- 1 -

- 1 -

- 1 -

第十一章 重积分 一. 将二重积分 ∫∫=

D

dyxfI σ),( 化为累次积分(两种形式), 其中 D给定如下:

1. D: 由 xy 82 = 与 yx 82 = 所围之区域.

2. D: 由 x = 3, x = 5, x－2y + 1 = 0及 x－2y + 7 = 0所围之区域.

3. D: 由 122 ≤+ yx , y ≥ x及 x > 0所围之区域.

4. D: 由|x| + |y| ≤ 1所围之区域.

解. 1. ∫ ∫∫∫∫∫ ===4

08

82

02

2),(),(),(

yy

x

xD

dxyxfdydyyxfdxdyxfI σ

2. ∫ ∫∫∫+

+==5

32

7

21 ),(),(

x

xD

dyyxfdxdyxfI σ

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −−

++=6

5

5

72

5

3

5

3

3

2

12

3),(),(),(

y

ydxyxfdydxyxfdydxyxfdy

3. ∫ ∫∫∫−

==2

2 2

0

1),(),(

x

xD

dyyxfdxdyxfI σ

∫ ∫∫ ∫−

+=1

22

1

0

22

0 0

2

),(),(yy

dxyxfdydxyxfdy

4. ∫ ∫∫ ∫∫∫−

−−

+

−−+==

1

0

1

11

1

1),(),(),(

0 x

x

x

xD

dyyxfdxdyyxfdxdyxfI σ

∫ ∫∫ ∫−

−−

+

−−+=

1

0

1

1

0

1

1

1),(),(

y

y

y

ydxyxfdydxyxfdy

二. 改变下列积分次序:

1. ∫ ∫−

−

a xa

axa dyyxfdx0

2

22

22 ),( 2. ∫ ∫∫ ∫−

+3

12

3

0

1

0 0),(),(

2 xxdyyxfdxdyyxfdx

3. ∫∫∫∫−−

−−+

22 21

0

20

1),(),(

x

x

x

xdyyxfdxdyyxfdx

解: 1. ∫ ∫∫ ∫∫ ∫−−

−

−

− +=aa

yaa ya

aya

a xa

axa dxyxfdydxyxfdydyyxfdx

20

20 20

2

2222

2

22

22 ),(),(),(

2. ∫∫∫ ∫∫ ∫−

−

=+y

y

xxdxyxfdydyyxfdxdyyxfdx

231

0

3

12

3

0

1

0 0),(),(),(

2

3. ∫∫∫∫−−

−−+

22 21

0

20

1),(),(

x

x

x

xdyyxfdxdyyxfdx

- 2 -

= ∫∫∫∫−

−−−+

y

y

y

ydxyxfdydxyxfdy

2

2

2

0

1

0),(),(

三. 将二重积分 ∫∫=D

dyxfI σ),( 化为极坐标形式的累次积分, 其中:

1. D: a2 ≤ x2 +y2 ≤ b2, y ≥ 0, (b > a > 0) 2. D: x2 +y2 ≤y, x ≥ 0 3. D: 0 ≤ x +y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1

解. 1. ∫∫∫∫ ==b

aD

dfddyxfI ρρθρθρθσπ

)sin,cos(),(0

2. ∫∫∫∫ ==θπ

ρρθρθρθσsin

02

0)sin,cos(),( dfddyxfI

D

3. ∫∫∫∫ −== θπ ρρθρθρθσ cos1

0

0

4

)sin,cos(),( dfddyxfID

+ ∫∫ + θθπ

ρρθρθρθ sincos1

02

0)sin,cos( dfd

四. 求解下列二重积分:

1. ∫ ∫∫∫ +4

2

22

1 2sin

2sin

x

x

xdy

yxdxdy

yxdx ππ

2. ∫∫−x y

dyedx0

21

0

2

3. ∫∫D

dxdyxxysin

, D: 由 x = y2及 211 yx −+= 所围成

4. ∫∫D

dxdyxy6 , D: 由 y = x

4－x3的上凸弧段部分与 x轴所形成的曲边梯形

5. ∫∫ +Ddxdy

yxxy

22 , D: y ≥ x及 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2

解.

