecánico, porque un mecanismono puede ayudar al otro cuando sea necesario. El acoplamiento de mecanismos y laredundancia son formas más eficientes de resistir cargas exteriores y están presentesen cáscaras pero no en placas.

Estas ecuaciones resultarían acopladas si el material fuera no homogéneo en ladirección transversal (por ej. placas laminadas) o si las ecuaciones cinemáticas fueranno lineales.

2.5.1. Mecanismo membranal en placas

Las ecuaciones membranales se escriben en términos de las ocho variables asoci-adas a la superficie media N11, N22, N12, ε11, ε22, ε12, u1, u2, con dos componentes


de carga en el dominio: p1 y p2. En el interior de la placa se deben satisfacer lascondiciones cinemáticas (2.27), constitutivas (2.23) y de equilibrio (2.36), sujetas acondiciones de borde de fuerza o de desplazamientos. En lo que sigue no nos ocupare-mos de la solución de este problema, que es idéntico al que se estudia en elasticidadbidimensional como estado plano de tensiones.

2.5.2. Mecanismo flexional en placas

Para el caso de la teoría clásica de placas, las ecuaciones flexionales se escribenen función de nueve variables asociadas a la superficie media M11, M22, M12, N13,N23, χ11, χ22, χ12, u3, con una componente de carga p3. Se deben satisfacer las condi-ciones cinemáticas (2.29), constitutivas (2.34) y de equilibrio (2.37, 2.38), sujetas acondiciones de borde de fuerza o de desplazamientos. En este trabajo nos ocupare-mos de la solución de este problema, que es nuevo en el contexto de la teoría deelasticidad.

2.6. Condiciones de contorno de flexión

Las condiciones de contorno pueden interpretarse como restricciones que se im-ponen a los valores que deben tomar las variables que gobiernan el problema en lafrontera del dominio. Como las variables principales del problema son los desplaza-mientos u3, las condiciones de contorno deberán en definitiva escribirse en términosde esa misma variable.

Desde un punto de vista general en cada punto del contorno existen tres variablesde desplazamiento (el desplazamiento transversal y los dos giros) y tres variables defuerzas generalizadas conjugadas de las anteriores (el corte transversal y dos mo-mentos). En todo punto del contorno es posible y necesario fijar una de cada una delas variables conjugadas y nunca ambas, es decir (en lo que sigue particularizaremoslas condiciones a un borde como el que se muestra en la figura.)

Variable cinemática Variable de fuerzau3 o N13

β1 o M11

β2 o M12

En la teoría de placas clásica los giros no son independientes del desplazamiento,por lo cual si conocemos u3 a lo largo del contorno queda implícitamente prescrito

βs (s) =∂u3 (s)

∂s= β2 (s)

Es decir que sólo se pueden imponer dos condiciones de contorno en cada punto.Esto está de acuerdo con la ecuación diferencial a resolver, que es de cuarto orden y


por lo tanto sólo permite imponer dos condiciones en cada punto del contorno. Ensíntesis, a lo largo del contorno sólo podemos especificar dos condiciones

u3 o N ef13 (2.48)

β1 o M11

donde Nef13 es una combinación de N13 y M12. Esta necesidad de combinar estos

esfuerzos proviene de la imposibilidad de fijar en forma independiente u3 de βs

(hipótesis b.2 de Kirchhoff).

2.6.1. Bordes empotrados

En un borde empotrado, los desplazamientos transversales y los giros normalesal borde están impedidos. En una placa rectangular, como se indica en la Figura2.8, si el borde ubicado en x1 = a está empotrado, se tiene

u3 = 0 β1 = −∂u3∂x1

= 0 en x1 = a (2.49)

Nótese que los momentosM11 M12 y el esfuerzo cortanteN13 sobre ese borde no estándeterminados por la condición de borde y son reacciones a ser calculadas luego desolucionada la ecuación diferencial.

Figura 2.8: Placa rectangular.

2.6.2. Bordes simplemente apoyados

En este caso la placa puede girar libremente, pero no se puede desplazar ensentido transversal. Además, el momento flector normal al borde es nulo. Si el bordeubicado en x1 = a de la Figura 2.9 está simplemente apoyado, se tiene

u3 = 0 M11 = 0 en x1 = a (2.50)

Nótese que el giro β1, el momento torsor M12 y el esfuerzo cortante N13 no seconocen inicialmente sobre ese borde. El giro resultará de la solución de la ecuación


diferencial de desplazamientos, mientras que el esfuerzo cortante y el momento torsorson reacciones de apoyo.

La condición de momento no está escrita de manera conveniente en términosde desplazamientos, por lo que se la debe modificar usando el mismo método dedesplazamientos. Usando las ecuaciones constitutivas y cinemáticas se llega a

M11 = −D

(∂2u3∂x21

+ ν∂2u3∂x22

)= 0 (2.51)

o sea

∂2u3∂x21

+ ν∂2u3∂x22

= 0 (2.52)

Esta condición depende de una propiedad del material (el módulo de Poisson ν).Sin embargo, en todo el borde x1 = a los desplazamientos son cero, de manera quesu derivada en la dirección del mismo borde también es cero

∂2u3∂x22

= 0 (2.53)

Substituyendo en la condición de momento nulo, se llega a

∂2u3∂x21

= 0 (2.54)

que es la condición de curvatura nula (χ11 = 0).De modo que un borde simplemente apoyado se puede caracterizar en función

de desplazamientos como

u3 = 0∂2u3∂x21

= 0 en x1 = a (2.55)

2.6.3. Borde libre

Si un borde en x1 = a no tiene restricciones de desplazamiento, u3 y β1 sedeterminan usando la ecuación diferencial del problema. Sobre el borde se tiene quelas fuerzas son cero o un valor que se conozca, de manera que resulta

M11 = 0 M12 = 0 N13 = 0 en x1 = a (2.56)

Estas tres condiciones de contorno no pueden tomarse como condiciones indepen-dientes entre sí, porque se vio que sólo pueden administrarse dos condiciones en cadapunto del borde. Esto generó un conflicto y muchas discusiones durante el desarrollode la teoría de placas. Esta dificultad de tener tres variables y dos condiciones parafijarlas es otra contradicción de la teoría de Kirchhoff. Para solucionar este proble-ma se define una variable de corte transversal efectivo N ef

13 llamada “corte efectivo”


o “corte de Kirchhoff”, que se supone que es equivalente al efecto combinado demomentos torsores y esfuerzos cortantes.

N ef13 = N13 +

∂M12

∂x2en x1 = a (2.57)

Nótese que esta definición del corte de Kirchhoff es la que aparece multiplicando ala variación del desplazamiento transversal δu3 en la integral sobre el contorno dela expresión de trabajos virtuales (ec. 2.90).

Sobre un borde libre debe entonces prescribirse el momento flector y el corteefectivo

M11 = 0 N ef13 = 0 en x1 = a (2.58)

Nuevamente nos encontramos con la situación que las condiciones de contorno estándefinidas en términos de fuerzas y hay que sustituirlas por desplazamientos. ParaM11 ya se encontró su equivalencia al estudiar borde simplemente apoyado, y puedeescribirse como:

∂2u3∂x21

+ ν∂2u3∂x22

= 0

Ahora hay que transformar N ef13

N ef13 = N13 +

∂M12

∂x2=

(∂M11

∂x1+

∂M12

∂x2

)+

∂M12

∂x2

=∂M11

∂x1+ 2

∂M12

∂x2

Reemplazando los momentos por derivadas de desplazamientos se llega a

N ef13 = −D

[∂

∂x1

(∂2u3∂x21

+ ν∂2u3∂x22

)+ 2

∂

∂x2

(∂2u3

∂x1∂x2

)]= 0 (2.59)

o bien

∂3u3∂x31

+ (2 + ν)∂3u3

∂x1∂x22= 0 en x1 = a (2.60)

Esta condición involucra derivadas terceras de desplazamiento y depende del mate-rial, por la presencia del módulo de Poisson ν.

2.6.4. Interpretación física del Corte de Kirchhoff

Para comprender como M12 puede ser parte del cortante, se puede recurrir a lasecuaciones de equilibrio (2.63) y ver que ambas entran en la misma ecuación.

Para interpretarlo físicamente, consideremos la Figura 2.9.


Figura 2.9: Definición de esfuerzo de Kirchhoff sobre un borde.

El campo de tensiones originales de la placa no cambia si las tensiones tangen-ciales que dan origen a los momentos torsores (M12 dx2) que actúan en un elementode borde de longitud dx2 en sentido x1 = a, son reemplazados por un par de fuerzasverticales cuya magnitud es M12, actuando con un brazo de palanca dx2. Se puedeargumentar que, de acuerdo al principio de St. Venant, los efectos de esta substitu-ción estarán limitados a una zona próxima al borde de ancho igual al espesor h dela placa. Sin embargo, hay un efecto global que queda sin balancear al extremo delborde, como se verá en la sección siguiente.

Si se considera el borde x1 = a, sobre cada lado de elemento dx2 se tendrán

dos fuerzas: una de valor (M12) y la otra de valor(M12 +

∂M12

∂x2dx2

). Por eso surge

una fuerza desbalanceada positiva (hacia el sentido positivo de x3 en este caso) deintensidad

N ′13 =

∂M12

∂x2(2.61)

Esta contribución se agrega al corte para formar el corte efectivo o de Kirchhoff.

2.6.5. Condiciones de fuerzas en las esquinas

Sobre el contorno de una placa rectangular se desarrollan esfuerzos cortantes deKirchhoff, según se vio antes. Pero si se integran esas reacciones verticales sobre loslados de la placa, se observará que el valor de las reacciones es mayor que el valor dela carga total aplicada. De modo que las reacciones a lo largo de los lados tenderíana subir la placa en algún lugar.

Para comprender dónde está la diferencia entre acciones y reacciones es necesarioconsiderar qué acciones no han sido balanceadas por las ecuaciones de equilibriosobre el contorno.

La mayor parte de los esfuerzos cortantes M12 introducidos se cancelan porfuerzas opuestas en cada línea divisoria interior del borde de la placa, pero no haynada que las equilibre al extremo del borde. Por lo tanto, el artificio de Kirchhoff


también genera una fuerza en el extremo de valor igual al momento M12 en esepunto.

La Figura 2.10.a muestra la acción de los momentos torsores sobre los lados dela placa. Existe un desbalance a lo largo de cada lado, que se visualiza cuando sesubstituyen los momentos torsores por fuerzas estáticamente equivalentes M12dx2.En cada esquina de una placa se desarrolla una fuerza perpendicular a la placa,producto de la acción acumulada de los momentos torsores.

R1 =

∫ (∂M12

∂x2

)dx2 =

∫dM12 sobre los lados paralelos a x2

R2 =

∫ (∂M21

∂x1

)dx1 =

∫dM21 sobre los lados paralelos a x1

Para una lámina rectangular, esa fuerza en la esquina es necesaria para manten-er el borde sin levantarse. Si a una placa se le permite girar transversalmente, porejemplo mediante apoyos que impidan desplazamientos positivos pero no restrinjandesplazamientos negativos, entonces la placa se levantará en sus esquinas. Pero si elborde puede proveer reacciones en dos sentidos, tanto en sentido positivo como neg-ativo, entonces aparecen fuerzas verticales en cada quiebre que presente el contorno.Esas fuerzas van en sentido contrario al de las reacciones distribuidas suministradaspor el corte de Kirchhoff. Este aspecto del problema asociado a bordes no-suavesaparece naturalmente en la formulación de trabajos virtuales, y corresponde al úl-timo término de la expresión 2.90, que se anula si el borde es suave, pero que sipresenta ángulos no.

Figura 2.10: Momentos torsores a lo largo del contorno.


2.6.6. Condiciones generales de contorno en un borde curvo

Las anteriores expresiones en términos de los desplazamientos son válidas parabordes rectos, es decir donde no hay un cambio continuo de la dirección normal alcontorno. En casos de bordes curvos generales es necesario reconocer la naturalezatensorial de las χij y tratarlas como tal. Para ello hay básicamente dos posibilidades

Figura 2.11: Borde curvo.

1. Expresar el tensor de curvaturas en el borde en función de sus componentescartesianas

χ =

[χ11 χ12χ21 χ22

](2.62)

y transformarlo a la terna local (ν, t, x3) mediante un cambio de base

χ =

[χνν χνt

χtν χtt

]=

[νt

] [χ11 χ12χ21 χ22

] [ν t

]

χ =

[cosα sinα− sinα cosα

] [χ11 χ12χ21 χ22

] [cosα − sinαsinα cosα

]

2. Expresar directamente el tensor de curvaturas χ en función de derivadas res-pecto a un sistema de coordenadas curvlíineas ortogonales, una de las cualescoincida con el contorno (t a lo largo de Γ) y la otra con la normal. Para elloes necesario usar las herramientas matemáticas apropiadas de forma que laderivada de un tensor de primer orden (∇u3 en este caso) sea un tensor desegundo orden (χ en este caso). Estas herramientas están fuera del alcance deestas notas y no daremos más detalles.


