NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

“CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO’’

PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES

1-A um teatro compareceram 519 homens e 385 mulheres. Quantas pessoas foram ao teatro?

2-Numa livraria havia 586 livros de poesia. Foram vendidos 283. Quantos livros ainda não foram

vendidos?

3-Luana tem 75 livros. Suzana tem o triplo dos livros de Luana. Quantos livros Susana têm?

4-Numa escola a diretora guardou 56 tubos de cola em 7 caixas. Quantos tubos ela guardou em cada

caixa, se em cada uma colocou a mesma quantidade?

5-Paula Ana e Marta são irmãs e todas elas ganham mesadas do pai, só que cada uma ganha um

valor diferente. Paula ganha R$ 70,00 por mês, Ana ganha R$ 60,00 e Maria R$ 50,00. Qual o total

que o pai das meninas precisa separar no mês para pagar as mesadas?

6-Fabrício tinha 320 reais para pagar as contas (117 reais de energia elétrica, 58 reais de água e 88

reais de telefone) e para fazer algumas compras. Quanto lhe restou para fazer as compras?

7-Na escola de Pedro há 8 classes de 35 alunos, 5 classes de 33 alunos e 12 classes de 30 alunos.

Qual é o total de alunos nessa escola?

8- Quarenta oito balas foram repartidas entre três crianças, Ana, Maria e João. Quantas balas cada

uma receberam?

9-Ana tinha 500 reais no banco. Na segunda-feira retirou 250 reais e na terça-feira fez um depósito

de 180 reais. Qual o valor do seu saldo?

10-Da mesada que ganhei R$ 180,50 gastei 32,80 no primeiro dia e 42,90 no segundo dia. Quanto

ainda possuo?

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

Introdução

As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais

corriqueiras do cotidiano:

Qual a área desta sala?

Qual a área desse apartamento?

Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?

Qual a área dessa quadra de futebol de sete?

Qual a área pintada dessa parede?

Superfície e área

Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza,

portanto, um número.

METRO QUADRADO

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de

lado.

Múltiplos Unidade

Fundamental Submúltiplos

quilômetros

quadrado

hectômetro

quadrado

decâmetro

quadrado

metro

quadrado

decímetro

quadrado

centímetro

quadrado

milímetro

quadrado

km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

1.000.000m2 10.000m

2 100m

2 1m

2 0,01m

2 0,0001m

2 0,000001m

2

O dam2, o hm

2 e km

2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm

2, o cm

2e o mm

2

são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:

1)Leia a seguinte medida: 12,56m2

km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

12, 56

Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a

uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2

km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3)Leia a seguinte medida: 0,917 dam2

km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Pé = 30,48 cm

Polegada = 2,54 cm

Jarda = 91,44 cm

Milha terrestre = 1.609 m

Milha marítima = 1.852 m

Observe que:

a)1 pé = 12 polegadas b) 1 jarda = 3 pés

MEDIDAS AGRÁRIAS

As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas,

etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um

submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade

agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalência

de valor 100ª 1a 0,01a

Lembre-se:

1 ha = 1hm2

1a = 1 dam2

1ca = 1m2

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície,

cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:

Observe as seguintes transformações:

transformar2,36 m2 em mm

2.

km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

Para transformar m2 em mm

2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000

(100x100x100).

2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

transformar 580,2 dam

2 em km

2.

km2 hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

Para transformar dam2 em km

2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,37 dm2 em mm

2 (R: 83.700 mm

2)

2) Transforme 3,1416 m2 em cm

2 (R: 31.416 cm

2)

3) Transforme 2,14 m2 em dam

2 (R: 0,0214 dam

2)

4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)

MEDIDAS DE VOLUME

Introdução

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões:

comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular

medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida

correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade

Fundamental Submúltiplos

quilômetro

cúbico

hectômetro

cúbico

decâmetro

cúbico metro cúbico

decímetro

cúbico

centímetro

cúbico

milímetro

cúbico

km3 hm

3 dam

3 m

3 dm

3 cm

3 mm

3

1.000.000.000m3

1.000.000

m3

1.000m3 1m

3 0,001m

3 0,000001m

3

0,000000001

m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares.

Devemos utilizar porem, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar

incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m3

km3 hm

3 dam

3 m

3 dm

3 cm

3 mm

3

75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

Leia a medida: 0,0064dm3

km3 hm

3 dam

3 m

3 dm

3 cm

3 mm

3

0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Transformação de unidades

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada

unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

Transformar2,45 m3 para dm

3.

km3 hm

3 dam

3 m

3 dm

3 cm

3 mm

3

Para transformar m3 em dm

3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm3

Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,132 km3 em hm

3 (R: 8.132 hm

3)

2) Transforme 180 hm3 em km

3 (R: 0,18 km

3)

3) Transforme 1 dm3 em dam

3 (R: 0,000001 dam

3)

4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm

3 (R: 3,88 m

3

Medidas de capacidade

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este

recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1litro = 1dm3

Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1litro = 1dm3

1ml = 1cm3

1kl = 1m3

Leitura das medidas de capacidade

Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal

kl hl dal L dl cl ml

2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

PERÍMETRO DE UM POLÍGONO

Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

PERÍMETRO DO RETÂNGULO

b - base ou comprimento

h - altura ou largura

Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)

PERÍMETRO DOS POLÍGONOS REGULARES

Triângulo equilátero Quadrado

P = l+ l + l

P = 3 · l

P = l + l + l+ l

P = 4 · l

Pentágono Hexágono

P = l + l + l + l + l

P = 5 ·

P = l + l + l + l + l + l

P = 6 · l

l - medida do lado do polígono regular

P - perímetro do polígono regular

Para um polígono de n lados, temos:

P = n · l

COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

Um pneu tem 40 cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu

corresponde na horizontal a quantos centímetros?

Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o

bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.

Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco

superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo

não experimental.

Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:

Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu

diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.

Assim:

O número 3,141592...corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi"), que é a primeira lera

da palavra grega perímetro. Costuma-se considera π = 3,14.

Logo:

Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de

qualquer circunferência.

Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da

roda obtido experimentalmente.

C = 2 r C = 2. 3,14 · 20 C = 125,6 cm

3,141592...

CÁLCULO DE ÁREA EXEMPLOS

1-A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?

: .A área do quadrado é de 400 cm2.

