Nekonečno Matematika, fyzika a mýtus nekonečna

• Od Heha po Bolzana• Nekonečno a Georg Cantor• Alternativní mýty o nekonečnu• Nekonečno co do malosti• Nekonečno, geometrie a fyzický svět• Fyzika – kniha přírody a jazyk matematiky

2

MÝTUSMÝTUSNEKONEČNANEKONEČNA

Jeden pojem ruší a bortí všechny jiné. Ne, nemluvím o zlu, jehož doménou je etika. Mluvím o nekonečnu.

J. L. Borghes

3

Vše, co si představujeme, je konečné. ... Pravíme-li, že je něco nekonečné, chceme tím jen naznačit, že nejsme s to pomyslit si toho konec ... Nemáme ponětí o té věci, nýbrž jen o své nedostatečnosti.

Užíváme-li slova Bůh, není to proto, že bychom se snažili představit si jej - neboť Bůh je nepochopitelný a jeho velikost a moc je nepředstavitelná - ale proto, abychom se mu klaněli.

Thomas Hobbes (Leviathan)

4

Od Heha po Bolzana

EGYPT: HEH (Hah, Huh) – nekonečno = milion („přirozené nekonečno“, metafora?)„Chrámy miliónů let“

INDIE: ANANTA, PURNA

5

ŘECKO: APEIRON

(Homér, Hésiodos)– neznalost, neohraničenost, síť, kruh, prsten, chaos.

Anaximandros • (TO) APEIRON - ARCHÉ vydělováním protikladů kosmos –

nebo jen atribut něčeho?• HÝLÉ, MATÉRIE, božství? (sporné: Aristotelés, Theofrastos,

Aitios, Hegel) …

(pseudo)pojem: negativní vymezení, přílišná sémantické šíře

6

Precizace pojmu

Pýthagorejci

Filoláos – APEIRON v matematickém smyslu

LOGOS – racionální číslo, apeirofobie? Iracionální číslo, „vnitřní“ nekonečno smrt Hippasa (oceán = APEIRON?)

Archýtás z Tarentu (asi 430–345 př. n. l.)

Kdybych se ocitnul co nejdále, třeba v nebi stálic, mohl bych dál natáhnout ruku nebo hůl ven - nebo nemohl? To, že bych nemohl, je nemožné. Pokud však natáhnu, pak bude vně buď těleso, nebo místo [prostor]....

A 24 = Eudémos, Physica 30 Simplikios, Physica 467, 26

7

Zénón z Eleje (asi 490–430 př.n.l.)

AporiePoukazují na paradoxnost či spornost (mezi jiným) pojmů

nekonečna

• Letící šíp• Půlení (bisekce) úsečky• Achilles (a želva)….

Atomisté a epikúrejci Vyhnali nekonečno z mikrosvěta do vesmíruVesmír je nekonečný rozlohou i věkem.

8

Pozdní epikúreismus Lucretius Carus

Nekonečný vesmír (argumentace gravitací?)

Kdyby byla rozloha celého světa konečná a ze všech stran sevřena v určité hráze, zásoba hmoty by se svou tíhou už odevšad sesedla dolů a žádná věc by se nemohla pod Sluncem dít…

Lucretius (cca 50 př.n.l.), O přírodě, str. 42(PŘEKLAD Josef Kolář)

9

ALE: Vesmír ve skořápce

Aristotelés

10

AristotelésNekonečno potenciální a aktuální

… se nesmí pojímat v tom smyslu, že je-li například kov v možnosti sochou tak, že bude jednou také sochou, tak také je v možnosti APEIRA, že jednou bude APEIREM ve skutečnosti.

Fyzika III.7.15

11

Svatý Augustin (354 – 430 n.l.)