2.7. Formulación diferencial

Del planteo de las ecuaciones de equilibrio, tanto para el estado membranal comopara el flexional, surge que el número de ecuaciones de equilibrio que se disponees menor que el numero de incógnitas de esfuerzos. Así, en el estado membranal setienen dos ecuaciones con tres incógnitas, mientras que en el estado flexional se llegaa tres ecuaciones con cinco incógnitas. En ambos casos el problema es estáticamenteindeterminado y por ello es necesario incluir las deformaciones y constitutivas comoparte de la solución.

Básicamente se puede emplear una formulación diferencial, en la que se agrupanlas ecuaciones diferenciales del problema de una manera conveniente, o mediante unaformulación integral, en la que se escribe la energía potencial total del problema. Asu vez, en cada caso se puede emplear el método de los desplazamientos (rigidez)o el método de las fuerzas (compatibilidad). En este trabajo sólo veremos planteossiguiendo el método de desplazamientos y derivaremos las formulaciones diferencialesy energéticas.

La formulación diferencial se plantea en forma prácticamente idéntica al caso deteoría clásica de vigas y se reduce a una única ecuación diferencial de cuarto orden.

2.7.1. Ecuación diferencial en el dominio

Siguiendo el método de los desplazamientos, se parte de las ecuaciones de equi-librio del problema. En este caso conviene reducir el número de ecuaciones de equi-librio. Partiendo de las condiciones (2.38) se despejan los esfuerzos cortantes

N13 =∂M11

∂x1+

∂M12

∂x2(2.63)

N23 =∂M21

∂x1+

∂M22

∂x2

Substituyendo las (2.63) en la ecuación (2.37), se obtiene una condición en fun-ción de derivadas segundas de momentos y de la fuerza resultante externa

∂2M11

∂x21+ 2

∂2M12

∂x1∂x2+

∂2M22

∂x22+ p3 = 0 (2.64)

Nótese que en esta teoría los esfuerzos cortantes N13, N23, se obtienen de las condi-ciones de equilibrio de momentos (2.63), ya que las deformaciones ε13, ε23, asociadasa dichos esfuerzos, son nulas bajo las hipótesis de Kirchhoff.

A continuación se reemplazan los momentos por las curvaturas usando las ecua-ciones constitutivas (2.34). Finalmente se reemplazan las curvaturas por los despla-zamientos transversales usando las cinemáticas (2.29). Se obtiene así una ecuacióndiferencial de cuarto orden en función de los desplazamientos u3


∂4u3∂x41

+ 2∂4u3

∂x21∂x22

+∂4u3∂x42

− p3D= 0 (2.65)

Para escribir la ecuación anterior de manera compacta se puede hacer uso del oper-ador de Laplace

∆( ) =∂2 ( )

∂x21+

∂2 ( )

∂x22(2.66)

El operador que afecta a u3 se denomina operador bilaplaciano y puede escribirsecomo

∆∆(u3) =∂4u3∂x41

+ 2∂4u3

∂x21∂x22

+∂4u3∂x42

(2.67)

De manera que la ecuación diferencial de la placa se resume en una condiciónescalar

∆∆(u3)−p3D= 0 (2.68)

que incluye derivadas de cuarto orden en los desplazamientos transversales. Esta esla ecuación de cuarto orden de Germaine-Lagrange.

2.7.2. Formulación mixta del problema diferencial

Una manera alternativa de plantear el problema de placas por la vía diferencialconsiste en usar la función de momento M , definida como

M =1

1 + ν(M11 +M22) (2.69)

Para ∂2M12

∂x1∂x2= 0, la ecuación de equilibrio (2.64) puede ahora escribirse en función

de M

∆(M) = p3 (2.70)

Esta ecuación debe resolverse acoplada con la ecuación constitutiva. Si sumamos

M11 +M22 = D(1 + ν) (χ11 + χ22)

= D(1 + ν)

(−∂2u3

∂x21− ∂2u3

∂x22

)(2.71)

o bien, dividiendo por (1 + ν), se obtiene:

M = −D ∆(u3) (2.72)


La forma mixta de este problema consiste en resolver dos ecuaciones diferencialesde segundo orden en dos variables, M y u3. El esfuerzo cortante se evalúa a partirde los momentos como

Ni3 =∂M

∂xi(2.73)

Debido a la restricción planteada sobre M12 en este método, en lo que sigue nolo utilizaremos.

2.8. Formulación de energía potencial total

La ecuación de densidad de energía interna de deformación para un sólido elásticopuede escribirse como

U =1

2σijεij (2.74)

Si se integra esta densidad en el espesor, y se emplean las variables definidas sobrela superficie media, se llega a la expresión de la densidad de energía interna de unaplaca

U =1

2Mijχij +

1

2Nijεij (2.75)

En lo que sigue, consideraremos solamente la parte flexional. Substituyendo Mij

mediante ecuaciones constitutivas se llega a

U =1

2D[χ211 + χ222 + 2νχ11χ22 + 2(1− ν)χ212] (2.76)

Esta expresión corresponde a una unidad de superficie sobre la superficie media.La energía interna total se calcula integrando la expresión anterior en la superficiemedia de la placa. Substituyendo en términos de los giros se obtiene

U =1

2D

{(∂β1∂x1

+∂β2∂x2

)2

− 2(1− ν)

[∂β1∂x1

∂β2∂x2

− 14

(∂β1∂x2

+∂β2∂x1

)2]}

El potencial de las cargas exteriores se escribe integrando

dV = −∫

A

p3u3dA (2.77)

La energía potencial total π(u3, p3) es la suma de ambas

π(u3, p3) =

∫

A

U(u3) dA+ V


Si se reemplazan las ecuaciones cinemáticas 2.11, siguiendo la teoría clásica deplacas de Kirchhoff, queda:

π(u3, p3) =1

2

∫ ∫D

{(∂2u3∂x21

+∂2u3∂x22

)2

−2(1− ν)

[∂2u3∂x21

∂2u3∂x22

−(

∂2u3∂x1x2

)2]}

dx1dx2 (2.78)

−∫ ∫

p3u3dx1dx2

En esta formulación, la condición de equilibrio de la placa está dada por la primeravariación de la energía con respecto a los desplazamientos,

δπ =∂π

∂u3δu3 = 0 (2.79)

Nótese que al igual que en la formulación diferencial las condiciones de equilibriode la teoría clásica de placas se pueden expresar exclusivamente en función de u3.Esto a su vez se hace al costo de que energía interna de deformación U resulte entérminos de derivadas segundas de la variable incógnita.

En este trabajo no se va a realizar la variación de la energía sobre el continuo,sino que se utilizarán métodos numéricos para discretizar la estructura de la placa yse realizará la variación de π con respecto a un número finito de grados de libertad.Tal enfoque se lleva a cabo en el Capítulo 4.

2.9. Expresión de trabajos virtuales

Las técnicas numéricas más eficaces para análisis de estructuras están basadasen “formulaciones débiles”, que conducen a la expresión de trabajos virtuales dondequedan explícitas además en forma natural las condiciones de contorno que puedenconsiderarse.

Una forma estándar de generar la formulación débil es tomar las ecuaciones deequilibrio que gobiernan el problema, multiplicar cada una de ellas por el despla-zamiento (generalizado) virtual asociado (desplazamientos para las ecuaciones deequilibrio de traslación y giros para las ecuaciones de equilibrio de rotación), sumarlas expresiones e integrar en el dominio del problema. En este caso la expresión dela formulación débil toma la forma

∫

A

[(∇ ·Q+ p3) δu3 + (∇ ·M−Q) · δβ] dA = 0 (2.80)

donde A es el área de la placa. Los desplazamientos (generalizados) virtuales son eneste caso δu3 y δβ. Recuérdese que por ser los desplazamientos virtuales arbitrarios


e independientes entre sí la integral igualada a cero conduce a la necesidad de queindependientemente se satisfagan las ecuaciones de equilibrio en todo el dominio.

A continuación aplicando el teorema de la divergencia (equivalente a la inte-gración por partes en dominios bidimensionales) a los términos donde aparece enforma explícita la divergencia (∇ · (.)) de los tensores M y Q se tiene:

∫

A

(∇ ·Q) δu3 dA =∫

Γ

(Q · ν) δu3 dΓ−∫

A

Q · ∇δu3 dA∫

A

(∇ ·M) · δβ dA =

∫

Γ

(M · ν) · δβ dΓ−∫

A

M : ∇δβ dA

donde ν es la normal al contorno Γ de la placa yM : ∇δβ es el producto interno dedos tensores de segundo orden (Mij (∇δβ)ij Por ser M un tensor simétrico, puededemostrarse fácilmente que sólo la parte simétrica de ∇δβ tiene influencia

M : ∇δβ =M : ∇sδβ =M : δχ (2.81)

Reemplazando estas expresiones en la formulación débil resulta

∫

A

[(∇ ·Q+ q) δu3 + (∇ ·M−Q) · δβ] dA =

−∫

A

[Q· (∇δu3 + δβ) +M : δχ− q δu3] dA+

∫

Γ

[(Q · ν) δu3 + (M · ν) · δβ ] = 0

reconociendo que

(∇δu3 + δβ) = 2δ

[ε13ε23

]= δ

[γ1γ2

]= δγ (2.82)

es la variación de las deformaciones transversales de corte (que son nulas para lateoría clásica de placas, pero que de momento se mantendrán por razones de gener-alidad) y escribiendo

Q · ν = Qv (2.83)

(corte transversal en la dirección normal al contorno), resolviendo el término demomentos en las direcciones normal ν y tangente t al contorno

(M · ν) · δβ =Mννδβν +Mνtδβt (2.84)

resulta

∫

A

[Q·δγ +M : δχ] dA =

∫

A

q δu3 dA+

∫

Γ

[Qνδu3 +Mννδβν +Mνtδβt] dΓ (2.85)


El primer miembro es el trabajo virtual interno donde se puede reconocer el trabajovirtual de los momentos y del esfuerzo de corte transversal. El segundo miembro co-rresponde al trabajo virtual externo como la suma del debido a las fuerzas normalesal plano medio y el debido a los esfuerzos en el contorno.

A la misma expresión de trabajos virtuales se puede llegar usando las expresionesgenerales en tres dimensiones:

∇ · σ + ρ (b− a) = 0 (2.86)

restringiendo los desplazamientos virtuales a

δu1 = δβ1 x3

δu2 = δβ2 x3

δu3 = δu3

haciendo

∫

v

δu· [∇ · σ + ρ (b− a)] dV = 0 (2.87)

integrando en el espesor y aplicando integración por partes al término de la diver-gencia de las tensiones.

Si ahora se adopta la teoría clásica de placas δβ no es independiente de δu3, yse tiene por un lado

δγ = 0 (2.88)

y por otro que δβt = −δu3′t no es independiente de δu3 en el contorno. Integrandopor partes el término

∫

Γ

Mνtδβt dΓ = −∫

Γ

Mνtδu3′t dΓ = −Mνtδu3|L0 +∫

Γ

∂Mνt

∂tδu3 dΓ (2.89)

la expresión de trabajos virtuales para la teoría sin deformación de corte transversalresulta∫

A

M : δχ dA =

∫

A

q δu3 dA+

∫

Γ

[(Qν +

∂Mνt

∂t

)δu3 −Mννδu3′ν

]dΓ− Mνtδu3|L0

(2.90)El último término se anula en el caso de que el contorno sea suave, de otra forma esnecesario subdividir el contorno en partes suaves lo que da lugar a fuerzas concen-tradas (notar que Mνt tiene dimensiones de una fuerza) en la unión de los distintaspartes como se ve en la próxima sección.


2.10. Teoría de placas incluyendo deformacionestransversales de corte

Una teoría que incluya deformaciones transversales de corte se obtiene si en elmismo contexto de las hipótesis indicadas en la Sección 2 no se realiza la segundaparte de la hipótesis “b”. El comportamiento de la lámina se encuadra dentro de loque se conoce como teoría de Reissner-Mindlin, análoga a lo que significa la teoría devigas de Timoshenko a la teoría clásica de vigas de Bernoulli-Navier. Nótese que eneste caso las fibras que originalmente eran normales al plano de la placa se mantienenrectas (hipótesis b.1), pero no necesariamente normales a la placa deformada

Las deformaciones de corte transversal resultan

ε∗i3 =1

2

(βi +

∂u3∂xi

)i = 1, 2

constantes en el espesor de la lámina. Luego las tensiones asociadas

σ∗i3 =E

1 + νε∗i3 = cte (2.91)

Lo cual también genera una contradicción porque las tensiones de corte transver-sales deberían tener variación parabólica en el espesor (similar al corte de Jouraskyen vigas), siendo nulas en las superficies externas de la placa y máximas sobre lasuperficie media. El tensor de deformaciones tiene ahora 5 componentes distintasno-nulas puesto que ε13 y ε23 no son nulos sino constantes en el espesor. Es habitualdefinir estas deformaciones como

γ1 = 2ε13 =

(β1 +

∂u3∂x1

)(2.92)

γ2 = 2ε23 =

(β2 +

∂u3∂x2

)

Para el caso de considerar tales deformaciones, las correspondientes ecuacionesconstitutivas son

N13 = Ghκ γ1 N23 = Ghκ γ2 (2.93)

donde G es el módulo de corte. El coeficiente κ habitualmente se toma con valor 5/6y resulta de igualar la energía que resulta de utilizar una tensión cortante constanteen el espesor con la que resulta de utilizar una variación parabólica de la tensión.

