Neli loengut funktsioonide lähendusteooriast Loeng 1: Sissejuhatus …math.ut.ee/emsdk/intensiivkursused/neli_appr_loeng1beam.pdf · 2012. 11. 27. · Neli loengut funktsioonide

Neli loengut funktsioonide lähendusteooriastLoeng 1: Sissejuhatus ja klassikaline

lähendusteooria

Andi Kivinukk

Matemaatika osakond, Tallinna Ülikool

Eesti matemaatika ja statistika doktorikool29.-30. november 2012

A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 1 / 44

Funktsioonide lähendusteooria on kaasaegse funktsiooniteooria jafunktsionaalanalüüsi osa, mis annab teoreetilise põhjendusefunktsioonide praktiliseks lähendamiseks. Lähendamise vajadus tekib,kui antud funktsioon on liiga keeruline või on selle omadusedebasobivad.Funktsioonide lähendamise ülesande probleemid olenevad sellest,

milliste omadustega funktsiooni lähendatakse,milliste lihtsamate funktsioonidega lähendatakse,kuidas need lähendused konstrueeritakse,kuidas mõõdetakse funktsiooni ja selle lähendi vahelist kaugust(lähedust),mitme muutujaga on funktsioonid.


Loengus 1 on lähendatav funktsioon enamasti pidev ühe muutujaga jasellest järelduvalt mõõdetakse kaugust nn maksimumnormiga.

Lähendame algebraliste või trigonomeetriliste polünoomidega(Fourier´ rea osasummadega ja nende summeerimismeetoditega),

esitame nn Jacksoni-tüüpi teoreeme, mis on tähtsad lähendusteooriaigas osas.

Kogu see materjal on prototüübiks kaasaegsele lähendusteooriale,millest räägime järgmistes loengutes.


Loengus 2 mainime ortogonaalpolünoomidega,interpolatsioonipolünoomidega, ratsionaalpolünoomidega jasplainidega (tükati polünoomidega) lähendamisi.

Mainitud lähendamised toimivad lõplikul lõigul. Kogu reaaltelje jaokssobivad lainekeste arendused ja Shannoni valimread (operaatorid).Need on kasutuses olnud vaevalt 30 aastat, neid tutvustame siinpõgusalt.


Loengus 3 tegeleme peamiselt Shannoni valimridadegalähendamistega, ühtlasi rõhutame nende praktilist tähendustsignaalitöötluses.

Loengus 4 on vaatluse all positiivsete (polünomiaalsete)operaatoritega lähendamine. Selle teooria aluseks on Bernsteinipolünoomidega (1912) lähendamine, kuid see on ikka veel populaarneteema.


Funktsioonide lähendamisele kui teooriale pani aluse P.L.Tšebõšov(1821-1894).

Fundamentaalseid tulemusi lähendusteooriasse on andnudS.N.Bernstein (1880-1968),L.Fejér (1880-1959),J.B.J.Fourier (1768-1830),D.Jackson (1888-1946),A.N.Kolmogorov (1903-1987),H.Lebesgue (1875-1941),M.Riesz (1886-1969),Ch.J.de la Vallée-Poussin (1866-1962),K.Weierstrass (1815-1897) -

kui nimetada väheseid klassikuid.


TÜ-s kättesaadav

[DeLo]: R. A. DeVore, G. G. Lorentz, Constructive Approximation.Springer, 1993

annab hea ülevaate klassikalisest (aga ka kaasaegsest) teooriast.


Sissejuhatus

Sissejuhatus

Meie vaatluse alla tulevad funktsioonid on kasulik jaotada nende ühisteomaduste põhjal nn ruumideks.

Näiteks, lõigul [a,b] pidevad - C[a,b]

reaalteljel pidevad ja 2π-perioodilised - C2π

integreeruvad (Lebesgue’i mõttes) (ja 2π-perioodilised) - L[a,b] (L2π)

integreeruva ruuduga ja 2π-perioodilised - L22π,

jne funktsioonid moodustavad vektorruume.


Sissejuhatus

Olgu X vektorruum, nt üks ülalkirjeldatud ruumidest.

Mingi funktsiooni f ∈ X lähendamise probleem ühe teise, teatudmõttes lihtsama funktsiooniga p ∈ P ⊂ X nõuab selgitamist, kui kaugelon funktsioon f funktsioonist p.

