Nepārtrauktā laika vienādojumu robežkopu īpašības

Neprtraukt laika viendojumu robekopu pabas.

Defincija. Punktu qM sauc par trajektorijas L jeb atbilsto atrisinjuma j(t;x0) -robepunktu, ja t vrtbu virkne (tk), tk+, j(tk,x0)q, k. Visu -robepunktu kopu sauc par trajektorijas -robekopu W. Analoiski tk -, defin -robepunktu un a-robekopu A.

Defincijas1) Kopu AM sauc par plsmas jt invariantu (pozitvi invariantu) kopu, ja xA, tR (tR+) jt(x)A. (xA (t,x)A).2) Kopu NM sauc par neklejojou, ja xN un katrai x apkrtnei U(x) tR t10 : jt1(U(x)) U(x) 0.3) Slgtu, invariantu kopu A sauc par pievelkou, ja eksist tda A pozitvi invarianta apkrtne U, ka x0U limd(j(t, x0),A)=0, t+.4) Pievelkou kopu, kura satur kdu trajektoriju k savu blvu apakkopu, sauc par atraktoru.

PiemrsViengie robepunkti ir stacionrie punkti: sedlu punkts (0,0) trajektorijm, kurm x=0, asimptotiski stabilie mezgli (-1,0) trajektorijm, kurm x0.Intervls ir pievelkoa kopa, bet visi prjie punkti, izemot stacionros punktus, ir klejojoi. Atraktori ir tikai asimptotiski stabilie mezgli.

Piemrs

Teorma. Kopa ir slgta, invarianta kopa, kura ir tuka tad un tikai tad, ja , kad t+. Kopa sastv no viena punkta q tad un tikai tad, ja j(t,x0)q, kad t+.Pierdjums1) Slgta (k punktu kopa telp Rn). Pieemsim, ka punktu virkne Pc robekopas defincijas katram k eksist laika momentu virkne

2) Invarianta?

3) No pretj:

No ierobeotas virknes var izdalt konverentu apakvirkni.

4)Pieemsim

Plaknes sistmu atrisinjumu robekopas.

Plaknes sistmu trajektoriju robekopu specifisks pabas izskaidrojamas ar ordna teormu:

Slgta lnija plakni sadala divs das attiecb pret sevi iekj un rj.

Teorma 2. Ja plaknes sistmas trajektorija satur kaut vienu savu robepunktu, tad trajektorija ir vai nu slgta, vai ar stacionrs punkts.

Puankar Bendiksona teormas.

PierdjumsPieemsim, ka Ja ir stacionrs punkts, teorma ir pierdta.Pieemsim, ka nav sistmas stacionrs punkts.GG Bendiksona maiss, trajektorija, kura taj ieiet, netiek vairs lauk, ldz ar to nevar tuvoties robepunktam.

Teorma 3. Ja trajektorijai L ir robepunkts q, kur pieder slgtai trajektorijai, tad vai nu L=Lq, vai ar L spirlveidgi uztinas Lq.

Pierdjums. Visa trajektorija Lq pieder L robekopai. Japatvagam Lq punktam p izveido apkrtni, U, ko ierobeo divu blakus esou trajektoriju loki un divas pret Lq vilktas transversles. U izvlas tik mazu, lai visas trajektorijas ai apkrtn ir praktiski parallas un iet vien virzien.T k p ir L robepunkts, pietiekoi lielam t trajektorija krusto (punkt a) punkt p vilkto normli n pret L.

p

Pc laika, kur tuvs Lq apriojuma periodam, trajektorija L krusto normli n vlreiz punkt b. Ja d(b,p)=d(a,p), L ir slgta un q nevar bt L robepunkts.d(b,p)>d(a,p) veidojas Bendiksona maiss, kur, t pieaugot, trajektorija netiek iekTtad d(b,p)

Teorma 4. Plakn R2 ierobeotai pozitvai pustrajektorijai, t+, var realizties tikai viena no 5 iespjm:1) trajektorija ir stacionrs punkts, (t;x0)=x0 tR, ={x0};2) (t;x0)x0, t+, ={x0};3) trajektorija ir slgta, t.i., T0: tR (t+T;x0}=(t;x0}, kopa sakrt ar pau trajektoriju;4) trajektorija spirlveidgi uztinas slgtai trajektorijai, kura ir ts robekopa;5) trajektorija spirlveidgi uztinas slgtam grafam, kas veidots no stacionriem punktiem un os punktus savienojom trajektorijm.