Las expresiones 2.92 complementan las ecuaciones cinemáticas 2.28 que expresanlas curvaturas en función de derivadas de los giros, en tanto que las ecuacionesconstitutivas 2.93 complementan las ecuaciones constitutivas 2.34. Las ecuacionesde equilibrio no difieren de las teorías de placas clásicas (2.37, 2.38).

Las ecuaciones flexionales se escriben en función de trece valores M11, M22, M12,N13, N23, χ11, χ22, χ12, γ1, γ2, u3, β1 y β2 con una componente de carga p3. Notarahora que no solo γ1 y γ2 son distintas de cero sino que además los giros β1 y β2 son


independientes de u3. Se tienen entonces 3 ecuaciones de equilibrio (2.37, 2.38), 5ecuaciones cinemáticas ( 2.28 y 2.92) y 5 ecuaciones constitutivas (2.34 y 2.93), loque representa un total de 13 ecuaciones con 13 incógnitas por lo cual el problemaestá correctamente definido.

Las tres ecuaciones de equilibrio pueden escribirse en términos del desplazamientotransversal y los giros, pero no pueden como en el caso de la teoría clásica reducirse auna única ecuación diferencial. En este caso se mantienen 3 ecuaciones de equilibrioen función de 3 incógnitas de desplazamiento (generalizado)

∇ ·Q+ p3 = 0 ∇ ·M−Q = 0GHκ ∇ · γ + p3 = 0 ∇ · (D : χ)−GHκ γ = 0

GHκ ∇ · (β +∇u3) + p3 = 0 ∇ · (D : ∇sβ)−GHκ (β +∇u3)= 0

donde ∇sβ es la parte simétrica del gradiente de los giros y D es un tensor consti-tutivo de cuarto orden que relaciona el tensor (de 2do orden) de momentos flectorescon el tensor (de 2do orden) de curvaturas, cuyas componentes no nulas son las queaparecen en la relación 2.34. Notar que las ecuaciones diferenciales resultan de 2do.orden.

La energía interna de deformación debe ahora incluir los términos asociados alcorte

U =1

2

{D[χ211 + χ222 + 2νχ11χ22 + 2(1− ν)χ212] +Ghκ

[γ21 + γ22

]}(2.94)

Reemplazando las relaciones cinemáticas, se tiene

U =1

2D

{(∂β1∂x1

+∂β2∂x2

)2

− 2(1− ν)

[∂β1∂x1

∂β2∂x2

− 14

(∂β1∂x2

+∂β2∂x1

)2]

(2.95)

+ Ghκ

[(β1 +

∂u3∂x1

)2+

(β2 +

∂u3∂x2

)2]}

La energía potencial total π(u3, β1, β2, p3) es la suma de ambas

π(u3, β1, β2, p3) =

∫

A

U(u3, β1, β2) dA+ V (2.96)

donde V no ha cambiado con respecto al caso de la teoría de placas clásica.La correspondiente ecuación de trabajos virtuales es la 2.85. De esta última

pueden obtenerse las posibles condiciones de contorno que pueden imponerse:


Variable cinemática Variable de fuerzau3 o N13

β1 o M11

β2 o M12

donde ya no existe la relación entre u3 y βs, con lo cual no es necesario introducirel corte de Kirchhoff.

En la gran mayoría de los casos prácticos, las deformaciones de corte transversalson muy bajas, exceptuando casos de placas no homogéneas en el espesor, como lasrealizadas con materiales compuestos, donde las superficies externas son muy rígidascomparadas con el centro del espesor de la placa. Sin embargo estas teorías se hanutilizado mucho debido a que las ecuaciones resultantes son más sencillas de resolvernuméricamente debido a que el orden de derivación es más bajo.

2.11. Problemas

Problema 2.1. Demuestre que los esfuerzos cortantes se transforman como unvector.Solución: El corte transversal Ni3 se transforma según la ecuación de equilibrio

(ver Figura 2.12.a)

Figura 2.12: (a) Transformación de esfuerzos cortantes. (b) Transformación de mo-mentos.

Nn3 −N13 cos(n, x1)−N23 cos(n, x2) = 0 (2.97)

de donde


Nn3 = N13λ1n −N23λ2n = Ni3λin

Ns3 = Ni3λis

De manera que las dos componentes cartesianas del corte transversal se transformancomo un vector.Problema 2.2. Demuestre que los momentos flectores en una placa se transfor-

man como un tensor de segundo orden.Solución: Los momentos Mij se transforman de un sistema coordenado carte-

siano a otro siguiendo la definición de momento (2.23). La transformación de ten-siones σij se hace como un tensor de segundo orden [13]

σ′ij = λli λmj σlm (2.98)

donde σ′ij se refiere a un sistema y1, y2; y σlm se refiere a un sistema x1, x2. Luego

M ′ij = λli λmj Mlm (2.99)

Esto quiere decir que los momentos también constituyen un tensor de segundo orden.Problema 2.3. Demuestre que las curvaturas en una placa se transforman como

un tensor de segundo orden.Solución: Interesa averiguar cómo se transforman las curvaturas cuando se rotan

los ejes coordenados con respecto a los cuales se la define. En un sistema y1, y2 seescribe

χ′ij =1

2

(∂β

′

i

∂yj+

∂β′

j

∂yi

)

=1

2

(∂ (λliβl)

∂yj+

∂ (λmjβm)

∂yi

)

Donde se han reemplazado las componentes del vector rotación de acuerdo a la ley detransformación de vectores. Además notando la definición de los cosenos directores

∂xl

∂yi= λli

∂xm

∂yj= λmj (2.100)

se tiene

χ′ij =1

2

(∂ (λliβl)

∂xmλmj +

∂ (λmjβm)

∂xlλli

)

=1

2

(∂βl

∂xm+

∂βm

∂xl

)λmjλli

de donde

χ′ij = λli λmj χlm (2.101)


Las curvaturas se transforman como un tensor de segundo orden.Problema 2.4. Demuestre que la ecuación (4.1) de energía potencial de una

placa se puede obtener a partir de la ecuación tridimensional (2.74) e integrando enel espesor.Problema 2.5. Demuestre que se pueden encontrar las ecuaciones constitutivas

a partir de la integración de las ecuaciones constitutivas generales.Problema 2.6. Demuestre que se pueden encontrar las ecuaciones de equilibrio

de una placa a partir de las ecuaciones de equilibrio de elasticidad tridimensional.Problema 2.7. Escriba las ecuaciones de equilibrio de flexión usando notación

tensorial.Solución: Recordando la definición del operador Nabla en dos dimensiones

∇ =

∂

∂x1∂

∂x2

(2.102)

y escribiendo un vector del corte Q en la forma

Q =

[N13

N23

](2.103)

la ecuación de equilibrio en la dirección transversal a la placa puede escribirse como

∇ ·Q+ p3 = 0 (2.104)

Introduciendo el operador Nabla, la ecuación de momentos resulta:

∇ ·M−Q = 0 (2.105)

Capítulo 3

SOLUCIONES DE PLACASUTILIZANDO LAFORMULACIÓN DIFERENCIAL

3.1. Introducción

En el capítulo anterior se estudió la formulación diferencial de placas planas, y sellegó a un sistema desacoplado de flexión y de efectos membranales. La solución dela ecuación diferencial de flexión sujeta a condiciones de contorno se puede realizaren forma analítica o en forma numérica. En este capítulo se exploran solamente dosposibilidades: la solución analítica mediante series de Fourier y la solución numéricamediante diferencias finitas. Una versión clásica de la solución de ecuaciones difer-enciales mediante métodos numéricos se encuentra en el libro de Collatz [14].

3.2. Solución mediante series de Fourier

En el capítulo anterior se vio que la ecuación diferencial de una placa, bajo lashipótesis de Kirchhoff, es

∂4u

∂x41+ 2

∂4u

∂x21∂x22

+∂4u

∂x42− p

D= 0

donde u = u3 es el desplazamiento transversal de la placa, y p = p3 es la cargadistribuida por unidad de superficie que actúa perpendicular a la placa. En estasección nos limitaremos a placas de geometría rectangular bajo condiciones de con-torno simplemente apoyadas, y estudiaremos la solución desarrollada originalmentepor Navier en 1820. Otras soluciones para diferentes condiciones de borde puedenencontrarse en las Referencias [11, 12].

44

Soluciones de placas utilizando la formulación diferencial 45

3.2.1. Descomposición de la carga en series de Fourier

A los efectos de solucionar el problema mediante series de Fourier, se consideraque la carga puede descomponerse mediante la aproximación siguiente:

p =N∑

m=1

N∑

n=1

pmn sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)(3.1)

donde a y b son las dimensiones de los lados de la placa en direcciones x1 y x2respectivamente. La ecuación anterior es una doble sumatoria que se extiende avalores de m, n entre 1 y el número de términos M , N que se desea incluir en elanálisis. Este tipo de representación se utiliza también en las formulaciones integralesde placas, y en otros problemas de láminas curvas, por lo que los resultados de estasección serán de interés en otras partes de este trabajo.

En la descomposición de la carga es necesario calcular cuanto valen los coefi-cientes de participación pmn. Para ello se multiplica cada término de la ecuación(3.1) por sin

(sπx1a

)sin(tπx2b

), donde s y t son valores fijos enteros. Resulta

p sin(sπx1

a

)sin

(tπx2b

)

=

N∑

m=1

N∑

n=1

pmn sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)sin(sπx1

a

)sin

(tπx2b

)(3.2)

A continuación se integra la ecuación anterior en la superficie de la placa, o sea x1entre 0 y a, y x2 entre 0 y b.

∫ a

x1=0

∫ b

x2=0

p sin(sπx1

a

)sin

(tπx2b

)dx1dx2

=

∫ a

x1=0

∫ b

x2=0

N∑

m=1

N∑

n=1

pmn sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)

sin(sπx1

a

)sin

(tπx2b

)dx1dx2

=N∑

m=1

N∑

n=1

pmn

∫ a

x1=0

sin(mπx1

a

)sin(sπx1

a

)dx1

∫ b

x2=0

sin(nπx2

b

)sin

(tπx2b

)dx2 (3.3)

Para la integración de la ecuación es necesario utilizar los siguientes resultados


∫ a

x1=0

sin(mπx1

a

)sin(sπx1

a

)dx1 = 0 si m = s

=a

2si m = s

similarmente

∫ a

x2=0

sin(nπx2

b

)sin

(tπx2b

)dx2 = 0 si n = t

=b

2si n = t

Esto hace que los términos en los cuales los índices son diferentes se cancelen, y sólosubsisten aquellos términos que tienen los mismos subíndices m = s y n = t. En laecuación (3.3) desaparecen las sumatorias y se reduce a

∫ a

x1=0

∫ b

x2=0

p sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)dx1dx2 =

a

2

b

2pmn

de donde

pmn =4

ab

∫ a

x1=0

∫ b

x2=0

p sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)dx1dx2 (3.4)

De manera que para calcular cada coeficiente de participación en la serie deFourier que representa la carga es necesario integrar la función de carga multipli-cada por la función correspondiente al término de Fourier asociado. En lo sucesivosupondremos que ya se ha calculado la ecuación (3.4) para cada término de Fourierque se vaya a considerar, de manera que la carga puede expresarse como dice laecuación (3.1).

3.2.2. Descomposición de la solución en series de Fourier

A continuación se realiza una descomposición de la solución similar a la que serealizó para la carga, o sea

u =N∑

m=1

N∑

n=1

amn sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)(3.5)

pero ahora los coeficientes amn no pueden calcularse como los de la carga, sinoque deben satisfacer la ecuación diferencial de la placa. Se puede verificar que larepresentación de desplazamientos de la forma (3.5) satisface condiciones de bordesimplemente apoyadas, de manera que la solución presente está limitada a ese tipode contorno.


3.2.3. Ecuación diferencial en términos de componentes deFourier

Substituyendo la carga y los desplazamientos en la ecuación diferencial de laplaca se llega a

N∑

m=1

N∑

n=1

Amn sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)= 0 (3.6)

donde

Amn = amn

[(mπ

a

)4+ 2

(mπ

a

)2 (nπb

)2+(nπ

b

)4]− pmn

D(3.7)

La ecuación (3.6) debe satisfacerse en todos los puntos de la placa, de maneraque para que se verifique para cualquier punto de coordenadas x1, x2 debe cumplirseque los coeficientes Amn se anulen independientemente:

Amn = 0

o bien

amn

[(mπ

a

)2+(nπ

b

)2]2− pmn

D= 0 (3.8)

Cada valor de amn depende sólo del coeficiente correspondiente de participación dela carga pmn. Despejando amn se obtiene

amn =

[(mπ

a

)2+(nπ

b

)2]−2 pmn

D(3.9)

Una vez calculados los valores de amn se puede obtener el campo de desplaza-mientos mediante la ecuación (3.5). Nótese que la (3.5) es una función de x1, x2 yproporciona los desplazamientos en todos los puntos de la placa, incluyendo en elcontorno.

