n.ethz.chricklis/blog/download/studienunterlagen... · Web viewsec x = 1 cos x , csc x = cosec x = 1 sin x , cot x = 1 tan x = cos x sin x ; sin 2 x + cos 2 x =1 . 1+ tan 2 x = 1

Komplexe Analysis Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis

1 Rechnen mit komplexen ZahlenDarstellungsarten z=x+ yⅈ =r ⋅ⅇⅈ (φ+2πk )=r ⋅ (cos (φ+2πk )+ ⅈsin (φ+2πk ) )

n√ z=n√r ⋅ⅇφⅈ +2πkn zn=r n⋅ⅇ nφⅈ

Kartesisch → Polar r=|z|, φ={ arccos( xr ) für y ≥0

−arccos( xr ) für y<0

Polar → Kartesisch x=r cos φ y=rsin φ

|ⅇz|=ⅇℜ(z ¿)¿ |z|2=z z=x2+ y2

ℑ ( z )= 12 ⅈ (z−z ) ℜ(z)=1

2(z+z )

Nützliche Gleichungen

1z= 1

x+ yⅈ = x− yⅈx2+ y2 ⅇ xⅈ =ⅇ- xⅈ , x∈R

zw=z ⋅w ( zw )= zw

|zw|=|z||w| 1i=−ⅈ , 1

− ⅈ=ⅈ

Logarithmus log( z)=ln(|z|)+ⅈarg(z ) , arg(z)∈R

log ( z )=ln¿¿

az={w=ⅇzu :u∈ log (a ) } p.v.az=ⅇz log (a )ⅇ log ( a)=a

Spezielle Zahlenmengen C−¿={z∈C :|z|>0 ,−π<Arg (z )<π }

2 Wichtige Identitäten / GleichungenRechenoperatoren:

normal HauptwertEigenschaft stetig, nicht injektiv nicht stetig, bijektivArgument arg z=φ+2πk , k∈Z Arg z=φ+2πk für k∈Z ,

sodass −π<φ+2πk<πLogarithmus log z=ln|z|+ ⅈarg z log z=ln|z|+ ⅈ Arg z

Wurzeln√ z=|z|

1n ⋅ⅇ

ⅈ ⋅ arg zn

¿|z|1n ⋅ⅇ

ⅈ ⋅ (φ+2πk )n ,k∈ {0 ,…,n−1 }

p.v . n√z=|z|1n ⋅ⅇ

ⅈ⋅ Arg zn

Rechenregel arg ( z1⋅ z2 )=arg z1+arg z2

log ( z1⋅ z2 )=log z1+ log z2

Arg ( z1⋅ z2 )≠ Arg z1+Arg z2

log ( z1⋅ z2 )≠ log z1+ log z2

Residuen: 2π ⅈ⋅∑i res (f|i )

3 Grenzwerte und StetigkeitSiehe Zusammenfassung Ella / Leonard Serie 2.

4 DifferenzierbarkeitDefinition des Differenzenquotienten:

limΔ z→ 0

f ( z0+Δ z )−f ( z0 )Δ z

4.1Cauchy-Riemannsche DGL (CR-DGL)Wenn für bestimmte z0 gilt

ux ( x , y )∧¿v y ( x , y )uy ( x , y )∧¿−vx ( x , y )

,polar: ur (r ,φ )∧¿ 1r⋅ vφ (r ,φ )

uφ (r ,φ )∧¿−r ⋅ vr (r ,φ )dann ist f ( z ) im Punkt z0 differenzierbar.

Gelten die CR-DGL ausserdem für eine Umgebung von z0, dann gelten folgende Aussagen:

f in z0 analytisch ⇔ f in z0 holomorph ⇔ f beliebig oft differenzierbar in Umgebung von z0

Eine Funktion heisst „ganz“, falls sie in der gesamten komplexen Ebene definiert und analytisch ist.

u(x , y) oder v (x , y ) harmonisch ⇔Δu=uxx+v yy=0 bzw Δ v=u yy+v xx=0. Falls f holomorph, dann sind u und v harmonisch. Falls u oder v harmonisch, dann kann das jeweils andere mittels der CR-DGL konstruiert werden.

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4.1.1 Wo überall ist f ( z ) differenzierbar?1) f (z) in Real- und Imaginärteil zerlegen2) CR-DGL aufstellen3) z0=x0+ⅈ y0 definieren, welche die Gleichungen erfüllen

5 Linienintegrale

Linienintegrale∫γf ( z ) zⅆ =∫

a

b

f ( γ (t ) )⋅ γ (t ) tⅆ mit

γ (a )=¿ Startpunkt und γ (b )=¿ Endpunkt

Parametrisierungen

Strecke von z1 zu z2: γ (t )=z1+( z2−z1 ) t , t∈[0,1] Kreis um z0 mit Radius r: γ (t )=z0+rⅇ tⅈ ,t∈[0,2π ] Kreis um z0 im Uhrzeigersinn:

γ (t )=z0+rⅇ− tⅈ ,t∈[0,2 π ]

Funktion y=f ( x ): γ (t )=f (t )

6 Integralformel von Cauchy6.1Grundform

f (a )= 12πⅈ ⋅η (γ , a )

⋅∫γ

f ( z )z−a

⇔2πⅈ ⋅ f (a ) ⋅η (γ ,a )=∫γ

f ( z )z−a

η (γ , a )=¿ Anzahl Umläufe von γ um a in mathematisch positiver Richtung.

6.1.1 n-te Ableitung:Sei f :Ω→C eine analytische Funktion. Dann ist f beliebig oft differenzierbar, und für die n-te

Ableitung f (n ) gilt die Formel

f (n ) (a )= n!2πⅈ ⋅η (γ , a )

⋅∫γ

f ( z )( z−a )n+1 zⅆ ⇔f (n ) (a ) 2πⅈ ⋅η ( γ , a )

n !=∫

γ

f (z )( z−a )n+1 zⅆ

6.2Anwendungen der Integralformel6.2.1 Satz von Cauchy für einfach zusammenhängende

GebieteSei f analytisch auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet Omega.Dann gilt:

Für jede geschlossene Kurve in Ω ist das Wegintegral daran entlang = 0. S.40 Satz 3.9

o ebenso gilt ∫γ 1

f (z )=∫γ2

f (z), falls γ1 und γ2 die gleichen Start- und Endpunkte

haben. Kombination mit Satz 3.8 S.39: f besitzt eine Stammfunktion F auf Ω (effektiv ist nur Stetigkeit

in einem beliebigen Gebiet gefordert)o Ein Liniennintegral kann dann folgendermassen berechnet werden:

∫γf ( z ) zⅆ =F (B)−F (A ) mit {A=γ ( a )

B=γ (b )

6.2.2 Mittelwert-Eigenschaft:Sei f :Ω→C eine analytische Funktion in beliebigem Gebiet Ω und B(a , r ) eine geschlossenene Kreisscheibe in Ω. Dann gilt:

f (a )= 12π

⋅∫0

2π

f (a+rⅇiφ ) φⅆ

6.2.3 Maximumprinzip:Sei f :Ω→C eine analytische Funktion und sei z0∈Ω ein Punkt im Inneren von Ω, in dem ¿ f∨¿

ein Maximum (Minimum) annimmt, d.h. |f ( z0 )|=maxz∈Ω

¿ f ( z0 )∨¿¿. Dann ist f konstant auf Ω .

6.2.4 Ungleichung von Cauchy:Wir nehmen an, dass |f (z )|≤M auf der Kreislinie vom Radius r um den Punkt a gilt. Dann folgt:

|f (n ) (a )|≤ n!Mrn



6.2.5 Satz von Liouville:Sei f :C→C eine ganze Funktion und wir nehmen an, dass |f (z )|≤ M , ∀ z∈C. Dann ist f

konstant auf ℂ. ⇒ Wenn f ganz ist, ist f sicher nicht beschränkt.