Piemrs.

EMBED Word.Picture.8

_1002357127.doc

O1

O2

Zmjums 6.1

Piemrs

Indeksu teorijaL orientta gluda lnija plakn ar gala punktiem A un Bl ass virziensleis, kuru veido punkt P sistmas noteikt lauka vektors ar asi l.Defincija. Par sistmas noteikt vektoru lauka pagriezienu pa lniju L sauc lielumu

Ja l ir x1 ass,pabas.Mainot L orientciju, pagrieziens maina zmi.Ja L sadala vairkos gabalos, pagriezieni summjas.Ja L slgta, pagrieziens ir vesels skaitlis.Ja L neprtraukti deformjas, neejot caur stacionrajiem punktiem, pagrieziens nemains

5. Ja slgtas lnijas iekpus nav sistmas stacionru punktu, pagrieziens pa o lniju ir viends ar 0.

Sekas. Slgtas trajektorijas iekpus (plakn) ir vismaz viens stacionrs punkts. (Apejot slgtu trajektoriju, lauka vektors izdara pilnu apgriezienu)Defincija. Ja x0 ir izolts stacionrs punkts un L patvaga gluda lkne, kas aptver stacionro punktu, lauka pagriezienu pa lniju L sauc par stacionr punkta indeksu.Indekss nav atkargs no L! Mezgls, centrs, fokuss 1 sedli - -1.

Teorma 5. Ja uz gludas slgtas lnijas bez pakrustoans L nav sistmas stacionru punktu, bet L iekpus ir galgs skaits stacionro punktu, lauka pagrieziens pa L (pret pulkstea rdtja virzienam) ir viends ar visu iekpus esoo stacionro punktu indeksu summu.

Sekas. Ja slgtas trajektorijas iekpus ir tikai vienkri stacionrie punkti, to kopgais skaits ir nepru un sedlu punktu skaits ir par 1 mazks k mezglu, fokusu un centra punktu skaits kop.

Teorma 6. (Bendiksona kritrijs). Ja plaknes sistmai

kompakt, pozitvi invariant kop D nav stacionru punktu, tad aj kop katra trajektorija ir vai nu slgta, vai ar spirlveidgi uztinas uz slgtas trajektorijas.

Sekas. Ja G ir gredzenveida kopa, kur nav sistmas stacionru punktu un kuras robeas sistmas trajektorijas krusto tikai virzien uz iekpusi, tad kop G ir vismaz viens s sistmas robecikls.

Bendiksona kritrijs

PiemrsV atvasinjums saska ar sistmuRia lnijutrajektorijas krusto virzien uz ruo ria lniju trajektorijas krusto virzien uz ieku


_913584868.doc

Zmjums 6.2


_1000560471.doc

Zmjums

Teorma 7. (Bendiksona negatvais kritrijs). Ja vienkri sakarg apgabal DR2

saglab noteiktu zmi, tad aj apgabal nav slgtu lku, kas btu veidotas no sistmas trajektorijm.

Teorma 8. (Dilaka kritrijs). Ja vienkri sakarg apgabal DR2 eksist neprtraukti diferencjama funkcija q:R2R, kurai div(qf)(x)0 xD, tad apgabal D nav slgtu lku, kas btu veidotas no sistmas trajektorijm.

Piezme. Teormu pierdjumi balsts uz Grna formulu divkriem integriem

Piemrs. Divu populciju savstarpjs mijiedarbbas uzdevums, aprakstts ar kvadrtisku polinomu. Stacionrais punktsDefin lielumusTeorma 9. Ja sistmai * (x,y) plaknes pozitvaj kvadrant nav ciklu*

x>0, y>0 definIzmanto Dilaka kritriju:Pierdjums detalizti. Ja pieem, ka ir cikls L ar periodu T, kur ierobeo apgabalu R:Ciklu nav!

