Embed Size (px)
Citation preview
Neodređeni integral
Definicija neodređenog integrala:Ako su funkcije i y=F(x) tako da vrijedi:
Tada je funkcija y=f(x) derivacija funkcije y=F(x), a za funkciju y=F(x) se kaže da je primitivna funkcija(antiderivacija) funkcije y=f(x).Vrijedi također:
gdje je C proizvoljna konstanta. Skup svih primitivnih funkcija zove se neodređeni integral funkcije y=f(x). To se zapisuje
Tablica osnovnih integrala:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
1
(8) (9)
(10)
(11)
(12)
Osnovna pravila za integriranje
Integral zbroja: (13)Integral razlike: (14)Integral funkcije pomnožene s konstantom: (15)Integral diferencijala: (16)Diferencijal integrala: =f(x) (17)
ZADACI
Zadaci su riješeni postepeno tako da student može pratiti kompletni postupak. Najlakši zadaci su označeni s dvije zvijezdice (**), srednji s jednom (*) a složeniji nemaju oznake pored broja zadatka.
Elementarno integriranje
Sljedeće zadatke riješi svodeći na tablične integrale transformirajući podintegralnu funkciju i koristeći osnovna pravila za integriranje:
1. **
2
2. **
3. **
4. **
5.
6. **
7. **
8. **
9. **
3
10.
11. *
12. *
13. **
14. *
15.
4
16. *
17. *
18. **
19. **
20. **
21. **
22.
5
23. *
24. *
25. **
26. **
27. *
6
28.
29.
30. **
31. *
32. **
33. **
34. *
Metoda supstitucije I
7
Ako je integral oblika
rješava se uvođenjem nove varijable(supstitucijom):
ax+b=t
otuda deriviranjam(difrenciranjem) dobijemo
odnosno
35. **
36. **
37. **
38. **
39. **
40. *
41. *
8
42. *
43.
44.
45.
46. *
47. *
48. *
9
49. **
50. **
51. **
52. **
53. *
54. **
55. **
10
56. *
57. **
58. *
59. *
60. **
61. *
62. **
63. **
11
64. **
65. *
66. **
67. **
68. **
69. **
70. *
71. *
72.
12
Metoda supstitucije II
Ako je integral oblika
integral se rješava uvođenjem nove varijable(supstitucijom):
otuda deriviranjam(difrenciranjem) dobijemo
73. **
74. **
75. **
76. **
77. **
78. *
13
79. **
80. **
81. *
82. *
83. *
84. *
85. *
86. *
14
87.
88.
89. **
90. **
91. **
92. **
93. *
94. **
95.
15
96.
97.
98. **
99. **
100. **
101.
102. *
103.
16
104. **
105. **
106. *
107. **
108. **
109. *
110. **
111. *
112. *
113.
17
114.
115. **
116. **
117. **
118. **
119. *
120.
121. **
122. **
18
123. *
124.
125. *
126.
127.
128. *
129.
U sljedećim zadacima treba primijeniti elementarne transformacije podintegralne funkcije
u kombinaciji s metodom supstitucije
19
130. *
131. *
132.
20
133.
134. **
135.
136. **
21
137. **
138. **
139. **
140. **
141. **
142. **
143. *
144. *
145. *
146.
147. *
22
148. *
149. *
150. *
151. *
152.
23
153.
154.
155. *
Metoda parcijalne integracije
Kod nekih integrala može se koristiti formula za parcijalnu integraciju:
(18)
156. **
157. **
24
158. *
159. *
160. *
161.
162. *
25
163.
164.
165. *
166. *
167.
26
168. **
169. **
170. **
171. *
172. *
173. **
174. **
27
175.
176.
177. *
178. *
179. **
180.
28
181. *
182.
29
183.
184.
30
185.
186. *
187. *
188. *
31
189.
190.
191.
192.
32
193.
194.
195.
196.
197.
198.
33
199.
200.
201.
Rekurzivne formule
Primjenom formule za parcijalnu integraciju mogu se dobiti formule za rekurzivno računanje
nekih integrala
U sljedećim zadacima treba kvadratni trinom transformirati u kanonski oblik a potom
prmijeniti tablične integrale
202.
34
dobili smo:
Rekurzivna formula glasi:
203.
204.
dobili smo:
Rekurzivna formula glasi:
205.
35
206.
Rekurzivna formula glasi:
207.
208. mm
209. mmmm
210. mmmmm
U sljedećim zadacima treba kvadratni trinom transformirati u kanonski oblik a potom
prmijeniti tablične integrale
211.
212. *
213. *
36
214. *
215. *
216. *
217. *
218. **
37
Integriranje racionalnih funkcija
Racionalna funkcija je funkcija oblika:
Gdje su i polinomi n-tog odnosno m-tog stupnja.
Ralikujemo:
a.) prave razlomljene racionalme funkcije kad je
b) neprave razlomljene racionalme funkcije kad je
Svaka se neprava razlomljena racionalma funkcija može na jedinstveni način prikazati kao
zbroj polinoma i prave razlomljene racionalme funkcije:
Ssvaka se prava razlomljena racionalma funkcija može na jedinstveni način prikazati kao
zbroj parcijalnih razlomaka:
Parcijalni razlomci su prave razlomljene racionalme funkcije posebnog oblika. Razlikujemo:
a.) parcijalne razlomke prve vrste:
b.)parcijalne razlomke druge vrste:
uz uvjet da jednadžba nema realnih rješenja.
38
Integriranje raazlomljene racionalne funkcije provodimo u slijedećih nekoliko koraka:
1.korak: ustanovimo radi li se o pravoj ili nepravoj razlomljenoj funkciji
2.korak: ako ustanovimo da je racionalna funkcija neprava rastavimo je na zbroj
polinoma i prave razlomljene racionalne funkcije
Ako ustavnoimo da se radi o pravoj razlomljenoj racionalnoj funkciji prelazimo na slijedeći
korak
3.korak: rastavimo pravu razlomljenu racionalnu funkciju na zbroj parcijalnih
razlomaka
4.korak: provedemo potrebne integracije
Integriranje parcijalnih razlomaka prve vrste
219.
220.
Integriranje parcijalnih razlomaka drge vrste
221.
, kako jednadžba nema realnih rješenja
radi se o parcijalnom razlomku druge vrste uz n=1. Uz to, brojnik je baš derivacija
39
nazivnika pa se integral rješava jednostavnom supstitucijom.
222.
, kako jednadžba nema realnih rješenja
radi se o parcijalnom razlomku druge vrste uz n=1 . U ovom slučaju brojnik nije
derivacija nazivnika pa moramo transformirati podintegralnu funkciju:
223. bnbnbb
224.
40
