Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου

Μηχανική Ι

Το πνευµατικό άλµα του Νεύτωνα Η κλασσική µηχανική είναι ένα επιστηµονικό αντικείµενο το οποίο τέθηκε για πρώτη φορά σε σταθερή βάση από τον Ισαάκ Νεύτωνα κατά το δεύτερο µισό του 17ου αιώνα. Για την ακρίβεια πρόκειται για την πρώτη1 συστηµατική προσέγγιση εύρεσης θεµελιωδών φυσικών νόµων που διέπουν τις κινήσεις των σωµάτων. Μέχρι τότε πολλές παρατηρήσεις είχαν γίνει, ιδιαίτερα της κίνησης των ουρανίων σωµάτων, οι οποίες όµως δεν µπορούσαν να συναχθούν από κάποιους δυναµικούς νόµους. Η αλήθεια είναι ότι ο Αριστοτέλης (-384/-322) επιχείρησε για πρώτη φορά να διατυπώσει τέτοιες αρχές δυναµικής, οι οποίες όµως, βασιζόµενες στην απατηλή εµπειρία, ισχυρίζονταν εσφαλµένα, ότι για να κινείται ένα σώµα µε σταθερή ταχύτητα v, θα πρέπει να ασκείται συνεχώς επάνω του σταθερή δύναµη F:

kvF = Η αντίληψη αυτή, προερχόµενη από µια εξέχουσα αυθεντία, δεν τέθηκε υπό αµφισβήτηση, για περίπου 2000 χρόνια. Μόνο ο Γαλιλαίος (1564/1642) τόλµησε να ελέγξει την ορθότητα της κυρίαρχης αντίληψης εκτελώντας πειράµατα µε κεκλιµένα επίπεδα από τα οποία προσπάθησε να αφαιρέσει την τριβή λειαίνοντας τις επιφάνειες. Για την ακρίβεια, ο Γαλιλαίος παρατηρώντας ότι τα σώµατα που ολισθαίνουν σε ένα κατηφορικό κεκλιµένο επίπεδο και στη συνέχεια ανέρχονται σε ένα άλλο κεκλιµένο επίπεδο φθάνουν στο ίδιο µε το αρχικό ύψος, συµπέρανε ότι αν το δεύτερο επίπεδο γίνει οριζόντιο, καταργώντας έτσι οποιαδήποτε δύναµη ασκείται στο σώµα, αυτό θα συνεχίσει να κινείται επ’ άπειρο! Ουσιαστικά η παρατήρηση αυτή του Γαλιλαίου είναι ισοδύναµη µε τον πρώτο νόµο του Νεύτωνα (που θα εξετάσουµε παρακάτω), ότι δηλαδή η φυσική κατάσταση ενός ελεύθερου σώµατος είναι η κίνηση και όχι η ακινησία. Ο Γαλιλαίος προχώρησε ακόµη περισσότερο, µελετώντας την κίνηση των σωµάτων που ολισθαίνουν σε κεκλιµένα επίπεδα και διατυπώνοντας το νόµο της οµαλά επιταχυνόµενης κίνησης. Ως χρονόµετρο χρησιµοποίησε το βάρος του νερού που έτρεχε από µια δεξαµενή µέσα σε ένα δοχείο κατά τη διάρκεια της κίνησης που µελετούσε! Εν τω µεταξύ, ο ∆ανός Tycho Brahe (1546/1601) κατασκευάζοντας αστεροσκοπεία αρχικά στην Κοπεγχάγη και αργότερα στην Πράγα, συνέταξε µεγάλης ακρίβειας αστρονοµικούς πίνακες µε τη θέση των πλανητών. Το έργο του πέρασε και συνεχίστηκε από τον µαθητή του και εξαίρετο Γερµανό µαθηµατικό Johannes Kepler (1571/1630). Ο Kepler, επιτυγχάνοντας παρατηρήσεις ακόµη µεγαλύτερης ακρίβειας από το δάσκαλό του κατέληξε στους παρακάτω νόµους για την κίνηση των πλανητών:

(α) οι πλανήτες κινούνται σε ελλείψεις την µία έλλειψη των οποίων κατέχει ο Ήλιος, (β) σε ίσους χρόνους η επιβατική ακτίνα που συνδέει τον Ήλιο µε τον κάθε πλανήτη σαρώνει ίσα εµβαδά, (γ) το τετράγωνο της περιόδου των πλανητών είναι ανάλογο µε τον κύβο του µεγάλου ηµιάξονα της ελλειπτικής τους τροχιάς, µε σταθερά αναλογίας ίδια για όλους τους πλανήτες.

Οι πρώτοι δύο νόµοι δηµοσιεύτηκαν στο βιβλίο του «Nova Astronomia» το 1609, ενώ ο 3ος νόµος χρειάστηκε δέκα ολόκληρα χρόνια ακόµη για να συναχθεί από τις παρατηρήσεις του και να παρουσιαστεί στο νέο του βιβλίο «Harmonices mundi». 1 Αν εξαιρέσει κανείς τους νόµους του Αρχιµήδη που αφορούν κυρίως τη στατική των στερεών σωµάτων.

Ο Νεύτωνας (1642/1727) γεννήθηκε τη χρονιά που πέθαινε ο Γαλιλαίος. Καταγόταν από µια κοινή οικογένεια της αγγλικής υπαίθρου. Από µικρός ξεχώρισε για τις ιδιαίτερες πνευµατικές του ικανότητες. Σπούδασε στο Πανεπιστήµιο του Καίµπριτζ µελετώντας εκτός της θεολογίας και της φιλοσοφίας µαθηµατικά και φυσικές επιστήµες. Από νωρίς ήρθε σε έντονη αντιπαράθεση µε καταξιωµένους επιστήµονες όπως ο Robert Hooke (κάτι το οποίο επαναλήφθηκε πολλάκις στο µέλλον µε άλλους επιστήµονες) ακολουθώντας επιθετική και πολλές φορές προσβλητική γλώσσα εναντίον τους. Αν και ο Νεύτωνας κατέληξε σε εξαιρετικά αποτελέσµατα σχετικά µε τη δύναµη της παγκόσµιας έλξης και επινόησε τον απειροστικό λογισµό σε ηλικία 22 περίπου ετών, απέφυγε, λόγω του χαρακτήρα του, να δηµοσιεύσει τις εργασίες του αυτές. Σε ηλικία 27 ετών έγινε καθηγητής στο Καίµπριτζ καταλαµάνοντας τη Λουκασιανή έδρα των Μαθηµατικών, µια θέση την οποία σήµερα κατέχει ο Stephen Hawking. Γνώριζε τα έργα του Kepler και προσπάθησε να συσχετίσει την κίνηση των ουρανίων σωµάτων µε την ελεύθερη πτώση των σωµάτων πάνω στη Γη. Τελικά έκανε γνωστή στον κόσµο την εργασία του περί παγκόσµιας έλξης, πολύ αργότερα, ύστερα από µια σχετική ερώτηση που του έθεσε ο Edmond Halley. Την εποχή εκείνη οι φυσικοί επιστήµονες, όπως ο Wren, ο Halley και ο Hooke, αναρωτιόντουσαν κατά πόσο µια δύναµη αντιστρόφου τετραγώνου ( 2/1 rF ∝ ) µπορούσε να οδηγήσει στους νόµους του Kepler για την κίνηση των πλανητών. Είχαν καταλάβει ότι στην περίπτωση κυκλικών κινήσεων, η δύναµη θα έπρεπε να είναι δύναµη αντιστρόφου τετραγώνου. [∆είξτε το.] Η απόδειξη του Νεύτωνα, ότι µια δύναµη αντιστρόφου τετραγώνου οδηγεί σε ελλειπτικές τροχιές -σύµφωνα µε τους νόµους του Kepler- παρουσιάστηκε υπό µορφή πραγµατείας µε τίτλο «De motu corporum in gyrum» (Περί της κινήσεως των σωµάτων σε τροχιά) στη Βασιλική Ακαδηµία του Λονδίνου, το 1684. Το 1687 ο Νεύτωνας δηµοσίευσε το µεγαλειώδες έργο του «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», στο οποίο διατυπώνονται οι 3 περίφηµοι νόµοι της δυναµικής: ΠΡΩΤΟΣ ΝΟΜΟΣ: Κάθε σώµα παραµένει στην κατάσταση ηρεµίας ή οµαλής κίνησης που είχε, εκτός εάν αναγκαστεί να µεταβάλλει την κατάσταση αυτή εξαιτίας δυνάµεων που ασκούνται πάνω του. ∆ΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ: Η µεταβολή της κίνησης [κάτι που ο Νεύτων είχε καθορίσει πρωθύστερα ως την ποσότητα της ύλης επί την ταχύτητα, αυτό δηλαδή που σήµερα αποκαλούµε ορµή] είναι ανάλογη της ασκούµενης δύναµης και συντελείται στη διεύθυνση της ευθείας κατά την οποία εφαρµόζεται αυτή η δύναµη. ΤΡΙΤΟΣ ΝΟΜΟΣ: Σε κάθε δράση αντιτίθεται πάντα µια ίση αντίδραση, ή µε άλλα λόγια, οι αµοιβαίες δράσεις που ασκούν δύο σώµατα το ένα στο άλλο είναι πάντα ίσες και αντίθετες. Ο Νεύτωνας χρησιµοποίησε τους 3 αυτούς νόµους, µαζί µε ένα σύνολο ορισµών, για να επιλύσει προβλήµατα κίνησης µηχανικών συστηµάτων υπό την επενέργεια συγκεκριµένων δυνάµεων. Η δοµή του βιβλίου του θυµίζει τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, ακολουθώντας µια σειρά, προτάσεων και πορισµάτων. Είναι µάλιστα εντυπωσιακό ότι όλες οι αποδείξεις είναι καθαρά γεωµετρικές, χωρίς να χρησιµοποιούνται καθόλου στοιχεία Ανάλυσης, σε αντίθεση µε τον τρόπο που παρουσιάζονται οι ίδιες αυτές αποδείξεις σε σύγχρονα βιβλία σήµερα.

Σχόλια σχετικά µε τους 3 νόµους του Νεύτωνα

♦ Σε πρώτη ανάγνωση ο πρώτος νόµος φαίνεται να πηγάζει από το δεύτερο. Πράγµατι, αρκεί να µηδενίσει κανείς τη δύναµη και αµέσως προκύπτει από το 2ο νόµο ότι η ταχύτητα του σώµατος θα παραµείνει η ίδια. Όµως πώς είναι δυνατό να µετρήσουµε την κίνηση ενός σώµατος αν δεν διαθέτουµε κάποιο σύστηµα αναφοράς µε βάση το οποίο θα παρακολουθήσουµε και θα περιγράψουµε την κίνηση του σώµατος; Ο 1ος λοιπόν νόµος είναι αυτός που καθορίζει το είδος των συστηµάτων αναφοράς τα οποία είναι κατάλληλα για να περιγράψουν σωστά (σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο) την κίνηση των σωµάτων υπό την επίδραση δεδοµένων δυνάµεων. Τα συστήµατα αυτά, τα οποία έχουν την ιδιότητα να βλέπουν ευθύγραµµη και οµαλή κίνηση των ελευθέρων σωµατιδίων ονοµάζονται αδρανειακά συστήµατα. Εφόσον οι βαρυτικές δυνάµεις έχουν άπειρη εµβέλεια και η ύλη δεν έχει τρόπο να θωρακιστεί από αυτές, είναι αδύνατο θεωρητικά να κατασκευάσουµε ελεύθερα σωµατίδια και µαζί µε αυτά και αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Μπορούµε όµως µε αρκετά καλή προσέγγιση να θεωρήσουµε ως αδρανειακό σύστηµα ένα σύστηµα το οποίο είναι ακίνητο σε σχέση µε τους µακρινούς απλανείς αστέρες, όπως και κάθε άλλο το οποίο κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα σε σχέση µε το πρώτο. Το γιατί τα συστήµατα αυτά είναι κατά µεγάλη προσέγγιση αδρανειακά, µπορεί κανείς να επιχειρηµατολογήσει ως ακολούθως: στο ∆ιάστηµα, µακριά από κάθε ουράνιο σώµα,

ένα σωµατίδιο είναι περίπου ελεύθερο, εποµένως αναµένουµε να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά σε σχέση µε αυτά. Το σύστηµα λοιπόν των απλανών αστέρων είναι περίπου αδρανειακό. Σύµφωνα µε ένα δεύτερο σύστηµα (βλ. σχήµα), το οποίο κινείται µε σταθερή ταχύτητα vr σε σχέση µε το πρώτο, το σωµατίδιο βρίσκεται στη θέση x ′r που διαφέρει από τη θέση xr του σωµατιδίου, σύµφωνα µε το πρώτο

σύστηµα, κατά tvRxx rrrv +=′− ,

όπου Rr

η αρχική (για t=0) απόσταση των δύο συστηµάτων. Αν το σωµατίδιο φαίνεται να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά σε σχέση µε το πρώτο σύστηµα ( σταθ=x&r ), είναι εύκολο να διαπιστώσετε ότι κινείται ευθύγραµµα και οµαλά και σε σχέση µε το δεύτερο σύστηµα ( σταθ=−=′ vxx r&r&r ). Εποµένως και το δεύτερο σύστηµα είναι αδρανειακό. Ο µετασχηµατισµός αυτός που µας µετέφερε από το ένα αδρανειακό σύστηµα στο άλλο ονοµάζεται Γαλιλαιϊκός µετασχηµατισµός (για περισσότερα σχετικά µε τον µετασχηµατισµό αυτό και τη συµµετρία που κρύβεται πίσω από αυτόν βλ. την 3η διάλεξη). ♦ Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα δεν είναι δυνατό να εκληφθεί ως ορισµός της δύναµης. Αν ήταν τέτοιος δεν θα είχε καµία αξία ως δυναµικός νόµος για τον καθορισµό τής κίνησης των σωµάτων. Προκειµένου να έχει πρακτική σηµασία θα πρέπει η δύναµη να δίνεται ανεξάρτητα. Μια πρώτη τέτοια προσπάθεια κατεβλήθη από τον ίδιο τον Νεύτωνα στο έργο του «Principia» καθορίζοντας τη βαρυτική δύναµη που αναπτύσσεται µεταξύ των σηµειακών µαζών, την οποία στη συνέχεια

xr x ′r

vr

χρησιµοποίησε για να βρει την κίνηση που προκαλεί αυτή η δύναµη στις εν λόγω µάζες. ♦ Ο τρίτος νόµος µοιάζει εκ πρώτης όψεως µε µια παρατήρηση η οποία δεν φαίνεται να έχει ουσιαστική αξία για τον καθορισµό της κίνησης των µηχανικών συστηµάτων. Ο Νεύτωνας όµως αντιλήφθηκε την τεράστια σηµασία που είχε η εισαγωγή ενός τέτοιου νόµου στην επέκταση της εφαρµογής του δυναµικού νόµου (του 2ου νόµου του) από σωµατίδια µηδενικών διαστάσεων σε εκτεταµένα υλικά στερεά σώµατα. Με την εµφάνιση ίσων και αντιθέτων δυνάµεων καταργείται οποιαδήποτε δύναµη θα µπορούσαµε ενδεχοµένως να αποδώσουµε σε ένα σώµα εξαιτίας του εαυτού του. Έτσι δεν χρειάζεται να λάβουµε υπόψη καµία αυτοδύναµη όταν θέλουµε να µελετήσουµε την κίνηση ενός στερεού (όπως για παράδειγµα η Γη) παρά µόνο όλες τις δυνάµεις που επενεργούν στο υπό µελέτη σώµα από τα γειτονικά του σώµατα. Σήµερα γνωρίζουµε καλά τη σπουδαιότητα αυτού του φαινοµενικά διαφορετικού νόµου. Πίσω από το νόµο αυτό της συµµετρίας των δυνάµεων αλληλεπίδρασης που ασκούνται µεταξύ των µερών ενός φυσικού συστήµατος κρύβεται, όπως θα δούµε εκτενέστερα σε επερχόµενο κεφάλαιο, η διατήρηση της ορµής ενός αποµονωµένου συστήµατος, κάτι ανάλογο δηλαδή µε τη διατήρηση της ταχύτητας ενός ελευθέρου σωµατιδίου , γενικευµένο όµως για ένα ολόκληρο σύστηµα, οσοδήποτε µεγάλο και αν είναι αυτό· για παράδειγµα ένας ολόκληρος γαλαξίας. Αν και ο 3ος νόµος του Νεύτωνα δεν ισχύει αυτολεξεί για όλα τα φυσικά συστήµατα παρά µόνο για τα µηχανικά συστήµατα, εντούτοις υπό την ευρύτερη έννοια της διατήρησης της ορµής έχει καθολική εφαρµογή. Για παράδειγµα φανταστείτε δύο ευθύγραµµους ρευµατοφόρους αγωγούς οι οποίοι δεν είναι παράλληλοι. Είναι εύκολο να δείτε ότι οι δυνάµεις που αναπτύσσονται µεταξύ τους δεν είναι αντιπαράλληλες (βλ. σχήµα). Η φαινοµενική αντίφαση εδώ οφείλεται στη µη αναφορά της ορµής που εµπεριέχει το µαγνητικό πεδίο, ως φυσική και αυτό οντότητα. Πάντως η διατύπωση του 3ου νόµου έδωσε τη δυνατότητα στο Νεύτωνα να µην χρειαστεί να αναφερθεί σε ορισµένο τύπο σωµάτων, όσον αφορά την εφαρµογή των άλλων δύο νόµων. ♦ Ο 2ος νόµος του Νεύτωνα, όπως προείπαµε, αναφέρεται σε αδρανειακούς παρατηρητές µόνο, δηλαδή σε µετρητές της κίνησης των σωµάτων, βάσει αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς. Οποιοδήποτε εγχείρηµα χρήσης του νόµου αυτού από µη αδρανειακούς παρατηρητές µπορεί να προκαλέσει σύγχυση. Παρά ταύτα, κυρίως επειδή η εξέδρα όλων των γήινων πειραµάτων αλλά και µελέτης των φαινοµένων που συµβαίνουν πάνω σε αυτή, τυγχάνει να είναι περιστρεφόµενη και εποµένως µη αδρανειακή, συνηθίζουµε να τη χρησιµοποιούµε ως σύστηµα αναφοράς. Φροντίζουµε, όµως τότε, όταν αυτό πρόκειται να επιφέρει σηµαντικές διορθώσεις, να επινοούµε τεχνητές δυνάµεις ή ψευδοδυνάµεις (όπως για παράδειγµα η φυγόκεντρος δύναµη) που µοναδικό στόχο έχουν να κάνουν το µη αδρανειακό σύστηµα να «λειτουργεί» ως αδρανειακό, ώστε να µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει το δυναµικό νόµο του Νεύτωνα για τη διερεύνηση της κίνησης των σωµάτων ως προς τέτοια µη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. ♦ Η διατύπωση του 2ου νόµου του Νεύτωνα, υπαγορεύει µια διανυσµατική σχέση. Από τη στιγµή που η αλλαγή της ποσότητας κίνησης ενός σωµατιδίου συµβαίνει στη διεύθυνση που ασκείται η δύναµη, δεν µπορεί παρά και η δύναµη να είναι διάνυσµα. Περισσότερα για το τι είναι ένα διάνυσµα θα δούµε αργότερα. Προς

i1

B2

F1

i2F2

B1

το παρόν θα έπρεπε να προσθέσουµε κάτι το οποίο δεν απορρέει άµεσα από τους νόµους του Νεύτωνα. όταν δύο οι περισσότερες δυνάµεις ασκούνται σε ένα σωµατίδιο µπορούµε να µελετήσουµε ανεξάρτητα τις αλλαγές στην κίνηση που θα προκαλούσε καθεµία από αυτές από µόνη της και στη συνέχεια να υπολογίσουµε το διανυσµατικό άθροισµα όλων αυτών των αλλαγών. Με άλλα λόγια ο τρόπος που «προσθέτουµε» τις δυνάµεις είναι ο ίδιος µε τον τρόπο που προσθέτουµε τα διανύσµατα θέσης: ακολουθούµε τη µέθοδο του παραλληλογράµµου. ♦ Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα εισάγει µια σταθερά που εξαρτάται από το σώµα και η οποία καθορίζει πόσο πολύ θα αλλάξει η κίνηση του σώµατος δεδοµένων των ασκουµένων δυνάµεων. Μετράει δηλαδή την «απροθυµία» µεταβολής της κίνησης του σώµατος –αυτό δηλαδή που έχουµε µάθει να ονοµάζουµε αδράνεια. Ο Νεύτωνας διαπίστωσε ότι η σταθερά αυτή σχετίζεται µε την ποσότητα ύλης του σώµατος, πρόκειται δηλαδή γι’ αυτό που αποκαλούµε µάζα του σώµατος. Η έννοια της µάζας ενός σώµατος, την οποία πρώτος ο Νεύτωνας χρησιµοποίησε µε την παραπάνω σηµασία, αποτελεί µια από τις λαµπρότερες συνεισφορές του στην Επιστήµη. Αν και καταρχήν θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε το δεύτερο νόµο για τον καθορισµό της µάζας ενός σώµατος (γνώση της δύναµης και µέτρηση της επιτάχυνσης οδηγεί στον καθορισµό της µάζας), πρακτικά κάτι τέτοιο θα ήταν δύσκολο να επιτευχθεί –εξάλλου ποιος µας διαβεβαιώνει ότι η εκάστοτε ασκούµενη δύναµη σε ένα σώµα δεν εξαρτάται και αυτή από τη µάζα του σώµατος, όπως η βαρυτική δύναµη. Ο τρίτος όµως νόµος σε συνδυασµό µε το δεύτερο θα µας έλυναν τα χέρια όσον αφορά τον προσδιορισµό της µάζας των σωµάτων. Αν αφήσουµε δύο σώµατα να αλληλεπιδράσουν µεταξύ τους (συνδέοντάς τα π.χ. µε ένα ελατήριο), έχοντάς τα αποµονώσει από οποιαδήποτε άλλη δύναµη, αυτά θα κινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις σύµφωνα µε τις σχέσεις:

2221

1112

xmFxmF&&

&&

==

όπου ijF είναι η δύναµη που ασκείται από το j-σώµα στο i-σώµα και για ευκολία θεωρήσαµε ότι οι κινήσεις και οι δυνάµεις συµβαίνουν πάνω σε µια ευθεία. Λόγω του ότι 2112 FF −= , θα πρέπει

1

2

2

1

mm

xx

−=&&

&&.

Αν επιπλέον έχουµε φροντίσει τα σώµατα να ξεκινήσουν από κάποια αρχικά σηµεία, µε αρχική ταχύτητα µηδέν, ο λόγος των µετατοπίσεων από τις αρχικές τους θέσεις θα είναι αντιστρόφως ανάλογος του λόγου των µαζών τους:

1

2

2

1

mm

xx

=∆

∆.

Θεωρώντας λοιπόν τη µάζα του ενός σώµατος ως πρότυπη µάζα ίση µε 1, µπορούµε να καθορίσουµε τη µάζα οιουδήποτε άλλου σώµατος, και µάλιστα χωρίς να ασχοληθούµε µε το ποια είναι η δύναµη αλληλεπίδρασης! Ακόµη και αυτή µάλιστα µπορούµε να την αλλάζουµε αυθαίρετα από πείραµα σε πείραµα (αλλάζοντας π.χ. το ελατήριο) χωρίς να αλλοιώνουµε την ορθότητα καθορισµού της µάζας οιουδήποτε σώµατος.

Η ισχύς της νευτώνειας µηχανικής Θα µπορούσε να ισχυριστεί κάποιος ότι η νευτώνεια µηχανική είναι πλέον ξεπερασµένη, αφού καινούριες θεωρίες (του 20ου αιώνα) φαίνονται να δίνουν πιο σωστή περιγραφή του φυσικού µας κόσµου· εποµένως δεν έχει νόηµα να ασχολείται κανείς µε τη νευτώνεια µηχανική. Ένα τέτοιο επιχείρηµα είναι εσφαλµένο για δύο κυρίως λόγους: Καταρχάς, η καθηµερινή πρακτική δεν βρίσκεται σε καµία αντίφαση µε τους νόµους της νευτώνειας µηχανικής. Σε κάθε αντικείµενο που βρίσκεται σε κίνηση γύρω µας, οι νευτώνειοι νόµοι «δουλεύουν» απολύτως σωστά. Όχι όµως µόνο τα µηχανήµατα καθηµερινής χρήσης, αλλά ακόµη και τελευταίας τεχνολογίας επιτεύγµατα, όπως τα διαστηµόπλοια, υπακούουν πιστά στους νευτώνειους νόµους (µάλιστα οι επιστήµονες που σχεδιάζουν πτήσεις στο διάστηµα εκτελούν όλους τους υπολογισµούς της τροχιάς των διαστηµοπλοίων βασιζόµενοι στη νευτώνεια µηχανική). Το ίδιο το πλανητικό µας σύστηµα, αλλά και οι γαλαξίες που µας περιβάλλουν κινούνται νευτώνεια µε πολύ ικανοποιητική ακρίβεια2. Ύστερα από όλα αυτά θα ήταν άδικο να θεωρήσουµε τη νευτώνεια µηχανική ξεπερασµένη. Από την άλλη, όπως κάθε καινούρια θεωρία, έτσι και η νευτώνεια µηχανική έχει κάποια περιοχή ισχύος πέραν της οποίας αρχίζει να δίνει εσφαλµένα αποτελέσµατα. Η αµέσως επόµενη θεωρία που έρχεται να καλύψει τα λάθη της προηγούµενης, επεκτείνοντας έτσι την περιοχή ισχύος, µπορεί να προσφέρει µια εντελώς ριζοσπαστική εικόνα —σε σχέση µε την προηγούµενη θεωρία— για το πώς δουλεύει η φύση, δεν παύει όµως στην περιοχή ισχύος της προηγούµενης θεωρίας και οι δύο να δίνουν ταυτόσηµες προβλέψεις. ∆ιευρύνοντας, µέσω καινούριων θεωριών, την περιοχή ισχύος των φυσικών νόµων µπορεί η αντίληψη που αποκτούµε για τον κόσµο που µας περιβάλλει να αλλάζει δραστικά, οι διορθώσεις όµως των προβλέψεων για το µεγαλύτερο ποσοστό του φυσικού µας κόσµου είναι ολοένα και µικρότερες. Με αυτή την έννοια λοιπόν, που εξάλλου είναι και η πιο αντικειµενική, οι θεωρίες φαίνεται να συγκλίνουν γρήγορα σαν τους όρους µιας σειράς µε πολύ γρήγορη σύγκλιση. [Στο βιβλίο του K. S. Thorne «Μαύρες Τρύπες και Στρεβλώσεις του Χρόνου» (Εκδ. Κάτοπτρο), µπορεί κανείς να διαβάσει στο τελευταίο υποκεφάλαιο του Κεφαλαίου 1 µε τίτλο «Η φύση του φυσικού νόµου» µια εκτενέστερη έκθεση για τη διαδοχή των θεωριών και τη σύγκλιση αυτών.] Στα όρια ισχύος λοιπόν της νευτώνειας µηχανικής (δηλαδή για ταχύτητες µικρές συγκριτικά µε την ταχύτητα του φωτός, µε άλλα λόγια για όλες τις ανθρώπινες δραστηριότητες σήµερα, καθώς και για σώµατα µεγάλα συγκριτικά µε τις ατοµικές διαστάσεις) η νευτώνεια µηχανική είναι απολύτως ορθή θεωρία, εφόσον δίνει απολύτως ορθές προβλέψεις. Τέλος, ως πρώτη ιστορικά δυναµική θεωρία που προσπάθησε να ερµηνεύσει σωστά τη φύση, και µάλιστα τα κατάφερε µε αξιοθαύµαστη επιτυχία, έχει ενδιαφέρον να τη µελετήσει κανείς και να γνωρίσει τον πλούτο των αποτελεσµάτων της, καθώς και την ώθηση που έδωσε στην επιστηµονική κοινότητα να προχωρήσει σε γενικεύσεις της θεωρίας κάνοντάς τη πιο ευέλικτη πρακτικά (Λαγκρανζιανή και Χαµιλτονιανή θεώρηση) αλλά και προετοιµάζοντας ένα πιο ευρύ πλαίσιο για να οικοδοµηθούν µεταγενέστερες θεωρίες (θεωρίες πεδίου).

2 Ο πλανήτης Ερµής, από το ηλιακό µας σύστηµα, φαίνεται περισσότερο ανυπάκουος στους νόµους του Νεύτωνα, στρέφοντας τον µεγάλο ηµιάξονα της τροχιάς του κατά 43 δευτερόλεπτα τόξου κάθε αιώνα!

Περί θεµελιωδών νόµων και δυνάµεων Σε αντιδιαστολή µε τους νόµους του Kepler, στους νόµους του Νεύτωνα διακρίνει κανείς άµεσα µια πολύ πιο θεµελιώδη µορφή. Ενώ οι νόµοι του Kepler αφορούν µόνο στο ηλιακό µας σύστηµα, οι νόµοι του Νεύτωνα διατείνονται να έχουν παγκόσµια ισχύ. Ακόµη, ενώ οι νόµοι του Kepler, εγείρουν αυθόρµητα την ερώτηση «ποιο είναι το αίτιο αυτών των νόµων;», µε τους νόµους του Νεύτωνα φαίνεται να καταλήγουµε στο βαθύτερο σηµείο του πώς δουλεύει η φύση, δίχως να µας δίνεται η δυνατότητα να προχωρήσουµε σε βαθύτερα «γιατί;» Όταν µάλιστα κατασκευάσουµε αργότερα το 2ο νόµο του Νεύτωνα καθώς και τον 3ο από στοιχειώδεις συµµετρίες που θα επιβάλλουµε να διαθέτει η φύση (σύµφωνα και µε παρατηρήσεις µας αλλά και µε τη βαθύτερη πεποίθησή µας ότι ο κόσµος γύρω µας είναι πολύ απλός στην ουσία του), θα διαπιστώσουµε καλύτερα τη θεµελιακότητα των νευτώνειων νόµων, αφού η ύπαρξη συγκεκριµένων συµµετριών του σύµπαντος αγγίζει τα όρια της απλότητας. Μια αντίστοιχη διάκριση σε θεµελιώδεις και µη, µπορούµε να έχουµε και για τις κάθε λογής δυνάµεις που έχουµε µάθει να αναγνωρίζουµε ως αίτια της κινητικής κατάστασης των διαφόρων σωµάτων του κόσµου. Στην απέραντη λίστα των βαρυτικών δυνάµεων, πυρηνικών δυνάµεων, ηλεκτροµαγνητικών δυνάµεων, δυνάµεων τριβής, δυνάµεων εξαιτίας ελαστικής παραµόρφωσης, αντιστάσεων λόγω κίνησης µέσα σε συνεχή µέσα, φυγοκέντρων δυνάµεων, κλπ. υπάρχουν κάποιες προνοµιακές δυνάµεις που ξεχωρίζουν για το ότι περιγράφουν σε όσο το δυνατό πιο θεµελιώδες επίπεδο τις αλληλεπιδράσεις της ύλης; Πράγµατι, η βαρυτική, για παράδειγµα, δύναµη η οποία περιγράφει την έλξη µεταξύ δύο οποιονδήποτε σηµειακών µαζών σα συνάρτηση της µάζας αυτών και της απόστασής τους, εκτός του ότι έχει καθολική ισχύ και έχει ελεγχθεί ότι ισχύει µε εξαιρετική ακρίβεια από αστέρες µέχρι µικροσκοπικά σφαιρίδια, δεν µπορεί να τεθεί σε πιο στοιχειώδη ανάλυση (εκτός ίσως αν καταφύγει κανείς σε θεωρίες πεδίου και εισάγει σωµατίδια που είναι υπεύθυνα για τη µεταφορά της πληροφορίας περί της ύπαρξης βαρυτικού πεδίου). Αντίθετα, η δύναµη της τριβής, την οποία µαθαίνει κανείς να γράφει ως µια σταθερά εξαρτώµενη από τις επιφάνειες επαφής επί την κάθετη δύναµη η οποία πιέζει το ένα τριβόµενο σώµα επάνω στο άλλο, δεν φαίνεται να έχει την ίδια θεµελιακή προέλευση όπως η βαρύτητα. Αν την ερευνήσει κανείς λίγο πιο προσεκτικά, θα δει ότι αυτό που ονοµάζουµε τριβή είναι ένα στατιστικό σύνολο, ηλεκτροµαγνητικής φύσης δυνάµεων που ασκούνται µεταξύ των επιφανειακών κυρίως µορίων των υλικών που έρχονται σε επαφή. Η τραχύτητα των επιφανειών δεν είναι αρκετή να περιγράψει ικανοποιητικά την τριβή, αφού αυτό που συµβαίνει δεν είναι ότι οι κορυφές και οι κοιλάδες της µιας επιφάνειας σύρονται επάνω στις κορυφές και τις κοιλάδες της άλλης ανεβοκατεβάζοντας τελικά το ένα σώµα σε σχέση µε το άλλο. Κάτι τέτοιο εξάλλου δεν θα οδηγούσε σε ενεργειακές απώλειες λόγω τριβής! Αυτό που πιο σωστά περιγράφει την τριβή είναι το διαρκές σπάσιµο και η επανασύνδεση κοµµατιών της κάθε επιφάνειας εξαιτίας συγκρούσεων µε κοµµάτια της άλλης. (Για µια πιο εµπεριστατωµένη ανάλυση της τριβής διαβάστε το σχετικό κεφάλαιο 12-2 του βιβλίου του Feynman «The Feynman lectures on Physics» καθώς και το σύγχρονο σχετικό άρθρο που σας προτείνεται στις ενδιαφέρουσες ιστοσελίδες). Επίσης, οι δυνάµεις λόγω ελαστικής παραµόρφωσης, όπως αυτή που µας κρατά πάνω σε µια ζυγαριά µε ελατήριο, είναι παρόµοιας φύσης· πρόκειται ουσιαστικά για ηλεκτροστατικές δυνάµεις που ασκούνται µεταξύ γειτονικών µορίων όταν κάποιο εξωτερικό αίτιο αναγκάσει ένα στερεό να παραµορφωθεί αλλάζοντας έτσι τη θέση των µορίων σε σχέση µε την αρχική θέση ισορροπίας τους. Τέλος, εκτός των θεµελιωδών δυνάµεων-αλληλεπιδράσεων και των δυνάµεων που προκύπτουν ως στατιστικό σύνολο θεµελιωδών δυνάµεων υπάρχουν και ψευδοδυνάµεις· δυνάµεις οι οποίες κάνουν την

εµφάνιση τους όταν προσπαθήσουµε να εφαρµόσουµε τους νόµους του Νεύτωνα σε µη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, όπως για παράδειγµα η φυγόκεντρος δύναµη σε περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς. Στην ουσία τέτοιες δυνάµεις δεν υπάρχουν καν· είναι καθαρή «ψευδαίσθηση» των µη αδρανειακών παρατηρητών και εµφανίζονται να παίζουν το ρόλο δυνάµεων όταν γράψει κανείς τον 2ο νόµο του Νεύτωνα για ένα µη αδρανειακό σύστηµα. Το κάθε µη αδρανειακό σύστηµα εµπεριέχει εν δυνάµει τέτοιες «δυνάµεις» και παράλληλα µοναδική πηγή αυτών των «δυνάµεων» είναι η µη αδρανειακότητα του συστήµατος3. Οι θεµελιώδεις δυνάµεις, ωσάν τέτοιες, θα πρέπει να βρίσκονται σε συµφωνία µε τις συµµετρίες του Σύµπαντος. Το Σύµπαν όπως φαίνεται από παρατηρήσεις είναι οµογενές (έχει τις ίδιες ιδιότητες και περιγράφεται από τους ίδιους φυσικούς νόµους σε κάθε σηµείο του) και ισότροπο (όπως και αν προσανατολίσουµε ένα σύστηµα αναφοράς προκειµένου να διεξάγουµε ένα οποιοδήποτε πείραµα η έκβαση του πειράµατος θα είναι η ίδια). Επιπλέον, µια ακόµη συµµετρία, κάπως πιο περίτεχνα κρυµµένη στη δοµή του Σύµπαντος, διέπει αυτό: πρόκειται για τη γαλιλαιϊκή συµµετρία σύµφωνα µε την οποία οι φυσικοί νόµοι δεν αλλάζουν αν αλλάξουµε αδρανειακό σύστηµα αναφοράς για την περιγραφή αυτών (περισσότερα σχετικά µε τις συµµετρίες των φυσικών νόµων θα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο). Οι συµµετρίες αυτές θα πρέπει να εµπεριέχονται και στις θεµελιώδεις δυνάµεις, οι νόµοι δηλαδή που περιγράφουν αυτές δεν θα πρέπει να εξαρτώνται ούτε από τη θέση στο Σύµπαν που βρίσκονται τα αλληλεπιδρώντα σώµατα, ούτε από τη διεύθυνση που έχει η ευθεία που τα συνδέει, ούτε και από την ταχύτητα που έχει το καθένα από αυτά, ούτε φυσικά και από τη χρονική στιγµή (σε διαφορετική περίπτωση οι φυσικοί θα ήταν σε πολύ δύσκολη θέση αφού οι φυσικοί νόµοι θα ήταν κάθε µέρα διαφορετικοί). Συνεπώς όλες οι θεµελιώδεις δυνάµεις µεταξύ υλικών σωµατιδίων θα πρέπει να έχουν γενική µορφή:

),,( ,2121 uxuuxxfF rrrrrrr

∆∆−−= θθεµελ ,

όπου ux rr∆∆ ,θ είναι η γωνία µεταξύ της σχετικής θέσης 21 xxx rrr

−≡∆ , και της σχετικής ταχύτητας 21 uuu rrr

−≡∆ των δύο αλληλεπιδρώντων σωµατίων4. Ειδικά, η βαρυτική δύναµη δεν φαίνεται να εξαρτάται από την σχετική κίνηση δύο µαζών, παρά µόνο από την µεταξύ τους απόσταση και αυτό είναι απ’ ότι φαίνεται γενικός νόµος για τις θεµελιώδεις δυνάµεις.

)( 21 xxfF rrr−=θεµελ .

Στην περίπτωση των ηλεκτρικών φορτίων, όπου µαθαίνει κανείς πως οι µεταξύ τους δυνάµεις εξαρτώνται και από την ταχύτητα που κινούνται αυτά, γρήγορα καταλαβαίνει ότι µόνο στο πλαίσιο της σχετικιστικής θεώρησης µπορεί να µελετήσει τις µεταξύ τους αλληλεπιδράσεις (για παράδειγµα υπολογίστε τις ηλεκτρικές και µαγνητικές δυνάµεις που αναπτύσσονται µεταξύ δύο φορτίων που κινούνται παράλληλα το ένα στο άλλο µε κοινή ταχύτητα, αρχικά στο σύστηµα του εργαστηρίου και στη συνέχεια στο σύστηµα που τα φορτία είναι ακίνητα – η διαφορά στη δύναµη αλληλεπίδρασης είναι έκδηλη αλλά είναι τάξης ( )2/ cu ). Στο σχετικιστικό πλαίσιο θεώρησης (το µοναδικό πλαίσιο όπου µπορούν να υπολογιστούν σωστά χωρίς προβλήµατα αντίφασης οι 3 Όλες οι µη αδρανειακές ψευδοδυνάµεις έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό· είναι ανάλογες της µάζας του σώµατος. Το ίδιο και οι βαρυτικές! Αυτή είναι µια πρώτη υποψία, που αποδείχθηκε πολύ σοβαρή και τελικά βάσιµη, ότι η βαρύτητα δεν είναι µια αυθεντική δύναµη αλλά ψευδοδύναµη· αποτέλεσµα της κίνησης σε καµπύλους χώρους. 4 Αν επιπλέον τα αλληλεπιδρώντα σώµατα έχουν και εσωτερική δοµή, πιθανώς να επηρεάζει και αυτή την µεταξύ τους αλληλεπίδραση.

ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις), η σχετική ταχύτητα δύο συστηµάτων αναφοράς δεν είναι τίποτε άλλο από µια στροφή στον τετραδιάστατο χωρόχρονο και αυτό που συνηθίζουµε κλασικά να περιγράφουµε ως ηλεκτρικές και µαγνητικές δυνάµεις δεν είναι τίποτε άλλο από συνιστώσες ενός τανυστή (ένα είδος γενίκευσης των γνωστών διανυσµάτων), οι οποίες αλλάζουν όταν εκτελέσουµε µια γενικευµένη στροφή στο χωρόχρονο. Η αλληλεπίδραση και σε αυτή την περίπτωση εξαρτάται µόνο από την σχετική απόσταση των δύο φορτίων όταν αυτά βρίσκονται σε ηρεµία το ένα ως προς το άλλο και µε µια κατάλληλη στροφή του τανυστή του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου (που δηµιουργεί το ένα εξ αυτών στη θέση του άλλου) µπορούµε να διαβάσουµε την αλληλεπίδραση τους όταν κινούνται το ένα ως προς το άλλο. Έτσι και στην περίπτωση των ηλεκτρικών φορτίων η θεµελιώδης δύναµη αλληλεπίδρασης µεταξύ αυτών είναι η δύναµη του Coulomb που εξαρτάται µόνο από την απόστασή τους.

Τι µένει λοιπόν; Γνωρίζοντας πλέον τους νόµους του Νεύτωνα τι άλλο χρειαζόµαστε; Αν κάποιος µας δώσει τις δυνάµεις αλληλεπίδρασης, που όπως ξέρουµε εµφανίζονται κατά ζεύγη, σε ένα σύστηµα σωµάτων αρκεί να ολοκληρώσουµε το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν γράφοντας τον 2ο νόµο του Νεύτωνα για κάθε σώµα και ιδού η εξέλιξη του συστήµατος. Ακόµη και αν δεν γνωρίζουµε πώς να λύσουµε τις εξισώσεις αυτές, µπορούµε να ζητήσουµε τη βοήθεια ενός υπολογιστή. Ας δούµε πώς µπορούµε µε τη βοήθεια ενός υπολογιστή να υπολογίσουµε την εξέλιξη ενός µηχανικού συστήµατος. Έστω ένα σωµατίδιο ευρισκόµενο στη θέση 0xr και κινούµενο µε ταχύτητα 0ur . Ένα πολύ µικρό χρονικό διάστηµα δt αργότερα το σωµατίδιο θα βρεθεί στη θέση

tux δ00rr

+ . Η δε ταχύτητα του σωµατιδίου θα µεταβληθεί σύµφωνα µε το 2ο νόµο του

Νεύτωνα και θα γίνει tmF

u δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 0

0

rr . Οι προηγούµενες σχέσεις είναι τόσο περισσότερο

ακριβείς όσο µικρότερο είναι το χρονικό βήµα δt, αφού µόνο τότε οι παράγωγοι στους ορισµούς της ταχύτητας και της επιτάχυνσης µπορούν να θεωρηθούν ως πραγµατικά κλάσµατα ποσοτήτων. ∆εδοµένου του βήµατος, όλες οι άλλες ποσότητες είναι γνωστές· η δύναµη 0F

r είναι η αρχική δύναµη που ασκείται στο σωµατίδιο και

θεωρείται γνωστή αφού είναι γενικά συνάρτηση θέσης, ταχύτητας και χρόνου. Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας κάθε φορά από τη νέα θέση και ταχύτητα, µπορούµε µε διαδοχικά βήµατα να βρούµε την τροχιά του σωµατιδίου. Η εργασία αυτή είναι ιδανική για έναν υπολογιστή.

ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ: ),,(,, 00 tuxFux rrrrr

ΓΙΑ 1=i ΕΩΣ Ν

( )m

iuxFuu

uxx

iiii

iii

εε

ε

)1(,, 111

11

−+=

+=

−−−

−−rrr

rr

rrr

ΕΠΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΤΟΥ i

Αν θέλαµε να είµαστε ακόµη πιο ακριβείς στους υπολογισµούς µας, καλό θα ήταν να λαµβάναµε υπόψη και το γεγονός ότι η κίνηση από το ένα σηµείο στο άλλο δεν γίνεται

µε σταθερή ταχύτητα αλλά, εξαιτίας της επίδρασης της δύναµης, αυτή µεταβάλλεται. Έτσι µια ακόµη καλύτερη προσέγγιση θα ήταν η ακόλουθη:

2)),(),((21)()()( t

mttutxFttutxttx δδδ

rrrrrr

++=+

Στην πραγµατικότητα η σχέση που γράψαµε δεν είναι τίποτε άλλο από τους 3 πρώτους όρους του αναπτύγµατος Taylor της συνάρτησης )(txr και όπως γνωρίζετε όσο περισσότερους όρους κρατήσει κανείς στο ανάπτυγµα αυτό τόσο µεγαλύτερη ακρίβεια θα αποκοµίσει, µε ανάλογο όµως κόστος στο χρόνο των υπολογισµών. Μια έξυπνη εναλλακτική ιδέα, προκειµένου να βελτιώσει κανείς την ακρίβεια των υπολογισµών δίχως όµως να αυξήσει το υπολογιστικό φορτίο, είναι η εξής: Γνωρίζοντας ότι η ταχύτητα αλλάζει εν γένει κατά τη διάρκεια ενός χρονικού βήµατος µπορούµε να υποθέσουµε ότι η ταχύτητα κατά τη διάρκεια του βήµατος είναι µεν σταθερή αλλά δεν είναι αυτή που έχει το σωµατίδιο στην αρχή του βήµατος, παρά είναι η ταχύτητα που θα έχει το σωµατίδιο στο µέσο του βήµατος (κάτι σαν τη µέση ταχύτητα κατά τη διάρκεια του βήµατος). Και ότι, αντίστοιχα, η ταχύτητα δεν αλλάζει εξαιτίας της δύναµης που ασκείται στο σωµατίδιο στην αρχή του βήµατος αλλά εξαιτίας της δύναµης στο µέσο του βήµατος (κάτι σαν τη µέση δύναµη). Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να υπολογίζουµε τη θέση στα χρονικά διαστήµατα 0,δt,2δt,… κλπ και την ταχύτητα στα ενδιάµεσα διαστήµατα δt/2,3δt/2,…κλπ.

ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ: ),,(,, 00 tuxFux rrrrr

( )m

uxFuuu

0,,2

)2/( 0001

rrrrrr εε +==

ΓΙΑ 1=i ΕΩΣ Ν

( )m

iuxFuu

uxx

iiii

iii

εε

ε

,,1

1rrr

rr

rrr

+=

+=

+

−

ΕΠΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΤΟΥ i Ένα πρόγραµµα σαν αυτό εµπεριέχει το ίδιο πλήθος υπολογισµών όπως και το προηγούµενο σε πλαίσιο πρόγραµµα, παρ’ όλ’ αυτά η ακρίβεια του 2ου είναι σαφώς µεγαλύτερη από του προηγούµενου (επαληθεύστε το στην περίπτωση της κίνησης πλανήτη γύρω από ένα ελκτικό κέντρο υπό την επίδραση βαρυτικής έλξης· χρησιµοποιώντας το ίδιο βήµα ποια από τις δύο µεθόδους αριθµητικής ολοκλήρωσης οδηγεί σε πιο κλειστή τροχιά;) Στο φυλλάδιο «Αριθµητική Ολοκλήρωση» µπορείτε να δείτε το αποτέλεσµα αυτού του υπολογισµού και να διαπιστώσετε ότι οδηγεί σε ελειπτική τροχιά. Μπορείτε ακόµη επαναλαµβάνοντας τον υπολογισµό µε διαφορετικές αρχικές συνθήκες να επιβεβαιώσετε «πειραµατικά» τον 3ο νόµο του Kepler. Όσο για την ακρίβεια των υπολογισµών µπορείτε να επιλέξετε τόσο µικρό βήµα ε ώστε µειώνοντας ακόµη περισσότερο αυτό, να µην παρουσιάζεται εµφανής διαφορά των αποτελεσµάτων. Αν το παραπάνω παράδειγµα σας φαίνεται απλουστευµένο τι θα λέγατε αν υπολογίζατε την εξέλιξη ή ακόµη και το παρελθόν του Ηλιακού µας συστήµατος; Πρόκειται για ένα σύστηµα 10 σωµάτων (του Ήλιου και των 9 πλανητών αν αγνοήσουµε σε πρώτη προσέγγιση τους δορυφόρους και τα άλλα µικρά ουράνια

σώµατα εντός του ηλιακού µας συστήµατος). Εποµένως µπορεί να γράψει κανείς τη δύναµη που ασκείται στο καθένα από αυτά ως το άθροισµα 9 βαρυτικών δυνάµεων:

( )ji

ijj ji

jii rr

rr

mGmF rr

rr

r−

−−=∑

≠=

10

,13

Πόσες πράξεις απαιτούνται; (10 σώµατα) x [3 πράξεις για ένα βήµα προώθησης της θέσης + 3 πράξεις για ένα βήµα προώθησης της ταχύτητας + 3 συνιστώσες της δύναµης για κάθε θέση των σωµάτων x (9 όροι δυνάµεων + 1 άθροιση 9 όρων)] x (1000 ας πούµε βήµατα ανά έτος) = 360.000 υπολογισµοί ανά έτος. Ένας σύγχρονος υπολογιστής µε δυνατότητα εκτέλεσης 107 πράξεων ανά δευτερόλεπτο θα µπορούσε να δείξει την εξέλιξη του Ηλιακού συστήµατος κατά 30 έτη µέσα σε ένα δευτερόλεπτο, ή αν τον αφήναµε να εργάζεται για ένα χρόνο θα µας έδινε το στίγµα των πλανητών ένα δισεκατοµµύριο χρόνια στο µέλλον ή στο παρελθόν! (Όπως θα συζητήσουµε στο επόµενο κεφάλαιο ο 2ος νόµος του Νεύτωνα παραµένει αναλλοίωτος σε αντιστροφή του χρόνου). Παρόµοιες ολοκληρώσεις έχουν γίνει τα τελευταία χρόνια (Wisdom, 1990) προκειµένου να ελεγχθεί η ευστάθεια ή µη του Ηλιακού µας συστήµατος και στηρίζονται κατά µεγάλο µέρος σε µεθόδους η ακρίβεια των οποίων βασίζεται σε εργαλεία που έχουν προκύψει από τη θεωρητική ανάλυση µηχανικών συστηµάτων µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας (µέθοδος διαταραχών του Poincaré). Κλείνοντας το παρόν κεφάλαιο θα συνοψίζαµε λέγοντας ότι ουσιαστικά γνωρίζοντας τους νόµους του Νεύτωνα µπορούµε να προβλέψουµε µε απλούς (όπως δείξαµε) υπολογισµούς την κίνηση κάθε µηχανικού συστήµατος (αυτό εξάλλου κάνουν και οι διαστηµικές εταιρείες όταν στέλνουν ένα δορυφόρο στο ∆ιάστηµα). Η εύρεση αναλυτικών λύσεων σε συγκεκριµένα προβλήµατα εφαρµογής των νόµων του Νεύτωνα µε τα οποία θα ασχοληθούµε στη συνέχεια δεν έχει ουσιαστικά κανένα πλεονέκτηµα ως προς την πρόβλεψη της εξέλιξης µηχανικών συστηµάτων σε σχέση µε την παραπάνω προσεγγιστική – αριθµητική µέθοδο αφού ακόµη και αυτό το σφάλµα της αριθµητικής µεθόδου εξαιτίας των πεπερασµένων βηµάτων µπορεί να εξαλειφθεί κάνοντας το βήµα ακόµη µικρότερο. Παρά ταύτα η ανάλυση συγκεκριµένων συστηµάτων (αν και εξιδανικευµένα σε σχέση µε τα πραγµατικά φυσικά συστήµατα) που διέπονται από τους νόµους του Νεύτωνα, θα µας οδηγήσει σε καινούρια εργαλεία και νέες φυσικές ποσότητες τα οποία και βαθύτερη κατανόηση στο πώς δουλεύει η φύση θα µας προσφέρουν και µπορούν να αποδειχθούν χρήσιµα στην εξυπνότερη χρήση αριθµητικών υπολογισµών αυξάνοντας έτσι την προβλεπτική ικανότητα των τελευταίων.

∆ιάλεξη 3η 19/10/99

• Εξίσωση αναλλοίωτη σε κάποιο µετασχηµατισµό: Ας υποθέσουµε ότι κάποιος

εντοµολόγος διατυπώνει, ύστερα από µακροχρόνιες παρατηρήσεις στην Αφρική και την περιοχή του Αµαζονίου, τον ακόλουθο νόµο διαµόρφωσης πληθυσµού σε µια καινούρια φωλιά: «Όταν µια οµάδα εντόµων εγκατασταθεί σε κάποιο καινούριο χώρο και φτιάξει φωλιά στη συνέχεια ο ρυθµός αύξησης του πληθυσµού των εντόµων µεταβάλλεται σύµφωνα µε το νόµο

2bNaNdtdN

−= ,

όπου N ο πληθυσµός των εντόµων κάθε χρονική στιγµή, και ba, θετικές σταθερές.» Αν δεχτούµε ότι ο νόµος αυτός είναι ορθός, θα είχε καµιά σηµασία αν η µελέτη του πληθυσµού γίνει σήµερα, αύριο, ή µετά από ένα χρόνο; Φυσικά όχι. Στη γλώσσα της φυσικής θα λέγαµε ότι ο νόµος αυτός είναι αναλλοίωτος σε µεταθέσεις στο χρόνο. Το ίδιο και όσον αφορά µεταθέσεις στο χώρο, αφού ο νόµος κατά τον εντοµολόγο ισχύει για κάθε περιοχή του πλανήτη πού έκανε τις παρατηρήσεις του. Σε αντιστροφή όµως του χρόνου, είναι ο παραπάνω νόµος εξίσου ορθός; Αν παρακολουθούσατε το βίντεο της εξέλιξης του πληθυσµού, προκειµένου να επαληθεύσετε το νόµο, και ξαφνικά αποφασίζατε να το «τρέξετε ανάποδα» θα βλέπατε έναν µικρό πληθυσµό να συρρικνώνεται αντί να αυξάνεται, αντίθετο δηλαδή και µε τις παρατηρήσεις και µε την κοινή λογική που υπαγορεύει την αύξηση του πληθυσµού µέχρι ο πληθυσµός να φτάσει σε κάποιο όριο, όπου η θνησιµότητα θα υπερκεράσει τη γεννητικότητα. Ο παραπάνω λοιπόν νόµος δεν είναι αναλλοίωτος σε αντιστροφή του χρόνου.

• Ας επανέλθουµε όµως στο 2ο νόµο του Νεύτωνα, το νόµο που διατείνεται ότι µπορεί να προβλέψει το οσοδήποτε µακρινό µέλλον των µηχανικών συστηµάτων. Είναι η εξίσωση amF rr

= αναλλοίωτη σε κάποιο µετασχηµατισµό; Ένας προφανής τέτοιος µετασχηµατισµός είναι η αντιστροφή του χρόνου ttt −=′→ . Λαµβάνοντας υπόψη την αρχική υπόθεση (µε την οποία απ’ ότι φαίνεται συµφωνούν όλες οι γνωστές θεµελιώδεις δυνάµεις) ότι δηλαδή η δύναµη που ασκείται σε ένα υλικό σηµείο είναι συνάρτηση της θέσης µόνο αυτού )(xFF rrr

= ,

ισχύει ότι 2

2

2

2

)()( tdxdm

tdxd

tddm

dtxdmF

′=

−−==

rrrr. Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα

παραµένει αναλλοίωτος όταν αντικαταστήσει κανείς το t µε το t− . Αυτό σηµαίνει δύο πράγµατα: (α) Ότι όλα τα µηχανικά συστήµατα που εξελίσσονται σύµφωνα µε το 2ο νόµο του Νεύτωνα και υπόκεινται σε δυνάµεις θεµελιώδους φύσης δεν µπορούν να ορίσουν το βέλος του χρόνου. Αν έβλεπε κανείς την ταινία εξέλιξης ενός τέτοιου συστήµατος να τρέχει ανάποδα δεν θα το καταλάβαινε, όλα θα φαίνονταν να διαδραµατίζονται µε απόλυτα φυσιολογική σειρά. (β) Ότι όπως µπορεί κάποιος λύνοντας την περίφηµη εξίσωση του Νεύτωνα –είτε αναλυτικά, είτε αριθµητικά όπως είδαµε στο µάθηµα– να προβλέψει το µέλλον ενός µηχανικού συστήµατος, οσοδήποτε µακρινό και αν είναι αυτό, µπορεί να προβλέψει εξίσου καλά και το παρελθόν του5. Για παράδειγµα, µπορεί να διερευνήσει κανείς, πράγµα το οποίο γίνεται από κάποιους ερευνητές, το παρελθόν

5 Αρκεί να προσέξει κανείς να µην προχωρήσει τόσο «πίσω», ώστε να ξεφύγει από τα όρια ισχύος της θεωρίας που υποθέτει ότι περιγράφει ορθά το σύστηµά του.

του Ηλιακού συστήµατος, ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις του Νεύτωνα, για τους πλανήτες και τον Ήλιο, προς τα πίσω στο χρόνο.

• Είναι εύκολο να πειστεί κανείς ότι ο 2ος νόµος του Νεύτωνα είναι αναλλοίωτος και σε χρονικές µεταθέσεις ( attt +=′→ , όπου a κάποιος σταθερός αριθµός), γεγονός το οποίο αντικατοπτρίζει την οµογένεια του χρόνου, το ότι δηλαδή δεν υπάρχει κάποια συγκεκριµένη αρχή του χρόνου (µην ξεχνάτε ότι η Μεγάλη Έκρηξη, το Big Bang, αναφέρεται σε θεωρίες οι οποίες ξεπερνούν τα όρια ισχύος της νευτώνειας θεωρίας). Όλες οι χρονικές στιγµές είναι ισοδύναµες. Αυτό αποτυπώνεται στην αντίληψη του Νεύτωνα για το χρόνο: «Ο χρόνος υπάρχει ανεξάρτητα από το υλικό σύµπαν και είναι άπειρος, άναρχος, γραµµικός και συνεχής.»

• Το αναλλοίωτο ενός φυσικού νόµου σε κάποιο µετασχηµατισµό συχνά αναφέρεται στη φυσική ως συµµετρία του φυσικού αυτού νόµου στον συγκεκριµένο µετασχηµατισµό. Η ορολογία αυτή αποτελεί επέκταση της γεωµετρικής συµµετρίας και έχει το ακόλουθο νόηµα: «κάτι είναι συµµετρικό αν δρώντας πάνω του µε κάποιο τρόπο αυτό παραµένει όπως ήταν αρχικά.»6

• Τέλος η διανυσµατική διατύπωση του 2ου νόµου του Νεύτωνα υποκρύπτει µία ακόµη συµµετρία της φύσης, το γεγονός ότι όλες οι διευθύνσεις του χώρου είναι ισοδύναµες. Η ισοτροπία αυτή του χώρου µας δίνει το δικαίωµα να επιλέγουµε το σύστηµα των αξόνων για την περιγραφή οποιουδήποτε µηχανικού συστήµατος, στραµένο όπως εµείς το θέλουµε. Η εξίσωση που διέπει λοιπόν την κίνηση ενός µηχανικού συστήµατος δεν µπορεί παρά να είναι διανυσµατική7. Την ιδιότητα αυτή των διανυσµάτων, να παραµένουν αναλλοίωτα στις στροφές, θα µελετήσουµε εκτενέστερα σε κατοπινό κεφάλαιο.

• Κατασκευή του 2ου νόµου του Νεύτωνα από συµµετρίες: Από παρατηρήσεις είναι γνωστό ότι η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα ενός σωµατιδίου καθορίζουν πλήρως την τροχιά του. Για να πεισθείτε οδηγήστε ένα αυτοκίνητο προς το χείλος ενός γκρεµού είτε µε σταθερή ταχύτητα 20 km/h, είτε ξεκινώντας µε µεγαλύτερη ταχύτητα και φρενάροντας έτσι ώστε να φτάσει το αυτοκίνητο και πάλι µε ταχύτητα 20 km/h στο γκρεµό. Και στις δύο περιπτώσεις η τροχιά που θα διαγράψει το αυτοκίνητο πέφτοντας στο γκρεµό θα είναι ακριβώς η ίδια. Αν πάλι βέβαια σας φαίνεται ιδιαίτερα επικίνδυνο να επιχειρήσετε κάτι τέτοιο αρκεστείτε στην επιβεβαίωση των πειραµατιστών του 17ου αιώνα. Εφόσον λοιπόν η θέση του κινητού και η πρώτη χρονική παράγωγος της θέσης του, και µόνο αυτές, αρκούν για την περιγραφή της κίνησης ενός κινητού µέσα σε ένα πεδίο δυνάµεων, δεν µπορεί παρά ο δυναµικός νόµος της κίνησης να είναι µια δευτεροβάθµια ως προς το χρόνο εξίσωση που συνδέει το αίτιο της κίνησης (τη δύναµη) µε τη θέση. Σηµειώστε ότι αυτό που θέλουµε να αναπαραγάγουµε είναι η διαφορική εξίσωση που θα πρέπει να ικανοποιεί η θέση του κινητού ως συνάρτηση του χρόνου, δεδοµένης της δύναµης. Η γενικότερη µορφή της διαφορικής µας εξίσωσης είναι

),,(),,(),,(),,(),,( txxdxtxxatxxcxtxxbxtxxaF &&&&&&&&&& +=++= ,

6 Την γενική αυτή ερµηνεία της συµµετρίας έδωσε ο Γερµανός µαθηµατικός Hermann Weyl. 7 Στην πραγµατικότητα, η εξίσωση επιβάλλεται να είναι γενικά τανυστική. Η πιο απλή και τετριµµένη µορφή τανυστή είναι ένα βαθµωτό µέγεθος (περίπτωση η οποία δεν θα διευκόλυνε την περιγραφή ενός δυναµικού νόµου που να οδηγεί σε κίνηση). Το αµέσως επόµενης τάξης τανυστικό µέγεθος είναι το διάνυσµα.

όπου dcba ,,, κάποιες συναρτήσεις των txx ,, & οι οποίες πρέπει να προσδιοριστούν. (Στην παραπάνω εξίσωση θεωρήσαµε µονοδιάστατη κίνηση κατά µήκος του άξονα-x, ώστε να µην περιπλέξουµε τα πράγµατα µε τη χρήση διανυσµάτων. Θα µπορούσε όµως κανείς, εύκολα, να επεκτείνει την απόδειξη θεωρώντας την αντίστοιχη διανυσµατική εξίσωση 2ου βαθµού.) Από τον 1ο νόµο του Νεύτωνα γνωρίζουµε ότι όταν 0=F το κινητό συνεχίζει να κινείται µε σταθερή ταχύτητα, εποµένως 0=x&& , και συνεπώς 0),,( =txxd & . Η οµογένεια του χώρου και η οµογένεια του χρόνου, δηλαδή η ισοδυναµία µεταξύ των διαφόρων σηµείων του χώρου (κανένα σηµείο του χώρου δεν διαφέρει από τα άλλα ως προς την κατάληξη ενός συγκεκριµένου πειράµατος) και των χρονικών στιγµών (δεν υπάρχει κανένας λόγος να κάνεις σήµερα κάτι που µπορείς να κάνεις αύριο, οι φυσικοί νόµοι θα «δουλέψουν» εξίσου καλά και αύριο), επιβάλουν στη συνάρτηση

),,( txxa & να µην εξαρτάται ούτε από τη θέση του κινητού, ούτε από το χρόνο. Εποµένως, ο δυναµικός νόµος των µηχανικών συστηµάτων δεν µπορεί παρά να είναι

xxaF &&&)(= . Στο σηµείο αυτό θα έπρεπε να εγκαταλείψουµε την προσπάθεια να καταλήξουµε στο 2ο νόµο του Νεύτωνα, αν δεν υπήρχε καµία άλλη συµµετρία την οποία να µπορέσουµε να εκµεταλλευτούµε για να φτάσουµε στην πιο απλή διατύπωση του φυσικού νόµου εξέλιξης των µηχανικών συστηµάτων. Υπάρχει όµως άλλη µια συµµετρία, την οποία γνωρίζουµε καλά, αλλά δεν έχουµε µάθει να την αναγνωρίζουµε ως τέτοια. Πρόκειται για το γεγονός ότι σε ένα πλοίο, εφόσον η θάλασσα είναι ήρεµη και το πλοίο δεν στρίβει, εκτελούµε όλες τις κινήσεις φυσιολογικά ωσάν να βρισκόµασταν στη στεριά χωρίς να βλέπουµε κάτι περίεργο να συµβαίνει στο κατάστρωµα του πλοίου. Όπως γράφει ο Γαλιλαίος :

«…Κλείσου µε κάποιο φίλο σε κεντρική εσωτερική καµπίνα ενός µεγάλου πλοίου, και έχε µαζί σου λίγες µύγες, µερικές πεταλούδες, και µερικά πτηνά. Πάρε µαζί σου ένα µικρό ενυδρείο µε ένα ψάρι και ανάρτησε µία φιάλη γεµάτη νερό που αδειάζει στάλα - στάλα σε µια πλατιά λεκάνη. Όταν το πλοίο είναι ακίνητο παρατήρησε προσεκτικά πως τα πτηνά πετούν µε ίση ταχύτητα προς όλες τις κατευθύνσεις. Το ψάρι επίσης κολυµπάει ανέµελα προς όλες της κατευθύνσεις και οι σταγόνες πέφτουν ρυθµικά στη λεκάνη… Αφού παρατηρήσεις όλα αυτά µε προσοχή… διάταξε το πλοίο να σαλπάρει και να ταξιδέψει µε κάποια σταθερή ταχύτητα, προσέχοντας η κίνηση του πλοίου να είναι οµαλή και χωρίς διαταραχές. Τότε δεν θα παρατηρήσεις καµία αλλαγή σε όσα παρατήρησες προηγουµένως, ούτε θα είσαι σε θέση να προσδιορίσεις κατά πόσο το πλοίο κινείται ή παραµένει ακίνητο… Οι σταγόνες θα πέφτουν µε τον ίδιο τρόπο στη λεκάνη και στο ίδιο σηµείο, χωρίς να µετακινούνται προς τη πρύµνη, παρότι όταν οι σταγόνες κινούνται στον αέρα το πλοίο µετακινείται προς τα µπροστά. Το ψάρι στο ενυδρείο κολυµπάει προς τα εµπρός µε την ίδια ευκολία που κολυµπάει προς τα πίσω, και κατευθύνεται προς το δόλωµα µε την ίδια ευκολία ανεξαρτήτως από το που βρίσκεται αυτό. Τέλος οι πεταλούδες και οι µύγες συνεχίζουν ανέµελα το πέταγµά τους προς όλες τις κατευθύνσεις, και δεν συγκεντρώνονται προς τη πρύµνη ως θα συνέβαινε αν κουραζόντουσαν προκειµένου να διατηρήσουν τη θέση τους στο κινούµενο πλοίο…» (Galileo Galilei “Dialogue Concerning the Two Chief World Systems – Ptolemaic & Copernican” µετάφραση στα αγγλικά Drake, University of California Press 1967, p.186-187).

Με τον τρόπο αυτό διατυπώνει ο Γαλιλαίος αυτό που αναφέρεται σήµερα ως η αρχή της Γαλιλαιϊκής σχετικότητας: όλα τα µηχανικά συστήµατα συµπεριφέρονται

x

x΄Vt

t=t΄

0

0

ακίνητοσύστηµα

κινούµενοσύστηµα

ακριβώς το ίδιο όταν βρίσκονται πάνω σε ένα σύστηµα αναφοράς το οποίο κινείται µε σταθερή ταχύτητα σε σχέση µε κάποιο άλλο «καλό» σύστηµα αναφοράς (τέτοιο, δηλαδή, ώστε όταν δεν ασκείται δύναµη σε κάποιο υλικό

σηµείο αυτό να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά). Ο µετασχηµατισµός αυτός µεταξύ δύο συστηµάτων που κινούνται µε σταθερή σχετική ταχύτητα καλείται Γαλιλαιϊκός µετασχηµατισµός και απαιτούµε να αποτελεί συµµετρία των µηχανικών συστηµάτων, δηλαδή ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα πρέπει να είναι αναλλοίωτος στους Γαλιλαιϊκούς µετασχηµατισµούς. Είναι εύκολο να

διαπιστώσει κανείς ότι, σε µία τουλάχιστον διάσταση, ο µετασχηµατισµός αυτός γράφεται (βλ. Σχήµα)

,tttVtxxx

=′→−=′→

όπου tx ′′, η θέση και η χρονική στιγµή ενός συµβάντος στο κινούµενο σύστηµα και V η ταχύτητα αποµάκρυνσης του κινούµενου από το ακίνητο σύστηµα8. Για να είναι ο θεµελιώδης νόµος κίνησης των µηχανικών συστηµάτων ανεξάρτητος του συστήµατος αναφοράς, δεν θα πρέπει η συνάρτηση a να εξαρτάται από την ταχύτητα του σωµατιδίου, αφού το υπόλοιπο κοµµάτι της εξίσωσης δεν αλλάζει µε τον µετασχηµατισµό ( 2

22

2

dtxd

tdxd =′′ όπως εύκολα µπορείτε να διαπιστώσετε

µε δύο απλές παραγωγίσεις). Τι αποµένει λοιπόν παρά να είναι η a µια σταθερά σχετιζόµενη µε το σωµατίδιο. Ιδού λοιπόν ο 2ος νόµος του Νεύτωνα ως απόρροια των συµµετριών της φύσης.

xmF &&= . Όσον αφορά, τη σταθερά m , που απλά αποκαλούµε «µάζα», και τη δυνατότητα µέτρησης αυτής, ο 3ος νόµος του Νεύτωνα έρχεται να δώσει απαντήσεις. Ας θεωρήσουµε δύο σωµατίδια που αλληλεπιδρούν µόνο µεταξύ τους µέσω κάποιας δύναµης. Οι δύο δυνάµεις που ασκούνται στα δύο σωµατίδια οφείλουν να είναι ίσες και αντίθετες, συνεπώς ο λόγος των δύο επιταχύνσεων είναι αντιστρόφως ανάλογος των δύο «µαζών» των σωµατιδίων:

1

2

2

1

mm

xx

−=&&

&&.

Ορίζοντας ως µοναδιαία µάζα αυτή κάποιου σωµατιδίου, οποιαδήποτε άλλη µάζα µπορεί να προσδιοριστεί µέσω της µέτρησης των επιταχύνσεων κατά την αλληλεπίδραση τους. Θα πρέπει να σηµειώσουµε εδώ ότι η αναφορά στον 3ο νόµο του Νεύτωνα δεν είναι απαραίτητη αφού ο 2ος νόµος είναι αρκετός για τη µέτρηση της µάζας. Γνωρίζοντας τη δύναµη και την επιτάχυνση που προκαλεί αυτή σε ένα κινητό, υπολογίζουµε τη µάζα µε µια απλή διαίρεση. Απλά ο 3ος

8 Στην πραγµατικότητα δεν είναι δίκαιο να ονοµάζουµε το ένα σύστηµα ακίνητο και το άλλο κινούµενο, από τη στιγµή που όπως είπαµε δεν έχει τίποτε το εξέχον το ένα σε σχέση µε το άλλο.

νόµος µας δίνει τη δυνατότητα να µετρήσουµε ευκολότερα τη µάζα χωρίς να γνωρίζουµε το µέγεθος της δύναµης. Όταν µάλιστα πρόκειται για κάποια θεµελιώδη δύναµη την οποία ερευνούµε και δεν γνωρίζουµε εκ των προτέρων –όπως για παράδειγµα η δύναµη της Παγκόσµιας έλξης την εποχή του Νεύτωνα– δεν µπορούµε να τη χρησιµοποιήσουµε για τη µέτρηση της µάζας των σωµάτων.

• Μέχρι στιγµής η µάζα είναι µια ιδιότητα της ύλης, η οποία µετράει την αδράνεια αυτής σε αλλαγές της κινητικής της κατάστασης. Πώς µπορούµε να πειστούµε ότι αυτή η ιδιότητα σχετίζεται µε το ποσό της ύλης, όπως διαπίστωσε για πρώτη φορά ο Νεύτων, και όχι µε το χρώµα της ή την σκληρότητά της. Υποθέστε ότι δύο ίδιες δυνάµεις, π.χ. από δύο πανοµοιότυπα ελατήρια τεντωµένα κατά το ίδιο µήκος ασκούνται παράλληλα και ανεξάρτητα σε δύο όµοιες µεταλλικές σφαίρες. Προφανώς οι δύο σφαίρες θα επιταχυνθούν το ίδιο. Πλησιάστε τα δύο πειράµατα έτσι ώστε οι δύο σφαίρες µόλις να αγγίζουν η µία την άλλη. Αφού η κίνηση των δύο σφαιρών είναι απολύτως ίδια, µπορούµε να κολλήσουµε τις δύο σφαίρες χωρίς τίποτε να αλλάξει στην κίνησή τους. Το πείραµα όπως έχει διαµορφωθεί περιλαµβάνει µία δύναµη διπλάσια της αρχικής και ένα σώµα µε διπλάσια ποσότητα ύλης από την κάθε σφαίρα, κινούµενο όµως µε την ίδια επιτάχυνση όπως και πριν. Εποµένως η µάζα των δύο σφαιρών µαζί είναι διπλάσια από τη µάζα της κάθε σφαίρας. Το νοητικό αυτό πείραµα δείχνει ότι µάζα και ποσότητα ύλης είναι άµεσα συνδεδεµένα.9

• ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην προηγούµενη διάλεξη είδαµε µιας εντελώς διαφορετική θεώρηση από την παρούσα. Η διατύπωση του 2ου νόµου του Νεύτωνα από τον ίδιο τον Νεύτωνα ήταν απλώς µια πρόταση αναφορικά µε το πώς «δουλεύουν» τα µηχανικά συστήµατα, µια λαµπρή ιδέα µε αφορµή κάποια πειραµατικά δεδοµένα, η οποία, από ότι φάνηκε, έδινε απόλυτα ικανοποιητικές προβλέψεις για οποιοδήποτε µηχανικό σύστηµα. Η κατασκευή του νόµου του Νεύτωνα που παραθέσαµε παραπάνω, αποτελεί µια πολύ βαθύτερη προσέγγιση του προβλήµατος, η οποία ξεκινά από την παρατήρηση κάποιων αρχικών στοιχείων που καθορίζουν την κίνηση, καθώς και από θεµελιώδεις συµµετρίες της φύσης.

• Η ικανότητα προβλεψιµότητας που έχει κανείς, έχοντας στα χέρια του τον θεµελιώδη νόµο της µηχανικής, έχει ήδη φανεί, όταν δείξαµε πώς µε έναν απλό (αλλά ίσως κουραστικό και χρονοβόρο) αριθµητικό υπολογισµό µπορούµε να µάθουµε το µέλλον και το παρελθόν οποιουδήποτε µηχανικού συστήµατος, όσο πολύπλοκο και αν είναι αυτό (για παράδειγµα ενός γαλαξία). Στη συνέχεια θα δούµε µερικά απλά και διδακτικά παραδείγµατα µηχανικών συστηµάτων, η εξέλιξη των οποίων µπορεί να υπολογιστεί ακριβώς µε αναλυτικό τρόπο.

• χρονοεξαρτώµενες δυνάµεις: Ας υποθέσουµε ότι σε ένα υλικό σώµα δυνάµενου να κινείται σε µια διάσταση ασκείται µια δύναµη )(tF . Τότε ο 2ος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή:

dtdum

dtxdmtF == 2

2

)( ,

όπου u η στιγµιαία ταχύτητα του σώµατος. Η έκφραση της επιτάχυνσης µέσω της ταχύτητας αντί της θέσης, διευκολύνει την επίλυση της διαφορικής

9 Θα µπορούσε κανείς να παρατηρήσει ότι όχι µόνο η ποσότητα ύλης αλλά και η εξωτερική επιφάνεια είναι διπλάσια. Εποµένως ίσως η µάζα σχετίζεται µε την εξωτερική επιφάνεια ενός κινητού! Αρκεί να ανοίξετε µια εσωτερική κοιλότητα στην αρχική σφαίρα και να µετρήσετε την καινούρια µάζα για να πεισθείτε πως ένας τέτοιος ισχυρισµός είναι λανθασµένος.

F ( t )

t

F

τ∆ t

εξίσωσης η οποία από 2ης τάξης γίνεται 1ης. Η λύση αυτής δίνει

∫ ∫ ′′

=′=−u

u

t

t

tdmtFuduu

0 0

)(0 . (1)

Όσον αφορά τη θέση του κινητού αρκεί άλλη µια ολοκλήρωση ∫ ′+=t

t

tudxx0

0 .

Ως παράδειγµα τέτοιας δύναµης θεωρήστε ένα τρένο το οποίο προωθείται µε διαδοχικές ώσεις σταθερής δύναµης F οι οποίες διαρκούν κάποιο χρονικό διάστηµα τ . Ξεκινώντας από την ακινησία το τρένο αυξάνει την ταχύτητά του κατά m

Fτ ύστερα από κάθε ώση (βλ. εξίσωση (1)). Αντίστοιχα η θέση του

τρένου ύστερα από την (i+1)-οστή ώση θα είναι, όπως προκύπτει από τη διπλή ολοκλήρωση ( ) 2

1 2 ττ mFuxx iii ++′=+ , όπου ix′ η θέση του τρένου ύστερα από

την i-οστή ώση και το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µέχρι να ξεκινήσει η (i+1)-οστή ώση. Αν, για ευκολία, θεωρήσουµε ότι η διάρκεια της ώσης µικραίνει απεριόριστα, ενώ η δύναµη µεγαλώνει κατά τρόπο τέτοιο ώστε τF =σταθερό,

ii xx ≅+1 . Αυτό σηµαίνει ότι κατά την απειροστή διάρκεια της ώσης, το τρένο δεν προλαβαίνει να αλλάξει θέση. Μόνο η ταχύτητά του αυξάνεται. Έτσι µετά από N τέτοιες ώσεις µε χρονική απόσταση t∆ η µία από την επόµενη, το τρένο θα έχει

ταχύτητα mFNuN

)( τ= και θα έχει διανύσει t

mFNNxN ∆

−=

)(2

)1( τ

(επιβεβαιώστε το). Με µια απλή αναδιάταξη των όρων 2

21

2)1( t

tmF

tmFtNtNx NN ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆⎯⎯ →⎯

∆∆−∆

= ∞→

ττ ,

όπου tNt ∆= ένα χρονικό διάστηµα που περικλείει µεγάλο αριθµό ώσεων. Το αποτέλεσµα µοιάζει µε αυτό της οµαλά επιταχυνόµενης κίνησης, µε επιτάχυνση αυτήν που θα προκαλούσε µια δύναµη t

F∆

τ αν ασκούνταν συνεχώς!

Συνάρτηση δέλτα: Στο σηµείο αυτό θα ήταν χρήσιµο να εισάγουµε ένα µαθηµατικό αντικείµενο το οποίο πρωτοχρησιµοποιήθηκε από τους φυσικούς (πιο συγκεκριµένα τον Paul Dirac). Πρόκειται για µια οριακή περίπτωση συνάρτησης, παρόµοια µε τον παλµό δύναµης που συναντήσαµε στο προηγούµενο παράδειγµα, στο όριο που 0→τ . Πιο συγκεκριµένα φανταστείτε µια συνάρτηση η οποία έχει τη µορφή τετραγωνικού παλµού, δηλαδή

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤>

=2/,1

2/,0)(

εε

εε x

xxf

και στη συνέχεια θεωρήστε το όριό της για 0→ε : )()( 0 xxf δεε ⎯⎯→⎯ → . Όπως όλες οι συναρτήσεις )(xfε , έτσι και η )(xδ έχει ολοκλήρωµα, σε όλο το χώρο των x ίσο µε τη µονάδα.

1)( =∫+∞

∞−

dxxδ .

Πολλαπλασιάζοντας την περίεργη αυτή «συνάρτηση»10 µε µια άλλη συνεχή (τουλάχιστον στο σηµείο 0=x ) συνάρτηση τι θα συνέβαινε; Προφανώς, το

10 Πιο σωστά η συνάρτηση δέλτα είναι ένα συναρτησοειδές και όχι µια συνάρτηση. Για παράδειγµα ποια η τιµή αυτής της … «συνάρτησης» στο σηµείο x=0, το οποίο ανήκει µέσα στο πεδίο ορισµού της;

αποτέλεσµα θα µηδενίζονταν σε όλες τις άλλες περιοχές µακριά από το σηµείο 0=x και κάτι παράξενο θα συνέβαινε στην περιοχή του µηδενός. Ας εξετάσουµε

πρώτα πως θα φερόταν η )(xfε σε µια ανάλογη περίπτωση, και λαµβάνοντας στη συνέχεια το όριο να εξάγουµε τα συµπεράσµατά µας για την )(xδ .

∫ ∫+∞

∞−

+

−→⎯⎯→⎯=

2/

2/0 )0()(1)()(

ε

εεε

gdxxgdxxgxfe .

Η ιδιότητα αυτή ∫+∞

∞−

= )0()()( gdxxgxδ της συνάρτησης δέλτα την καθιστά

ιδιαιτέρως χρήσιµη. Τέλος άλλη µια ιδιότητα της συνάρτησης δέλτα που θα άξιζε να αναφέρουµε, και µπορείτε εύκολα να επιβεβαιώσετε µε µια παραγοντική

ολοκλήρωση, είναι η ακόλουθη: ∫+∞

∞−

′−=′ )0()()( gdxxgxδ , όπου ο τόνος

συµβολίζει παράγωγο ως προς x. Η σπουδαιότητα της συνάρτησης δέλτα φάνηκε έµµεσα στο παράδειγµα των παλµικών ώσεων που είδαµε παραπάνω. Όταν το αίτιο της κίνησης, της δηµιουργίας ενός πεδίου, κλπ. έχει έντονο τοπικό (χωρικά ή χρονικά) χαρακτήρα, η συνάρτηση δέλτα περιγράφει πολύ ικανοποιητικά τούτο. Επιπλέον οι καταπληκτικές ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα, την κάνουν πολύ ελκυστική στη µελέτη του αποτελέσµατος αιτίων πολύπλοκων µε όχι και τόσο τοπικό χαρακτήρα. Γνωρίζοντας κανείς το αποτέλεσµα της δράσης ενός «δέλτα-αιτίου» µπορεί να µάθει και το αποτέλεσµα ενός πολύ πιο σύνθετου αιτίου, αφού µπορεί να θεωρήσει το σύνθετο αυτό αίτιο ως συνάθροιση πολλών τέτοιων «δέλτα-αιτίων». Για να εξασκηθείτε µε τις ιδιότητες των συναρτήσεων δέλτα

δείξτε ότι ∫+∞

∞−

=− )()()( 00 xgdxxgxxδ .

• δυνάµεις εξαρτώµενες από την ταχύτητα: Στη συνέχεια θα εξετάσουµε την περίπτωση δύναµης της µορφής )(uF . Ο 2ος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τώρα τη µορφή:

∫∫′

=′′

⇒=t

t

u

u mtd

uFud

dtdumuF

00)(

)( .

Και σε αυτή την περίπτωση, λύνοντας το αριστερό ολοκλήρωµα παίρνουµε αυτόµατα µια σχέση µεταξύ της ταχύτητας του κινητού και του χρόνου. Με άλλα λόγια ξέρουµε κάθε χρονική στιγµή την ταχύτητα του κινητού. Μια δεύτερη ολοκλήρωση της ταχύτητας µας προσφέρει και τη θέση του κινητού. Ας εξετάσουµε ως παράδειγµα εφαρµογής τέτοιας δύναµης την κάθοδο ενός αλεξιπτωτιστή µέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Θα θεωρήσουµε την αντίσταση του αέρα στο αλεξίπτωτο ανάλογη της

ταχύτητας καθόδου. Έτσι, dtdumkuF =− , όπου mF , το βάρος και η µάζα του

αλεξιπτωτιστή. Εφαρµόζοντας την παραπάνω ολοκλήρωση θα καταλήξουµε στη σχέση

ku

F

(+)

)1( //0

mktmkt ekFeuu −− −+= .

Επιλέξτε ένα χρονικό διάστηµα αρκετά µεγάλο σε σχέση µε τη σταθερά χρόνου km /≡τ που ορίζει το πρόβληµα και θα καταλήξετε στο ακόλουθο αξιοσηµείωτο αποτέλεσµα:

kFtu ≅>> )( τ . Η σχέση αυτή που συνδέει

δύναµη και ταχύτητα είναι στην πραγµατικότητα ο δυναµικός νόµος της κίνησης της αριστοτέλειας µηχανικής. Μάλιστα ο Αριστοτέλης εξήγαγε αυτή τη σχέση µετρώντας την κίνηση στερεών σωµάτων κατά την κάθοδό τους µέσα σε ένα σωλήνα µε υγρό:

«Και αν η αυτή δύναµη µεταφέρει µέσα σε ορισµένο χρόνο το αυτό αντικείµενο σε αυτήν εδώ την ορισµένη απόσταση, για να το µεταφέρει στο µισό της απόστασης χρειάζεται το µισό του χρόνου…» Αριστοτέλης, Φυσική Ακρόασις, βιβλίο Η΄, κεφ. 5, 250a., µτφρ. Κ. ∆. Γεωργούλης.

Προκειµένου να υπολογίσουµε το διάστηµα που έχει διανύσει ο αλεξιπτωτιστής µέχρι κάποιο χρόνο, ολοκληρώνουµε την ταχύτητα οπότε προκύπτει

( )mkteukF

km

kFttx /

0 1)( −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= .

Ασυµπτωτικά, για µεγάλους χρόνους σε σχέση µε τη σταθερά χρόνου τ , η θέση δίνεται από

την ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−≅ 0)( u

kF

km

kFttx , όπου ο πρώτος

όρος περιγράφει την οµαλή κίνηση που παρατηρούσε ο Αριστοτέλης, ενώ ο δεύτερος

όρος σχετίζεται µε την «προϊστορία» της κίνησης, όλα δηλαδή όσα συνέβησαν µέχρι το κινητό να αποκτήσει την οριακή του ταχύτητα. Προφανώς η ανακριβής χρονοµέτρηση του Αριστοτέλη δεν του επέτρεψε να δει τον δεύτερο αυτό όρο και ίσως να του δηµιουργήσει αµφιβολίες.