Gaisa pretestba proporcionla truma kvadrtam;Leis, ko veido planiera ass ar horizontlo plakni, saglabjas konsantsPie iem nosacjumiem aerodinamiskie koefiienti C1 (gaisa pretestbas spkam) un C2 (sprnu cljspkam) ir konstanti.

m planiera masa, v kustbas trums, S - sprnu laukums, - leis starp lidojuma trajektorijas pieskari un Ox asi- gaisa blvumsPlaniera masas centra kustbas viendojumi projekcijs uz trajektorijas pieskari un normliukovska uzdevums par planieri

Stvokisakrt, tpcsistmas fzu telpa ir cilindra virsma, kur pa veidotju atlikts y bet pa vaduli leisAplko y>=0 (planieris nelido ar asti uz prieku). Sistmas trajektorijas apmierina viendojumuy=0 ir singulra trajektorija, t atbilst situcijai, kad planieris momentni apmetas no stvoka stvoklun trums v=0.

Specilgadjums a=0, pretestbas spka nav.TrajektorijasPlanieris lido horizontli ar konstantu trumuViengais stacionrais punktsSingulri punkti

Ass Uz cilindra virsmas izkljuma

_1224310165.bin

Slgtas trajektorijas, kas aptver centruSlgtas trajektorijas aptver fzu cilindru Nodala abus tipus, sastv no singulro sedlu punktu separatrism

Viengais stacionrais punktsStacionrajam stvoklim atbilst planiera kustba pa lejupejou taisni ar konstantu trumu y0.Stabilitte?Vienmr asimptotiski stabils

Nekdam a uz fzu cilindra nav slgtu trajektorijuDilaka kritrijs Ldz ar to apgabal y>0 slgtu trajektoriju nav.Nav ar slgtu lku, kas aptver fzu cilindru.No pretj: ja da trajektorija ir, ar vertiklu nogriezni savieno to ar y=0. Dab slgtu kontru, kas ierobeo apgabalu starp trajektorijm. Integrlis pa kontru ...

Diferencilviendojumu sistma, kuras fzu telpa ir tora virsma.Tora viendojumiPretpiemrs.Tora aptinums

du viendojumu sistmu var uzdot formkur f un g ir periodiskas funkcijas ar periodu 1.Katra trajektorija ir slgta, sakrt punkti

2.iracionls.Sistmai nav slgtu trajektoriju.Pc patvaga skaita n apgriezieniemnevar bt vesels.Katra trajektorija visur blvi piepilda visu tora virsmu. Katrs trajektorijas punkts ir ar ts robepunkts. Pieemsim Tora meridinutrajektorija atkrtoti krusto punktosie punkti ir visur blvi uz meridina.

em naturlu un intervlu ]0;1[ sadala p das Skaiti visi sav starp ir atirgi, jo iracionls.Vismaz divi no iem skaitiem nonk vien no daljuma intervliem:Definjam:Punkta nobdi pa meridinu raksturo lielums

IzvlamiesVirknstarpba starp blakus stvoiem skaitiem ir mazka par Attlums starp trajektorijas punktiem uz meridina ir mazks parAttlums no ldz 0 ar ir mazks par Ldz ar to katrs meridina punkts ir trajektorijas robepunkts.

EMBED Photoshop.Image.7 \s

_1144130340.psd

_1144130406.psd

Aplkosim plaknes viendojumu sistmu apgabal QG, kur nav s sistmas stacionru punktu. Defincija. Saka, ka gludas lknes nogrieznis , ir nogrieznis bez kontakta, ja nevien sav punkt is nogrieznis nepieskaras sistmas noteikt lauka vektoriem.Bezkontakta nogriea l punktiem piekrto skaitliskas koordintes, vispirms izvloties atskaites koordintu skuma punktu uz nogriea. Pieemsim, ka kda sistmas trajektorija krusto nogriezni l punkt ar koordinti u0. Izsekosim, vai trajektorija krusto o nogriezni tai pa virzien vlreiz. Ja ds krustpunkts eksist, apzm to u1 un mekl nkoos krustpunktus u2,u3,Puankar attlojums.

Ja di krustpunkti eksist, saka, ka sistmai ir defints Puankar attlojums (secbas funkcija) c ui+1=c(ui). Puankar attlojums ir neprtraukts (neprtraukt atkarba no skuma vrtbm), neprtraukti diferencjams un (n=2) monotons. Eksist neprtraukti diferencjams inversais attlojums c-1 (kustba pretj virzien).


