NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL

3.7. Nedoločeni integral

Gaussova krivulja je graf funkcije

µ ∈ IR - matematično upanjeσ ∈ IR, σ > 0 - standardni odklon

Kako izračunati ploščino med Gaussovo krivuljo inabscisno osjo?Splošno: kako izračunati ploščino krivočrtno omejenegalika?

2

2

1,

x

e

DEFINICIJA. Nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f na intervalu I ⊆ Df je tista funkcija F, za katero velja

F ’(x) = f(x) za vsak x ∈ I.

Ker velja za poljubno konstanto C enakost

(F(x) + C)’= F ’(x) = f(x),

zapišemo nedoločeni integral

integralski znak, f(x) integrand, x integracijska spremenljivka, dx diferencial integracijske spremenljivke

CxFdxxf )()(

Elementarni nedoločeni integrali

Funkcija f(x) Nedoločeni integral

Konstantna funkcija 1

Potenčna funkcija

Eksponentna funkcija

Trigonometrične funkcije

rx 1,1

1

rCr

xr

xa Ca

a x

ln

Cex xe

Cx ln

Cx sinxcos

Cx cosxsin

Cx tan

x2sin1 Cx cot

x2cos1

Cx

x

1

Elementarni nedoločeni integrali

Funkcija f(x) Nedoločeni integral

21

1

x

Caxx )ln( 22

Cx arcsin

21

1

x Cx arctan

22

1

ax

Lastnosti nedoločenega integrala

IZREK. Če obstajata nedoločena integrala funkcij f ing, obstaja tudi nedoločeni integral njune vsote (oziromarazlike) in je enak vsoti (razliki) integralov

POSLEDICA. Če obstajajo nedoločeni integrali funkcijf1, f2 . . . fn, obstaja tudi nedoločeni integral njihove

vsotein velja

dxxgdxxfdxxgf )()())((

dxxfdxxfdxxfdxxfff nn )()()())(( 2121

IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f,obstaja tudi nedoločeni integral funkcije C f, pri čemerje C poljubna konstanta in velja

IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f in čeje x = x(t) odvedljiva funkcija, obstaja tudi nedoločeniintegral funkcije f(x(t)) x’(t) in velja

dxxfCdxxCf )()(

dttxtxfdxxf )('))(()(

Primer. Izračunajte dane integrale.

dxxxx )( 124

dxxx )( 3

dxx

xx 522

Metode integriranjaUvedba nove spremenljivke

Če iskanega nedoločenega integrala ni v tabelielementarnih integralov, poiščemo tako novospremenljivko t (če obstaja), da najdemo integral med elementarnimi integrali.

Nekaj primerov funkcij, ki jih lahko integriramo z uvedbo nove spremenljivke:

dxxf )(

dttxtxf )('))((

)(

)('),(')(, za )(')(

xf

xfxfxfIRrxfxf r

Primer. Izračunajte dane integrale.

dxx 3)52(

dxx

xln

dxxxx )32()43( 52

Integriranje po delih (metoda ”per partes”)

IZREK. Naj bosta funkciji u in v odvedljivi in naj

obstaja eden od integralov in .

Tedaj obstaja tudi drugi integral in velja

Primeri funkcij, ki jih lahko integriramo po delih:

pri čemer je p(x) polinom.

dxuv' vdxu'

dxxvxuxvxudxxvxu )()(')()()(')(

vduuvudv

xxpexpxxpxxp x ln)(,)(,cos)(,sin)(

Primer. Izračunajte dani integral.

xdxx cos

3.8. Določeni integral

Kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega lika?

Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in pozitivna.

Interval [a, b] razdelimo na n podintervalov

Širine podintervalov so

Naj bo ∆ širina največjega podintervala:

bxxxxa n 210

nkxxk kk ,,2,1,: 1

nkk ,,2,1;max:

Na vsakem podintervalu si izberimo poljubno vrednost

in zapišimo vsoto ploščin pravokotnikov

je Riemannova ali integralska vsota.

IZREK. Zaporedje Riemannovih vsot jekonvergentno.

n

kkknnn ffffP

12211 )()()()(

nkkk xxxxxx 122110

nP

,, 21 PP

DEFINICIJA. Določeni integral funkcije f na intervalu[a, b] je

Oznake: a – spodnja meja določenega integrala,b – zgornja meja določenega integrala,[a, b] – integracijski interval.

n

kkk

b

an

fdxxf10

)(lim)(

Geometrijska interpretacija določenega integrala

Določeni integral funkcije f na intervalu [a, b] je enakploščini lika, omejenega s krivuljo y = f(x) in osjo x naintervalu od a do b.