2-Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste

terreno?

. A área deste terreno é de 125 m2.

3-A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm,

qual é a área deste triângulo?

A área deste triângulo é 12,25 cm2.

4-A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?

A área da lente da lupa é de 78,54 cm2.

Exercícios

5-Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície?

6- Calcular a área e o perímetro das figuras a baixo;

b)b) b) c c) c)

a)

7-Um terreno mede 20m por 65m. Calcule a área e o perímetro desse terreno.

8-Uma sala quadrangular mede 6m por 6m; pede-se:

a) Quantos metros quadrados de cerâmica vão para revestir essa sala?

b) Se o metro quadrado de cerâmica custa R$ 11, 20, quanto vou gastar?

9-Um atleta deu 10 voltas ao redor de uma pista circular, de 5 metros de raio. Quantos metros o

atleta andou?

10- um campo mede 110 metros por 90m. Pede-se:

a)Qual é a área desse campo?

b)Um atleta andouoito voltas e meia ao redor desse campo, quantos metros andou?

c)Quantas hectares tem esse campo?

11-A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?

12-A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?

13-Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste

terreno?

14-A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?

10,5m

7,8m

8,6cm

8,6cm

10m

m

VOLUME E CAPACIDADE DE UM CUBO E DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO

1-Um tanque de forma cúbica tem 2metros de aresta. Calcule o volume do tanque em metros

cúbicos

(utilizando a formula V= aresta x aresta x aresta )

V= 2x2x2 = 8m3 logo tem 8.000 litros

2-A piscina da casa de João possui o formato de um paralelepípedo e a capacidade deve ser

determinada através da multiplicação das três dimensões.

Veja:

comprimento x largura x profundidade

8 m x 5 m x 1,5 m = 60 m³ (sessenta metros cúbicos)

A medida de 1 m³ (metro cúbico) corresponde a 1000 litros. Portanto, 60 m³é igual à

capacidade de 60. 000 litros.

A piscina da casa de João tem a capacidade de 60. 000 litros de água.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores

dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já

conhecidos.

Passos, utilizadosna resolução de uma regra de três simples:

1º Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na

mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

30 Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a

energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área

para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 X

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são

diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no mesmo sentido (para baixo) na

1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado

percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada

fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 X

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são

contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente

proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5

camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)

3 120

5 X

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são

diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20

dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe

fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20

5 X

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são

inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

REGRA DE TRÊS COMPOSTA.

A regra de três compostas é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou

inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões

serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada

linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que

contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto

a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é

diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o

termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos

serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é

diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é

diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o

termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3

pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse

muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois se colocam flechas

concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordante para as

inversamente proporcionais como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12dias

Exercícios complementares

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher

2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for

aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m.

Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um

muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade

média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a

uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em

50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos

em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

6) Um ingresso de show custa R$ 15,00, então, o custo de 06 bilhetes será ?

7) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá

em 06 horas?

8) Um certo alimento tem o custo de R$ 5,00 por 05 quilos. Calcular o preço de 10 quilos deste

alimento.

9) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens

serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?

10)Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros

poderão fazer 320 tortas?

11Certa quantidade de suco foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas.

Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma

quantidade de suco?

12)Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um

congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse

ônibus?

13)Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada

uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas,

quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média?

14) Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um

bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango?

15) Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer tal tanque com apenas

2500 litros, qual o tempo necessário?

16) Em 15 minutos eu consigo descascar 2kg de batatas. Em uma hora conseguirei descascar

quantos quilogramas?

17) Um trem com 4 vagões transporta 720 pessoas. Para transportar 1260 pessoas, quantos vagões

seriam necessários?

18) Uma doceira faz 300 docinhos em 90 minutos. Se ela dispuser de apenas 27 minutos, quantos

docinhos conseguirá fazer?

19) Um barco pesqueiro tem uma produção de 15 toneladas por viagem. Para uma produção de 90

toneladas, qual é o número necessário de viagens?

20) Uma vela com pavio de 10cm demora 45 minutos para queimar por inteiro. Para queimar 3 cm

desta vela, qual o tempo necessário?

21) Um artesão consegue fazer três bonecos em 18 minutos. Em oito horas de trabalho quantos

bonecos este artesão conseguiria produzir?

22)Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas

impressoras produziriam 2000 desses panfletos?

23)Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para

o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de

marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?

24)Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para

torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de

letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas

ocupadas:

MATEMÁTICA FINANCEIRA

PORCENTAGEM:

Porcentagem: é muito utilizado no mercado financeiro, seja na hora de obter um desconto, calcular

o lucro na venda de um produto ou medir as taxas de juros. Na engenharia, por exemplo, a

porcentagem pode ser utilizada para definir o quanto já foi construído de um prédio. Em

Administração, pode ser usada para medir as quotas de participação dos sócios em um negócio. O

cálculo percentual nada mais é que a multiplicação de um valor qualquer pelo percentual desejado

edividido por cem Exemplos:

1-Carlos jogou fora 20% das 10 laranjas que ele tinha. Quantas laranjas foram para o lixo?

10 x 20/100= 2 laranjas

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual a taxa

percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que

aumentou em relação a esses R$250,00, resulte em R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Exercícios

1-Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores

ensinam Matemática nessa escola?

2-Na compra de um aparelho obteve desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Pagou-se

R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

3-Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8%

dessas faltas. Quantos gols de faltas esse jogador fez?

4-Calcule as porcentagens correspondentes:

a) 2% de 700 laranjas

b) 40% de 48 m

c) 38% de 200 Kg

d) 6% de 50 telhas

e) 37,6% de 200

f) 22,5% de 60

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor

apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de

20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante.

Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de

Multiplicação

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00

1-João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu trabalho, seu

patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário. João recebeu de

gratificação

(A) R$ 100,00 (B)R$ 125,00(C) R$ 250,00 (D) R$ 350,00

Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o preço era

R$30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu fazer um desconto de

15%, e a bolsa passou a custar o mesmo que na loja B.Qual o preço da bolsa

na loja B?

Desconto

Fator de

Multiplicação

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Resolução:

0,15 A = 30,00A = 200,00

B = 200,00 – 30,00 = R$ 170,00

Exercícios:

1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada.

a) Um apartamento foi vendido por R$ 162.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor.

b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do

corretor. Determine o valor da comissão.