_1002357472.doc

Zmjums 6.3

u0

l

u1

u2

n>2. n=3 bezkontakta nogriea viet aplkojam trajektoriju krustpunktus ar gludu virsmu, kurai trajektorijas nepieskaras. Attlojuma c monotonitte vairs nepastv. Puankar attlojums reduc neprtraukt laika sistmas ptjumu uz diskrt laika sistmas analzi

EMBED MSPhotoEd.3

_1143957957.bin

Diskrt laika dinamiskas sistmasMRn: xk+1=f(xk)


_1002094275.doc

Zmjums 4.1

Defincija. Stacionro punktu x0 sauc par stabilu, ja >0 >0: d(x0;x0)

Zmjums 4.2





_999680798.doc

f(x0)>1

x0

_999683858.doc

-1

Ja x0 ir sistmas stacionrs punkts, bet 1,.., n ir

Jakobi matricas pavrtbas. 1) j 1, x0 ir nestabils. Sistmas slgt trajektorija x0, x1, x2, ..., xN-1 ir asimptotiski stabila, ja kd ts punkt Jakobi matricas visas pavrtbas j ir pc modua mazkas par 1. Ja turpret k: k >1 kaut vien slgts trajektorijas punkt, tad trajektorija ir nestabila.

Periodisk atrisinjuma stabilitteiZmjum a) redzams, k iterciju virknes punkti attlins no nestabil stacionr punkta un tuvojas stabilajai divu punktu x0,x1 veidotajai orbtai. Zmjum b) ir attlojuma f(f) grafiks, x0 un x1 ir otrs itercijas stabili stacionrie punkti, redzama iterciju virknes konverence uz punktu x1

Fibonai skaiti (truu populcijas vairoans, x- jaunie, y vecie patu pri)VaiSistmas matricaPiemrspavrtbasStacionrais punkts (0;0) nestabils, populcija neierobeoti aug.

Aplko sistmu ik pc diviem periodiem, pieemot, ka patu kopskaits ir fiksts, neierobeots pieaugums nav iespjams. MatricaSistmapavrtbasVektora u1 virzien vienbas kvadrts tiek stiepts, u2 virzien saspiests.Arnolda attlojums

Var pierdt, ka punkts (x,y) pieder periodiskai orbtai, ja x un y ir racionli skaiti.

Triode ar harakteristiku Ia=f(Ut), kondensators ar kapacitti C, omisk pretestba R, spole ar paindukcijas koeficientu L. Otra spole ir ieslgta tklia d. Ia ir anodstrvas stiprums, Ut ir tklia spriegums.

Ip ir piestinjuma strvas stiprums. Piemrs. Lampu enerators.

Zmjums 1.22


Ic

Ia

_1001428552.doc

C

R

K

A

L

Pc Kirhofa pirm likuma punkt A: Ia=I+Ic. Pc Kirhofa otr likuma labjam kontram:M ir abu spou savstarpjs indukcijas koeficients

x:=I-f(0) g(u):=2 (f (-Mu)-f (0))Funkcija g raksturo triodes darbbu. Fizikli novrojamo pardbu - maistrvu d - var izskaidrot viendojuma periodisks atrisinjums vai, eometriski, robecikls fzu plakn.

A) Piemums g(u)=a2sgnu.Ja >, matricas pavrtbas 1,2=-i, sistmas trajektorijas augj pusplakn y>0 ir spiru loki ap punktu (a;0), bet apakj pusplakn ap punktu (-a;0). Slgtas trajektorijas eksistenci un viengumu var pierdt ar Puankar attlojuma paldzbu.

Skuma punkts, t=0, punkts (x0;0) uz pozitvs x pusass, x0>a. Izejot no x0, trajektorija atrodas apakj pusplakn Trajektorijas nkamais krustpunkts x1 (ar negatvo x pusasi) ir x2 =(x0)

Slgta trajektorija sistmai eksist, ja ir tds punkts x0, kuram (x0)=x0 Simetrijas d pietiek prast x1=-x0

Pulkstea mehnisms

Svrsts A veic nerimstoas svrstbas, ko uztur mehnisma B dotie impulsi. (Iedarbbas laiku un pretjo B iedarbbu uz A vienkrk gadjum neem vr).


_1144575622.psd

Pieemsim, ka luma lnija sakrt ar pozitvo y pusasi p=const, x=0, y>=0Skuma vrtbas t=0, x=0, y=y1Fzu plakn:


_1144575752.psd

Eksist asimptotiski stabils stacionrais punkts y* Puankar attlojumam, robecikls sistmai.Puankar attlojuma stacionrais punkts atbilst slgtai trajektorijai.