Funktsioonide vaheline kaugus peaks olema midagi spetsiifilist nendefunktsioonide jaoks ja see ei peaks sõltuma nende argumentidestx ∈ [a,b].

Seetõttu on loomulik eeldada, et X on normeeritud ruum ja siis f ja plähedus, kirjutame f ≈ p, tähendab, et ‖f − p‖ ≤ �.


Sissejuhatus

Osutub, et C[a,b] on normeeritud ruum normiga

‖f‖C[a,b] := maxa≤x≤b|f (x)|

ja L[a,b] on normeeritud ruum normiga

‖f‖L[a,b] := ‖f‖1 :=∫ b

a|f (x)|dx .

Ruum Lp[a,b] koosneb sellistest funktsioonidest f , mille norm

‖f‖p :=(∫ b

a|f (x)|pdx

)1/pon lõplik suurus.


Sissejuhatus

N.1 Vaja arvutada integraal∫ b

a f ja teame, et ‖f − p‖1 ≤ �. Siistegelikult arvutame

∫ ba p, kusjuures saame

|∫ b

af −

∫ ba

p| ≤ ‖f − p‖1 ≤ �.


Sissejuhatus

Milline info f kohta aitab leida p, et f ≈ p ?N.2 Kui f omab n + 1-järku pidevat tuletist lõigul [−b,b], siis Taylorivalemist saame

f (x) =n∑

k=0

1k !

f (k)(0)xk +1

(n + 1)!f (n+1)(ξ)xn+1,

millest järeldub

|f (x)− pn(x)| ≤ M|xn+1| (−b ≤ x ≤ b),

kus

pn(x) =n∑

k=0

1k !

f (k)(0)xk , M =‖ f (n+1) ‖C[−b,b] /(n + 1)!.

Kuid praktikas on diferentseeruvus liiga range tingimus !


Parim lähendus

Parim lähendus

Lähendamise probleemis me võime mõnikord kujutleda, et igafunktsiooni f ∈ X jaoks leidub üks kindel, mingis mõttes lihtsamfunktsioon p ∈ P ⊂ X , mille jaoks norm ‖ f − p ‖ on vähim kõikidestvõimalikest,

st iga lihtsama funktsiooni s ∈ P jaoks saame ‖ f − p ‖≤‖ f − s ‖.

Seega igale funktsioonile f ∈ X vastab üks kindel funktsioon p ∈ P jame saame nn operaatori või teisenduse T : f → p, mis teisendabvektorruumi X selle alamruumiks P.


Parim lähendus

Olgu X normeeritud ruum ja Vn ⊂ X selle lõplikumõõtmeline alamruumdimensiooniga n ∈ N.

See tähendab, et seal leiduvad lineaarselt sõltumatud elemendid{v1, v2, ..., vn} ⊂ Vn, nii et iga v ∈ Vn jaoks saamev = c1v1 + c2v2 + ...+ cnvn sobivate kordajatega {c1, c2, ..., cn} ⊂ R.

Nüüd saame selgitada parima lähenduse tähendust.

2.1. Definitsioon. Suurust

En(f ) := inf{‖ f − v ‖: v ∈ Vn}

nimetatakse elemendi f ∈ X parimaks lähenduseks alamruumi Vn ⊂ Xelementidega.

Kui leidub element v∗ ∈ Vn, nii et En(f ) =‖ f − v∗ ‖, siis v∗ nimetatakseelemendi f ∈ X parima lähenduse elemendiks.


Parim lähendus

Kui võtame X = C[a,b], siis on sobivaks alamruumiks

Vn+1 = Pn :={ n∑

k=0

ckxk : c0, c1, ..., cn ∈ R},

mida me nimetame ülimalt n-astme algebraliste polünoomide ruumiks.

Ruum Pn on n + 1- mõõtmeline, milles on n + 1 lineaarselt sõltumatutelementi {1, x , x2, ..., xn} ⊂ Pn.

Seoses perioodiliste protsessidega on kasulik ruum C2π, mis koosnebkõikidest 2π-perioodilistest ja hulgal R pidevatest funktsioonidest.

Funktsiooni f ∈ C2π perioodilisus tähendab, et iga x ∈ R korral kehtibf (x + 2π) = f (x).