• ∆ύναµη εξαρτώµενη από τη θέση: Τέλος ας θεωρήσουµε µια δύναµη της µορφής )(xF . Στην περίπτωση αυτή πρέπει να λύσει κανείς την οµογενή διαφορική εξίσωση 2ης τάξης: 0)( =− xFxm && για να υπολογίσει τη θέση του κινητού σε κάθε χρονική στιγµή. Συχνά η λύση αυτή δεν είναι εύκολο να βρεθεί. Μπορούµε όµως να καταλήξουµε σε ένα πολύ χρήσιµο συµπέρασµα στην περίπτωση τούτη. Ας γράψουµε τον 2ο νόµο του Νεύτωνα στη µορφή:

dxdumu

dtdx

dxdum

dtdumxF ===)( .

Ορίζοντας µια νέα συνάρτηση ∫ ′′−≡x

x

xdxFVxV0

)()( 0 , όπου 0V µια τυχαία

σταθερά, και ολοκληρώνοντας τον 2ο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε:

)(2222

)(2

0

20

20

2

00

xVmuVmumumuudumxdxF

u

u

x

x

+=+⇒−=′′=′′ ∫∫ .

Το αποτέλεσµα αυτό είναι εντυπωσιακό και απρόσµενο. Όποια και αν είναι η µορφή της δύναµης, υπάρχει µια ποσότητα η οποία κατά τη διάρκεια της κίνησης διατηρείται σταθερή, είναι, όπως λέµε στη φυσική, σταθερά της κίνησης ή αλλιώς ολοκλήρωµα της κίνησης. Η ύπαρξη σταθερών σε ένα φυσικό πρόβληµα αφενός

u(t)

t

F/k

u0

x(t)

t

Ft/kFt/k-(m/k)(F/k-u0)

µεν διευκολύνει σε µεγάλο βαθµό τους υπολογισµούς (στην περίπτωση µας µπορούµε να γνωρίζουµε την ταχύτητα σαν συνάρτηση της θέσης και µε µία ακόµη ολοκλήρωση να υπολογίσουµε και τη θέση σαν συνάρτηση του χρόνου), αφετέρου δε υποκρύπτει κάποια συµµετρία του εν λόγω προβλήµατος. Στην ποσότητα αυτή που κατασκευάσαµε και δείξαµε ότι παραµένει σταθερή, αναγνωρίζουµε την ενέργεια του κινητού. Στο ερώτηµα τι είναι ενέργεια, δεν µπορούµε να δώσουµε καµία άλλη απάντηση παρά µόνο να δείξουµε σιωπηρά την ποσότητα αυτή που γράψαµε και δείξαµε πως παραµένει σταθερή. Εκτός από την κινητική ενέργεια 2

2mu και τη δυναµική ενέργεια )(xV που εµφανίστηκαν

εδώ ως ποσότητες σχετιζόµενες µε την κινητική κατάσταση και τη θέση, αντίστοιχα, του κινητού, γνωρίζουµε ότι σε ευρύτερα φυσικά συστήµατα υπάρχουν και άλλες αντίστοιχες ποσότητες που ονοµάζουµε θερµική ενέργεια, χηµική ενέργεια, πυρηνική ενέργεια κλπ., οι οποίες όλες µαζί αθροιζόµενες δίνουν τη διατηρούµενη ποσότητα του συστήµατος που ονοµάζουµε ολική ενέργεια. Οι ενεργειακές αυτές ποσότητες, όµως, εµπίπτουν κατ’ ουσίαν σε µία από τις δύο κατηγορίες ενέργειας που είδαµε παραπάνω. Για παράδειγµα η θερµική ενέργεια δεν είναι τίποτε άλλο από την κινητική ενέργεια των άτακτα κινούµενων µορίων της ύλης, η χηµική ενέργεια που απελευθερώνεται σε µια χηµική αντίδραση δεν είναι παρά η δυναµική ηλεκτρική ενέργεια των ηλεκτρονίων των µορίων που αναδιατάσσονται. Τέλος η πυρηνική ενέργεια που απελευθερώνεται κατά τη µεταστοιχείωση είναι στην πραγµατικότητα η ηλεκτροστατική δυναµική ενέργεια µεταξύ τµηµάτων του πυρήνα, η οποία κάνει αισθητή την ύπαρξή της όταν ο πυρήνας για κάποιο λόγο παραµορφώνεται και οι πυρηνικές δυνάµεις δεν αντέχουν να κρατήσουν τον πυρήνα σε µια δέσµια κατάσταση. Στο σηµείο αυτό θα ήταν σκόπιµο να τονίσουµε ότι η διατηρούµενη αυτή ποσότητα, η ενέργεια, δεν θα ήταν τόσο θεµελιώδους σηµασίας, αν οι θεµελιώδεις δυνάµεις στη φύση δεν ήταν σχεδόν11 όλες, δυνάµεις που εξαρτώνται από τη θέση και µόνο των σωµάτων –µην ξεχνάτε ότι η διατήρηση της ενέργειας προήλθε ως επακόλουθο αυτής της ιδιότητας. Ύστερα από όλη αυτή τη συζήτηση για την ενέργεια, ας επανέλθουµε στο πρόβληµα υπολογισµού της θέσης ενός κινητού, όταν επιδρά επάνω του µια δύναµη που εξαρτάται από τη θέση. Φανταστείτε ότι το τρένο που είδαµε σε προηγούµενο παράδειγµα επιταχύνεται, ξεκινώντας από την ακινησία, µε διαδοχικούς χωρικούς παλµούς δύναµης της µορφής ∑ −=

kkaxFaxF )()( δ 12,

όπου K,3,2,1,0=k και a µια σταθερά (η απόσταση µεταξύ των διαδοχικών, απειροστού εύρους παλµών). Αν υπολογίσει κανείς την αντίστοιχη δυναµική ενέργεια θα καταλήξει, εκµεταλλευόµενος τις ιδιότητες της δέλτα συνάρτησης, στη

[ ][ ]( )11)()()(

0 0 0 0

+−=−=′−′−=′′−= ∫ ∑∫ ∑∞

= =a

xFaFaxdkaxFaxdxFxVx

k

x ax

k

δ ,

11 Οι ηλεκτροµαγνητικές δυνάµεις Lorentz είναι δυνάµεις που εξαρτώνται και από την ταχύτητα. ∆εν παύουν όµως και αυτές να είναι συντηρητικές δυνάµεις (διατηρούν την ενέργεια) αφού ασκούνται κάθετα στην κίνηση των φορτίων. 12 Το γιατί η έκφραση Fα έχει διαστάσεις δύναµης F επί θέσης α δικαιολογείται αν σκεφθείτε τι διαστάσεις έχει η συνάρτηση δέλτα.

όπου το [ ]β δηλώνει το ακέραιο µέρος του αριθµού β . Η µορφή της δυναµικής ενέργειας φαίνεται στο διπλανό

διάγραµµα. Έτσι η ταχύτητα του τρένου αφότου περάσει τον n-στό παλµό (ο πρώτος παλµός είναι αυτός για 0=k ) µπορεί εύκολα να υπολογιστεί από την εξίσωση διατήρησης της ενέργειας:

mFnau

axFamu nk

20121 2 ±=⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡− .

Η αυθαιρεσία ως προς το πρόσηµο δηλώνει ότι η κίνηση µπορεί να γίνεται είτε προς αυξανόµενο είτε προς ελαττούµενο x. Επιλέγοντας την προς τα θετικά x κίνηση, η µετάβαση του τρένου από τον n-στο παλµό στον επόµενο θα διεξαχθεί µε ταχύτητα m

Fna2 εποµένως θα διαρκέσει χρόνο Fnmatn 2= . Με άλλα

λόγια το τρένο θα έχει διανύσει διάστηµα na σε χρόνο

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

nFma 1

31

211

2K .

Το τελευταίο αυτό άθροισµα για µεγάλα n είναι περίπου ίσο µε ndxx

n

21

0

=∫ ,

οπότε το διάστηµα na απαιτεί χρόνο για να διανυθεί

2

2122)( t

mFx

Fmx

Fmnanaxt =⇒===

Και στο παράδειγµα αυτό καταλήξαµε, για µεγάλους τουλάχιστον χρόνους, στην

έκφραση της οµαλά επιταχυνόµενης κίνησης υπό την επίδραση σταθερής δύναµης.

Παρά την οµοιότητα των τελικών αποτελεσµάτων αυτού του παραδείγµατος και

του παραδείγµατος της χρονοεξαρτώµενης δύναµης, ποια µέθοδο θα προτιµούσατε

για τα τρένα της πόλης σας αν η τιµή παραγωγής του κάθε παλµού είτε χρονικού,

είτε χωρικού ήταν η ίδια; (Συγκρίνετε την ταχύτητα που πετυχαίνει κάθε µέθοδος

ύστερα από πολλούς, πολλούς παλµούς.)

V(x)

x

-Fα

α 2α 3α

-2Fα

∆ιάλεξη 4η

Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση.

Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. ∆εν θα ήταν υπερβολή αν λέγαµε ότι είναι το σηµαντικότερο φυσικό σύστηµα

Ένα παράδειγµα αρµονικού ταλαντωτή που ήδη γνωρίζετε είναι µία µάζα συνδεδεµένη σε ένα γραµµικό ελατήριο η οποία κινείατι σε οριζόντιο δάπεδο δίχως να ασκείται καµία δύναµη τριβής µεταξύ του δαπέδου και του σώµατος (βλ. σχήµα). Το ελατήριο λέγεται γραµµικό διότι η δύναµη επαναφοράς που ασκείται στο σώµα είναι ευθέως ανάλογη της επιµήκυνσης, x , του ελατηρίου από το φυσικό του µήκος. Η εξίσωση κίνησης τότε της µάζας είναι kx)x(Fxm −==&& , όπου k η σταθερά του

ελατηρίου (ή άλλως σταθερά του Hooke). Το 0=x είναι σηµείο ισορροπίας. Στα σηµεία ισορροπίας η δύναµη µηδενίζεται

και αν το σώµα βρεθεί σε ένα σηµείο ισορροπίας µε µηδενική ταχύτητα τότε θα παραµείνει σε αυτό για πάντα. Για αυτό το λόγο τα σηµεία ισορροπίας λέγονται και σταθερά σηµεία (fixed points). Αν η µάζα µετατοπισθεί λίγο από το σηµείο ισορροπίας τότε η δύναµη που ασκείται από το ελατήριο επαναφέρει το σώµα στο σηµείο ισορροπίας, στο οποίο επιστρέφει µε µη µηδενική ταχύτητα, οπότε και συνεχίζει την κίνησή του µέχρις ότου ακινητοποιηθεί εκ νέου και επιστρέψει και πάλι στο αρχικό σηµείο.

Το σώµα εκτελεί περιοδική κίνηση, υπάρχει δηλαδή ένας ελάχιστος χρόνος T ύστερα από τον οποίο η θέση του σώµατος παίρνει την ίδια τιµή, δηλαδή,

)()( txTtx =+ , για κάθε χρόνο t , που µε τη σειρά του συνεπάγεται ότι και η ταχύτητα και όλες οι ανώτερες χρονικές παραγωγοι είναι επίσης περιοδικές συναρτήσεις.

Επειδή η κίνηση της µάζας µε αρχική θέση )0(x και αρχική ταχύτητα )0(v δίνεται, όπως εύκολα µπορεί να διαπιστώσει κανείς, από την έκφραση:

tvtxtx ωω

ω sin)0(cos)0()( += ,

όπου mk=ω η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

είναι πράγµατι περιοδική µε περίοδο ωπ2

=T ή ν1

=T όπου πων2

= η συχνότητα της

ταλάντωσης (σε µονάδες κύκλοι/s ή Hz). Ισοδύναµα η θέση της µάζας δίνεται από τη σχέση

)cos()( ϕω += tatx ,

k

x m

όπου το πλάτος της ταλάντωσης είναι 2

22 )0()0(

ωvxa += και η φάση

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)0(x)0(vtan 1

ωϕ .

Παρατηρήστε ότι η περίοδος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες! ‘Όταν η περίοδος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη από το πλάτος τότε η ταλάντωση λέγεται ισόχρονη.

Η σηµασία του αρµονικού ταλαντωτή Για ποιο λόγο ο αρµονικός ταλαντωτής έχει ιδιαίτερη φυσική σηµασία; Θα

µπορούσε κάποιος µάλιστα να υποστηρίξει ότι η παραδοχή της γραµµικής εξάρτησης

της δύναµης από την αποµάκρυνση από το σηµείο ισορροπίας είναι περιορισµένης

ισχύος. Το συµπέρασµα αυτό θα ήταν όµως λάθος. Υποθέστε ότι σε ένα σώµα

ασκείται κάποια δύναµη )(xF και ότι το 0x είναι κάποιο σηµείο ισορροπίας, δηλαδή

0)( 0 =xF . Πράγµατι αν το σώµα βρεθεί σε αυτό το σηµείο δίχως ταχύτητα θα

παραµείνει σε αυτό. Ας υποθέσουµε όµως ότι η ισορροπία του σώµατος έχει µε κάποιο

τρόπο στιγµιαία διαταραχθεί και το σώµα βρίσκεται τώρα σε κάποια θέση, x , πλησίον

του σηµείου ισορροπίας. Τότε η δύναµη που ασκείται στο σώµα µπορεί να αναπτυχθεί

σε σειρά Taylor ως εξής:

L+′′−+′−= )(

!2)(

)()()( 0

20

00 xFxx

xFxxxF

(το ότι δεν υπάρχει σταθερός όρος στο ανάπτυγµα οφείλεται στο ότι το 0x είναι

σηµείο ισορροπίας· οι τόνοι υποδηλούν παραγώγιση ως προς x ). Αν η πρώτη

παράγωγος της δύναµης στο σηµείο ισορροπίας δεν µηδενίζεται και η διαταραγµένη

θέση του σώµατος (καθώς και η ταχύτητα) είναι µικρή τότε σε πάρα πολύ καλή

προσέγγιση η εξίσωση κίνησης του σώµατος δίνεται από την εξίσωση:

ξξ Km −=&&

όπου 0xx −=ξ είναι η διαταραχή από το σηµείο ισορροπίας και )( 0xFK ′−= , που είναι η εξίσωση του αρµονικού ταλαντωτή αν η σταθερά K που χαρακτηρίζεται από το σηµείο ισορροπίας είναι θετική. Όταν η σταθερά K είναι αρνητική τότε σχεδόν όλες οι αρχικές συνθήκες (εκτός από µόνο µία ειδική αρχική συνθήκη) οδηγούν σε εκθετική απόκλιση του σώµατος από το σηµείο ισορροπίας. Σε αυτή την περίπτωση το σηµείο ισορροπίας λέγεται ασταθές. Επειδή τότε η διαταραχή δεν µπορεί να συνεχίζει να λαµβάνεται ως µικρή είναι αναγκαίο για τη περαιτέρω εξέλιξη της διαταραχής να ληφθούν υπόψη και οι όροι ανώτερης τάξης στο ανάπτυγµα της δύναµης, οι µη γραµµικοί όροι.

Στη φύση τα πλέον σύνθετα συστήµατα, υπό την επίδραση των δυνάµεων που ασκούνται σε αυτά, βρίσκονται σε µια κατάσταση ισορροπίας η οποία είναι πραγµατοποιήσιµη. Υπό την έννοια αυτή, το σηµείο αυτό ισορροπίας που αφορά την κατάσταση της ύλης είναι ευσταθές ( 0>K ) και µικρές διαταραχές έχουν την ιδιότητα να παραµένουν µικρές (αν αυτό δεν ίσχυε µια οσοδήποτε µικρή διαταραχή θα αποµάκρυνε το σύστηµα από την κατάσταση ισορροπίας και εποµένως αυτή δεν θα µπορούσε να πραγµατοποιηθεί από τη φύση), µε αποτέλεσµα µε πολύ µεγάλη ακρίβεια οι διαταραχές να υπακούουν στις εξισώσεις του αρµονικού ταλαντωτή. Για αυτόν το λόγο αναµένουµε ο αρµονικός ταλαντωτής να εµπεριέχει την ουσία των πλέον διαφορετικών φυσικών φαινοµένων, από την απορρόφηση ακτινοβολίας από µόρια ή κρυσταλλικά πλέγµατα µέχρι την απορρόφηση ακτίνων γ από πυρήνες, και από τις ταλαντώσεις του ήλιου και την απόκριση των ωκεανών στην παλιρροϊακή δύναµη της σελήνης µέχρι την κβαντική θεωρία του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου.

Με την µέθοδο αυτή των µικρών διαταραχών µπορούµε να διερευνήσουµε το κατά πόσο µια κατάσταση ισορροπίας είναι πραγµατοποιήσιµη ή ακόµα και κατά πόσο µια κατάσταση ισορροπίας θα παραµείνει εάν µε κάποιο εξωτερικό τρόπο µεταβάλουµε κάποια παράµετρο του συστήµατος. Γενικά περιµένουµε όταν το K γίνει αρνητικό η ισορροπία να διαλυθεί και να οδηγηθούµε σε κάποια άλλη κατάσταση. Η πρόβλεψη του πότε γίνεται αυτό έχει προφανώς ιδιαίτερη σηµασία.

Εκθετικές λύσεις ως συνέπεια της γραµµικότητας και της αναλλοιότητας των εξισώσεων σε χρονική µετάθεση

Η εξίσωση του αρµονικού ταλαντωτή είναι γραµµική. Με τον όρο γραµµική εξίσωση εννοούµε ότι αν εάν η )(1 tx και η )(2 tx είναι λύσεις της δυναµικής εξίσωσης που ικανοποιούν ορισµένες αρχικές συνθήκες τότε και κάθε γραµµικός συνδυασµός

)()( 21 txtx βα + είναι λύση της δυναµικής εξίσωσης µε τον ανάλογο συνδυασµό αρχικών συνθηκών. Με άλλα λόγια η υπέρθεση δύο τροχιών είναι δυνατή τροχιά του συστήµατος.

Έχουµε δει ότι η κίνηση ενός σωµατιδίου προσδιορίζεται από την αρχική του θέση και ταχύτητα. ∆εδοµένης της αρχικής θέσης και της αρχικής ταχύτητας προκύπτει µια µοναδική εξέλιξη της κίνησης του σώµατος, µια µοναδική τροχιά (η υπόθεση ότι η τροχιά είναι µοναδική και ορίζεται για όλους τους χρόνους απαιτεί όπως ήδη ξέρετε από την Ανάλυση, ορισµένες συνθήκες συνεχείας και χρονικής εξάρτησης της δύναµης. Αυτές οι συνθήκες θεωρείται ότι ικανοποιούνται από τα φυσικά συστήµατα που µελετούµε). Επειδή κάθε αρχική συνθήκη µπορεί να κατασκευασθεί από την αρχική θέση και ταχύτητα, κάθε τροχιά του σώµατος µε αρχική θέση )0(x και αρχική ταχύτητα )0(v µπορεί να γραφεί λόγω της γραµµικότητας της εξίσωσης ως

)()0()()0( 21 txvtxx + , όπου )(1 tx η τροχιά του σώµατος µε αρχική θέση 1 και ταχύτητα 0 και )(2 tx η τροχιά µε αρχική θέση 0 και ταχύτητα 1. ∆ηλαδή, όπως ήδη

γνωρίζετε, η γραµµικότητα των εξισώσεων επιτρέπει τον προσδιορισµό όλων των λύσεων από γραµµικό συνδυασµό κάποιας βάσης λύσεων. Οι λύσεις δηλαδή σχηµατίζουν ένα διανυσµατικό χώρο που έχει διάσταση ίση µε τον αριθµό των αρχικών συνθηκών που απαιτούνται για τον προσδιορισµό της τροχιάς.

Οι γραµµικές εξισώσεις που περιγράφουν τις διαταραχές κοντά σε ένα σηµείο ισορροπίας είναι όπως είδαµε µια πολύ καλή προσέγγιση. Γνωρίζουµε παραδείγµατος χάριν, ότι οι εξισώσεις που διέπουν τη διάδοση των ηχητικών και των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε υλικά µέσα είναι κατά προσέγγιση γραµµικές και συνεπώς η υπέρθεση τέτοιων κυµάτων είναι λύση των κυµατικών εξισώσεων. Στην κλασσική µηχανική, όµως, τα περισσότερα προβλήµατα που θα λύσουµε δεν είναι γραµµικά π.χ. η κίνηση ενός πλανήτη γύρω από τον ήλιο, η ανάκλαση µιας µπάλας στο δάπεδο (δείξτε σε αυτή τη περίπτωση ότι η υπέρθεση δύο κινήσεων δεν αποτελεί κίνηση). Η γραµµικότητα επανέρχεται στην κβαντική µηχανική, στην οποία εξ’ όσων γνωρίζουµε, η γραµµικότητα δεν είναι προσέγγιση, αλλά καθεαυτός νόµος της φύσης. Σε όσα πειράµατα έχουν γίνει µέχρι σήµερα µε κβαντικά κύµατα ύλης δεν έχει διαπιστωθεί ίχνος µη γραµµικότητας!

Επανερχόµαστε και πάλι στον αρµονικό ταλαντωτή για να εξετάσουµε µία σηµαντική επίπτωση της γραµµικότητας της εξίσωσης που διέπει τη δυναµική του. Επειδή η δυναµική εξίσωση έχει πραγµατικούς συντελεστές, όπως συµβαίνει άλλωστε και σε όλες τις φυσικές εξισώσεις, µπορούµε να επεκτείνουµε τις λύσεις αυτού του προβλήµατος στο µιγαδικό πεδίο και τότε λόγω της γραµµικότητας του προβλήµατος το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της µιγαδικής λύσης είναι πάλι λύσεις της δυναµικής εξίσωσης διότι αν )(tz είναι λύση της δυναµικής εξίσωσης και η συζυγής της είναι λύση. Παραδείγµατος χάριν, γνωρίζετε ότι η )exp( tiω είναι µιγαδική λύση του αρµονικού ταλαντωτή. Λόγω της γραµµικότητας άλλες λύσεις θα είναι η

)cos())(( ttz ω=ℜ (το πραγµατικό µέρος της µιγαδικής λύσης) και η )sin())(( ttz ω=ℑ (το φανταστικό µέρος της µιγαδικής λύσης). Η µετάβαση στο µιγαδικό πεδίο έχει πολλές φορές πλεονεκτήµατα, όπως θα δούµε παρακάτω. Μπορούµε λοιπόν να λύσουµε ένα πρόβληµα στο µιγαδικό επίπεδο και να ανακτήσουµε στο τέλος τη φυσικά πραγµατοποίησιµη λύση λαµβάνοντας το πραγµατικό µέρος της λύσης. Θα δείτε ένα τέτοιο παράδειγµα όταν µελετήσουµε την επίδραση εξωτερικής δύναµης στον αρµονικό ταλαντωτή.

Τώρα ερχόµαστε στις συνέπειες του αναλλοίωτου των δυναµικών εξισώσεων σε χρονικές µεταθέσεις. Όπως είπαµε σε προηγούµενο κεφάλαιο µια δυναµική εξίσωση είναι αναλλοίωτη σε χρονικές µεταθέσεις όταν η µορφή της εξίσωσης δεν µεταβάλλεται αν µεταθέσουµε την αρχή του χρόνου. Πράγµατι η εξίσωση του αρµονικού ταλαντωτή δεν εξαρτάται από το χρόνο και δεν εµπεριέχει πουθενά καµία πληροφορία για την αρχή του χρόνου, και συνεπώς είναι αναλλοίωτη σε χρονικές µεταθέσεις. Ως συνέπεια του αναλλοίωτου της εξίσωσης στις χρονικές µεταθέσεις θα δείξουµε ότι:

Εάν η )(tx είναι λύση της δυναµικής εξίσωσης ),( xxFx &&& = τότε και η )( α+tx θα είναι λύση. Απόδειξη: Η )(tx ικανοποιεί τη δυναµική εξίσωση ),( xxFx &&& = . Με αντικατάσταση του t από το at + η εξίσωση παίρνει τη µορφή:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=++

)()(),(

)()(

2

2

atdtdxtxF

tdtxd αααα .

Επειδή όµως )()(

)(αα +

=+

+=

tdd

tdd

dtatd

dtd , θα ισχύει

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=+

dttdxtxF

dttxd )(),()(

2

2 ααα ,

που αποδεικνύει (επειδή η εξίσωση είναι αναλλοίωτη σε χρονικές µεταθέσεις) ότι και η )( α+tx είναι λύση της δυναµικής εξίσωσης.

Θεωρήστε για παράδειγµα, τη λύση του αρµονικού ταλαντωτή )cos( tω υπολογισµένη α µονάδες χρόνου αργότερα:

)sin()sin()cos()cos()cos( ttt ωωαωωαωαω −=+ Βλέπουµε δηλαδή, όπως αποδείξαµε προηγουµένως, ότι και η )(cos αω +t είναι λύση του αρµονικού ταλαντωτή, και επιπλέον, επειδή η δυναµική εξίσωση του αρµονικού ταλαντωτή είναι γραµµική ότι αυτή η λύση είναι γραµµικός συνδυασµός των δύο γραµµικώς ανεξάρτητων λύσεων του ταλαντωτή tωcos και tωsin .

Θα δείξουµε τώρα ότι όταν έχουµε γραµµικές και χρονικά αναλλοίωτες εξισώσεις τότε υπάρχουν λύσεις των δυναµικών εξισώσεων της µορφής Htetz =)( , όπου H µία σταθερά η οποία µπορεί να είναι και µιγαδική. Αυτές οι λύσεις έχουν την ιδιότητα να µην αλλάζουν µορφή κατά τη µετάθεση του χρόνου δηλαδή )()()( tzhtz αα =+ . Αυτές οι λύσεις λέγονται µη αναγώγιµες (irreducible).

Θα αποδείξουµε πρώτα ότι υπάρχουν λύσεις που ικανοποιούν τη σχέση )()()( tzhtz αα =+ , όπου )(αh κάποια σταθερά που εξαρτάται από το α . Θα

περιορίσουµε την απόδειξη στη µονοδιάστατη κίνηση ενός σώµατος του οποίου η κίνηση προσδιορίζεται από δύο αρχικές συνθήκες και άρα η λύση είναι γραµµικός συνδυασµός δύο συναρτήσεων. Η απόδειξη είναι πανοµοιότυπη για συστήµατα µε περισσότερους βαθµούς ελευθερίας. Έστω λοιπόν ότι η ζητούµενη λύση γράφεται

)()()( 2211 txatxatz += , όπου )(1 tx και )(2 tx δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις της δυναµικής εξίσωσης. Επειδή και η )(1 α+tx είναι λύση, µπορεί να γραφεί και αυτή ως )()()( 2121111 txbtxbtx +=+α καθώς επίσης και η )()()( 2221212 txbtxbtx +=+α . Οι σταθερές ijb είναι συναρτήσεις του α . Θέλουµε να αποδείξουµε τώρα ότι δεδοµένων των συναρτήσεων )(1 tx και )(2 tx υπάρχει λύση )(tz (που προσδιορίζεται από τις σταθερές 1a και 2a ) και αριθµός )(αh ώστε )()()( tzhtz αα =+ . Επειδή

)()()( 2211 ααα +++=+ txatxatz , έχοµε

))()()(()()()()( 221122221211212111 txatxaahtxbabatxbaba +=+++ και άρα [ ] [ ] 0)()()()( 2222212111212111 =−++−+ txaahbabatxaahbaba . Επειδή οι

)(1 tx , )(2 tx είναι γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις πρέπει τα 1a , 2a και )(ah να ικανοποιούν τις δύο εξισώσεις

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

2212

2111 )(aa

ahaa

bbbb

δηλαδή το )(ah είναι η ιδιοτιµή του ανάστροφου πίνακα ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2212

2111

bbbbTB και το

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

aa

το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα. Ως γνωστόν η ιδιοτιµή )(ah προσδιορίζεται από τη

συνθήκη [ ] 0)(det =− IBT ah , όπου I ο µοναδιαίος πίνακας. Η συνθήκη αυτή δίνει µια δευτεροβάθµια εξίσωση ως προς )(ah η οποία έχει πάντα δύο λύσεις (στο σώµα των µιγαδικών αριθµών). Αποδείξαµε λοιπόν ότι όχι µόνο υπάρχουν µη αναγώγιµες λύσεις, αλλά ότι αυτές είναι όσες απαιτούνται για να σχηµατίσουν µία πλήρη βάση λύσεων των δυναµικών εξισώσεων. Είδαµε ακόµη πώς µπορούµε να κατασκευάσουµε τις λύσεις αυτές.

Τώρα θα αποδείξουµε ότι εάν για κάθε t και α µία συνάρτηση ικανοποιεί τη σχέση

)()()( tzahtz =+α , (1) τότε η συνάρτηση είναι η εκθετική. Θα δώσουµε µία απόδειξη η οποία είναι ενδιαφέρουσα διότι εισάγει µια µέθοδο σκέψης που θα συναντήσετε αργότερα όταν µελετήσετε τη θεωρία οµάδων. Πρώτον, µπορούµε να κανονικοποιήσουµε την z πολλαπλασιάζοντάς την µε κάποιον αριθµό έτσι ώστε 1)0( =z . Θέτοντας λοιπόν στην εξίσωση (1) 0=t , τότε θα έχουµε )()( ahz =α και συνεπώς η εξίσωση (1) µπορεί να γραφεί

)()()( tzaztz =+α . (2) Θεωρούµε τώρα ένα πολύ µικρό χρόνο 1<<ε και αναπτύσσοντας την )(εz κατά Taylor, έχουµε )(1)( 2εεε OHz ++= , όπου )0(zH ′= , µία σταθερά. Από την εξίσωση (2) έχουµε [ ]NzNz )()( εε = . Άρα για κάθε χρόνο t έχουµε γράφοντας

εNt = ότι :

HtN

N

N

Ne

NtH

Ntztz =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞→∞→1limlim)( .

Αποδείξαµε λοιπόν ότι κάθε σύστηµα γραµµικών δυναµικών εξισώσεων που είναι αναλλοίωτες σε χρονικές µεταθέσεις έχει αναγκαστικά λύσεις που είναι εκθετικές συναρτήσεις.

Αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβεση Σώµα µάζας m είναι συνδεδεµένο µε ελατήριο σταθεράς k , όπως στο σχήµα.

Επιπλέον στο σώµα ασκείται δύναµη τριβής vvF µ−=)( . Η εξίσωση της κίνησης είναι

02 2 =++ xxx ωγ&&& , (3)

όπου mµγ =2 και

mk

=2ω (όλες οι σταθερές

λαµβάνονται θετικές). Η εξίσωση αυτή είναι χρονικά αναλλοίωτη και γραµµική. Θα υπάρχουν λοιπόν µη αναγώγιµες εκθετικές λύσεις της µορφής Hte . Αντικαθιστούµε την

εκθετική λύση στη διαφορική εξίσωση (3) οπότε συµπεραίνουµε ότι η σταθερά H πρέπει να ικανοποιεί την αλγεβρική εξίσωση: 02 22 =++ ωγHH , από την οποία

έχουµε ότι 22 γωγ −±−= iH . Οι µη αναγώγιµες λύσεις είναι συνεπώς

( )tit 22exp γωγ −±− και επειδή η υπέρθεση λύσεων είναι πάλι λύση µπορούµε να

k

x mv

µv

πάρουµε ως βάση των λύσεων το πραγµατικό και φανταστικό µέρος των µη αναγώγιµων λύσεων και να γράψουµε τη γενική λύση στη µορφή:

( ) ( )[ ]tBtAttx 2222 sincos)exp()( γωγωγ −+−−= , (4) όπου οι σταθερές BA, προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Η µορφή είναι κατάλληλη όταν η απόσβεση είναι ασθενής δηλαδή όταν γω > . Στο σχήµα δίδεται η λύση στη περίπτωση που η αρχική θέση είναι 1)0( =x και η αρχική ταχύτητα είναι

γ−=)0(x& . Πρέπει να προσεχθεί ότι η απόσβεση δεν οδηγεί µόνο σε εκθετική µείωση του πλάτους της ταλάντωσης αλλά µειώνει και τη συχνότητα ταλάντωσης. Αν αυξήσουµε τον συντελεστή απόσβεσης γ κρατώντας τη φυσική συχνότητα του

ταλαντωτή ω σταθερή, η συχνότητα της ταλάντωσης θα µικραίνει συνεχώς µέχρις ότου ωγ = και η συχνότητα µηδενισθεί. Όταν ωγ = λέγεται ότι έχοµε κρίσιµη απόσβεση. Σε αυτήν την περίπτωση η (4) δεν δίνει δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις και χρειάζεται να

προσδιορίσουµε µία δεύτερη λύση. Όταν ωγ > λέγεται ότι έχουµε υπεραπόσβεση. Στη περίπτωση αυτή έχουµε τη γενική λύση:

( ) ( )ttBttAtx 2222 expexp)( ωγγωγγ −−−+−+−= (3) η οποία περιγράφει πλέον δύο εκθετικά χρονικά φθίνουσες συναρτήσεις χωρίς ταλάντωση. Στην περίπτωση της υπεραπόσβεσης η µία λύση µειώνεται µε τον ταχύ ρυθµό 22 ωγγ −+ ενώ η άλλη µε τον αργότερο ρυθµό 22 ωγγ −− . Η λύση µε τον µικρό εκθέτη, µε την πάροδο του χρόνου, θα κυριαρχήσει και το σύστηµα θα

αποκατατασταθεί στην κατάσταση ισορροπίας µετά από χρόνο 22

1

ωγγ −+−≈t .

Όσο ο συντελεστής ανάλωσης µεγαλώνει τόσο µεγαλύτερος γίνεται ο χρόνος αποκατάστασης της ισορροπίας δηλαδή τόσο πιο αργή γίνεται η απόσβεση της αρχικής διαταραχής! Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι η γρηγορότερη αποκατάσταση της ισορροπίας επιτυγχάνεται όταν η απόσβεση είναι κρίσιµη. Μπορείτε να σκεφθείτε µία πρακτική εφαρµογή της παρατήρησης αυτής;

Ας εξετάσουµε λίγο εκτενέστερα την περίπτωση ωγ >> . Σε αυτή την περίπτωση η κυρίαρχη δύναµη είναι η τριβή και έχουµε κατά προσέγγιση 02 =+ xx &&& γ (η δύναµη επαναφοράς είναι αµελητέα και η επιτάχυνση καθορίζεται από τη δύναµη της τριβής.) Περιµένουµε λοιπόν στη περίπτωση αυτή αν το σώµα έχει κάποια αρχική ταχύτητα, η

ταχύτητα να µηδενισθεί ταχύτατα και το σώµα να φθάσει στο σηµείο γ2

)0()0( xx&

+ σε

χρόνο της τάξεως του γ21 . Αυτό φαίνεται αµέσως διότι η γενική λύση της

προσεγγιστικής εξίσωσης είναι ( )texxtx γ

γ21

2)0()0()( −−+=

& . Εάν λοιπόν η αρχική

ταχύτητα του σώµατος είναι µεγάλη τότε σε αυτή τη περίπτωση όχι µόνον δεν θα αποκατασταθεί η ισορροπία αλλά η διαταραχή παρά την απόσβεση θα αυξηθεί. Αυτό το φαινόµενο παροδικής αύξησης του πλάτους της διαταραχής έχει ιδιαίτερη σηµασία σε αστροφυσικά και γεωφυσικά συστήµατα.

Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται). Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( γω > ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι οι

tetx t Ω= − cos)(1γ και tetx t Ω= − sin)(2

γ , όπου 22 γω −=Ω . Ο εκφυλισµός των λύσεων στην κρίσιµη απόσβεση γω = διαφαίνεται διότι στο όριο 0→Ω οι λύσεις για ασθενή απόσβεση γίνονται tetx γ−→)(1 ενώ η 0)(2 →tx , και έτσι αποµένει µόνο µία µη τετριµµένη λύση. Επειδή όµως το πρόβληµα είναι γραµµικό µπορούµε να διαιρέσουµε την )(2 tx µε οποιοδήποτε αριθµό και να συνεχίσουµε να έχουµε λύση. ∆ιαιρώντας µε το Ω θα έχουµε ότι η δεύτερη ανεξάρτητη λύση θα είναι

t2

0te

)t(xlim γ

Ω Ω−

→= , οπότε η γενική λύση στη περίπτωση της κρίσιµης απόσβεσης είναι

)( BtAe t +−γ , όπου οι σταθερές BA, προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις

Θεωρούµε τώρα ότι ασκείται και µία εξωτερική δύναµη )(tF στον ταλαντωτή. Η εξίσωση τώρα του ταλαντωτή µπορεί να γραφεί ως )()( tFtx =℘ , όπου ℘ ο

διαφορικός τελεστής13 202

2

2 ωγ ++dtd

dtd ( 0ω η φυσική συχνότητα του ελεύθερου

ταλαντωτή). Επειδή η εξίσωση είναι γραµµική (ο ℘ είναι ένας γραµµικός τελεστής δηλαδή έχει την ιδιότητα: [ ] [ ] [ ])()()()( 2121 txbtxatbxtax ℘+℘=+℘ ) η απόκριση του ταλαντωτή µπορεί να γραφεί ως η υπέρθεση )()( txtx fo + όπου )(txo η οµογενής λύση η οποία ικανοποιεί την εξίσωση του ταλαντωτή χωρίς εξωτερική δύναµη δηλαδή ικανοποιεί την εξίσωση 0)( =℘ txo και )(tx f η ειδική λύση η οποία ικανοποιεί την εξίσωση )()( tFtx f =℘ . Η εξέλιξη του συστήµατος τότε, µπορεί να αναλυθεί πλήρως διότι οι οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες µπορεί να ικανοποιηθούν προσθέτοντας στην ειδική λύση την κατάλληλη οµογενή λύση έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες.

Την οµογενή λύση την έχουµε κατασκευάσει ήδη στο προηγούµενο κεφάλαιο

και γνωρίζουµε ότι εάν υπάρχει απόσβεση, η λύση αυτή τείνει µε την πάροδο του

χρόνου στο µηδέν, οπότε µετά από αρκετό χρόνο η απόκριση του ταλαντωτή θα

δίνεται µόνο από την ειδική λύση. Η ασυµπτωτική αυτή απόκριση λέγεται

εξαναγκασµένη απόκριση, ενώ η οµογενής λύση λέγεται και µεταβατική λύση διότι

13 Ο τελεστής είναι απλώς ένα µαθηµατικό αντικείµενο το οποίο δρα επάνω σε οτιδήποτε τον ακολουθεί.

ρυθµίζει τη µετάβαση από τις ιδιαίτερες αρχικές συνθήκες στην εξαναγκασµένη

απόκριση η οποία είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές συνθήκες.

Θα επικεντρώσουµε τώρα την προσοχή µας στο να υπολογίσουµε την εξαναγκασµένη απόκριση. Αυτή η λύση εξαρτάται γενικά από τη µορφή της εξωτερικής δύναµης, και θα νόµιζε κανείς ότι θα µπορούσαµε να εξάγουµε συµπεράσµατα, µόνο κατά περίπτωση, για την εξαναγκασµένη κίνηση του ταλαντωτή. Μπορούµε όµως να προχωρήσουµε και να κατανοήσουµε την εξαναγκασµένη συµπεριφορά του συστήµατος κάνοντας χρήση και πάλι της γραµµικότητας και της χρονικής αναλλοιότητας της δυναµικής εξίσωσης µελετώντας µόνο τη συµπεριφορά του συστήµατος σε περιοδική δύναµη της µορφής )exp( tiω .

Αυτό ισχύει διότι κάθε συνάρτηση )(tF µπορεί να αναλυθεί σε αρµονικές, δηλαδή µπορεί να γραφεί ως το άθροισµα αρµονικών συναρτήσεων:

ωω ω deFtF ti∫∞

∞−

= )(~)( , όπου το πλάτος των αρµονικών προσδιορίζεται από την

εξωτερική δύναµη από τον τύπο: dtetFF ti∫∞

∞−

−= ω

πω )(

21)(~ . Αν η λύση στη

µονοχρωµατική αρµονική εξωτερική δύναµη tieF ωω)(~ είναι η )(txω τότε η κίνηση του σώµατος στο οποίο ασκείται η δύναµη )(tF θα είναι το άθροισµα των µονοχρωµατικών αποκρίσεων )(txω δηλαδή η εξαναγκασµένη απόκριση του

ταλαντωτή θα δίνεται από την ∫∞

∞−

= ωω dtxtx f )()( . Αυτό προκύπτει από τη

γραµµικότητα της εξίσωσης. ∆ιότι εφόσον η )(txω ικανοποιεί εκ κατασκευής την

εξίσωση tieFtx ωω ω)(~)( =℘ , η )(tx f λόγω της γραµµικότητας της ℘ θα ικανοποιεί

την εξίσωση:

( ) )()(~)()( tFdeFdtxdtx ti ==℘=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛℘ ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ωωωω ωωω .

Οπότε αρκεί να µελετήσουµε τη συµπεριφορά του ταλαντωτή σε αρµονική εξωτερική δύναµη :

)cos(2 202

2

ϕωωγ +=++ txdtdx

dtxd ,

αν το καταφέρουµε αυτό µπορούµε να βρούµε τη λύση αθροίζοντας τις µονοχρωµατικές αποκρίσεις.

Είναι προτιµότερο, όµως, να µεταφερθούµε στο µιγαδικό πεδίο και να µελετήσουµε τη συµπεριφορά της

)exp(2 02

02

2

tiFzdtdz

dtzd ωωγ =++ ,

όπου ϕiAeF =0 . Τη φυσική διέγερση x την προσδιορίζουµε στο τέλος παίρνοντας το πραγµατικό µέρος της µιγαδικής λύσης z (αυτό είναι δυνατόν, όπως συζητήσαµε και προηγουµένως, διότι η εξίσωση είναι γραµµική και έχει πραγµατικούς συντελεστές).

Το πλεονέκτηµα της µεταφοράς στο µιγαδικό πεδίο έγκειται στο γεγονός ότι οι εκθετικές συναρτήσεις είναι µη αναγώγιµες, και συνεπώς η επίλυση των διαφορικών εξισώσεων µετατρέπεται σε επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Εάν λοιπόν θέσουµε

)exp()( ϕωω itiARz += , δηλαδή η απόκριση είναι ίδια µε την εξωτερική δύναµη τότε θα έχουµε ότι το

20

2 21)(

ωγωωω

++−=

iR

και η φυσικά πραγµατοποιήσιµη λύση θα είναι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

ℜ= 20

2 2)exp()(ωγωωϕω

ω iitiAtx

όπου το ℜ συµβολίζει το πραγµατικό µέρος και η )(txω είναι η εξαναγκασµένη ταλάντωση του ταλαντωτή σε διέγερση συχνότητας ω .

Αν γράψουµε την ποσότητα θρω ieR =)( τότε η µονοχρωµατική απόκριση είναι η περιοδική συνάρτηση )cos()( θϕωρω ++= tAtx όπου το ρ προσδιορίζει τον πολλαπλασιαστή µεγέθυνσης της απόκρισης και η γωνία θ τη φάση της απόκρισης σχετικά µε τη φάση της δύναµης. Αν π.χ. 0=θ η δύναµη και η απόκριση εξελίσσονται εν φάσει και όταν η δύναµη είναι µέγιστη και η απόκριση είναι µέγιστη. Αν η πθ −= τότε η απόκριση ακολουθεί τη δύναµη και το µέγιστο της εξωτερικής δύναµης αντιστοιχεί σε ελάχιστο της απόκρισης.