2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento?

3-João comprou uma TV e resolveu pagar à prazo, pois não podia pagar à vista. Sabendo que o

valor à vista é de R$ 1500,00 e que o valor total à prazo é 15% maior que o valor à vista, responda:

Quanto João vai pagar no total?

a)R$ 1575,00 b)R$ 1650,00 c)R$ 1725,00 d)R$ 1800,00 e)R$ 1875,00

4-Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original dele. Se o

vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou?

a)R$ 59,50 b)R$ 58,80 c) R$ 58,20 d)R$ 57,60 d)R$ 57,00 e)Nenhuma

5-No dia 1 deste mês, um produto estava sendo vendido por R$ 400,00. No dia 10, esse produto

sofreu uma redução de 50% no seu preço. No dia 20, ele foi reajustado com um aumento de 50%.

Escolha a alternativa correta.

( ) O produto estava mais barato no dia 1 do que no dia 20.

( )No dia 20 o produto estava com o mesmo preço que ele estava no dia 1.

( )O produto estava mais barato no dia 20 do que no dia 1

6-Ana tem 20 anos e morou durante 5 anos nos Estados Unidos, 4 anos na Austrália e o resto no

Brasil. Em porcentagem, quantos anos ela morou no hemisfério sul?

a)20% b)25% c)50% d)60% e)75%

7- Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveram-se 900

famílias carentes. A prefeitura começou programar esse programa atendendo, no 1º mês 15% dessas

famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais que o mês imediatamente

anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido do total de famílias.

a) 21%b) 40%c) 45%d) 52%e) 55%

8- Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a

quantos por cento do meu salário?

9- Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?

10- Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200

km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu

carro?

11- Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos

por cento eu perdi desta quantia?

12- Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de

refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas

eu quebrei?

13- Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido

toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por

ter levado gelo a preço de frango?

14-Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a

possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de

fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel?

15- Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi

obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-

roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

16- Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi

ovalor pago em reais?

17- Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12% sobre o

seupreço. Quanto ele passou a custar?

18-Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela,

apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra?

19- Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após

certoperíodo, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim

opreço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor

(preçode tabela)?

20-De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a

taxapercentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.

21-Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um

número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com

número ímpar?

22-Uma caneta que custava R$ 60,00 sofreu um desconto de 5%.Quanto você pagará por essa

caneta?

23-Por quanto deverei vender uma mercadoria que me custou R$ 720,80 para lucrar 30%?

24- Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?

25- Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa

percentual de lucro?

26- Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de

17%?

27-Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 130,40 sofreu um acréscimo de 2,5%. Qual é o

novo valor dessa prestação?

28-Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados.Qual a taxa de porcentagem dos alunos

aprovados e reprovados?

29- Um produto foi comprado por R$ 280,00 e revendido posteriormente por R$ 440,00, qual a taxa

percentual de lucro?

30-Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro?

31-Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas.Qual a taxa de

porcentagem das frutas estragadas?

32- Calcular as porcentagens:

a) 2,3% de R$ 128,00

b) 0,9% de R$ 680,00

c) 10% de R$ 688,90

d) 0,5% de R$ 1234,00

e) 12% de 980,00

CONCEITOS BÁSICOS

Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como:

Principal Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros

Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do

saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de

tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for

capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta

abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a

quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a

remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a

médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as

aplicaçõesfinanceiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa,

etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de

curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado

período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do

período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por

100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

OBS; A taxa ( i) e o tempo ( t) devem estar na mesma unidade

Exercícios

1) O dono de uma empresa resolveu dar um aumento de 5% para todos os funcionários. Qual o fator

que deve ser multiplicado pelos salários atuais para obter os novos salários?

2) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 460,00. Qual era o preço do

aparelho antes do aumento?

3)A partir de 1º de abril de 2006, o salário mínimo passou de R$ 300,00 para R$ 350,00. Qual o

percentual de aumento?

4) Observe a tabela abaixo: (Referência: Exames Supletivos –SEE/RJ 2004)

CANDIDATOS NÚMERO DE VOTOS

A 6000

B 5000

C 5500

D 3500

E 4000

TOTAL DE VOTOS

VÁLIDOS 24000

Obs.: Os votos brancos e nulos foram descartados por não serem considerados válidos.

O percentual de votos do candidato vencedor foi: 25%,30%,32%,35%

Fórmula para calcular juros simples

1-Imagine que peguemos um empréstimo de R$ 1.000,00 para pagar em um mês, com taxa de

juros de 15% ao mês. Se o empréstimo for pago em um mês os juros serão simples, logo:

J = C.I. T. Logo J = juros ,C = capital = R$ 1000,00 , i = taxa de juros = 15% ao mês

t = tempo = 1 mês

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$ 400,00 emprestados por três meses. O banco cobrou 5% de juros

(simples) ao mês. Quanto seu pai deve pagar ao final dos três meses?

5% de R$ 400,00 é: 400/100 X 5 = 20

Logo seu pai vai pagar R$ 20,00 por mês. Como são três meses eles deve pagar R$ 60,00 de juros.

"Então ele pega R$ 400,00 e paga só R$ 60,00?"

Não, ele irá pagar R$ 400,00 mais R$ 60,00 o que totaliza R$ 460,00.

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?

Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) t = 10 meses

J = C .i . t

J = 1200 .0,02 . 10

J = 240 Montante = Capital + juro M = 1200 + 240 = 1440

4- Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167

logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

j = 1200 x 0.195 = 234

Exercícios de fixação.

1) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do

montante após 5 meses de aplicação? (Resposta R$ 609,50)

2) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um

montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? (R 4anos)

3) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um

trimestre? (RespR$ 2000,00)··

4) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema de capitalização simples, para

que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00?( Resp 3% ao mês)

5) Quanto rendeu a quantia de RS 600,00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % ao mês, no

final de 1 ano e 3 meses? (RespR$ 225,00)

6) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou um

montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? (Resp5 meses)

7) Uma dívida de RS 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$

60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?( Resp 1% ao

mês)

8) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de

24 meses. Qual foi esse capital? ( Resp R$ 220,00)

9) Em 1º de março de 2004 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4000,00, a juros simples, com

taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida em 1º de julho de 2004?