C2π elementide lähendamiseks sobib trig. polünoomide alamruum

V2n+1 = Πn :={ n∑

k=0

(αk cos kx + βk sin kx) : αk , βk ∈ R}.


Parim lähendus

Antud elemendi f ∈ X parima lähenduse elemendi olemasoluprobleem on põhimõttelise tähtsusega. Sellele annab vastuse järgmine

2.2. Teoreem [Kor, lk 12; TVL, lk 148]. Normeeritud ruumi X igaslõplikumõõtmelises alamruumis Vn leidub iga elemendi f ∈ X jaoksvähemalt üks parima lähenduse element v∗ ∈ Vn.

Teoreemi 2.2 abil saab tõestada järgmised omadused.2.3. Parima lähenduse omadused(i) 0 ≤ En(f ) ≤‖ f ‖ iga f ∈ X korral,(ii) kui Vn ⊂ Vn+1, siis En(f ) ≥ En+1(f ) iga f ∈ X korral,(iii) En(f + g) ≤ En(f ) + En(g) kõikide f ,g ∈ X jaoks,(iv) En(λf ) = |λ|En(f ) kõikide f ∈ X ja λ ∈ R jaoks.


Parim lähendus

Kasutame toodud tulemusi pidevate funktsioonide ruumi C[a,b] jaoks.

Sellisel juhul on sobivaks lähendavaks alamruumiks Pn, mis koosnebülimalt n-astme algebralistest polünoomidest kujulpn(x) = c0 + c1x + ...+ cn−1xn−1 + cnxn.

Algebralised polünoomid on pidevad lõigul [a,b] moodustadesn + 1-mõõtmelise alamruumi Pn ⊂ C[a,b].


Parim lähendus

Tähistagu En(f ) funktsiooni f ∈ C[a,b] parimat lähendust algebralistepolünoomidega alamruumist Pn.

2.4. Teoreem. Iga funktsiooni f ∈ C[a,b] jaoks eksisteerib algebralineparima lähenduse polünoom pn∗ ∈ Pn ja see on ühene.

See on tüüpiline väide mingi objekti eksisteerimise kohta andmatavähimatki vihjet, kuidas konstrueerida parima lähenduse polünoomi.Loomulik küsida: kuidas oleks võimalik leida parima lähendusepolünoomi.

Kahjuks pole selleks teada ühtegi lõplikku algoritmi. Parima lähendusepolünoomi äratundmiseks leidis P.L.Tšebõšov efektiivse tingimuse.

Tuntuim parima lähenduse polünoomi leidmise ligikaudne algoritmkannab Remezi nime. Sellega võib tutvuda raamatust [Dz, lk 74].


Parim lähendus

Perioodiliste funktsioonide lähendamine trigonomeetrilistepolünoomidega on mingis mõttes lihtsam lõigul määratud funktsioonidelähendamisest algebraliste polünoomidega, kuid siin on tihe seos.

Olgu f ∈ C2π, st f on reaalteljel R pidev ja 2π-perioodiline funktsioon.Seega

C2π ⊂ {f ∈ C[a,a+2π] : f (a) = f (a + 2π)}

ja‖ f ‖C2π= maxa≤x≤a+2π

|f (x)| = maxx∈R|f (x)|

mingi a korral, sagedasti võetakse a = −π.


Parim lähendus

Trigonomeetrilist polünoomi

tn(x) :=n∑

k=0

(αk cos kx + βk sin kx) ∈ C2π.

saab Euleri valemitecos kx = 12

(eikx + e−ikx

), sin kx = 12i

(eikx − e−ikx

)abil teatud

kordajate ck ∈ C kaudu esitada kujul

tn(x) =n∑

k=−nckeikx .

Edasi, pärast summeerimisindeksi nihutamist saame

tn(x) = e−inx2n∑

k=0

dkeikx = e−inxp2n(eix ),

kus dk ∈ C on kordajad 2n-järku algebralisele polünoomile, milleargumendiks on eix . Saime, et igale n-järku trigonomeetriliselepolünoomile vastab mingi 2n-järku algebraline polünoom ja vastupidi.


Parim lähendus

2.5 Weierstrassi lähendusteoreem [Kan2, lk 130-131]:kui f ∈ C[a,b], siis leidub algebraliste polünoomide jada {pn} ⊂ Pn, niiet limn→∞ ‖ f − pn ‖C[a,b]= 0 ning samuti kehtib vastav väidetrigonomeetrilisel juhul.