3.2.4. Cálculo de momentos

Las funciones de momentos se calculan derivando los desplazamientos

M11 = −D

(∂2u

∂x21+ ν

∂2u

∂x22

)

=

[Dπ2amn

(m2

a2+ ν

n2

b2

)]sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)


M22 = −D

(∂2u

∂x22+ ν

∂2u

∂x21

)

=

[Dπ2amn

(n2

b2+ ν

m2

a2

)]sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)

M12 = −D (1− ν)

(∂2u

∂x1∂x2

)

=[−Dπ2

mn

abamn

]cos(mπx1

a

)cos(nπx2

b

)(3.10)

Los momentos flectores M11 y M22 varían con funciones seno, mientras que lavariación del momento torsor M12 sigue funciones coseno.

3.2.5. Cálculo de esfuerzos cortantes

Los esfuerzos N13 y N23 se calculan mediante las ecuaciones de equilibrio

N13 =∂M11

∂x1+

∂M21

∂x2

= D amnπ3

b2a3m (m2b2 + n2a2) cos

(mπx1a

)sin(nπx2

b

)

N23 =∂M22

∂x2+

∂M12

∂x1

= D amnπ3

b3a2n (m2b2 + n2a2) sin

(mπx1a

)cos(nπx2

b

)

3.3. Ejemplo de solución de una placa medianteseries de Fourier

Consideremos una placa rectangular simplemente apoyada, de lados a y b, bajocarga distribuida de valor uniforme pero restringida a una zona de la placa definidapor

p3 = q para a1 ≤ x1 ≤ a2 b1 ≤ x2 ≤ b2 (3.11)

Las componentes de Fourier de la carga son

pmn =4

ab

∫ a2

x1=a1

∫ b2

x2=b1

q sin(mπx1

a

)sin(nπx2

b

)dx1dx2


Figura 3.1: (a) Componentes de Fourier de la carga parcial. (b) Carga parcial talcomo se la representa con 23 modos

y se representan en la Figura 3.1.a para n = 1 y diferentes valores de m. Los factoresde participación de la carga en este caso cambian de signo, y el máximo valor ocurrepara m = 1. Los modos con valores altos de m dejan de contribuir de manerasignificativa. Cuando se reconstruye la carga p se tiene el gráfico de la Figura 3.1.b,que trata de representar la carga del problema de manera aproximada.

Figura 3.2: Desplazamientos para carga parcial.

Como ejemplo se ha tomado una placa de acero con a = 1,5m, b = 2,5m,h = 0,01m, a1 = a/4, a2 = 3a/4, b1 = b/4, b2 = 3b/4, q = 1. El campo dedesplazamientos con 23 términos tanto para momentos como para esfuerzos cortantes( Nmax =Mmax = 23) está en la Figura 3.2, y es una superficie suave. Los momentosM11 están en la Figura 3.3.a y el momento torsorM12 en la Figura 3.3.b. Los esfuerzos


cortantes N13 se han representado en la Figura 3.4.a, y en la Figura 3.4.b se ve elcorte N13 al centro de la placa.

Figura 3.3: (a) Momentos flectores M11. (b) Momentos torsores M12.

Figura 3.4: Esfuerzos cortantes N13 (a) en toda la placa. (b) En la sección central.

La integración de la carga total de la Figura 3.1.b en este caso es 0,906, mientrasque la reacción debida al cortante es de 0,92. La diferencia se debe a las fuerzas enlas esquinas.

3.4. Solución mediante diferencias finitas

La solución de placas mediante diferencias finitas ha sido tradicionalmente unmétodo muy empleado en la literatura (ver, por ejemplo, las referencias [18, 15,12]). En las últimas décadas el auge del método de elementos finitos ha superadonotablemente al desarrollo de soluciones utilizando diferencias finitas, pero ésta esaun una metodología importante conceptualmente y que puede programarse conmucha facilidad.


3.4.1. Derivadas en función de diferencias finitas

En una expansión en serie de Taylor se conoce el valor de la función f(x) enun punto determinado x = x0, e interesa conocer el valor de la función en un estadovecino caracterizado por x = x0 + ∆x. Con referencia a la Figura 3.5.a, se puedeescribir la expansión

f(x0+∆x) = f(x0)+df

dx|x=x0 ∆x+

1

2!

d2f

dx2|x=x0 ∆x2+

1

3!

d3f

dx3|x=x0 ∆x3+ ... (3.12)

donde las derivadas se deben evaluar en el estado x = x0. Vale decir que si se conoceel valor de la función y de sus derivadas en un estado, se pueden obtener valores dela función para estados vecinos.

Figura 3.5: (a) Función f(x); (b) Función f(x) en diferentes puntos x.

Para valores de incrementos ∆x pequeños, cada término no nulo en la expansiónincide menos que el anterior. En situaciones prácticas, la ecuación (3.12) se truncaen determinado término, y el error que se comete en la aproximación es del ordendel primer término siguiente que no fue incluido en la aproximación. Por ejemplo,se dice que el orden del error en la expresión (3.12) es O(∆x4).

El método de diferencias finitas opera de manera inversa al desarrollo de Taylor:Se trata de averiguar cuánto valen las derivadas de una función a partir de valoresde la función en determinados estados. Por ejemplo, supongamos que la expansión(3.12) se trunca luego del término ∆x. Se tendrá así:

f(x0 +∆x) = f(x0) +df

dx|x=x0 ∆x+ ... (3.13)

Despejando la derivada primera se tiene

df

dx|x=x0≃

f(x0 +∆x)− f(x0)

∆x(3.14)


Vale decir que si se conoce el valor de la función f en los estados x = x0 y x = x0+∆x,entonces se puede evaluar la derivada de la función en x = x0. Una aproximación deeste tipo, que utiliza valores de f en x0 y en x0+∆x se denomina diferencias finitashacia adelante.

También puede obtenerse una aproximación de la derivada hacia atrás, y resultaen la forma

df

dx

∣∣∣∣x=x0

≃ f(x0)− f(x0 −∆x)

∆x(3.15)

Por último, pueden usarse expresiones de diferencias finitas centrales, en las quela derivada se aproxima como

df

dx

∣∣∣∣x=x0

≃ f(x0 +∆x)− f(x0 −∆x)

2 ∆x(3.16)

En lugar de referirnos a las coordenadas x en cada caso, podemos identificar unasecuencia de puntos en x y designarlos como n, n+ 1, n+ 2, etc., como se muestraen la Figura 3.5.b. Así se tendrán las derivadas primeras aproximadas como

df

dx

∣∣∣∣n

≃ fn+1 − fn∆x

diferencias hacia adelante (3.17)

df

dx

∣∣∣∣n

≃ fn − fn−1∆x

diferencias hacia atrás (3.18)

df

dx

∣∣∣∣n

≃ fn+1 − fn−12∆x

diferencias centrales (3.19)

Las derivadas de orden superior pueden computarse utilizado en forma recursivalas diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás. Así, con diferencias hacia adelantey considerando que el espaciamiento ∆x entre puntos que definen las derivadas esconstante, se tiene:

d2f

dx2|n=

d

dx(df

dx) |n=

dfdx|n+1 − df

dx|n

∆x

Substituyendo dfdx|n+1 y df

dx|n por diferencias finitas hacia atrás se llega a

d2f

dx2|n=

fn+1 − 2fn + fn−1∆x2

(3.20)

Las derivadas cuartas pueden calcularse como

d4f

dx4|n=

d2

dx2(d2f

dx2) |n=

d2fdx2|n+1 −2d2f

dx2|n +d2f

dx2|n−1

∆x2

Substituyendo, se llega a


d4f

dx4|n=

1

∆x4(fn+2 − 4fn+1 + 6fn − 4fn−1 + fn−2) (3.21)

3.4.2. Derivadas parciales en función de diferencias finitas

Cuando se trata de problemas bidimensionales, las derivadas se transforman enderivadas parciales en función de variables x1, x2. Supondremos un conjunto depuntos ubicados según una cuadrícula cuadrada o rectangular, para los cuales seencuentra definida una función f(x1, x2) (Figura 3.6.a). La grilla de puntos que seutiliza para evaluar derivadas en un punto es el conjunto de puntos vecinos que resul-tan afectados, y a este conjunto se lo denomina estrella. Una estrella en diferenciasfinitas es equivalente al concepto de elemento en el método de elementos finitos.

Figura 3.6: (a) Función f(x1, x2); (b) Estrella utilizada para definir derivadas cuartassobre una grilla ortogonal de puntos.

Las derivadas direccionales no difieren de las derivadas en una dirección, pero lasderivadas parciales cruzadas se deben calcular nuevamente. Utilizando la notaciónde la Figura 3.6.b, es fácil demostrar que las derivadas cuartas evaluadas en el punto1 resultan:

∂4f

∂x41|1=

1

∆x41(f6 − 4f2 + 6f1 − 4f3 + f7) (3.22)

∂4f

∂x42|1=

1

∆x42(f8 − 4f4 + 6f1 − 4f5 + f9)

∂4f

∂x21∂x22

|1=1

∆x21∆x22[4f1 − 2 (f2 + f3 + f4 + f5) + (f10 + f11 + f12 + f13)]

Las ecuaciones anteriores indican que para representar las derivadas cuartas senecesitan 13 puntos, incluyendo al propio punto n = 1 en el que se desea realizar la


evaluación. La numeración adoptada en la Figura 3.6.b es de tipo local, y sirve paraidentificar puntos con respecto a la posición del punto 1 al centro de la estrella.

3.4.3. Representación de ecuaciones diferenciales en el do-minio utilizando diferencias finitas

Con la aproximación numérica de derivadas parciales es posible construir aprox-imaciones locales de ecuaciones diferenciales. Consideremos la ecuación diferencialen el dominio de una placa

∂4f

∂x41+ 2

∂4f

∂x21∂x22

+∂4f

∂x42− p

D= 0

donde p = p3 es la carga perpendicular a la superficie media de la placa y f = u3 esel desplazamiento transversal de la placa.

Consideremos una malla de puntos igualmente espaciados en la direcciones x1y x2, como se muestra en la Figura 3.6.b. Para cada punto de la malla es posibleaproximar la ecuación diferencial mediante los valores de la función f en puntosvecinos. Se tiene así

1

∆x41(f6 − 4f2 + 6f1 − 4f3 + f7) +

1

∆x42(f8 − 4f4 + 6f1 − 4f5 + f9)

+2

∆x21∆x22[4f1 − 2 (f2 + f3 + f4 + f5) + (f10 + f11 + f12 + f13)]−

p1D

= 0 (3.23)

La ecuación anterior puede simplificarse si se escribe uno de los espaciamientosde la grilla en función del otro:

∆x1 = α ∆x2 ∴ ∆x2 =1

α∆x1 (3.24)

y resulta

(6 + 6α4 + 8α2

)f1 + (f6 + f7)− 4

(1 + α2

)(f2 + f3) + α4 (f8 + f9)

− 4α2(α2 + 1

)(f4 + f5) + 2α

2 (f10 + f11 + f12 + f13)

=p1D∆x41 (3.25)

Es común escribir el operador de la ecuación en forma de molécula, cuyo centrocorresponde al punto en el cual se obliga a cumplir la condición de diferencias finitas.


α4

2α2 −4α2 (α2 + 1) 2α2

1 −4 (1 + α2) (6 + 6α4 + 8α2) −4 (1 + α2) 1

2α2 −4α2 (α2 + 1) 2α2

α4

En el caso particular que el espaciamiento en ambas direcciones sea el mismo

α = 1 ∴ ∆x1 = ∆x2

se tiene

20f1 − 8 (f2 + f3 + f4 + f5) + 2 (f10 + f11 + f12 + f13) + (f6 + f7 + f8 + f9)

=p1D∆x41 (3.26)

Para el caso de malla cuadrada, la molécula se simplifica a lo siguiente

1

2 −8 2

1 −8 20 −8 1

2 −8 2

1

3.4.4. Representación de condiciones de contorno utilizandodiferencias finitas

Las ecuaciones anteriores resultan adecuadas para puntos dentro del dominiode una placa alejados de los bordes. Pero a medida que nos acercamos a un bordelos puntos necesarios no estarán disponibles porque caerían fuera de la placa. Haydos maneras de tratar puntos cercanos al contorno: La primera es utilizando allíexpresiones de diferencias finitas hacia un lado en lugar de centrales. La segundaes generar un conjunto de puntos auxiliares, ficticios, que quedarían ubicados fueradel dominio físico de la placa y servirían para dar apoyo a los operadores centralesdesarrollados en esta sección. En esta presentación preferiremos la segunda opción


por dos motivos: Sencillez de la formulación y evitar de tener errores diferentes porel empleo de operadores diferentes.

