Upload
enisa-pusina
View
85
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Neto metode za ocenu matematike rezerve
1.Knjigovodstvena metoda Matematika rezerva, knjigovodstveno
se definie kao, razlika izmeu osiguranikovih uplata i osiguravaevih isplata pod pretpostavkom da su sve dospele uplate u obraunskoj godini naplaene i da su sve osiguravaeve isplate izvrene onako kako je to predvieno tablicama smrtnosti.
Prilikom obrauna koristiemo sledee oznake:
t
Vx
Pretpostavimo da nam je data rezervat 1
Vx
i na osnovu ove rezerve emo izraunati rezervut
VxKako
l x+ t 1
predstavlja broj ivih lica od
lx
osiguranih lica
posle (t 1) godina, njihova rezerva e iznositi:
l x +t 1 t 1 V x
Kada ovu matematiku rezervu saberemo sa neto premijom koju e
l x +t 1
lica platiti u toku (t 1) godine, to e matematiki biti:
l x +t 1 t 1 V x + l x +t 1 Pxuveano za interes do kraja (t ) godine, daje:
(lx + t 1t 1Vx + l x + t 1 Px ) r = lx + t 1 (t 1Vx + Px ) rSa druge strane, kako je u toku godine umrlo d x +t 1 Matematika rezerva na kraju godine t za
l x +t
lica, lica e biti:
lx +t t Vx = lx +t 1 (Odavde je
t 1
Vx + Px ) r d x +t 1
lx +t 1 ( t 1Vx + Px ) r d x +t 1 tVx = l x +t lx +t
Da bismo rezervu izrazili pomou komutativnih brojeva,
diskontovanog broja ivih lica starih x godina - Dxi broja diskontovanih umrlih lica u toku (x + 1) godina starosti , pomnoiemo i podeliemo prvi lan desne strane sa odnosno: x +t 1 , a drugi lan sa r x + t
r
lx +t 1 r x +t 1 d x +t 1 r x +t x +t 1 ( t1Vx + Px ) r x +t tVx = lx + t r l x +t rSledi da jet
Vx =
D x +t 1 C ( t 1V x + Px ) x +t 1 D x +t D x +t
Analogno rezervi
t
Vx
, moemo odrediti i rezervu
t +1
Vx
. Pretpostavke su iste: osiguralo se pri emu je nakon t godina ivo
lx l x +t
osoba, osoba, pa je rezerva
l x + t t V xOva rezerva se u tekuoj godini poveava za neto premiju koju moraju da plate osiguranici,
lx + t Pxtako da je
l x +t t V x + l x +t PxDo kraja godine e doi do uveanja ovog iznosa za odreenu kamatu:
( l x +t t V x + l x+t Px ) r
Meutim, ukoliko se rizik smrti dogodi, drutvo za osiguranje mora ispuniti svoje obaveze prema tim licima Za iznos ovih obaveza, osiguravajua kompanija mora smanjiti iznos rezerve na kraju (t + 1) godine, tako da je za do tada l x +t +1 ivih osoba rezerva:
lx + t +1 t +1 Vx = lx +t ( tVx + Px) r d x +tDeljenjem sa
l x +t +1,
bie:
t +1
Vx =
l x +t l x +t +1
d x +t ( t V x + Px ) r l x +t +1
Kadaa
l x +t l x +t +1
pomnoimo i podelimo sa pomnoimo i podelimo sa
r x +tr x +t +1dobijamo
d x +t l x + t +1
,
d x +t r x +t +1 r x +t +1 x +t ( t Vx + Px ) x +t + 1 t +1Vx = lx +t +1 r lx +t +1 r lx +tNa osnovu komutativnih brojevai
d x +t = C x +t r x +t +1Vx =
dobijamo
l x +t = Dx +t x +t r
l x + t +1 = D x +t +1 x + t +1 r
t +1
Dx +t C ( t Vx + Px ) x+ t Dx +t +1 Dx+ t+ 1
Ova formula se obino koristi za ocenjivanje rezerve sa promenljivom premijom i naziva se rekurzivna formula.
Polazei od rezerve
l x +t
ivih lica, moemo izraunati
Px
lx + t t Vx = l x +t 1 (odavde jet Vx =
t 1
Vx + Px) r d x +t 1
lx +t 1 d ( t 1Vx + Px ) r x+ t 1 lx +t l x+ t
iz ega sledit Vx +
d x +t 1 lx+ t 1 = r ( t 1Vx + Px l x +t l x+ t
)
i dolazimo do
l l 1 d 1 Px = tVx x + t + x +t 1 x +t t1Vx lx + t 1 r lx +t lx +t 1 r
Imajui u vidu da je
l x +t l x +t 1
= p x +t 1
d x +t 1 = l x +t 1 l x +t
l x +t 1 l x +t = 1 p x +t 1 = q x +t 1 l x +t 1ijom zamenom u relaciji dobijamo:
p x +t 1 = 1 q x +t 1
1 1 Px = tVx p x +t 1 + q x +t 1 t 1 x V r rodnosno
1 1 Px = tVx ( 1 q x +t 1 ) + q x +t 1 t 1 x V r r
Konana formula
1 Px = tVx rOdavde je:
t
1 Vx+ qx +t 1 ( 1tVx 1 r
)
1 tVx t 1 Vx r
- tedni deo premije
1 - deo koji se izdvaja za isplate teta koje su nastale q x +t 1 (1 t V x ) u tekuoj godini (riziko premija). rUdeo u isplati koji pripada jednom osiguraniku sastoji se iz dva dela:
1 q x +t 1 r
prirodne premije za jedinicu kapitala lica starog (x+t-1) god. riziko kapitala
1 t V x
2 Retrospektivna metoda Prema retrospektivnoj metodi,
matematiku rezervu moemo definisati kao razliku izmeu svih dosadanjih osiguranikovih uplata i svih dosadanjih isplata osiguravajue kompanije, svedeno na vreme za koje traimo rezervu.