Alati kehtib 0 ≤ En(f ) ≤‖ f − pn ‖C[a,b] , mis Weierstrassi teoreemi põhjalütleb, et kehtib järgmine

2.6. Teoreem. Kui f ∈ C[a,b], siis limn→∞ En(f ) = 0 ja sama väide onõige ka trigonomeetrilisel juhul.


Trigonomeetriliste polünoomidega lähendamine


Eelmised teoreemid väidavad, et iga funktsiooni f ∈ C2π jaokseksisteerib üheselt määratud parima lähenduse polünoom tn∗ ∈ Πn.

Operaatorit T : C2π → Πn, mis on defineeritud vastavusega f → tn∗,nimetatakse meetriliseks projektsiooniks ja see ei ole lineaarne parimalähenduse omaduse (iii) põhjal.

See mittelineaarsus ongi tegelikuks põhjuseks, miks me ei suudaefektiivselt konstrueerida parima lähenduse polünoomi.



Seepärast otsime lineaarseid lähendamise meetodeid, aga mispeaksid olema peaaegu sama head kui meetriline projektsioon ise.Esimene sobiv vahend funktsiooni f ∈ C2π lähendamiseks oleks sellefunktsiooni Fourier’ rea osasummad

Sn(f , x) :=a02

+n∑

k=1

(ak cos kx + bk sin kx),

kus Fourier’ kordajad on (k = 0,1,2, ...)

ak =1π

∫ π−π

f (u) cos kudu, bk =1π

∫ π−π

f (u) sin kudu.



Asendades Fourier’ kordajad osasummade avaldisse saame, etFourier’ rea osasummad on esitatavad konvolutsioonina

Sn(f , x) =1

2π

∫ π−π

f (u)Dn(x − u)du =: f ∗ Dn(x),

kus nn Dirichlet’ tuum on kujul

Dn(u) := 1 + 2n∑

k=1

cos ku.



Fourier´ ridade (osasummade) edu baseerub järgmistes asjaoludes:

1) trigonomeetriline süsteem on ortogonaalne, mis võimaldab

2) arvutada Fourier’ kordajad skalaarkorrutistena suvalise f ∈ L2πjaoks;

3) kui f on 2π-perioodiline, siis iga a ∈ R korral∫ π−π

f (u + a)du =∫ a+π

a−πf (u)du =

∫ π−π

f (u)du,

mis on geomeetriliselt ilmne ja see väljendab integraali nihkeinvariantsust, mille abil saab näidata konvolutsiooni kommutatiivsust, st

f ∗ g = g ∗ f .

4) 3.1 Lause. Kui tm ∈ Πm (m ≤ n), siis Sntm = tm, st ülimalt n-astmetrigonomeetriline polünoom on Fourier’ osasummade operaatoripüsipunktiks või teisiti, et Sn on ruumis L2π projektor, mis tähendab, etiga f ∈ L2π korral S2n f = Snf .



Konvolutsiooni kommutatiivsus lubab võrduse kirjutada kujul

Sn(f , x) =1

2π

∫ π−π

f (x − u)Dn(u)du. (1)

See võrdus defineerib lineaarse operaatori Sn : C2π → Πn.3.2. Lebesgue’i võrratus. Iga f ∈ C2π korral

‖ f − Snf ‖C2π≤ (1+ ‖ Dn ‖L)En(f ).



Tõestus. Teoreemi 2.2 põhjal on funktsioonil f ∈ C2π olemas parimalähenduse polünoom tn. Lausest 3.1 järeldame operaatori Snlineaarsuse tõttu, et

f − Snf = f − Sn(f − tn + tn) = f − tn − Sn(f − tn). (2)

Operaatori Sn : C2π → C2π normi jaoks saame (1) põhjal

‖ Sn ‖≤‖ Dn ‖L . (3)

Normi omadusi kasutades saame seostest (2) ja (3) järeldada, et

‖ f − Snf ‖C2π≤‖ f − tn ‖C2π + ‖ Sn ‖‖ f − tn ‖C2π≤ (1+ ‖ Dn ‖L)Enf .