Las condiciones de contorno de un problema de placas son también condicionesdiferenciales, y se pueden representar de manera aproximada usando diferenciasfinitas. Cada tipo de contorno requiere de un tratamiento diferente:

Contorno simplemente apoyado

Las condiciones de este tipo de apoyo son desplazamiento nulo y momentos (ocurvaturas) nulos en dirección perpendicular al contorno.

f = 0

∂2f

∂x21= 0 (3.27)

La primera condición es simple de aplicar, mientras que la segunda condición sepuede representar utilizando diferencias finitas hacia un lado (hacia el interior de laplaca). La condición de curvatura nula puede representarse también suponiendo unconjunto de puntos auxiliares que están fuera de la placa, tal como se indica en laFigura 3.7.a. Para ellos resulta

f1 = 0

f3 = −f2 (3.28)

De manera que el punto auxiliar 3 tiene un valor de la función desplazamiento figual y de signo contrario al de un punto 2 a igual distancia del borde pero hacia elinterior.

Contorno empotrado

En un contorno empotrado se tiene

f = 0

∂f

∂x1= 0 (3.29)

La condición de rotación nula puede representarse también suponiendo un conjuntode puntos auxiliares que están fuera de la placa, tal como se indica en la Figura3.7.b. Para ellos resulta

f1 = 0

f3 = f2 (3.30)


Figura 3.7: Malla de puntos utilizados para (a) borde simplemente apoyado. (b)Borde empotrado. (c) Condicion de simetría

De manera que el punto auxiliar 3 tiene un valor de la función desplazamiento figual y del mismo signo que un punto a igual distancia del borde pero hacia elinterior de la placa, tal como el punto 2.

Contorno libre

En un borde libre se tiene que el momento y el corte son nulos

M11 = 0

N13 = 0 (3.31)

Las expresiones que proporcionan los desplazamientos de los puntos auxiliaresno son tan sencillas como las anteriores. Con referencia al arreglo de puntos de laFigura 3.6, si el punto 1 se encuentra sobre el borde mismo, entonces los puntosficticios tiene valores de la función f12, f3, f13 sobre la primera línea y f7 sobre lasegunda. Se puede demostrar que las condiciones resultan en:

f3 = 2(1 + να2)f1 − να2(f4 + f5)− f2

f7 = f6 + να4(2− ν) (f8 + f9)− 4α2(1− ν2α2 + 2να2

)(f4 + f5)

+ 2α2 (2− ν) (f10 + f11)− 4(1 + 2α2 − να2

)f2

+ 4[1 + 2α2 + 3να4

(1− ν

2

)]f1

Esto modifica la molécula de diferencias finitas. Para borde paralelo al eje x2 lamolécula que corresponde a una distancia ∆x1 desde el borde se representa como


α4

2α2 −4α2 (α2 + 1) α2 (2 + ν)

1 −2 (1 + α2) (5 + 8α2 + 6α4) −2(1 + 2α2 − να2)

2α2 −4α2 (α2 + 1) α2 (2 + ν)

α4

La molécula que se aplica cuando el punto esta sobre el borde mismo es la siguiente:

[α4 (1− ν2)]

[2α2 (2− ν)] [4α2 (ν2α2 + ν − 1)]

2 [−4(1 + 2α2 − να2)] [4 (1 + 4α2 + 3α4 − 3ν2α2 − 4να2)]

[2α2 (2− ν)] [4α2 (ν2α2 + ν − 1)]

[α4 (1− ν2)]

Si el borde libre es paralelo al eje x1, se modifica la molécula debido a la presenciade α, y puede encontrarse por ejemplo en la Referencia [12].

Condiciones de simetría

Cuando existe una condición de simetría, entonces los desplazamientos a uno yotro lado de la línea de simetría son iguales. Con respecto a la Figura 3.7.c, se tiene

f1 = incógnita

f2 = f3

f4 = f5 (3.32)

3.4.5. Solución de los desplazamientos en placas

Las ecuaciones anteriores, que representan ecuaciones diferenciales de maneraaproximada mediante una malla de puntos y diferencias finitas, pueden utilizarsepara obtener la solución aproximada de los desplazamientos en puntos de una placa.

Para una placa rectangular se deben realizar los siguientes pasos:1) Se considera una serie de puntos distribuidos sobre una malla rectangular, con

espaciamiento constante en cada dirección, ∆x1 y ∆x2.


2) Se aplica el operador que representa la ecuación diferencial en cada punto dela malla dentro del dominio de la placa. Se tendrá así un conjunto de condicionesen función de valores de la función desplazamiento en los puntos de la malla. Cercadel borde, los operadores requerirán el uso de puntos auxiliares que están fuera deldominio físico de la placa.

3) Se aplican las condiciones de contorno, con las que se determinan los valoresde los desplazamientos auxiliares fuera del dominio de la placa.

4) Se soluciona un sistema de ecuaciones algebraicas con incógnitas que sondesplazamientos en los nudos de la malla.

5) Se evalúan los momentos en puntos de la placa a partir de los desplazamientos.

3.4.6. Momentos en la placa a partir de los desplazamientos

Una vez que se conocen los valores de los desplazamientos en los puntos selec-cionados de la placas, es posible calcular cuanto valen los momentos utilizando lasecuaciones constitutivas y cinemáticas. Las relaciones entre momentos y desplaza-mientos son

M11 = −D

(∂2f

∂x21+ ν

∂2f

∂x22

)M22 = −D

(∂2f

∂x22+ ν

∂2f

∂x21

)

M12 = −D (1− ν)

(∂2f

∂x1∂x2

)(3.33)

Con referencia a la numeración interna de la posición de los puntos con respectoa un punto 1, adoptada en la Figura 3.6.b, se tienen las aproximaciones mediantediferencias finitas siguientes:

M11(n = 1) = −D

∆21

[2 (1 + να) f1 − (f2 + f3)− αν (f4 + f5)]

M22(n = 1) = −D

∆21

[2 (ν + α) f1 − α (f4 + f5)− ν (f2 + f3)]

M12(n = 1) = −D

∆21

(1− ν) α (f13 − f10 + f11 − f12) (3.34)

3.5. Ejemplo de solución de una placa medianteDiferencias Finitas

Como ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas, consideremos elcaso de la placa cuadrada de la Figura 3.8. Se supone que la carga p3 es uniformey que el espesor h de la placa es también constante. La placa misma se discretizautilizando 25 puntos igualmente espaciados en sentido x1 y x2, siendo ∆x1 = ∆x2.No se ha dado atención especial a conveniencias de numeración de los nudos.


Figura 3.8: Ejemplo de placa cuadrada con dos bordes simplemente apoyados y dosbordes empotrados.

3.5.1. Ecuaciones en el dominio

Comencemos considerando la ecuación diferencial de la placa en el punto 13, queestá al centro. Resulta allí

20f13 − 8 (f8 + f12 + f14 + f18) + 2 (f7 + f9 + f17 + f19)

+ (f3 + f11 + f15 + f23)

=p13D∆x41

Todos los puntos requeridos caen dentro de la placa; sin embargo, algunos estánsobre el borde.

Para el punto 8 se tiene la representación de la ecuación diferencial siguiente

20f8 − 8 (f7 + f3 + f9 + f13) + 2 (f2 + f4 + f12 + f14)

+ (f6 + f28 + f10 + f18)

=p8D∆x41

Para el punto 7 se llega a


20f7 − 8 (f6 + f2 + f8 + f12) + 2 (f1 + f3 + f11 + f13)

+ (f44 + f27 + f9 + f17)

=p7D∆x41

Para el punto 12 se obtiene

20f12 − 8 (f11 + f7 + f13 + f17) + 2 (f6 + f8 + f16 + f18)

+ (f43 + f2 + f14 + f22)

=p12D∆x41

Se puede continuar aplicando las ecuaciones de diferencias finitas al resto de lospuntos del dominio de la placa (puntos 9, 14, 17, 18, 19), pero para simplificar elproblema se utilizarán las condiciones de simetría y de contorno.

3.5.2. Condiciones de contorno de la placa

Como se tienen condiciones de contorno simplemente apoyadas entre los puntos1 y 5 y entre los puntos 2 y 25, sabemos que los desplazamientos allí son nulos:

f1 = f2 = f3 = f4 = f5 = f21 = f22 = f23 = f24 = f25 = 0

Las derivadas segundas en dirección x2 en bordes simplemente apoyados, de modoque

f26 = −f6 f27 = −f7 etc.

En las partes del borde que están empotradas, se sabe que los desplazamientosson nulos:

f1 = f6 = f11 = f16 = f21 = f5 = f10 = f15 = f20 = f25 = 0

y sus derivadas primeras en dirección x1 son cero (rotaciones nulas), de manera quese cumple

f44 = f7 f43 = f12 etc.

3.5.3. Condiciones de simetría de la placa

Como la placa es simétrica con respecto a ejes que pasen por su centro (punto n =13), los desplazamientos resultarán también simétricos y eso simplifica el problemareduciendo el número de incógnitas. Las simetrías con respecto al eje x2 son,


f9 = f7 f14 = f12 f19 = f17

Por otra parte, las simetrías con respecto al eje x1 son

f17 = f7 f18 = f8 f19 = f9

Resultan así las condiciones

f9 = f17 = f19 = f7 f14 = f12 f18 = f8

3.5.4. Sistema de ecuaciones simultáneas

Substituyendo las condiciones de contorno y de simetría en las cuatro ecuacionesde diferencias finitas de la placa (correspondientes a establecer la ecuación diferencialen los puntos 7, 8, 12 y 13), se obtiene un sistema algebraico en función de cuatroincógnitas:

20f13 − 8 (f8 + f12 + f12 + f8) + 2 (f7 + f7 + f7 + f7)

=p

D∆x41

20f8 − 8 (f7 + f7 + f13) + 2 (f12 + f12) + (−f8 + f8)

=p

D∆x41

20f7 − 8 (f8 + f12) + 2 (f13) + (f7 − f7 + f7 + f7)

=p

D∆x41

20f12 − 8 (f7 + f13 + f7) + 2 (f8 + f8) + (f12 + f12)

=p

D∆x41

o bien

20f13 − 16 (f8 + f12) + 8 (f7) =p

D∆x41

20f8 − 8 (2f7 + f13) + 4 (f12) =p

D∆x41

22f7 − 8 (f8 + f12) + 2 (f13) =p

D∆x41

22f12 − 8 (2f7 + f13) + 4 (f8) =p

D∆x41

o bien


D

∆x41

22 −8 −8 2−16 20 4 −8−16 4 22 −88 −16 −16 20

f7f8f12f13

=

pppp

La solución de ese sistema no simétrico de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitasprovee los valores de los desplazamientos en los puntos en los que se ha discretizadola placa.

f7f8f12f13

= ∆x41

p

D

0,3080,4660,4140,631

Conocidos f7, f8, f12 y f13, los momentos se evalúan utilizando las ecuaciones(3.34). Por ejemplo, en el punto central 13 resultan

M11 (n = 13) = −D

∆21[2 (1 + ν) f13 − 2 (f12)− 2ν (f8)]

M22 (n = 13) = −D

∆21[2 (ν + 1) f13 − 2 (f8)− 2ν (f12)]

M12 (n = 13) = −D

∆21(1− ν) (f9 − f7 + f17 − f19) = 0

Como era de esperar, debido a la simetría de la placa y de la carga, el momentotorsor M12 al centro de la placa es cero.

3.6. Problemas de Diferencias Finitas con mallasirregulares

En lo anterior se supuso que las mallas de puntos tenían espaciamiento regularen dos direcciones. Sin embargo es posible generalizar el método de modo de repre-sentar las ecuaciones diferenciales utilizando arreglos arbitrarios de los puntos queconstituyen una estrella. Este tema escapa al interés introductorio de este texto,pero puede consultarse en numerosas referencias en la literatura (ver Refs. [16, 17]y las allí citadas).

3.7. Ejercicios

Problema 3.1. Utilizando unmanipulador simbólico, desarrolle un programa decomputadora para resolver placas con apoyos articulados mediante series de Fourier,para cargas arbitrarias. Incluya la evaluación de momentos y esfuerzos cortantes.


Problema 3.2. Una placa cuadrada simplemente apoyada en sus contornos tieneespesor constante y fuerzas sobre la parte central de la placa, como se muestra en laFigura 3.9. Resuelva la placa usando series de Fourier. (a) Grafique las componentesde Fourier de la carga. (b) Grafique las componentes de Fourier de los desplaza-mientos. (c) Grafique las componentes de Fourier de los momentos M11 y M12. (d)Grafique las componentes de Fourier del esfuerzo cortante N13. En todos los gráficosconsidere diferentes valores de m y solamente n = 1. Explique los resultados queobtiene. Los datos necesarios son a =, a0 =, a1 =, b =, b0 =, b1 =.

Figura 3.9: Placa cuadrada con bordes simplemente apoyados y carga parcial alcentro.

