-
9. Nelinearno programiranje
9.1 Infinitezimalni raun 1 9.1.1 Dferenciranje 1 9.1.2
Lagrangeovi mnoitelji 1 9.1.3 Integriranje 4 9.1.4 Zadaci IR 4
9.2 Metode traenja 5 9.2.1 Fibonaccijeva pretraga 5 9.2.2 Metoda
najstrmijeg pristupa 5 9.2.3 Metoda pretraga du ogranienja 5 9.2.4
Metoda pokretne tangente na ogranienje 5 9.2.5 Zadaci MT 5
Literatura 5
Nelinearno programiranje (NP) skup postupaka optimalizacije
modela s nelinearnim funkcijama cilja i/ili ogranienja.
Razvijen je vei broj formalnih postupaka namijenjenih rjeavanju
razliitih specifinih problema, na primjer, metod Lagrangeovih
mnoitelja formalizirani postupak odreivanja ekstrema funkcija
cilja, cjelobrojno programiranje za rjeavanje problema s
cjelobrojnim varijablama.
9.1 Infinitezimalni raun
9.1.1 Dferenciranje
9.1.2 Lagrangeovi mnoitelji
Matematiki model Funkcija cilja (m = broj varijabli):
y = optix
y(x1, x2, , xm) i = 1, 2, 3, ..., m (F-9.1)
Funkcije ogranienja (n = broj jednadbi): j(x1, x2, , xm) = 0 i =
1, 2, 3, ..., n (F-9.2)
-
2 Kvantitativne metode
Rjeenje Optimum se dobiva za vrijednosti xi koje ispunjavaju
uvjet:
y m
j jj 1= = 0 (F-9.3)
j(x1, x2, , xm) = 0
gdje je: y gradijent vektor funkcije cilja, okomit na njenu
povrinu:
y = 1 2 n1 2 n
y y yx x x
+ + +
i i i
gdje je: oznaka za parcijalnu derivaciju, i jedinini vektor
(ort) koji ima odreeni pravac i smjer te jedinini intenzitet.
Ako se, na primjer, promjene temperature (t) u nekog tijelu, u
koordinatnom sustavu 0,x1,x2,x3 , mogu opisati jednadbom: t = 2 x1
+ x1 x2 + x2 x32
pravac i smjer najbreg porasta temperature (okomit na povrine
istih temperatura) mogu se opisati s vektorom: t = (2 + x2) i1 +
(x1 + x32) i2 + (2 x2 x3) i3
Za sluaj jednog ogranienja: y = 0 (x1, x2, , xn) = 0 Na ovaj
nain se trae vrijednosti xi za koje su paralelni gradijent funkcije
cilja i gradijent funkcije ogranienja. Za sluaj bez ogranienja: y =
0
PRIMJER P-9.1
Uz minimalne trokove (T) izraditi i ugraditi toplinski
izmjenjiva cijevi u oplati (S-9.1), dimenzija D (promjer) L (duina)
sa 100 m cijevi (dovoljne povrine za potrebnu razmjenu topline).
Trokovi ugradbe su: 900 NJ za cijevi, 1100D2,5L za oplatu i 320DL
za smje-tajni prostor. U 1 m2 poprenog presjeka moe biti smjeteno
200 cijevi.
Slika S-9.1 Toplinski izmjenjiva cijevi u oplati
Matematiki model:
Analizom konstrukcije dolazi se do izraza:
-
09. Nelinearno programiranje 3
2
2,m4D
(200, cijevi/m2) (L, m) = 100 m
Funkcija cilja:
T = mi 900 + 1100D2,5L + 320DL NJ niD
Funkcija ogranienja: 50D2L = 100
Analitiko rjeenje: Ekstremi funkcija mogu se odrediti
konvencionalnim postupkom infinitezimalnog rauna
(prva i druga derivacija):
T = 900 + 2200
D0,5 + 640
D1
ddTD
= 1100
D0,5 640
D2 = 0
D = 0,6969 = 0,7 m L = 1,2992 = 1,3 m T = 900 + 1100D2,5L +
320DL = 900 + 11000,72,51,3 + 3200,71,3 T = 1.777,45 NJ
Lagrange-ovi mnoitelji:
T = mi 900 + 1100D2,5L + 320DL NJ niD
50D2L = 100 Vektori gradijenata funkcije cilja i ogranienja:
T = (2750D1,5L + 320L)i1 + (1100D2,5 + 320D)i2 = 100DLi1 +
50D2i2
Skalarne jednadbe (F-9.3) funkcije cilja: i1 : 2750D1,5L + 320D
100DL = 0 i2 : 1100D2,5 + 320D 50D2 = 0
Po rjeenju i1 po :
= 1,5
100 D2750 320D +
i uvrtavanju u i2 dobiva se:
1100D2,5 + 320D 1,52750 320
100D
D+
50D2 = 0
D = 0,6969 = 0,7 m, L = 1,2992 = 1,3 m, T = 1.777,45 NJ
-
4 Kvantitativne metode
9.1.3 Integriranje
9.1.4 Zadaci IR Z-9.1 Odrediti visinu (h) kanala sustava
ventilacije kroz reetkasti nosa s kojima se
dobiva maksimalna povrina presjeka kanala (maksimalni
protok).