3.3. Märkus. Lebesgue’i võrratus ütleb, et Fourier’ osasummadegalähendamise kiirus oleneb nn Lebesgue’i konstantidest ‖ Dn ‖L .



3.3. Lause. Väga täpne hindamine näitab, et

Ln =4π2

ln(n + 1) + c(n),

kus |c(n)| ≤ 1.2706... [ZN, lk 183].Nüüd saame Lebesgue’i võrratusest 3.2 tähtsa väite.

3.4. Järeldus. Iga funktsiooni f ∈ C2π korral

‖ f − Snf ‖C2π< (c ln n + 3)En(f ),

mis näitab, et Fourier’ osasummadega lähendamisel tehtav viga onainult ln n korda halvem parimast võimalikust.

Teoreemi 2.6 põhjal En(f )→ 0, kui n→∞. Seevastu ln n→∞, kuin→∞ ja seega mõne f0 ∈ C2π jaoks võib juhtuda, et ln n En(f0)→∞ja samal ajal ka ‖ f0 − Snf0 ‖C2π→∞.

See tähendab, et funktsiooni f0 Fourier’ osasummad ei anna küllalthead lähendust.



3.5. Märkus. Kes teab Banach-Steinhausi teoreemi [Kan2, lk459-460], märkab, et operaatorid Sn : C2π → Πn ei ole ühtlaselttõkestatud ja seega eksisteerib f0 ∈ C2π, mille jaoks‖ f0 − Snf0 ‖C2π 6→ 0, kui n→∞.

Isegi veel halvemini, 1926. aastal näitas A.N.Kolmogorov [Zyg, lk 488],et leidub funktsioon f ∈ L2π, mille Fourier’ rida hajub kõikjal.

Selleks, et olukorda parandada, otsime me lineaarseid ühtlaselttõkestatud lähendamise meetodeid. Me laename oma idee esitusest(1).



3.6. Definitsioon. Operaatorit In : C2π → C2π, mis on defineeritudvõrdusega

In(f , x) :=1

2π

∫ π−π

f (x − u)Xn(u)du (n ∈ N), (4)

nimetatakse singulaarseks integraaliks (operaatoriks), kui tuumXn ∈ L2π rahuldab tingimust

12π

∫ π−π

Xn(u)du = 1. (5)

Singulaarse integraali termin tuleb asjaolust, et tuum iseärasusega, nii

et vormiliselt on siin päratu integraal.



Moodustame Dirichlet’ tuumade Dk aritmeetilise keskmise

Fn(u) :=1

n + 1

n∑k=0

Dk (u). (6)

mida nimetame Fejéri tuumaks, mis on tõesti tuum, sest

12π

∫ π−π

Fn(u)du =1

n + 1

n∑k=0

12π

∫ π−π

Dk (u)du =1

n + 1

n∑k=0

1 = 1.

Fourier´ kordajate asendamisega saab näidata [Kan2, lk 135], et

Fn(x) = 1+2n∑

k=1

(1− k

n + 1

)cos kx =

1n + 1

sin2(n + 1)x2sin2 x2

(x 6= 2kπ, k ∈ Z).

(7)



On väga tähtis, et Fejéri tuum on mittenegatiivne. Tõesti, nüüd saameFejéri singulaarse integraali

σn(f , x) :=1

2π

∫ π−π

f (x − u)Fn(u)du (8)

jaoks hinnangu

|σn(f , x)| ≤1

2π

∫ π−π|f (x − u)|Fn(u)du.

Tegutsedes nagu võrratuse (3) tõestamisel, saame

‖ σn ‖≤‖ Fn ‖L= 1.

3.7. Järeldus. Fejéri singulaarne integraal on positiivne operaator janende normide jada on ühtlaselt tõkestatud.



Uurime nüüd, kui kiiresti koondub ruumi C2π normi mõttessingulaarsete integraalide jada Inf funktsiooniks f ∈ C2π.

Lähendamise järk ehk viga ‖ f − Inf ‖C2π peaks sõltuma lähendatavafunktsiooni f pidevuse või diferentseeruvuse omadustest.

Hüpoteesina arvame, et kõrgemat järku tuletiste eksisteerimine onseotud parema lähendamise järguga. Funktsiooni omadusimõõdetakse pidevus(siledus)mooduliga.