1. ∫∫∫∫ ∫∫∫ −==+2

1

2

2

1

4

2

22

1 2cos2

2sin

2sin

2sin

2

dyy

y

yxydx

yxdydy

yxdxdy

yxdx

y

yx

x

x

ππ

πππ

= ∫∫ −=−2

12

2

1 2sin4

2cos2 yyddyyy π

ππ

π

- 3 -

= ∫+−2

122 2sin4

1

2

2sin4 dyyyy π

ππ

π

= )2(4

1

2

2cos84 332 +=− ππ

πππ

y

2. ∫ ∫∫∫∫∫−−−−

−==1 1

022

1

02

1

02

02

1

0 2

2222

y

yyyx y

dyeydyedxdyedyedx

= ∫∫−−

+1

02

1

02

22 yy

ydedye = 21

1

022

1

02

222

0

1−−−−

=−+ ∫∫ edyeyedyeyyy

3. ∫∫D

dxdyxxysin

D: 由 x = y2及 211 yx −+= 所围成.

解.

因为yxyyxf sin),( = 满足 ),(),( yxfyxf −=− , 且积分区域关于 x 轴对称, 所以该二重

积分等于 0.

4. ∫∫D

dxdyxy6 , D: 由

34 xxy −= 的上凸弧段部分与 x轴所形成的曲边梯形.

解. 23 34' xxy −= , 0)12(6612'' 2

- 4 -

∫ ∫∫∫ =+4

5

4

2

1 222sincosπ

πρρ

ρθθρρθ dddxdy

yxxy

D

∫∫=2

1

45

42sin

21 ρρθθ

π

πdd = 0

五. 计算下列二重积分:

1. ∫∫

−

−

D

dxdyby

ax 221 , D: 12

2

2

2

≤+by

ax

.

解. 令 θρ cosax = , θρ sinby = .雅可比行列式为

ρθρθθρθ

θρ θρθρ ab

bbaa

yyxxyx

=−

==∂∂

cossinsincos

''''

),(),(

ababdabddxdyby

ax

D

πρπρρρθπ

32)1(

31211

1

0

23

22

0

1

0

222

=−−=−=

−

− ∫ ∫∫∫

2. ∫∫ +D

dxdyyx )ln( 22 , D: 1222 ≤+≤ yxε , 并求上述二重积分当 +→ 0ε 时的极限.

解. ∫∫∫∫∫ ==+1 221 22

0

22 lnln)ln(εε

πρρπρρρθ ddddxdyyx

D

= )1ln()ln( 2221222 −+−=− εεεπρρρπε

所以+→0

limε

π−=+∫∫D

dxdyyx )ln( 22 .

3. ∫∫ −−xa

dyyxxa

yfdx00 ))((

)('

解. ∫∫∫∫ −−=−−a

y

axa

yxxadxdyyfdy

yxxayfdx

))(()('

))(()('

000

= ∫∫∫∫+

−−−

+−

=−

+⋅+−

a

y

aa

y

a

yaxya

yaxddyyf

xxyaay

dxdyyf)

2(

4)(

)2

()('

22

)('20

20

= ∫∫ −==

−

+−

aafafdyyfdy

y

a

ya

yaxyf

00))0()(()('

2

2arcsin)(' ππ

- 5 -

4. ∫∫ ++−−

D

dxdyyxyx

22

22

11

, D: x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

解. =++−−

∫∫D

dxdyyxyx

22

22

11

∫∫∫ +−

=+− 1

02

2

11

411

,

dtttxdd

D

πθρρρρ

θρ

utt=

+−

11

令 ∫ +1

0 22

2

)1(du

uuπ θtan=u令 θ

θθθπ

πd∫ 40 4

22

secsectan

= )2(8

sin40

2 −=∫ ππθθπ

πd .

六. 求证: ∫∫∫ =2

1)(2ln)( duufdxdyxyf

D

, 其中D是由 xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x > 0, y

> 0)所围成之区域.

证明: 令 u = xy, y = vx. 即vux = , uvy = .

vvuyx

21

),(),(=

∂∂

. 所以

∫∫ ∫∫∫∫∫ ===2

1

2

1

4

1)(2ln

21)(

21)()(

,

duufdvv

duufdudvv

ufdxdyxyfvuDD

七. 求证: ∫∫∫ −≤+

−=+2

2

2

1

)(2)(22

duufudxdyyxfyx

证明: 令 yxu += , yxv −= . 21

''''

1),(),(

−==∂∂

yx

yx

vvuuvu

yx. 所以

dudvufdudvufdxdyyxfu

vuyx∫ ∫∫∫∫∫ −

−

≤+≤+

==+2

2

2

021

2

2222

)(21)()(

= ∫− −2

2

2 )(2 duufu

八. 设 f(t)是半径为 t的圆周长, 试证:

∫∫∫−

≤+

+−

=a t

ayx

yx

dtetfdydxe0

22

2

222

22

)(21

21

ππ

证明: 左 = ∫∫∫∫−

≤+

+−

=a

ayx

yx

deddydxe0

22

02

2

222

22

21

21 ρρθ

ππ

ρπ

- 6 -

∫−

=a

de0

2

2

221 ρπρπ

ρ

∫−

=a

def0

2

2

)(21 ρρπ

ρ

=右

九. 设 p(x)是[a, b]上的非负连续函数, f(x), g(x)在[a, b]上连续且单调递增, 证明:

∫ ∫b

a

b

adxxgxpdxxfxp )()()()( ≤ ∫ ∫

b

a

b

adxxgxfxpdxxp )()()()(

证明: 令 =)(xF ∫ ∫x

a

x

adttgtpdttftp )()()()( － ∫ ∫

x

a

x

adttgtftpdxtp )()()()(

F(0) = 0, 且

∫=x

adttgtpxfxpxF )()()()()(' + ∫

x

adttftpxgxp )()()()(

－ ∫x

adttgtftpxp )()()()( － ∫

x

adttpxgxfxp )()()()(

= 0)]()()][()()[()( ≤−−∫x

adtxgtgtfxfxptp

上面不等式成立是由于 p(x)是[a, b]上的非负连续函数, f(x), g(x)在[a, b]上连续且单调递增. 所以 F(x)单减. 于是

∫ ∫b

a

b

adxxgxpdxxfxp )()()()( ≤ ∫ ∫

b

a

b

adxxgxfxpdxxp )()()()(

十. 证明: ∫∫ ∫ −− −−=−b

a

nb

a

x

a

n dyyfybn

dyyfyxdx )()(1

1)()( 12

证明: ∫ ∫∫ ∫ −− −=−b

a

b

x

nb

a

x

a

n dxyxdyyfdyyfyxdx 22 )()()()(

= =−− ∫

−b

a

b

x

n dyyxyfn

1)()(1

1∫ −−−

b

a

n dyyfybn

)()(1

1 1

十一. 设 m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明:

0222

=∫∫≤+

dydxyxayx

nm

证明: 区域 D既对 x轴对称, 又对 y轴对称.

当 m为奇数时 nm yx 为对于 x的奇函数, 所以二重积分为 0;

当 n为奇数时 nm yx 为对于 y的奇函数, 所以二重积分为 0.

十二. 计算: ∫ ∫ ∫ −1

0 0 0 1sinx y dz

zzdydx

解. 因为 ∫ − dzzz

1sin

不能积成有限形式, 所以必须更换积分次序. 四面体 A BCD− 为所求的

积分区域.

- 7 -

A 1 B 1 C D

由图知 =−

=− ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

zyDy

x ydx

zzdz

zzdydx

,

11

0 0 0 1sin

1sin

∫∫ −−zyD

dydzyzz

,

)1(1sin

= )sin1(21sin)1(

21)1(

1sin 1

0

1

0

1zzdzzdyydz

zz

z−=−=−

− ∫∫ ∫

十三. ∫∫∫Ω

++ dxdydzzxy )2( 22 , Ω: 由 2222 azyx =++ , 2222 4azyx =++ , 及

0222 =+− zyx (y ≥ 0, a > 0)所围成.

解. 令 ϕθϕθϕ sinsin,sincos,cos rxrzry === . 则

ϕθϕ drddrdxdydz sin2= . 于是

drrrrdddxdydzzxya

aϕϕϕθϕ

ππsin)sincos2()2( 2

22

0

4

0

22 +=++ ∫∫∫∫∫∫Ω

= ∫ +⋅ 4024

)sincos2(4

2π

ϕϕϕπ dra

a

=

−+− ∫ 40

40

24

22cos1cos

215 ππ ϕϕϕπ da = )2(

1615 4 ππ +a

十四. 计算下列三重积分:

1. ∫∫∫Ω

−+++ dvzyx 3)1( , Ω: 由 x + y + z = 1, x = 0, y = 0及 z = 0所围成.

解.

