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한밭대학교 컴퓨터공학과 38
5.7 Binary Search Trees
5.7.1 Definition
어떤 노드에서 왼쪽subtree의 노드들의 key값은 노드의 key값보다 작고, 오른쪽 subtree의 key값은 노드의 key값보다 큰이진트리.
* 순차탐색과 임의탐색이 가능
14
1910
5 12 16
8
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5.7.2 Searching a Binary Search Tree
Root로부터 찾고자 하는 key값과비교하여 작으면 왼쪽으로, 크면오른쪽으로 탐색을 반복함.
예) ’12’ 를 탐색하는 경우
1단계 : root에서 비교 12가 작으므로 오른쪽으로 탐색
2단계 : 10과 비교 12가 크므로왼쪽으로 탐색
3단계 : 12의 탐색 완료
예) inorder 운행을 하는 경우
14
1910
5 12 16
8
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5.7.3 Insertion into a Binary Search Tree
탐색을 계속하여 탐색이 중지된 곳에 새로운 key값을 삽입함.
예) ‘13’, ‘17’, ‘2’삽입
14
1910
5 12 16
8
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5.7.3 Insertion into a Binary Search Tree
예제) 20, 15, 17, 28, 13, 25, 22, 10, 30, 19로만들어지는 이진탐색트리를 구하시오.
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5.7.4 Deletion from a Binary Search Tree
1) 단말노드인 경우 : 해당 노드삭제
2) 자노드가 하나인 경우 : 자노드를 부노드의 위치로 이동
3) 자노드가 둘인 경우 : 왼쪽서브트리에서 가장 큰 원소또는 오른쪽 서브트리에서 가장 작은 원소로 대체 (* 이들원소는 자노드가 하나이거나단말노드임)
14
1910
5 12 16
8
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5.7.4 Deletion from a Binary Search Tree
예) ‘8’, ‘19’, ‘10’ 삭제
14
1910
5 12 16
17138
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5.7.4 Deletion from a Binary Search Tree
예제) 17, 28 삭제
20
1713 25
2210
30
19
2815
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5.7.6 Height of a Binary Search Tree
이진탐색트리는 입력되는 자료의 순서에 따라 최악의 경우 트리의 높이가 자료의 수만큼 될 수도 있으므로 트리의 균형을 유지하기 위한 여러 가지 균형탐색트리들이 있다.
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5.8 Selection Trees
5.8.1 Introduction
대형 파일을 정렬할 때, 한번에 정렬할 수 없을 경우 여러 개의 작은 파일로 분할하여 정렬하고, 정렬된 작은 파일(Run)들을 합병(Merge)하여 정렬된 최종 파일을 구한다.(Externalsort) 이때 Run들의 key값중 가장 작은(큰)key값을 선택하는 방법
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5.8.2 Winner Trees
Run들의 key값들을 완전이진트리의 단말노드에 배열하면서, 제노드가 있으면 비교하여 승자를부노드로 올림을 반복함.
8
810 16 9
98
10
15
19
8
12
17
16
25
29
9
13
18
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5.8.2 Winner Trees
* 승자트리알고리즘
0 1 2 3 4 5 6 7
10
15
19
8
12
17
16
25
29
9
13
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5.8.2 Winner Trees
예제) 다음과 같은 Run들을 합병하기 위한 승자트리를 만들어라
5, 19, 26, 37
17, 22, 31, 39
4, 13, 25, 36
2, 16, 30, 35
15, 21, 23, 24
9, 18, 27, 32
7, 20, 33, 38
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5.8.3 Loser Trees
Run들의 key값들을 완전이진트리의 단말노드에배열하면서, 부노드로 올리고 부노드에 값이 있으면비교하여 승자를부노드로 올림을반복함.
9
810 16 9
1610
10
15
19
8
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16
25
29
9
13
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5.8.3 Loser Trees
* 패자트리알고리즘
0 1 2 3 4 5 6 7
10
15
19
8
12
17
16
25
29
9
13
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5.8.3 Loser Trees
예제) 다음과 같은 Run들을 합병하기 위한 패자트리를 만들어라
5, 19, 26, 37
17, 22, 31, 39
4, 13, 25, 36
2, 16, 30, 35
15, 21, 23, 24
9, 18, 27, 32
7, 20, 33, 38
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5.9 Forests
정의 : 하나 이상의 트리들의 집합
F
A
C DB
E G
IH
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5.9.1 Transforming a Forest into a Binary Tree
트리를 이진트리로 변환하면 root의 오른쪽은 항상 0링크가 되므로 이를 이용하면 forest를 하나의이진트리로 변환할 수 있다.
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5.9.2 Forest Traversals
- preorder, inorder 변환된 이진트리의 순회와 동일
- postorder : 그림5.34(BCDFEHIGA)
F
A
C DB
E G
IH
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5.10 Representation of Disjoint Sets
5.10.1 Introduction
분리집합의 트리 표현
집합을 트리형태로 표현하되 자노드가 부노드로 링크
예)
s1 = {0, 6, 7, 8}, s2 = {1, 4, 9}, s3 = {2, 3, 5}
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5.10 Representation of Disjoint Sets
분리집합의 배열 표현
집합의 원소에 0~n-1의 번호를 부여하고, 배열 i번째 요소는 i번째 원소의 부노드를 가리킴, 이때 루트는 -1을 저장
예)
s1 = {0, 6, 7, 8}, s2 = {1, 4, 9}, s3 = {2, 3, 5}
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
parent
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5.10.2 Union and Find Operations
합집합(Union) : 두 집합트리 중의 하나를 다른 트리의 서브트리로 만듬, 즉 한 루트의 부모필드에 다른 루트 값을 저장함
탐색(Find) : 집합원소가 어느 집합에 포함된 것인지를 결정하려면, 부모필드를 따라 루트로 올라감
- Simple Union and Simple Find(Program 5.24)
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5.10.2 Union and Find Operations
Weighted Union(Program 5.25)
[Weighting rule for Union(i,j)] 루트 i인 트리의 노드 수가 루트 j인 트리의 노드 수보다 적으면, j를 i의부노드로 만듬
예제 5.3)
※ 트리의노드 수는 루트의 부모필드에 음수로 나타냄
i 0 1 2 3 4 5 6 7
parent
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5.10.2 Union and Find Operations
Collapsing Find(Program 5.26)
[Collapsing rule] j가 i로부터 루트로 가는 경로에있는 노드이고 parent[i] ≠ root(i)이면, parent[j]에root(i)를 저장함
예제 5.4) Find(7)
※ 7노드의 루트(0)를 찾고, 경로상의 모든 노드의 부모필드에0를 저장
i 0 1 2 3 4 5 6 7
parent
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5.10.3 Application to Equivalence Classes
예제 5.5)
0≡4
3≡1
6≡10
8≡9
7≡4
6≡8
3≡5
2≡11
11≡0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
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5.11 Counting Binary Trees
- 이진트리는 유일한 inorder, preorder 순서쌍을 갖는다.
- 이진트리는 유일한 inorder, postorder 순서쌍을 갖는다.
- 이진트리는 preorder, postorder 순서쌍은 유일하지 않을수 있다.
- n 개의 노드를 갖는 이진트리의 개수는