Matematski model/ogranienja: Rjeenje: h = 0,3 m
Z-9.2 Minimalizirati potrebnu snagu (P) sustava za opskrbu vodom
ako je ukupni protok Q = 0,01 m3/s. Padovi tlaka u cjevovodima dati
su izrazima:.
1. p1 = 2,11010Q12 , 2. p2 = 3,61010Q22 .
u kojima je tlak (p) izraen u paskalima (Pa), a protoke u m3/s.
Iste koefici-jente korisnog uinka imaju dvije crpke (c), kao i dva
elektromotora (m).
Matematski model/ogranienja: Rjeenje: Q1 = 0,00567 m3/s
Z-9.3 Minimalizirati trokove izrade elinog okvira ako su cijene:
a) horizontalnih profila u pravca x1 200 x1 /m, b) horizontalnih
profila u pravca x2 300 x2 /m i c) svih okomitih profila (x3) 500
x3 /m
Okvir mora obuhvatiti volumen od 900 m3.
Matematski model/ogranienja: Rjeenje: T = 9000
-
09. Nelinearno programiranje 5
9.2 Metode traenja Priroda funkcija cilja i ogranienja esto
onemoguava optimalizaciju koritenjem anali-
tikih metoda. U takvim se sluajevima koriste metode traenja koje
uvjetuju samo mogu-nost izraunavanja vrijednosti funkcije cilja na
osnovu aktualnih vrijednosti varijabli.
Za probleme s jednom varijablom, kod kojih je funkcija cilja
jednoznana, najjednostavni-je je izraunavati vrijednosti funkcije
cilja za ravnomjerne razmake vrijednosti varijable sve dok se ne
dobije optimalna vrijednost (maksimalna/minimalna). Iako ova metoda
nije naju-inkovitija, ona ne zahtijeva veliko vrijeme izraunavanja
za jednostavne probleme. Razvije-no je vie efikasnih tehnika
traenja, kao to je, na primjer, metoda zlatnog presjeka.
Efikasna metoda traenja je potrebna za viedimenzionalne probleme
jer je broj potrebnih izraunavanja (vrijeme rada raunala) znaajno
vei nego kod problema s jednom varijab-lom.
Problem traenja s dvije varijable se moe nacrtati, pri emu se
vrijednosti funkcija cilja prikazuju kao konturne linije. Traenje
optimuma takve funkcije moe se usporediti s trae-njem na karti vrha
brda (ili dna doline), a korisna tehnika za ovaj tip problema je
metoda najstrmijeg uspona (ili kosine).
9.2.1 Fibonaccijeva pretraga
9.2.2 Metoda najstrmijeg pristupa
9.2.3 Metoda pretraga du ogranienja
9.2.4 Metoda pokretne tangente na ogranienje
9.2.5 Zadaci MT
Literatura 1. Stoecker W.F.; Design of Thermal Systems, Third
edition, 565 s, McGraw-Hill, 1989;
0070616205.
2. R. K. Sinnott: Chemical engineering, Volume 6 An Introduction
to Chemical Engi-neering Design; Pergamon Press, Oxford, 1983.
9.1 Infinitezimalni raun 9.1.1 Dferenciranje 9.1.2 Lagrangeovi
mnoitelji Matematiki model Rjeenje Matematiki model: Lagrange-ovi
mnoitelji:
9.1.3 Integriranje 9.1.4 Zadaci IR
9.2 Metode traenja 9.2.1 Fibonaccijeva pretraga 9.2.2 Metoda
najstrmijeg pristupa 9.2.3 Metoda pretraga du ogranienja 9.2.4
Metoda pokretne tangente na ogranienje 9.2.5 Zadaci MT
Literatura