DEFINICIJA. Funkcija f je integrabilna na intervalu[a, b] natanko tedaj, ko obstaja določeni integral

b

a

dxxf .)(

Lastnosti določenega integrala

Naj bo funkcija f integrabilna na intervalu [a, b]. Tedajvelja

1.

POSLEDICA. Če je ima funkcija f na intervalu [a, b] oba predznaka, je ploščina med krivuljo in osjo x enaka

b

a

dxxfbaxxf 0)(, vsak za 0)(

b

a

dxxfbaxxf 0)(, vsak za 0)(

b

a

dxxfP )(

2.

3. Naj bo a < c < b. Tedaj velja

(Posplošitev: točka c lahko leži tudi zunaj intervala [a, b].)

4.

5. Oznaka integracijske spremenljivke v določenem integralu je irelevantna:

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

0)( a

a

dxxf

b

a

b

a

b

a

duufdttfdxxf )()()(

IZREK O POPREČNI VREDNOSTI

Če je funkcija f na na intervalu [a, b] integrabilna in jeM natančna zgornja meja, m pa natančna spodnja mejafunkcije f na intervalu [a, b], obstaja natanko določenoštevilo , tako da velja

Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna, obstaja natem intervalu vsaj eno število ξ [∈ a, b], tako da je

f

).()( abfdxxfb

a

).()()( abfdxxfb

a

Zveza med določenim in nedoločenim integralom

Določeni integral kot funkcija zgornje meje

Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] integrabilna in naj bo x [∈ a, b]. S predpisom

je definirana funkcija F: [a, b] → IR (določeni integralje funkcija zgornje meje).

x

a

dttfxF )(:)(

IZREK. Funkcija F je zvezna na intervalu [a, b].

IZREK. Če je funkcija f zvezna na intervalu [a, b], je funkcija Fodvedljiva in velja

F ’(x) = f(x) za vsak x [∈ a, b].

IZREK. Newton – Liebnitzova formula

POSLEDICA. Določeni integral obstaja pri vsaki zvezni funkciji.

Primer. Izračunajte dani določeni integral. Rezultat geometrijsko interpretirajte.

)()()( aFbFdxxfb

a

2

0

2dxx

3.9. Uporaba določenega integrala3.9.1. Ploščina med krivuljama

Predpostavke:

• funkciji f in g naj bosta integrabilni, • naj bosta x1 in x2 rešitvi enačbe f(x) = g(x), pri tem pa naj bo x1 < x2,• naj bo f(x) > g(x) za vsak x [∈ x1, x2].

Ploščina lika, ki ga oklepata krivulji y = f(x) in y = g(x) je tedaj enaka

2

1

))()((x

x

dxxgxfP

Primer. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij

in .

2)( xxf xxg )(

3.9.2. Prostornina vrtenine

Funkcija f naj bo integrabilna na intervalu [a, b ]. Krivuljo y = f(x) zavrtimo okrog osi x. Prostornina takonastale vrtenine (rotacijskega telesa) je

b

a

dxxfV )(2

Primer. Lik, ki ga omejujeta os x in graf funkcije na

intervalu , zavrtimo okrog osi x. Izračunajte prostornino

nastale vrtenine.

xxf )(

4,0

Vprašanja, naloge

1. S primerom in sliko ponazorite izrek o povprečni vrednosti funkcije na danem intervalu. Kakšen je geometrijski pomen vrednosti ?

2. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo abscisna os in grafa funkcij in . Izračunano ploščino še ocenite s ploščino trikotnika, ki ima osnovnico na abscisni osi med temenoma danih krivulj in vrh v presečišču teh krivulj. Kolikšni sta absolutna in relativna napaka ocene? Krivulji, lik in trikotnik tudi skicirajte.

f

b

a

dxxfab

f )(1

2xy 2)2( xy

3. Z določenim integralom izračunajte ploščino trikotnika s stranicami dolžine 3, 4 in 5.

4. Z določenim integralom izračunajte prostornino valja s polmerom dolžine 3 in višino dolžine 5.