I buď daleka od nás všeliká pochybnost, že by Bohu všechny počty neměly známi býti ... ... i kdož jsme my nebožátka, jenžto opovažujeme se meze klásti vševědoucnosti jeho ...

sv. Augustin, O obci Boží (př. F. L. Čelakovský)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

JAHVE SEBAOTH - „pán zástupů, armád“

PANTOKRATOR – vševládnoucí (z toho neplyne, že by měl být schopen všeho)

OMNIPOTENS – všehoschopný - Bůh filosofů a matematiků

Křesťanský Bůh není původce geometrických pravd a řádu živlů (to je věc pohanů a epikurejců). Bůh Abrahámův, Izákův, Jákobův, Bůh křesťanů je Bůh lásky a útěchy.

Blaise Pascal (1623–1662)

12

Tomáš Akvinský (1225–1274)

Úprava Aristotela, racionalizace křesťanství, tomismus

Aristotelsko – ptolemaiovský kosmos časově i prostorově konečný

Kdyby Bůh chtěl, mohl stvořit vesmír věčný

Věčnost – „imaginární čas“

13

Giordano Bruno (1548–1600)O Aristotelově poslední sféře stálic:

Takovou nedůstojnou věc si mohou představovat jen dětičky. Ty si mohou myslet, že kdyby hvězdy nebyly k plechové klenbě přilepeny dobrým klihem nebo přitlučeny tuze trvanlivými hřebíky, padaly by nám na hlavu nejinak než jako kroupy ze vzduchu nad zemí.

Takto je rozmnožena znamenitost Boží a zjevena velikost jeho říše. Není oslavován jedním, nýbrž nespočetnými slunci, nikoli jedinou zemí a jedním světem, ale tisícem tisíců, co pravím, nekonečností světů.

G. Bruno, O nekonečnu, vesmíru a světech

Kopernik – nechává poslední sféruThomas Digges 1576

nekonečný vesmír …

14

„Mohu si představit nekonečný počet světů jako je naše Země, s Rajskými zahradami na každém z nich. Ve všech těchto Rajských zahradách polovina Adamů a Ev nesní ovoce poznání a polovina ho sní. Avšak polovina nekonečna je nekonečno, takže nekonečný počet světů pozbude Boží milosti a bude následovat i nekonečný počet ukřižování ...“

G. Bruno: O příčině, principu a jednotě, 5. dialog

15

Přirozených čísel není ani stejně, ani více než jejich čtverců.

Pojmy „více“ a „méně“ jsou pro nekonečná množství nepoužitelné…”

paradox reflexivity

Galileo Galilei (1564 – 1642)

16

Rodrigo de Arriaga (1592–1667)

1. nekonečno, co do množství, nelze spočítat tak, aby počítání skončilo

2. nekonečno co do rozlehlosti (extenzivní, např. přímka)

3. nekonečno co do intenzity (síla, rychlost, ale i láska)

…

Uznání aktuálního nekonečna

I aristotelské pojetí vede k představě kontinua sestávajícího z bodů. Aristotelské pojetí kontinua se od pojetí atomistického liší pouze tím, že těch bodů je nekonečně mnoho. Body, dotýkajíce se, leží vedle sebe tak těsně, že mezi ně není možno vložit bod další. Bod může ležet vedle bodu, i z bezrozměrných bodů lze složit kontinuum…

17

John Wallis

(1616 – 1703)

a líná osmička

„lemniskáta“

LEMNISCUS

– stuha, pásek

18

Isaac Newton (1642/3–1727) a nekonečnost vesmíru

Stoický vesmír → nekonečný (epikúrejský)

(protože gravitace)

Časová konečnost vesmíru:

Ale: Ve 4. dopise Bentleyovi: …před naším světem mohly být jiné „systémy světa“, a před nimi zase jiné, a tato posloupnost světů se mohla táhnout z nekonečné minulosti.

(připomíná to Aristotela Fyz. III,4)

19

Nekonečno co do počtumnožiny

Bernard Bolzano (1781 - 1848)

Menge – množina

Wisenshaftlehre (1837) bijekce

Paradoxy nekonečna (1851)

Všechny pravdy, nekonečno potenciální → v mysli Boží aktuální

Bolzanova říše pravd

20

Georg Cantor (1845 – 1918) a množiny

1882, o Bolzanově knize

“Chybí v ní to hlavní, co by tam mělo být.“

Paradoxy, které jsou s nekonečnými množinami spojeny, nejsou nic „nepěkného“, nic, co by se mělo odstraňovat. Naopak, jsou tím, co odlišuje nekonečné množiny od konečných, tím, co vytváří svéráz nekonečna.