(RespR$ 4640,00)

10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de

juros simples, a taxa de 2% ao mês. (Resp50 meses)

11)Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses.

Determine os juros e o montante dessa aplicação.

12)Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um

montante de R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado.

13)Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

14)Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125

dias.

JURO COMPOSTO

Fórmula para calcular juro composto M=C.( 1 + I )t.

Logo:

M = montante

C = capital

I = taxa dividida por 100

T = tempo

Exemplo resolvido

1) Exemplo: Um mutuário comprou um apartamento por R$ 100.000,00 financiado por um

banco com taxa de juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo no primeiro mês, ele

perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação. Qual será o valor do montante

(tudo que ele deve) ao final de 10 anos?

M = montante

C = capital inicial = 100.000,00

i = taxa de juros = 15% ao ano t = tempo = 10 anos

Resposta: Ao final de 10 anos o montante (principal mais juros) será de R$ 404.555,77, ou

seja, ele deve mais de 4 apartamentos.

2) Exemplo: Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma

taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por

12 meses, qual será o montante final?

M = montante

C = capital inicial = R$ 1000,00

i = taxa de juros = 0,5% ao mês

t = tempo = 12 meses

Resposta: Ele ganhou a estratosférica quantia de R$ 61,68 para emprestar R$ 1.000,00, para o

banco, por 1 ano.

3-Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos:

a) 4% a.m e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses

4-Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, de R$ 600,00, à taxa composta de 4%

ao mês.

Resolução:

A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12

capitalizações.

C = R$ 600

i = 4% = 0,04

n = 12

M = C (1 + i)n

M = 600 (1 + 0,04)12

M = 600 (1,04)12

M = 600 · 1,60103

M = R$ 960,62

5-O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos

juros compostos produzidos?

Resolução:

C = R$ 500

i = 5% = 0,05

n = 8 (as capitalizações são mensais)

M = C (1 + i)n

M = 500 (1,05)8

M = R$ 738,73

O valor dos juros será:

J = 738,73 – 500

J = R$ 238,73

6- Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos

de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

Resolução:

M = R$ 477,62

i = 3% = 0,03

n = 6 (as capitalizações são trimestrais)

M = C (1 + i)n

477,62 = C (1,03)6

C = R$ 400,00

Exercícios

1-Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado

ao final de 2 meses, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?

2-Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 3 meses, à

taxa de 3,5% ao mês.

3-Um pequeno investidor aplicou R$ 200,00 (duzentos reais) com rendimento de 1% (um por

cento) de juros compostos ao mês. O valor total em dinheiro dessa aplicação, ao final de três meses,

é:

4-Determine o montante aproximado da aplicação de um capital de R$ 12.000,00 no regime de

juros compostos, com uma taxa de 1% ao mês, após três meses de aplicação.

a)R$ 12.305,75 b)R$ 12.276,54 c)R$ 12.363,61

d)R$ 12.234,98 e)R$ 12.291,72

5-João obteve um empréstimo de R$ 5.000,00 para pagá-lo 3 meses depois. Sabendo que a taxa de

juros composta cobrada pela instituição foi de 2,0% ao mês, o valor que João pagou para quitar o

empréstimo foi, em reais, de:

a)5100,00b)5.202,00 c)5.300,00 d)5.306,04 e)5.314,20

6-Antônio aplicou R$ 12.000,00 em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a juros

simples, a uma taxa de 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplica

totalmente em um outro banco, durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 5% ao semestre.

No final da segunda aplicação, o valor do montante é de:

a) R$ 15.214,50 b) R$ 14.817,60 c) R$ 14.784,40

d) R$ 13.800,00 e) R$ 13.230,00

NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possível

Exemplos:

a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)

b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural)

c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)

Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,

-1, -2, -3,.........lê-se: menos um ou 1 negativo lê-se: menos dois ou dois negativo lê-se: menos três

ou três negativo

Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos números

inteiros relativos, que será representado por Z.

Z = { .....-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,......}

Exercícios

1) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as

temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números

inteiros relativos:

a) 5° acima de zero = (R: +5 )b) 3° abaixo de zero = (Resposta -3)

c) 9°C abaixo de zero= (R: -9) d) 15° acima de zero = ( +15)

REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA

Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida,

assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma

unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.

_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_

-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6

1) Escreva os números inteiros:

a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6)

b) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 )

c) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2)

d) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2)

e) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1)

f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)

COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.

-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_

-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6

Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o menor

deles.

a) -1 maior; -4, porque -1 está à direita de -4.

b) -4 menor -2 , porque -4 está à esquerda de -2.

c) +2 maior; -4, porque +2 está a direita de -4

d) -2 menor +1, porque -2 está à esquerda de +1.

Exercícios

1) coloque os números em ordem crescente.

a) -9,-3,-7,+1,0 (Resposta -9,-7,-3,0,1)

b) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)

c) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)

d) +60,-21,-34,-105,-90( R: -105,-90,-34,-21, +60)

e) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)

f) -400,+620,- 840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS

ADIÇÃO

1) Adição de números positivos

A soma de dois números positivos é um número positivo.

EXEMPLOS

a) (+2) + (+5) = +7 b) (+1) + (+4) = +5 c) (+6) + (+3) = +9

Simplificando a maneira de escrever

a) +2 +5 = +7 b) +1 + 4 = +5 c) +6 + 3 = +9

2) Adição de números negativos

A soma de dois números negativos é um número negativo

Exemplos:

a) (-2) + (-3) = -5 b) (-1) + (-1) = -2 c) (-7) + (-2) = -9

Simplificando a maneira de escrever

a) -2 - 3 = -5 b) -1 -1 = -2 c) -7 - 2 = -9

3) Adição de números com sinais diferentes

a) (+6) + ( -1) = +5 b) (+2) + (-5) = -3 c) (-10) + ( +3) = -7

EXERCÍCIOS 1) Dados os números x= 6, y = 5 e z= - 6, calcule:

a) x + y = (Resposta: +11) b) y + z = (R: -4) c) x + z = (R: -3)

2) Calcule

a) 4 + 10 + 8 = (Resposta: 22) b) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24)

c) 5 - 9 + 1 = (R: -3) d) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1)

e) -8 - 2 + 3 = (R: -7) f) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20)

g) -15 + 8 - 7 = (R: -14) h) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20

i) 24 + 6 - 12 = (R:+18) j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19)