Θεωρούµε τώρα ότι η φυσική συχνότητα 0ω που χαρακτηρίζει τον ταλαντωτή είναι δεδοµένη. Τότε το µέτρο της απόκρισης ως συνάρτηση της συχνότητας της εξωτερικής διέγερσης δίνεται από

22220

22

4)(1

ωγωωρ

+−=

και η φάση δίνεται από τον τύπο:

20

2

2tanωω

γωθ−

=

Την απόκριση σχεδιάζουµε στο παρακάτω σχήµα (συνεχής γραµµή) για την τιµή της

απόσβεσης 1.00

=ωγ . Η απόκριση µεγιστοποιείται λίγο πριν από το 1

0

=ωω και η

µέγιστη απόκριση τείνει στο άπειρο όταν ο συντελεστής απόσβεσης τείνει στο µηδέν. Όταν δηλαδή η εξωτερική διέγερση έχει συχνότητα κοντά στη φυσική συχνότητα του ταλαντωτή τότε ο ταλαντωτής απορροφά ενέργεια από την εξωτερική δύναµη και η απόκριση του είναι ιδιαιτέρως µεγάλη. Αυτό το φαινόµενο λέγεται συντονισµός (res-onance). Όταν η απόκριση αποκτήσει ιδιαιτέρως µεγάλο πλάτος τότε η γραµµική προσέγγιση µπορεί να είναι

ανεπαρκής και ίσως πρέπει να συµπεριληφθούν οι µη γραµµικοί όροι για τη περιγραφή της συµπεριφοράς του συστήµατος. Όταν η συχνότητα διέγερσης είναι πολύ µικρή (

10

<<ωω ) τότε η απόκριση δίνεται κατά προσέγγιση από το 2

0

1ω

ρ = . Σε αυτή την

περίπτωση η επιτάχυνση και η δύναµη της τριβής είναι αµελητέα και έχουµε ισορροπία µεταξύ της δύναµης επαναφοράς x2

0ω και της εξωτερικής δύναµης, οπότε ο

πολλαπλασιαστής µεγέθυνσης της απόκρισης είναι 20

1ω

ρ = . Προσέξτε επίσης ότι

στην περίπτωση αυτή, όπως θα δούµε και παρακάτω, δεν υπάρχει διαφορά φάσης

µεταξύ δύναµης και απόκρισης. Στο άλλο όριο 10

>>ωω η δύναµη επαναφοράς είναι

αµελητέα και η επιτάχυνση προσδιορίζεται κατευθείαν από την εξωτερική δύναµη οπότε και έχουµε ότι Fx ≈− 2ω και συνεπώς η απόκριση είναι µικρή και η διαφορά φάσης είναι σχεδόν 0180− , δηλαδή η απόκριση καθυστερεί και όταν η δύναµη έχει µέγιστο η απόκριση έχει ελάχιστο.

Η φάση της απόκρισης παρουσιάζεται στο διπλανό σχήµα. Παρατηρούµε ότι πάντα η απόκριση υστερεί της δύναµης (η γωνία θ είναι αρνητική) και όπως αναλύσαµε για φυσικές συχνότητες µικρότερες της φυσικής η απόκριση έχει σχεδόν της ίδια φάση µε την εξωτερική διέγερση, ενώ για µεγαλύτερες έχει σχεδόν αντίθετη φάση. Όταν ο συντελεστής απόσβεσης είναι πολύ µικρός η µεταβολή της φάσης είναι

ραγδαία στην περιοχή του συντονισµού όπου εκεί η φάση είναι ακριβώς 090− , που όπως θα δούµε συνεπάγεται µεγάλη απορρόφηση ενεργείας.

Όταν το 10<<ω

γ

µπορούµε να προσεγγίσουµε τη συµπεριφορά του συστήµατος

περί το 10

=ωω , απλοποιώντας

κάπως την έκφραση για το ρ . Επειδή στην περιοχή του συντονισµού 0ωω ≈ µπορούµε να προσεγγίσουµε τη διαφορά

)(2))(( 000020

2 ωωωωωωωωω −≈+−=− και θα έχουµε κατά προσέγγιση ότι:

220

20

2

)(1

41

γωωωρ

+−≈

την οποία και σχεδιάζουµε (µε τελείες) µαζί µε την ακριβή έκφραση του πλάτους της απόκρισης. Παρατηρήστε ότι ακόµα και για 01.0 ωγ = η έκφραση αυτή είναι ικανοποιητικά ακριβής ακόµα και για συχνότητες µακράν της συχνότητας συντονισµού. Από την προσεγγιστική αυτή έκφραση, εύκολα υπολογίζεται το εύρος της καµπύλης συντονισµού στο ύψος που αντιστοιχεί στο µισό της µέγιστης

απόκρισης. Αποδεικνύεται ότι αυτό ισούται µε τον συντελεστή απόσβεσης γ . (Το συνολικό πλάτος της «καµπάνας» συντονισµού είναι γ2 .)

Επειδή στον ταλαντωτή ασκείται εξωτερική δύναµη, ενέργεια µεταφέρεται από το εξωτερικό αίτιο στον ταλαντωτή όπου και συσσωρεύεται. Εφόσον η δύναµη είναι της µορφής )cos( tω και η απόκριση περιοδική, η ενέργεια του ταλαντωτή είναι µία περιοδική14 συνάρτηση η οποία έχει, όµως, µη µηδενική µέση τιµή. Για να υπολογίσουµε την εξέλιξη της ενέργειας του ταλαντωτή γράφουµε την εξαναγκασµένη απόκριση στη µορφή tBtAtx ωω sincos)( += , όπου βρίσκει κανείς ότι:

( ) 222220

220

4 ωγωω

ωω

+−

−=A και

( ) 222220 4

2ωγωω

γω

+−=B .

Το A ονοµάζεται ελαστικό πλάτος και το B πλάτος απορρόφησης. Η ενέργεια του

ταλαντωτή είναι 2

)(22

02 xx

tEω+

=&

. Συµβολίζουµε τη µέση τιµή µιας συνάρτησης του

χρόνου )(tf σε µία περίοδο µε f , δηλαδή ∫=0

2

0

0 )(2

ωπ

πω

dttff . Υπολογίζουµε πρώτα τη

µέση τιµή του 2x : 2

2222222

21

2sincos2sincos ρωωωω =

+=++=

BAttABtBtAx .

Εδώ χρησιµοποιήσαµε τη γνωστή

ιδιότητα ότι 21sincos 22 == tt ωω και

ότι 0sincos =tt ωω (δοκιµάστε να το αποδείξετε). Οµοίως βρίσκουµε ότι

222 xx ω=& και συνεπώς η µέση ενέργεια του ταλαντωτή είναι

( ) 220

2

41 ρωω +=E .

Ο ρυθµός µεταφοράς ενέργειας από τη δύναµη στον ταλαντωτή δίνεται από το ρυθµό παραγωγής έργου txP ωcos&= , διότι εάν πολλαπλασιάσουµε την δυναµική εξίσωση µε την ταχύτητα έχουµε 14 Όταν δεν υπάρχει εξωτερική δύναµη και ο ταλαντωτής ακολουθεί φθίνουσα ταλάντωση, η ενέργεια του ταλαντωτή δεν κυµαίνεται αλλά φθίνει εκθετικά µε το χρόνο. Υπό την παρουσία εξωτερικής διέγερσης, όµως, η ενέργεια παρουσιάζει περιοδικές διακυµάνσεις εφόσον άλλοτε µεταφέρεται ενέργεια από το διεγέρτη στον ταλαντωτή και άλλοτε από τον ταλαντωτή στο διεγέρτη.

22cos xtxdtdE

&& γω −= .

Ο πρώτος όρος στην εξίσωση µεταβολής της ενέργειας είναι ο ρυθµός µεταφοράς ενέργειας από την εξωτερική δύναµη στο ταλαντωτή, ενώ ο δεύτερος όρος είναι η ενέργεια η οποία αναλώνεται από τη τριβή (η οποία είναι πάντα θετική). Εάν πάρουµε τη µέση τιµή της εξίσωσης ενέργειας σε µία περίοδο τότε θα πρέπει να ισχύει

22 xP &γ= , δηλαδή στη µέση κατάσταση ισορροπίας η ενέργεια που µεταφέρεται από το εξωτερικό αίτιο τελικά αναλώνεται (τι θα συνέβαινε σε διαφορετική περίπτωση;). Αυτό το συµπέρασµα είναι µία ειδική περίπτωση του θεωρήµατος διαταραχών–ανάλωσης (fluctuation-dissipation theorem).

Η µέση τιµή σε µία περίοδο του ρυθµού παραγωγής έργου είναι

BtBttAP ωωωωωω21cossincos 2 =+−=

δηλαδή το B προσδιορίζει το ρυθµό απορρόφησης της ενέργειας. Ο άλλος όρος εναλλάσσει ενέργεια µεταξύ του ταλαντωτή και της πηγής, και για αυτό ονοµάζεται ελαστικός. Η µέση τιµή µεταφοράς ενέργειας από την πηγή έχει µέγιστο όταν έχουµε συντονισµό.

Θεωρήστε τώρα ότι δίνεται µία µοναδιαία ώθηση στον ταλαντωτή τη στιγµή 0tt = , τότε η δύναµη που ασκείται µπορεί να γραφεί )()( 0tttF −= δ . Η

εξαναγκασµένη τότε κίνηση του ταλαντωτή δίνεται για 0tt >

ωωγ )(sin

)( 0)(0

0tt

ettG tt −=− −− ,

όπου 220 γωω −= . Επειδή για κάθε συνάρτηση )(tF ισχύει ότι

∫∞

∞−

−= dssFsttF )()()( δ θα έχουµε στην περίπτωση γενικής δύναµης )(tF απόκριση

του ταλαντωτή:

∫∞

∞−

−− −Θ−

= 0000)( )()()(sin

)( 0 dttFtttt

etx tt

ωωγ

όπου η συνάρτηση )(tΘ ορίζεται ως ⎩⎨⎧

><

=Θ0100

)(tt

t .

Η συνάρτηση )( 0ttG − που προσδιορίζει το αποτέλεσµα στιγµιαίας ώθησης στον ταλαντωτή τη χρονική στιγµή 0t λέγεται συνάρτηση Green, και ο προσδιορισµός της µας οδηγεί στον υπολογισµό της απόκρισης σε οποιαδήποτε εξωτερική διέγερση. Εδώ βρίσκεται και η ευρύτερη χρησιµότητα των συναρτήσεων Green στην επίλυση δύσκολων γραµµικών προβληµάτων (π.χ. στον ηλεκτροµαγνητισµό ή την κβαντοµηχανική).

∆ιάλεξη 5η

∆υναµικό-∆υναµική ενέργεια

Σε προηγούµενο κεφάλαιο εξετάσαµε την περίπτωση µονοδιάστατης κίνησης σε πεδίο δυνάµεων εξαρτώµενο από τη θέση. Είδαµε ότι υπάρχει τότε µια ιδιόµορφη ποσότητα που διατηρείται: το άθροισµα της κινητικής ενέργειας και της δυναµικής ενέργειας. Η δυναµική ενέργεια κατασκευάστηκε ως

∫ +′′−=x

x

xVxdxFxV0

)()()( 0 .

Θα πρέπει να παρατηρήσουµε εδώ ότι η δυναµική ενέργεια χαρακτηρίζεται από µια αυθαιρεσία· µπορεί κανείς να προσδώσει όποια τιµή επιθυµεί στη σταθερά

)( 0xV δίχως να επηρεάσει καθόλου τη δυναµική του προβλήµατος. Απλώς η επιλογή της τιµής τής δυναµικής ενέργειας σε κάποια θέση 0x καθορίζει και την ολική ενέργεια του σωµατιδίου. Συνήθως επιλέγεται η τιµή µηδέν είτε για κάποια συγκεκριµένη ξεχωριστή θέση του σωµατιδίου (π.χ. στην επιφάνεια της Γης όταν θεωρείται το πεδίο βαρύτητας της Γης οµογενές), είτε σε άπειρη απόσταση από την αρχική του θέση όταν το πεδίο δυνάµεων εξασθενεί ολοένα και περισσότερο µε την απόσταση (π.χ. σε άπειρη απόσταση από τη Γη αν ληφθεί υπόψη η ελάττωση της βαρυτικής δύναµης µε την απόσταση από το κέντρο της Γης). Αντίστοιχη αυθαιρεσία, εξάλλου, ενυπάρχει και στην κινητική ενέργεια, αφού σύµφωνα µε τη Γαλιλαιΐκή συµµετρία οποιοδήποτε αδρανειακό σύστηµα αναφοράς είναι ισοδύναµο, όσον αφορά την περιγραφή της κίνησης ενός µηχανικού συστήµατος. Η ενέργεια λοιπόν αν και δεν είναι κάποια µετρήσιµη ποσότητα, διατηρείται µε την έννοια ότι η µεταβολή της κατά τη διάρκεια της κίνησης παραµένει µηδενική· οιαδήποτε µεταβολή της δυναµικής ενέργειας ενός µηχανικού συστήµατος θα συνοδεύεται από αντίστοιχη µεταβολή της κινητικής του ενέργειας.

Η διατήρηση της ενέργειας ενός σωµατιδίου κινούµενου σε µία διάσταση, οδηγεί αυτόµατα στην εύρεση της τροχιάς του:

( ) ( )∫ −±=−⇒−±=⇒=+

)(

02

0)(2

)(2)(21 tx

x xVEmdxttxVE

mdtdxExVmu ,

πρόκειται, όπως λέγεται, για ολοκληρώσιµο15 πρόβληµα. Πάλι, βέβαια, η τροχιά προσδιορίζεται πλήρως από δύο αρχικές συνθήκες, την αρχική θέση 0x και την ενέργεια E του σωµατιδίου. Η επιλογή δε του προσήµου, παραµένει αδιευκρίνιστη αφού η αντιστροφή του χρόνου αποτελεί συµµετρία των µηχανικών συστηµάτων. Αν εµείς επιβάλουµε στο χρόνο να ρέει µε µια συγκεκριµένη φορά, θα πρέπει να επιλέξουµε το πρόσηµο εκείνο που κάνει το χρόνο, σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση, να µεγαλώνει.

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού µας επιτρέπει, προτού καν την επιλύσουµε για να προσδιορίσουµε την τροχιά του σωµατιδίου, να καθορίσουµε, για κάθε τιµή της ενέργειας, βασικά χαρακτηριστικά της κίνησης: αν η κίνηση είναι

15 Η ολοκληρωσιµότητα του προβλήµατος δεν εµφανίζεται κατ’ ανάγκη σε κίνηση σε περισσότερες από µία διαστάσεις, και δεν σηµαίνει ότι το ολοκλήρωµα προσδιορισµού της τροχιάς µπορεί να γραφεί σε κλειστή µορφή· µπορεί κάλλιστα να υπολογιστεί αριθµητικά.

φραγµένη, πού επιτρέπεται και πού δεν επιτρέπεται να βρίσκεται το σωµατίδιο, πόσο γρήγορα κινείται, αν η κίνηση είναι περιοδική κλπ.

Ας σχεδιάσουµε ένα διάγραµµα δυναµικής ενέργειας τυχαίου σχήµατος και ας υποθέσουµε ότι η κινητική ενέργεια σε κάποια στιγµή της κίνησης του σώµατος είναι τέτοια ώστε η ολική ενέργεια να είναι E . Θα µπορούσε η ολική ενέργεια να είναι 1E ; Φυσικά όχι· η κινητική ενέργεια είναι η διαφορά ολικής και δυναµικής ενέργειας και δεν µπορεί ποτέ να είναι αρνητική. Αν η ολική ενέργεια ήταν 2E ; Το ότι η κινητική ενέργεια είναι θετική, 0)( ≥−= xVEEκιν , απαγορεύει την κίνηση σε περιοχές όπου

ExV >)( . Για παράδειγµα το σωµατίδιο δεν θα µπορέσει ποτέ να βρεθεί στην περιοχή αριστερά της θέσης 1x του διαγράµµατος, όπως δεν θα καταφέρετε ποτέ να περάσετε πίσω από έναν τοίχο, όσο γρήγορα και εάν τρέξετε καταπάνω του16. Αµέσως λοιπόν µπορεί κανείς να καθορίσει τις επιτρεπτές περιοχές κίνησης του σωµατιδίου:

4321 ,, xxxxxxx ≥=≤≤ . Το σωµατίδιο θα κινείται σε µία µόνο από αυτές τις περιοχές, αδυνατώντας να διασχίσει τις ενδιάµεσες απαγορευµένες περιοχές. (α) Εάν η επιτρεπόµενη περιοχή είναι φραγµένη, το σωµατίδιο θα ταλαντώνεται µεταξύ των ακραίων θέσεων, ή όπως ονοµάζονται σηµεία αναστροφής (turning points), στα οποίες θα µηδενίζεται η ταχύτητα αφού 0)()( 21 == xExE κινκιν . Μεταξύ των θέσεων αυτών η ταχύτητα θα είναι τόσο µεγαλύτερη όσο µεγαλύτερη είναι η απόσταση της ενέργειας από το «πηγάδι» της δυναµικής ενέργειας. (β) Εάν η επιτρεπόµενη περιοχή είναι απλώς ένα σηµείο το σωµατίδιο θα παραµείνει στο σηµείο αυτό (π.χ. το 3x ) επ’ άπειρο. (γ) Εάν η επιτρεπόµενη περιοχή είναι µη φραγµένη, τότε εφόσον η αρχική ταχύτητα κατευθύνεται προς την κατεύθυνση έλλειψης φράγµατος το σωµατίδιο θα συνεχίσει αυτή την κίνηση, ενώ αν η αρχική ταχύτητα κατευθύνεται προς κάποιο φράγµα, το σωµατίδιο θα φτάσει στο σηµείο αυτό, θα σταµατήσει, θα αντιστρέψει τη φορά κίνησης και θα αποµακρυνθεί στο άπειρο. Αν η ολική ενέργεια είναι Ε3 τότε υπάρχουν τρεις δυνατές περιοχές κίνησης για το σωµατίδιο: είτε αυτό θα κινείται στη φραγµένη περιοχή αριστερά του σηµείου x5, είτε στην ανοιχτή περιοχή δεξιά του σηµείου x5, είτε θα παραµένει ακίνητο στο σηµείο x5. Αν τέλος η ενέργεια είναι Ε4, το σωµατίδιο θα κινείται δίχως κανένα περιορισµό, είτε συνεχώς προς τα δεξιά, είτε συνεχώς προς τα αριστερά.

Έχοντας µάθει να διαβλέπουµε την κίνηση ενός σωµατιδίου, κοιτάζοντας το διάγραµµα της δυναµικής ενέργειας και γνωρίζοντας την ολική ενέργεια αυτού, ας υπολογίσουµε το χρόνο ταλάντωσης ενός σωµατιδίου που είναι περιορισµένο σε κάποιο πηγάδι δυναµικής ενέργειας.

( ) ( ) 2)(2)(2 2

1

TxVE

mdxxVEmdt

dx x

x

=−

⇒−±= ∫ ,

όπου T η περίοδος ταλάντωσης και 21 x,x (µε 21 xx < ) τα όρια κίνησης του σωµατιδίου, τα σηµεία δηλαδή όπου E)x(V)x(V 21 == . Η ολοκλήρωση δίνει προφανώς τη µισή περίοδο αφού περιγράφει την κίνηση της µισής διαδροµής. Η 16 Η εικόνα αυτή διαφοροποιείται στην κβαντική µηχανική. Παρά το γεγονός ότι η ενέργεια εξακολουθεί να έχει νόηµα ως διατηρήσιµη ποσότητα, ένα σωµατίδιο έχει πιθανότητες να βρεθεί σε κλασικά απαγορευµένες περιοχές. Ακόµη και εσείς θα µπορούσατε να περάσετε πίσω από έναν τοίχο, θα έπρεπε όµως να δοκιµάζετε αδιάκοπα για χρόνο πολύ µεγαλύτερο από …την ηλικία του Σύµπαντος!

V(x)

x

E2

x1 x2 x3 x4

E3

E1

E4

x5

υπόλοιπη διαδροµή, από το 2x στο 1x , πραγµατοποιείται µε αντίστροφη ταχύτητα και εύκολα φαίνεται ότι απαιτεί τον ίδιο χρόνο µε το πρώτο µισό της διαδροµής. Η περιοδικότητα του φαινοµένου κρύβει την αρχή λειτουργίας οποιουδήποτε µηχανικού ρολογιού. Αρκεί να σας δώσει κάποιος ένα πεδίο δυνάµεων στο οποίο εµπεριέχεται ένα σηµείο ελαχίστου της δυναµικής ενέργειας. Τοποθετήστε ένα σωµατίδιο στην περιοχή του ελαχίστου και δώστε σε αυτό τέτοια κινητική ενέργεια ώστε η ολική του ενέργεια να το αναγκάζει να µένει δέσµιο στο αντίστοιχο πηγάδι. Κάθε διαδροµή του σωµατιδίου προς τη µια κατεύθυνση θα µπορούσε να είναι το «τικ» του ρολογιού –το «τακ» θα αποτελείται από την εκτέλεση της διαδροµής µε την αντίθετη φορά. Αν ρυθµίσετε µάλιστα έτσι τα πράγµατα ώστε η περίοδος να είναι πολύ µικρή το ρολόι σας θα είναι πολύ ακριβές! (∆οκιµάστε να υπολογίσετε µε τη βοήθεια του παραπάνω ολοκληρώµατος την περίοδο ενός αρµονικού ταλαντωτή.)

Αυτό που θα πρέπει να αποδείξουµε είναι ότι το παραπάνω ολοκλήρωµα δεν απειρίζεται (προσέξτε ότι στα όρια ολοκλήρωσης ο παρονοµαστής της ολοκληρωτέας ποσότητας µηδενίζεται!) Ας υποθέσουµε ότι πολύ κοντά στο σηµείο τοµής της ευθείας που καθορίζει το ενεργειακό επίπεδο, και του διαγράµµατος της δυναµικής ενέργειας, η δυναµική ενέργεια περιγράφεται από τη σχέση (οι δύο γραµµές τέµνονται υπό γωνία)

)xx(aE)x(V 1xx 1−−⎯⎯→⎯ ≅ ,

όπου 0a > αν το 1x είναι κάτω φράγµα της επιτρεπόµενης περιοχής και αντίστροφα αν είναι άνω φράγµα. Το πιθανό προβληµατικό κοµµάτι του ολοκληρώµατος είναι

εε

1

x

x xa

axdx1

1

≅∫+

, το οποίο είναι πεπερασµένο. Εποµένως µπορούµε να αισθανόµαστε

σίγουροι για το ότι η ταλάντωση θα διαρκέσει πεπερασµένο χρόνο. Εκτός εάν η υπόθεση που κάναµε δεν ευσταθεί. ∆ηλαδή, αν η ευθεία της

ενέργειας και η καµπύλη της δυναµικής ενέργειας δεν τέµνονται υπό γωνία στο σηµείο 1x αλλά εφάπτονται. Τότε, k

1xx )xx(aE)x(V1

−−⎯⎯→⎯ ≅ , όπου 2k ≥ . Το

ολοκλήρωµα κοντά στο σηµείο 1x απειρίζεται (δείξτε το) οπότε είτε χρειάζεται άπειρο χρόνο για να φύγει το σωµατίδιο από το σηµείο αυτό (µάλλον θα ήταν λογικότερο να πούµε ότι το σωµατίδιο θα µείνει για πάντα εκεί), είτε αν κινείται προς το σηµείο αυτό θα χρειαστεί άπειρο χρόνο για να το φτάσει (λόγω συµµετρίας του 2ου νόµου του Νεύτωνα σε αντιστροφή του χρόνου).

Υπάρχουν δύο είδη σηµείων σε ένα διάγραµµα δυναµικής ενέργειας που αξίζει να εξετάσουµε ξεχωριστά: ο «πυθµένας» ενός «πηγαδιού δυναµικής ενέργειας» και η «κορυφή» ενός «όρους δυναµικής ενέργειας». Όπως είπαµε παραπάνω και τα δύο σηµεία αποτελούν θέσεις ισορροπίας. (Θυµηθείτε ότι όταν η ολική ενέργεια ακουµπάει στα σηµεία αυτά η ταχύτητα του σωµατιδίου µηδενίζεται εκεί, και στη µεν πρώτη περίπτωση το σωµατίδιο µένει παγιδευµένο στο σηµείο αυτό, στη δε άλλη χρειάζεται άπειρο χρόνο για να αποµακρυνθεί έστω και λίγο από το σηµείο αυτό.) Αν όµως η ολική ενέργεια του σωµατιδίου είναι λίγο µεγαλύτερη; Προφανώς στην περίπτωση του πυθµένα το σωµατίδιο θα ταλαντώνεται γύρω από το σηµείο

V(x)

x

E

x1 x2

Τ→∞Τ→∞

αυτό, ενώ στην περίπτωση της κορυφής θα αποµακρυνθεί από το σηµείο αυτό είτε προς τη µια κατεύθυνση είτε προς την αντίθετη εφόσον του επιτρέπεται (για παράδειγµα στο διάγραµµα της δυναµικής ενέργειας του παραπάνω σχήµατος το σωµατίδιο θα µπορέσει να κινηθεί µόνο προς τα δεξιά). Λέµε λοιπόν ότι τα τοπικά

ελάχιστα της δυναµικής ενέργειας, όπου 0dx

)x(Vd2

2

> , αποτελούν σηµεία ευσταθούς

ισορροπίας, ενώ τα τοπικά µέγιστα, όπου 0dx

)x(Vd2

2

< , αποτελούν σηµεία ασταθούς

ισορροπίας. Σκεφθείτε µε τη βοήθεια ενός παραδείγµατος, τι συµβαίνει όταν ένα σηµείο είναι σηµείο καµπής.

Αν επιχειρήσουµε να µελετήσουµε την ταλάντωση γύρω από ένα σηµείο ευσταθούς ισορροπίας θα διαπιστώσουµε για άλλη µια φορά πόσο σηµαντική και βασική είναι η µελέτη του αρµονικού ταλαντωτή. Ας υποθέσουµε ότι η ενέργεια ενός σωµατιδίου υπερβαίνει την τιµή της δυναµικής ενέργειάς του στον «πυθµένα» του πηγαδιού ελάχιστα: )( 0xVE ≅ . Όντας ελάχιστο της δυναµικής ενέργειας το σηµείο

0x και αναπτύσσοντας τη δυναµική ενέργεια γύρω από το σηµείο αυτό καταλήγουµε

στην ακόλουθη µορφή: L+−′′+=≅2

)()()()(

20

000xx

xVxVxxV , όπου 0)( 0 ≥′′ xV .

Αν υποθέσουµε επιπλέον ότι 0)( 0 ≠′′ xV (η περίπτωση 0)( 0 =′′ xV αποτελεί µια ειδική περίπτωση η οποία δεν είναι δυνατόν να εµφανίζεται στη φύση αφού ένα φυσικό µέγεθος δεν µπορεί να έχει τιµή ίση µε κάποιον συγκεκριµένο ρητό αριθµό), µπορούµε να υπολογίσουµε την περίοδο ταλάντωσης γύρω από το σηµείο αυτό:

)(2

1)(2

)(2

)()(

20

1

12

00

20

0

2

1xV

my

dyxV

m

xVxx

xVE

dxmTx

x ′′=

−′′=

′′−−−

= ∫∫−

π .

(Τα σηµεία 21 , xx στα όρια του πρώτου ολοκληρώµατος είναι τα όρια κίνησης, δηλαδή, οι ρίζες του παρονοµαστή.) Είναι αξιοσηµείωτο ότι η περίοδος ταλάντωσης εξαρτάται µόνο από τη µάζα του σωµατιδίου και από το πόσο «οξύς» είναι ο πυθµένας της δυναµικής ενέργειας και όχι από την ενέργεια του σωµατιδίου (µε την προϋπόθεση ότι αυτή είναι πολύ κοντά στον πυθµένα), ακριβώς, δηλαδή, ότι συµβαίνει και µε τον αρµονικό ταλαντωτή. Εξάλλου, το ανάπτυγµα της δυναµικής ενέργειας που γράψαµε παραπάνω δεν είναι τίποτε άλλο από τη δυναµική ενέργεια ελατηρίου µε σκληρότητα

)( 0xV ′′ και η περίοδος στην οποία καταλήξαµε είναι η περίοδος ταλάντωσης ενός ελατηρίου αυτής της σκληρότητας, στο άκρο του οποίου είναι τοποθετηµένο το σωµατίδιο. Όταν, λοιπόν, µελετάµε µηχανικά (και όχι µόνο) συστήµατα κοντά σε κατάσταση ευσταθούς17 ισορροπίας (αυτό άλλωστε κάνουµε πάρα πολύ συχνά στη µελέτη της φύσης), µελετάµε στην ουσία έναν ή περισσότερους αρµονικούς ταλαντωτές µε όλα τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των ταλαντωτών που είδαµε στο σχετικό κεφάλαιο.

Είναι άραγε ο αρµονικός ταλαντωτής, η µοναδική περίπτωση µορφής δυναµικής ενέργειας που οδηγεί σε ισόχρονες ταλαντώσεις; Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα αυτό ας παραµορφώσουµε την καµπύλη δυναµικής ενέργειας ενός αρµονικού ταλαντωτή όπως στο διπλανό σχήµα. ∆ηλαδή, ας µετατοπίσουµε και το

17 Συστήµατα σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας δεν θα µπορούσαµε να παρατηρούσαµε στη φύση γιατί η παραµικρή διαταραχή θα αποµάκρυνε τα συστήµατα αυτά πολύ γρήγορα από την κατάσταση της ισορροπίας.

V(x)

x

f(V)f(V)

αριστερό και το δεξιό σκέλος της παραβολής κατά ένα διάστηµα που εξαρτάται

από την τιµή της δυναµικής ενέργειας που αντιστοιχεί στο σηµείο αυτό: ))((~ xVfxxx +=→ . Ο χρόνος κίνησης κοντά σε ένα σηµείο x~ θα είναι:

)(

)(1

2)~(

~

2 xVE

dxxVdVdf

mxVE

xdmdt−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+

=−

= .

Εφόσον όµως )()( xVxV −′−=′ , λόγω συµµετρικότητας της καµπύλης )(xV , το συνολικό χρονικό διάστηµα που ξοδεύει το σωµάτιο κατά την κίνησή του στην παραµορφωµένη καµπύλη δυναµικής ενέργειας, στις δύο περιοχές όπου η δυναµική

ενέργεια είναι V είναι VE

dxmdtdt−

=+ 2δεξαριστ , ανεξάρτητο δηλαδή της

παραµόρφωσης )(Vf της καµπύλης. Συνεπώς, η ταλάντωση στο παραµορφωµένο πηγάδι δυναµικού θα είναι ισόχρονη, όπως και στον αρµονικό ταλαντωτή! Αξίζει να σηµειώσουµε εδώ ότι το συµπέρασµα στο οποίο καταλήξαµε περί ανεξαρτησίας της περιόδου ταλάντωσης από την παραµόρφωση της αρχικής καµπύλης ισχύει για κάθε µορφή συµµετρικού πηγαδιού· απλώς, η ιδιότητα του ισόχρονου, ανεξαρτήτως της ολικής ενέργειας, ανήκει µόνο στο πηγάδι δυναµικής ενέργειας του αρµονικού ταλαντωτή και σε όλα τα πηγάδια που πηγάζουν από αυτό µε τον παραπάνω µετασχηµατισµό.

Χώρος φάσεων

Μέχρι τώρα παριστάναµε την κίνηση ενός σωµατιδίου, ή γενικότερα ενός

µηχανικού συστήµατος, σε ένα χώρο τόσων διαστάσεων όσοι είναι οι βαθµοί ελευθερίας που απαιτούνται για να καθοριστεί πλήρως η θέση αυτού. Για παράδειγµα, ένα σωµατίδιο σε ένα µονοδιάστατο κόσµο παρουσιαζόταν ως ένα σηµείο πάνω σε µια ευθεία, ενώ την τροχιά µιας µύγας σε ένα δωµάτιο την παριστάνουµε µε µια καµπύλη στον τρισδιάστατο χώρο µε παράµετρο το χρόνο. Ο χώρος αυτός καλείται θεσεογραφικός χώρος (configuration space)18. Φυσικά, αν το µηχανικό σύστηµα απαρτίζεται από δύο ή περισσότερα σωµατίδια, η κίνησή του στο θεσεογραφικό χώρο περιγράφεται από τόσες καµπύλες όσα και τα σωµατίδια.

Ένας άλλος χώρος ο οποίος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να περιγραφεί η κίνηση ενός µηχανικού συστήµατος είναι ο χώρος των φάσεων (phase space), ένας χώρος

18 Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι ο θεσεογραφικός χώρος δεν είναι κατ’ ανάγκη ο πραγµατικός χώρος µέσα στον οποίο εξελίσσεται η κίνηση ενός µηχανικού συστήµατος· µπορεί κάλλιστα να είναι οποιοσδήποτε χώρος, ίδιας διάστασης, αποτελούµενος από κάποιες άλλες µεταβλητές που καθορίζουν τη θέση του, π.χ. ο µονοδιάστατος χώρος της γωνίας περιστροφής ενός εκκρεµούς που κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο.

αποτελούµενος από τη θέση και την αντίστοιχη ορµή19 για κάθε βαθµό ελευθερίας του συστήµατος, για παράδειγµα το σωµατίδιο στο µονοδιάστατο κόσµο περιγράφεται µε µια καµπύλη στο χώρο xmx &− , ενώ η µύγα, θεωρούµενη ως σωµατίδιο, περιγράφεται µε µια καµπύλη στον εξαδιάστατο χώρο zmzymyxmx &&& −−−−− . Μια βασική διαφορά από τον θεσεογραφικό χώρο αποτελεί το γεγονός ότι ένα µηχανικό σύστηµα αποτελούµενο από πολλά σωµατίδια περιγράφεται στο χώρο των φάσεων από µία καµπύλη αφού για τον κάθε βαθµό ελευθερίας του κάθε σωµατιδίου υπάρχει το αντίστοιχο ζεύγος µεταβλητών θέσης-ορµής.

Ο χώρος της φάσης, όντας µεγαλύτερης διάστασης από τον αντίστοιχο θεσεογραφικό χώρο, εµπεριέχει πολύ περισσότερες πληροφορίες όσον αφορά την κίνηση του µηχανικού συστήµατος. Η τροχιά ενός σωµατιδίου µπορεί να είναι απολύτως όµοια µε την τροχιά κάποιου άλλου, αλλά να εξελίσσεται µε εντελώς διαφορετικό τρόπο (για παράδειγµα ένα µπαλόνι που ανεβαίνει στον ουρανό κατακόρυφα, προφανώς κινείται πολύ διαφορετικά από ένα νόµισµα που πετάτε κατακόρυφα προς τα επάνω παρόλο που η τροχιά τους είναι πανοµοιότυπη). Στο χώρο των φάσεων κάθε καµπύλη αντιπροσωπεύει µια µοναδική εξέλιξη ενός µηχανικού συστήµατος (το µπαλόνι και το νόµισµα του προηγούµενου παραδείγµατος θα ακολουθούσαν εντελώς διαφορετικές πορείες στο χώρο των φάσεων). Μάλιστα, θα µπορούσαµε να πούµε ότι παρατηρώντας µια καµπύλη στο χώρο των φάσεων είµαστε σε θέση να γνωρίζουµε πλήρως την ιστορία του µηχανικού συστήµατος.

Αφού, όπως έχουµε πει, η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα ενός σωµατιδίου είναι αρκετά για να καθοριστεί πλήρως η εξέλιξή του, από κάθε σηµείο του χώρου των φάσεων δεν µπορεί παρά να περνά µία και µόνο µία καµπύλη. Οι δυνατές πορείες ενός σωµατιδίου, και γενικότερα ενός µηχανικού συστήµατος, στο χώρο των φάσεων δεν είναι δυνατόν να τέµνονται.

Ας δούµε ένα παράδειγµα διαγράµµατος φάσης για ένα σωµατίδιο που κινείται σε µια διάσταση (το διάγραµµα φάσης για κίνηση σωµατιδίου σε περισσότερες από µία διαστάσεις δεν έχει τίποτε ουσιαστικά διαφορετικό από αυτό του παραδείγµατός µας, εκτός από τον αριθµό των διαστάσεων του, που θα καθιστούσε τη σχεδίαση του αδύνατη) υπό την επίδραση του δυναµικού )(xV που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Προκειµένου να έχουµε µια πλήρη πληροφόρηση σχετικά µε κάθε δυνατή κίνηση του σωµατιδίου θα χρησιµοποιήσουµε, όπως και σε προηγούµενο παράδειγµα, την ενέργεια του σωµατιδίου ως παράµετρο για την κάθε καµπύλη που θα σχεδιάσουµε στο διάγραµµα φάσης.

(α) Προφανώς ενέργεια ίση µε 0E είναι ανεπίτρεπτη για το σωµατίδιο. Εποµένως δεν µπορούµε να σχεδιάσουµε και καµία καµπύλη στο χώρο των φάσεων που να αντιστοιχεί στην ενέργεια αυτή. (β) Ενέργεια ίση µε 1E µπορεί να έχει το σωµατίδιο µόνο αν βρίσκεται ακίνητο στη θέση ευσταθούς ισορροπίας 0x . Στην ενέργεια αυτή αντιστοιχεί η εκφυλισµένη σε σηµείο καµπύλη στη θέση 0,0 == pxx . (γ) Στο αµέσως επόµενο ενεργειακό επίπεδο 2E το σωµατίδιο µπορεί είτε να κινείται µεταξύ των σηµείων 21 , xx ―οπότε στο διάγραµµα φάσης

19 Προς το παρόν, θα έχουµε στο µυαλό µας την ορµή απλώς ως το γινόµενο της µάζας του σώµατος επί το ρυθµό αλλαγής της αντίστοιχης θέσης.

V(x)

x

E2

x1 x2 x3 x4

E3

E0

E4

x5

E1

x0

p

x

E2

x1 x2 x3 x4

E3 E4

x5

E1

x0

διαγράφει µια κλειστή καµπύλη γύρω από το σηµείο της ευσταθούς ισορροπίας άλλοτε κινούµενο µε θετική ταχύτητα (πάνω από τον άξονα των x) και άλλοτε µε αρνητική ταχύτητα (κάτω από τον άξονα των x)―, είτε να στέκεται ακίνητο στο σηµείο ευσταθούς ισορροπίας 3x ―οπότε στο διάγραµµα φάσης η αντίστοιχη «καµπύλη» είναι το σηµείο µε συντεταγµένες )0,( 3x ―, είτε να κινείται δεξιά από το σηµείο 4x ―οπότε η αντίστοιχη καµπύλη στο διάγραµµα φάσης είναι η ανοιχτή καµπύλη στα δεξιά του διαγράµµατος η οποία τέµνει άπαξ τον άξονα x αφού το σωµατίδιο θα περάσει από το σηµείο 4x µόνο αν κινείται στην αντίστοιχη επιτρεπόµενη περιοχή προς τα αριστερά, και στη συνέχεια θα αποµακρυνθεί στο ∞+ . (δ) Στην ενέργεια 3E αντιστοιχούν το πλήθος των καµπυλών που σηµειώνονται στο διάγραµµα. Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς τη µορφή των καµπυλών αυτών, µεταξύ των οποίων συµπεριλαµβάνεται και το σηµείο ευσταθούς ισορροπίας µε συντεταγµένες )0,( 5x . Η στένωση των καµπυλών δεξιά του σηµείου ασταθούς ισορροπίας οφείλεται στο πέρασµα του σωµατιδίου από την περιοχή του µικρού όρους δυναµικού που προκαλεί µείωση της ταχύτητας (και συνάµα της ορµής). (ε) Τέλος στην ενέργεια 4E αντιστοιχούν οι δύο καµπύλες που περικλείουν όλες τις άλλες. Η ανώτερη αντιστοιχεί σε κίνηση του σωµατιδίου προς τα δεξιά, µε θετική ταχύτητα και ορµή, ενώ η κατώτερη προς τα αριστερά, µε αρνητική ταχύτητα και ορµή. Η στένωση παρατηρείται και εδώ για τους ίδιους ακριβώς λόγους. Η φορά διαγραφής των καµπυλών είναι πάντα δεξιόστροφη αφού θετικές ορµές (επάνω από τον άξονα-x) σηµαίνουν κίνηση προς ολοένα και µεγαλύτερα x, και αντίστροφα.

Μια γενική παρατήρηση στα διαγράµµατα φάσης είναι ότι αφού για κίνηση σωµατιδίου σε δυναµικό ισχύει ότι ( ))(2 xVEmp −±= , οι καµπύλες στα διαγράµµατα φάσης είναι συµµετρικές εκατέρωθεν του άξονα x. Αν όµως υπάρχουν και δυνάµεις οι οποίες δεν πηγάζουν από κάποιο δυναµικό, η συµµετρία αυτή εξαφανίζεται. Για παράδειγµα σκεφθείτε τι συµβαίνει στο διάγραµµα φάσης ενός αρµονικού ταλαντωτή καθώς σταδιακά η ενέργεια του ταλαντωτή µειώνεται λόγω ανάλωσης οφειλόµενης στις τριβές.

Εκτός από τη γενική ποιοτική περιγραφή των καµπυλών σε ένα διάγραµµα φάσης χρήσιµο είναι να µελετήσουµε τη συµπεριφορά των καµπυλών κοντά στα σηµεία ισορροπίας. Κοντά σε σηµεία ευσταθούς ισορροπίας, δηλαδή για ενέργειες µόλις µεγαλύτερες από τη δυναµική ενέργεια κάποιου τοπικού ελάχιστου είναι εύκολο να διαπιστώσετε µε ανάπτυγµα του δυναµικού γύρω από το σηµείο αυτό ότι

1)VE(2)xx(V

)VE(m2p

0

200

0

2

=−−′′

+−

,

όπου 0x το σηµείο ευσταθούς ισορροπίας και 00 ,VV ′′ η τιµή της δυναµικής ενέργειας και της δεύτερης παραγώγου της ως προς x στο σηµείο αυτό. Η παραπάνω εξίσωση είναι εξίσωση έλλειψης, οπότε και οι αντίστοιχες καµπύλες στο διάγραµµα φάσης είναι ελλείψεις. Αυτός είναι και ο λόγος που ονοµάζουµε τα σηµεία ευσταθούς ισορροπίας στα διαγράµµατα φάσης ελλειπτικά σηµεία, αφού πρόκειται για εκφυλισµένες ελλείψεις µε µηδενικές διαστάσεις. Ενώ, κοντά σε σηµεία ασταθούς ισορροπίας, δηλαδή για ενέργειες ελαφρώς µεγαλύτερες ή µικρότερες από τη δυναµική ενέργεια κάποιου τοπικού µεγίστου (προσέξτε ότι στην περίπτωση σηµείων ασταθούς ισορροπίας η ενέργεια επιτρέπεται να είναι είτε µεγαλύτερη είτε µικρότερη), η αντίστοιχη καµπύλη του διαγράµµατος φάσης ικανοποιεί την εξίσωση

122 0

200

0

2

=−−′′

−− )VE(

)xx(V)VE(m

p ,

όπου τα σύµβολα έχουν το ίδιο νόηµα όπως και στην προηγούµενη έκφραση. Η εξίσωση αυτή περιγράφει υπερβολές µε άξονα συµµετρίας παράλληλο του άξονα των

ορµών ( 0xx = ) αν 0VE > και τον άξονα των θέσεων ( 0=p ) αν 0VE < . Οι καµπύλες, λοιπόν, που σχεδιάζουµε σε ένα διάγραµµα φάσης και περνούν πολύ κοντά από ένα σηµείο ασταθούς ισορροπίας έχουν τη µορφή υπερβολών (βλέπε σχήµα), οπότε και το σηµείο αυτό ονοµάζεται υπερβολικό. Αν

0VE = η παραπάνω εξίσωση εκφυλίζεται στην

εξίσωση )xx(Vmp o 0−′′±= των ασυµπτώτων των υπερβολών. Οι καµπύλες αυτές προσεγγίζουν οσοδήποτε το υπερβολικό σηµείο αλλά δεν το αγγίζουν, αφού όπως συζητήσαµε σε προηγούµενη διάλεξη, το κινητό χρειάζεται άπειρο χρόνο για να φτάσει στο (ή να δραπετεύσει από το) σηµείο ασταθούς ισορροπίας.