21

Celek menší než část (Eukleidés) xVzájemně jednoznačné zobrazení

(bijekce) → stejný počet

22

Spočetné nekonečno – přirozená čísla, racionální čísla …algebraická čísla …

„malé“ spočetné a „velké“ nespočetné (mohutnost kontinua). Všechna spočetná nekonečna mají stejný počet prvků: sudých čísel je stejně jako všech (přirozených) čísel, stejně tolik je i prvočísel, druhých mocnin, racionálních čísel atd.

23

Nespočetné nekonečno

„reálná“ čísla

Není už nekonečnem „co do počtu“, nelze psát seznam - viz Hilbertův hotel

Cantorův diagonální důkaz

24

“Vidím to, ale nemohu tomu uvěřit”

Richard Dedekind (1831-1916):

… vzájemně jednoznačné zobrazení mezi čtvercem a úsečkou neexistuje, protože:

„je zřejmé, že dvě nezávisle proměnné veličiny nelze převést na jedinou“.

xCantor ale dokázal opak → ve čtverci stejně

bodů jako na úsečce, jako v prostoru …

25

Cantorův “zip”

a = 0, a1 a2 a3 ...

b = 0, b1 b2 b3 ... --------------

x = 0,a1b1a2b2a3b3 ....

(„Opravdový zip“ patentován v USA 1851 E. Howem.)

1 2 3 4---------------------------------------------------------------- a 0,3 0,34 0,345 0,345 1 b 0,7 0,72 0,721 0,721 80------------------------------------------------------------------x 0,37 0,374 2 0,374 251 0,374 251 18

26

∞ = ∞2 = ∞3 = ∞4 = ∞5 = ∞6 = ... Nikdo nás nebude moci vyhnat z ráje, který pro nás vytvořil Cantor.

David Hilbert, Über das Unendliche, Math. Ann. 95

Paradox:Body na úsečce lze přeskupit tak, že vytvoří celou přímku, body ze čtverce jde seřadit do úsečky (a naopak), body z celého viditelného vesmíru mohu natěsnat na

malou úsečku a podobně. „možnosti“ udělat z koule úsečku, z úsečky celý prostor a

pod. jsou čistě teoretické, fyzickému světu nenáležející.

Paradox Banachův a Tarského (1924): kouli je možné rozdělit na pět dílů tak, že jejich jiným složením (posunem a otočením) vzniknou dvě koule stejně veliké.

27

Babylonská věž nekonečen

Potenční množinaPočet prvků: P(X) = 2X

Kombinatorická explozepočet prvků potenční množinaX P(X)

1 22 43 810 102420 4 194 304 40 18 bilionů

Cantorova věta: platí to i pro nekonečné množiny

N <P(N) <P(P(N)) < P(P(P(N))) < ...

28

• Cantorův paradox:

Představme si množinu všech množin. Pak tato množina musí obsahovat jako prvek nejen sama sebe ale i všechny své podmnožiny. Ale jak už víme, mohutnost množiny všech podmnožin je vyšší než původní množiny. Takže by měla obsahovat část, která je mohutnější než je sama, což je spor.

• Russellův paradox:Představme si množinu všech množin takových, že

neobsahují samy sebe jako prvek. Ptáme se: obsahuje tato množina sama sebe? Jestliže neobsahuje, pak by se měla obsahovat, jestli obsahuje, tak by se obsahovat neměla. Opět neřešitelný spor.

Ne paradoxy, ale vnitřní spory!

Teorie opravitelná - axiomatizace• Vyloučení “podivných množin” → třídy. ZF, GB teorie množin• Teorie nová: Alternativní teorie množin

29

Cesta k fyzické realitě

30

Jaká nekonečna se vyskytují v matematickém formalismu fyziky?