7 ReihenJede analytische Funktion lässt sich innerhalb ihres Definitionsbereichs in eine Taylorreihe mit maximalem Konvergenzradius entwickeln. Der Konvergenzradius erstreckt sich dabei bis zur nächstgelegenen (nicht hebbaren) Singularität. S.51

7.1Potenzreihen:Eine Potenzreihe mit Mittelpunkt z0∈C ist eine Reihe der Form

∑k=0

∞

ak ( z−z0 )k ,

wobei z∈C und ak∈C.

Die Ableitung von Potenzreihen lässt sich dabei besonders einfach hinschreiben. S.53

f (n )( z)=∑k=n

∞

k (k−1 )… (k−n+1 )ak zk−n

Steht eine Reihe bereits in der Form einer Potenzreihe f ( z )=∑k=0

∞

ak zk, dann ist diese gleichzeitig

auch schon die Taylorreihe von f.



7.1.1 geometrische ReiheDIE geometrische Reihe hat folgende Form:

1

1−( zc )d=∑

k=0

∞

( zc )d ⋅k⇒|zc|<1

Ableitungen der geometrischen Reihe:d=1, 1. Ableitung:

1

c (1− zc )

2=∑k=1

∞ kc⋅( zc )

k−1

⇒|zc|<1

d=1, 2. Ableitung:

2

c2(1− zc )

3=∑k=2

∞ k (k−1 )c2 ⋅( zc )

k−2

⇒|zc|<1

d=2, 1. Ableitung:

2 z

c2(1−( zc )2)

2=∑k=1

∞ 2kc⋅( zc )

2k−1

⇒|zc|<1

(Ableitungen von Potenzreihen haben denselben Konvergenzradius wie deren Stammfunktionen)

Ideen zur Umformung:1

3+z= 1

3−(−z )Geometrische Reihe um z0≠0:

1z+a

= 1(a+z0 )+( z−z0 )

= 1a+ z0

⋅ 1

1−(−( z−z0

a+z0))= 1a+ z0

⋅∑k=0

∞

(−z−z0

a+z0)k

Andere Funktionen als irgendwelche Konstanten:

1cos z

= 11−(1−cos z )

=∑k=0

∞

(1−cos z )k⇒ cos z<1⇔0<z<2π

Laurentreihen: Direkte Angabe der Summenformel für den Hauptteil:

Wenn f ( z )=∑k=0

∞

ak ( z−z0 )k für |z−z0|<ρ

dann f ( z )=− ∑k=−∞

−1

ak ( z−z0 )k für |z−z0|>ρ

Also: Man kann eine geometrische Reihe der Form f ( z )= 1

1− zc

=… umformen in

f ( z )=−1zc

⋅ 1

1− cz

¿ormen∈Mankanneine geometrisc he Reihe der Form .

Bei der ersten Form gilt für den Konvergenzradius |zc|<1, bei der Zweiten |cz|<1.

Begründung also: „wie in den Übungen besprochen gilt 1

1− zc

=−1zc

⋅ 1

1− cz

¿ ormen∈Mankann eine geometrische Rei heder Form “.

7.2Taylorreihe

f ( z )=∑k=0

∞ f ( k ) ( z0)k ! ( z−z0 )k ∀ z∈B ( z0 , ρ )

7.2.1 Konvergenzradius:

ρ= 1limk→∞

¿ k√|ak|¿oder:

ρ=limk→∞ | ak

ak+1|



7.3Lemma 3.31:Sei Ω ein Gebiet, z0∈Ω Punkt und ρ>0 eine positive reelle Zahl, sodass B ( z0 , ρ )⊂Ω.

Sei f :Ω→C eine Funktion, die stetig auf der Kreislinie ∂ B ( z0 , ρ ) ist und sei g durch

g ( z )≔ 12πⅈ ∫

∂B ( z0 , ρ)

f (ξ )ξ−z

ξⅆ ,∀ z∉∂B ( z0 , ρ )

definiert. Dann ist

g ( z )≔{ ¿∑n=0

∞

an ( z−z0 )n∧für |z−z0|< ρ

−¿ ∑n=−∞

−1

an ( z−z0 )n∧für |z−z0|> ρ

wobei

an=1

2πⅈ ∫∂ B ( z0 , ρ)

f (ζ )

(ζ−z0 )n+1 ζⅆ ,∀ n∈Z



7.4Umwandlung einer Funktion in eine PotenzreiheForm: f ( z )= p ( z )

q ( z )1. Nenner faktorisieren (falls nötig)

2. Falls ein Term schon in der richtigen Form ist (d.h. f ( z )= p ( z )( z−z0 )… ( z−z0 , m )

), klammert

man hier diesen Term (also 1

z−z0) vorne raus (Partialbruchzerlegung wird einfacher). erst

ganz am Schluss nimmt man diesen Term wieder in die Reihe.3. Partialbruchzerlegung vornehmen (falls nötig). (Nun hat man die Funktion in Summanden

zerlegt.)4. Die einzelnen Summanden so umformen, dasss man sie in geometrische Reihen um z0

entwickeln kann (f ( z )=…+p1 ( z )

(1−(a ( z−z0 ))b)c+…)

5. Die einzelnen Summanden in geometrische Reihen umformen (Ableitung-Formen nicht vergessen!).

6. Konvergenzradien der einzelnen Reihen überprüfen. Der kleinste Konvergenzradius ist nun der Konvergenzradius der gesamten Reihe.

7. Summen zu einer zusammenführen.Tipp:

Angenommen, man will eine Funktion f (g ( z ) ) um z0 in eine Taylorreihe entwickeln:

Anstatt einfach stur die Ableitungen zu berechnen, kann man auch zuerst die Funktion g(z ) um z0

entwickeln, danach f an der Stelle g ( z0 ) in eine Potenzreihe umwandeln und für die Terme bei f jeweils

die Taylorreihe von g an der Stelle z0 einsetzen.

8 Laurent-Entwicklung8.1Satz von Laurent:Sei f eine analytische Funktion auf dem Kreisring Ω≔{z∈Ω :a<|z−z0|<b }. Dann gilt:

f ( z )= ∑k=−∞

∞

ck ( z−z0 )k

wobei der Hauptteil durch ∑k=−∞

−1

ck ( z−z0 )k und die Koeffizienten ck durch

ck≔1

2 πⅈ ∫∂B ( z 0 ,r )

f ( z )

( z−z0 )k+1 zⅆ , a<r<b

gegeben sind.

a) Auf einem Gebiet ist die Laurent-Reihe eindeutig, hängt aber vom Gebiet ab.b) ck werden meistens nicht direkt berechnet!

8.2Umwandlung eines Quotienten von Polynomen in eine Laurent-Reihe

Form: f ( z )= p ( z )q ( z )

1. Nenner faktorisieren (falls nötig)

2. Falls ein Term schon in der richtigen Form ist (d.h. f ( z )= p ( z )( z−z0 )… ( z−z0 , m )

), klammert

man hier diesen Term (also 1

z−z0) vorne raus (Partialbruchzerlegung wird einfacher). erst

ganz am Schluss nimmt man diesen Term wieder in die Reihe.3. Partialbruchzerlegung vornehmen (falls nötig). (Nun hat man die Funktion in Summanden

zerlegt.)4. Die einzelnen Summanden so umformen, dasss man sie in geometrische Reihen um z0

entwickeln kann (f ( z )=…+p1 ( z )

(1−(a ( z−z0 ) )b)c+…)

5. Wandle jeden Summanden in eine geometrische Reihe um z0 um (Ableitung-Formen nicht vergessen!). Da die so berechneten Potenzreihen erst innerhalb eines gewissen Radius‘ gültig sind (bis zu einer bestimmten Singularität), brauchen wir noch die Reihen, die ausserhalb dieses Radius‘ gültig sind:6. Finde das Pendant zu allen berechneten Potenzreihen, das auf der anderen Seite des

Konvergenzradius‘ konvergiert. Dies funktioniert mit folgender Formel:

Wenn f ( z )=∑k=0

∞

ak ( z−z0 )k für |z−z0|<ρ



dann f ( z )=− ∑k=−∞

−1

ak ( z−z0 )k für |z−z0|>ρJetzt gibt es für jeden Summanden eine

Reihe, je eine für innerhalb und ausserhalb des Konvergenzradius‘.7. Schaue, auf wie vielen und auf welchen Kreisringen es konvergente Laurentreihen gibt. Bei n

Singularitäten ausserhalb von z0 gibt es n+1 solche Kreisringe. Skizze!8. Basteln! Für jeden Kreisring muss eine Summe aus den entsprechenden Summanden

zusammengesetzt werden.Es muss nicht zwingend speziell vereinfacht werden!