Problema 3.3. En una edificación se deben evaluar las reacciones en las esquinasde una placa rectangular. Los lados de la placa son a = 3m y b = 4m, mientras queel espesor es de h = 0,12m. Las cargas p3 se consideran uniformes sobre la placa,e incluyen el peso propio de la placa de hormigón, un contrapiso de espesor 0,08m(cuyo peso es 1600Kg/m3), y una sobrecarga de 300Kg/m2. Para el hormigón,considere el modulo de elasticidad E = 20GPa y el módulo de Poisson ν = 0,12.Utilice la solución de Navier (series de Fourier).Problema 3.4. El muro de contención de la Figura 3.10 debe resistir el empuje

de un suelo con ángulo de fricción interna de 20 grados y cohesión cero. La longitudL en la figura es L = 5m. Evalué los momentos en una de las losas. 1

Problema 3.5. Para el ejercicio de la placa resuelto en este capítulo mediantediferencias finitas, evalué los momentos en los puntos del contorno 6 y 9.Problema 3.6. Evalué los momentos en la placa de la Figura 3.9 mediante

diferencias finitas. Utilice todas las condiciones de simetría que pueda.Problema 3.7. Compare la solución del Ejercicio 3.6 con la calculada mediante

series de Fourier en el Ejercicio 3.2. Comente sobre los resultados obtenidos.

1Este problema fue preparado por el Ing. Marcelo Rubinstein, profesor de la Universidad Na-cional de Rosario. Se agradece su autorizacion para incluirlo aqui.


Figura 3.10: Muro de contencion con empuje de suelo.

Problema 3.8. Para el Problema 2.1, (a) calcule los momentos flectores enel centro de cada placa y en los apoyos. (b) Represente y discuta los resultadosobtenidos.Problema 3.9. El método de diferencias finitas se puede utilizar para problemas

de placas continuas. Para la placa de la Figura 3.11 calcule los desplazamientos dela placa.

Figura 3.11: Placa continua con dos bordes empotrados y dos bordes simplementeapoyados. La carga uniforme solo actua en la placa de la derecha de la figura.

Problema 3.10. La ecuación diferencial en un punto de la placa puede tambiénescribirse como

f1 =1

20[8 (f2 + f3 + f4 + f5)− 2 (f10 + f11 + f12 + f13)

− (f6 + f7 + f8 + f9) +p1D∆x41] (3.35)


Desarrolle un algoritmo iterativo para resolver placas con mallas de espaciamiento∆x1 constante utilizando la ecuación anterior. Implemente el algoritmo utilizandouna planilla de cálculo.

Capítulo 4

SOLUCIONES DE PLACASUTILIZANDO LAFORMULACIÓN INTEGRAL

4.1. Introducción

En el capítulo anterior se estudió la solución aproximada de placas planas uti-lizando la formulación diferencial. En este capítulo se estudia la solución aproximadade la ecuaciones integrales que se obtienen mediante el planteo del principio de mín-ima energía potencial total. Recordemos que la expresión de la energía potencialtotal π(u3, p3) se obtuvo en el Capítulo 2 en la forma

π(u3, p3) =1

2

∫ ∫D

{(∂2u3∂x21

+∂2u3∂x22

)2

− 2(1− ν)

[∂2u3∂x21

∂2u3∂x22

−(

∂2u3∂x1x2

)2]}

dx1dx2

−∫ ∫

p3u3dx1dx2 (4.1)

En particular, se estudian aquí dos técnicas: la de Ritz y la de elementos finitos.Debido al carácter introductorio de este texto, sólo se ven casos sencillos de elementospara placas.

67

Soluciones de placas utilizando la formulacion integral 68

4.2. Método de Ritz

4.2.1. Aproximación de funciones en el método de Ritz

Este método se basa en aproximar la incógnita u3 a través de funciones conocidasφi (x1, x2) que cumplen con las condiciones cinemáticas de dominio y de contornohomogéneas, y un conjunto de parámetros αi que inicialmente son desconocidos. Laforma más simple de esta aproximación se escribe como una doble sumatoria

u3 =N∑

m=1

N∑

n=1

αmn φmn (x1, x2) (4.2)

o bien, usando notación indicial,

u3 = αmn φmn (x1, x2) para m = 1,M n = 1, N

donde M yN son la cantidad de términos en cada dirección del plano que se adoptanen la aproximación numérica.

Cuando existen condiciones de contorno no-homogéneas (desplazamientos pre-scritos no-nulos) es necesario agregar la solución particular necesaria para satisfaceresas condiciones ψ (x1, x2), con lo que resulta:

u3 = ψ (x1, x2) + αmn φmn (x1, x2) para m = 1,M n = 1, N

En general las funciones se construyen como productos de dos funciones, una encada dirección del dominio

φmn (x1, x2) = φm (x1) φn (x2)

La elección de funciones de aproximación sigue las condiciones que se enunciana continuación, pero podemos decir que esencialmente se utilizan funciones de dosfamilias: las funciones trigonométricas y los polinomios. Por ejemplo, una familia defunciones trigonométricas es

φm (x1) = sin(mπx1

a

)(4.3)

Las funciones seno como las propuestas son adecuadas para bordes simplementeapoyados, y se ilustran en la Figura 4.1. Si los bordes están empotrados resultaadecuada una función

φm (x1) =1

2cos

(1− 2mπx1

a

)(4.4)

La Figura 4.2 muestra la familia de tales funciones.Otra posibilidad es utilizar polinomios en lugar de funciones trigonométricas.

Una familia de funciones polinómicas (Figura 4.3) resulta en la forma


Figura 4.1: Funciones de aproximación útiles para representar bordes simplementeapoyados.

φmn (x1, x2) = xm1 xn

2 (4.5)

4.2.2. Condiciones que deben cumplir las funciones de aprox-imación

Condiciones en el contorno

Condiciones esenciales: En todos los problemas formulados con ecuaciones in-tegrales y el método de los desplazamientos, las funciones que se usan como solucióntienen el prerequisito de satisfacer las condiciones cinemáticas sobre el contorno. Enel contorno de una placa, las condiciones cinemáticas son

u3 = u3 y/o∂u3∂xn

=∂u3∂xn

(4.6)

la aproximación 4.2 debe satisfacer esas condiciones.Condiciones naturales: En aquellos puntos sobre el contorno en los que las

fuerzas son conocidas (en una placa en flexión se trata de Mnn y N efn3), la aproxi-

mación 4.2 no debe cumplir ninguna condición natural de contorno. Esto relaja lascondiciones que se les exige a las funciones de aproximación, pero al mismo tiempohace que esas condiciones no se verifiquen de manera idéntica.


Figura 4.2: Funciones de aproximación útiles para representar bordes empotrados.

Condiciones mixtas: También es posible tener condiciones de contorno en lasque se conoce una componente de desplazamientos y otra de fuerzas, por ejemplo

u3 = u3 y/o Mnn = Mnn (4.7)

Las funciones φi deberán cumplir las condiciones siguientes, de acuerdo a lo quese le pida a las variables de desplazamiento:

Si u3 es conocido (aun cuando sea diferente de cero), en esos puntos deberácumplirse

φi (x1, x2) = 0

Si la derivada primera en dirección normal al borde(

∂u3∂xn

)es conocida, en esos

puntos deberá cumplirse

∂φi (x1, x2)

∂n= 0

Si u3 o ∂u3∂xn

son distintos de cero en los puntos en los que se conoce su val-or, será necesario cumplir las condiciones homogéneas arriba indicadas [u3 =


Figura 4.3: Funciones de aproximación polinómicas.

u3 y/o ∂u3∂xn

= ∂u3∂xn] y posteriormente superponer una solución particu-

lar. La solución particular ψ debe cumplir con los valores no nulos asignadosen el contorno.

En los casos de condiciones de borde no homogéneas, la aproximación de Ritz(4.2) debe entonces incluir a ψ (x1, x2) a quien habitualmente se denomina “solu-ción particular”. En realidad, ψ (x1, x2) no necesita ser una solución particular dela ecuación diferencial de la placa y es suficiente que cumpla con las condicionesno homogéneas de borde y con las mismas condiciones generales de continuidad ydiferenciabilidad de las φi en el interior del dominio de la placa.

Condiciones en el dominio

Para el caso de una placa plana, las condiciones que deben cumplir las φi enel interior del dominio están asociadas a la necesidad de representar de manera notrivial a los términos de la energía potencial total. Como los términos de energíacontienen derivadas segundas de desplazamientos, entonces es necesario que las φi

tengan hasta derivadas segundas definidas, aunque sean constantes. En resumen, setiene:

Las φi deben ser continuas en el dominio de la placa.

Las derivadas primeras

[∂φi (x1, x2)

∂xk

]deben ser continuas en el dominio.

Las derivadas segundas

[∂2φi (x1, x2)

∂xk ∂xl

]deben existir, pero pueden ser discon-

tinuas.


4.3. Ejemplos de solución de placas mediante elmétodo de Ritz

Para ilustrar el empleo del método de Ritz en la solución de placas se planteanaquí dos ejemplos, el primero usando funciones trigonométricas y el segundo me-diante polinomios de aproximación.

4.3.1. Placa simplemente apoyada en dos bordes y empo-trada en los otros dos

Consideremos la placa rectangular que se muestra en la Figura 4.4, con dosbordes simplemente apoyados en dirección x1, mientras que los bordes paralelos ax2 están empotrados. Actúa una carga uniforme p3 = q y una carga concentrada Pa distancia x1 = a/4 y x2 = 2b/3. Se propone la función de aproximación seno endirección x2 y coseno en dirección x1, que satisfacen las condiciones esenciales decontorno del problema

φmn (x1, x2) = cos

(1− 2nπx1

a

)sin(mπx2

b

)(4.8)

Por simplicidad de cálculo utilizaremos sólo el primer término de esa función, o sea

u3 = α cos

(1− 2πx1

a

)sin(πx2

b

)(4.9)

Figura 4.4: Placa apoyada-empotrada.

La función de u3 se deriva dos veces y se substituye en la ecuación de energía(4.1). Se puede demostrar que resulta


U =D

2π4abα2

[4

a4+3

4b4+2ν

a2b2+2 (1− ν)

a2b2

]

=D

2π4abα2

[4

a4+3

4b4+

2

a2b2

]

El potencial de las cargas es

W =

∫ ∫q u3dx1dx2 + P u3 |x2=2b/3x1=a/4

= 2α

(1

πab q + P

)

La energía potencial π es

π =

(D

2π4ab

)[4

a4+3

4b4+

2

a2b2

]α2 − 2

(1

πab q + P

)α

que contiene sólo una incógnita α. La primera variación de π resulta:

δπ =(π4Dab

) [ 4a4+3

4b4+

2

a2b2

]α− 2

(1

πab q + P

)= 0

La solución del parámetro α resulta

α =4

π4

(1πq + P/ab

)

D(4a4+ 3

4b4+ 2

a2b2

) (4.10)

Este es el valor del parámetro de Ritz, supuesto la única incógnita del problema.Nótese que el parámetro depende de las propiedades del material, expresadas a travésde D.

Con este valor se pueden evaluar los momentos de la placa y los esfuerzos cor-tantes.

4.3.2. Placa simplemente apoyada-libre

Sea la placa cuadrada (a = b) de la Figura 4.5, bajo carga lineal uniforme aplicadaen los bordes libres. Consideraremos la aproximación para los desplazamientos enla forma de forma polinómica, pero limitada a M = N = 1. Los términos linealesno entran en la energía potencial, dado que las curvaturas involucran derivadassegundas. El término que subsiste en la energía es

φ (x1, x2) = x1 x2

u3 = α x1 x2 (4.11)


Figura 4.5: Placa libre-simplemente apoyada.

Las curvaturas resultan

χ11 = 0 χ22 = 0 χ12 = −α

de donde

U =1

2

∫ ∫2D(1− ν)χ212dx1dx2

= [D(1− ν)ab]α2

El potencial de las cargas se escribe como

W =

∫ a

x1=0

qu3dx1 |x2=b +

∫ b

x2=0

qu3dx2 |x1=a

= qbα

∫ a

x1=0

x1 dx1 + qaα

∫ b

x2=0

x2dx2

=

(qa2b

2+

qab2

2

)α =

q

2ab (a+ b)α

La energía potencial se reduce a la contribución de torsión constante

π = [D (1− ν) ab]α2 − q

2ab (a+ b)α

De la condición de estacionario δπ = 0 se llega a

α = q(a+ b)

4D (1− ν)(4.12)

Los momentos en esta placa resultan


M11 =M22 = 0 M12 = −D (1− ν)α = −q(a+ b)

4(4.13)

Nótese que el momento torsor es constante, mientras que los momentos flectores sonnulos. Por lo tanto N13 y N23, que dependen de derivadas primeras de los momentos,son nulos. Los esfuerzos cortantes de Kirchhoff sobre el contorno son nulos.