… žádná fyzikální teorie nepotřebuje nekonečno o vyšší mohutnosti než C.

I když mnohé teorie pracují s komplexními čísly, mohutnost jejich třídy je C. Podobně vektorová pole a topologické prostory, které ve složitějších teoriích vystupují, jsou vystavěny ze skupin bodů n-rozměrného prostoru (n je konečné, či alespoň spočetné). Jejich kardinalita je opět C.

31

Většina funkcí nevyjadřuje nic reálného (ve smyslu jak mu rozumí současná fyzika). Jsou to funkce nespojité, většinou ve všech bodech. Náš svět je však spojitý a třída těch spojitých (reálných i komplexních) má mohutnost jen C. Pro definici spojité funkce stačí, že je definována v racionálních bodech, kterých je spočetně. „Racionální body“ tvoří hustou množinu, to znamená, že se s libovolnou přesností přibližují všem bodům – i těm iracionálním. V iracionálních bodech tedy nemůže funkce „vybočit“, aniž by ztratila spojitost. Počet takovýchto funkcí je právě C 0א = C.

Z hlediska fyziky („fyzikální matematiky“) vyšší kardinality neexistují…

32

Další krok k realitě (praktické fyzice):

Neboť vzdělaný se vyznačuje tím, že v každém oboru vyžaduje jen takovou přesnost, jakou povaha předmětu připouští.  

Aristotelés, Etika Nikomachova 1094b

Matematický formalismus je poněkud „naddimenzovaný“makroskopické veličiny ztrácejí v mikrosvětě smysl.

Z praktického hlediska nelze uvažovat ani o nekonečných počtech bodů…

Křivky či funkční závislosti nemá smysl redukovat na jednotlivé body. Zápis f(x)=y předpokládá, že veličiny x a y mají charakter bodů (přesných hodnot - reálných čísel). Avšak reálná čísla nejsou reálná v tom smyslu, že popisují věcnou stránku světa (RES = věc). Věci nemají ostrých hranic (nelze je experimentálně určit), fyzikální veličiny nejsou z matematického hlediska “přesné“ (fluktuace, kvantové neurčitosti). Mikrosvět není zmenšeninou makrosvěta (jak předpokládá eukleidovská geometrie nebo formalismus klasické mechaniky).

33

Otevření vesmírného prostoru

Anaximandros(?), pýthagorejci(?), atomisté, stoikové, epikurejci

Thomas Digges, G. Bruno …

Multivesmíry …(počitatelné?)

Nekonečno v říši hvězdgeometrie – extenzivní charakter(nekonečno co do velikosti)

Věřím, že ve vesmíru je 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296* protonů a přesně tolik i elektronů.

A. Eddington, Tarner lecture 1938* tj. = 136 x 2256 = cca 1,6.1079

34

Nekonečno v říši hvězdVidíme: uzavřený prostor,

poslední sféru! = sféra posledního rozptylu

(10↑10↑122 možných konfigurací)

Ale: Epikúrejský, nebo uzavřený (neeukleidovský) vesmír?

Měl Bruno pravdu (nekonečně Zemí, Kristů, papežů…)?

35

Prostorové opakování některých jevů v nekonečném vesmíru

V nekonečným počtu vesmírů se stane všechno, co se stát může — a to nekonečněkrát. (Alan Guth *1947)

Infinity converts the possible into the inevitable.

Norman Cousins

• Vzdálenost nejbližší hvězdy 6x10↑16 metrů• Okraj Galaxie 3x10↑19 metrů• Okraj viditelného vesmíru 10↑27 metrů (pohyb horizontu)• První „kopie“ mne nebo vás 10↑10↑28 (metrů?)• První „kopie“ Země 10↑10↑50• První „kopie“ oblasti viditelného vesmíru 10↑10↑119

(podle J. Barrowa)

36

Intenzivní veličiny ve fyziceNekonečno co do intenzity

Nekonečnost nějaké intenzity – znak nereálnosti

Příklad: bodový náboj, renormalizace …struny, (jemnější klasifikace nekonečen?, záležitost škál?)