Ako je Px
- neto premija, onda je na poetku osiguranja vrednost svih premija
koje e dospeti ili su dospele u toku t godina:
Px ax ,tgde je:
ax ,t
-sadanja vrednost jednokratne premije za linu rentu od 1 dinara za vreme trajanja ivota osiguranog lica u toku t godina
ax , n = n axU skladu sa ovim, vrednost isplate usled smrti koja se oekuje u tih t godina, raunata na poetku osiguranja, jednaka je uplati jednokratne premije za temporarno osiguranje kapitala za sluaj smrti kroz t godina.
Ax , t
Vrednosti Px ax ,t
i
Ax ,t su poznate u momentu poetka osiguranja,
meutim nama su te vrednosti potrebne posle t godina, u momentu ocenjivanja rezerve. Iznos od 1 dinara u osiguranju za t godina se povea na Ako postavimo zadatak:
Dx Dx+ t
- uz premiju
- uz premiju od 1 dinar osiguran je kapital K, iz proporcije proizilazi da je:Dx + n Dx: 1 = 1 : K
D x +n Dx
osiguran je kapital 1 dinar;
D K x +n = 1 Dx
K=
Dx D x +n
Za n godina iznos od 1 dinara tehniki naraste na Dx Dx + n Ovaj izraz se i naziva osiguravajuim tehnikim faktorom.
U skladu sa ovim, posle t godina iznosi e postati:
Px ax ,t
i
Ax ,t
Px a x ,t
Dx Dx +t
i
Dx Ax ,t Dx +tNjihova razlika predstavlja premijsku, odnosno matematiku rezervu:
t Vx = P a x ,t Ax ,t x
(
)
Dx Dx +t
Matematiku rezervu moemo predstaviti i kaot Vx =
Px ( N x N x +t ) ( M x M x +t ) Dx +t
Ova jednaina predstavlja razliku diskontovanih uplata i isplata od momenta kada je osigurano lice bilo staro x godina do momenta kada je lice postalo staro (x + t) godina. Na osnovu prethodne formule mogu se izraunati i individualne matematike rezerve za sledee vrste osiguranja: - za sluaj smrti sa doivotnim plaanjem godinjih premija - za sluaj smrti sa ogranienim trajanjem plaanja premija - za temporarno osiguranje - za meovito osiguranje (za sluaj smrti i za sluaj doivljenja).
3 Prospektivna metoda Prema ovoj metodi, matematika rezerva
u odreenom momentu, treba da bude jednaka razlici sadanje vrednosti svih buduih isplata i sadanje vrednosti svih buduih uplata (premija), odnosno oekivana sadanja vrednost buduih rashoda umanjena za oekivanu sadanju vrednost buduih prihoda daje prospektivnu vrednost polise.
Vrednost jednokratne premije oznaavamo sa
Ax +ta vrednost buduih uplata je proizvod neto premije i doivotne rente za lice staro (x + t) godina
Px ax + tAko je
l x +t
lica, x godina starosti, osigurano za sluaj smrti sa
jednakim godinjim premijama ,
Px
sa doivotnim plaanjem,
posle t godina matematika rezerva e biti:
d x +t d x+ t + 1 d x+ t+ 2 lx +t t Vx = + 2 + 3 + ... Px r r r
lx+ t+ 1 lx+ t+ 2 lx+ t + + 2 + ... r r
Ukoliko jednainu matematike rezerve podelimo sa lx + t dobiemo:tV x =
l d x +t d d l + 2 x +t +1 + 3 x + t + 2 + ... Px x +t + x + t +1 + ... l r l x +t r l x +t r l x +t x +t r l x +t
Mnoenjem i deljenjem desne strane relacije sa
r x +t dobiemo:
l x +t r x +t d x +t r x +t d x +t +1 r x + t l x +t +1 r x + t Vx = x +t + 2 x + t + ... Px x +t + x + t + ... t r l x +t r r l x +t r r l x +t r l x +t r , sreivanjem izraza dobijamo:t Vx =
C x +t + Cx+ t + 1 + ... D + Dx+ t+ 1 + ... Px x+ t Dx +t Dx+ tM x +t N Px x+ t Dx +t Dx+ t
t
Vx =
Kako je, M x+t = Ax + t D x+tN x+t = a x+t D x+t
relaciju moemo zapisati i kao:t
Vx = Ax +t Px ax+t- diskontovana vrednost 1 dinara osiguranog kapitala posle t godina; -diskontovana vrednost svih godinjih premija koje jedno lice (x + t) godina treba da plati osiguravau do kraja osiguranja.
gde je:
Ax +t
Px ax + t