N ef13 = N13 +

∂M12

∂x2= 0 (4.14)

Existe una aparente contradicción, porque por una parte los bordes cargadostienen una fuerza cortante aplicada que vale q, mientras que por el interior se verifi-ca que el cortante que resiste es nulo. Esto ocurre porque la solución es aproximada,y que en el método de Ritz las condiciones naturales de contorno, las que involucranfuerzas, se cumplen en promedio. La aproximación en este ejemplo es algo inade-cuada, ya que el corte exterior no es equilibrado punto a punto por el corte efectivodel interior.

Sin embargo, subsisten fuerzas concentradas en las esquinas de la placa, como semuestra en la Figura 4.6.

R = 2M12 = −q(a+ b)

2

Figura 4.6: Placa libre-simplemente apoyada. Reacciones en las esquinas

Se puede apreciar que el método de Ritz ha transformado la carga exterior q enuna carga equivalente R, cuyo valor consiste en la mitad de la carga aplicada en losbordes. En realidad, esta carga aparece en las esquinas de la placa con igual valorabsoluto, pero en las esquinas A la carga R es positiva, mientras que en las esquinasB la carga es negativa.

La reacción total en los apoyos vale entonces

∑R = 2R−R = R = −q

(a+ b)

2


Sabemos que en realidad la suma de todas las reacciones debería ser igual a la cargaexterior aplicada [q (a+ b)], con lo cual se pone en evidencia que la solución deequilibrio es aproximada. En efecto, una parte de la carga exterior, en el lado x1 = a,que es qa/2, y sobre el otro lado libre, de valor qb/2, son transferidas directamenteal apoyo sin pasar por la placa, y por lo tanto la reacción calculada anteriormentees sólo una parte de la reacción verdadera. Esta transferencia depende de la ley dedesplazamientos propuesta, y en la medida que se aproxima a la solución exacta deu3 el error de equilibrio en las cargas deberá disminuir.

4.4. Método de Elementos Finitos usando la teoríade Kirchhoff

El método de elementos finitos puede conceptualizarse de manera similar al deRitz, pero ahora la aproximación de las funciones φ no se extienden sobre todo eldominio de la placa, sino que están definidas solamente en una región local llamadaelemento.

En esta versión introductoria consideraremos inicialmente un elemento muy sim-ple, basado en la teoría de Kirchhoff, que fue originalmente derivado por Melosh [20].El tema de elementos finitos en placas es bastante complejo y un análisis detalladode los problemas asociados y los desarrollos realizados puede verse en la Referencia[21].

4.4.1. Elemento finito rectangular

Desarrollaremos un elemento de geometría rectangular de lados a y b, con cua-tro nodos ubicados en las esquinas. En primer lugar, vamos a discutir qué tipo defunciones son necesarias para llevar a cabo una buena representación de la energíausando polinomios.

Figura 4.7: Elemento finito de cuatro nodos.

Consideremos la interpolación mínima necesaria dentro de cada elemento. Fun-ciones de tipo lineal en desplazamientos no serían capaces de representar la


energía potencial, porque se cancelarían todos los términos cuando se lleven acabo las derivadas segundas. Para poder representar de manera no trivial lostérminos de la energía potencial, las funciones de interpolación deben ser detipo cuadráticas o cúbicas.

Consideremos las características de la interpolación sobre los bordes de cadaelemento. Según se ha visto, uno de los requisitos que deben cumplir las fun-ciones de aproximación es la continuidad de las derivadas primeras (rotacionesde la fibra normal) del desplazamiento transversal. Esto está asociado a quelos desplazamientos de los puntos fuera de la superficie media dependen de lasrotaciones, por lo cual la continuidad de los desplazamientos (y por lo tantodel sólido) exige continuidad de las rotaciones. En la terminología del métodode elementos finitos, esto se conoce como exigencias de continuidad C1 sobrelas funciones de aproximación. Podríamos pensar que funciones cuadráticasbasadas en desplazamientos en los nudos serían adecuadas, sin embargo esosólo asegura continuidad dentro del elemento y continuidad de la derivada(rotación) en la dirección tangente a los lados, pero no se garantiza la con-tinuidad de la derivada (rotación) normal a los lados. Esto conduce a que laderivada normal al lado sería discontinua y por lo tanto la derivada segundainfinita, lo cual imposibilita evaluar la energía interna de deformación. A losefectos de satisfacer la condición de energía finita entre elementos es necesarioque los grados de libertad también incluyan derivadas de los desplazamientos.

En resumen, son necesarias funciones cuadráticas o cúbicas que incluyan despla-zamientos y sus derivadas como grados de libertad.

Para ello se propone usar coordenadas (ξ, η), normalizadas entre 0 y 1, definidaspor

ξ =x1 − xA

1

aη =

x2 − xA2

b

Nótese que para x1 = xA1 resulta ξ = 0, mientras que para x1 = xB

1 resulta ξ = 1.Las derivadas de (ξ η) con respecto a (x1x2) son:

∂ξ

∂x1=1

a

∂ξ

∂x2= 0

∂η

∂x1= 0

∂η

∂x2=1

b

El desplazamiento queda escrito en la forma

u = αij ξi ηj para i, j = 0, N

Limitaremos el polinomio a 12 términos, con lo cual resulta un polinomio incompletode cuarto grado:


u = α00 + (α10 ξ + α01 η) +(α20 ξ2 + α11 ξ η + α02 η2

)

+(α30 ξ3 + α12 ξ η2 + α21 ξ2 η + α03 η3

)

+(α13 ξ η3 + α31 ξ3 η

)(4.15)

Las derivadas de u son

∂u

∂x1=

∂u

∂ξ

∂ξ

∂x1=1

a

∂u

∂ξ∂u

∂x2=

∂u

∂η

∂η

∂x2=1

b

∂u

∂η

o bien

a∂u

∂x1=

∂u

∂ξ= (α10) + (2α20 ξ + α11 η)

+(3α30 ξ2 + α12 η2 + 2α21 ξ η

)

+(α13 η3 + 3α31 ξ2 η

)(4.16)

b∂u

∂x2=

∂u

∂η= (α01) + (α11 ξ + 2α02 η)

+(2α12 ξ η + α21 ξ2 + 3α03 η2

)

+(3α13 ξ η2 + α31 ξ3

)(4.17)

Para especificar los valores de los coeficientes αij es necesario imponer las condi-ciones que en las coordenadas de cada nudo los valores de la función y de susderivadas deben ser iguales a los valores nodales, que se toman como los gradosde libertad del elemento. Esto provee 12 condiciones, por ejemplo, cuatro de ellasresultan

ξ = 0 η = 0 u = uA

ξ = 1 η = 0 u = uB

ξ = 0 η = 1 u = uC

ξ = 1 η = 1 u = uD

Se puede invertir el sistema, para explicitar las funciones de interpolación. Re-sulta así


u = φ1 uA + φ2∂uA

∂x1+ φ3

∂uA

∂x2

+ φ4 uB + φ5∂uB

∂x1+ φ6

∂uB

∂x2

+ φ7 uC + φ8∂uC

∂x1+ φ9

∂uC

∂x2

+ φ10 uD + φ11∂uD

∂x1+ φ12

∂uD

∂x2(4.18)

Los grados de libertad del sistema son los valores nodales incógnita

{uA,∂uA

∂x1,∂uA

∂x2, uB,

∂uB

∂x1,∂uB

∂x2, uC ,

∂uC

∂x1,∂uC

∂x2, uD,

∂uD

∂x1,∂uD

∂x2}

Las funciones de interpolación asociadas a los desplazamientos son

φ1 = (ξ − 1) (η − 1)[1 + (ξ + η)− 2

(ξ2 + η2

)]

φ4 = (ξ) (η − 1)[− (3ξ + η) + 2

(ξ2 + η2

)]

φ7 = (ξ − 1) (η)[− (ξ + 3η) + 2

(ξ2 + η2

)](4.19)

φ10 = (ξ) (η)[−1 + 3 (ξ + η)− 2

(ξ2 + η2

)]

Las funciones de interpolación asociadas a las derivadas de desplazamientos conrespecto a x1 son:

φ2 = −aξ (ξ − 1)2 (η − 1)φ5 = −aξ2 (ξ − 1) (η − 1)φ8 = aξη (ξ − 1)2 (4.20)

φ11 = aξ2η (ξ − 1)

Finalmente, las funciones asociadas a derivadas con respecto a x2 son:

φ3 = −bξ (η − 1)2 (ξ − 1)φ6 = bξη (η − 1)2

φ9 = −bη2 (ξ − 1) (η − 1) (4.21)

φ12 = bξη2 (η − 1)

Nótese que las funciones u son continuas entre elementos, y también son continuaslas derivadas con respecto a la dirección normal a los lados de un elemento. Pero


las derivadas cruzadas en las esquinas no son continuas. Si se deseara un elementoque tuviera derivadas segundas continuas (no requerido por el método) habría queincluir también las derivadas cruzadas como grados de libertad en los nudos, y talelemento fue desarrollado originalmente por Wilson y Brebbia [22].

Las funciones de desplazamientos, que han sido aproximadas mediante las fun-ciones de interpolación, se reemplazan ahora en la energía potencial total, y resultauna función algebraica en términos de los grados de libertad del sistema. Nótese quelas integrales deben computarse en el espacio de (x1, x2) pero están definidas en lascoordenadas normalizadas (ξ, η). Por ello hay que usar la siguiente transformación:

∫

x1

∫

x2

I(ξ, η)dx1dx2 =

∫

ξ

∫

η

I(ξ, η)abdξdη

Se integran las ecuaciones y se obtiene la condición de estacionario de la energía(se la deriva con respecto a cada uno de los 12 grados de libertad y se igualan a cerolas derivadas) para obtener las condiciones de equilibrio. Finalmente, se soluciona elsistema de ecuaciones simultáneas para hallar los grados de libertad.

4.5. Método de Elementos Finitos con deforma-ciones transversales de corte

La energía potencial total en una placa modelada segun la teoría de Reissner-Mindlin, que incluye deformaciones por cortante, resulta en la forma:

π(u3, βi, p3) =1

2

∫ ∫D

{

2(1− ν)

(∂β1∂x2

+∂β2∂x1

)2

+

[(∂β1∂x1

)2+

(∂β2∂x2

)2+ 2ν

∂β1∂x1

∂β2∂x2

]}

dx1dx2

+1

2

∫ ∫2K(1− ν)

[(β1 +

∂u3∂x1

)∂u3∂x1

+

(β2 +

∂u3∂x2

)∂u3∂x2

]dx1dx2

−∫ ∫

p3u3dx1dx2 (4.22)

Esta expresión depende de (u3, βi) como variables independientes. Como las rota-ciones βi no dependen ahora de los desplazamientos transversales u3, se pueden usarfunciones de interpolación que no estén vinculadas entre sí. Aparecen diferenciassignificativas con respecto a los elementos finitos construidos a partir de la teoría deKirchhoff:

Dentro de cada elemento, el funcional solamente requiere que las variables seanderivables hasta sus primeras derivadas. Funciones lineales de interpolación sonahora admisibles.


En los contornos de cada elemento, este funcional solamente requiere con-tinuidad de las variables mismas, no de sus derivadas. A diferencia de la teoríade Kirchhoff, la teoría de Reissner-Mindlin conduce a problemas de continuidadC0, por lo cual los problemas asociados a la continuidad de la derivada men-cionados anteriormente no aparecen y es posible satisfacer con facilidad lascondiciones de continuidad entre elementos. Esto surge como consecuencia quelas variables independientes del problema son ahora no sólo el desplazamientotransversal u3 sino también los giros βi, que son independientes entre sí.

Debe mencionarse que al aproximar ahora tres variables (u3, β1 y β2) en vezde una (u3), la cantidad de parámetros necesarios para obtener una soluciónsimilar aumenta considerablemente. Por lo tanto para lograr aproximacionessimilares resulta necesario utilizar mallas más densas. Por otro lado los ele-mentos de continuidad C1, utilizan en general polinomios de mayor orden, loque conduce a una mejor aproximación con menor cantidad de elementos, esdecir convergen más rápidamente. Desde el punto de vista de la cantidad degrados de libertad, la utilización de elementos de tipo C0 resulta doblementeinconveniente.

El elemento más simple puede construirse tomando cuatro nudos por elemento

u3 = uA3 φ

A + uB3 φ

B + uC3 φ

C + uD3 φ

D

β1 = βA1 ψ

A + βB1 ψ

B + βC1 ψ

C + βD1 ψD

β2 = βA2 ψ

A + βB2 ψ

B + βC2 ψ

C + βD2 ψD

donde φ son las funciones de interpolación para desplazamientos, mientras que ψson las funciones empleadas para las rotaciones. No es necesario que el número denudos usado para φ sea el mismo que para ψ. Como caso particular, se pueden usarlos mismos nudos y las mismas funciones para φ y para ψ, de modo que resultan

φA = 1− ξ − η + ξη

φB = ξ(1− η)

φC = η(1− ξ)

φD = ξη

La utilización de elementos basados en esta teoría presentan la particularidad deconsiderar la influencia de la deformación del corte transversal. Esto es efectivamenteuna ventaja cuando esta influencia es realmente apreciable. Por el contrario, enplacas esbeltas y muy esbeltas en las que la influencia del corte es despreciable, elempleo de elementos basados en la teoría de Reissner se convierte en una desventaja.