Materil punkta mehnisko svrstbu process, masa m=1, elastbas koeficients k=1, berzes koeficients ir atkargs no punkta stvoka. (x)=(1-x2), viendojumu sauc par Van der Pola viendojumu. x1:=R(y1)-y2x2:=y1,

Releja viendojumu sistma

http://www.apmaths.uwo.ca/~bfraser/nll/version1/vanderpol.html

http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/navigation/main/html

Releja viendojumu sistma. a) R ir nepru, divreiz neprtraukti diferencjama funkcija; b) m>0 tds, ka R ir monotoni dilstoa x>m, bet x

Teorma. Releja viendojumu sistmai eksist stabils robecikls.Bendiksona kritrijs.

x=R(y)

Zmjums 6.4


_1002023688.doc


_1002018425.doc

Robecikla unitti var pierdt, izmantojot Puankar attlojumu. Katra trajektorija, kura moment t0 krusto negatvo x pusasi punkt a0, cit moment t1 t1>t0 krusto o pusasi vlreiz punkt a1, ldz ar to Puankar attlojums eksist. Lai pierdtu attlojuma nekustg punkta unitti, pietiek novrtt trajektorijas punktu radil attluma r, r(a)=(a)-a, izmaiu, t mainoties no t0 ldz t1. r ir neprtraukta, monotoni dilstoa funkcija. Stacionr punkta nestabilittes d visas trajektorijas no mazas t apkrtnes iziet r, tpc maziem a r(a)>0. a+, r(a)-, tpc ! a*: r(a*)=0 un sistmai eksist viens viengs robecikls.

Releja sistma ar parametru.R(y)=y-y3. >>1, y maias trums ir daudz lielks k x maias trums un t>> -1y sasniedz jau kvazistacionro stvokli: t.i., R(y)=x Lokli:

Kamr is inverss funkcijas zars eksist, x aug ldz kritiskajai vrtbai xc. Tad y momentni krt un nonk uz otra zara Relakscijas svrstbas

http://www.math.rutgers.edu/~sontag/JODE/VanDerPol2.html

Mehnisk kustba ar oti lielu berzi. b>>1 sasniedz kvazistacionro ldzsvara stvokli Procesu apraksta pirms krtas viendojums

d veid pazd informcija diem t praktiski x(t)=x(0). y(t) atrod no linera viendojuma



_1002013031.doc

EMBED Equation.3

_1002012942.unknown

_1002359387.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Zmjums 6.7

_1002012732.unknown

_1002012783.unknown

Attiecgs funkcijas ir piemekltas, vadoties no apsvruma, lai atrisinjuma izturans kvalitatvi atgdintu ciklisko sirds darbbu: sirds parasti atrodas vien no diviem iespjamiem stvokiem - saspringt (sistole) vai ar atslbint (diastola). Kairinjuma rezultt katra sirds muskuu iedra tri savelkas, brtiu paliek d stvokl, tad tri atslbins. Pc tam cikls atskas no jauna. Ldz ar to darbbu raksturo das btiskas iezmes: 1) sistmai ir stabils ldzsvara stvoklis, kur t aizvien atgrieas;2) ir tds mehnisms, kur sistmu iedarbina, izraisa kustbu;3)pc darbbas sistma aizvien atgrieas miera stvokl.

Sirds darbbas matemtisks apraksts (Zeeman)

1) Vienkrkais modelis ar stabilu ldzsvara stvokli ir liner sistma >>1, y ir trais maingais, kur var raksturot sirds muskuu iedru tro savilkanos. Gandrz visas trajektorijas ir praktiski parallas y asij, atrisinjumi gandrz momentli sasniedz kvazistacionro stvokli y=0, un tlk iet pa x asi. Praktiski oreiz procesu apraksta viens viendojums. Ciklisk darbba nepards, nav mehnisma, kur liktu ldzsvara stvokli aizvien no jauna atstt.