Ας εξετάσουµε τώρα µερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες των διαγραµµάτων φάσης που καθιστούν τα διαγράµµατα αυτά, εκτός από κοµψές περιγραφές της εξέλιξης µηχανικών συστηµάτων, ιδιαιτέρως χρήσιµα εργαλεία.

Θεώρηµα Liouville20 Όπως θα δείξουµε στο επόµενο εξάµηνο, ένα χωρίο στο χώρο των φάσεων

διατηρεί τον όγκο του κατά την εξέλιξη του µηχανικού συστήµατος. Αυτό είναι το περιεχόµενο του θεωρήµατος του Liouville. Τι νόηµα όµως µπορεί να έχει ένα χωρίο στο χώρο των φάσεων; Όπως είπαµε κάθε µηχανικό σύστηµα διαγράφει µια καµπύλη στο χώρο των φάσεων, ορίζοντας κάθε χρονική στιγµή ένα µόνο σηµείο. Μια περιοχή στο χώρο των φάσεων µπορεί να εκληφθεί είτε ως µια συλλογή από µηχανικά συστήµατα µε παρόµοιες αρχικές συνθήκες, τις οποίες εκφράζουν τα διαφορετικά σηµεία της περιοχής, είτε ως µια πειραµατική αβεβαιότητα στον καθορισµό των αρχικών συνθηκών ενός µόνο συστήµατος. Το θεώρηµα Liouville µας διαβεβαιώνει ότι παρόλο που τα διάφορα σηµεία της περιοχής αβεβαιότητας θα ακολουθήσουν διαφορετικές καµπύλες στο χώρο των φάσεων, οδηγώντας ίσως σε πλήρη παραµόρφωση (πιθανώς µετά από αρκετό χρόνο) της περιοχής αβεβαιότητας, η καινούρια περιοχή θα έχει τον ίδιο ακριβώς όγκο µε την αρχική. Παράδειγµα ενός µηχανικού συστήµατος όπου συµβαίνουν δραµατικές τέτοιες παραµορφώσεις είναι η ατµόσφαιρα και ο καιρός. Αν αρχικά διαθέταµε πολύ καλές µετρήσεις όλων των ατµοσφαιρικών παραµέτρων σε ολόκληρο τον πλανήτη, ύστερα από µερικές ηµέρες η περιοχή του χώρου των φάσεων της ατµόσφαιρας που καθορίζεται από την πειραµατική ακρίβεια των µετρήσεων µας θα διαχυθεί σε τέτοιο βαθµό ώστε να καταλήξει σε µια περιοχή πολύ µικρού µεν όγκου –όπως και η αρχική– αλλά µε τροµακτικές διαστάσεις, δηλαδή τεράστια αβεβαιότητα στις παραµέτρους της. Αυτό

20 Liouville Joseph (1809-1882) Γάλλος µαθηµατικός· ανακάλυψε τους υπερβατικούς αριθµούς.

p

x

E>V0

x0

E=V0

E<V0

E>V0

E<V0

είναι το βασικό γεγονός που καθιστά την µακροχρόνια πρόβλεψη του καιρού εξαιρετικά ανακριβή.

Ας δούµε ένα παράδειγµα διατήρησης του όγκου στο χώρο των φάσεων ενός απλού µηχανικού συστήµατος. Θα θεωρήσουµε ένα σωµατίδιο που πέφτει κατακόρυφα µέσα στο οµογενές βαρυτικό πεδίο της Γης. Η θέση του και η ορµή του θα µετασχηµατίζονται µε την πάροδο του χρόνου σύµφωνα µε τις σχέσεις:

gtpp

gttmp

zz

t

t

−⎯→⎯

−+⎯→⎯

00

2000 2

1.

Εποµένως, ένα αρχικά ορθογώνιο παραλληλόγραµµο στο χώρο των φάσεων θα αλλάζει θέση και θα παραµορφώνεται όπως στο σχήµα (όπου τα d, b είναι

συντοµογραφίες των 22

21 gtt

mp

d −= , 21

21 gtt

mp

b −= ). Είναι εύκολο να δείτε ότι το

εµβαδόν του παραλληλογράµµου (το οποίο από ορθογώνιο γίνεται ολοένα και πιο πλάγιο) παραµένει πάντα ))(( 1212 ppzz −− επιβεβαιώνοντας το θεώρηµα Liouville.

Κέντρο µάζας – Κρούσεις

Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα τον οποίο µέχρι στιγµής δεν έχουµε καθόλου χρησιµοποιήσει εφόσον ενδιαφερόµασταν για την κίνηση ενός σωµατιδίου σε κάποιο πεδίο δυνάµεων το οποίο προερχόταν από το περιβάλλον του, και όχι για την κίνηση σωµατιδίων εξαιτίας της µεταξύ τους αλληλεπίδρασης µας επιτρέπει, όπως θα δούµε, να αντιµετωπίζουµε ένα σύνολο από σωµατίδια ως ένα αντικείµενο, και πιο συγκεκριµένα, όταν πρόκειται για στερεά σώµατα, µπορούµε να µελετάµε την κίνηση τους (όχι τις περιστροφές τους) ωσάν να ήταν σωµατίδια και όχι σώµατα µε πεπερασµένες διαστάσεις. Μάλιστα ο ίδιος ο Νεύτωνας αναγκάστηκε να εισάγει το νόµο αυτό προκειµένου να εξετάσει την κίνηση σωµάτων µε πεπερασµένες διαστάσεις όπως για παράδειγµα τις κινήσεις των πλανητών του ηλιακού µας συστήµατος.

Ακολουθώντας τη γραµµή των προηγούµενων διαλέξεων, θα ασχοληθούµε µε ένα σύνολο σωµατιδίων τα οποία κινούνται σε ένα µονοδιάστατο κόσµο και τα οποία αλληλεπιδρούν µόνο µεταξύ τους µε δυνάµεις νευτώνειου21 τύπου, δίχως να υπάρχει κάποιο εξωτερικό πεδίο δυνάµεων το οποίο να επηρεάζει την κίνησή τους. Καταγράφοντας το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για κάθε ένα από τα Ν σωµατίδια θα έχουµε:

21 Είθισται ο όρος δυνάµεις νευτώνειου τύπου να χρησιµοποιείται µε δύο εντελώς διαφορετικά νοήµατα: Είτε σε δυνάµεις που υπακούουν στον τρίτο νόµο του Νεύτωνα, δηλαδή ζεύγη δυνάµεων της µορφής δράση-αντίδραση, είτε σε δυνάµεις παγκοσµίου έλξεως, τον σχετικό νόµο για τις οποίες διατύπωσε και πάλι ο Νεύτων. Στις διαλέξεις θα χρησιµοποιούµε τον όρο µε το πρώτο του νόηµα.

z

p

(z1, p1)

(z1, p2) (z2, p2)

(z2, p1)

(z1+d, p2-gt) (z2+d, p2-gt)

(z2+b, p1-gt)(z1+b, p1-gt)

t

,1,3,2,1,

,34,32,31,333

,24,23,21,222

,14,13,12,111

−++++=

++++=

++++=

++++=

NNNNNNN

N

N

N

FFFFxm

FFFFxmFFFFxm

FFFFxm

L&&

L

L&&

L&&

L&&

όπου mi, ix&& , η µάζα και η επιτάχυνση του i-στού σωµατιδίου και kjF , η δύναµη που ασκείται στο j-στό σωµατίδιο από το k-στό σωµατίδιο. Αν προσθέσουµε όλες αυτές τις Ν εξισώσεις καταλήγουµε στο εντυπωσιακό αποτέλεσµα:

∑=

=N

iii xm

10&& ,

αφού όλες οι δυνάµεις εµφανίζονται κατά ζεύγη µε αντιµετατεθιµένους δείκτες και εποµένως, µε αντίστοιχο άθροισµα για κάθε ζεύγος µηδέν (εξαιτίας του 3ου νόµου του Νεύτωνα). Αν ορίσουµε λοιπόν τον ακόλουθο γραµµικό συνδυασµό των θέσεων όλων των σωµατιδίων,

M

xm

m

xmR

N

iii

N

ii

N

iii ∑

∑

∑=

=

= =≡ 1

1

1 ,

και δεδοµένου του αµετάβλητου της µάζας των σωµατιδίων, συµπεραίνουµε ότι η επιτάχυνση αυτής της ποσότητας R, που έχει διαστάσεις µήκους, είναι µηδενική. Με άλλα λόγια το R, κινείται µε σταθερή ταχύτητα! Είναι το R, η θέση κάποιου από τα σωµατίδια; Όχι κατ΄ ανάγκη, όπως µπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε για δύο σωµατίδια. Το R αντιστοιχεί σε µια ιδεατή θέση, κάπου µέσα στην περιοχή22 που βρίσκονται διασκορπισµένα τα σωµατίδια και µάλιστα βρίσκεται πλησιέστερα στις µεγαλύτερες µάζες του συστήµατος (δοκιµάστε µε ένα σύστηµα αποτελούµενο από δύο πολύ ανόµοιες µάζες)· γι’ αυτό το λόγο ονοµάζεται κέντρο µάζας του συστήµατος.

Από τις παραπάνω εξισώσεις βλέπουµε ότι =R& σταθερό· µε άλλα λόγια το ιδεατό αυτό σηµείο, κάπου ανάµεσα στα σωµατίδια, κινείται µε σταθερή ταχύτητα, µε την ταχύτητα που είχε αρχικά και που µπορεί κανείς εύκολα να υπολογίσει αν γνωρίζει τις αρχικές ταχύτητες όλων των σωµατιδίων. Μπορεί να µην γνωρίζουµε τη θέση του κάθε σωµατιδίου, και ίσως η εύρεση αυτών να αποτελεί ένα πολύ δύσκολο µαθηµατικό πρόβληµα, αλλά γνωρίζουµε κάτι πολύ σηµαντικό και άσχετο µε τις λεπτοµέρειες των δυνάµεων που ασκούνται µεταξύ των σωµατιδίων: τη θέση του κέντρου µάζας ανά πάσα χρονική στιγµή.

Το γεγονός ότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας είναι σταθερή θυµίζει τη διατήρηση της ταχύτητας ενός ελευθέρου σωµατιδίου. Στην πραγµατικότητα η θεώρηση του κέντρου µάζας επιτυγχάνει ακριβώς αυτό: εξισώνει ένα σύστηµα από σωµατίδια, οσοδήποτε πολλά και αν είναι αυτά, µε ένα σωµατίδιο, µε µάζα όσο η ολική µάζα των σωµατιδίων, το οποίο βρίσκεται στο κέντρο µάζας αυτών. Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα µας επιτρέπει να αγνοούµε τι συµβαίνει «εσωτερικά» στο σύστηµα και να προσδιορίζουµε πανεύκολα τη «θέση» του συστήµατος, ωσάν να το βλέπαµε από πολύ µακριά και να το αντιµετωπίζαµε ως σηµείο. Μάλιστα, όπως θα δούµε στη συνέχεια, η θεώρηση του κέντρου µάζας εξακολουθεί να είναι χρήσιµη και σε περιπτώσεις όπου το σύστηµα δεν είναι αποµονωµένο, αλλά ασκούνται επιπλέον των εσωτερικών

22 Είναι εύκολο να δειχτεί ότι maxmin xRx << .

δυνάµεων και εξωτερικές δυνάµεις στα σωµατίδια, από το περιβάλλον του συστήµατος.

Ας ξαναγράψουµε τώρα τη διατήρηση της ταχύτητας του κέντρου µάζας, ελαφρά όµως παραλλαγµένη:

∑=

==N

iii xmRM

1

&& σταθ .

Η µορφή αυτή έχει το ακόλουθο πλεονέκτηµα. Καθ’ όλη τη χρονική διάρκεια που µελετάµε το σύστηµα των σωµατιδίων µπορεί η µάζα τµηµάτων του συστήµατος να µεταβάλλεται, όχι όµως και η συνολική του µάζα. Για παράδειγµα, µπορεί να αποκοπεί κάποιο θραύσµα από ένα σώµα, χωρίς να µεταβληθεί η συνολική µάζα του συστήµατος στην οποία θα πρέπει να συνυπολογίσουµε και τη µάζα του θραύσµατος. Το γεγονός ότι η περίεργη αυτή ποσότητα είναι σταθερή είναι εντυπωσιακό και θεµελιακό (θυµηθείτε τη διατήρηση της ενέργειας). Ο περιορισµός που θέσαµε, ότι δηλαδή το σύστηµα πρέπει να είναι αποµονωµένο, καθόλου δεν µειώνει τη σηµασία της διατήρησης αυτής. Σχεδόν πάντα, µπορούµε να θεωρήσουµε ένα σύστηµα αποµονωµένο από το περιβάλλον του, όταν η επίδραση του περιβάλλοντος είναι µηδαµινή (π.χ. το ηλιακό µας σύστηµα), ή ο χρόνος που απαιτείται ώστε το περιβάλλον να κάνει αισθητή την παρουσία του στο σύστηµα είναι πολύ µεγάλος σε σχέση µε τον χαρακτηριστικό χρόνο που συµβαίνουν οι αλλαγές εντός του συστήµατος (ένα θερµικά µονωµένο δοχείο µε αέριο). Η διατηρούµενη αυτή ποσότητα ονοµάζεται ορµή του συστήµατος. Όπως και η διατήρηση της ενέργειας, έτσι και η διατήρηση της ορµής είναι συνέπεια κάποιας βαθύτερης συµµετρίας του σύµπαντος, και συγκεκριµένα της οµογένειας του χώρου, δηλαδή της συµµετρίας σε χωρική µετάθεση.

Στη συνέχεια, θα συνάγουµε τη διατήρηση της ορµής βασισµένοι αποκλειστικά και µόνο στο γεγονός ότι οι φυσικοί νόµοι πρέπει να µένουν ίδιοι όταν τους εξετάζουµε σε διαφορετικό αδρανειακό σύστηµα αναφοράς καθώς και σε απλά επιχειρήµατα συµµετρίας.

Ας θεωρήσουµε δύο σωµατίδια ίδιας µάζας τα οποία κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο (φανταστείτε δύο πανοµοιότυπα βαγόνια κινούµενα πάνω σε αεροτροχιά) µε

ταχύτητες 21 ,vv αντίστοιχα, τέτοιες ώστε το σωµατίδιο 1 να πλησιάζει το 2. Ας κινηθούµε πάνω στη διεύθυνση κίνησης των σωµατιδίων µε τη µέση ταχύτητα αυτών δηλαδή µε

221 vv

v+

= . Στο αδρανειακό αυτό

σύστηµα παρατήρησης τα σωµατίδια φαίνονται να κινούνται µε ταχύτητες

221 vv −

, και 2

21 vv −− αντίστοιχα,

δηλαδή µε ίσες και αντίθετες ταχύτητες (βλ. σχήµα). Εφόσον η κατάσταση είναι απολύτως συµµετρική (αν αντικαταστήσει δηλαδή κάποιος το δεξιά µε το

αριστερά δεν πρόκειται να παρατηρήσει καµιά αλλαγή), αµέσως µετά τη σύγκρουση των δύο σωµατιδίων δεν µπορεί παρά να διατηρηθεί αυτή η συµµετρία, δηλαδή τα δύο σωµατίδια θα αποµακρύνονται το ένα από το άλλο µε ίδιες ταχύτητες. Αν στο

v v

σύστηµα παρατήρησης

v1 v2

σύστηµα παρατήρησηςv1 +v2 2

σύστηµα αυτό παρατήρησης οι ταχύτητες µετά τη σύγκρουση είναι v′− και v′

αντίστοιχα, στο αρχικό σύστηµα παρατήρησης οι ταχύτητες θα είναι vvv ′−+2

21 και

vvv ′++2

21 αντίστοιχα. Παρατηρεί λοιπόν κανείς ότι σε αυτή την περίπτωση η ολική

ορµή του συστήµατος )( 21 vvm + διατηρείται. Βέβαια µε τον παραπάνω συλλογισµό δεν µπορέσαµε να υπολογίσουµε µονοσήµαντα την κίνηση που θα εκτελέσουν τα δύο σωµατίδια, αλλά αυτό είναι κάτι το οποίο εξαρτάται από τις λεπτοµέρειες της κρούσης. Για παράδειγµα, αν η κρούση είναι πλαστική, δηλαδή αν τα σωµατίδια συνενώνονται κατά την κρούση δεν µπορεί παρά να είναι 0=′v , οπότε το

συσσωµάτωµα θα κινείται µε ταχύτητα 2

21 vv + (η λύση ακριβώς στην οποία θα

καταλήγατε χρησιµοποιώντας τη διατήρηση της ορµής). Αν η κρούση είναι ελαστική, δηλαδή αν απαιτήσουµε να διατηρείται η ολική κινητική ενέργεια, αυτός ο ιδιόµορφος συνδυασµός µάζας και ταχύτητας, τότε εύκολα πάλι καταλήγει κανείς στο γνωστό αποτέλεσµα ανταλλαγής των ταχυτήτων.

Προκειµένου να ελέγξουµε αν ισχύει γενικά η διατήρηση της ορµής σε οποιοδήποτε αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων, θα θεωρήσουµε στη συνέχεια την κρούση δύο σωµατιδίων µε λόγο µαζών 1 προς 2. Όµως, και στην περίπτωση αυτή, το δεύτερο σώµα µε τη διπλάσια µάζα µπορεί να θεωρηθεί ως δύο ξεχωριστά σωµατίδια, τα οποία ύστερα από την αλληλουχία όλων των κρούσεων θα πρέπει να κινηθούν ως συσσωµάτωµα. Είδαµε, όµως, ότι σε κάθε κρούση δύο σωµατιδίων ίδιας µάζας η συνολική ορµή τους διατηρείται, ανεξάρτητα από τις λεπτοµέρειες της σύγκρουσης. Μπορεί λοιπόν κανείς να δείξει µε τον ίδιο αναλυτικό τρόπο όπως και προηγουµένως, µεταβαίνοντας δηλαδή στο σύστηµα αυτό που βλέπει τα εκάστοτε δύο συγκρουόµενα σωµατίδια να προσεγγίζουν το ένα το άλλο µε την ίδια ταχύτητα, ότι η συνολική ορµή και αυτού του συστήµατος διατηρείται. Όµοια δείχνεται ότι, κατά την κρούση οποιωνδήποτε δύο σωµατιδίων µε ρητό λόγο µαζών η συνολική ορµή τους διατηρείται. Προφανώς αυτό θα ισχύει και για σωµατίδια µε άρρητο λόγο µαζών αφού κάθε άρρητος µπορεί να προσεγγιστεί οσοδήποτε, µε κάποιο ρητό αριθµό. Όσο για τον µηχανισµό της κρούσης δεν χρειάστηκε να εξετάσουµε τις λεπτοµέρειες αυτού. Θα µπορούσε να είναι µια στιγµιαία και βίαιη κρούση, ή µια αργή οµαλή κρούση µέσω ενός ελατηρίου, ή ακόµη και µια έκρηξη που συµβαίνει κατά τη διάρκεια της επαφής των δύο σωµατιδίων· το σηµαντικό είναι ότι πάντα πρόκειται για αµοιβαία αλληλεπίδραση δύο σωµάτων.

Αφού δείξαµε για άλλη µια φορά ότι η συνολική ορµή ενός αποµονωµένου συστήµατος διατηρείται, στηριζόµενοι σε απλά επιχειρήµατα συµµετρίας και µόνο, ας εξετάσουµε στη συνέχεια µερικά παραδείγµατα αυτής της διατήρησης. Κατ’ αρχάς πόση είναι η ορµή ενός συστήµατος σωµατιδίων µετρούµενη από ένα σύστηµα αναφοράς που κινείται µε την σταθερή ταχύτητα του κέντρου µάζας του συστήµατος;

( ) 0111

=−=−=′ ∑∑∑===

N

iii

N

iii

N

ii mRxmRxmP &&&&ολ .

Το σύστηµα αυτό, αποκαλούµενο σύστηµα κέντρου µάζας, έχει αυτή την εξαιρετική ιδιότητα: η ολική ορµή του συστήµατος είναι µηδέν σε αυτό το σύστηµα αναφοράς, και προφανώς θα παραµείνει για πάντα τόσο, εφόσον η ολική ορµή διατηρείται. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε αυτό το ιδιαίτερο σύστηµα αναφοράς;

( ) ( ) ( ) 2

1

2

1

2

11

2

1

2

21

21

21

21

21 RMxmmRxmRxmRxmE

N

iii

N

ii

N

iii

N

iii

N

iii

&&&&&&&& −=+−=−=′ ∑∑∑∑∑=====

κιν

∆ηλαδή, ισούται µε την ολική κινητική ενέργεια όπως µετράται στο αρχικό σύστηµα αναφοράς µείον την ενέργεια ενός υποθετικού σωµατιδίου µε µάζα όσο όλα τα σωµατίδια του συστήµατος το οποίο κινείται µε την ταχύτητα του κέντρου µάζας. Μπορούµε λοιπόν να διαχωρίσουµε την ολική κινητική ενέργεια του συστήµατος σε µια κινητική ενέργεια του κέντρου µάζας και µια εσωτερική κινητική ενέργεια ως προς το κέντρο µάζας:

2

21 RMEE &+′= κινκιν .

Κανείς, θα µπορούσε να προσθέσει στις δύο κινητικές ενέργειες (ολική και εσωτερική) και τη δυναµική ενέργεια του συστήµατος, αφού αλλάζοντας σύστηµα αναφοράς οι αποστάσεις µεταξύ των σωµατιδίων δεν αλλάζουν, και όπως έχουµε συζητήσει σε προηγούµενο κεφάλαιο οι θεµελιώδεις αλληλεπιδράσεις στη φύση δεν µπορεί παρά να εξαρτώνται µόνο από την απόσταση µεταξύ των σωµατιδίων.

Τέλος, ας επιτρέψουµε σε ένα σύστηµα σωµατιδίων να δέχεται και δυνάµεις από το περιβάλλον του (για παράδειγµα, ένα στερεό σώµα µέσα σε κάποιο πεδίο δυνάµεων). Τότε το άθροισµα όλων των εξισώσεων κίνησης (βλ. αρχή του παρόντος κεφαλαίου) θα δώσει:

∑=

=N

iiFRM

1

)(εξωτ&&

Το κέντρο µάζας του συστήµατος κινείται σαν να ήταν ένα σωµατίδιο µάζας Μ πάνω στο οποίο ασκούνται όλες µαζί οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχονται τα σωµατίδια. Για παράδειγµα θεωρήστε µια οβίδα η οποία σε κάποια στιγµή της κίνησής της µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης εκρήγνυται. (Πρόκειται για κίνηση σε δύο διαστάσεις, αλλά όσα έχουµε µάθει για τη µια διάσταση εφαρµόζονται κάλλιστα και στις δύο διαστάσεις.) Σύµφωνα µε τα παραπάνω, αν και τα θραύσµατα θα εξακοντιστούν σε όλες τις διευθύνσεις, το κέντρο µάζας αυτών θα εξακολουθήσει ανενόχλητο την παραβολική του τροχιά, µε µοναδική διαταραχή της κίνησης αυτού την εµφάνιση των αντιδράσεων του εδάφους κάθε φορά που κάποιο θραύσµα προσκρούει στο έδαφος, η οποία και µεταβάλλει στιγµιαία τη διεύθυνση της κίνησης του.

Συστήµατα µεταβλητής µάζας

Η γνώση των ιδιοτήτων του κέντρου µάζας είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για έναν πολύ απλό λόγο: Προκειµένου να µάθουµε ποια είναι η κίνηση όλων των µερών του συστήµατος, αυτό που χρειάζεται να υπολογίσουµε είναι η κίνηση όλων των υπολοίπων µερών εκτός από ένα, αφού η γνώση της θέσης των υπολοίπων καθώς επίσης και του κέντρου µάζας προσδιορίζει τη θέση του τελευταίου. Ουσιαστικά το πλεονέκτηµα αυτό µας διευκολύνει στην εύρεση της κίνησης σωµάτων µε µεταβλητή µάζα.

Ας θεωρήσουµε ένα κινητό του οποίου η µάζα µεταβάλλεται. Αν συµπεριλάβουµε τη µάζα του κινητού και τη µάζα που είτε προστίθεται σε αυτό είτε αφαιρείται από αυτό σε ένα σύστηµα, τότε µπορούµε να αγνοήσουµε τις δυνάµεις που αναπτύσσονται µεταξύ του κινητού και της µάζας που εισέρχεται ή εξέρχεται από αυτό αν εστιάσουµε την προσοχή µας στην ορµή όλου του συστήµατος. Σύµφωνα µε όσα είπαµε προηγουµένως η ορµή του συστήµατος θα αλλάξει µόνο εξαιτίας των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα. Εποµένως µπορούµε να γράφουµε το 2ο νόµο του Νεύτωνα για το σύστηµα και στη συνέχεια λαµβάνοντας υπόψη τη

σχετική κίνηση κινητού και εισερχόµενης/εξερχόµενης µάζας να υπολογίζουµε την κίνηση του κινητού µόνο.

dttdttt )(συστήµατος ορµή-)(συστήµατος ορµή)σύστηµα( στο ασκούµενη δύναµη +

=

Για να γίνει πιο κατανοητή η παραπάνω διαδικασία θα θεωρήσουµε αρχικά ως παράδειγµα ένα βαγόνι τρένου µάζας M το οποίο είναι φορτωµένο µε Ν ανθρώπους µάζας m ο καθένας και οι οποίοι παίρνοντας φόρα πηδούν ένας-ένας από το βαγόνι µε µια συγκεκριµένη ταχύτητα ως προς αυτό V. Στο παράδειγµα αυτό, αγνοώντας την τριβή των τροχών του βαγονιού µε τις ράγες, η συνολική δύναµη που ασκείται στο σύστηµα βαγόνι + επιβάτες είναι µηδενική (στη διεύθυνση κίνησης του βαγονιού), εποµένως η ορµή του συστήµατος (στην ίδια διεύθυνση) είναι ίδια πριν και µετά την εκτόξευση κάθε επιβάτη (όχι όµως και η ορµή του συστήµατος στην αρχή και το τέλος συνολικά του συµβάντος, αφού η επαφή κάθε επιβάτη µε το έδαφος θα επιφέρει µια εξωτερική δύναµη που θα αλλάξει την ορµή του συστήµατος). Εποµένως

( ) ( ) ( )VumumnMunmM nnn −+−+=+ −− 11)1( Οι δύο όροι στο δεξιό σκέλος της εξίσωσης περιγράφουν (α) την ορµή του βαγονιού µε το πλήρωµα του όταν θα έχουν αποµείνει n-1 επιβάτες, και (β) την ορµή του ανθρώπου που θα εγκαταλείψει το βαγόνι µε σχετική ταχύτητα ως προς το βαγόνι -V. Λύνοντας βρίσκουµε

VnmM

muu nn ++=−1 .

Ο αναδροµικός αυτός τύπος µας δίνει την τελική ταχύτητα του βαγονιού όταν θα το έχουν εγκαταλείψει όλοι οι επιβάτες του. Συγκεκριµένα, υποθέτοντας πώς αρχικά το βαγόνι ήταν ακίνητο ( 0=Nu ), βρίσκουµε

∑=

+==

1

0τελικήNn nmM

mVuu .

(Ελέγξτε ποια είναι η προτιµότερη λύση προκειµένου να αποκτήσει το βαγόνι τη µέγιστη δυνατή ταχύτητα, να πηδήξουν όλοι µαζί ή ένας-ένας.) Το παραπάνω άθροισµα δεν µπορεί να γραφεί σε πιο απλή µορφή, µπορεί όµως να δείξει κανείς,

κατασκευάζοντας το διάγραµµα της xM

xF+

=1)( , ότι

∑∫∑−

==+

<+

<+

1

001

N

n

NmN

n nmMm

xMdx

nmMm .

Το ολοκλήρωµα ισούται µε M

NmM +ln , ενώ η διαφορά το αριστερού και του δεξιού

αθροίσµατος είναι )(

2

NmMMNm

NmMm

Mm

+=

+− . Εποµένως µπορούµε να

συµπεράνουµε ότι η τελική ταχύτητα είναι

MNmMVu +

≈ lnτελκή ,

µε λάθος µικρότερο του )(

2

NmMMNm+

, δηλαδή πολύ µικρό αν Mm << . Στο όριο που

η εκροή µάζας είναι συνεχής, δηλαδή όταν 0/ →Mm , το παραπάνω αποτέλεσµα για την τελική ταχύτητα είναι ακριβές. Η µορφή αυτού εξηγεί γιατί οι πύραυλοι έχουν

αρχική µάζα πολύ µεγαλύτερη του ωφέλιµου φορτίου τους, για να αποκτήσουν πολύ µεγάλη τελική ταχύτητα23. Ας δούµε και ένα δεύτερο παράδειγµα, µε συνεχή τώρα µεταβολή µάζας και µάλιστα υπό την επίδραση εξωτερικής δύναµης. Ένα καρότσι µάζας Μ το οποίο σύρεται σε οριζόντιο δρόµο, άνευ τριβής, µε σταθερή δύναµη F, αλλά το οποίο, εξαιτίας της βροχής που πέφτει κατακόρυφα, γεµίζει σιγά-σιγά µε νερό. Γράφοντας το 2ο νόµο του Νεύτωνα για ένα απειροστό χρονικό διάστηµα, θα έχουµε

dtdmmuduudmmF )0())(( ⋅+−++

= ,

όπου το σύστηµα που θεωρούµε είναι το καρότσι µε το νερό που έχει µαζευτεί στο εσωτερικό του τη χρονική στιγµή t καθώς επίσης και η ποσότητα dm του νερού που πρόκειται να προστεθεί στο καρότσι το αµέσως επόµενο χρονικό διάστηµα dt. Όντας κατακόρυφη η πτώση των

σταγόνων της βροχής η οριζόντια ορµή που µεταφέρουν αυτές είναι µηδενική (τελευταίος όρος στον αριθµητή). Εκτελώντας τις πράξεις και απορρίπτοντας όρους δεύτερης τάξης ως προς τα διαφορικά καταλήγουµε στη σχέση

dtdumu

dtdmF += .

Στο συγκεκριµένο παράδειγµα ο ρυθµός αύξησης της µάζας του καροτσιού dm/dt θεωρείται δεδοµένος και εξαρτάται από το πόσο ραγδαία είναι η βροχόπτωση· γενικά ο όρος dm/dt είναι κάποια γνωστή συνάρτηση του χρόνου. Ας υποθέσουµε για ευκολία ότι dm/dt=σταθερά=λ, οπότε tMm λ+= . Τότε εύκολα µπορούµε να ολοκληρώσουµε τη διαφορική εξίσωση της κίνησης και να καταλήξουµε ότι

tMFtuλ+

= .

Η οριακή ταχύτητα F/λ στην οποία τείνει η ταχύτητα για ∞→t , οφείλεται στο ότι η µάζα του καροτσιού έχει αυξηθεί τόσο πολύ ώστε η δύναµη δεν καταφέρνει να αυξήσει την ταχύτητα του καροτσιού. Αν θέλαµε να προσδώσουµε στο πρόβληµα µια πιο ρεαλιστική χροιά, θα έπρεπε να επιτρέψουµε στο καρότσι αφότου γεµίσει, να αρχίσει να ξεχειλίζει και το πρόσθετο νερό της βροχής να εγκαταλείπει το καρότσι. Βέβαια το νερό που θα χύνεται από το καρότσι θα έχει την ταχύτητα του καροτσιού µε αποτέλεσµα η ορµή του συστήµατος τη χρονική στιγµή t+dt να είναι

))(( duudmdmM +−+τελ , όπου τελM είναι η τελική µάζα που θα έχει αποκτήσει το

καρότσι όταν θα είναι πλήρες. Έτσι η διαφορική εξίσωση για λ

τελ MMtt o

−=> , θα

µετατραπεί σε

dtduMu

dtdmF τελ+= ,

µε λύση

( ) τελτελ λ

τελ

τελλ

λλMttMtt e

MMMFeFttu /)(/)(

0001)( −−−− −

+−=> .

23 Ένας πραγµατικός πύραυλος κατευθυνόµενος στο διάστηµα βρίσκεται µέσα σε πεδίο δυνάµεων, συγκεκριµένα στο βαρυτικό πεδίο, εποµένως η σχέση στην οποία καταλήξαµε δεν είναι απολύτως ακριβής για έναν πύραυλο. Παρόλ’ αυτά εξακολουθεί να είναι ποιοτικά ορθή.

F

(Στην παραπάνω λύση χρησιµοποιήθηκε η ταχύτητα που είχε αποκτηθεί µέχρι τη χρονική στιγµή 0t βάσει της προηγούµενης λύσης.) Το ενδιαφέρον είναι ότι και πάλι η οριακή ταχύτητα που αποκτάται για ∞→t είναι F/λ. Ο λόγος όµως τώρα είναι διαφορετικός: Η δύναµη χρησιµοποιείται απλώς για να προσδώσει ορµή στο νερό που φτάνει στο καρότσι µε ταχύτητα µηδέν και στη συνέχεια χύνεται από το καρότσι µε την ταχύτητα του καροτσιού. Η σύγκλιση µάλιστα τώρα στην οριακή τιµή της ταχύτητας συµβαίνει πολύ πιο γρήγορα, εκθετικά.

Τι είναι τα διανύσµατα

Μέχρι τώρα έχουµε εξετάσει τις επιπτώσεις των νόµων του Νεύτωνα σε ένα µονοδιάστατο κόσµο. Θα αναπτύξουµε τώρα τη µηχανική στο χώρο των τριών διαστάσεων. Αποδεικνύεται όµως ιδιαιτέρως χρήσιµο και αποτελεσµατικό να αναπτύξουµε τη θεωρία αυτή µε τη βοήθεια του διανυσµατικού λογισµού. Σκοπός της παρούσας διάλεξης είναι να γίνει κατανοητό το τι είναι τα διανύσµατα και ποιος είναι ο λόγος που οι περισσότεροι φυσικοί νόµοι µπορούν να γραφούν σε διανυσµατική µορφή.24 Με το διανυσµατικό λογισµό εισάγονται νέα σύµβολα στη φυσική και διαµορφώνεται έτσι µια νέα γλώσσα µε την οποία µπορούµε να διατυπώσουµε τους φυσικούς νόµους. Μπορεί να σκέφτεστε ότι η εισαγωγή νέων συµβόλων είναι ένα τυπικό ή ακόµη και αισθητικό θέµα και δεν έχει ιδιαίτερη ουσία δεδοµένου ότι τα ίδια συµπεράσµατα µπορούν να εξαχθούν και χωρίς τη χρήση των συµβόλων αυτών25. Αλλά µία τέτοια θεώρηση παραβλέπει το γεγονός ότι η κατάλληλη γλώσσα είναι ουσιαστικό συστατικό για την ανάπτυξη της σκέψης και τη διατύπωση των συλλογισµών. Σκεφθείτε για παράδειγµα τη σηµασία της εισαγωγής του συµβόλου της παραγώγισης ή της ολοκλήρωσης στη ανάπτυξη της φυσικής. Η ανάπτυξη λοιπόν της κατάλληλης γλώσσας για τη περιγραφή των φυσικών νόµων είναι κλειδί για τη κατανόηση των φυσικών φαινοµένων. Ο Gibbs µπορεί να ήταν κάπως υπερβολικός όταν έγραφε «…ο ενδοιασµός µου για τα πλεονεκτήµατα των διαφόρων συµβολισµών ήταν αυτό που µε έκανε να αναβάλω τη δηµοσίευση των αποτελεσµάτων της έρευνάς µου…. ∆εν µπορούσα να προχωρήσω σε δηµοσίευση διότι είχα την αίσθηση ότι υπήρχε κάτι ακατέργαστο στη χρήση των συµβόλων», παρόλα αυτά όµως τα λόγια του τονίζουν µια σηµαντική αλήθεια.

Ο λόγος που χρησιµοποιούµε τα διανύσµατα είναι διότι µε τον τρόπο αυτό οι φυσικοί νόµοι παίρνουν µια µορφή ανεξάρτητη από την επιλογή του συστήµατος αναφοράς. Φυσικές προτάσεις που είναι εκφρασµένες µε διανύσµατα ισχύουν ανεξαρτήτως από την επιλογή του συστήµατος αναφοράς.

Ας πάρουµε, για παράδειγµα, κάποιο σύστηµα ορθογωνίων αξόνων. Οι συντεταγµένες ενός σωµατιδίου δίνονται τότε από την τριάδα ),,( zyx και αν οι προβολές της δύναµης στους άξονες του καρτεσιανού συστήµατος που επιλέξαµε είναι ),,( zyx FFF τότε η κίνηση του σωµατιδίου ικανοποιεί σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα τις τρεις εξισώσεις:

xFdt

xdm =2

2

, yFdt

ydm =2

2

, zFdt

zdm =2

2

. (1)

24 Τα διανύσµατα εισήχθησαν στη φυσική στις αρχές του 20ου αιώνα από τον Josiah Willard Gibbs [βλ. J. W. Gibbs, Vector Analysis (Yale University Press, New Haven, 1901)]. 25 Ο ίδιος ο Maxwell, κατασκεύασε τις φερώνυµες εξισώσεις δίχως τη χρήση διανυσµάτων!

Λαµβάνουµε τώρα ένα νέο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων ),,( zyx ′′′ το οποίο ας υποθέσουµε ότι έχει την ίδια αρχή. Μπορεί να δειχθεί ότι µπορούµε να καταλήξουµε στο νέο σύστηµα αξόνων στρέφοντας το αρχικό σύστηµα γύρω από κάποιο άξονα κατά µία συγκεκριµένη γωνία26. Για να απλουστεύσουµε την επεξεργασία θεωρούµε ότι η στροφή γίνεται περί τον άξονα z και συνεπώς οι συντεταγµένες στα δύο συστήµατα συνδέονται µέσω του (γραµµικού) µετασχηµατισµού στροφής:

θθ sincos yxx +=′ , θθ sincos xyy −=′ , (2)

zz =′ . Aς υπολογίσουµε τις προβολές της δύναµης στο νέο σύστηµα αξόνων. Αυτό απαιτεί τον προσδιορισµό των προβολών των δυνάµεων στους νέους άξονες που δεν µπορεί να γίνει παρά αν δεχθούµε την αρχή ότι οι δυνάµεις που ασκούνται σε ένα σώµα µπορούν να προστεθούν µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου27. Θα έχουµε τότε ότι

zz FF =′ διότι ο άξονας z παραµένει ο ίδιος. Η δύναµη στον άξονα x′ θα δίνεται από την προβολή στον άξονα αυτό της δύναµης xF που ασκείται κατά τη διεύθυνση του άξονα x και την προβολή της δύναµης yF που ασκείται κατά τη διεύθυνση του άξονα y · δηλαδή θθ sincos yxx FFF +=′ . Οµοίως υπολογίζουµε την yF ′′ . Συνεπώς οι προβολές της δύναµης µετασχηµατίζονται ως εξής:

θθ sincos yxx FFF +=′ ,

θθ sincos xyy FFF −=′ , (3)

zz FF =′ .

Παρατηρούµε ότι οι συντεταγµένες της δύναµης µετασχηµατίζονται µε τον ίδιο τρόπο όπως και οι συντεταγµένες της θέσης. Το συµπέρασµα αυτό βασίζεται στις φυσικές παραδοχές της Νευτώνειας µηχανικής για τη φύση της δύναµης, που είναι αποτέλεσµα πειραµάτων και παρατηρήσεων.

Θέλουµε να διερευνήσουµε κατά πόσο οι νόµοι του Νεύτωνα συνεχίζουν να ισχύουν στο νέο σύστηµα συντεταγµένων, δηλαδή αν ισχύει ότι

xFdt

xdm ′=′

2

2

, yFdt

ydm ′=′

2

2

, zFdt

zdm ′=′

2

2

. (4)

26 Αυτή η πρόταση είναι το συµπέρασµα του θεωρήµατος του Euler. Μια γεωµετρική απόδειξη του θεωρήµατος είναι η εξής: Σχηµατίστε µια σφαίρα µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο. Ο άξονας x τέµνει τη σφαίρα στο Α, και ο άξονας y στο Β. Γνωρίζοντας τα Α και Β προσδιορίζεται πλήρως το πρώτο καρτεσιανό σύστηµα. Έστω ότι η νέα θέση του συστήµατος αναφοράς δίδεται από τις αντίστοιχες τοµές Α΄ και Β΄ οι οποίες και προσδιορίζουν το δεύτερο καρτεσιανό σύστηµα. Φέρω τον µεγάλο κύκλο που ενώνει τα Α και Α΄ και λαµβάνω το διάµεσο σηµείο Α1 του τόξου ΑΑ΄ και φέρω το µεσοκάθετο τόξο Α1Χ. Οµοίως φέρω το µέγιστο κύκλο που συνδέει τα Β και Β΄ και στο διάµεσο σηµείο Β1 το µεσοκάθετο τόξο Β1Υ. Τα τόξα Α1Χ και Β1Υ τέµνονται στο σηµείο Ω της σφαίρας. Τότε το σύστηµα ),,( zyx ′′′ προκύπτει από το ),,( zyx µε στροφή περί τον άξονα ΟΩ έτσι ώστε το Α να συµπέσει µε το Α΄. Αποδείξτε ότι αυτή η κατασκευή είναι ορθή, δηλαδή αποδείξτε ότι όταν το Α συµπέσει µε το Α΄, τότε και το Β θα συµπέσει µε το Β΄ . 27 Αυτό είναι το πρώτο πόρισµα του Νεύτωνα. Ο Νεύτων ουσιαστικά προϋποθέτει ότι η δύναµη είναι «διανυσµατικό» µέγεθος, δίχως να το γράφει εκπεφρασµένα, και ότι ισχύει η αρχή της ανεξαρτησίας των δυνάµεων.

∆ιαφορίζοντας την (1) µπορούµε να υπολογίσουµε την επιτάχυνση στους νέους

άξονες. Καταλήγουµε ότι

θθ sincos 2

2

22

22

dtydmdt

xdmdtxdm +=′ ,

θθ sincos 22

2

2

2

2

dtxdmdt

ydmdtydm −=′ , (5)

22

22

dtzdmdt

zdm =′ .