- 8 -

∫∫∫∫∫∫ −−

Ω

− +++=+++ dzzyxdydxdvzyxx 11

0

1

0

3 )1()1(

= ∫∫∫∫− −−− −−− −++=+++−

xx yxdyyxdxdyzyxdx

1

0

221

0

1

0

1

0

21

0]2)1[(

21)1(

21

= ∫∫ −−−+=

−−++− −−

1

0

11

0

1

0)]1(

41

21)1[(

21)1(

41)1(

21 dxxxdxxyx x

=

−=

−−=

−+−+

852ln

21

81

212ln

21)1(

81

21)1ln(

21 1

0

21

0xx

2. ∫∫∫Ω

++ dve zyx , Ω: y = 1, y =－x, x = 0, z = 0及 z =－x所围形体.

解. z C D B O A y 1 x 四面体 ABCDO − 为积分区域.

∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ +−+−+

Ω

++ −=−==xy xyxy D D

yxyxyxx z

D

yxzyx dxdyeedxdyeedzeedve )()1(0

= ∫∫∫ ∫ +−=−=

−

−+

−

+ 1

0

1

0

01

0

0)1()()( dyeyedyeyedydxee yy

yyxy

y

yxy

= eeedyeye yy −=++−=+− ∫ 3122121

0

1

0

3. ∫∫∫Ω +

dvyx

z22

2, Ω: 由 yoz面上的区域 D绕 z轴旋转一周而成的空间区域, 其中

D = }0,0,12,1|),{( 22 ≥≥−≥≤+ zyyzzyyx

解.

−==+12122

yzzy

, 解得

−==

10

1

1

zy

,

=

=

5354

2

2

z

y z = 2y－1

∫∫∫Ω +

dvyx

z22

2= ∫∫∫

Ω +122

2 dvyx

z+ ∫∫∫

Ω +222

2 dvyx

z －1

- 9 -

= ∫ ∫∫+

53

0 22

12xyD

dxdyyx

zdz + ∫ ∫∫+

1

53 22

12xyD

dxdyyx

zdz

= ∫+5

3

0 2)1(22 dzzzπ + ∫ −

1

53

2122 dzzzπ

= 53

023 )

21

31(2 zz +π －

1

53

23

2 )1(322 z−π =

12564

322

259

21

12527

312 ⋅⋅+

⋅+⋅ ππ

= ππ7589

3128

2459

12512 =

++⋅

4. ∫∫∫Ω

xydv , Ω: z = xy, x + y = 1及 z = 0所围形体.

解. z y 1 x

∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −=

===

−

Ω

1

0

321

0

1

0

2222

0)1(

31 dxxxdxdyyxdxdyyxdzdxdyxyxydv

x

D

xy

D xyxy

=180

160

1036452031

61

53

43

31

31)331(

31 1

0

322 =−+−

⋅=

−+−=−+−∫ dxxxxx

5. ∫∫∫Ω

+==++Ω++ )(31:, 22222222 yxzzyxdvzyxz 与由 围成的空间区域.

解.

- 10 -

解

+=

=++

)(3

122

222

yxz

zyx 得

23

=z .

