Lógicaproposicional:Equivalência,regrasdededução

Agenda

●  Exercício da aula passada ○  Representação de Conhecimento com Lógica Proposicional

●  Regras de Inferência ●  Regras de equivalência ●  Exercícios

Observações sobre representação

●  PàQ, P |-- Q ●  PàQ, P Q

Regras de equivalência

Dizemos que uma fórmula α

é semanticamente equivalente a fórmula β,

denotado α ≡ β,

se e somente se α ↔ β for uma tautologia.

Regras de equivalência

Sentenças que apresentam o mesmo valor verdade em todos os cenários/interpretações

Regras de equivalência As propriedades comutativas e associativas da conjunção e da disjunção significam que em uma proposição envolvendo só conjunções ou disjunções podemos dispensar o uso de parênteses.

●  E01 α ∧ α ≡ α (Idempotência da conjunção). ●  E02 α ∨ α ≡ α (Idempotência da disjunção). ●  E03 α ∧ β ≡ β ∧ α (Comutativa da conjunção). ●  E04 α ∨ β ≡ β ∨ α (Comutativa da disjunção).

Regras de equivalência Exemplos: P ^P ( A gente vive falando isso….)

Regras de equivalência A dupla implicação também possui propriedades comutativa e associativa.

●  E13 α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α)

Joao é considerado advogado só se tiver a carteira da OAB.

Regras de equivalência A implicação NÃO é comutativa (vide a propriedade contrapositiva)

●  α → β NÃO é equivalente a β → α

Regras de equivalência A implicação NÃO é associativa (vide propriedade da implicação)

●  (α → β) → γ NÃO é equivalente a α → (β → γ)

●  Se dirigir embriagado perdesse a carteira então o mundo ficaria seguro.

●  Se dirigir embriagado então perder a carteira deixará o mundo mais seguro

Todos não necessariamente os bebados

As leis de De Morgan descrevem como a negação é distribuída sobre a conjunção e sobre a disjunção

●  ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β (DeMorgan da conjunção).

●  ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β (DeMorgan da disjunção).

Regras de equivalência

●  α, β |-- α (Simplificação)

●  α |-- α ∨ β (Adição)

●  α, α → β |-- β (Modus ponens-à Base da inferência lógica)

●  ¬β,α → β |-- ¬α (Modus Tollensà prova por indireção)

●  α → β,β → γ |-- α → γ (Silogismo hipotético)

Equivalências Notáveis

Axiomas (tautologias)

A01 P |- P Axioma da identidade.

A02 (α → (β ∧ ¬β)) |- ¬α Axioma da não-contradição.

(¬(β ∧ ¬β)) |- True Axioma da não-contradição

A03 (α → β) ∧ (¬α → β) |- β Axioma do terceiro excluído.

Axiomas adicionais (sempre verdadeiros)

A04 (α → (β → α)) |-- True (tautologia)

A05 ((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))) |-- True (tautologia)

A06 ((¬β → ¬α) → ((¬β → α) → β)) |-- True (tautologia)

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Resumo do raciocínio

Exercicios