2)Mazam epsilon Releja sistmas robecikls model relakscijas svrstbas, ttad gan ciklisko darbbu, gan ar kustbas tros un lnos posmus. Lai sistma kvalitatvi pieemami apraksttu sirds darbbu, vajadzgs, lai t sistemtiski atgrieztos miera stvokl. 3)ir t y vrtba, kas atbilst maksimlajai x vrtbai uz relakscijas svrstbu cikla.

g ir patvaga vismaz trs reizes neprtraukti diferencjama funkcija ar viengo prliekuma punktu koordintu skumpunkt. Izvirzot g 0 apkrtn pc Teilora formulas un saglabjot locekus ldz treajai krtai ieskaitot, dabjam: Releja viendojumu sistma ar nestabilu stacionro punktu koordintu skumpunkt. Eksist viens pats stabils robecikls! Lampu enerators (turpinjums)

Kolmogorova modeiDivu sugu x,y ldzs pastvana visprg gadjum

Piemumi:Plsoas sav starp nekonkurUpuru vairoans trums ir starpba vairoans bez plsom mnus apsto upuru skaits

?

Ja upuru skaitu limit esoie resursi prtika u.c. (logistisk tipa saskaitmie) vai ar plsom visi upuri nav pieejami, sistma nosaka rimstoas svrstbas (asimptotiski stabils fokuss)

Ja plsou skaitu regul tikai upuru skaits, iespjama oscilcija ap ldzsvara stvokli, centra tipa stacionrais punkts.

Pieemsim M=R+R+ , x - apzmts upuru skaits, ar y - plsou skaits.f un g ir neprtraukti diferencjamas funkcijas, kuras apmierina dus nosacjumus:1) (plsou skaita palielinans nelabvlga upuriem); (upuru skaita palielinans labvlga plsom);

3) maziem x (bez plsom upuru skaits zinms robes pieaug);

Kolmogorova teorma.

4) (plsou skaits ir limitts);5) 6) (pat bez plsom upuru nevar bt neierobeoti daudz);7) 8) H1>H2;9) plsou un upuru izoklnas - lknes, uz kurm attiecgi g=0 un f=0, ir tdas, k attlots zmjum


_1002364277.doc

Zmjums 6.11

Zmjums 6.11

L1

H1

10) ja stacionr punkta Q koordintes ir (x0,y0), apzmjot

izpilds neviendbas a+d>0, ad-bc>0.Ja funkcijas f un g pozitvaj kvadrant apmierina nosacjumus 1)-10), tad ai kvadrant eksist sistmas robecikls.

Zmjums 6.12


_1000537364.doc

Zmjums

H2

D

E

E

Piemrs. Volterra-Lotkas sistmas modifikcija, ievrojot divus dadus faktorus - upuru savstarpjo konkurenci par prtikas resursiem, un plsou piestinjuma efektu.

O(0,0) vienmr ir nestabils sedlu punkts Apgabals I tikai viens stabils netrivils stacionrais punkts A Parametru maias plakne

Apgabals IIstacionrais punkts A ir nestabils;

stabils stacionrs punkts B Apgabals III punkts B ir nestabils, bet punktu B aptver stabils robecikls. rodas robecikls.

Parametru maias apgabal III (a=1/3, e=0.1) Piezmes: Kolmogorova teormas 9.nosacjums neizpilds.



_1172556058.doc

_1172556136.doc

Hollinga Tennera modelisaj piemr neizpilds Kolmogorova teormas 7.nosacjums, proti , eit H2=0

u'(T) = (1 - u(T)) - M u(T) v(T) / (A + u(T)), v'(T) = M u(T) v(T) / (A + u(T)) - v(T), http://www.math.lsa.umich.edu/%7Eglarose/courseinfo/diffeq/htmlfiles/deproj3_s00.html Modelis, kur apraksta mikroorganismu vairoanos substrtu ~ substrta koncentrcijai, substrtu pievada kltv ~ mikroorganismu kultras koncentrcijaiKas notiks, ja tai pa substrt ir divas mikroorganismu kultras:Sav starp neiedarbojasDifza iedarbbaKonkurence, kuras rezultt viena kultra var iet bojMikrobioloijas piemri

Punkt (1;0):PunktStabils mezgls

D(x)(t)=1-x-3*(x*(y+z))/(5+x),D(y)(t)=y-y*z+20*(x*y)/(5+x),D(z)(t)=-2*z+y*z+0.1*(x*z)/(5+x)

Vai ir tdas parametru vrtbas, ar kurm veidojas divu kultru periodiska maia?

Osciljoa biomiska reakcija glikolze:Substrts fruktoze (x)Reakcijas produkts fruktosebifosfts (y)

Grafiski rezultti dadm parametru vrtbm

Documents

Nepārtrauktā laika vienādojumu robežkopu īpašības