方法一: ∫∫∫Ω

++ dvzyxz 222

∫ ∫∫

++= 2

3

0

222 dzdxdyzyxzxyD

+ ∫ ∫∫

++

1

23

222 dzdxdyzyxzxyD

= ∫ ∫

+2

3

03

0

22 dzrdrzrzz

+ ∫ ∫

+−1

23

1

0

222

2 dzrdrzrzz

π

∫∫∫−

++⋅−+=1

23

1

0

2223

0

323

0

3

22 2

32

32

332 dzzrzdzzzdzzzz

zπππ

= ∫

2

3

0

423

34

32 dzzπ － ∫ 2

3

0

4

32 dzzπ + ∫

1

233

2 zdzπ － ∫1

23

4

32 dzzπ

=51

32

232

534

32

1

23

223

0

523

πππ −+

zz

= ππππ152

43

3323

34

152

523

−⋅−+

=

2020303 πππ =−

方法二: 用球坐标变换

drddrrrdvzyxz ϕθϕϕ∫∫∫∫∫∫ΩΩ

⋅⋅=++ sincos 2222

=1

0

46

0

2

06

0

1

0

4

512cos

412cossin rdrrd ⋅

−⋅−=∫ ∫ ∫

ππ π

ϕπϕϕθ

=205

121

41

412 ππ =⋅

⋅−

6. Ω∫∫∫Ω

,2dvr 为底面是单位正方形, 高为 h 的正四棱锥体, 而 r 为棱锥中任一点到顶点 P

的距离. 解. z h y x

- 11 -

在点 z处, 由相似三角形得

2

21

lzhh

=−

, 所以h

zhl −= . l为点 z处截面正方形的边长. 于是

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ΩΩΩΩ

−++=−++= dvhzdvyxdvhzyxdvr 2222222 )()(])([

=2 ∫∫ ∫∫−

⋅−+hh

D

dzh

zhhzdzdxdyxxy

0 2

22

0

2 )()(][

= ∫∫ −+⋅−

−

hh hzh

dzhzh

dzxh

zh0

420

2

0

3

)(132

)(8

∫∫ −+−

⋅⋅−

=hh

dzhzh

dzh

zhh

zh0

420 3

3

)(18

)(31

28

h

hh hzhh

dzhzh

dzhzh 0

5

240

420

44 5

)(161)(1)(

61 −

⋅

+=−+−= ∫∫

)16(305

1161 25

24 +=⋅

+= hhh

hh

十五. 求由下列曲线所围图形的面积.

1. ayxaxy25,2 =+= (a > 0)

解: a/2 2a

求解联立方程

=+

=

ayx

axy

25

2

, 得 axax 2,2

== . 所以面积 S为

S = ∫∫ ∫∫∫

−−=

=

− aa

aa

xa

xa

D

dxx

axadxdydxdy2

2

22

2

25

25

2

= 2ln28

15ln21

25 22

2

2

22 aaxaxaxa

a−=

−− .

2. x + y = a, x + y = b, y = αx, y = βx (0 < a < b, 0 < α < β)

- 12 -

解. 令 x + y = u, y = vx. 所以 v = xy

xx

y

yv

xv

yu

xu

111

2−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=uv

xyx 2

2)1( +

=+

, 所以 2)1(),(),(

vu

vuJyxJ

+= , 所以

∫∫∫∫∫∫ +=+==β

αdv

vudududv

vudxdyS

b

aDD uv

22 )1(1

)1(

=)1)(1(

)(21

11

21 222

αβαββ

α ++−

−=+

− abv

ub

a

3. xyayx 2222 2)( =+ , (a > 0)

解. 令 θθ sin,cos ryrx == . 于是面积 S为

∫∫∫∫∫ === 402sin

0

22sin

04

024

πθθ

π

θθ drrdrddxdySaa

D

= 240

240

2 2cos2sin2 aada =−=∫ππ

θθθ .

4. )3()( 2322 xyxayx −=+ , (a > 0)

解. 由表达式可知图形关于 y 轴对称, 所以总面积为上半平面部分的面积的二倍. 化成极坐标, 得

)3cos4(cos 2 −= θθar

因为 r > 0, 所以

0)3cos4(cos 2 ≥−θθ

求解

≥−

≥

03cos40cos

2 θ

θ 或

≤−

≤

03cos40cos

2 θ

θ, 且 0 ≤ πθ ≤

解得 6

526

0 πθππθ ≤≤≤≤ 或 . 于是面积 S为

+== ∫∫∫∫

≥

65

2

260

2

)0(

)(21)(

2122

π

π

π

θθθθ drdrdxdySyDxy

= ∫ −602222 )3cos4(cos

π

θθθ da + ∫ −65

2

2222 )3cos4(cosπ

π θθθ da

ϕπθ −=第二式中令 ∫ −602222 )3cos4(cos

π

θθθ da

- 13 -

+ ∫ −26

2222 )3cos4(cosπ

π θθθ da

=4

)3cos4(cos2

20

2222 ada πθθθπ

=−∫ .

十六. 求曲面 22 yxz += 夹在二曲面 yyxyyx 2, 2222 =+=+ 之间的部分的面积.

解. 该曲面在 xoy平面上的投影区域为 所以所求面积为

∫∫∫∫ ++++=

∂∂

+

∂∂

+=xyxy DD

dxdyyx

yyx

xdxdyyz

xzS 22

2

22

222

11

= πππ4

23)4

(22 =−=∫∫xyD

dxdy

十七. 求用平面 x + y + z = b与曲面 2222 ayzxzxyzyx =−−−++ 相截所得的截断面之

面积. 解. 作变换

++=

+−=

−=

zyxz

zyxy

zxx

31

31

31'

61

62

61'

21

21'