3) Calcule

a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (Resposta: -9) b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)

c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0) d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)

e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13) f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )

g) -2 + (-1) -6 = (R: -9) h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)

i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 ) j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)

l) - 50 - (+7) - 43 = (Resposta -100) m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)

n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11) o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)

p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40) q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)

EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

Lembrem-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:

10

parênteses () 20 colchetes [ ] 3

0 chaves { }

EXERCICIOS

1° exemplo

8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5)=

8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 =

23 - 2 = 21

2° exemplo

10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6)]=

10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =

10 - 3 + 1 + 2 - 6 =

13 - 9 = 4

3° exemplo

-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]}

-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =

-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =

-17 +5 - 2 - 6 + 9 =

-25 + 14 = - 11

Exercícios

Calcule o valor das seguintes expressões:

1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (Resposta: 17)

2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )

3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)

4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)

5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )

6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)

7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)

8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)

9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)

10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)

11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)

12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)

13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)

14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )

15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)

16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)

17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )

18) -{ -2 - [ -3 - (- 5 + 1) ]} - 18 = (R: -13)

19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)

20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS.

MULTIPLICAÇÃO

1) Efetue as multiplicações:

a) (+8). (+5) = (Resposta: 40) b) (-8).(-5) = (R: 40)

c) (+8) .(-5) = (R: -40) d) (-8) . (+5) = (R: -40)

e) (-3). (+9) = (R: -27) f) (+3).(-9) = (R: -27)

g) (-3) . (-9) = (R: 27) h) (+3). (+9) = (R: 27)

i) (+7) . (-10) = (R: -70) j) (+7) . (+10) = (R: 70)

l) (-7) . (+10) = (R: -70) m) (-7). (-10) = (R: 70)

2) Efetue os produto

a) (-3). (+2). (-4). (+1). (- 5) = (Resposta -120)

b) (-1) . (-2). (-3). (-4). (-5) = (R: -120)

c) (-2) . (-2). (-2). (-2). (-2). (-2) = (R: 64)

d) (+1) . (+3). (-6). (-2). (-1). (+2)= (R: -72)

e) (+3). (-2). (+4). (-1). (-5). (-6) = (R: 720)

f) 5 . (-3). (-4) = (R: +60)

DIVISÃO

Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação

Observe:

a) (+12) : (+4) = (+3) b) (-12) : (-4) = 3 c) (+12) : (-4) = (-3) d) (-12) : (+4) = (-3),

1)Calcule o quocientes(divisões)

a) (-48): (+12) = (Resposta: -4) b) (-32): (-16) = (R: 2)

c) (+60): (-12) = (R: -5) d) (-64): (+16) = (R: -4)

e) (-28): (-14) = (R: 2) f) (0): (+5) = (R: 0)

2) Resolver as expressões

b) -8 + 12: 3 = (R: -4) c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)

d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5) e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)

f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35) g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)

h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10) i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)

j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11 l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)

m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8) n) 20 + (-10). (-5) = (R: 70)

o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)

POTENCIAÇÃO

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais,

podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma:

A base sempre será o valor do fator.

O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.

A potência é o resultado do produto.

• Base positiva

Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente. Exemplo:

a)(+2)5 = (+2) . (+2). (+2). (+2). (+2) = 32

b) 30 = 1(toda base com expoente

zero, tem como potência 1).

• Base negativa

Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação.

(-5)3 = (-5). (-5). (-5) = - 125

•Expoente inteiro negativo

Toda potência de expoente inteiro negativo e base não nula é igual à potência de base igual ao

inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.

Assim:

Exemplos:

a)

b)

c)

1-Calcule as potências:

a) 23 b) 4

2 c) 5

4 d) 0

5 e) 1

6 f) 3

0

g) 40 h) 6

2 i) 24

1 j) 67

0l) 3

5m) 10

3

Base fracionária

RADICIAÇÃO

A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de

equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e

analisar suas propriedades. Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1,

chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que yn = x. O símbolo utilizado para

representar a raiz enésima de x é e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é

o índice.

Pela definição de radiciação, temos que: Exemplos:

Exemplo 1.

2- Determine as raízes:

a) √4 = b) √25 = c) √0 = d) √25 =

e) √64 = f) √81 = g) √36 = h) √100 =

i) √400 = j) √121 = k) √169 = l) √900 =

3- Calcule:

a) √25 + √16 = b) √9 + √49 = c) √1 + √0 =

d) √100 - √81 + √4 = e) √36 + √121 + √9 = f) √144 + √169 -√81 =

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a e b

números racionais e b ≠ zero, indicamos a divisão de a por b com o símbolo a: b ou, ainda a/b.

LEITURA DE UMA FRAÇÃO

Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Exemplos:

1/2 um meio 1/4 um quarto 1/6 um sexto1/8 um oitavo

2/5 dois quintos 9/8 nove oitavos 1/3 um terço 1/5 um quinto

1/7 um sétimo1/9 um nono 4/9 quatro nonos

As decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos:

1/11 um onze avos 7/120 sete cento e vinte avos 4/13 quatro treze avos

1/300 um trezentos avos 5/19 cinco dezenove avos 6/220 seis duzentos e vinte avos

As que têm denominadores 10, 100, 1000, etc...

1/10 um décimo 1/100 um centésimo

1/1000 um milésimo 7/100 sete centésimos.

Exercícios

1- Calcule o quociente das divisões

a) 12/3 = (Resposta = 4) b) 42/21 = (R = 2) c) 8/4 = (R = 2)

d) 100/10 = (R = 10) e) 56/7 = (R = 8) f) 64/8 = (R = 8 )

2) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6

a) Em quantas partes o todo foi dividido? (Resposta = 6)

b) Quantas partes do todo foram consideradas? (R = 5)

3) Escreva como se leem as seguintes frações:

a) 5/8 (Resposta = cinco oitavos) b) 9/10 (R: nove décimos) c) 1/5 (R: um quinto)

d) 4/200 ( R: quatro duzentos avos) e) 7/1000 (R: sete milésimos)

f) 6/32 (R: seis trinta e doisavos)

TIPOS DE FRAÇÕES

a) Fração própria: é aquela cujo numerador é menor que o denominador.

Exemplos: 2/3, 4/7, 1/8

b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador

Exemplo: 3/2, 5/5

c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo numerador é múltiplo do denominador

Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7·.