Tipps:- Polynome in z sind bereits schon deren Reihenentwicklungen am Punkt z=0- nutze Reihenentwicklungen von trigonometrischen – und e-Funktionen aus und setze allenfalls

abweichende Argumente ein und forme dann um.- Produkte: Faktoren können einzeln in ihre Laurent-Reihen umgesetzt werden und dann

zusammengefügt werden.



9 SingularitätenHauptteil der innersten Laurent-Reihenentwicklung um die Singularität gibt Aufschluss über den Typ der vorliegenden Singularität.

9.1Isolierte SingularitätenDef: Falls es eine Umgebung um z0 gibt, in der keine weitere Singularität mehr vorkommt, wird die

Singularität in z0 als isolierte Singularität bezeichnet.S. 61

9.1.1 Hebbare SingularitätDer Hauptteil ist gleich null bzw. existiert nicht.∃ lim

z→z0

f (z )=a≠±∞, die Funktion kann also analytisch in diesem Punkt fortgesetzt werden und

besitzt eine Potenzreihenentwicklung.

9.1.2 einfacher PolDer Hauptteil enthält nur einen einzigen Term a−1.

9.1.3 Pol der Ordnung n in z0

Der Hauptteil enthält n Terme der Form cm

( z−z0 )m+…+

c−1

z−z0, ist also endlich lang.

Der tiefste Exponent des Hauptteils entspricht dann der Ordnung.

Es existiert ein Grenzwert limz→z0

( z−z0 )n f ( z )= λ∈C∖ {0 }≠±∞.

9.1.4 Wesentliche SingularitätDer Hauptteil enthält unendlich viele Terme !=0. Die Funktion verhält sich chaotisch nahe z0.

9.2nicht isolierte SingularitätenNicht isolierte Singularitäten sind Singularitäten, in deren Nähe es in jeder noch so kleinen Umgebung um die Singularität noch eine weitere Singularität gibt.

9.3Nullstellen einer analystischen Funkitonf ( z0 ) ist eine Nullstelle der Vielfachheit n, falls f ( z0 )=f ' ( z0 )=…=f (n−1 ) ( z0 )=0, aber

f (n ) ( z0 )≠0. Bei n=1 heisst die Nullstelle „einfach“.

9.4Bestimmung von SingularitätenWenn man die Lage der Singularitäten finden will, sollte man sich an einige Aussagen über analytische Funktionen erinnern: Summen und Produkte von analytischen Funktionen sind stets wieder analytisch (auf den entsprechenden Gebieten), Quotienten sind ebenfalls wieder analytisch ausserhalb der Nullstellen des Nenners (und natürlich der Singularitäten von entweder Zähler oder Nenner), Verkettungen analytischer Funktionen sind schliesslich auch wieder analytisch. Um also die Lage von Singularitäten zu finden, muss man gerade solche Stellen finden, wo diese Regeln versagen: Eine Summe hat dort eine Singularität, wo einer der Summanden eine besitzt. Ein Produkt, wo einer der Faktoren singulär ist. Ein Quotient, wo entweder Zähler oder Nenner eine Singularität oder der Nenner eine Nullstelle hat. Etwas komplizierter ist dies möglicherweise bei Verkettungen: g(f(z)) ist singulär dort, wo entweder f singulär ist, oder in allen Punkten z, für die f(z) genau auf die singulären Punkte von g fällt.

Nullstellen des Nenners finden Typ der Singularität bestimmen

o 1. Vermutung: Pol (Test mit Grenzwert aus 9.1.3)o wenn nicht offensichtlich: Potenzreihen für bekannte Funktionen einsetzen und

versuchen, den entstehenden Term in eine Laurent-Reihe umzuformen. (Dann 1. Hauptterm betrachten)

10 Residuen(-satz)Ein Residuum entspricht dem a−1-Koeffizienten (also jener von

1z

) der Laurent-Entwicklung um den

Punkt z0 der zu untersuchenden Singularität.

Wenn f um z0 holomorph ist, dann ist der Hauptteil der Laurent-Entwicklung gleich Null und somit verschwindet das Residuum

Residuensatz:

∮∂Ω

f ( z ) zⅆ =2πⅈ ⋅∑zi∈Ω

res (f|zi ) ⋅η (γ ( t ) , z i ) ,Bem.: η (γ ( t ) , z i) i.d.R.=±1

„Der Wert eines Integrals einer Funktion f über den Rand eines Gebiets ist die Summe aller im Gebiet enthaltenen Residuen.“

10.1 Residuenberechnung1. res ( f|z0 )=lim

z→z0

( z−z0 ) ⋅ f (z ) Pol 1. Ordnung

2. res ( f|z0 )=limz→z0

1(m−1 ) !

⋅( ⅆzⅆ )m−1

[ ( z−z0 )m⋅ f ( z) ] Pol m-ter Ordnung

3. res ( f|z0 )=p ( z0 )q ' ( z0 )

für f ( z )= p ( z )q ( z )

mit p und q analytisch q mit 1-facher NS in z0



4. res ( f|z0 )=¿ Koeffizient von 1z

der innersten Laurentreihe um z0 (¿a−1 )

5. res ( f|z0 )= 12πⅈ ∫

∂B ( z0 , r)f ( z ) zⅆ

6. res ( f|z0 )=0, falls z0=0 und f gerade (Laurentreihe hat nur gerade Koeff.)

10.2 Umlaufintegral mit Hilfe des Residuensatzes berechnen

1. Bestimme Lage und Typ der isolierten Singularitäten von f ( z )2. Welche z i sind innerhalb des Integrationsgebiets (also innerhalb von γ)? Berechne deren

Residuen.3. Residuensatz: Gemäss obiger Formel die Residuen aufsummieren. Fertig.



10.3 Anwendungen des Residuensatzes1.

∫0

2π

f (cos φ , sinφ ) φⅆ =1ⅈ ⋅ ∫|z|=1

1z⋅ f ( z+z−1

2, z−z−1

2 ⅈ ) zⅆ =2π ∑zi∈∂B ( 0,1)

res ( 1z⋅ f ( z+z−1

2, z−z−1

2 ⅈ )|zi)Substitution durch e ⅈt=z mit

zⅆtⅆ = zⅈ ist naheliegend.

2.p.v .∫

−∞

∞

f (x )ⅆ x={ 2πi ⋅ ∑z∈H +¿ res ( f (z )|z i)+πi∑

z∈Rres ( f (z)|zi)¿

falls f (x )= p ( x )q ( x )

−2πi⋅ ∑z∈H+¿ res ( f (z)|zi )−πi∑

z∈Rres ( f (z )|z i)¿

und deg (p )≤deg (q )−2

3.

∫−∞

∞

f ( x )ⅇ αxⅈ xⅆ ={ 2πi ⋅ ∑z∈H+¿ res ( f (z )ⅇ αzⅈ |zi)¿

α ≥0 falls f ( x )=p (x )q ( x )

und q ( z )≠0 ∀ z∈R

−2πi ⋅ ∑z∈H +¿ res ( f (z )ⅇ αzⅈ |zi) ¿

α≤0 und deg (p )≤deg (q )−2

4. ∫−∞

∞

f ( x ) cos (αx ) xⅆ =¿

5. ∫−∞

∞

f ( x ) sin (αx ) xⅆ =¿

Dabei ist mit H+¿¿ die obere Halbebene und mit H−¿ ¿ die untere Halbebene gemeint.p und q müssen Polynome sein!Herkunft Formeln: 1. S.72, 2. S.79, 3. – 5. S.76

Integralabschätzungen:

limR→∞ (|∫S R

f ( z ) zⅆ |)≤ limR→∞

πR ⋅max (|f ( z )|),

(SR=¿ Halbkreis, R→∞)

limε→ 0

∫|z− z0|=ε ,ℑ(z )≥0

f (z )=πⅈres ( f|z0 ), (Halbkreis um Singularität) gem. Satz 5.15 S.77

10.3.1 Vorgehen zur Berechnung von Integralen

Es soll ein Integral der Form

∫γf ( z ) zⅆ mit f ( z )= p ( z )

q ( z ) berechnet werden. p und

q müssen nicht zwingend Polynome sein, können auch durchwegs irgendwelche Funktionen sein. γ kann entweder eine geschlossene Kurve oder der Weg

entlang der reellen Achse (also ∫−∞

∞

f (t ) tⅆ ¿ sein.