上式是正交变换, 所以 '''0 zyx 也是直角坐标系. 在新坐标系下平面方程为

bzyxz3

1)(3

1' =++=

反解变换式可得

- 14 -

++−=

+−

=

++=

'3

1'6

1'2

1

'3

1'3

6

'3

1'6

1'2

1

zyxz

zyy

zyxx

代入曲面方程后得到

22232'' ayx =+

正交变换不改变面积, 所以

2

32''

32''

222

adydxSayx

π== ∫∫≤+

十八. 求下列曲面所围形体的体积. 1. z = xy, x + y + z = 1, z = 0. 解. 曲顶的曲面为 z = xy及 x + y + z = 1. 所以所求体积必须分成二部分. 该二部分在 xoy平面上的投影区域分别为 D1, D2. 于是体积 V为

∫∫∫∫ −−+=21

)1(DD

dxdyyxxydxdyV

= ∫∫∫ ∫−

+−

+−

−−+x

xx

xx

dyyxdxydyxdx1

11

1

0

1

011

0)1(

= 2ln212172ln6

6252ln4

411

−=

−+

−

2. 0,2,, 222222 ==+=++= zxyxxyxyxz

解. ∫∫∫∫ =+=θ

θ

πθ

cos2

cos

2

0

22 )( rdrrddxdyyxVxyD

∫ −=π

θθθ0

44 )coscos16(41 d = π

3245

.

3. 2222 ,8 yxzyxz +=−−=

解. 解联立方程

+=

−−=22

228yxz

yxz, 得 z = 4.

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −+=+==Ω

8

4

4

0

8

4

4

0)8( dzzzdzdxdydzdxdydzdvV

xyxy DD

π = 16π.

- 15 -

十九. 将三重积分 ∫∫∫Ω

dvzyxf ),,( 化为柱面坐标的累次积分, 其中Ω是由 222 zyx =+ , z =

1及 z = 4所围成. 解.

∫ ∫∫=π

θθθ2

0

4

1

1

0),sin,cos( dzzrrfrdrdI + ∫ ∫∫

πθθθ

2

0

44

1),sin,cos(

rdzzrrfrdrd

二十. 改变下列三重积分的积分次序:

1. ∫∫∫+ 22

0

1

0

1

0),,(

yxdzzyxfdydx , 2. ∫∫∫

+− yxxdzzyxfdydx

0

1

0

1

0),,(

解. 1. 因为 ∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ==),(

),()(

2

1

2

1

),,(),,(),,(zxy

zxyyD

y

yDV xzxz

dxdzzyxfdydyzyxfdxdzdvzyxf . 应

该注意最后这个积分的积分区域和 y有关, 因此内层的二重积分为 y的函数. 当 x取自[0, 1]时, 该积分区域 V在 yoz平面上的投影区域如图: 于是 z

∫∫∫+ 22

0

1

0

1

0),,(

yxdzzyxfdydx

x2+1

= ∫ ∫ ∫ ∫∫∫

+

+

−

1

0

1

0

1 11

00

2

2 2

2

),,(),,(x

x xz

xdyzyxfdzdzdyzyxfdzdx

x2

由于 x, y的轮换对称性, 立即可得

∫∫∫+ 22

0

1

0

1

0),,(

yxdzzyxfdydx

0 1 y

= ∫ ∫ ∫ ∫∫∫

+

+

−

1

0

1

0

1 11

00

2

2 2

2

),,(),,(y

y yz

ydxzyxfdzdydxzyxfdzdy

该题的积分区域如下图: z 1 y 1 x

对于22 yxz += , 当x = 0, y = 1时, z = 1; 当x = 1, y = 0时, z = 1. 当x = 1, y = 1时, z = 2. 所

以当 z取自[0, 1]时, V在 xoy平面上的投影 xyD 如左图; z取自[1, 2]时, V在 xoy平面上的投

影 xyD 如右图.