FRAÇÕES EQUIVALENTES

Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da fração 1/2 por

um mesmo numero natural diferente de zero.

Assim: 1/2, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2.

SIMPLIFICANDO FRAÇÕES

Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele comeu?

Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que Cláudio comeu

2/4 da pizza.

A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja:

4/8 : 2/2 = 2/4

Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.

A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração equivalente dividindo

os dois termos da fração por 2 e vamos obter 1/2.

Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo

número. Você pode simplificar uma fração por partes, veja:

Exercícios

1-simplifique as frações:

a) 14/16 =b) 18/36 =c) 5/25 =d) 12/20 =e) 21/49 =

f) 4/32 =g) 11/33 =h) 9/27 =i) 20/35 =j) 12/30 =

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES)

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1° Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de

denominadores iguais

Conclusão:Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.

Exemplo:

a) 5/7 – 2/7 = 3/7 b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3 c) 3/5 – 1/5 = 2/5

Exercícios

1) Efetue as adições

a) 3/6 + 2/6 = (Resposta: 5/6) b) 13/7 + 1/7 = (R: 14/7) c) 2/7+ 1/7 + 5/7 = (R: 8/7)

d) 4/10 + 1/10 + 3/10 = (R: 8/10) e) 5/6 + 1/6 = (R: 1) f) 8/6 + 6/6 = (R: 7/3)

2) Efetue as subtrações:

a) 7/9 – 5/9 = (Resposta: 2/9) b) 9/5 -2/5 = (R: 7/5) c) 2/3 – 1/3 = (R: 1/3)

d) 8/3 – 2/3 = (R: 6/3) e) 5/6 – 1/6 = (R: 2/3) f) 5/5 – 2/5 = (R: 3/5)

3) Efetue as operações:

a) 5/4 + 3/4 – 1/4 = (Resposta 7/4) b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = (R: 0/5)

c) 8/7 – 3/7 + 1/7 = (R: 6/7) d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = (R: 2/3)

e) 1/8 + 9/8 -3/8= (R: 7/8) f) 7/3 – 2/3 + 1/3 = (R:6/3 ) = (R: 2)

g) 7/5 + 2/5 – 1/5 = (R: 8/5) h) 5/7 – 2/7 – 1/7 = (R: 2/7)

Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de

denominadores diferentes

conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos denominadores,

como exemplos têm:

a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6

3, 2 I 2

3, 1 I 3

1, 1 I ---2 . 3 = 6

b) 2/3 – 1/4 = 8/12 – 3/12 = 5/12

3, 4 I 2

3, 2 I 2

3, 1 I 3

1, 1 I ----2 . 2. 3 = 12

EXERCÍCIOS

1) Efetue as adições:

a) 1/3 + 1/5 = (Resposta 8/15) b) 3/4 + 1/2 = (R: 5/4) c) 2/4 + 2/3 = (R: 14/12)

d) 2/5 + 3/10 = (R: 7/10) e) 5/3 + 1/6 = (R: 11/6) f) 1/4 + 2/3 + 1/2 = (R: 17/12)

g) 1/2 + 1/7 + 5/7 = (R: 19/14) h) 3/7 + 5/2 + 1/14 = (R 3) i) 4/5 + 1/3 + 7/6 = (R: 69/30)

j) 1/3 + 5/6 + 3/4 = (R: 23/12) k) 1/2 + 1/3 + 1/6 = (R: 1) t) 8 + 1/5 + 4/5 = (R: 45/5)

2) Efetue as subtrações

a) 5/4 – 1/2 = (Resposta 3/4) b) 3/5 – 2/7 = (R: 11/35)

c) 8/10 – 1/5 = (R: 6/10) d) 5/6 – 2/3 = (R: 1/6)

e) 4/3 – 1/2 = (R: 5/6) f) 13/4 – 5/6 = (R: 29/12)

g) 7/8 – 1/6 = (R: 17/24)h) 4/5 – 1/3 = (R: 7/15)

MULTIPLICAÇÃO

Vamos calcular: 2/3 x 4/5 = 8/15

Conclusão: multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si

Exemplo:

a) 4/7 x 3/5 = 12/35 b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando

EXERCICIOS

1) Efetue as multiplicações

a) 1/2 x 8/8 = (Resposta: 1/2) b) 4/7 x 2/5 = (R: 8/35)

c) 5/3 x 2/7 = (R: 10/21) d) 3/7 x 1/5 = (R: 3/35)

e) 1/8 x 1/9 = (R: 1/72) f) 7/5 x 2/3 = (R: 14/15)

g) 3/5 x 1/2 = (R: 3/10) h) 7/8 x 3/2 = (R: 21/16)

i) 1/3 x 5/6 = (R: 5/18) j) 2/5 x 8/7 = (R: 16/35)

2) Efetue as multiplicações

a) 4/3 x 1/2 x 2/5 = (Resposta: 4/15) b) 1/5 x 3/4 x 5/3 = (R: 1/4)

3) Efetuar

a) 2 x 5/3 = (Resposta: 10/3) b) 3 x 2/5 = (R: 6/5)

c) 1/8 x 5 = (R: 5/8) d) 6/7 x 3 = (R: 18/7)

e) 2 x 2/3 x 1/7 = (R: 4/21) f) 2/5 x 3 x 4/8 = (R: 3/5)

g) 5 x 2/3 x 7 = (R: 70/3) h) 7/5 x 2 x 4 = (R: 56/5)

DIVISÃO

Vamos calcular 1/2: 1/6

Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da segunda

Assim: 1/2: 1/6 = 1/2 x 6/1 = 6/2 = 3

Exemplos:

a) 2/3: 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15

b) 7/9: 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9

c) 3/7: 4 = 3/7 x 1/4 = 3/28

Exercícios

1) Efetue as divisões

a) 3/4 : 2/5 = (Resposta: 15/8) b) 5/7 : 2/3 = (R: 15/14)

c) 4/5 : 3/7 = (R: 28/15) d) 2/9 : 7/8 = (R: 16/63)

e) 1/6 : 5/3 = (R: 3/30) ou (3/10) f) 7/8 : 3/4 = (R:7/6)

g) 8/7 : 9/3 = (R: 24/63)h) 4/5 : 2/5 = (R: 2)

PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS

Os problemas com números racionais absolutos são geralmente resolvidos da seguinte forma:

10Encontrando o valor de uma unidade fracionária;

20 Obtendo o valor correspondente da fração solicitada.

Exemplo

Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem 3/4 dessa quantidade. Quantas fichas têm o meu irmão?