Begründung Vorgehen: um ein reelles uneigentliches Integral berechnen zu können, erweitert man dieses in die komplexe Ebene und wählt den Halbkreis geschickt, dass das Integral darüber verschwindet. Dadurch reduziert sich das Problem auf das Aufsummieren aller in der entsprechenden Halbebene befindlichen Residuen.

1. Faktorisiere Nenner von f ( z ) bzw. finde die Singularitäten (Skizze).2. Integrationskurve schliessen: ist γ schon geschlossen? Falls ja: überspringe 2,4,5,6. Falls nein:

Ist das Integral von derselben Form wie eines der Integrale 10.3 und erfüllt deren Eigenschaften (p und q Polynome!)? Wenn ja → Formel anwenden und noch Schritt 3,7.Falls nein: Integral geeignet schliessen, indem ein Halbkreis (welcher = 0 wird) dazugenommen wird.

3. Berechne die Residuen der Singularitäten, die im Integrationsgebiet und auf der reellen Achse liegen.

4. Falls die Funktion Singularitäten auf der reellen Achse hat: Integrationsweg weiter aufteilen, damit diese Singularitäten in einem Halbkreis umfahren werden.⇒ Das Integral besteht aus dem durch die Halbkreise um die reellen Singularitäten unterbrochenen Hauptintegrationsgebiet, sowie dem grossen schliessenden Halbkreis.

5. Die kleinen Integrale um die reellen Singularitäten mittels der Formel in 10.1 abschätzen.Vorsicht mit Orientierung!

6. Das grosse Integral entlang dem grossen Halbkreis abschätzen (idealerweise |f|→0).Wenn nicht 0 rauskommt, einen anderen Halbkreis verwenden.



7. Residuensatz anwenden: oben durch heisst positiv orientiert → Mini-Integrale addieren

∫−∞

∞

f ( t ) tⅆ =±2 πⅈ ∑zi∈H ±

(res ( f|zi) )−Abschätzungen der Halbkreisintegrale

∫−∞

∞

f (t ) tⅆ =±2 πⅈ ∑zi∈H ±

(res ( f|zi) )±πⅈ∑zi∈ R

(res ( f|zi ))„Minus“-Variante mit

Orientierung begründen, da nicht hergeleitet in Vorlesung.

11 Fourierreihen11.1 Form

f ( t )= ∑k=−∞

∞

ckⅇ2 πⅈ kT t

=a0

2+∑

k=1

∞

akcos (2π kTt)+bk sin(2π k

Tt) , ck∈C ,ak /bk∈R

11.2 KoeffizientenBei der Berechnung des nullten Koeffizienten einfach jeweils den cos/sin/e-Term = 1 setzen und das Integral normal berechnen.

11.2.1 reell

ak=2T ∫

t0

t 0+T

f ( t ) cos(2 π kTt) tⅆ , bk=

2T ∫

t0

t0+T

f (t )sin(2π kTt ) tⅆ

f gerade: f ( t )=f (−t )

bk=0 ∀ k ,ak=4T ∫0

T2

f (t ) cos(2 π kTt) tⅆ

f ungerade: f (t )=−f (−t )

ak=0 ∀ k ,bk=4T ∫0

T2

f ( t ) sin(2π kTt) tⅆ

f halbwellensymmetrisch:

ak=4T ∫

t0

t 0+T2

f ( t ) cos(2 π kTt) tⅆ , bk=

4T ∫

t 0

t0+T2

f ( t ) sin(2 π kTt) tⅆ

11.2.2 komplex

ck=1T ∫

t 0

t0+T

f ( t )ⅇ2πⅈ k

Tt

tⅆ

11.2.3 Umrechnung

ck=12 (ak− ⅈbk ) , c−k=

12 (ak+ ⅈbk ) , k>0

c0=a0

2

ak=ck+c−k , bk=ⅈ (ck−c−k ) , a0=2c0

11.3 Fundamentalintegrale

∫0

2π

sin (kt ) tⅆ =0 für k∈Z

∫0

2π

cos (kt ) tⅆ =0für k ≠0 , k∈Z

∫0

2π

ⅇikt tⅆ =0 für k≠0 , k∈Z

∫|z|=r

zk zⅆ =0 für k ≠−1, k∈Z

11.3.1 Satz von ParsevalBei Summen/Integralen von Beträgen in Quadrat!



‖f‖2=1T ∫

t0

t0+T

|f ( t )|2 tⅆ = ∑k=−∞

∞

|ck|2 11.4 Kochrezept

Berechnen von Fourierreihen und daraus explizite Reihen auswerten:1. Funktion skizzieren. (Ist eine reelle oder eine komplexe Fourierreihe gefragt?) ⇒ Bei reeller

Reihe gerade oder ungerade fortsetzen, wenn nicht schon in Aufgabenstellung spezifiziert.2. Fourierkoeffizienten mit dem Integral berechnen - meistens mit partieller Integration (auf

Vorzeichen aufpassen!)

3. Schreibe f (t )=∑… komplett aus (nicht sin, cos oder exp abhängig von der Variable (t

oder x) vergessen)4. → Werte der Reihen: ein geschicktes t 0 suchen, dass, wenn in die Fourierreihe eingesetzt,

dieselbe so ähnlich wie die Reihe in der Aufgabe wird.

5. Benutze Punkt 3 und Auswertung von f ( t0 ) (immer mithilfe von gebener Funktion oder

Graph).6. Alternativ kann auch der Satz von Parseval angewendet werden (für das Integral wieder

Funktion von ganz am Anfang nehmen, nicht Fourierreihe einsetzen!), falls die Reihe in der Aufgabe das Quadrat von euren Koeffizienten ist und man eine komplexe FR hat (Koeffizientenumrechnung hilfreich).

7. In beiden Fällen erhält man ⇒ Zahl=Reihe, dann nur noch algebraisch umformen und fertig.zu beachten:

1. cos (nπ )=(−1 )n ,∀ n∈Z

2. sin(k π2)=(−1 ) j , j=2k+1 ,∀ k∈Z

3. ∑…⋅ ( (−1 )n−1) , ∀n∈Z⇒Reihe hat nur gerade Koeff.

12 FouriertransformationDie Fouriertransformation bringt eine Funktion (wie auch die Laplace-Transformation) vom Zeit- in den Frequenzbereich.

12.1 Skalarprodukt

⟨ f , g ⟩= 12 π ∫− π

π

f ( t ) g ( t ) tⅆ , falls f , g 2π-periodisch

⟨ f , g ⟩=∫−∞

∞

f (t ) g (t ) tⅆ , sonst



12.2 Faltung

( f∗g ) (t )= 12π∫−π

π

f ( y ) g (t− y ) yⅆ falls f , g 2π-periodisch

( f∗g ) ( t )=∫−∞

∞

f ( y )g (t− y ) yⅆ ,sonst

Sei ( f∗g ) ( t ) die Faltung von f und g, dann ist ( f∗g ) (ω )= f (ω) g (ω).