Επειδή γνωρίζουµε ότι ισχύει ο νόµος του Νεύτωνα (1) στο αρχικό σύστηµα αναφοράς, το δεξιό µέλος της (5) δίνει, κάνοντας χρήση του κανόνα µετασχηµατισµού της δύναµης (3):

xyx FFFdtxdm ′=+=′ θθ sincos2

2,

yxy FFFdtydm ′=−=′ θθ sincos2

2,

zz FFdtzdm ′==′

22

.

Συνεπώς ο νόµος του Νεύτωνα ισχύει και στο νέο σύστηµα αναφοράς. Αυτό σηµαίνει ότι δεν έχει σηµασία τι κατεύθυνση έχει το σύστηµα αναφοράς. Οι νόµοι του Νεύτωνα θα ισχύουν σε οποιοδήποτε σύστηµα αναφοράς που έχει στραφεί ως προς το αρχικό. Άρα οι νόµοι του Νεύτωνα δεν εξαρτώνται από κάποια διεύθυνση στο χώρο, είναι δηλαδή ισοτροπικοί.

Αν συµβολίσουµε τώρα τις τρείς συνιστώσες της δύναµης µε ένα σύµβολο

),,( zyx FFFF =r

και της επιτάχυνσης µε το ),,( 22

2

2

22

22

dtzd

dtyd

dtxd

dtrd =r

ο

δεύτερος νόµος του Νεύτωνα µπορεί να γραφεί ως

Fdt

rdmrr

=2

2

(Α)

όπου µε την ισότητα µεταξύ των συµβόλων εννοούµε ισότητα των συνισταµένων. Η πρόταση αυτή για να έχει έννοια απαιτεί ότι οι συνισταµένες του συµβόλου της δύναµης F

r και του συµβόλου της επιτάχυνσης µετασχηµατίζονται µε τον ίδιο τρόπο

όταν οι καρτεσιανοί άξονες στραφούν· αλλοιώτικα δεν θα ισχύει ο ίδιος νόµος σε όλα τα συστήµατα αναφοράς ανεξαρτήτως από την κατεύθυνση τους στο χώρο. Επειδή όµως η δύναµη εξ ορισµού µετασχηµατίζεται όπως και οι συντεταγµένες της θέσης, καθώς επίσης η επιτάχυνση µετασχηµατίζεται και αυτή όπως και οι συντεταγµένες της θέσης, ο νόµος του Νεύτωνα µπορεί να γραφεί µε την συµβολική µορφή (Α). Ο νόµος εκπεφρασµένος µε τα νέα σύµβολα παίρνει µορφή η οποία είναι ανεξάρτητη του συστήµατος αναφοράς.

Γενικά, τριάδες αριθµών που έχουν την ιδιότητα να µετασχηµατίζονται όπως και οι συντεταγµένες της θέσης στις στροφές λέγονται διανύσµατα. Φυσικά µεγέθη που είναι αναλλοίωτα στις στροφές λέγονται µονόµετρα ή βαθµωτά µεγέθη. Στην περίπτωση του νόµου του Νεύτωνα η δύναµη είναι διάνυσµα επειδή µετά από διενέργεια πειραµάτων έγινε αντιληπτό ότι η δύναµη είναι διάνυσµα και αυτό αποτυπώθηκε ως νόµος· ενώ στην περίπτωση της επιτάχυνσης, η επιτάχυνση είναι διάνυσµα διότι µετασχηµατίζεται όπως και οι µετατοπίσεις, όντας µέγεθος παράγωγο της θέσης. Είναι πολύ σηµαντικό να συνειδητοποιήσετε ότι ο διανυσµατικός

χαρακτήρας των βασικών φυσικών ποσοτήτων είναι αποτέλεσµα πειράµατος. Οι νόµοι της φύσης όταν γράφονται σε διανυσµατική µορφή αποτυπώνουν τη βασική παραδοχή ότι το σύµπαν είναι ισοτροπικό δηλαδή δεν υπάρχει κάποια επιλεγµένη διεύθυνση.

Τις βασικές ιδιότητες των διανυσµάτων τις γνωρίζετε. Ήδη ορίσαµε τι σηµαίνει ισότητα µεταξύ δύο διανυσµάτων. Είναι εύκολο να επιβεβαιώσει κανείς ότι το άθροισµα των συνισταµένων δύο διανυσµάτων ορίζει ένα νέο διάνυσµα, το οποίο και ορίζουµε ως άθροισµα των διανυσµάτων. Επίσης αν πολλαπλασιάσουµε τις συνισταµένες ενός διανύσµατος ar µε κάποιο αριθµό k τότε πάλι έχουµε ένα νέο διάνυσµα που το συµβολίζουµε akr . Έτσι ορίζεται και η διαφορά δύο διανυσµάτων

babarvrr )1(−+=− . Αν οι συνισταµένες ενός διανύσµατος είναι συναρτήσεις του

χρόνου τότε η παράγωγος των συνισταµένων σχηµατίζει πάλι ένα διάνυσµα το οποίο και λέγεται χρονική παράγωγος του διανύσµατος. Έτσι αποδεικνύεται ότι η ταχύτητα

rdtrdv &rrr

== και η επιτάχυνση rdtvda &&rrr

== είναι διανύσµατα.

Πρέπει να γίνει σαφές ότι κάθε τριάδα αριθµών δεν σχηµατίζει διάνυσµα. Για να είναι διάνυσµα πρέπει να µετασχηµατίζεται καταλλήλως Π.χ. εάν το

),,( zyx aaaa =v σχηµατίζει διάνυσµα τότε η τριάδα )3,2,( zyx aaa δεν σχηµατίζει

διάνυσµα. Αντιθέτως η τριάδα ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

zyx,, σχηµατίζει ένα διανυσµατικό τελεστή

(αποδείξτε το). Ο τελεστής συµβολίζεται ως ∇r

και λέγεται ανάδελτα ή βαθµίδα. Συνεπώς όταν δράσει ο τελεστής αυτός σε ένα βαθµωτό πεδίο )(rvφ τότε σχηµατίζεται το διάνυσµα φ∇

v που ονοµάζεται βαθµίδα του πεδίου φ .

Πίνακες στροφής και ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί

Εάν οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος av γραφούν διαδοχικά σε µορφή

στήλης τότε όταν µεταβαίνουµε σε ένα νέο καρτεσιανό σύστηµα αξόνων που προκύπτει από το αρχικό µε στροφή περί τον άξονα z κατά γωνία θ τότε οι νέες συντεταγµένες του διανύσµατος θα είναι aa z )(θR=′ , όπου )(θzR είναι ο πίνακας της στροφής περί τον άξονα z κατά γωνία θ :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

1000cossin0sincos

)( θθθθ

θzR

Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι ο πίνακας )(θzR είναι ορθογώνιος δηλαδή ότι IRR =)()( θθ z

Tz , όπου Ι ο µοναδιαίος πίνακας και TR ο ανάστροφος του R. Συνεπώς

οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί αφήνουν αναλλοίωτη την απόσταση µεταξύ δύο σηµείων δηλαδή αν η απόσταση δύο σηµείων είναι το διάνυσµα xv∆ στο ένα καρτεσιανό σύστηµα και xv′∆ στο µετασχηµατισµένο σύστηµα θα ισχύει ότι η ευκλείδια απόσταση πού δίνεται28 από το ∆x∆xT είναι αναλλοίωτο (θα επανέλθουµε αργότερα στο σηµείο αυτό). Γενικότερα µπορεί να δειχθεί ότι κάθε µετασχηµατισµός στροφής είναι ένας ορθογώνιος µετασχηµατισµός 29 .

Αποδεικνύεται όµως ότι ισχύει εν µέρει και το αντίστροφο· δηλαδή ότι οι

ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί είναι µετασχηµατισµοί στροφής. Για να εξετάσουµε το 28 Εδώ το διάνυσµα γράφεται ως στήλη. 29 Θα το δείξουµε αυτό αργότερα όταν γράψουµε τη γενική µορφή του µετασχηµατισµού στροφής.

θέµα αυτό ας περιοριστούµε στις 2 διαστάσεις και ας θεωρήσουµε τον ορθογώνιο

µετασχηµατισµό ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dcba

A . Επειδή ο µετασχηµατισµός έχει ληφθεί ορθογώνιος τα

4 στοιχεία του πίνακα θα πρέπει να ικανοποιούν τις 3 σχέσεις: 122 =+ ca ,

122 =+ db , 0=+ cdab και συνεπώς ο µετασχηµατισµός αυτός αφήνει µία

παράµετρο ελεύθερη. Άρα οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις

προσδιορίζονται από µία παράµετρο. Αν θέσουµε θcos== da και θsin=−= cb

τότε οι παραπάνω σχέσεις ικανοποιούνται και προκύπτει ο µετασχηµατισµός της

στροφής. Η ελεύθερη δε παράµετρος αναγνωρίζεται ως η γωνία στροφής. Αλλά δεν

έχουµε εξαντλήσει όλες τις λύσεις. Επειδή ο Α είναι ορθογώνιος θα πρέπει

1)det( =AAT , και επειδή για κάθε πίνακα ισχύει ότι: )det()det( AA =T , θα ισχύει

επίσης ότι η ορίζουσα κάθε ορθογωνίου πίνακα είναι 1± . Παρατηρούµε ότι οι λύσεις

που γράψαµε έχουν ορίζουσα µονάδα. Εποµένως χρειάζεται να προσθέσουµε µια

δεύτερη οικογένεια λύσεων µε ορίζουσα 1− η οποία µπορεί να παραχθεί από το

µετασχηµατισµό της ανάκλασης xx → και yy −→ , ο πίνακας του οποίου είναι ο

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1001

, δρώντας πάνω στον προηγούµενο µετασχηµατισµό της στροφής.

Συνεπώς οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί σε δύο διαστάσεις αναγνωρίζονται

ως στροφές (ή γενικότερα ως στροφές µε ανάκλαση). Τα ίδια συµπεράσµατα µπορούν

να εξαχθούν για τους ορθογώνιους µετασχηµατισµούς σε τρεις διαστάσεις (πόσες

ελεύθερες παράµετρες –γωνίες- απαιτούνται τώρα για το προσδιορισµό του

µετασχηµατισµού;).

Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι η στροφή του καρτεσιανού

συστήµατος που δίνεται από το µετασχηµατισµό (2) αφήνει αναλλοίωτη την ποσότητα 222 zyx ++ η οποία δεν είναι άλλη από την απόσταση του σηµείου ),,( zyx από την

αρχή των αξόνων. ∆ηλαδή κατά τις στροφές ισχύει ότι: 222222 zyxzyx ′+′+′=++ . Η ισχύς της πρότασης αυτής για κάθε στροφή είναι διαισθητικά προφανής διότι το µήκος ενός διαστήµατος αναµένεται να είναι µονόµετρο µέγεθος, δηλαδή µέγεθος ανεξάρτητο από το σύστηµα αναφοράς30 και πράγµατι µπορεί να αποδειχθεί ότι µια γενική στροφή, επειδή είναι ορθογώνιος µετασχηµατισµός, δεν µεταβάλλει το µήκος των διαστηµάτων. Ορίζουµε λοιπόν το µέτρο ενός διανύσµατος ),,( zyx aaaa =

r ως το µονόµετρο µέγεθος που δίνεται από :

222|| zyx aaaa ++=r .

Επειδή οι συντεταγµένες του ar µετασχηµατίζονται όπως και της θέσης κατά τις στροφές είναι προφανές ότι το µέτρο του διανύσµατος είναι µία αναλλοίωτη ποσότητα, δηλαδή ένα µονόµετρο µέγεθος. Μπορούµε τότε να ορίσουµε το «γινόµενο» ενός διανύσµατος µε τον εαυτό του ως το 222

zyx aaaaa ++=⋅rv το οποίο

όπως αποδείξαµε είναι µονόµετρο µέγεθος και άρα για τον υπολογισµό του αρκεί να επιλέξουµε ένα καρτεσιανό σύστηµα για να υπολογίσουµε το αναλλοίωτο άθροισµα

222zyx aaa ++ . Με τον τρόπο αυτό τα διανύσµατα αποκτούν µέτρο. Μοναδιαίο

διάνυσµα θα λέγεται το διάνυσµα που έχει µέτρο 1. Όταν έχουµε δύο διανύσµατα µπορούµε να γενικεύσουµε το γινόµενο ενός διανύσµατος µε τον εαυτό του και να ορίσουµε το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ως εξής:

zzyyxx babababa ++=⋅rr .

Θα αποδείξουµε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζει πάλι ένα µονόµετρο µέγεθος. Γράφοντας το διανύσµατα υπό µορφή στηλών έχουµε ότι

baTba =⋅vv , οπότε πρέπει να αποδείξουµε ότι baba TT =′′ ύστερα από κάποιο

µετασχηµατισµό στροφής, R. Επειδή τα av και bv

είναι διανύσµατα οι συντεταγµένες τους µετασχηµατίζονται ως εξής: Raa =′ και Rbb =′ , συνεπώς το εσωτερικό γινόµενο είναι αναλλοίωτο διότι baRbRaba TTTT ==′′ , επειδή ο µετασχηµατισµός R είναι ορθογώνιος. Mπορούµε να αποδείξουµε όµως την αναλλοιώτητα του εσωτερικού γινοµένου άµεσα από την αναλλοιώτητα του µέτρου ενός διανύσµατος, παρατηρώντας ότι τα aa rv ⋅ , bb

rr⋅ , και )()( baba

vvvr+⋅+ είναι αναλλοίωτα στις στροφές

και άρα αναλλοίωτο είναι και το bbaababarrvvvvvr⋅−⋅−+⋅+ )()( το οποίο ισούται µε το

bavv ⋅2 .

Για τον υπολογισµό του εσωτερικού γινοµένου αρκεί να λάβουµε ως άξονα x στην κατεύθυνση του διανύσµατος av . Τότε θcosabbaba xx ==⋅

vv , όπου a , b τα µέτρα των αντιστοίχων διανυσµάτων και θ η γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ τους. Όταν δηλαδή το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι µηδέν τότε οι φορείς των διανυσµάτων είναι κάθετες και τα διανύσµατα λέµε ότι είναι κάθετα.

30 Οι µετασχηµατισµοί που αφήνουν το µήκος αναλλοίωτο λέγονται ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί και σχηµατίζουν οµάδα. Οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί είναι γραµµικοί και έχουν ορίζουσα ±1. Οι στροφές είναι η υποοµάδα των ορθογωνίων µετασχηµατισµών που έχουν ορίζουσα 1.

Είναι σύνηθες να συµβολίζουµε τα µοναδιαία διανύσµατα µε φορά τις διευθύνσεις των αξόνων ),,( zyx αντιστοίχως µε i

v, jv

και kv

. Τότε επειδή 1=⋅ iivr

κ.λ.π. καθώς και το εσωτερικό γινόµενο δύο διαφορετικών µοναδιαίων διανυσµάτων είναι µηδενικό π.χ. 0=⋅ ji

vv, τότε µπορούµε να αναλύσουµε κάθε διάνυσµα ως εξής:

kajaiaa zyx

vrvv ++= και µε τον τρόπο αυτό µπορούµε να κατασκευάσουµε το διάνυσµα από τις συντεταγµένες του.

Όταν δύο διανύσµατα )(tav και )(tbv

είναι συναρτήσεις του χρόνου τότε θα

έχουµε ότι dtbdab

dtad

dtbad

vvvvvr

⋅+⋅=⋅ )( . Μια ειδική περίπτωση της σχέσης αυτής

εµφανίζεται συχνά στη µηχανική: αν το bavv = τότε ( ) ( )

dtdaa

dtad

dtaad

dtada 22

2

==⋅

=⋅vvv

v ,

όπου µε a συµβολίζουµε τώρα το µέτρο του διανύσµατος. Προσέξτε ότι στη παραπάνω σχέση το αριστερό σκέλος είναι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ενώ το δεξιό σκέλος είναι το σύνηθες γινόµενο δύο αριθµών. Ένα χρήσιµο πόρισµα της σχέσης αυτής που θα συναντήσουµε επανηλειµένα είναι το ακόλουθο: Εάν ένα διάνυσµα που εξαρτάται από µια µεταβλητή, t , έχει σταθερό µέτρο τότε το διάνυσµα είναι κάθετο στο διάνυσµα της παραγώγου του ως προς τη µεταβλητή.

Αργότερα θα χρησιµοποιήσουµε αυτή την ιδιότητα για να περιγράψουµε διανυσµατικά

την κυκλική κίνηση.

∆ύο λήµµατα

1. Εάν το av είναι ένα τυχαίο διάνυσµα και η τριάδα ),,( zyx bbb είναι τέτοια ώστε σε κάθε σύστηµα αξόνων η ποσότητα zzyyxx bababa ++ να είναι αναλλοίωτη (είναι ένα

βαθµωτό µέγεθος) τότε το bvείναι διάνυσµα. Εδώ προϋποτίθεται ότι γνωρίζουµε πως να

βρούµε τις συνιστώσες του bv

σε κάθε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων. Απόδειξη: Έστω R µια στροφή των αξόνων τότε Raa =′ . Επειδή baba TT =′′ , θα έχουµε ότι ( ) 0bbRa =−′TT . Επειδή το av είναι τυχαίο θα πρέπει bbR =′T και επειδή ο R είναι ορθογώνιος Rbb =′ , δηλαδή το b

v είναι διάνυσµα.

2. Εάν η συνιστώσα κάποιου φυσικού µεγέθους σε τυχαία κατεύθυνση nv , nb , είναι

zzyyxxn nbnbnbb ++= , όπου ib οι συνιστώσες σε τρεις ορθογώνιους άξονες τότε το

bvείναι διάνυσµα.

Απόδειξη: Απλοποιούµε το πρόβληµα εργαζόµενοι µε στροφές περί τον άξονα z . Έστω ότι κατά τη στροφή ο άξονας xx ′→ και yy ′→ . Λαµβάνουµε πρώτα ως nv µοναδιαίο διάνυσµα στη διεύθυνση του άξονα x′ . Τότε το )0,sin,(cos θθ=nv , όπου θ η γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ των x′ και x και συνεπώς από την υπόθεση:

θθ sincos yxx bbb +=′ . Οµοίως λαµβάνοντας το nr µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη διεύθυνση του y′ θα έχουµε

θθ cossin yxy bbb +−=′ .

Οπότε το bvείναι πράγµατι διάνυσµα.

Αθροιστική σύµβαση - Τανυστές

Ένα διάνυσµα προσδιορίζεται στον τριδιάστατο χώρο µε τρεις αριθµούς, τις

συντεταγµένες του ως προς κάποιο καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς. Συνήθως ονοµάζουµε αυτές τις συνιστώσες, zyx ,, συντεταγµένες του διανύσµατος. Αντ’ αυτού µπορούµε να τις αριθµούµε οπότε θα τις ονοµάζουµε µε τον αριθµό του άξονα που αντιστοιχεί στην πρώτη, δεύτερη και τρίτη συντεταγµένη. Οπότε το διάνυσµα av προσδιορίζεται και από τις συντεταγµένες του ia όπου 3,2,1=i και η ισότητα ba

vv = γράφεται και ως ii ba = . Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων γράφεται

τότε: ∑=

=⋅3

1iiibaba

vv . Παρατηρούµε ότι ο δείκτης i εµφανίζεται δυο φορές και επειδή

αθροίζεται θα µπορούσε να αντικατασταθεί µε κάποιο άλλο γράµµα π.χ. θα

µπορούσαµε να γράψουµε το εσωτερικό γινόµενο ισοδυνάµως ως ∑=

=⋅3

1jjjbaba

vv . Οι

επαναλαµβανόµενοι δείκτες οι οποίοι εµφανίζονται σε άθροισµα γινοµένων συντεταγµένων λέγονται εικονικοί δείκτες (dummy indices)31. Οι δείκτες που δεν επαναλαµβάνονται δηλώνουν τη συγκεκριµένη συντεταγµένη του διανύσµατος. Στις περιπτώσεις επαναλαµβανόµενων δεικτών σε γινόµενα συντεταγµένων το σύµβολο του αθροίσµατος µπορεί και να παραληφθεί και να συµφωνηθεί ότι όταν εµφανίζονται ζευγάρια δεικτών σε γινόµενα συνισταµένων διανυσµάτων οι δείκτες αυτοί είναι εικονικοί και εννοείται ότι αθροίζονται. Η σύµβαση αυτή λέγεται αθροιστική σύµβαση ή σύµβαση του Einstein. Με την αθροιστική σύµβαση το εσωτερικό γινόµενο γράφεται: iibaba =⋅

vv . Χρειάζεται όµως προσοχή να µην επαναλαµβάνεται το ίδιο γράµµα δείκτη πάνω από δύο φορές διότι η έκφραση δεν έχει σαφές νόηµα, π.χ. η έκφραση iiii dcba στερείται νοήµατος. Αν π.χ. θέλουµε να γράψουµε την έκφραση ))(( cbba vvvv ⋅⋅ µε την αθροιστική σύµβαση πρέπει να την γράψουµε ως jjii cbbacbba =⋅⋅ ))(( vvvv κάνοντας χρήση δύο διαφορετικών εικονικών δεικτών. Ένα άλλο παράδειγµα. Έστω R ένας µετασχηµατισµός στροφής. Τότε µε αθροιστική σύµβαση οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος στο µετασχηµατισµένο σύστηµα αναφοράς θα είναι: jiji aRa =′ , όπου ijR το στοιχείο της i γραµµής και της j στήλης του πίνακα στροφής.

Όπως όταν γράφουµε ia εννοούµε τις τρεις συντεταγµένες του διανύσµατος av , που συνιστούν τον πίνακα στήλη Taaa ),,( 321 , έτσι και όταν γράφουµε jiba εννοούµε τους 9 αριθµούς που σχηµατίζονται από όλα τα δυνατά γινόµενα των συνισταµένων των δύο διανυσµάτων που συνιστούν τον 33× πίνακα µε στοιχείο στην i γραµµή και j στήλη το jiba . Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να θεωρήσουµε ότι οι N3 αριθµοί

Niii zba L21

σχηµατίζουν έναν 43421 LN

333 ××× υπερκύβο. Επειδή κάθε γράµµα του

31 Dummy index σηµαίνει κατά λέξη βουβός δείκτης ή δείκτης που υπάρχει µόνο κατ’ όνοµα. Θα µπορούσε να µεταφραστεί µη δηλωτικός δείκτης, ή δείκτης µπαλαντέρ, αλλά µάλλον πολύ πιο κοµψή είναι η µετάφραση που αναφέρεται στο κείµενο.

αντικείµένου αυτού µετασχηµατίζεται ως διάνυσµα σε στροφές των αξόνων οι N3 αυτοί αριθµοί µετασχηµατίζονται σε στροφές των αξόνων µε τον εξής τρόπο:

NNNN jjjjijijiiii zaaRRRzba KKK21221121

=′′′ , (*)

χρησιµοποιώντας την αθροιστική σύµβαση. Γενικότερα όταν οι N3 αριθµοί που συµβολίζονται µε

NiiT L1 µετασχηµατίζονται σε στροφές των αξόνων σύµφωνα µε τη

σχέση (*) τότε λέγεται ότι σχηµατίζουν ένα τανυστή N τάξης, και αποτελούν γενίκευση των διανυσµάτων τα οποία είναι στην ουσία τανυστές πρώτης τάξης.

Ένας πολύ χρήσιµος τανυστής δευτέρας τάξης είναι ο µοναδιαίος πίνακας (δείξτε ότι είναι τανυστής). Με δείκτες ο τανυστής αυτός συµβολίζεται µε το δέλτα του Kronecker :

⎩⎨⎧

≠=

=jiji

ij 01

δ

Οι συνισταµένες ενός διανύσµατος τότε µπορούν να γραφούν ως εξής: jiji aa δ= , το

δε εσωτερικό γινόµενο µπορεί να γραφεί ως: ijjibaba δ=⋅vv . Οµοίως επειδή το ίχνος

του µοναδιαίου πίνακα είναι 3 θα έχουµε ότι 3=iiδ . Μια πολλή χρήσιµη ταυτότητα που εµφανίζεται συχνά όταν παραγωγίζουµε

συναρτήσεις πολλών µεταβλητών είναι η ijj

i

xx

δ=∂∂

. Ένα παράδειγµα: έχουµε δείξει

ότι η βαθµίδα ∇v

σχηµατίζει ένα διάνυσµα µε συνιστώσες τις ix∂

∂ (βλ. Στ΄ σειρά

ασκήσεων). Ας υπολογίσουµε τη βαθµίδα της ακτινικής απόστασης ενός σηµείου από την αρχή των αξόνων r∇

r, όπου ii xxr = . Θα έχουµε:

rx

xrx

xx

rxxx

xxx

xxi

ijji

jj

i

jj

jji

jj==

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂δ11)(

21

δηλαδή αποδείξαµε ότι rrrrv

=∇ . Με άλλα λόγια η βαθµίδα της ακτινικής απόστασης

είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα, που συµβολίζουµε και ως rev . Επίσης ορίζουµε τη Λαπλασιανή (Laplacian) ως τον τελεστή που προκύπτει από το εσωτερικό

γινόµενο: iiii xxxx ∂∂

∂=

∂∂

∂∂

=∇⋅∇≡∇2

2rr

. Είναι χρήσιµο για να εµπεδώσετε τα

παραπάνω να δείξετε ότι για 0≠r έχουµε ότι 012 =∇r

.

'Ενας άλλος πολύ χρήσιµος τανυστής είναι ο πλήρως αντισυµµετρικός τανυστής ijkε που είναι µηδέν εάν δύο τουλάχιστον δείκτες είναι ίσοι, +1 όταν οι kji ,,

αποτελούν κυκλική µετάθεση των 1,2,3 (δηλαδή τα ijk είναι ένας από τους ακόλουθους συνδυασµούς123, 231, 312), και 1− άλλως (αποδείξτε ότι είναι τανυστής). Παρατηρήστε ότι ο kjijk baε έχει συντεταγµένες

),,( 122131132332 babababababa −−− δηλαδή οι συντεταγµένες δίνονται από την ορίζουσα του διανύσµατος:

321

321

bbbaaakjivvv

Οµοίως η ορίζουσα ενός πίνακα ijA µπορεί να γραφεί ως kjiijk AAA 321ε . Μια πολύ χρήσιµη ταυτότητα είναι η ακόλουθη που αφορά 81 αριθµούς:

kljmkmjlilmijk δδδδεε −= Για να αποδείξουµε αυτή τη σχέση πρέπει να εξετάσουµε περιπτώσεις. Αν lj = και

mk = τότε και τα δύο ε έχουν το ίδιο πρόσηµο ή είναι ίσα µε µηδέν, ενώ αν mj = και lk = τα δύο ε έχουν αντίθετο πρόσηµο ή είναι ίσα µε µηδέν, από τις περιπτώσεις αυτές προκύπτουν τα πρόσηµα των γινοµένων των δ.

Κυκλική κίνηση-Οδογράφος

Έστω ότι έχουµε ένα σωµατίδιο που κινείται σε µία κυκλική τροχιά ακτίνας l . Τότε αν ορίσουµε το επίπεδο της κίνησης ως το επίπεδο ),( yx και ορίσουµε τη Τρίτη διεύθυνση z του καρτεσιανού συστήµατος τη κάθετη στο επίπεδο, όπως γνωρίζετε η θέση του σωµατιδίου µπορεί να γραφεί:

θcos)( ltx = , θsin)( lty = , 0)( =tz , όπου η γωνία )(tθ είναι κάποια συνάρτηση του

χρόνου. Η γωνιακή ταχύτητα ορίζεται ως η χρονική παράγωγος της γωνίας: dtdθθ =& .

Συνεπώς το διάνυσµα θέσης του σωµατιδίου είναι ))sin()(cos()( jiltrvvv θθ +=

όπου τα ivκαι j

rείναι µοναδιαία σταθερά διανύσµατα στη διεύθυνση αντιστοίχως των

αξόνων x και y . Η θέση του σωµατιδίου µπορεί να γραφεί και ως

reltr vv =)( , (1) όπου jier

vvv )sin()cos( θθ += το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Το µέτρο της θέσης του σωµατιδίου είναι σταθερό και ίσο µε την ακτίνα του κύκλου l . Επειδή τα διανύσµατα i

vκα j

vείναι σταθερά η ταχύτητα είναι:

))cos()sin(()( jiltvvv&v θθθ +−=

το οποίο µπορεί να γραφεί ως θθ eltv v&v )()( = (2)

όπου το διάνυσµα θev είναι το µοναδιαίο διάνυσµα θθθ cossin jievvv +−= , το οποίο

είναι κάθετο στο ακτινικό διάνυσµα. Μπορούµε αµέσως να καταλήξουµε στην (2) διαφορίζοντας κατευθείαν την (1) παρατηρώντας ότι επειδή το rev είναι µοναδιαίο τότε

rr e

dted vv⊥ και θθ &

vv

edted r = . Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι το µέτρο της ταχύτητας είναι

θ&lv = . Όταν η κυκλική κίνηση είναι οµαλή η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή και το µέτρο της ταχύτητας είναι και αυτό σταθερό.

Οµοίως επειδή το θev είναι µοναδιαίο διάνυσµα τότε: θθ e

dted vv⊥ και ένας απλός

υπολογισµός δίνει θθ &vv

redted

−= . Οπότε διαφορίζοντας την (2) καταληγουµε ότι η

επιτάχυνση είναι

rr el

velelelta vv&&v&v&&r 22 )()()()( −=−= θθ θθθ

έχει δηλαδή δύο συνισταµένες µία συνισταµένη κατά την εφαπτοµένη της κυκλικής τροχιάς που προκαλείται από τη γωνιακή επιτάχυνση του σωµατιδίου θ&& , η οποία λέγεται και επιτρόχια επιτάχυνση, και µία ακτινική συνιστώσα, τη κεντροµόλο

επιτάχυνση , η οποία ισούται µε l

v 2

. Εάν το σωµατίδιο εκτελεί οµαλή κυκλική έχει

µόνο ακτινική επιτάχυνση ίση µε 2ωl , όπου ω η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Συνεπώς για να εκτελεί κυκλική κίνηση πρέπει να ασκείται στο σωµατίδιο κεντρική δύναµη. Όπως το άκρο του διανύσµατος θέσης διαγράφει τη τροχιά του σωµατιδίου έτσι και το άκρο του διανύσµατος της ταχύτητας διαγράφει µία καµπύλη η οποία λέγεται οδογράφος. Για την οµαλή κυκλική κίνηση η οδογράφος είναι ένας κύκλος ακτίνας ωl , όπου ω η σταθερή γωνιακή ταχύτητα. ¨Ένα κινητό που διαγράφει την οδογράφο έχει γωνιακή ταχύτητα πάλι ω , οπότε η ταχύτητα του κινητού θα είναι η επιτάχυνση του σωµατιδίου η οποία και θα είναι (×ω ακτίνα κύκλου οδογράφου) = 2ωl .

Το επίπεδο εκκρεµές

Θεωρείστε τώρα το επίπεδο εκκρεµές (βλ. σχήµα). Το σώµα κινείται επί του κύκλου και η θέση του προσδιορίζεται από τη γωνία θ που σχηµατίζει το (θεωρούµενο ως αβαρές) νήµα µε τη κατακόρυφο. Η ταχύτητα της µάζας δίνεται από θθ

&vv Lev = , το µοναδιαίο διάνυσµα θev είναι κάθετο στην ακτίνα του κύκλου και έχει διεύθυνση κατά την εφαπτοµένη του κύκλου και φορά ίδια µε την αύξηση της γωνίας. Από την έκφραση της επιτάχυνσης βρίσκουµε την ακτινική και γωνιακή εξίσωση της κίνησης ως:

θθ

θθ

cos

sin

2

Lg

mLTLg

−=

−=

&

&&

Παρατηρούµε ότι οι εξισώσεις κίνησης εµπεριέχουν δύο άγνωστες συναρτήσεις του χρόνου την γωνία )(tθ και την άγνωστη τάση του νήµατος )(tT . Για να προσδιορίσουµε τη κίνηση πρέπει να απαλείψουµε τις άγνωστες εσωτερικές δυνάµεις (τάσεις, αντιδράσεις) . Για να το επιτύχουµε όµως αυτό έχουµε κάνει παραδοχές για το χαρακτήρα των τάσεων. Π.χ. στο εκκρεµές έχουµε κάνει τη λογική παραδοχή ότι η τάση έχει διεύθυνση κάθετη στη κίνηση δηλαδή η τάση ασκείται κατά την ακτινική διεύθυνση. Βλέπουµε λοιπόν ότι για να προσδιορίσουµε τη κίνηση στο πλαίσιο της

µηχανικής του Νεύτωνα σε ένα πολύπλοκο µηχανικό σύστηµα πρέπει να απαλείψουµε τις εµφανιζόµενες εσωτερικές δυνάµεις και αφού τις απαλείψουµε να προσδιορίσουµε την συµπεριφορά του συστήµατος όταν επιδρούν εξωτερικές δυνάµεις. Επιπλέον για να επιτευχθεί αυτό το πρόγραµµα πρέπει να γίνουν ξεχωριστές παραδοχές για τη δοµή των εσωτερικών δυνάµεων. Η απαλοιφή των εσωτερικών δυνάµεων είναι γενικά µια πολύπλοκη διαδικασία και για αυτό, ιστορικά τουλάχιστον, έγιναν προσπάθειες για την ανακάλυψη µίας διαφορετικής θεµελίωσης της µηχανικής στην οποία δεν υπεισέρχονται οι εσωτερικές δυνάµεις για το προσδιορισµό της κίνησης του µηχανικού συστήµατος. Στη περίπτωση του εκκρεµούς η απαλοιφή της τάσης είναι ιδιαιτέρως εύκολη. Η επιτρόχια εξίσωση δεν συµπεριλαµβάνει την άγνωστη τάση και συνεπώς µπορεί να

λυθεί για τη θέση. Τότε η θέση µπορεί να αντικατασταθεί στη δεύτερη εξίσωση για να προσδιορισθεί η τάση. Η λύση της επιτρόχιας κίνησης γράφεται γενικά υπό τη µορφή ελλειπτικών συναρτήσεων. Για µικρές κινήσεις προσεγγίζουµε

θθ ≈sin και βρίσκουµε ότι το εκκρεµές εκτελεί τότε ισόχρονες

ταλαντώσεις µε περίοδο gLT π2= .

Για µεγαλύτερα πλάτη η ταλάντωση παύει να είναι ισόχρονη και η περίοδος αυξάνεται µε το πλάτος. Έχουµε ήδη υπολογίσει ότι η περίοδο σε δεύτερη προσέγγιση ως προς το µέγιστο γωνιακό πλάτος α της ταλάντωσης είναι

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2sin

4112 2 απ

gLT

οπότε η περίοδος µεγαλώνει κατά 1/103 όταν το πλάτος της ταλάντωσης γίνει

217 ′≈ oα .

Κίνηση σωµατιδίου στο επίπεδο Σωµατίδιο κινείται πάνω στο επίπεδο. Η θέση του δίνεται από το διάνυσµα )(trr . Η

ταχύτητα του σωµατιδίου είναι dtrdvv

v = . Το µέτρο της ταχύτητας είναι dtdsv = , όπου

drdrds ⋅= το διαφορικό µήκος τόξου. Αν λοιπόν θεωρήσουµε το µήκος τόξου ως

παράµετρο που ορίζει τη τροχιά τότε η θέση του σωµατιδίου πάνω στη τροχιά είναι ))(( tsrv και το διάνυσµα της ταχύτητας είναι

ψedtdsv rv =

όπου το µοναδιαίο διάνυσµα ψψψ sincos jidsrde

vvvv +== έχει τη κατεύθυνση της

εφαπτοµένης στη τροχιά και η γωνία ψ είναι η γωνία που σχηµατίζεται από την

εφαπτοµένη και τον άξονα x . Από το σχήµα φαίνεται ότι dsdx

=ψcos και dsdy

=ψsin

και συνεπώς οι γωνίες αυτές υπολογίζονται από την εξίσωση της τροχιάς. Για να υπολογίσουµε την

επιτάχυνση θεωρούµε το

σωµατίδιου σε δύο διαδοχικές

θέσεις που απέχουν tδ µονάδες

χρόνου. Σε αυτό το απειροστό

χρονικό διάστηµα το µέτρο της

ταχύτητας γίνεται vv δ+ και η

διεύθυνση της ταχύτητας αλλάζει

κατά δψ (βλ. σχήµα).

Παρατηρούµε από το διπλανό

σχήµα ότι η επιτάχυνση έχει δύο συνιστώσες. Η επιτρόχια συνιστώσα (στη διεύθυνση

της εφαπτοµένης της τροχιάς) δίδεται από:

=−+

= → tvvva t δ

δψδδε

cos)(lim 0 2

2

0limdt

sdvtv

t ==→ &δδ

δ ,

ενώ η κεντροµόλος συνιστώσα δίδεται από:

ρψ

δδψ

δδψδ

δδ

2

00 limsin)(lim vdsd

dtdsv

tv

tvva ttk ===

+= →→ ,

όπου ρ η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς. Παρατηρούµε από το σχήµα ότι η κεντροµόλος επιτάχυνση είναι αντίθετη στην κάθετο στην καµπύλη οπότε αν το κάθετο διάνυσµα στη τροχιά το συµβολίσουµε µε nv τότε η επιτάχυνση παίρνει τη µορφή

nvedt

sda vrv

ρψ

2

2

2

−= .

Οπότε αν γνωρίζουµε τη ταχύτητα και την επιτάχυνση µπορούµε να προσδιορίσουµε

την ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς. Μπορείτε να δώσετε την έκφραση που δίνει την

ακτίνα καµπυλότητας;

Έστω τώρα ότι έχουµε ένα «ελεύθερο» σωµατίδιο που κινείται επί µίας επίπεδης

καµπύλης π.χ. µία χάνδρα πάνω σε ένα σύρµα. Το σωµατίδιο δεν είναι πραγµατικά

ελεύθερο, ασκούνται σε αυτό δυνάµεις από το σύρµα. Το θεωρούµε ελεύθερο επειδή

δεν ασκούνται σε αυτό εξωτερικές δυνάµεις. Θεωρούµε ότι το σωµατίδιο κινείται

χωρίς τριβή, και συνεπώς η αντίδραση του σύρµατος, Fv

, πρέπει να είναι κάθετη στην

εφαπτοµένη της τροχιάς αλλοιώτικα θα επιβράδυνε τη κίνηση. Συνεπώς θεωρούµε ότι

0=⋅ ψeF vv. Η εξίσωση κίνησης τότε είναι Fnve

dtsd vvr

=−ρψ

2

2

2

. Η επιτρόχια εξίσωση

της κίνησης είναι προφανώς 02

2

=dt

sd και συνεπώς η χάντρα κινείται µε σταθερό µέτρο

ταχύτητας.

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου || A . Το έργο που εκτελείται από το πεδίο δυνάµεων όταν διατρέξουµε τη κλειστή καµπύλη γ που ορίζει το σύνορο του χωρίου µε φορά αντίθετη µε αυτή των δεικτών του ρολογιού (που λαµβάνεται ως η θετική φορά) είναι ∫ ⋅=Γ

γ

rdF vv (αν

διατρέχαµε την καµπύλη µε αρνητική φορά τότε το έργο θα ήταν Γ− ) . Το έργο γύρω από µία κλειστή καµπύλη λέγεται κυκλοφορία και µετράει πόσο περιστροφή έχει

το πεδίο της δύναµης. Σχηµατίζουµε τώρα το όριο (θα δούµε σε λίγο ότι υπάρχει αυτό το όριο)

||lim 0|| AA

Γ→ . Το όριο αυτό θα εξαρτάται από το

πεδίο της δύναµης αλλά και από τον προσανατολισµό του χωρίου στο χώρο. Τον

προσανατολισµό τον ορίζουµε µε το κάθετο διάνυσµα nv στο χωρίο και τη φορά του καθέτου διανύσµατος την επιλέγουµε µε τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία: όταν το σύνορο διαγράφεται µε τη θετική φορά τότε το κάθετο διάνυσµα έχει την διεύθυνση κίνησης ενός δεξιόστροφου κοχλία που περιστρέφεται όπως διαγράφεται το σύνορο. Αν πάρουµε ένα καρτεσιανό σύστηµα µπορούµε σε κάθε σηµείο του χώρου να ορίσουµε τρείς στροβιλισµούς. Τον xΩ στροβιλισµό ως το

||lim 0|| A

rdF

Ax

∫ ⋅

=Ω →γ

vv

για µία διαφορική επιφάνεια στο zy − επίπεδο µε εµβαδόν µέτρου || A και διεύθυνση τον άξονα x , και παροµοίως τον yΩ και τον zΩ στροβιλισµό. Η τριάδα

),,( zyx ΩΩΩ θα αποδείξουµε ότι αποτελεί διάνυσµα , το οποίο και λέγεται το

διάνυσµα του στροβιλισµού, Ωv

, του πεδίου. . Για να αποδείξουµε ότι ο στροβιλισµός είναι πράγµατι διάνυσµα πρέπει να αποδείξουµε ότι µετασχηµατίζεται στις στροφές όπως και οι µετατοπίσεις. Ο διανυσµατικός χαρακτήρας βασικών φυσικών αντικειµένων, όπως λ.χ. η δύναµη, αποδεικνύεται µόνο πειραµατικά και λαµβάνεται ως νόµος της φύσης. Ο διανυσµατικός χαρακτήρας παραγώγων φυσικών µεγεθών όπως λ.χ. η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η στροφορµή , η βαθµίδα κ.λ.π. µπορεί να αποδειχθεί όµως από τον ορισµό τους. ∆εδοµένου ότι γνωρίζουµε ότι η δύναµη είναι διάνυσµα µπορούµε χωρίς πείραµα να ελέγξουµε τον διανυσµατικό χαρακτήρα του στροβιλισµού εξετάζοντας το µετασχηµατισµό των

συντεταγµένων του στις στροφές. Για να δείξουµε το διανυσµατικό χαρακτήρα αρκεί να πάρουµε µιά διαφορική επιφάνεια σε µία τυχαία διεύθυνση nv και να δείξουµε ότι ο στροβιλισµός σε αυτή την επιφάνεια, nΩ , είναι zzzzxxn nnn Ω+Ω+Ω=Ω , όπου

),,( zyx nnn οι συνισταµένες του καθέτου διανύσµατος σε ένα καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς. Προς τούτο κατασκευάζουµε κατά αρχάς ένα ορθό τετράεδρο ΟΑΒΓ µε ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=1, και ΟΑ κατά τον άξονα x , ΟΒ κατά τον άξονα y και ΟΓ κατά τον άξονα z (βλ. Σχήµα). Υπολογίζουµε το έργο γύρω από τα σύνορα των 4 εδρών του τετραέδρου διανύοντας το σύνορο µε τη φορά που σηµειώνεται στο σχήµα. Το συνολικό έργο γύρω απο τα σύνορα των 4 εδρών είναι τότε µηδέν, διότι κάθε ακµή διανύεται δις µε αντίθετη διεύθυνση κάθε φορά, δηλαδή:

00

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++ ∫∫∫∫

ΓΓΓ

rdFOBABOABA

vv.