Experimenters never measure an infinite amount of anything. Dials never spin round to infinity. Meters never reach infinity. Calculators never register infinity.

Brian Greene, The Fabric of the Cosmos, p.335

Black holes are where God divided by zero. Steven Wright

Vrány prohlašují, že jediná vrána by mohla rozbít nebesa. To je nesporné. Není to však důkazem proti nebesům, neboť nebesa znamenají právě: nemožnost vran.

Franz Kafka

Vztah Cantorovy teorie k reálnému světu?Cantor ale věřil v praktickou

(=fyzikální) aplikovatelnost své teorie:

Monády látky - spočetné nekonečno

Monády prostoru (éteru) – nespočetné nekonečno

Cantorův ráj … (Hilbert)...cena, kterou za pobyt

v tomto ráji platíme, je obrovská, ... množinová matematika se při svém rozletu zcela vymkla z dosahu základního aritmetického názoru.

Miroslav Holeček

Nuže, vystavějme sobě město a věži, jejíž by vrch dosahoval k nebi.

První kniha Mojžíšova, kteráž slove Genesis

38

Je Cantorova teorie „správná“? (Co to je „správný“?)

Jediná možná?

Matematické nekonečno je převzato ze zkušenosti, i když nevědomky. Může tedy být vysvětleno jen ze skutečnosti a ne ze sebe sama, z matematické abstrakce.

(Friedrich Engels, 1820-1895)

Pýthagorejci, (Zenón), atomisté (?), Aristotelés, …, Kronecker, Poincaré:

Aktuální nekonečno neexistuje. Cantor a jeho následovníci na to zapomněli a dostali se do rozporů.

(Henri Poincaré, 1854-1912)

39

L. Brouwer – odmítnutí aktuálního nekonečna (intuicionismus, konstruktivismus): matematické pojmy nejsou preexistující. Brouwer – „nestravitelný pro matematiky, intelektuální dobrodružství několika málo matematiků“

Abraham Robinson – nestandardní analýzaDoron Zeilberger – cyklická řada čísel

P. Vopěnka – alternativní teorie množin (AST, teorie alternativních množin?, Nová teorie množin):

Jsme-li důslední, nezbývám nám než uznat, že v nějaké podobě se nekonečno ukazuje již na velkých množinách a ne až za nimi. Je-li nekonečno aplikovatelné na jisté jevy ukazující se na velkých množinách, pak tam v nějaké podobě již musí být přítomné.... Této podobě nekonečna budeme říkat nekonečno přirozené. P. Vopěnka

40

„alternativní“ nekonečno

Vopěnkův hotel

Přirozené nekonečno = „moc“ (seznam?)

Babylonská knihovna Písečná kniha - nespočetné množství stran… (J. L. Borges)

"We've all heard that a million monkeys banging on a million typewriters will eventually reproduce the entire works of Shakespeare. Now, thanks to the internet, we know this is not true."

Robert Silensky

41

Alternativní teorie množin AST

Generální kolaps (návrat k Bolzanovi?, H. Lebesgue 1905)

AST: neuznává Cantorovská nekonečna, přirozené nekonečno, vzdává se kanonického modelu reálných čísel

Ale: množina všech bodů na přímce je nespočetná - viz Cantorův diagonální důkaz.

Rozumných“ (dosažitelných) čísel je ale jen spočetně, ostatní jsou „náhodná“. Ale „náhoda“ v deterministickém systému jako je matematika neexistuje!

O tom, kolik je například podmnožin množiny všech přirozených čísel, ví jen Bůh a o Bohu matematický formalismus nic neví, nic vědět nechce, a vlastně ani vědět nemůže.

(Petr Vopěnka)

42

… nemá smysl říkat, jaké jsou objekty dané teorie absolutně, má smysl jedině říci, jak je jedna teorie objektů interpretována v jiné.”