12.3 Transformation / Rücktransformation

¿Fouriertransformation:∧ f (ω )=∫−∞

∞

f (t )ⅇ− ωtⅈ tⅆ ∧ falls ∧∫−∞

∞

|f ( t )| tⅆ <∞

¿ Inverse Transformation : ∧f (t )= 12π ∫−∞

∞

f (ω )ⅇ ωtⅈ ωⅆ ∧ falls ∧∫−∞

∞

|f (ω )| ωⅆ <∞

f (t )=f (−t )⇒ f (ω)=f (−ω ) , f (t )=−f (−t )⇒ f (ω )=− f (−ω)

12.4 KochrezeptBerechnung der Fouriertransformation von Funktionen mit Hilfe des Residuensatzes:

1. Im Allgemeinen sollte immer die 3. Formel von 10.3 benutzt werden.2. Zuerst mit den Bedingungen prüfen, ob der Halbkreisbogen einen Anteil am Integral

ausmacht.3. Sind die nötigen Bedingungen erfüllt, kann man das Integral mit dem Residuensatz berechnen.4. Die transformierte Funktion ist abängig vom Parameter ω, bei den Bedingungen muss

zwischen a>0→ω<0 und a<0→ω>0 unterschieden werden.5. Für ω<0 muss über die obere Halbebene integriert werden. Das Integral kann mit dem

Residuensatz berechnet werden. (Singularitäten mit Lage und Typ bestimmen, Formel einsetzen).

6. Analog dazu muss für ω>0 über die untere Halbebene integriert werden.7. Am Schluss die bei den Lösungen für allgemeine ω verbinden, wegen Symmetrie ist oft die

Betragsfunktion hilfreich.

13 Laplace-TransformationF ( s)=∫

0

∞

f ( t )ⅇ−st tⅆ

f ( t )= 12πⅈ ∫

σ−ⅈ∞

σ+ⅈ∞

F (s )ⅇst sⅆ

Unterschied zu Fouriertransformation: iω wurde durch eine komplexe Zahl s=σ+ ωⅈ ersetzt.σ (Wachstumskoeffizient) muss so in s=σ+ ωⅈ gewählt werden, dass die Integrale konvergieren.

In der KomA wird beid er Laplacetransformation f ( t ) immer = 0 gesetzt, wenn t<0 ist.

13.1 Faltung

( f∗g ) ( t )=∫−∞

∞

f ( y )g ( t− y )ⅆ y =Laplace∫

0

t

f ( y )g ( t− y ) ⅆ y⊶ F ( s )G (s )

13.2 Identitäten¿ ( f∗g ) ( t )∧⊶∧F (s )G (s )

¿ f(αt )∧⊶∧1

|α|F( sα )

¿ f (t )ⅇαt∧⊶∧F ( s−a )¿ f ' (t )∧⊶∧sF ( s)− f ¿

¿

Bei der Fouriertransformation fällt bei f ' (t ) der − f ¿-Teil weg (auch bei höheren Ableitungen).Bei den anderen Korrespondenzen reicht es meistens, das s durch iω zu ersetzen.

13.3 KochrezeptLösen von Anfangswertproblemen einer Differentialgleichung mithilfe der Laplacetransformation:

1. Laplacetransformation auf beide Seiten der Gleichung anwenden, Linearität, die Ableitungsregel (!) und Transformationstabelle für Funktionen verwenden.

2. Aus der Differentialgleichung mit Anfangsbedingungen ist nun eine algebraische Gleichung für

F ( s ) geworden, die die Anfangsbedingungen schon miteinbezieht.

3. Die Gleichung nach F ( s) auflösen.

4. Inverse Laplacetransformation benutzen, um f (t ) zu finden.



Nicht das Integral hierfür benutzen, sondern Linearität; bei rationalen Funktionen die Partialbruchzerlegung, bei doppelten Nullstellen evtl. quadratische Ergänzung und den Verschiebungssatz im Bildbereich und zum Schluss Transformationstabelle.

13.4 Lösen von DGL mit Hilfe der Laplace-Transformation

1. Alles Laplace-transformieren mithilfe der Tabellen (Funktionen auf linker und rechter Seite).Falls nicht direkt möglich: in eine der tabellarisierten Funktion umformen.

2. Anfangsbedingungen einsetzen.

3. Nach Y (s) auflösen. Es sollte etwas in der Form Y (s )= p (s )q (s )

rauskommen.

4. falls nötig (d.h. falls man die Rücktransformation nicht direkt mittels der Tabellen machen kann) eine Partialbruchzerlegung machen.

5. Summandenweise rücktransformieren.

14 Diverse Anmerkungen zur komplexen Analysis IMMER hinschreiben, dass etwas analytisch ist (und warum), das gibt meist schon mal Punkte

15 Laplace-Transformation NuS-Style15.1 Vorgehen

1. Transformation in den Bildbereich: II-S.228

U (s )=L {u (t ) }=∫0

∞

u ( t )ⅇ−st tⅆ mit der komplexen Frequenz

s=σ+ jω⇒ ωⅆ =1j

sⅆ Tabelle mit Transformationen: II-S.283

2. Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems: II-S.236

3. Rücktransformation in den Zeitbereich: II-S.238

u ( t )=L−1 {U (s ) }= 12πj

⋅ ∫σ− j∞

σ+ j∞

U (s )ⅇst sⅆ

Strategien:a. Faltungssatz II-S.238

u ( t )=L−1 {U1 (s )⋅U2 (s ) }=∫0

t

u1 ( τ )u2 ( t−τ ) τⅆ =∫0

t

u1 ( t−τ )u2 (τ ) τⅆ

b. Partialbruchzerlegung II-S.240Heaviside’scher Entwicklungssatz II-S.241

Variante 1:1. Aufstellen des Gleichungssystems mit Knoten- und Maschenregel im Zeitbereich2. (optional) Zusammenfassung der Gleichungen zu einer DGL entsprechend (10.73)/II-S.1993. Transformation des GLS bzw. der DGL in den Bildbereich mittels des Differentiationssatzes4. Auflösen des alg. GLS nach der gesuchten Grösse5. Rücktransformation in den Zeitbereich, Tab. II-S.283ff

Variante 2 (vgl. Bsp. 11.7 / II-S.238):1. Übertragung aller zeitabhängiger Grössen in den Bildbereich2. Berücksichtigung der Anfangswerte von Spulenstrom und Kondensatorspannung durch

zusätzliche Quellen im Schaltbild gemäss obiger Tabelle3. Aufstellen des Gleichungssystems mit Knoten- und Maschenregel im Bildbereich4. Auflösen des alg. GLS nach der gesuchten Grösse5. Rücktransformation in den Zeitbereich, Tab. II-S.283ff

15.2 Nützliche Gesetzmässigkeiten II-S.230ffLineare Überlagerung: II-S.230

L {a1u1 (t )+a2u2 ( t )+…}=a1L {u1 ( t ) }+a2 L {u2 ( t ) }+…


Komponente Spannung StromU=RI I=U /R

U=sL I−Li(+0) I= 1

sLU+

i (+0 )s

U= 1sC

I+ u (+0 )s

I=sCU−Cu(+0)


Verschiebungssatz: II-S.230

L {u (t−t 0 )}=ⅇ−s t0 L {u (t ) }Also: wie wenn nicht verschoben wurde, aber mit Vorfaktor

Dämpfungssatz: II-S.232

L {u (t )ⅇ−at }=U (s+a )

Ähnlichkeitssatz: II-S.233

L {u (at ) }=1aU ( sa ) 1

aL {u( ta )}=U (as )

Multiplikationssatz: Da Lio S.119

L {t nu ( t ) }=(−1 )n ⅆn

ⅆ snL {u ( t ) }

Periodizität von Signalen: II-S.234

L {u (t ) }= 11−ⅇ−sT∫

0

T

u ( t )ⅇ−st tⅆ

Differentiationssatz: II-S.235

L {u' ( t ) }=sL {u ( t ) }−u (+0 )=s U (s )−u (+0 )L {u(n) (t ) }=snU ( s )−sn−1u (0 ) (+0 )−sn−2u (1) (+0 )−…−u (n−1)(+0)

Integrationssatz: II-S.236

L {∫0t

u (τ ) τⅆ }=1sL {u (t ) }



δ (t ) 1

δ (t−a ) e−at





Je nach Funktionseigenschaften fallen Fourierkoeffzienten schneller oder langsamer ab:

unstetig (−1 )n 1k

stetig, 1-mal diff’bar1k3

stetig, nicht diff’bar1k2 stetig, n-mal diff’bar

1k3+n



analytisch an, a<1





16 bekannte Reihen16.1 allgemeine Reihen

∑k=0

∞

ak allgemeine Reihe

∑k=1

∞ 1k a Harmonische Reihe

divergiert gegen ∞ für a≥1, konvergiert für a<1

sn1=∑

k=1

n

k=n2(n+1) Summe von natürlichen Zahlen

sn2=∑

k=1

n

k2=n6(n+1)(2n+1) Summe von Quadratzahlen

sn3=∑

k=1

n

k3=[ n (n+1 )2 ]