Hay un inconveniente aun más serio: se ha encontrado que en estos elementosse produce un “bloqueo” numérico debido a la imposibilidad de las funciones de


interpolación de acomodar adecuadamente la condición

∂u3∂xi

+ βi∼= 0

Esto produce un aumento espurio de la energía de deformación debido al cortetransversal. Este efecto puede verse en los distintos términos que componen la en-ergía interna de deformación de una placa, donde la rigidez a la flexión está definidapor D = Eh2

12(1−ν2)en tanto que la rigidez al corte es C = Gh. En función de la mínima

dimensión de la placa L es posible definir un coeficiente adimensional

α =C

DL2 =

12Gh L2 (1− ν2)

Eh3≈(L

h

)2

Para el caso de placas esbeltas (con Lh≃ 100), los valores de α resultan del orden

de 10000.Este problema fue detectado hace tiempo y se han propuesto distintas aproxi-

maciones para solucionarlo. Las matrices de rigidez de los elementos en programaspara propósitos generales se obtienen por integración numérica, donde la cantidad depuntos de integración depende del orden de los polinomios a integrar y esos puntosse eligen de tal forma de lograr una integral lo más exacta posible. Pueden emplearsevarias estrategias:

Subvaluar el término asociado al corte. Esto se conoce como “integración re-ducida”. Integrar en forma reducida consiste en usar menor cantidad de puntosde integración que los necesarios, lo que puede interpretarse como disminuir elvalor de energía asociada o como permitir la existencia de modos de deforma-ción con baja energía asociada. Esta “subintegración” se realiza exclusivamentesobre los términos asociados al corte, pues de otra manera conduce a singular-idades (modos de cuerpo rígido) mayores que las necesarias. Esta técnica fueampliamente utilizada (y lo sigue siendo en muchos casos), pero no funcionaen todos los casos, resultando en elementos que no son robustos.

Aproximaciones mixtas. Tienen una mejor fundamentación desde el puntode vista teórico, por lo cual permiten una mayor justicación. Los resultadosobtenidos son en general muy buenos y han dado lugar a un avance significa-tivo de este tipo de elementos, que en general se presentan como los de usoestandar a pesar de las desventajas mencionadas.

Finalmente se hace notar que en general los elementos que incluyen deformacionestransversales de corte, son más sencillos de llevar al rango no-lineal geométrico. Porotro lado, los elementos más eficientes en el análisis de problemas elasto-plásticosson aquellos de bajo orden de interpolación. Debido a que la formulación resulta decontinuidad C0 su desarrollo no presenta dificultades serias.


4.5.1. Elementos finitos triangulares

El elemento descrito en la sección anterior presenta dos limitaciones serias, aso-ciadas a su geometría rectangular. Por un lado no permite tratar placas de contornoarbitrario (placas circulares por ejemplo) y por otro lado resulta engorroso cuandose pretende utilizar una malla más fina en zonas de la placa donde existan mayoresgradientes de esfuerzos. Por ello existen muchos otros elementos de mucho mayorgeneralidad desde el punto de vista de la geometría, lo que incluye básicamente acuadriláteros y triángulos [23].

Uno de los autores ha desarrollado un elemento triangular [19], que tiene la carac-terística de tener sólo grados de libertad de desplazamientos (sin giros o derivadas),que escapa un poco a la estrategia habitual del desarrollo de elementos finitos y quecae dentro de la categoría de “elemento no conforme”, esto es, que no satisface enforma explícita la condición de continuidad de la derivada normal al contorno.

4.6. Problemas

Problema 4.1. Ejemplo de funciones de aproximación en un problemaunidimensional. Para ilustrar el significado de las condiciones especificadas en elmétodo de Ritz, supongamos una viga orientada según el eje x1 (Figura 4.8). Enesa dirección las condiciones son similares a las que corresponden a una placa. Seala función

natheight=1.917400in, natwidth=3.136400in, height=4.7447cm, width=7.7175cm

Figura 4.8: Funciones de aproximacion en problema de viga.

φ = x− 2x2 + x3 para x > 0

φ = x+ 2x2 + x3 para x ≤ 0

Se aprecia que las funciones son diferenciables y continuas. La derivada segundaresulta

d2φ

d2x= −4 + 6x para x > 0

d2φ

d2x= 4 + 6x para x ≤ 0

Se observa una discontinuidad en la derivada segunda en el origen de coordenadas.A pesar de ello no hay problema de aceptarla como función de aproximación de Ritz,y al realizar la integración de la energía es necesario separar las integrales en dostramos


U =1

2

∫EI

(d2φ

d2x

)2

=1

2

∫ 0

x=−1EI (4 + 6x)2 dx+

1

2

∫ 1

x=0

EI (−4 + 6x)2 dx

Nótese que la función φ propuesta es continua en el dominio [−1, 1], y su derivadaes también continua.Problema 4.2. Para la placa apoyada-empotrada resuelta en el texto, considere

E = 3 × 105Kg/cm2, ν = 0,3, a = 6m, b = 4m, h = 0,10m, q = 0,1Kg/cm2, P =1000. Evalúe el estado tensional σ en el punto de aplicación de la carga concentrada.Problema 4.3. Evalúe los desplazamientos en una placa rectangular simple-

mente apoyada, bajo carga uniforme, usando el método de Ritz. Utilice un soloparámetro de Ritz.Problema 4.4. Para la placa empotrada-libre del ejemplo de este capítulo, con-

sidere la influencia de términos siguientes en la solución de Ritz, y demuestre que lacondición de equilibrio sobre los bordes se aproxima a la solución exacta.Problema 4.5. Evalúe la placa del ejemplo empotrado-libre bajo la acción de

cargas triangulares sobre los bordes, con un máximo donde se cruzan los dos bordeslibres, de valor q.Problema 4.6. Elementos finitos usando la teoría de Kirchhoff.Una placa rectangular simplemente apoyada en sus cuatro lados está sometida

a carga uniforme p3 = 2,4MPa. Use un elemento para representar un cuarto dela placa. Considere que los lados de la placa son de 5m, espesor h = 0,10m, E =20GPa, ν = 0,15. Resuelva el problema utilizando el elemento finito no conformedesarrollado por Melosh. La solución exacta del problema usando series de Fourieres 3,57mm.Solución: Con ese elemento, después de aplicar las condiciones de contorno, el

problema tiene tres grados de libertad. El desplazamiento vertical al centro resulta4,33mm.Problema 4.7. Elementos finitos usando la teoría de Reissner-Mindlin.Resuelva el problema anterior utilizando un elemento finito de interpolación lineal

usando la teoría de Reissner-Mindlin. (a) Compare los resultados con la solución deFourier y con los del elemento de Kirchhoff. (b) Mejore la solución multiplicandoel término asociado al cortante en la ecuación 4.22 por un factor σ < 1. Esto esequivalente a subintegrar ese término.Solución: Con ese elemento, el problema tiene tres grados de libertad. (a) El

desplazamiento vertical al centro resulta 6,1 × 10−5mm. Este desplazamiento esmucho más pequeño que los obtenidos con las otras soluciones debido a que seproduce bloqueo por cortante.

(b) En la ecuación 4.22 se multiplica el término asociado aK por un factor σ < 1.La figura muestra el desplazamiento vertical al centro de la placa para diferentes


0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Sigma

Desplazamiento vertical [m]

valores de σ. El valor de solución para el cual se ha eliminado el bloqueo es el mínimoen la curva, que corresponde a 2,8mm para σ = 0,07.Problema 4.8. Elementos finitos usando un programa para propósitos

múltiples. Para la placa del Problema 4.5, estudie la convergencia de la soluciónusando un elemento finito disponible en programas para propósitos múltiples.Solución: Debido a la simetría del problema se discretiza un cuarto de placa.

Se emplearon varios elementos, conocidos en la literatura como S4, S4R y S8R. Loselementos S4R y S8R son de integración reducida, de 4 y 8 nodos respectivamente.Se emplearon mallas de 1, 4, 9 y 16 elementos finitos de igual tamaño. Los resultadosse muestran en la tabla a continuación. NEL es el número de elementos en la malla,GDL es el número de grados de libertad, uc

3 es el desplazamiento vertical en el centrode la placa, en mm.

Elemento NEL GDL uc3[mm]

S4 1 12 2.79S4 4 27 3.49S4 9 48 3.54S4 16 60 3.56S4R 1 12 3.28S4R 4 27 3.62S4R 9 48 3.60S4R 16 60 3.59S8R 1 24 2.12S8R 4 63 3.57S8R 9 120 3.58S8R 16 195 3.58

La solución exacta del problema (usando series de Fourier en la teoría de Kirchhoff)es 3,57mm.Problema 4.9. Una placa cuadrada de hormigón de 5m de lado y espesor cons-

tante h = 0,1m, tiene un agujero cuadrado al centro de 1m cada lado. En cada


esquina del agujero se coloca una fuerza concentrada de valor P = 100KN . Loscontornos externos de la placa están simplemente apoyados, mientras que los bordesdel agujero central están libres. Evalúe el desplazamiento vertical en las esquinasusando un programa de elementos finitos para propósitos generales.Solución: El resultado depende de la malla y del elemento elegido, pero el des-

plazamiento es aproximadamente 21mm.

Bibliografía

[1] Baikov, V. N. (Ed.) (1978), Reinforced Concrete Structures, MIR Publishers,Moscu (Traducido del original en ruso de 1974).

[2] Billington, D. P. (1990), Thin Shell Concrete Structures, Segunda Edición,McGraw-Hill, New York.

[3] Donnell, L. H. (1976), Beams, Plates and Shells, McGraw-Hill.

[4] Flugge, W. (1960), Stresses in Shells, Springer-Verlag.

[5] Gould, P. (1999), Analysis of Plates and Shells, Prentice Hall, Upper SaddleRiver, NJ.

[6] Koiter, W. T. (1960), A consistent first approximation in the general theoryof thin elastic shells, Proc. IUTAM Symposium on the Theory of Thin Elastic

Shells, North Holland, Amsterdam.

[7] Krauss, H. (1967), Thin Elastic Shells, Wiley.

[8] Love, A. E. H. (1944), A Treatise of the Mathematical Theory of Elasticity,Cuarta Edición, Dover, New York. La primera edición fue de 1892.

[9] Novozhilov, V. V. (1959), Thin Shell Theory, P. Noordhoff.

[10] Pfluge, A., (1964), Estática Elemental de las Cáscaras, EUDEBA, Buenos Aires(Traducción del original en alemán de 1960).

[11] Timoshenko, S. y Woinowski-Krieger, S. (1959), Theory of Plates and Shells,Segunda Edición, McGraw-Hill.

[12] Ugural, A. C. (1981), Stresses in Plates and Shells, McGraw-Hill.

[13] Godoy, L. A., Prato, C. A. y Flores, F. G. (2000) Introducción a la Teoría deElasticidad, Universitas/ AMCA, Córdoba.

[14] Collatz, L. (1960), The Numerical Treatment of Differential Equations, TerceraEdición, Springer Verlag, Berlín.

87

BIBLIOGRAFÍA 88

[15] Florin, G. (1980), Theory and Design of Surface Structures: Slabs and Plates,Trans Tech Publications, Rockport, MA.

[16] Godoy, L. A. (1986), Ill-conditioned stars in the finite difference method forarbitrary meshes, Int. J. Computers and Structures, vol. 22(3), 469-73.

[17] Luccioni, B. y Godoy, L. A. (1988), Condiciones de contorno en el métodode diferencias finitas con mallas arbitrarias, Revista Internacional de MétodosNuméricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, vol 4(1), 31-40.

[18] Szilard, R. (1974), Theory and Analysis of Plates: Classical and NumericalMethods, Prentice-Hall.

[19] Flores, F.G. y Oñate, E. (2001), A basic thin shell triangle with only transla-tional DOFs for large strain plasticity, Int. J. for Num. Methods in Engng., vol51(1), pp. 57-93.

[20] Melosh, R. J. (1963) Basis for the derivation of matrices in the direct stiffnessmethod, AIAA Journal, vol. 1, pp. 1631.

[21] Oñate, E. (1995), Cálculo de estructuras por el método de elementos finitos.Análisis estático lineal. CIMNE, Barcelona.

[22] Wilson, R. R. y Brebbia, C. A. (1971), Dynamic behaviour of steel foundationsfor turbo-alternators, Journal of Sound and Vibrations, vol. 18, pp. 405-416.

[23] Zienkiewicz, O. C. y Taylor, R. L. (2005), The Finite Element Methods forStructural and Solid Mechanics, Sixth edition, Elsevier. Capítulos 11 y 12.

[24] Cheung, Y. K., Finite Strip Method in Structural Analysis, Pergamon Press,Oxford, 1976.

[25] Alvarez, L.M., Analisis de Estructuras Laminares Plegadas Prismaticas, In-forme Técnico, Departamento de Estructuras, FCEFyN, Universidad Nacionalde Córdoba, Febrero, 1973.

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