(Willard van Orman Quine 1908–2000)

Nové “podbudování matematiky” („nadstavba“?)

43

Pokud si nekonečno neuděláme, nemáme ho,aneb Grimmauldovo náměstí 12

„Ale kde je ...“„Mysli na to, co sis právě přečetl a zapamatoval“, poradil mu tiše

Lupin.Harry se zamyslel, a jakmile si v duchu vybavil adresu -

Grimmauldovo náměstí dvanáct - objevily se v prázdném prostoru mezi domy číslo jedenáct a třináct otlučené dveře, po nichž se rychle vynořily špinavé zdi a umolousaná okna. Vypadalo to, jako by se tam přifoukl jeden dům navíc a domy kolem sebe odsunul stranou... (J. K. Rowling, Harry Potter, kap. IV, str. 61)

Vytrhl pergamen Harrymu z ruky a podpálil ho špičkou své hůlky. Když se vzkaz zkroutil v plamenech, Harry se znovu rozhlédl po okolních domech. Stáli před domem číslo jedenáct: když pohlédl doleva, spatřil číslo deset, vpravo však bylo třináct.

44

Závěry• Matematika (fyzika …) je lidský

konstrukt, který nějak vystihuje (popisuje a predikuje) realitu (fyzickou i jinou), tj. jevy. Je založena na vztazích mezi jevy.

• Vychází z jevů, které doplňuje o matematické „konstrukty“ - „interfenomény“ - „mezijevy“ (Hans Reichenbach).

• PRAKTICKÉ POČTY → FORMALIZOVANÁ MATEMATIKA

45

• Nekonečna nejsou součástí fenomenálního (reálného) světa, nejsou „přírodním faktem“, ani „absolutním faktem rozumu“. Do matematiky se dostala navíc, aby se formálně dostavěla ontologické základy matematiky, kterými byla dodatečně stavba matematiky podbudována. „Jev nekonečna“ neexistuje.

NEKONEČNA - INTERFENOMÉNY• Nekonečna jsou něčím, co závisí na naší

definici. („Pokud si nekonečno neuděláme, nemáme ho.“) Definovat lze různě, podle naší definice (tj. dodatečně vložené informace) jednotlivá tvrzení o nekonečnech platí, neplatí či jsou nerozhodnutelná.

46

• Na ontologických základech - teorii množin - stojí matematika pouze formálně, reálně a historicky stojí na základech epistemologických, tj. na korespondenci s fenomenálním (reálným) světem, na aplikované matematice.

• Pokud je tato korespondence zachována, je možné podbudovat stavbu matematiky i jinými základy. Tuto cestu otevřela Vopěnkova „alternativní teorií množin“. „Alternativy“ (varianty) nemusí být rovnocenné. Některé mohou být výhodnější z hlediska matematického formalismu i z hlediska dobudovávání stavby matematiky tak, aby korespondovala s dalšími aspekty fenomenální reality.

• Alternativní teorie množin (AST) znamenala „kopernikovský převrat“. Kopernik přesunul střed ze Země do Slunce. Učinil ale víc, než si sám uvědomil – zpochybnil střed jako takový.

47

• Vopěnka svou „alternativou“ ukázal, že mohou být dva „alternativní středy“.

• Avšak: nemůže být „středů“ (tj. teorií množin nebo obecně metamatematických koncepcí) více?

• l. p. 2012: AST → „Nová“ teorie množin → uzavření cesty k dalším paralelním teoriím?

• Souhrn: Kritériem validity je jen aplikovaná matematika. Je přípustné více (vnitřně konzistentních) metamatematických koncepcí, paralelních teorií množin a „teoretických matematik“, které ji „podbudovávají“, tvoří její základy. Je tedy možné uvažovat i více paralelních koncepcí nekonečna.

48

Každý dobrý křesťan by se měl mít na pozoru před matematiky,kteří již po staletí pomáhají ďáblu zatemnit lidem ducha.

Sv. Augustin

Kdybychom nebloudili, nebylo by o čem povídat

tibetské přísloví

děkuji za pozornost