60 x 3/4 = 180/4 = 45

Resposta: O meu irmão tem 45 fichas

EXERCICIOS

1) Determine 2/3 de R$ 1200,00 (Resposta: 800,00)

2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. (R: 32)

3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa peça? (R:18 m)

4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros o carro percorreu?

(R: 360 km)

5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4 . Quantos quilômetros já foram percorridos?

(R: 54 km)

6) Um livro tem 240 páginas. Você estudou 5/6 do livro. Quantas paginasestudou? (R: 200)

7) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? (R: 200)

8) Os 3/4 do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? (R: 1200,00)

9) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do campeonato.

Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75)

10) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a capacidade

desse reservatório? (R: 600 litros)

11) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada?

(R: 270 km)

12) Para revestir 3/4 de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos são

necessários para revestir toda a parede? (R: 200)

13) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol?(R:

210)

14) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de

ônibus. Que distância eu percorri de ônibus? (R: 400 km)

15) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele acertou?(R: 30 )

16) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? (R: 18)

17) Um brinquedo custou R$ 152,10,. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou devendo?(R:

126,75)

RAZÕES

Introdução

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de

comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividirem o comprimento de um

deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão 1/2 pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a

2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas

as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

1-Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

2-Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma

proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção.

a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos:

Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.

Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Aplicações da propriedade fundamental

Exemplos:

1-Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 120

x = 24

Logo, o valor de x é 24.

2-Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)

5x - 15 = 8x + 4

5x - 8x = 4 + 15

-3x = 19

3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

3-Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 8 . 35

5x = 280

x = 56

Logo, o valor de x é 56.

EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Equações de primeiro grau(com uma variável)

Introdução

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra

equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:é toda equação do tipo ax+b = 0

Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois

ladosax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palabra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º

membro, e o que sucede 2º membro

Quaisquer parcela, do 1º o u do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma

ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Exercícios de Equações de 1º Grau

1-Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

X + (x + 1) + (x + 2) = 393

3x + 3 = 393

3x = 390

x = 130

Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

2- Determine o valor do X:

4x – 12 = 8

4x = 8 + 12

4x = 20

X = 20/4

X = 5

3- Resolva as equações a seguir:

a)18x – 43 = 65

b) 23x – 16 = 14 –17x

c) 10y – 5 (1 + y) = 3 (2y – 2) – 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x – 5)/10 + (1 – 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) – x2 = 5x

2

PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU

1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente um objeto

que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?

A) R$ 20,00 B) R$ 20,50 C) R$ 22,00 D) R$ 22,50

2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 90

3.José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa

dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo

da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele

percorreu após o café?

A) 87,5 B) 125,6 C) 262,5 D) 267,5 E) 272,0

4-Num estacionmento há carros e motos,totalizando 85 veículos.O número de carros é igual a 4

vezes o de moto.Qual é o número de carros e de motos presentes no estacionamento?

5-César tem 15 lápis a mais que Osmar,e José tem 12 lápis a menos que Osmar.O total de lápis é

63.Quantos lápis tem cada um?

6-A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se

que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

7-Uma peça de tecido teve de ser dividida em duas partes, sendo uma delas sete vezes maior do que

a outra. Sabendo que a peça de tecido tinha inicialmente 48 metros, quantos metros tem a peça

menor?

8- A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a

idade de cada um?

9- A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número?

10- Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Em diversas situações problemáticas empregamos letras em substituição aos números. Estas

substituições nos permitem estabelecer fórmulas pelas quais podemos resolver, com facilidade, uma

infinidade de problemas. Exemplos:

Se chamarmos de n certo número, podemos escrever:

a)O dobro de n será : 2 x n = 2n b) O triplo de n será : 3 x n = 3n

TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO

É o produto de números reais indicados por letras e números.

São exemplos de termos algébricos:

COEFICIENTES DE UM TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO

Coeficiente Numérico de um termo algébrico: é a parte numérica que antecede a parte

literal.Coeficiente Literal de um termo algébrico: é a parte literal formada pelas variáveis e seus

respectivos expoentes. Pode, também, ser chamado simplesmentede parte literal.Nos exemplos

anteriores, teremos:

GRAU DE UM MONÔMIO

Grau de um Termo Algébrico ou Monômio Racional é a soma dos expoentes das variáveis desse

monômio. Exemplos:

1) O monômio 3x2y

3 é do 5

º grau já que a soma dos expoentes de x e y é 2 + 3 = 5

2) O monômio - 7mn2p

5 é do 8

º grau já que a soma dos expoentes de m, n e p é 1 + 2 + 5 = 8

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Consideremos as seguintes situações:

O triplo de um número é adicionado ao dobro de outro número. Se chamarmos cada um desses

números de a e b, podemos escrever: 3a + 2b. Essa expressão algébrica é formada por 2 termos

algébricos unidos pelo sinal de adição.

A diferença entre o quadrado de um número e seu dobro é adicionada a3

Expressões algébricas é toda expressão que indica termos algébricos

1-Uma Expressão Algébrica será um monômio quando apresentar apenas 1 termo algébrico

2-Uma Expressão Algébrica será um polinômio quando apresentar 2 ou mais termos algébricos

3-Quando um polinômio apresentar apenas 2 termos algébricos ele será um binômio.

4-Quando um polinômio apresentar apenas 3 termos algébricos ele será um trinômio.

5-Um polinômio será racional inteiro quando apresentar apenas termos algébricos racionais inteiros.

6-Um polinômio será racional fracionário quando apresentar, pelo menos, 1 termo algébrico

racional fracionário.

7-Um polinômio será irracional quando apresentar pelo menos 1 termo algébrico irracional.

REDUÇÃO DE TERMOS ALGÉBRICOS SEMELHANTES

Quando uma expressão algébrica apresentar termos algébricos semelhantes é necessário reduzir, ou

seja, efetuar a adição algébrica entre eles.

Veja outros exemplos:

Expressões algébricas – possuem números e letras ou apenas letras

Valor numérico de uma expressão algébrica

Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo:

1º) Substituir as letras por números reais dados.