Επειδή όταν ληφθεί το τετράεδρο αρκούντως µικρό ∫Γ

Ω−=⋅BO

x ArdF || 1vv

κ.ο.κ. θά

έχουµε ότι:

|||||||| 32144 AAAA zyx Ω+Ω+Ω=Ω

και επειδή xnAA

=||||

4

1 , όπου xn η συνιστώσα της καθέτου στην ΑΒΓ έδρα κ.ο.κ.

αποδεικνύεται ότι ως προς το δεδοµένο nv ότι ισχύει zzzzxxn nnn Ω+Ω+Ω=Ω . Αλλά

ο ίδιος συλλογισµός ισχύει για οποιοδήποτε ορθό τετράεδρο διότι πάντοτε xnAA

=||||

4

1

κ.ο.κ. 32. Άρα ο στροβιλισµός είναι πράγµατι διάνυσµα.

Το Θεώρηµα του Stokes Υπολογίζουµε τώρα το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα γύρω από µία καµπύλη, Γ ,

∫ ⋅ rdF vv. Θεωρούµε µία επιφάνεια της οποίας το σύνορο είναι η Γ και καλύπτουµε

την επιφάνεια µε καµπύλες που καλύπτουν την επιφάνεια ως ένα πλέγµα (βλ. Σχήµα). Τότε ∑∫∫ ⋅=⋅

Γ ii

rdFrdFγ

vvvv όπου τα ολοκληρώµατα στο δεξιό µέλος της ισότητας είναι

γύρω από τα σύνορα των επιφανειών του πλέγµατος. Εάν το πλέγµα εκλεπτυνθεί αρκετά , επειδή ∫ ⋅Ω→⋅

i

AdrdF iγ

vvvv όπου το διάνυσµα Ad

v έχει µέτρο το εµβαδόν

της διαφορικής επιφάνειας µέλους του πλέγµατος και διεύθυνση την κάθετο στην επιφάνεια µε τη σύµβαση του δεξιόστροφου κοχλία33, έχουµε ότι:

∫ ∫Γ

⋅Ω=⋅A

AdrdFvvvv

όπου A είναι κάποια επιφάνεια της οποίας το σύνορο είναι το Γ . Αυτό είναι το θεώρηµα του Stokes. Ο Stokes είχε την ίδια έδρα Μαθηµατικών που είχε ο Νεύτων στο Πανεπιστήµιο του Cambridge. Το περιεχόµενο του θεωρήµατος ήταν

32 Με τον τρόπο αποδείξαµε επίσης ότι και η επιφάνεια µπορεί να εκφρασθεί ως διάνυσµα. 33 Το ότι µία διαφορική επιφάνεια είναι διάνυσµα φαίνεται εδώ και από την εξής ιδιότητα: εάν av είναι διάνυσµα και οι τρείς συνιστώσες ενός φυσικού µεγέθους

),,( 32.1 bbb είναι τέτοιοι ώστε το iiba να είναι µονόµετρο µέγεθος τότε οι τρείς αριθµοί σχηµατίζουν διάνυσµα, b

v. Συνεπώς επειδή το Ω

v είναι διάνυσµα και εξ

ορισµού Adi

vv⋅Ω είναι µονόµετρο µέγεθος τότε και το Ad

v είναι διάνυσµα. Κατευθείαν

µπορούµε να δούµε το διανυσµατικό χαρακτήρα τού εµβαδού µε το να ορίσουµε το εµβαδόν διαφορικού χωρίου που έχει πλευρές 1rdv , 2rdv το εξωτερικό γινόµενο

21 rdrd vv × .

θέµα διαγωνισµού υποτροφίας που έδωσε ο Stokes το 1854. Ο Maxwell απάντησε το θέµα του διαγωνίσµατος και δεν είναι περίεργο ότι το θεώρηµα αυτό έχει κεντρικό ρόλο στην θεωρία του ηλεκτροµαγνητισµού που ανέπτυξε αργότερα. Το περιεχόµενο του θεωρήµατος αυτού και µία πρώτη απόδειξη περιέχεται σε επιστολή που στάλθηκε από τον Thomson (αργότερα Lord Kelvin) το 1850 στον Stokes. Το θεώρηµα αυτό είναι πολύ σηµαντικό, αποτελεί γενίκευση του θεµελιώδους θεωρήµατος του ολοκληρωτικού λογισµού, και λέγεται ότι κάθε γενιά µαθηµατικών δίνει από τότε και από µία νέα απόδειξη του θεωρήµατος σε πιο γενικευµένους χώρους. Ο Stokes είναι γνωστός για τη συµβολή του στη ανάπτυξη της υδροδυναµικής όπου ο στροβιλισµός του πεδίου ταχυτήτων είναι κεντρική έννοια. Είναι τόσο κεντρική ώστε σήµερα η κυριότερη ποσότητα που σηµειώνεται στους µετεωρολογικούς χάρτες να είναι ο στροβιλισµός.

Υπολογισµός των συνισταµένων του στροβιλισµού Ας υπολογίσουµε την

zΩ συνισταµένη του στροβιλισµού του πεδίου της δύναµης F

r.

Σχηµατίζουµε προς τούτο ένα παραλληλόγραµµο (βλ. Σχήµα) στο επίπεδο yx − µε κέντρο Ο στο σηµείο ),( yx (δεν αναφέρουµε την τρίτη συντεταγµένη διότι είναι σταθερή) και πλευρές παράλληλες στους άξονες και µήκους xδ και yδ . Αν διανύσουµε το σύνορο µε τη φορά ΑΒΓ∆ το εµβαδόν yxAz δδ=|| είναι κατά τη διεύθυνση του τρίτου άξονα και συνεπώς

||lim 0||

z

ABAz A

rdF

z

∫Γ∆

→

⋅=Ω

vv

.

Υπολογίζουµε πρώτα το έργο ABW που καταναλώνεται στη διαδροµή ΑΒ. Αυτό θα είναι κατά προσέγγιση :

yyxxFW yAB δδ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ,

2

ενώ το έργο στη απέναντι διαδροµή Γ∆ θα είναι:

yyxxFW y δδ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=Γ∆ ,

2

Αναπτύσσοντας κατά Taylor βρίσκουµε ότι το συνολικό έργο στις δύο διαδροµές που είναι παράλληλες στον άξονα y είναι:

yxx

FWW y

AB δδ∂

∂−=+ Γ∆ +όροι ανωτέρας τάξεως.

Η µερική παράγωγος υπολογίζεται στο κέντρο Ο του χωρίου και δεν έχουµε συµπεριλάβει όρους ανωτέρας τάξεως διότι αυτοί θα µηδενισθούν όταν διαιρέσουµε δια του µέτρου του εµβαδού του χωρίου yxAz δδ=|| για να προσδιορίσουµε τον στροβιλισµό στο όριο που το εµβαδόν αυτό τείνει στο µηδέν.

Οµοίως έχουµε ότι

xyyxFW xB δδ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Γ 2

, και xyyxFW x δδ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∆Α 2

, ,

οπότε το συνολικό έργο στις δύο διαδροµές που είναι παράλληλες στον άξονα x είναι:

yxy

FWW x

AB δδ∂∂

=+ ∆Γ + όροι ανωτέρας τάξως.

Συνεπώς το όριο 0→yxδδ της ποσότητας yx

rdFAB

δδ

∫Γ∆

⋅ vv

υπάρχει (κάτι που είχαµε

θεωρήσει ως δεδοµένο προηγουµένως) και έχουµε ότι

xF

yF yx

z ∂

∂−

∂∂

=Ω .

Με κυκλική µετάθεση προσδιορίζουµε ότι το διάνυσµα του στροβιλισµού έχει τις εξής συνιστώσες σε κάποιο καρτεσιανό σύστηµα αξόνων:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂

∂=Ω

xF

yF

zF

xF

yF

zF yxxzzy ,,

v

Παρατηρούµε ότι εάν η δύναµη είναι βαθµίδα κάποιας συνάρτησης δηλαδή

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

−=zV

yV

xVF ,,

v τότε ο στροβιλισµός µηδενίζεται. Συνεπώς κάθε

συντηρητική δύναµη έχει µηδενικό στροβιλισµό. Στο παραπάνω συµπέρασµα µπορούµε να καταλήξουµε και από το θεώρηµα του Stokes. Εάν η δύναµη είναι συντηρητική τότε το έργο γύρω από οποιαδήποτε κλειστή καµπύλη στο χώρο είναι µηδενικό. Αλλά αυτό συνεπάγεται ότι θα πρέπει να είναι µηδενικό και το ∫ ⋅Ω

A

Advv

για οποιαδήποτε επιφάνεια που έχει ως σύνορο τη καµπύλη,

άρα θα πρέπει ο στροβιλισµός να µηδενίζεται. Τι µπορούµε να πούµε όµως για το αντίστροφο; Εάν ο στροβιλισµός ενός πεδίου παντού µηδενίζεται πάλι από το θεώρηµα του Stokes θα πρέπει το έργο γύρω από µία οποιαδήποτε καµπύλη να µηδενίζεται, συνεπώς το πεδίο είναι συντηρητικό. Εδώ όµως χρειάζεται λίγο προσοχή. Κατά την απόδειξη του θεωρήµατος του Stokes κάναµε ουσιαστικά την υπόθεση ότι ο χώρος που εξετάζουµε είναι συνεκτικός, δηλαδή κάθε κλειστή καµπύλη µπορεί να συρρικνωθεί σε σηµείο παραµένοντας πάντα στο χώρο που εξετάζουµε , (που χρησιµοποιήσαµε αυτή τη παραδοχή;) επίσης θεωρήσαµε ότι το πεδίο δυνάµεως είναι συνεχώς παραγωγίσιµο (που χρησιµοποιήσαµε αυτή τη παραδοχή;). Αν λοιπόν ικανοποιούνται αυτές οι προϋποθέσεις τότε µηδενισµός του στροβιλισµού συνεπάγεται τη συντηρητικότητα του πεδίου. Συνεπώς αποδείξαµε ότι ικανή και αναγκαία (υπό προϋποθέσεις) συνθήκη να είναι ένα πεδίο συντηρητικό είναι ο στροβιλισµός του να είναι µηδενικός.

∆υναµική Ενέργεια-∆υναµικό Στη διάλεξη περί συντηρητικών πεδίων µάθαµε ότι στην περίπτωση αστρόβιλων

πεδίων, δηλαδή όταν 0=×∇ Frr

παντού, υπάρχει µια βαθµωτή ποσότητα U από την οποία µπορεί να προκύψει η δύναµη (ως UF ∇−=

rr) και η οποία µαζί µε την

επονοµαζόµενη κινητική ενέργεια διατηρείται κατά την κίνηση ενός σωµατιδίου µέσα στο πεδίο. Η ποσότητα U, η αποκαλούµενη δυναµική ενέργεια του σωµατιδίου, δεν είναι τίποτε άλλο από ένας µετρητής του έργου της δύναµης του πεδίου στο σωµατίδιο αφού

∫ ⋅==− →

B

ABABA rdFWUU rr

,

και µάλιστα εξαιτίας της συντηρητικότητας του πεδίου ανεξάρτητο της διαδροµής που θα επιλέξουµε για να µετακινήσουµε το σωµατίδιό µας από το σηµείο Α του πεδίου στο σηµείο Β.

Πολύ συχνά αντί της έννοιας της δυναµικής ενέργειας χρησιµοποιείται η έννοια του δυναµικού. Πρόκειται για τη δυναµική ενέργεια που αντιστοιχεί στη µοναδιαία ποσότητα σωµατιδίου που βρίσκεται εντός του πεδίου. Η έννοια του δυναµικού είναι ιδιότητα αποκλειστικά του πεδίου, ενώ η δυναµική ενέργεια εξαρτάται και από το σωµατίδιο που βρίσκεται εντός του πεδίου. Ειδικά στην περίπτωση του βαρυτικού πεδίου, που όπως έχουµε δει είναι συντηρητικό, οι έννοιες της δυναµικής ενέργειας και του δυναµικού είναι σχεδόν ταυτόσηµες· το δυναµικό είναι η δυναµική ενέργεια

ανά µονάδα µάζας ή µε άλλα λόγια είναι η δυναµική ενέργεια ενός σωµατιδίου µε µάζα ίση µε ένα.

Ας υπολογίσουµε στη συνέχεια το βαρυτικό δυναµικό µέσα στο πεδίο µιας σηµειακής µάζας m (πρόκειται για ένα αποτέλεσµα που χρησιµοποιήσαµε πρωθύστερα στον υπολογισµό της βαρυτικής δύναµης από έναν σφαιρικό φλοιό). Η διαφορά δυναµικού µεταξύ των δύο θέσεων Α και Β είναι

A

B

A

r

r B

rBA r

Gmr

GmrdrGmrd

re

GmB

A

∫ ∫ −=−=⋅−=Φ−Φ 22

ˆ r .

Προφανώς η διαφορά δυναµικού εξαρτάται µόνο από τις αποστάσεις των δύο σηµείων από την πηγή του πεδίου και όχι απο τις ακριβείς θέσεις αυτών. Αυτό είναι αυτονόητο εξαιτίας της σφαιρικής συµµετρίας του πεδίου. Αν τώρα θέσουµε µια συγκεκριµένη τιµή στο δυναµικό για µια συγκεκριµένη θέση, αυτόµατα καθορίζεται το δυναµικό παντού. Μη ξεχνάτε εξάλλου ότι η τιµή του δυναµικού είναι αυθαίρετη· αυτό που έχει φυσικό νόηµα είναι µόνο η διαφορά δυναµικού µεταξύ σηµείων. Μια καλή επιλογή για το συγκεκριµένο πρόβληµα είναι να θέσουµε το δυναµικό σε άπειρη απόσταση από τη µάζα –όπου πλέον βρισκόµαστε εκτός κάθε επιρροής του πεδίου- ίσο µε µηδέν. Έτσι το δυναµικό σε απόσταση r από µια σηµειακή µάζα είναι

rGm

−=Φ .

Ως εφαρµογή των παραπάνω θα υπολογίσουµε το δυναµικό εξαιτίας µιας συµπαγούς οµογενούς σφαίρας. Στο µεν εξωτερικό της σφαίρας το δυναµικό είναι το ίδιο µε αυτό µιας σηµειακής µάζας ίσης µε αυτή της σφαίρας τοποθετηµένη στο

Α

Β

m

rArB

κέντρο της σφαίρας, αφού το πεδίο είναι ταυτόσηµο στην περιοχή αυτή του χώρου. Στο εσωτερικό της σφαίρας θα είναι:

)1(22

3)(

22)()()(

2

2

22

33

3

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=Φ

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

′′

−=′′

−=Φ−Φ ∫∫

Rr

RGmr

rRRGmdr

Rrm

rGdr

rrGmRr

R

r

R

r .

Στο διπλανό διάγραµµα έχει σχεδιασθεί η µορφή του παραπάνω δυναµικού. Η παραβολική µορφή του δυναµικού στο εσωτερικό της σφαίρας είναι τύπου αρµονικού ταλαντωτή. Το γεγονός αυτό είναι που οδηγεί στο γνωστό φαινόµενο της αρµονικής ταλάντωσης σε µια υποτιθέµενη σήραγγα κατά µήκος της διαµέτρου ενός οµογενούς πλανήτη. Αυτό µπορεί να διαπιστωθεί εναλλακτικά µελετώντας τη βαρυτική δύναµη στο

εσωτερικό µιας οµογενούς συµπαγούς σφαίρας. Έχοντας µάθει να υπολογίζουµε το δυναµικό σε διάφορα σηµεία ενός πεδίου, θα

υπολογίσουµε στη συνέχεια την ενέργεια που απαιτείται προκειµένου να συνθέσουµε µια συγκεκριµένη κατανοµή µάζας που δηµιουργεί κάποιο πεδίο. Για δύο σηµειακές

µάζες η δυναµική ενέργεια είναι 12

21r

mGm− , αφού τόσο είναι το έργο της βαρυτικής

δύναµης προκειµένου δύο µάζες σε απόσταση 12r να αποµακρυνθούν σε άπειρη απόσταση, είτε κρατάµε τη µία ακίνητη και κινούµε τη δεύτερη στο πεδίο της πρώτης, είτε αποµακρύνουµε ταυτόχρονα τη µία από την άλλη. Το αρνητικό πρόσηµο σχετίζεται µε την ελκτικότητα της δύναµης και υποδηλώνει το γεγονός ότι οι µάζες έχουν την τάση να κρατούν δέσµιες η µία την άλλη, ή µε άλλα λόγια ότι πρέπει να δαπανήσουµε ενέργεια για να τις διαχωρίσουµε. Στην περίπτωση τριών µαζών η συνολική δυναµική ενέργεια είναι

31

13

23

32

12

21)3(

rmGm

rmGm

rmGm

U −−−= .

Ο πρώτος µαζί µε τον δεύτερο όρο αποτελούν τη δυναµική ενέργεια της δεύτερης µάζας στο σύνθετο πεδίο των άλλων δύο µαζών και ο τρίτος όρος τη δυναµική ενέργεια της τρίτης µάζας στο πεδίο της πρώτης. Τόση λοιπόν ενέργεια παράγει το πεδίο προκειµένου οι τρεις µάζες να αποµακρυνθούν η µια από την άλλη σε άπειρη απόσταση. Αντίστοιχα για n µάζες η δυναµική ενέργεια του συσσωµατώµατος είναι

∑∑∑∑≠>

−=−=i ij ij

ji

i ij ij

jin

rmGm

rmGm

U21)( .

Η συνθήκη ij > στην πρώτη σχέση εξασφαλίζει ότι το κάθε ζευγάρι µαζών λογίζεται άπαξ, ενώ στη δεύτερη σχέση απλώς λογαριάζονται όλα τα δυνατά ζευγάρια και το αποτέλεσµα διαιρείται δια δύο. Η συνθήκη ij ≠ αποκλείει τους απειρισµούς στους οποίους θα οδηγούσε ένα πιθανός υπολογισµός της ιδιοενέργειας που περικλείει η κάθε σηµειακή µάζα. Η εξαίρεση αυτών των άπειρων ποσοτήτων είναι ένα είδος επανακανονικοποίησης (renormalization) της θεωρίας µας. Περνώντας τώρα σε µια

συνεχή κατανοµή µάζας µε τοπική πυκνότητα )(rrρ η προηγούµενη σχέση µετασχηµατίζεται σε

2121

21

21

21 )()(21

21 dVdV

rrrrG

rrdmGdmU ∫ ∫∫ ∫ −

−=−

−= rr

rr

rrρρ ,

όπου τα ολοκληρώµατα εκτείνονται σε ολόκληρη την περιοχή εξάπλωσης της µάζας.

Αν προσέξουµε ότι το µέρος ∫ −−

21

1

rrGdm

rr δεν είναι τίποτε άλλο από το δυναµικό στη

θέση 2rr , οι παραπάνω σχέσεις µπορούν να επαναγραφούν µε τη µορφή

∫ ∫Φ=Φ= dVrrrdmrU )()(21)()(

21 rrrr ρ .

Ως εφαρµογή θα δοκιµάσουµε να υπολογίσουµε τη δυναµική ενέργεια συγκρότησης µιας οµογενούς σφαίρας ακτίνας R και µάζας Μ. Βάσει του πρώτου τρόπου υπολογισµού της δυναµικής ενέργειας

∫ ∫ −−=

21

212

2

2 rrdVdV

VGMU rr ,

αλλά αυτό δεν είναι τίποτε άλλο από το 2/2GM− φορές τη µέση τιµή της αντίστροφης απόστασης µεταξύ δύο οποιονδήποτε σηµείων µιας σφαίρας ακτίνας R,

δηλαδή 21

2 12 rr

GMrr

−− . Ο προσδιορισµός αυτής της µέσης τιµής είναι σχετικά

δύσκολος αναλυτικά, αλλά µπορεί να γίνει αριθµητικά λαµβάνοντας έναν µεγάλο αριθµό τυχαίων ζευγαριών σηµείων εντός της σφαίρας. Ο υπολογισµός είναι αρκετά απλούστερος αν καταφύγουµε στη δεύτερη γραφή της δυναµικής ενέργειας:

∫Φ= dVrV

MU )(2

.

Χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα της σχέσης (1) είναι εύκολο να υπολογίσουµε το παραπάνω ολοκλήρωµα. Αντ` αυτού θα κάνουµε έναν άλλο υπολογισµό χρησιµοποιώντας την ίδια τη φυσική σηµασία της δυναµικής ενέργειας. Συγκεκριµένα, ξεκινώντας από τη συµπαγή σφαίρα θα µετρήσουµε πόση ενέργεια θα απαιτηθεί για να την διαλύσουµε παντελώς. Το αντίθετο της ενέργειας που θα βρούµε είναι η δυναµική ενέργεια που περικλείεται στη σφαίρα. Κάθε φλοιός που θα αποσπούµε από την εναποµείνασα σφαίρα ακτίνας r προκειµένου να τον «φουσκώσουµε» µέχρις ότου

φτάσει στο άπειρο θα χρειάζεται ενέργεια r

dmrGm )( . Η συνολική ενέργεια λοιπόν

διάλυσης της σφαίρας θα είναι

∫ ∫ ===−R

RGMdrr

VM

rRGMrdm

rrGmU

0

22

3

3

534)( π .

Με αυτό τον τρόπο βρήκαµε παράλληλα και τη λύση στο δύσκολο µαθηµατικό πρόβληµα που αντιµετωπίσαµε προηγουµένως:

Rrr 561

21

=−rr .

Στροφορµή σωµατιδίου -Από τους νόµους του Κέπλερ στο νόµο της παγκόσµιας βαρύτητας του Νεύτωνα

Εάν ένα σωµατίδιο βρίσκεται στη θέση rv ως προς την αρχή ενός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς και έχει ορµή pv τότε η στροφορµή του σωµατιδίου ως προς το σύστηµα αναφοράς ορίζεται ως prL vvv

×= . Το εξωτερικό γινόµενο ορίζει στις τρεις διαστάσεις ένα διάνυσµα που είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσµατα rv και pv και έχει τη διεύθυνση της κίνησης ενός δεξιόστροφου κοχλία που στρέφεται µε φορά από το rv προς το pv , το δε µέτρο της στροφορµής ισούται µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που σχηµατίζεται από τα δύο διανύσµατα: θsinrp , όπου r το µέτρο του διανύσµατος της θέσης, p το µέτρο του διανύσµατος της ορµής και θ η γωνία που σχηµατίζουν τα δύο διανύσµατα Συνεπώς η στροφορµή είναι ανάλογη του ρυθµού που σαρώνει η επιβατική ακτίνα r εµβαδόν. ∆ιότι σε ένα απειροστό χρονικό διάστηµα, t∆ , η επιβατική ακτίνα ενός σωµατιδίου θα βρεθεί από τη θέση rv στη θέση

tvr ∆+ vv και έτσι η επιβατική ακτίνα του σωµατιδίου θα διαγράψει στο χρονικό αυτό

διάστηµα επιφάνεια ίση σε µέτρο µε tvrA ∆×=∆ vv

21 και συνεπώς

mL

dtdA

2||

r

= .

Εάν η στροφορµή ενός σωµατιδίου είναι σταθερή τότε το σωµατίδιο θα εκτελεί επίπεδη κίνηση: θα κινείται στο σταθερό επίπεδο που είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσµα L

v, διότι ανά πάσα στιγµή το διάνυσµα της θέσης θα είναι κάθετο στο

σταθερό διάνυσµα της στροφορµής : 0=⋅ Lrvv . Σε αυτή τη περίπτωση η επιβατική

ακτίνα του σωµατιδίου σε ίσους χρόνους θα διαγράφει ίσες επιφάνειες. Η τελευταία διατύπωση σας φέρνει στο νου τον δεύτερο νόµο του Κέπλερ σύµφωνα µε τον οποίο οι τροχιές των πλανητών είναι επίπεδες και διαγράφουν σε ίσους χρόνους ίσες επιφάνειες. Από την παραπάνω συζήτηση αµέσως αναγνωρίζουµε ότι εφόσον η κίνηση των πλανητών είναι επίπεδη θα πρέπει το διάνυσµα της στροφορµής να έχει σταθερή διεύθυνση και επειδή η επιβατική ακτίνα διαγράφει σε ίσους χρόνους ίσες επιφάνειες θα πρέπει και το µέτρο της στροφορµής να είναι σταθερό, συνεπώς η στροφορµή του πλανήτη ως προς τον ήλιο διατηρείται. Ανακαλύψαµε δηλαδή ότι ο δεύτερος νόµος του Κέπλερ έχει την ισοδύναµη διατύπωση: η στροφορµή των πλανητών ως προς τον Ήλιο είναι σταθερή! Πότε όµως η στροφορµή ενός σωµατιδίου ως προς κάποιο σηµείο αναφοράς είναι σταθερή; Από το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα έχουµε:

( ) Frdt

vmrddtvdrm

vvrvv

v ×=×

=×

άρα

TdtLd vv

=

όπου FrTvvv

×= η ροπή της δύναµης ως προς το ίδιο σηµείο αναφοράς που επιλέξαµε για τον ορισµό της στροφορµής. Συνεπώς για να διατηρείται η στροφορµή κατά τη κίνηση πρέπει (εφόσον η δύναµη δεν είναι µηδενική) η δύναµη να είναι κατά την ακτινική διεύθυνση, δηλαδή η δύναµη να είναι κεντρική.

Το ερώτηµα το οποίο θα απαντήσουµε τώρα είναι δεδοµένων των νόµων του Κέπλερ και των νόµων της µηχανικής του Νεύτωνα µπορούµε να προσδιορίσουµε το νόµο της δύναµης µεταξύ δύο ουρανίων σωµάτων ; Θα υποθέσουµε ότι το ένα από τα δύο ουράνια σώµατα, ο Ήλιος, έχει πολύ µεγαλύτερη µάζα από τους πλανήτες έτσι ώστε να αµελήσουµε τη κίνηση του (θα δούµε αργότερα πως µπορούµε να συµπεριλάβουµε και τη κίνηση του Ήλιου). Είδαµε ήδη ότι ο δεύτερος νόµος του Κέπλερ αποκαλύπτει ότι η δύναµη που ασκείται µεταξύ των πλανητών είναι κεντρική. Θα υποθέσουµε εξαρχής ότι η δύναµη την οποία θέλουµε να προσδιορίσουµε είναι συντηρητική και συνεπώς το δυναµικό της δύναµης πρέπει να είναι συνάρτηση µόνο του µέτρου της απόστασης του πλανήτη από τον Ήλιο: )(rV (∆είξτε ότι δεν µπορεί να υπάρχει εξάρτηση από τις γωνίες).

Πράγµατι εάν rrrVrrVrVFvvvv

)()()( ′−=∇′−=∇−= και η δύναµη είναι πράγµατι

κεντρική και συνεπώς επειδή η ροπή ως προς το κέντρο της δύναµης µηδενίζεται η στροφορµή ως προς το κέντρο της δύναµης διατηρείται. Για να προσδιορίσουµε την εξάρτηση της δύναµης από την ακτίνα θα χρησιµοποιήσουµε τον πρώτο νόµο του Κέπλερ ο οποίος αναφέρει ότι η τροχιά των πλανητών γύρω από τον 'Ηλιο είναι ελλειπτική µε τον Ήλιο στην µία εστία της έλλειψης. Επειδή, η τροχιά είναι επίπεδη αρκούν για τον προσδιορισµό της οι πολικές συντεταγµένες της θέσης του πλανήτη ως προς τον Ήλιο ),( θr . Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα σε πολικές συντεταγµένες γράφεται:

Frrm =− )( 2θ&&& (1) 0)2( =+ θθ &&&& rrm . (2)

Η πρώτη εξίσωση εξισώνει την ακτινική επιτάχυνση µε την ακτινική δύναµη και η δεύτερη εξίσωση µηδενίζει τη γωνιακή επιτάχυνση δεδοµένου ότι η δύναµη έχει µόνο ακτινική συνισταµένη. Η γωνιακή εξίσωση (2) ολοκληρώνεται αµέσως

(πολλαπλασιάστε την µε r ) και δίνει ( ) 02

=dt

mrd θ& δηλαδή όπως αναµέναµε η

στροφορµή του σωµατιδίου είναι σταθερή Lmr =θ&2 . (Και αυτό διότι η ταχύτητα σε πολικές συντεταγµένες έχει συνιστώσες )0,,( θ&& rr , ενώ η θέση )0,0,(r οπότε η στροφορµή είναι θ&2mr .). Συνεπώς

2mrL

=θ& . (3)

Η παραπάνω σχέση είναι ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα . Μαθαίνουµε ότι εάν ξέρουµε τη στροφορµή και την απόσταση του πλανήτη από τον Ήλιο τότε γνωρίζουµε και τη

γωνιακή του ταχύτητα. Επίσης επειδή το 2mrL έχει σταθερό πρόσηµο ο πλανήτης

πρέπει να περιστρέφεται πάντοτε γύρω από τον ήλιο µε την ίδια φορά. Ο πλανήτης δεν µπορεί να αντιστρέψει την πορεία του, αν το έκανε η στροφορµή δεν θα ήταν διατηρήσιµο µέγεθος! Αντικαθιστώντας την (3) στην (1) λαµβάνουµε µία εξίσωση ως προς r :

)(132

2

rFrm

Lrm =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−&& .

'Εστω ότι γνωρίζουµε τη τροχιά )(θrr = , θα προσδιορίσουµε τη δύναµη που ασκείται στον πλανήτη. Θα µπορούσαµε κατευθείαν µε παραγωγίσεις χρησιµοποιώντας και τη σχέση (3) να καταλήξουµε στη δύναµη. Υπάρχει όµως µία αντικατάσταση η οποία καθιστά αυτή τη διαδικασία ιδιαιτέρως κοµψή. Θεωρούµε ως µεταβλητή την γωνιακή ταχύτητα: θ&ru = . Τότε λόγω της (3) έχουµε ότι

mrLu = ,

και επειδή από τη (3) L

mu 2

=θ& , θα έχουµε:

uddrr ′−== θθ&&

όπου ο τόνος συµβολίζει παραγώγιση ως προς τη γωνία θ . Οµοίως βρίσκουµε ότι:

uuLmr ′′−= 2&& ,

οπότε η χρονικά εξαρτώµενη ακτινική εξίσωση κίνησης µετατρέπεται σε διαφορική εξίσωση της τροχιάς:

22

)(u

ufmLuu −=+′′ , (4)

όπου )()( rFuf ≡ , ο νόµος της δύναµης εκφρασµένος στη µεταβλητή u . Επανερχόµαστε στο πρόβληµα που αντιµετώπιζε ο Νεύτωνας: εάν η τροχιά των πλανητών γύρω από τον ήλιο σύµφωνα µε τις παρατηρήσεις του Κέπλερ είναι ελλειπτική µε τον Ήλιο στη µία εστία της έλλειψης τότε να προσδιορισθεί η δύναµη που ασκείται µεταξύ των πλανητών και του Ήλιου. Χρειάζεται να γράψουµε την εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγµένες. Η εξίσωση της έλλειψης µε τον Ήλιο σε µία από της εστίες σε πολικές συντεταγµένες είναι:

θcos1 epr

+= µε 1<e . (5)

Η παραπάνω εξίσωση δίνει την εξίσωση όλων των κωνικών τοµών. Η παράµετρος e λέγεται εκκεντρότητα και για την έλλειψη είναι 1<e , για την παραβολή 1=e , και για την υπερβολή 1>e . Ο κύκλος προκύπτει όταν 0=e . Η εξίσωση της έλλειψης (5)

γράφεται ως προς τη µεταβλητή u : ( )θθ cos1)( epmLu += και αντικαθιστώντας στην

(4) έχουµε ότι 22

)(u

ufmL

pmL

−= και συνεπώς 2)( upmuf −= , δηλαδή η δύναµη που

απαιτείται για να είναι η τροχιά ελλειπτική είναι:

2

2

)(rkrF −= όπου

mpLk

22 = (6)

∆ηλαδή για να είναι η τροχιά του πλανήτη ελλειπτική µε τον Ήλιο στη µία εστία η δύναµη πρέπει να είναι ελκτική και να είναι αντίστροφος του τετραγώνου της απόστασης από τον Ήλιο. Για να φθάσουµε στη τελική διατύπωση του νόµου της βαρύτητας του Νεύτωνα θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε και τον τρίτο νόµο του Κέπλερ σύµφωνα µε τον οποίο

CaT =32 / , όπου C µία σταθερά , T η περίοδος του πλανήτη γύρω από τον ήλιο και a ο µεγάλος ηµιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς. Ο νόµος αυτός του Κέπλερ διαφέρει

από τους άλλους δύο διότι αφορά την κίνηση όλων των πλανητών του ηλιακού συστήµατος και µας δίνει τη πληροφορία ότι η σταθερά C είναι η ίδια για τη Γη, τον Άρη, τον ∆ία κ.λ.π. Η πληροφορία αυτή θα αξιοποιηθεί για να καταλήξουµε στο νόµο της παγκόσµιας βαρύτητας του Νεύτωνα.

Υπολογίζουµε πρώτα την περίοδο περιστροφής ενός πλανήτη περί τον ήλιο. Επειδή σε µία περιστροφή η επιβατική ακτίνα του πλανήτη περιγράφει όλη την έλλειψη σαρώνει σε µία περίοδο το εµβαδόν της έλλειψης που δίνεται από

abA π= , όπου a ο µεγάλος ηµιάξονας και

21 eab −= ο µικρός ηµιάξονας της έλλειψης. Επειδή όµως από το δεύτερο νόµο του Κέπλερ ο ρυθµός σάρωσης του

εµβαδού είναι σταθερός και δίνεται από mL

dtdA

2= θα έχουµε ότι

mLTT

dtdAabA

2=== π , δηλαδή 22 12 ea

LmT −=π . Πρέπει να εκφράσουµε τον

µεγάλο ηµιάξονα συναρτήσει των παραµέτρων της έλλειψης ),( ep . Η ελάχιστη

απόσταση του πλανήτη από τον Ήλιο (το περιήλιο) είναι e

pr+

=1min , ενώ η µέγιστη

(το αφήλιο) e

pr−

=1max , οπότε (βλ. σχήµα) 21 e

pa−

= .

Συνεπώς 2/32/12 apLmT π

= , και επειδή από τη (6) mkL

p 12/1

= η περίοδος

περιστροφής θα είναι: 2/32 a

kmT π=

δηλαδή πράγµατι όταν η κίνηση είναι ελλειπτική το τετράγωνο της περιόδου είναι ανάλογο µε το κύβο του µεγάλου ηµιάξονα. Αλλά όπως ήδη αναφέραµε ο τρίτος νόµος

του Κέπλερ µας πληροφορεί επιπλέον ότι η ποσότητα 2km είναι σταθερά για όλους του

πλανήτες δηλαδή για δύο πλανήτες µάζας 1m , 2m θα πρέπει να ισχύει συµφώνως µε τον τρίτο νόµο του Κέπλερ:

22

22

1

1

km

km

= ,

δηλαδή θα πρέπει )(2Hii Mfmk = , όπου im η µάζα του πλανήτη και f µία σταθερά

την οποία θεωρούµε ότι εξαρτάται από τη µάζα του Ήλιου. Έχουµε δηλαδή ότι η

ελκτική δύναµη που ασκείται από τον Ήλιο σε κάποιο πλανήτη έχει µέτρο:

2

)(rMmfF H= . Από το τρίτο νόµο του Νεύτωνα όµως και εφόσον ισχύει ο ίδιος νόµος

αλληλεπίδρασης θα πρέπει αυτή η δύναµη να είναι ίση και αντίθετη στη δύναµη που ασκείται από τον πλανήτη στον Ήλιο, θα πρέπει δηλαδή: )()( mfMMmf HH = δηλαδή

Gmmf =)( , όπου G µία σταθερά του ηλιακού µας συστήµατος. Ο νόµος της έλξης µεταξύ των πλανητών στο ηλιακό µας σύστηµα και του Ήλιου λαµβάνει έτσι τη γνώριµη µορφή:

2rmM

GF H= .

Ο Νεύτων έκανε βεβαίως άλλο ένα βήµα, πέρα από τα πειραµατικά δεδοµένα, και πρότεινε ότι ο νόµος αυτός διέπει τη βαρυτική αλληλεπίδραση µεταξύ δύο οποιονδήποτε σωµάτων και πρότεινε ότι η G είναι µία παγκόσµια σταθερά. Παρατηρούµε ότι στο νόµο της βαρυτικής έλξης που καταλήξαµε υπεισέρχονται οι αδρανειακές µάζες. Βεβαίως αυτό δεν µπορεί να ληφθεί ως απόδειξη ότι οι βαρείες µάζες ισούνται µε τις αδρανειακές, διότι αυτό προϋποθέτει ότι ανυψώνουµε τους νόµους του Κέπλερ σε θεµελειακούς νόµους της φύσης. Αλλά αυτό δεν είναι αληθές. Θεωρήσαµε τον Ήλιο ακλόνητο στο στερέωµα και αµελήσαµε την αλληλεπίδραση µεταξύ των πλανητών. Αν ο Κέπλερ είχε ακριβότερες παρατηρήσεις θα διαπίστωνε ότι ο λόγος του τετραγώνου της περιόδου ως προς τον κύβο του µεγάλου ηµιάξονα δεν είναι ακριβώς σταθερός. Για τον Ερµή ο λόγος αυτός είναι 2.510 (σε µονάδες

2319 /10 dkm , d µία Γήινη ηµέρα), για την Αφροδίτη 2.509, για τη Γη 2.509, τον Άρη 2.508, τον ∆ία 2.511, τον Ουρανό 2.510, τον Ποσειδώνα 2.512. Επίσης ακριβείς παρατηρήσεις της κίνησης του Ερµή έχουν δείξει ότι το περιήλιο του πλανήτη αλλάζει θέση, µεταπίπτει, κατά 7559 ′′ κάθε 100 χρόνια. Το µεγαλύτερο µέρος της µετάπτωσης αυτής, εκτός από /34 ′′ αιώνα, µπορεί να εξηγηθεί λαµβάνοντας υπόψη την αλληλεπίδραση του πλανήτη µε τους υπόλοιπους πλανήτες, αλλά αυτό δεν αρκεί. Με τη γενική θεωρία της σχετικότητας, η οποία προβλέπει µία µικρή διόρθωση στο νόµο της βαρύτητας, µπορεί να εξηγηθούν τα υπολειπόµενα 34 ′′ . ∆εν µπορεί παρά να αναρωτηθούµε: αν ο Κέπλερ διέθετε τις σηµερινές παρατηρήσεις θα διατύπωνε τους νόµους του οι οποίοι είχαν καταλυτική σηµασία στην ανάπτυξη της Φυσικής;

Βαρυτική έλξη µεταξύ των ουρανίων σωµάτων Μέχρι τώρα, θεωρήσαµε ότι οι πλανήτες είναι σηµειακές µάζες που

περιφέρονται γύρω από έναν ακλόνητο Ήλιο σε τροχιές σύµφωνα µε τους νόµους που πρωτοπεριέγραψε ο Κέπλερ. Φυσικά µια τέτοια θεώρηση απέχει πολύ από την πραγµατικότητα. Τα κυρίως σώµατα του ηλιακού µας συστήµατος είναι κατά πολύ καλή προσέγγιση σφαίρες και όχι σηµειακές µάζες. Ισχύει ο νόµος της παγκόσµιας

έλξης και για σφαίρες; Ας το ελέγξουµε για την περίπτωση ενός σφαιρικού φλοιού και µιας σηµειακής µάζας. Θα θεωρήσουµε ένα σφαιρικό φλοιό µε επιφανειακή πυκνότητα σ σε απόσταση a από µια σηµειακή µάζα m . Θα µπορούσαµε να υπολογίσουµε τη

α y R θ

δύναµη που ασκείται στη σηµειακή µάζα, ολοκληρώνοντας όλες τις στοιχειώδεις δυνάµεις που ασκούνται στη σηµειακή µάζα από κάθε απειροστό τµήµα της επιφάνειας. Ένας τέτοιος υπολογισµός είναι σχετικά δύσκολος αφού η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι διανυσµατική. Έτσι λοιπόν θα καταφύγουµε σε έναν εναλλακτικό τρόπο υπολογισµού αρκετά απλούστερο: θα υπολογίσουµε τη δυναµική ενέργεια µεταξύ των δύο σωµάτων και µέσω αυτής θα υπολογίσουµε την αµοιβαία έλξη τους µε µια απλή παραγώγιση (περισσότερα σχετικά µε την έννοια της δυναµικής ενέργειας και του δυναµικού θα δούµε αργότερα). Η δυναµική ενέργεια, όντας βαθµωτή ποσότητα, υπολογίζεται αρκετά ευκολότερα. Θα τµήσουµε τη σφαίρα σε δακτύλιους κάθετους στη διάκεντρο των δύο µαζών. Ο κάθε τέτοιος δακτύλιος µάζας dM συνεισφέρει στη δυναµική ενέργεια των δύο σωµάτων κατά

ydMGmdU −= ,

αφού όλη η µάζα αυτού βρίσκεται σε απόσταση y από τη σηµειακή µάζα. Προσθέτοντας τις δυναµικές ενέργειες όλων αυτών των δακτυλίων έχουµε

∫ ∫ ∫−=−=−= θθπσσ Rdy

RGmydSGmdM

yGmU sin2 .

Αφού όµως θcos2222 aRRay ++= , ydydaR 2sin2 =θθ , οπότε

∫−= dyaRGmU πσ2 .

Αν η µάζα m βρίσκεται εντός της σφαίρας η ολοκλήρωση ∫ dy δίνει a2 , ενώ αν βρίσκεται εκτός της της σφαίρας δίνει R2 . Συνολικά λοιπόν, αν λάβουµε υπόψη ότι

MR =24πσ ,

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<×−=

Raa

RaRGmMUαν,1αν,1

.

Η δύναµη λοιπόν µε την οποία έλκονται οι δύο µάζες ( UF ∇−=rr

), θα είναι

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<= Ra

aGmM

RaF αν,

αν,0

2

.

α) Όπως βλέπετε τα δύο σώµατα έλκονται ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο ωσάν να ήταν δύο σηµειακές µάζες σε απόσταση α µεταξύ τους. Και φυσικά το ίδιο ισχύει ακόµη και αν ήταν η µια, αντί σφαιρικού φλοιού, συµπαγής σφαίρα, αφού ο κάθε φλοιός στον οποίο θα µπορούσαµε να διαιρέσουµε αυτή θα ασκούσε στη σηµειακή µάζα έλξη όση αν όλη η µάζα του κάθε φλοιού συγκεντρωνόταν στο κέντρο του. Η ιδιότητα αυτή, µια συµπαγής σφαίρα δηλαδή να ασκεί έλξη όση αν όλη η µάζα της να βρισκόταν στο κέντρο της, µολονότι µπορεί να φαίνεται τετριµµένη δεν είναι. Πρόκειται για συνέπεια της σφαιρικής συµµετρίας· για παράδειγµα για έναν συµπαγή κύβο δεν θα ίσχυε η παραπάνω ιδιότητα.