2

Summe von Kubikzahlen

∑k=0

∞

ak xk allgemeine Potenzreihe

16.1.1 allgemeine binomische Reihefür alle a , x∈ R mit |x|<1 oder a∈Z ,x∈C mit |x|<1 gilt:

∑k=0

∞

(ak) xk=(1+x )a

Spezialfälle:

(1−x )−1=∑k=0

∞

xk=1+x+x2+x3+… (1−x )−2=∑k=0

∞

(k+1 ) ⋅ xk=1+2 x+3 x2+4 x3+…

(1−x )−3=∑k=0

∞ (k+1 ) (k+2 )2

⋅ xk=1+3 x+6 x2+10x3+…

(1+x )1/ 2=∑k=0

∞12 (−1

2 )…( 32−k )

k !⋅ xk=1+ x

2− x2

8+ x3

16−…

16.2 bekannte Potenzreihen

ex=∑k=0

∞ xk

k !=1+ x

1 !+ x2

2!+ x3

3 !+…

, x∈R

ln x=2[ x−1x+1

+ ( x−1 )3

3 ( x+1 )3+ ( x−1 )5

5 ( x+1 )5+…+ ( x−1 )2k+1

(2k+1 ) ( x+1 )2k+1+…] , x>0

sin x=∑k=0

∞ x2k+1

(2k+1)!=x− x3

3 !+ x5

5 !−…

, x∈R

cos x=∑k=0

∞ x2k

(2k )!=1− x2

2!+ x4

4 !−…

, x∈R

tan x=x+ 13x3+ 2

15x5+ 17

315x7+…,|x|< π

2

sinh x=∑k=0

∞ x2n+1

(2n+1 )!=x+ x3

3 !+… cosh x=∑

k=0

∞ x2n

(2n )!=1+ x2

2 !+…

arcsin x=∑k=0

∞ (2k )!22k (k ! )2 (2 k+1 )

x2k+1 ,|x|≤1

arccos x=π2−arcsin x ,|x|≤1 arctan x=∑

k=0

∞

(−1 )k x2k+1

2k+1,|x|<1

Taylorreihe: j x0

n f (x )=∑k=0

n

¿¿ Restglied: Rn ( x )= f ( n+1 ) ( t )(n+1 )!

(x−x0 )n+1=o (( x−x0 )n )





17 Einige AbleitungenTriviale FunktionenC 0 x 1Potenzen Wurzeln

xn(n∈R) n xn−1 √ x 1

2√ x

1x(x≠0)

−1x2 n√ x (n∈R ,n≠0 , x>0)

1n n√xn−1

1xn

(n∈R , x≠0) −nxn+1

[ f ( x ) ]n (n∈R ) n [ f ( x ) ]n−1 f ' ( x ) Exponentialfunktion Logarithmus

ⅇx ⅇx ln x (x>0) 1x

ⅇbx(b∈ R) bⅇbx log ax (a>0 , a≠1 , x>0) 1x

logaⅇ=1

x ln a

ax (a>0) ax ln a lg x (x>0) 1x

lnⅇ≈ 0.4343x

abx(b∈ R ,a>0) babx ln a ln f (x ) ( f ( x )>0 ) f ' ( x )f ( x )

Trigonometrische Funktionen Hyperbolische Funktionensin x cos x sinh x cosh x cos x −sin x cosh x sinh x

sec x= 1cos x

sin xcos2 x

sech x= 1cosh x

−sinh xcosh2 x

cosec x=csc x= 1sin x

−cos xsin2 x

cosech x=csch x= 1sinh x

−csch x coth x

tan x (x ≠ (2k+1 ) π2, k∈Z) 1

cos2 x=sec2x tanh x

1cosh2 x

cot x= 1tan x

( x≠ kπ , k∈Z) −1

sin2x=−cosec2 x coth x= 1

tanh x( x≠0 )

−1sinh2 x

Trigonometrische Umkehrfunktionen Hyperbolische Umkehrfunktionen

arcsin x (|x|<1) 1

√1−x2 arsinh x 1

√1+x2

arccos x (|x|<1) −1

√1−x2 arcosh x (|x|>1) 1

√x2−1

arctan x 1

1+ x2 artanh x (|x|<1) 1

1−x2

arccot x −1

1+ x2 arcoth x (|x|>1) −1x2−1

arcsec x( x>1) 1

x√ x2−1

arccosec x( x>1) −1

x√ x2−1

18 Integralrechnung18.1 Regeln

∫ ( f ( x )+g ( x ) ) xⅆ =∫ f ( x ) xⅆ +∫ g ( x ) xⅆ Addition Spezialfälle der Substitution



∫ λ⋅ f ( x ) xⅆ =λ ⋅∫ f (x ) xⅆ Skalare Multiplikation∫a

b f ' ( x )f ( x )

xⅆ =[ln|f (x )|]ab

∫ f ( x )g ( x ) xⅆ =f ( x )G ( x )−∫ f ' (x )G (x ) xⅆ Partielle Integration∫a

b

( f ( x ) )s f ' (x ) xⅆ =[ 1s+1

( f (x ) )s+1]a

b

(∫ f ( x ) xⅆ )|x=φ ( y )=∫ f (φ ( y ) )φ ' ( y ) yⅆ Substitution∫a

b

f (rx+s ) xⅆ =1r⋅ ∫ra+ s

rb+ s

f ( z ) zⅆ

Integrationstechniken: Partielle Integration: Oftmals sinnvoll, wenn ein Faktor ersten Grades oder ein Logarithmus zum Ableiten vorhanden ist. Wenn man es schafft, aus einem Polynom eine Reihe zu bilden, ist die Integration danach wesentlich einfacher. Substitution bei rationalen Funktionen (wenn Zähler ungeraden Grad hat) Trigonometrische Funktionen evtl. durch e-Funktionen ausdrücken Partialbruchzerlegung



18.2 Grundintegrale

∫ xn xⅆ = xn+1

n+1+c n∈Z≥0 , x∈ (−∞,∞ )

∫ xn xⅆ = xn+1

n+1+c n∈Z≤2∧ x∈ (−∞ ,0 )∧ x ≠0

∫ xs xⅆ = xs+1

s+1+c

s∈C∖ {−1 }∧ x∈ (0 ,∞ )

∫ 1x

xⅆ =ln|x|+c x∈ (−∞ ,∞ )∧ x ≠0

∫ⅇx xⅆ =ⅇx+c x∈ (−∞ ,∞ )

∫ ln x xⅆ =x ( ln x−1 )+c x∈ (0 ,∞ )

∫sin x xⅆ =−cos x+c x∈ (−∞ ,∞ ) ∫sinh x xⅆ =cosh x+c x∈ (−∞ ,∞ )

∫ arcsin x xⅆ =x arcsin x+√1−x2 ∫ arsinh x xⅆ =x arsinh x−√ x2+1

∫cos x xⅆ =sin x+c x∈ (−∞ ,∞ ) ∫cosh x xⅆ =sinh x+c x∈ (−∞ ,∞ )

∫ arccos x xⅆ =x arccos x−√1−x2 ∫ arcosh x xⅆ =xarcosh x−√x2−1

∫ 1cos2 x

xⅆ = tan x+c x∈(kπ− π2, kπ+ π

2 ) , k∈Z ∫ 1cosh2 x

xⅆ =tanh x+c x∈ (−∞ ,∞ )

∫ 1sin2 x

xⅆ =−cot x+c ∫ 1sinh2 x

xⅆ =−coth x+c

∫ tan x xⅆ =−ln|cos x|+c x∈(kπ− π2, kπ+ π

2 ) , k∈Z ∫ tanh x xⅆ =ln cosh x+c x∈ (−∞ ,∞ )