2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:

Potenciação

Divisão e multiplicação

Adição e subtração

Observação: Utilize parênteses quando substituirmos letras por números negativos.

Exemplo: Calcular o valor numérico de 2 x + 3 y para x = 5 e y = – 5.

Solução: Vamos trocar x por 5 e y por – 5.

2 x + 3 y = 2.5 + 3.( – 5 )

2 x + 3 y = 10 + ( – 15)

2 x + 3 y = 10 – 15

2 x + 3 y = – 5

1- Calcule o valor numérico das expressões.

a)

b)

c)

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Frações algébricas utilizam o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo

O cálculo dê-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.

Simplificação de frações algébricas:

Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente. Para simplificar uma

fração, fatoramos o numerador e o denominador.

Exs:

M.M.C de polinômios:

Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não

comuns cada um deles com o maior expoente.

Exemplos:

» e

m.m.c =

e » m.m.c = (a+b)(a-b)

Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles

e » e

m.m.c =

Adição e subtração de frações algébrica:

Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.

Ex:

Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e

em seguida, somar ou subtrair os numeradores.

Ex:

Adição e subtração de frações algébrica:

Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.

Ex:

Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e

em seguida, somar ou subtrair os numeradores.

Ex:

Multiplicação e divisão de frações algébricas

Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas.

Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.

Exs:

Potenciação de frações algébricas

Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas.

Exs:

PRODUTOS NOTÁVEIS

Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos

notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

Quadrado da soma de dois termos

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)

= a² + ab+ ab + b²

= a² + 2ab + b²

Conclusão:

(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos:

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Exercícios

1) Calcular:

a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²) b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)

c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²) d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)

e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4) f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)

g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²) h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)

Quadrado da diferença de dois termos

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)

a² - ab- ab + b²

a² - 2ab + b²

Conclusão:

(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²

Exercícios

1) Calcule

a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²) b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)

c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²) d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)

e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25) f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)

g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²) h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)

Produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

conclusão:

(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25

2) (3x + 7y). (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²

EQUAÇÕES DE 2º GRAU

Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplo:

x2- 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

6x2 - x - 1 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.

7x2 - x = 0 é uma equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma

equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a é sempre o coeficiente de x²;

b é sempre o coeficiente de x,

c é o coeficiente ou termo independente.

Equações completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

a)x² - 9x + 20 = 0 e b) -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são

iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0

(b = 0)

x² - 10x = 0

(c = 0)

4x² = 0

(b = c = 0)

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a passo

a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais.

Resoluções equações completas

1) 3x²-7x+2=0

A=3, b=-7 e c=2

= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

=

e

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4

=4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Substituindo na fórmula de Bhaskara:

» x=2

Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

3) 5x²-6x+5=0

A=5 b=-6c=5

= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui

nenhuma raiz real.

Logo: » vazio

Equações incompletas

1º caso: b= 0 Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9=0 » x²= 9 » x= » x=

2º caso: c= 0Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x

x(x-9)=0 » x=( 0,9)

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Crescente Decrescente

Observação: A característica do gráfico é uma parábola

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU

1-A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (Resposta:9 e-10)

2- A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero.

(R: 3 e -4)

3- O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4- A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número.

(R:10 e -8)

5- O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse

número?

6-Resolver as equações do segundo grau;

a) x2 – 7x + 1 0 = 0 b) x(x + 1) = 30

7-Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:

a) 5x2 - 3x - 2 = 0b) 3x

2 + 55 = 0

c) x2 - 6x = 0d) x

2 - 10x + 25 =

8-Determinar o valor do delta(∆):

a) x2 - x - 20 = 0b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

9-Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0?

10-Determine os zeros das seguintes funções e teste os resultados:

a) – x2 – 4x – 5 = 0 b) – x

2 – 2x + 6 = 0

c) - x2+ 2x = 0 d) - x

2 -7x + 10 = 0

11- Complete os coeficientes.

a) x2 – 4x – 3 a = ____ b =____ c =____

b)x2 – 9 a = ____ b =____ c =____

c) – 4x2 + 2x – 3 a = ____b =____c =____

d) x2 + 7xa = ____b =____c =____

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração

equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com

denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu

denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma

expressão com radical, denominado fator nacionalizante, de modo a obter uma nova fração

equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1º Caso:O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

Exercícios

1- Racionalizar os denominadores:

a)3b) 4 c) 4

√3√ 5 √ 8

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Catetos e Hipotenusa

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de

catetos.

Observe a figura:

Hipotenusa:

Catetos: e

TEOREMA DE PITÁGORAS a2

= b2 + c

2

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões

trigonométricas:Seno, Cosseno e Tangente.

Exemplo 1

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²

x² = 81 + 144

x² = 225

√x² = √225

x = 15

1-Calcula o valor de x no triângulo retângulo

2-Calcular a distância percorrida pelo berlinde

Resposta 265 cm = 2,65 m

3-Use o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x

28

4- O valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

a) 15b) 16c) 30d) 9e) 12

5-Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

21

x

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia,

Física, Geometria, Navegação entre outras.No triângulo retângulo existem algumas importantes

relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “Asoma dos quadrados

doscatetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria,

atende inúmeras situações envolvendo medidas.

As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno,cosseno e

tangente.

Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.

seno B = b/a

cosseno B = c/a

tangente B = b/c

sen C = c/a

cosseno C = b/a

tangente C = c/b

Exercícios

1-Nos triângulos das figuras abaixo calcular: tg Â, tg Ê, tg Ô:

2- Determinar seno, cosseno e tangente do ângulo A

3-Qual é a altura de um poste, se foi afastado 30 metros da sua base e enxergado o topo do poste

sob um ângulo de 300 use tangente de 30

0 = 0,58.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS

• Corti, Ana Paula, Aprender, Interdisciplinar, 1ªEdição, Editora Global, são Paulo 2013.

• Santo André Luis Pereira

• Mendes, Denise

• Carrochano, Maria Clara.

• Fernandes, Maria Lídia Bueno.

• Catelli, Roberto Júnior.

• Giansanti, Roberto

• Paiva, Manoel. Vol. Único. Matemática. São Paulo: Moderna.

• Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, Editora FTD.

• Praticando Matemática- Álvaro Andrini (50, 6

0, 7

0 e 8

0 série) Editora do Brasil. S/A.