Pidevusmoodul ja K -funktsionaal


Et motiveerida pidevusmooduli definitsiooni, alustame tuletisega.

Eeldame, et funktsioonil f eksisteerib tõkestatud tuletis iga x ∈ Rkorral, st ∃M > 0 ∀x ∈ R, |f ′(x)| ≤ M. Kasutades tuntud Lagrange’ikeskväärtusteoreemi [Kan1, lk 219], saame iga x ∈ R jaoks

|f (x + h)− f (x)| ≤ M|h|.

See võrratus on samaväärne järgmisega

‖ f (·+ h)− f (·) ‖C2π≤ M|h|,

millest omakorda tuleneb

sup|h|≤δ

‖ f (·+ h)− f (·) ‖C2π≤ Mδ, (9)

kus δ > 0.A. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 34 / 44


Osutub, et võrratuse (9) vasakul olev suurus kui δ funktsioon on erilisetähtsusega meie edasise käsitluse jaoks.

4.1. Definitsioon. Funktsiooni f ∈ C2π pidevusmoodul on defineeritudargumendi δ > 0 korral võrdusega

ω(f , δ) := sup|h|≤δ

‖ f (·+ h)− f (·) ‖C2π . (10)

Võrratus (9) ja sellele eelnev arutlus ütleb meile järgmist.

4.2. Lause. Kui f ∈ C2π omab iga x ∈ R korral tõkestatud tuletist, siis

ω(f , δ) ≤ Mδ.

Osutub, et funktsiooni f ∈ C2π saab iseloomustadadiferentseeruvusest täpsemini, kui lause 4.2 hinnangus asendada δavaldisega δα mingi α > 0 korral?



4.3. Definitsioon. Öeldakse, et funktsioon f ∈ C2π rahuldab Lipschitzitingimust järguga α > 0 ja tähistame f ∈ Lip α, kui ω(f , δ) ≤ Mδα(0 < M võib sõltuda funktsioonist f ).

4.4. Märkus. Definitsioonis 4.3 me võime piirduda järkudega αvahemikust 0 < α ≤ 1, sest vastasel juhul f = const .

Definitsioonis 4.3 me ei pea piirduma astmefunktsioonigaδα (0 < α ≤ 1). Võime võtta δα asemele ka mingi funktsiooni ω(δ),millel oleksid omadused nagu järgmises lauses. Sellisel juhulfunktsiooni f ∈ C2π struktuursed omadused on kirjeldatavadvõrratusega

ω(f , δ) ≤ Mω(δ).



4.5. Lause. Pidevusmoodul (10) on omadustega:10 ω(f , δ) on monotoonselt kasvav δ, δ > 0 funktsioon.20 limδ→0 ω(f , δ) = 0.30 ω(f ,nδ) ≤ nω(f , δ) iga n ∈ N korral.40 ω(f , λδ) ≤ (1 + λ)ω(f , δ) iga λ > 0 korral.

4.6. Märkus.On kerge näha, et funktsiooni ϕ ∈ C2π pidevusmooduli(10) võib esitada kujul

ω(ϕ, δ) = sup|x−y |≤δ

|ϕ(x)− ϕ(y)|.

Seda kuju saab kasutada ka funktsiooni f ∈ C[a,b] jaoks, ainult nüüdtuleb hoolitseda, et x , y ∈ [a,b]. Perioodilisel juhul küsimust, kasargumendid on lubatavad, ei teki, sest perioodilised funktsioonid onmääratud kogu arvteljel. See asjaolu teeb perioodiliste funktsioonidelähendusteooria oluliselt lihtsamaks.



4.7. Märkus. Pidevusmooduli teiste omaduste ja üldistuste kohta vt[DeLo, lk 40 - 46]. Üldises Banachi ruumis X asendab pidevusmoodulitK -funktsionaal [J.Peetre, 1963]:

K (f , t ; X ,A) := inf{‖ f − g ‖X +t |g|A : g ∈ A},

kus A on X alamruum poolnormiga |g|A.

4.8. Lause. Eksisteerivad absoluutsed konstandid M,m > 0, et

m ω(f , t) ≤ K (f , t ; C2π,C(1)2π ) ≤ M ω(f , t).