∫ arctan x xⅆ =x arctan x−12

ln (1+x2) ∫ atanh x xⅆ =x artanh x+ 12

ln (1−x2 )

∫cot ax xⅆ =1a

ln|sin ax|+c ∫coth x xⅆ =ln|sinh x|+c

∫ 1√1−x2

xⅆ =arcsin x+c x∈ (−1,1 ) ∫ 1

√ x2−1xⅆ =arcosh x+c

x∈(1 ,∞)

∫ −1√1−x2

xⅆ =arccos x+c x∈ (−1,1 )

∫ 11−x2 xⅆ =artanh x+c x∈ (−1,1 )

∫ 11−x2 xⅆ =artanh 1

x+c

x∈ (−∞ ,−1 )∨ (1 ,∞ )

∫ 11−x2 xⅆ =1

2⋅ ln| x+1

x−1|+c x∈ (−∞ ,∞ )∧ x ≠−1∧ x≠1

∫ 11+x2 xⅆ =arctan x+c

x∈ (−∞ ,∞ ) ∫ 1√1+ x2

xⅆ =arsinh x+c x∈ (−∞ ,∞ )

Gebrochenrationale Funktionen Irrationale Funktionen

∫ xⅆa2+x2=

1a

arctan xa ∫ xⅆ

√a2−x2=arcsin x

a

|x|<a ,a>0

∫ xⅆa2−x2=

1a

artanh xa= 1

2aln| a+xa−x| ∫ xⅆ

√a2+x2=arsinh x

a=ln|x+√x2+a2|

|x|<0 , a>0 a>0

∫ xⅆx2−a2=

−1a

arcoth xa= 1

2aln|x−a

x+a | ∫ xⅆ√ x2−a2

=arcosh xa=ln|x+√x2−a2|



|x|>0 , a>0 |x|>0 , a>0

18.3 Standard-SubstitutionenIntegral Substitution Differential Bedingung

∫ f (x ,√ax+b ) xⅆ x∧¿ t

2−ba

√ax+b∧¿ t xⅆ =2t tⅆ

a t ≥0

∫ f (x ,√a x2+bx+c ) xⅆ x=αt+β xⅆ =α tⅆ

wähle α, γ > 0 und β so, dass eine der 3 Varianten gilt:

¿a x2+bx+c∧¿γ 2⋅ (1+ t2 )¿∧¿ γ2 ⋅ (1−t 2 )¿∧¿ γ2 ⋅ (t2−1 )

∫ f (x ,√a−x2) xⅆ x∧¿√a sin t

√a−x2∧¿cos t xⅆ =cos t tⅆ

−π2

≤t ≤ π2

∫ f (x ,√a+x2 ) xⅆ x∧¿√a sinh t

√a+x2∧¿cosh t xⅆ =cosh t tⅆ t∈ R

∫ f (x ,√ x2−a ) xⅆ x∧¿√a cosh t

√ x2−a∧¿ sinh t xⅆ =sinh t tⅆ t ≥0

∫ f (ⅇx , sinh x ,cosh x ) xⅆ ⅇx=t xⅆ = tⅆt

t>0 mit sinh x= t2−12 t

und

cosh x=t 2+12t

∫ f (sin x ,cos x ) xⅆ tan x2=t xⅆ = 2 tⅆ

1+ t2

−π<x<π mit sin x= 2t1+ t2 und

cos x=1−t 2

1+t2

∫ f (x2 ,1+x ) xⅆ tan x= t xⅆ =1+ tan2 x

19 Trigonometrische Funktionen19.1 Definitionen

ⅇ xⅈ =cos x+ ⅈsin x ex=∑k=0

∞ xk

k!=1+ x

1 !+ x2

2!+ x3

3 !+… , x∈R

sin x=ⅇ xⅈ −ⅇ− xⅈ

2 ⅈ =∑n=0

∞ (−1 )n

(2n+1 )!x2n+1=x− x3

3!+ x5

5 !− x7

7 !±… sin ( x+ yⅈ )=sin x cosh y+ ⅈcos x sinh y

cos x=ⅇ xⅈ +ⅇ− xⅈ

2=∑

n=0

∞ (−1 )n

(2n )!x2n=1− x2

2!+ x4

4 !− x6

6!±… cos ( x+ yⅈ )=cos x cosh y+ ⅈsin x sinh y

19.2 Gegenseitige Darstellungtan x= sin x

cos x sec x= 1

cos x, csc x=cosec x= 1

sin x,cot x= 1

tan x= cos x

sin x

sin2 x+cos2 x=1

1+ tan2 x= 1cos2x

=sec2 x sec2 x−tan2 x=1

1+cot2 x= 1sin2 x

=csc2 x csc2 x−cot2 x=1

19.3 Additionstheoremesin ( x± y )=sin x cos y ±cos x sin y

cos (x± y )=cos x cos y∓sin x sin y 2 sin x sin y=cos (x− y )−cos (x+ y )

tan(x± y )= tan x± tan y1∓ tan x tan y

=sin ( x± y )cos ( x± y )

2 cos xcos y=cos (x− y )+cos ( x+ y )


Sinussatza

sin α= b

sin β= c

sin γ=abc

2 A=2 r

α: Winkel gegenüber von aCosinussatz

c2=a2+b2−2abcos γ γ: Winkel zwischen a und b


arctan (x± y )= arctan xarctan y∓1arctan x± arctan y

= cos ( x± y )sin ( x± y )

2 sin xcos y=sin(x− y )+sin ( x+ y )

19.4 Summe zweier trigonometrischer Funktionensin x+sin y=2 sin x+ y

2cos x− y

2 cos x+cos y=2 cos x+ y

2cos x− y

2

sin x−sin y=2sin x− y2

cos x+ y2

cos x−cos y=2 sin y+x2

sin y−x2

19.5 Symmetriensin (−x )=−sin x tan(−x)=−tan x sec (−x)=+sec xcos (−x)=+cos x arctan (−x)=−arctan x csc(−x)=−csc x

19.6 Umrechnung in andere trigonometrische Funktionensin(arccos x )=cos (arcsin x )=√1−x2

sin(arctan x)= x√1+x2

cos (arctan x )= 1√1+x2

tan(arcsin x )= x√1−x2

tan (arccos x)=√1−x2

x

19.7 Doppelwinkelsin (2 x )=2 sin x cos x= 2 tan x

1+ tan2 x

cos (2 x )=cos2 x−sin 2 x=1−2sin 2 x=2 cos2x−1=1−tan2 x1+ tan2 x

cos (2x )cos(x )+sin (2x ) sin (x )=cos ( x )

tan (2 x )= 2 tan x1−tan2x

= 2arctan x−tan x

arctan (2 x )= arctan2 x−12arctan x

= arctan x−tan x2

19.8 Quadrat von trigonometrischen Funktionensin2 x=1

2 (1−cos (2x ) )

cos2 x=12 (1+cos (2x ) )

tan2x=1−cos (2x )1+cos (2 x )



20 Hyperbolische Funktionen20.1 Definitionen

sinh ( x )=ⅇx−ⅇ−x

2=∑

n=0

∞ 1(2n+1 )!

x2n+1=x+ x3

3 !+ x5

5 !+ x7

7 !+…, R→R

sinh ( x+ yⅈ )=sinh(x)cos ( y)+ ⅈcosh (x)sin ( y )

cosh ( x )=ⅇx+ⅇ− x

2=∑

n=0

∞ 1(2n ) !

