Natrag: Definicija i osnovna Gore: ODREENI INTEGRAL Naprijed: Supstitucija i parcijalna

Newton-Leibnitzova formulaU ovom poglavlju dokazat emo osnovni teorem integralnog rauna koji daje vezu izmeu neodreenog i odreenog integrala.

Teorem 2.2 Neka je funkcija integrabilna na i neka za nju postoji primitivna funkcija takva da je za svaki

. Tada vrijedi Newton-Leibnitzova formula:

Dokaz.Neka je proizvoljni rastav segmenta kao u definiciji 2.1. Za svaki funkcija je neprekidna na intervalu i derivabilna na

intervalu . Prema Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti [M1, teorem 5.9] postoji toka za koju vrijedi

S druge strane vrijedi

to povlai

Zbrajajui ove nejednakosti dobivamo

Use our professional PDF creation service at http://www.htm2pdf.co.uk!

odnosno

Ove nejednakosti vrijede za proizvoljni rastav segmenta iz ega slijedi

Integrabilnost funkcije povlai

pa je konano

i teorem j dokazan. Q.E.D. Iz teorema zakljuujemo da se odreeni integral moe rijeiti tako da se nae neodreeni integral podintegralne funkcija, a onda uvrste granice. Newton-Leibnitzovuformulu jo zapisujemo kao

Use our professional PDF creation service at http://www.htm2pdf.co.uk!

Primjer 2.2 Povrina izmeu funkcije i -osi od 0 do jednaka je

Slino, povrina izmeu kvadratne parabole i -osi od 0 do jednaka je

Povrine su prikazane na Slici 2.5.

Slika 2.5: Primjena Newton-Leibnitzove formuleU teoremu 2.2 smo pokazali kako se odreeni integral moe izraunati pomou primitivne funkcije. Slijedei teorem daje obrnutu vezu, odnosno kazuje kako se primitivnafunkcija moe dobiti pomou odreenog integrala, to jest pomou povrine izmeu podintegralne funkcije i -osi. Takoer, sljedei teorem daje i neto jau verzijuteorema 2.2 bez uvjeta na derivabilnost funkcije za svaki .

Teorem 2.3 Neka je funkcija integrabilna na intervalu i neka je skup svih toaka prekida funkcije . Tada za funkciju funkcija

definiranu sUse our professional PDF creation service at http://www.htm2pdf.co.uk!

vrijedi (vidi sliku 2.6):(i)

, ,

(ii)funkcija je neprekidna na intervalu ,

(iii)funkcija je derivabilna na i

(iv)ako je skup konaan ili prebojiv, tada je primitivna funkcija funkcije na intervalu te za bilo koju primitivnu funkciju funkcije na intervalu vrijedi Newton-Leibnitzova formula

Dokaz.(i)Oito.

(ii)Za proizvoljan vrijedi

Use our professional PDF creation service at http://www.htm2pdf.co.uk!

pa omeenost funkcije ,

povlai

odnosno

(iii)Za proizvoljan vrijedi

pa sline ocjene kao u toki (ii) daju

Ako je funkcija neprekidna u toki , odnosno, ako je , onda izraz na desnoj strani tei k nuli kada pa je .

(iv)Ako je skup konaan ili prebrojiv, tada je i primitivna funkcija funkcije na intervalu . Prema teoremu 1.2 za bilo koju primitivnu funkciju funkcije

Use our professional PDF creation service at http://www.htm2pdf.co.uk!

na intervalu vrijedi

pa iz toke (i) slijedi

Q.E.D.

Slika 2.6: Primitivna funkcija kao odredjeniintegral

Natrag: Definicija i osnovna Gore: ODREENI INTEGRAL Naprijed: Supstitucija i parcijalna

Use our professional PDF creation service at http://www.htm2pdf.co.uk!