Jacksoni-tüüpi teoreeme


Need on teoreemid, kus lähendamise järku ehk viga ‖ f − Inf ‖C2πhinnatakse funktsiooni f iseloomustava jadaga ϕn, sagedastiϕn = Mω(f ,1/n).

5.1. Teoreem. Olgu f ∈ C2π singulaarne integraal Inf paaristuumaganing positiivne. Siis kehtib hinnang

‖ f − Inf ‖C2π≤ 2ω(f ,π

2

√2− a1(Xn)

),

kus a1(Xn) on tuuma Xn esimene Fourier´ kordaja.

Vaatleme Fejéri tuumi

Fn(x) = 1 + 2n∑

k=1

(1− k

n + 1

)cos kx ,

siis a1(Fn) = 2(1− 1n+1) ja saameA. Kivinukk (Tallinna Ülikool) Matem. ja mat. statistika dok-kool 39 / 44


5.2. Järeldus. Olgu f ∈ C2π, siis Fejéri integraali kohta kehtib

‖ f − σnf ‖C2π≤ 2ω(

f ,π√

2(n + 1)

).

Muuhulgas, see annab Weierstrassi lähendusteoreemi tõestuse, sest

pidevusmooduli omadusest saame limn→∞ ω(f , π√2(n+1)) = 0.



5.3. Märkus. Kuna meie singulaarsed integraalid Inf ontrigonomeetrilised polünoomid, siis samad hinnangud kehtivad kaparima lähenduse jaoks, sest En(f ) ≤‖ f − Inf ‖C2π .

Edasi, Jackson (1912), Korovkin (1958) jt leidsid, et saab tehakonkreetseid singulaarseid integraale kujul

In(f , x) =a02

+n∑

k=1

λk (n)(ak cos kx + bk sin kx), (11)

nii et ruutjuurest pidevusmooduli all võib loobuda, st lähenduskiirustsaab suurendada.

Siit näeme, et Inf ∈ Πn ja see on defineeritud polünomiaalse tuumaga

Xn(x) = 1 + 2n∑

k=1

λk (n) cos kx .



5.4. Teoreem. [Korn, lk 261] Kehtib täpne võrratus kujul

En(f ) ≤ ω(

f ,π

n + 1

),

mis tähendab, et siin paremal pidevusmooduli ees konstanti 1 ei saaenam vähendada.


Kirjandus

Kirjandus

DeVore, R.A., Lorentz, G.G., Constructive Approximation.Springer, New York, 1993.

Dzjadõk, V.K., Sissejuhatus funktsioonide ühtlasesselähendamisse polünoomidega. Nauka, Moskva, 1977 (vene k).

Dzyadyk, V.K., Shevchuk, I. A., Theory of uniform approximation offunctions by polynomials. Walter de Gruyter, 2008.

Hewitt, E., Ross, K.A., Abstract Harmonic Analysis I, II. Springer,1963, 1970 (tõlge vene k, I, Nauka; II, Mir, Moskva, 1975).

Kangro, G., Matemaatiline analüüs I. Eesti Raamat, Tln., 1965.

Kangro, G., Matemaatiline analüüs II. Valgus, Tln., 1968.


Kirjandus

Korneitšuk, N.P., Exact Constants in Approximation Theory.Cambridge Univ. Press, 1991 (vene k orig., Nauka, Moskva, 1987).

Korovkin, P.P., Linear Operators and Approximation Theory.Hindustan Publ. Corp., Delhi, 1960 (vene k orig., Fizmatgiz,Moskva, 1959).

Žuk, V.V., Natanson, G.I., Trigonomeetrilised Fourier’ read jalähendusteooria elemendid. Leningradi Ülik. Kirj., 1983 (vene k).

Zygmund, A., Trigonometric Series I. Cambridge Univ. Press, 1959(tõlge vene k, Mir, Moskva, 1965).

Tamme, E., Võhandu, L., Luht, L., Arvutusmeetodid I. Valgus, Tln.,1986.


Sissejuhatus Parim lähendusTrigonomeetriliste polünoomidega lähendaminePidevusmoodul ja K-funktsionaalJacksoni-tüüpi teoreemeKirjandus

Documents

Neli loengut funktsioonide lähendusteooriast Loeng 1: Sissejuhatus …math.ut.ee/emsdk/intensiivkursused/neli_appr_loeng1beam.pdf · 2012. 11. 27. · Neli loengut funktsioonide