x2n=1+ x2

2!+ x4

4 !+ x6

6 !±…,R→ [1 ,∞ )

cosh (x+ yⅈ )=cosh ( x )cos ( y )+ ⅈ sinh ( x )sin ( y )

tanh x= sinh xcosh x

=ⅇx−ⅇ− x

ⅇx+ⅇ−x ,R→ (−1,1 )

arsinh x=ln (x+√x2+1) , R→R

arcosh x=ln ( x+√x2−1 ) , [1,∞ )→R0+¿ ¿

artanh x=12

ln 1+x1−x

, R→ (−1,1 ) arcoth x=12

ln x+1x−1

20.2 Gegenseitige Darstellungcosh2 x−sinh2 x=1

arsinh x=sgn x arcosh (√ x2+1) arcosh x=arsinh (√|x|2−1) ,(x>1) sin( zⅈ )=ⅈ sinh z⇔ sinh ( zⅈ )=ⅈsin z

cos ( zⅈ )=cosh z⇔cosh ( zⅈ )=cos z

20.3 Additionstheoremesinh ( x± y )=sinh x cosh y ± cosh x sinh y

cosh ( x± y )=cosh xcosh y± sinh xsinh y

tanh(x± y )= tanh x± tanh y1± tanh x tanh y

20.4 Symmetriensinh(−x)=−sinh x

cosh (−x )=cosh x

21 diverse nützliche Facts (2)21.1.1 Werte irrationaler Zahlenπ≅ 3.14159… ⅇ≅ 2.71828…√2≅ 1.41421… √3≅ 1.73205… √5≅ 2.23607…



21.1.2 Wichtige Winkel


α tan α0°

00

30°

1/√3π6

45°

1π4

60°

√3π3

90°

(∞ )π2

120°

−√32π3

135° −13π4

150°

−1/√35π6

180°0π


1 Bemerkungen (V3.1)

DisclaimerMeine Formelsammlungen entstehen und wachsen meist über eine längere Zeit. Es besteht immer ein gewisses Risiko, dass sich einige Fehler über zig Iterationen versteckt gehalten haben. Ich freue mich deshalb über jegliche (Fehler-) Verbesserungen, Anmerkungen, Lob, Dank oder auch Kritik.Meine Zusammenfassungen werden fortlaufend korrigiert und aktualisiert veröffentlicht.

Weiterverarbeitung:Weil ich es nicht ausstehen kann, dass ständig das Rad neu erfunden werden muss, habe ich das Originaldokument mit veröffentlicht mit der Einladung, sich hier für die eigene Formelsammlung zu bedienen. Ihr könnt diese Zusammenfassung also gerne weiterverarbeiten und / oder auch in überarbeiteter Form veröffentlichen.Haltet jedoch die Herkunft der kopierten/übernommenen Teile so gut wie möglich nachvollziehbar, falls ihr weiter veröffentlicht.Obiges gilt auch für alle anderen Formelsammlungen von mir, welche diesen Bemerkungstext (noch) nicht enthalten.

Quellenangaben:Aus Platz- und Zeitgründen (blame the 'Prüfungsstress') fehlen natürlich praktisch jegliche Quellenangaben (worüber ich auch schon ab und zu fluchen musste). Ich versuche jedoch in diesem Abschnitt die Arbeiten zu referenzieren, von denen ich wissentlich kopiert habe:

Wesentliche Bestandteile:allgemeines aus dem Skript „Komplexe Analysis“ von Prof. Da LioKochrezepte PVK Skript Komplexe Analysis von Alex Grossallgemein, Fouriertransformation Serienunterlagen von Ella Vintschger und Leonard Deuschle

Revisionsverlauf:1.0 Sept 2014 erste Veröffentlichung Stefan Rickli2.0 20.12.2014 Fehler S.7: i hat gefehlt in 11.2.2

Änderung S.6-8: kleine Anpassung der Darstellung von 2pi i k t / T, um besser mit SigSys I (3. Sem) zu korrellierenAktualisierung S.15-18: Formeln aus aktueller Analysis-FS übernommenHinzugefügt S.19: Bemerkungen zu Weiterbearbeitung durch nachfolgende Studenten, Hinweise zur Benutzung des FormeleditorsÄnderung Anhang: MindMaps als Einzeldateien, um weniger Aufwand bei der nächsten Aktualisierung der Zfsg zu haben.

Stefan Rickli

2.1 21.06.2016 Ergänzung der Laplace-Tabelle um die Delta-FunktionBemerkungsseite aktualisiert und Quellen hinzugefügt

Stefan Rickli

To Do:

2 Ressourcen zu „Word und Formeleditor“Es gibt ein paar Ressourcen, welche mir sehr geholfen haben, den Formeleditor in Word zu meistern:

- Microsoft Word formula editor: https://support.office.com/en-us/article/Linear-format-equations-and-Math-AutoCor-rect-in-Word-2e00618d-b1fd-49d8-8cb4-8d17f25754f8?ui=en-US&rs=en-US&ad=US

- Unicode Nearly Plain-Text Encoding of Mathematics: http://www.unicode.org/notes/tn28/ o das ist der Standard, an den sich der Editor (fast vollständig) hält. Ist sehr gut beschrieben und

dokumentiert. Ausnahme sind Umrahmungen, welche nicht die ganze Funktionalität erhalten haben.- Die Zeichenübersicht des Editors selber: wenn man mit der Maus über ein Zeichen fährt, zeigt es einem den Tastatur-

Shortcut an, den man eingeben kann

Nice to know:- Alt + Shift + 0 erstellt eine neue Formel

(durch einen Bug in Office 2016 muss dieser Shortcut neu manuell definiert werden, Stand Mai 2016)- der Leerschlag ist euer Freund! Er veranlasst den Formeleditor, die Syntax bis zum aktuellen Punkt zu überprüfen und

das Zeug fixfertig bis zu dem Punkt, wo ihr seid, darzustellen (ausser es gibt noch offene Klammern).o verhält sich der Editor mal komisch, liegt es zu 95% daran, dass etwas in der Syntax nicht stimmt. Hier hilft

ab und an mal, sich die Formel im linearen Modus anzuschauen, wo alles bis auf Sonderzeichen wieder auseinander genommen wird. Das einzige, mit dem der Editor Mühe hat, sind grosse Eq-Arrays und mehrzeiliges Zeug.

- Wenn die Formel auf einer eigenen Zeile steht, veranlasst ein Leerschlag ausserhalb nach der Formel (also AUSSERHALB des Formeleditorfelds) den Editor, die Formel im Inline-Modus darzustellen (Formel braucht weniger Platz)

o siehe Tabellen in dieser ZF, dort habe ich das konsequent benutzt. Löscht mal das Leerzeichen nach einer Formel, das ein Integral enthält

- benutzt die Backslash (\) Befehle! Wenn man sich die beiden Dokumente oben ausdruckt und zur Referenz hält, geht es nicht lange, bis man alles mit der Tastatur machen kann und nie absetzen muss, um was mit der Maus zu machen

- \ensp und \emsp können helfen, um grössere, gewollte Abstände zu realisieren- \\eqarray ordnet mit jedem & einmal links und dann wieder rechts an- bastelt euch eure eigenen Shortcuts

o zum Beispiel \La für ⇐ \Ra für ⇒ \Lra für ⇔ oder \to für ein → oder eine leere 4x4 Matrix als \4x4 mit (■(&&&@&&&@&&&@&&&)) und einem Leerschlag

am Ende (damit der Ausdruck gleich aufgebaut wird) etc

o dazu einfach das entsprechende Zeichen in die Zwischenablage kopieren und im Formeleditor unter „Formeloptionen“ (in den Tools als kleiner Pfeil unten rechts zu finden) und „Math. Autokorrektur“ einfügen und den entsprechenden Backslashbefehl definieren

o manchmal ist es sinnvoll, noch eigene Funktionsnamen zu definieren, welche der Editor erkennen soll, wenn man sie häufig benutzt. Z.B. Imag()

ansonsten Leerschlag funktionsname\funcapply Leerschlag- die mathematische Autokorrektur ist manchmal auch ausserhalb des Formeleditors nützlich. Ich hab das in den

Optionen auch aktiviert- Wenn Word langsam wird wegen vielen anzuzeigenden Formeln, hilft

o 1. die Entwurfsansicht (anstatt Seitenlayout). Wenn man sich damit abfindet, dass dann ab und zu das Layout (noch) nicht dargestellt oder updated wird (nicht beirren lassen), kann man gut die kritischen Abschnitte bearbeiten. Achtung: Bilder werden NICHT angezeigt, sondern einfach mit einem Leerschlag repräsentiert!

o 2. reinzoomen, bis weniger Formeln sichtbar sind.

Zuletzt gespeichert: 21.06.2016, 12:36, Version 42 30 / 30

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