- 16 -

1 1 Dxy Dxy

z z －1

1 1 于是

∫∫∫+ 22

0

1

0

1

0),,(

yxdzzyxfdydx

=

+ ∫∫∫∫∫ −

1

0

11

0

1

0),,(),,(

2dxzyxfdydxzyxfdydz

zyz

z

+ ∫∫∫ −−11

1

2

1 2),,(

yzzdxzyxfdydz

由 x, y的对称性, 直接可得

∫∫∫+ 22

0

1

0

1

0),,(

yxdzzyxfdydx

=

+ ∫∫∫∫∫ −

1

0

11

0

1

0),,(),,(

2dyzyxfdxdyzyxfdxdz

zxz

z

+ ∫∫∫ −−11

1

2

1 2),,(

xzzdyzyxfdxdz

2. 积分区域如下图: y 1 y x 1 当 x取自[0, 1]时积分区域 V在 yoz平面的投影如图: z 1 x 1－x y 于是

∫∫∫+− yxx

dzzyxfdydx0

1

0

1

0),,(

- 17 -

= { }∫ ∫∫∫∫ − −−+x xxzxx dyzyxfdzdyzyxfdzdx 10 11010 ),,(),,( 当 z取自[0, 1]时, V在 xoy平面的投影区域如图: y 1 x+y=1 z z=x+y z 1 x

∫∫∫+− yxx

dzzyxfdydx0

1

0

1

0),,(

= { }∫∫∫∫∫ −−− + yzyyzz dxzyxfdydxzyxfdydz 1011010 ),,(),,( 二一. 已知球上任一点的密度与该点到球心的距离成正比, 求球关于切线的转动惯量. 解. 设直线 l和 z轴平行，l和 xoy平面的交点坐标为 x1和 y1，则物体绕 l的转动惯量为：

Il= ∫∫∫Ω

−+− ddxdydzzyxyyxx ),,(])()[( 212

1 ρ (1)

将球心放在原点，则密度 ρ（x,y,z）=kr，r为点（x,y,z）到球心的距离。因为球的质量为M，所以

442

0 0 0

2

04

22sin RkR

rkdrrrddkkrdxdydzMR

ππφφθπ π

=××=== ∫ ∫ ∫∫∫∫Ω

所以 4RMkπ

= ， 4RMrπ

ρ =

取球的切线为平行于 z轴，与 xoy平面的交点坐标为（0，R），该切线为 l，球体绕 l转动的转动惯量为

MR

RRMMRRkMRRkMR

drrdkMR

krRydxdydzdxdydzyxkrkrdxdydzR

krdxdydzRyRyxkrdxdydzRyxI

R

l

2

64

26262

2

0 0 0

532

222

22222

913

94

94

61

342

0sin

2)(

)2(])([(

=

+=+=×××+=

−+=

−++=

+−+=−+=

∫ ∫ ∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

ΩΩΩ

Ω Ω

ππ

ππ

φθπ π

二十二. 有一半径为 R, 高为H的均匀圆柱体, 其中心轴上低于下底为 a处有一质量为m的质点, 试求此柱体对该点的引力. 解. 取坐标系如图. 因为圆柱关于 x轴、y轴对称, 所以引力关于 x轴、y轴方向的投影为 0.

- 18 -

关于 z轴方向的投影为

dvazyx

azmdFz2

3222 ))((

)(

+++

+=

ρµ

∫∫∫Ω +++

+= dv

azyx

azmF2

3222 ))((

)(ρµ

= dzazyx

dxdyazmxyD

H

+++ ∫∫∫

232220 ))((

)(ρµ －a

柱坐标 dzdrazr

razmRH

+++ ∫∫ 0 23220 ))((

2)( πρµ

= ∫++

+−H

R

dzazr

azm0

02

122 ))((

1)(2 ρπµ

= ∫

++

+−

++H dz

azRaz

azazm

0 22 )(2 ρπµ

= ])([2 2222 aRaHRHm ++++−ρπµ

二十三. 设半径为R的球面 Σ的球心在球面 )0(2222 >=++ aazyx 上, 问当R为何值时,

球面 Σ 在定球面内部的那部分面积最大? 解. 该二个球面的交线为

=−++

=++2222

2222

)( Razyxazyx

, 解得

−=+

−=

2

4222

2

4

2

aRRyx

aRaz

2222 )( Razyx =−++ 在球面 2222 azyx =++ 内的方程为

222 yxRaz −−−=

222 yxR

xxz

−−=

∂∂

, 222 yxR

yyz

−−=

∂∂

所以

- 19 -

∫∫∫∫ −−+−−+=

∂∂

+

∂∂

+=xyxy DD

dxdyyxR

yyxR

xdxdyyz

xzS 222

2

222

222

11

= ∫∫∫−

−=

−−2

42

40 22222

2 aRR

D rRrdrR

yxRdxdyR

xy

π =aRR

322 ππ −

0342

=−=aRR

dRdS ππ , aR

34

= .

aR

dRSd ππ 642

2

−= . 当 aR34

= , 0422

- 1 -

- 1 -

- 2 -