β) Ένα δεύτερο, µη αναµενόµενο ίσως, αποτέλεσµα της ανάλυσής µας είναι το γεγονός της απουσίας δύναµης στο εσωτερικό του σφαιρικού φλοιού· συνέπεια και πάλι της σφαιρικής συµµετρίας. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε αρκετά εύκολα να

πιστούµε µε γεωµετρικά επιχειρήµατα πώς έτσι πράγµατι είναι. Αν αποκόψουµε από τον σφαιρικό φλοιό τις τοµές δύο κατά κορυφή κώνων απειροστού

r1

r2

θ

θ

dm1=σdS1

dm2=σdS2

ανοίγµατος, µε κορυφή ένα τυχαίο σηµείο εντός της σφαίρας, µε το φλοιό (βλ. Σχήµα), οι δύο αυτές απειροστές επιφάνειες ασκούν σε µια µάζα M που θα τοποθετήσουµε στην κορυφή των κώνων αντίθετες δυνάµεις µε µέτρο:

22,1

2,12

2,1

2,12,1 r

dSGM

rGMdm

F σ== ,

αντίστοιχα. Όµως θcos

22,1

2,1

rddS

Ω= , οπότε οι δύο δυνάµεις είναι ίσες και αντίθετες και

αλληλοαναιρούνται (οι γωνίες θ είναι ίδιες και για τις δύο στοιχειώδεις µάζες αφού πρόκειται για τις γωνίες µεταξύ µιας χορδής και των ακτίνων που περνούν από τα άκρα αυτής). Στρέφοντας στη συνέχεια τους κώνους ώστε να καλύψουµε ολόκληρη τη σφαιρική επιφάνεια καταλήγουµε σε µηδενική συνολική βαρυτική δύναµη στο εσωτερικό του φλοιού. Αντίστοιχα για µια συµπαγή σφαίρα, βαρυτική δύναµη στο εσωτερικό αυτής θα ασκεί µόνο η σφαίρα στο εσωτερικό του υποτιθέµενου σηµείου, ενώ τα υπερκείµενα στρώµατα δεν θα συνεισφέρουν καθόλου.

Ακόµη όµως δεν είµαστε σε θέση να ανταλλάξουµε τα ουράνια σώµατα-σφαίρες µε σηµειακές µάζες αφού το µόνο που γνωρίζουµε είναι πώς αλληλεπιδρούν οι σφαιρικές µάζες (µε ισοτροπική εννοείται κατανοµή µάζας) µε σηµειακές µάζες. Εδώ ακριβώς βρίσκεται η αξία του 3ου νόµου του Νεύτωνα. Όσον αφορά την κίνηση της σφαίρας 2 εξαιτίας της βαρυτικής της αλληλεπίδρασης µε τη σφαίρα 1, µπορούµε να εξαφανίσουµε τη σφαίρα 1 και στη θέση της να τοποθετήσουµε µια σηµειακή µάζα στο κέντρο αυτής µε µάζα όση ολόκληρη η σφαίρα 1. Τότε στην κάθε στοιχειώδη µάζα της σφαίρας 2 θα ασκείται η έλξη από τη σηµειακή πλέον µάζα 1. Όπως έχουµε µάθει κατά την ανάλυση συστηµάτων που αποτελούνται από πολλά σωµατίδια, το κέντρο µάζας αυτών θα κινείται µε επιτάχυνση ίση µε τη συνολική εξωτερική δύναµη που ασκείται σε αυτά δια τη συνολική τους µάζα. Έτσι το κέντρο µάζας της 2, δηλαδή το γεωµετρικό κέντρο αυτής, θα κινείται µε επιτάχυνση ίση µε τη συνολική βαρυτική δύναµη που δέχεται από τη σηµειακή µάζα 1, δια τη µάζα της 2. Αλλά η συνολική δύναµη έλξης της 2 από την 1 είναι ίση και αντίθετη µε τη συνολική δύναµη έλξης της 1 από τη 2, και αφού η 1 είναι σηµειακή και η 2 σφαιρική, είναι ίση κατά µέτρο µε

221

amGm . Συνεπώς η επιτάχυνση του κέντρου της 2 είναι:

21

212

21

12 rr

rrrr

Gmr rr

rr

rr&&r

−−

−= .

Προσέξτε ότι η επιτάχυνση της 2 δεν εξαρτάται από τη µάζα της 2 (αποτέλεσµα του ότι η µάζα αδράνειας και η βαρυτική µάζα είναι ίσες – πρόκειται για πειραµατικά επιβεβαιωµένο αποτέλεσµα). Τα διανύσµατα 21 , rr rr δίδουν τις θέσεις των κέντρων των δύο σφαιρών, ενώ το δεξιό κλάσµα της παραπάνω σχέσης είναι απλώς ένα µοναδιαίο διάνυσµα που «κοιτάζει» από το κέντρο της 2 προς το κέντρο της 1 (ελκτική δύναµη). Αντίστοιχη σχέση µπορούµε να γράψουµε και για την επιτάχυνση της 1. Με άλλα λόγια οι δύο σφαίρες κινούνται σαν να ήταν σηµειακές µάζες που έλκονται µε τη δύναµη της παγκόσµιας έλξης. Εποµένως µπορούµε να ξεχάσουµε τις διαστάσεις των ουρανίων σωµάτων τουλάχιστον στην προσέγγιση που θεωρούµε αυτά σφαίρες. Στην πραγµατικότητα η µη ακριβής σφαιρικότητα των πλανητών δηµιουργεί κάποια πολυπλοκότητα στις τροχιές αυτών καθώς επίσης και των δορυφόρων τους αλλά και αυτές µπορούν εύκολα να µελετηθούν ως διορθώσεις στις ελλειπτικές τροχιές που είδαµε σε προηγούµενη διάλεξη.

Τέλος, τι διορθώσεις επιβάλλει η πεπερασµένη µάζα του Ήλιου στη θεώρηση των ελλειπτικών τροχιών; Για ευκολία θα θεωρήσουµε αρχικά µόνο τον Ήλιο (µάζα 1)

και έναν πλανήτη (µάζα 2). Όπως είδαµε µπορούµε να αγνοήσουµε τις διαστάσεις αυτών ενόσω δεν έρχονται σε επαφή. Θα ισχύει λοιπόν ότι:

21

122

21

21 rr

rrrr

Gmr rr

rr

rr&&r

−−

−= ,

21

212

21

12 rr

rrrr

Gmr rr

rr

rr&&r

−−

−= .

Λόγω απουσίας άλλων δυνάµεων εκτός της µεταξύ τους έλξης, το κέντρο µάζας αυτών θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα ως προς κάποιο σύστηµα αναφοράς. Μπορούµε λοιπόν να υποθέσουµε ότι οι θέσεις των σωµάτων είναι µετρηµένες στο σύστηµα του κέντρου µάζας, το πιο λογικό σύστηµα για να αναλύσει κανείς την κίνηση των σωµάτων (σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακό σύστηµα θα πρέπει να προσθέσουµε µια σταθερή ταχύτητα στην κίνηση των σωµάτων). Όσο για τη σχετική θέση των δύο σωµάτων 12 rrr rrr

−≡ , θα έχουµε

rr

rmmGr

r&&r

221 )( +

−= . (1)

Πρόκειται ακριβώς για την επιτάχυνση ενός σωµατιδίου εξαιτίας ενός βαρυτικού κέντρου µάζας 21 mm + , η οποία οδηγεί σε ελλειπτική τροχιά γύρω από αυτό όπως έχουµε δει. Η έλλειψη αυτή δεν περιγράφει την τροχιά κανενός από τα δύο σώµατα, αφού αφορά τη σχετική θέση των δύο σωµάτων αλλά µε αρχή το κέντρο µάζας. Οι θέσεις των δύο σωµάτων είναι συγκεκριµένα κλάσµατα της σχετικής θέσης rr

( rmm

mr rr

21

12 += , r

mmmr rr

21

21 +

−= ), εποµένως τα δύο σώµατα κινούνται και αυτά σε δύο

συνεστιακές ελλείψεις (µε κοινή εστία το κέντρο µάζας) όµοιες της έλλειψης που διαγράφει το rr .

Ήµασταν λοιπόν τόσο τυχεροί και παρά τις προσεγγίσεις των σωµάτων του Ηλιακού µας συστήµατος µε σηµεία και του Ήλιου ώς ακλόνητου να φθάσαµε ακριβώς σε σωστά αποτελέσµατα; Περίπου· µόνο που η τύχη µας, ή καλύτερα αυτή του Κέπλερ που έκανε τις πρώτες σχετικές αστρονοµικές παρατηρήσεις βρίσκεται στο ότι το Ηλιακό µας σύστηµα είναι όπως είναι και στο ότι οι παρατηρήσεις του ...δεν ήταν και πολύ ακριβείς. Πιο συγκεκριµένα, οι τροχιές είναι πράγµατι ελλείψεις, η σάρωση της επιβατικής ακτίνας των πλανητών γίνεται µε σταθερό ρυθµό -γύρω από το κέντρο µάζας βέβαια-, αλλά ο κύβος του µεγάλου ηµιάξονα (το µισό δηλαδή της µέγιστης απόστασης του εκάστοτε πλανήτη από τον Ήλιο) δια το τετράγωνο των περιόδων δεν είναι ίδιο για όλους τους πλανήτες παρά είναι ανάλογο της συνολικής µάζας του πλανήτη και του Ήλιου (βλέπε τη σχέση (1) και παράβαλλέ τη µε την αντίστοιχη σχέση όταν θεωρήσαµε συγκεκριµένο ελκτικό κέντρο προκειµένου να βρούµε τη σχέση µεταξύ τροχιάς και είδους κεντρικής δύναµης). Έτσι λοιπόν ο λόγος αυτός είναι στην πραγµατικότητα

Πλανήτης α3/Τ2 (σε 1019 km3/days2)

Ερµής 2.510

Αφροδίτη 2.509

Γη 2.509

Άρης 2.508

∆ίας 2.511

Κρόνος 2.510

Με εξαίρεση την περίπτωση του Ερµή, οι υπόλοιποι λόγοι είναι ανάλογοι του αθροίσµατος της µάζας του Ήλιου και του πλανήτη34. Ευτυχώς, µάλλον, οι υπολογισµοί του Κέπλερ δεν διέθεταν αυτή την ακρίβεια, και µέσω της διατύπωσης των τριών φερώνυµων νόµων, οδήγησαν αργότερα το Νεύτωνα στη διατύπωση του νόµου της Παγκόισµιας έλξης. Μέχρι σήµερα ο νόµος αυτός έχει ελεγχθεί από τις κοσµικές διαστάσεις (όπου γίνεται ιδιαίτερα έκδηλος) µέχρι και σε αποστάσεις της τάξης του µικροµέτρου. Η διατύπωση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας αν και ανασκεύασε ολοκληρωτικά το θεωρητικό πλαίσιο της βαρύτητας εξακολουθεί να προβλέπει το γνωστό νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου για συνήθεις συµπυκνώσεις της ύλης.

Σκέδαση - Ενεργός διατοµή

Σε προηγούµενη διάλεξη µάθαµε ότι οι τροχιές σωµατιδίων στο βαρυτικό πεδίο µιας σηµειακής ή σφαιρικά συµµετρικής κατανοµής µάζας είναι γενικά κάποια κωνική τοµή. Ειδικά στην περίπτωση των πλανητών µάθαµε ότι οι τροχιές είναι ελλειπτικές και αναλύσαµε περεταίρω τα διάφορα χαρακτηριστικά αυτών. Τι είναι όµως αυτό που διαφοροποιεί την τροχιά και την καθιστά περισσότερο ή λιγότερο ελλειπτική ή ακόµη ακόµη και παραβολή ή υπερβολή (τα άλλα είδη των κωνικών τοµών); Μα φυσικά οι αρχικές συνθήκες· µια πέτρα που πετάτε από την επιφάνεια της Γης διαγράφει στην πραγµατικότητα ένα τόξο µιας πολύ έκκεντρης έλλειψης (η παραβολική τροχιά που µαθαίνουµε είναι στην πραγµατικότητα προσέγγιση λόγω του µικρού µεγέθους του τόξου), ένας πύραυλος αν εκτοξευθεί µε πολύ µεγάλη ταχύτητα µπορεί να εκτελέσει ελλειπτική, ή ακόµη παραβολική ή υπερβολική τροχιά και να ξεφύγει εντελώς από το βαρυτικό πεδίο της Γης. Μια άλλη παράµετρος, άµµεσα συνδεδεµένη µε τις αρχικές συνθήκες της κίνησης, που µπορεί να αποκαλύψει το είδος της τροχιάς είναι η συνολική ενέργεια του κινούµενου σώµατος

rGMmmuE −= 2

21 ,

η οποία ως γνωστό διατηρείται. Αν η συνολική ενέργεια είναι αρνητική, τότε αυτόµατα συνεπάγεται ότι η τροχιά είναι πεπερασµένου εύρους αφού αν εκτεινόταν στο άπειρο η δυναµική ενέργεια θα µηδενιζόταν και η κινητική ενέργεια το πολύ πολύ να µηδενιζόταν. Η µοναδική όµως πεπερασµένου εύρους κωνική τοµή είναι η έλλειψη. Αν η συνολική ενέργεια είναι µηδενική τότε η ταχύτητα του σώµατος στο άπειρο είναι µηδενική. Τι εκκεντρότητα θα έχει η τροχιά αυτή; ∆εδοµένου ότι σε κάθε περίπτωση η

τροχιά θα έχει τη γενική µορφή θε cos1+

=pr , οι δύο συνιστώσες της ταχύτητας θα

είναι: ( )2cos1

sinθεθθε

+=

&&

pr και θε

θθcos1+

=&

& pr . Επίσης βάσει της σταθερής στροφορµής

34 Στην πραγµατικότητα η ύπαρξη περισσοτέρων των δύο σωµάτων καθιστά την κατάσταση αρκετά πιο περίπλοκη και ειδικότερα η κίνηση του ∆ία, του µεγαλύτερου πλανήτη, επηρεάζει σηµαντικά την κίνηση των υπόλοιπων πλανητών. Επιπλέον η γειτνίαση του Ερµή στον Ήλιο κάνει την τροχιά αυτού ακόµη πιο περίπλοκη ως άµεση εκδήλωση της µη ακριβούς σφαιρικότητας του Ήλιου.

έχουµε ότι 2

2

2

)cos1(mp

Lmr

L θεθ +==& . Έτσι το τετράγωνο της ταχύτητας θα είναι

[ ]θεε cos21 22

2 ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mpLu . Η ποσότητα αυτή θα πρέπει να µηδενίζεται όταν

∞→r , δηλαδή όταν εθ /1cos −→ . Εποµένως θα πρέπει 012 =−ε και εφόσον η εκκεντρότητα είναι θετικός αριθµός, 1=ε . Η τροχιά σε αυτή την περίπτωση είναι παραβολή. Τέλος, µε ανάλογα επιχειρήµατα µπορούµε να δείξουµε ότι όταν 0>E , η τροχιά είναι υπερβολή. Συνοπτικά, αν η ενέργεια είναι αρνητική το σύστηµα είναι δέσµιο, ενώ αν είναι θετική, αργά ή γρήγορα το σύστηµα θα διαλυθεί. [Υπολογείστε τη συνολική ενέργεια στην περίπτωση κυκλικής κίνησης.]

Στη συνέχεια θα µελετήσουµε τις τροχιές σωµάτων που έρχονται από το άπειρο µε κάποια συγκεκριµένη ταχύτητα και περνούν κοντά σε κάποιο πλανήτη. Πόσο θα αποκλίνουν; Μια συγκεκριµένη δέσµη από αυτά (π.χ. µια βροχή µετεώρων) τι κατανοµή θα έχει µετά το πέρασµά της από το βαρυτικό πεδίο του πλανήτη; Θα µελετήσουµε την κίνηση των σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς του πλανήτη, το οποίο ναι µεν δεν είναι αδρανειακό αλλά για το χρονικό διάστηµα που τα σωµατίδια αλληλεπιδρούν έντονα µε το πεδίο του πλανήτη µπορούµε να υποθέσουµε πως αυτός κινείται µε σταθερή ταχύτητα.

Έστω ένα σωµατίδιο (αρκετά µικρό σε σχέση µε τον πλανήτη ώστε να θεωρούµε τον δεύτερο ακλόνητο) σε άπειρη απόσταση από τον πλανήτη κινούµενο µε ταχύτητα

0u προς αυτόν. Αν δεν υπήρχε ο πλανήτης το σωµατίδιο θα πέρναγε σε απόσταση b από αυτόν. Η κοντινότερη απόσταση που θα φτάσει από το κέντρο του πλανήτη δίνεται από τη λύση της εξίσωσης

2

0minmin

20 2

121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= u

rbm

rGMmmu , (1)

η οποία εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας, ενώ ο τελευταίος όρος µέσα στην παρένθεση είναι η ταχύτητα του σώµατος στην πλησιέστερη απόσταση, που µπορεί να γραφεί έτσι εξαιτίας της διατήρησης της στροφορµής (στη θέση αυτή η ταχύτητα είναι κάθετη στην επιβατική ακτίνα, εποµένως η στροφορµή παίρνει απλά τη µορφή mur ). Επιπλέον, η πλησιέστερη απόσταση (βλέπε σχήµα) είναι προφανώς από την πολική

εξίσωση της υπερβολής ε+

=1min

pr . Η εξίσωση (1) λοιπόν παίρνει τη µορφή

)1(21)1(2

20 εε +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

pGM

pbu . (2)

Παρατηρώντας το σχήµα βλέπουµε ότι στο όριο που η γωνία θ τείνει στην οριακή της τιµή )/1(cos 1

0 εθ −= − , ταυτόχρονα br →− )sin( 0 θθ . ∆ηλαδή,

bp

⎯⎯ →⎯+

−→ 0cos1

)sin( 0θθθε

θθ.

Εφαρµόζοντας τον κανόνα του L’ Hospital, ή αλλιώς, το κλάσµα αυτό

τείνει στο 0sinθε

p , εποµένως

12 −= εbp , και αντικαθιστώντας το

b u0

r θ Θmax

rmin θ0

στην εξίσωση (2) καταλήγουµε ύστερα από κάποιες πράξεις στο ότι 22

01 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

GMbu

ε . (3)

Τέλος η γωνία εκτροπής maxΘ του σωµατιδίου από την αρχική του πορεία είναι πθ −02 , ή πιο απλά

εθπθ 1cos

2sin

2sin 00

max =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Θ. (4)

Ας θεωρήσουµε τώρα το µέτωπο της βροχής µετεώρων που κινούνται προς τον πλανήτη και βρίσκονται σε απόσταση από τον άξονα που περνά από το κέντρο του πλανήτη από b έως b+db. Η επιφάνεια του µετώπου αυτού είναι dbbd πσ 2= , και όλα τα σωµατίδια που «βλέπουν» σε αυτό το µέτωπο θα εξοστρακιστούν κατά γωνία

maxΘ περνώντας κοντά από τον πλανήτη, δηλαδή εντός µιας στερεάς γωνίας

maxmaxsin2 ΘΘ=Ω dd π (στο σχήµα λόγω πεπερασµένου µεγέθους δεν είναι εµφανής η ισότητα µεταξύ της γωνίας Θ του σχήµατος και της γωνίας εκτροπής – αν αποµακρυνόµασταν όµως σε µεγάλη απόσταση από το ελκτικό κέντρο αυτές οι δύο γωνίες θα συνέπιπταν). Από εδώ και πέρα θα αγνοήσουµε το δείκτη “max” αφού για κάθε τιµή του b αντιστοιχεί και µια ξεχωριστή γωνία εκτροπής. Από τις σχέσεις (3) και

(4) συνεπάγεται ότι 2

cot20

Θ=

uGMb και αντίστοιχα Θ

Θ−= d

uGMdb

)2/(sin1

2 220

. Η

επιφάνεια του µετώπου ανά µονάδα στερεάς γωνίας εκτροπής, η επονοµαζόµενη διαφορική ενεργός διατοµή (differential cross section) είναι λοιπόν

( )2/sin1

2sin 4

2

20 Θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ΘΘ=

Ω uGM

ddbb

ddσ .

Η απόλυτη τιµή έχει εισαχθεί προκειµένου να αποφευχθούν αρνητικές ποσότητες εξαιτίας του ότι όσο µεγαλώνει η απόσταση b, µικραίνει η γωνία εκτροπής ή σκέδασης Θ. Θεωρώντας ότι η βροχή των µετεώρων έχει σταθερή πυκνότητα, δηλαδή η ροή σωµατιδίων είναι ίδια σε κάθε µοναδιαία επιφάνεια κάθετη στην ταχύτητα αυτών κατά την προσέγγιση του πλανήτη, µετά την εκτροπή τους από το βαρυτικό πεδίο του πλανήτη θα έχουν διαφορετική πυκνότητα η οποία θα είναι ανάλογη της διαφορικής ενεργού διατοµής. Για να το καταλάβετε φαντασθείτε ότι κατά την πρόσπτωση έχουµε SNI /= (Ν σωµατίδια ανά επιφάνεια S κάθε δευτερόλεπτο). Σε µια απειροστή µετωπική επιφάνεια dS θα περνούν ΙdS σωµατίδια στη µονάδα του χρόνου και τα σωµατίδια αυτά θα εκτρέπονται όλα µέσα σε µια στερεά

γωνία Ω

=Ω

dd

dSdσ

. Εποµένως η

πυκνότητα σωµατιδίων ανά στερεά

γωνία εκτροπής θα είναι ίση µε Ωd

dI σ .

Παρατηρούµε ότι η πυκνότητα των σωµατιδίων θα είναι συγκριτικά πολύ-

σ=2πb db

Θ

dΘ

πολύ µεγαλύτερη στην αρχική κατεύθυνση κίνησης (πολύ µικρά Θ) απ’ ότι σε µεγάλες γωνίες εκτροπής (βλ. διάγραµµα). Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι τα σωµατίδια που θα περάσουν σε µεγάλη απόσταση από τον πλανήτη (η µεγαλύτερη πλειοψηφία δηλαδή) δεν θα εκτραπεί σχεδόν καθόλου από την αρχική δέσµη ενώ µόνο όσα περάσουν αρκετά κοντά στον πλανήτη θα εκτραπούν σηµαντικά. Ολοκληρώνοντας, τη διαφορική ενεργό διατοµή σε ολόκληρη τη στερεά γωνία γύρω από τον πλανήτη θα έχουµε µια εκτίµηση της συνολικής ενεργής µετωπικής επιφάνειας στην οποία θα κάνει αισθητή (βαρυτικά) την παρουσία του ο πλανήτης.

∫∫ ΘΘΘ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω

Ω=

π

πσσ0

4

2

0 )2/(sinsin

22 d

uGMd

dd .

Είναι εύκολο να διαπιστώσετε ότι η παραπάνω ποσότητα, η επονοµαζόµενη ενεργός διατοµή (cross section), στο συγκεκριµένο παράδειγµα που εξετάζουµε (τη βαρυτική σκέδαση) είναι άπειρη αφού η ολοκληρωτέα ποσότητα για µικρές γωνίες παίρνει τη µορφή 16/Θ3 οπότε το ολοκλήρωµα αποκλίνει στο µηδέν. Ο απειρισµός αυτός υποδηλώνει την άπειρη ενεργό εµβέλεια του πεδίου. Ενδεικτικά, ο λόγος της ενεργού διατοµής για γωνίες από 10ο έως 20ο προς την ενεργό διατοµή για γωνίες από 170ο έως 180ο και συνεπώς ο αντίστοιχος λόγος πυκνοτήτων των σωµατιδίων θα είναι περίπου 12866:1.

Οι έννοιες της ενεργού διατοµής χρησιµοποιούνται ευρύτατα στην πυρηνική φυσική, όπου η κατανοµή των βληµάτων-στοιχειωδών σωµατιδίων ύστερα από την κρούση τους µε κάποιο σωµατίδιο-στόχο είναι το εργαλείο που χρησιµοποιούν οι πειραµατικοί φυσικοί προκειµένου να µελετήσουν το δυναµικό πεδίο αλληλεπίδρασης του βλήµατος µε τον στόχο. Η δε ενεργός διατοµή για µια συγκεκριµένη πυρηνική αντίδραση, η οποία µετριέται σε barn (1 barn=10-24 cm2), µας δείχνει πόσο πιθανό είναι να γίνει η αντίδραση αυτή για µια δεδοµένη πυκνότητα δέσµης βληµάτων. Για παράδειγµα η εξαιρετικά µικρή ενεργός διατοµή των νετρίνων γενικά µε την ύλη ( barn10 20−≅νσ ) είναι αυτό που κάνει τη Γη διαφανή στα κοσµικά νετρίνα. Η χρήση των ενεργών διατοµών στις πυρηνικές αντιδράσεις είναι εφικτή εξαιτίας της πεπερασµένης εµβέλειας των πυρηνικών αντιδράσεων σε αντίθεση µε τη βαρυτική.

Ενεργό δυναµικό

Στην περίπτωση οποιασδήποτε αλληλεπίδρασης δύο σωµάτων γνωρίζουµε ότι η κίνηση αυτών µπορεί να αναλυθεί σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση του κέντρου µάζας των δύο σωµάτων και µια σχετική κίνηση ως προς το κέντρο µάζας. Έτσι αντί για 3+3 συντεταγµένες µε αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις κίνησης, έχουµε να επιλύσουµε µονάχα 3, αυτές που αφορούν τις τρεις συντεταγµένες της σχετικής θέσης των σωµάτων στο σύστηµα του κέντρου µάζας. Επιπλέον, αν η δύναµη αλληλεπίδρασης είναι κεντρική, η στροφορµή ως προς το κέντρο µάζας διατηρείται και εποµένως αφενός µεν τα σώµατα κινούνται σε ένα σταθερό επίπεδο, αφετέρου έχουµε µια διατηρούµενη ποσότητα, τη στροφορµή σταθ2 == θµ &rL (δείξτε ότι η στροφορµή ως προς το κέντρο µάζας παίρνει αυτή τη µορφή, όπου µ η ανηγµένη µάζα των σωµάτων, r η µεταξύ τους απόσταση και θ η γωνία στροφής του r στο σταθερό αυτό επίπεδο). Αν, τέλος, το πεδίο αλληλεπίδρασης είναι συντηρητικό, θα έχουµε

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++=+= )(

221)()(

21)(

21

2

222222 rV

rLrrVrrrVuEµ

µθµµ &&& .

Η ποσότητα εντός της τετράγωνης αγκύλης µπορεί να θεωρηθεί ένα νέο είδος δυναµικού οπότε η ακτινική τουλάχιστον κίνηση µπορεί να καθορισθεί ωσάν να επρόκειτο για ένα µονοδιάστατο πρόβληµα κίνησης. Η δε περιστροφική κίνηση µπορεί να βρεθεί αυτόµατα αν γνωρίζουµε το r ( 2/ rL µθ =& ). Το δυναµικό αυτό

2

2

2)(

rLrVVµεν +=

ονοµάζεται ενεργό δυναµικό (effective potential) και είναι αυτό που καθορίζει το είδος της τροχιάς των δύο σωµάτων. Εάν το ενεργό δυναµικό έχει τη µορφή πηγαδιού δυναµικού και η ενέργεια είναι τέτοια ώστε το αντίστοιχο σωµάτιο να βρίσκεται εγκλωβισµένο εντός αυτού, τότε η ακτινική κίνηση είναι ταλαντωτική µεταξύ δύο ακτίνων, οπότε αν συµπεριλάβουµε και την περιστροφή, η κίνηση περιορίζεται σε ένα κυκλικό δακτύλιο. Αν η ακτινική κίνηση δεν είναι φραγµένη προς τα επάνω τότε τα δύο σώµατα θα αποµακρυνθούν σε άπειρη απόσταση το ένα από το άλλο κινούµενα σπειροειδώς. Αν το επίπεδο της ενέργειας βρίσκεται στο ελάχιστο του ενεργού δυναµικού, η κίνηση είναι κυκλική αφού η ακτίνα r παραµένει σταθερή.

Το τµήµα του ενεργού δυναµικού 22 2/ rL µ ονοµάζεται φυγοκεντρικό δυναµικό αφού οφείλεται στην περιστροφή του ζεύγους σωµάτων και απειρίζεται σε µικρή απόσταση. Έτσι, αν το )(rV πηγαίνει πιο οµαλά από 2/1 r στο µηδέν, το φυγοκεντρικό δυναµικό δεν επιτρέπει µε κανένα τρόπο στα δύο σωµατίδια να πέσουν

το ένα επάνω στο άλλο. Μόνο αν ε+→ −⎯⎯→⎯ 2

2

0)(rkrV r , µε ε>0 τα δύο σωµατίδια θα

πλησιάσουν σπειροειδώς το ένα το άλλο και θα συγκρουστούν.

Για δυναµικές ενέργειες της µορφής λrkrV

2

)( −= , (η αρνητικότητα εξασφαλίζει

την ύπαρξη ελαχίστου στο ενεργό δυναµικό), αν λ>2 η κίνηση θα είναι σπειροειδής προσέγγιση, αν λ=1, όπως έχουµε δει (παγκόσµια έλξη), η κίνηση θα είναι ελειπτική. Αν 2>λ>1 το πηγάδι δυναµικού θα είναι πιο «οξύ» από το αντίστοιχο της βαρύτητας, οπότε η ακτινική ταλάντωση θα είναι πιο γρήγορη από την αντίστοιχη για το βαρυτικό πεδίο και η περιστροφή ακόµη πιο γρήγορη (αφού πάει σαν 1/r2) και η κίνηση θα είναι µια «έλλειψη» η οποία ολοκληρώνεται µετά από µια πλήρη

περιστροφή (βλ. σχήµα). Οι διαδοχικές αψίδες, όπως ονοµάζονται οι θέσεις που αντιστοιχούν στη µέγιστη και την ελάχιστη ακτίνα, βρίσκονται σε αυτή την περίπτωση, σε γωνία µεγαλύτερη από π.

Κατ΄αναλογία αν λ>1, η ακτινική ταλάντωση είναι πιο αργή, το ίδιο και η περιστροφή και η γωνία µεταξύ διαδοχικών αψίδων είναι µικρότερη από π (βλ. σχήµα). Μοναδική περίπτωση κλειστής τροχιάς εκτός του βαρυστικού τύπου δύναµης (για οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες) είναι αυτή του δυναµικού αρµονικού ταλαντωτή ( 22)( rkrV = ). Τότε η γωνία µεταξύ των διαδοχικών αψίδων είναι π/4 και η τροχιά

είναι έλλειψη µε κέντρο πλέον και όχι εστία το κέντρο της δύναµης. Μπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε την ελλειπτικότητα της κίνησης σε αυτή την περίπτωση αναλύοντας την κίνηση σε καρτεσιανές συντεταγµένες.

Σκεφθείτε σε τι τροχιά θα οδηγούµαστε αν υπήρχε ένα σηµείο ασταθούς ισορροπίας στο ενεργό δυναµικό και η ενέργεια ήταν τέτοια ώστε το σωµατίδιο να πλησίαζε οσοδήποτε κοντά στο σηµείο αυτό. Περίπτωση τέτοιου ενεργού δυναµικού έχουµε κοντά σε µια µαύρη τρύπα, και τέτοιου είδους τροχιές έχουν µελετηθεί τελευταία όσον αφορά τη ιδιαίτερη µορφή των βαρυτικών κυµάτων που είναι δυνατόν να εκπέµπουν τέτοια ζεύγη µαύρης τρύπας-αστέρα νετρονίων.

Αριθµητική ολοκλήρωση κίνησης πλανήτη περί τον Ήλιο Εξισώσεις κίνησης πλανήτη περί τον ήλιο:

xr

GMmdt

xdm 32

2

−= , yr

GMmdt

ydm 32

2

−= , όπου 22 yxr +=

Λαµβάνουµε τέτοιες µονάδες χρόνου ώστε 1=GM και θεωρούµε αρχικές συνθήκες 5.0)0( =x , 0)0( =y , 0)0( =xv , 63.1=yv .

Υπολογίζουµε την τροχιά ανά χρονικά διαστήµατα ε ως εξής: )2()()( εεε ++=+ tvtxtx x , )()2()2( tatvtv xxx εεε +−=+ , όπου )(tax η

επιτάχυνση στη διεύθυνση x τη χρονική στιγµή t . Η πρώτη τιµή της ταχύτητας υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες ως: )0()2/()0()2( xxx avv εε += . Οµοίως και για τη συντεταγµένη y . Έτσι προκύπτουν οι ακόλουθες διαδοχικές τιµές θέσης και ταχύτητας:

t x vx y vy 0 0.5000 -0.2000 0 1.6300

0.1000 0.4800 -0.5685 0.1630 1.5049 0.2000 0.4232 -0.8582 0.3135 1.2902 0.3000 0.3373 -1.0540 0.4425 1.0334 0.4000 0.2319 -1.1652 0.5458 0.7717 0.5000 0.1154 -1.2106 0.6230 0.5268 0.6000 -0.0057 -1.2087 0.6757 0.3078 0.7000 -0.1265 -1.1745 0.7065 0.1167 0.8000 -0.2440 -1.1186 0.7181 -0.0479 0.9000 -0.3558 -1.0484 0.7133 -0.1887 1.0000 -0.4607 -0.9688 0.6945 -0.3087 1.1000 -0.5576 -0.8831 0.6636 -0.4106 1.2000 -0.6459 -0.7937 0.6225 -0.4969 1.3000 -0.7252 -0.7018 0.5728 -0.5695 1.4000 -0.7954 -0.6084 0.5159 -0.6300 1.5000 -0.8563 -0.5142 0.4529 -0.6798 1.6000 -0.9077 -0.4195 0.3849 -0.7200 1.7000 -0.9496 -0.3245 0.3129 -0.7513 1.8000 -0.9821 -0.2293 0.2378 -0.7744 1.9000 -1.0050 -0.1340 0.1603 -0.7896 2.0000 -1.0184 -0.0385 0.0814 -0.7972 2.1000 -1.0223 0.0572 0.0017 -0.7974 2.2000 -1.0165 0.1531 -0.0781 -0.7900

Η τροχιά που προκύπτει έχει τη µορφή:

Όπως φαίνεται η περί-οδος είναι περί της 4.2 µονάδες χρόνου και ο µεγάλος ηµιάξονας έχει µήκος 0.761.

Βιβλιογραφία

1. «The Feynman Lectures on Physics» των Feynman, Leighton, Sands, τόµος Ι, (κεφάλαια: 4, 5, 7-14, 18-25) Addison-Wesley Pub. Co.

2. «Η χαµένη διάλεξη του Feynman» των David & Judith Goodstein, Εκδόσεις Κάτοπτρο.

3. «Θεωρητική Μηχανική Ι» του Φ. Χατζηιωάννου, σηµειώσεις-(φωτοτυπίa).

4. «Mechanics, Lectures on Theoretical Physics», του A. Sommerfeld, τόµος Ι, Academic Press.

5. «Principles of Mechanics» των J. L. Synge and B. A. Griffith, McGraw-Hill.

6. «Classical Mechanics – A Modern Perspective» των V. Barger and M. Olsson, McGraw-Hill.

7. «Κλασσική Μηχανική» του T.W.B. Kibble, ΟΕ∆Β. 8. «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» του I. Newton,

1686, µετάφραση του Motte 1729, επίβλεψη Cajori, Univ. of California Press.

9. «Newton’s Principia for the Common Reader» του Chandrasekhar, Oxford Press.

10. «Never at Rest» του R. Westfall, Cambridge Univ. Press (βιογραφία του Νεύτωνα). Ο ίδιος συγγραφέας έχει ξαναγράψει το βιβλίο σε µια πιο σύντοµη µορφή, αφαιρώντας όλες τις µαθηµατικές περιγραφές – κυκλοφορεί σε ελληνική µετάφραση: «Η ζωή του Ισαάκ Νεύτωνα», Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης.

11. «Dialogues concerning two new sciences» του Galileo, 1638, εκδ. Dover 1954.

12. «The Science of Mechanics», του E. Mach, 1886, εκδ. Open-Court. 13. «Matter & Motion» του C. Maxwell, εκδ. Dover. 14. «Introduction to Classical Mechanics», του A. Arya, 1990, εκδ.

Prentice Hall International.

1.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ 1

1.1 Η εννοια της διαφορικης διατοµης σκεδα-

σης

Εστω οτι µια παραλληλη δεσµη σωµατιδιων βοµ1αρδιζει καποιο στο-χο. Τα σωµατιδια αυτα στο πειραµα τουRutherford ειναι σωµατιδια α (πυ-ρηνες Ηλιου µε φορτιο +2e) και ο στοχος πυρηνες χρυσου (φορτιου +Ze,Z=79 ο αριθµος των πρωτονιων στον πυρηνα του χρυσου). Η παραλληληδεσµη χαρακτηριζεται απο τη ροη

που ειναι ο αριθµος σωµατιδιων που

προσπιπτει ανα µοναδα χρονου και ανα µοναδα επιφανειας καθετα στοστοχο (µοναδες ). Τα σωµατιδια αυτα θα σκεδασθουν (θα αλ-λαξουν πορεια) αφου αλληλεπιδρασουν µε το στοχο. Αν τοποθετησουµεµακρυα απο το στοχο καποιον ανιχνευτη επιφανειας, , στην πολικη γω-νια και στην αζιµουθιακη γωνια , τοτε µπορουµε να µετρησουµε τοναριθµο των σκεδασµενων σωµατιδιων, , που προσπιπτει σε αυτον τονανιχνευτη ανα µοναδα χρονου (µοναδες ). Ο αριθµος πουγενικα εξαρταται απο τη θεση του ανιχνευτη θα ειναι αναλογος της ροηςκαι µπορει να γραφει ως : !"# $

Η " που πολλαπλασιαζει την προσπιπτουσα ενταση ροης, , και εχειµοναδες επιφανειας (οπως προκυπτει απο διαστατικη αναλυση της πα-ραπανω εξισωσης), λεγεται διαφορικη ενεργος διατοµη του στοχου πουοδηγει σε σκεδαση στη επιφανεια στη θεση που βρισκεται ο ανιχνευ-της. Η ενεργος διατοµη "# ειναι η επιφανεια της παραλληλης δε-σµης (η το τµηµα της επιφανειας του στοχου) που καταληγει, αφου αλλη-λεπιδρασει µε το στοχο, στην επιφανεια του ανιχνευτη που βρισκεται στηθεση . Ο συνολικος αριθµος σωµατιδιων ανα µοναδα χρονου καιανα µοναδα επιφανειας που προσπιπτει στον ανιχνευτη και που µπορειπειραµατικα να µετρηθει ειναι % "&οπου η διαφορικη επιφανεια του ανιχνευτη που βρισκεται σε αποσταση %απο τον στοχο εκφραζεται µεσω της στερεας γωνιας, & ,ως ! % &'% )(+*-,. . Ολογος 0/1 µπορει να µετρηθει σε πειραµατα και επειδηκαι η ενταση

και η αποσταση του ανιχνευτη απο το στοχο % ειναι γνω-

στη µπορει να προκυψει πειραµατικα και η εξαρτηση της διαφορικης δια-τοµης "#+/1& απο τις γωνιες και .Η συνολικη ενεργος διατοµη"2 3 "2 3 "& &

προκυπτει απο την ολοκληρωση της διαφορικης διατοµης ως προς ολεςτις στερεες γωνιες &45(+*-,6 και ετσι υπολογιζεται η ενεργος επι-φανεια (διατοµη) του στοχου (καθετα στην κατευθυνση της ροης των σω-µατιδιων) που σκεδαζει τα σωµατιδια σε οποιαδηποτε κατευθυνση. Αν

2

b

È

dó

dÙ

Σχηµα 1.1: Στο σχηµα τα σωµατιδια που βρισκονται στον σκιαγραφη-µενο δακτυλιο επιφανειας " σκεδαζονται απο τον σφαιρικα συµµετρικοστοχο στη σφαιρικη ζ£ωνη πολικης γωνιας [ , 474 ]. Ο αριθµος τωνσωµατιδιων ανα µοναδα χρονου που προσπιπτει σε αυτη τη ζ£ωνη ειναι89" , οπου ο αριθµος των σωµατιδιων ανα µοναδα χρονου καιανα µοναδα επιφανειας που προσπιπτει στο στοχο. Η σφαιρικη ζ£ωνηαυτη αντιστοιχει σε στερεα γωνια &:<;>=?(+*-,. . Επειδη τα σωµατι-δια που εχουν παραµετρο κρουσης @ σκεδαζονται στη γωνια η ενερ-γος διατοµη, που ειναι η επιφανεια του δακτυλιου του σχηµατος, ειναι"<A;>=@?@ και συνεπ£ως η διαφορικη διατοµη δινεται απο τον τυπο"B/1&!4@DC @E/1FC /G(+*-,H . Η απολυτος τιµη εχει τοποθετηθει διοτι η δια-τοµη εχει παντοτε θετικο προσηµο, εν£ω η παραγωγος @E/1 µπορει ναεχει αρνητικο προσηµο, οπως π.χ. συµ1αινει σε σκεδαση οπου η δυναµηαλληλεπιδρασης ειναι απωστικη και ισχυροτερη οσο πιο κοντα διερχονταιτα σωµατιδια απο το στοχο οποτε µικροτερα @ οδηγουν σε µεγαλυτερη γω-νια σκεδασης .π.χ. ο στοχος ειναι µια σκληρη σφαιρα ακτινας I που βοµ1αρδιζεται µεσωµατιδια µε ρυθµο,

, τα οποια προσκρουουν ελαστικα σε αυτην, τοτε

ο συνολικος αριθµος των σκεδασµενων σωµατιδιων ανα µοναδα χρο-νου που θα σκεδαζονται σε οποιαδηποτε κατευθυνση θα ειναι προφαν£ωςJK=BI οποτε η συνολικη διατοµη της σκληρης σφαιρας ειναι "LM=BI , η τιµη πουαναµενεται διαισθητικα (αν δεν σας ειναι αυτο προφανες θα το αποδει-ξουµε στη συνεχεια).Ηαναλυση που καναµε αφορουσε σκεδαση απο ενα στοχο. ΑνεχουµεN οµοιους στοχους τοτε η ενεργος διατοµη και διαφορικη διατοµη πρεπει

να πολλαπλασιασθει µε το N .Στις περισσοτερες περιπτ£ωσεις η δυναµη αλληλεπιδρασης εχει σφαι-

ρικη συµµετρια. Στην περιπτωση αυτη ιδιος αριθµος σωµατιδιων κατα-

1.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ 3

φθανει σε καθε αζιµουθιακη γωνια και η γωνια σκεδασης για δυνα-µικο αλληλεπιδρασης ειναι συναρτηση µονο της αποστασης @ , που ονοµα-ζεται παραµετρος κρουσης (impact parameter) των προσπιπτοντων σωµα-τιδιων στο στοχο (βλ. Σχ. 1.1) και της ενεργειας των, O , (δεν εξαρταταιδηλαδη και απο τη αζιµουθιακη γωνια προσπτωσης στο στοχο). Ας υπο-θεσουµε αρχικα οτι υπαρχει µονοσηµατη σχεση µεταξυ @ και δηλαδησε καθε γωνια σκεδασης αντιστοιχει µια µονο @ . Αν γνωριζουµε τη συ-ναρτηση @P? , τοτε µπορουµε να εκφρασουµε τη διαφορικη διατοµη συ-ναρτησει αυτης της συναρτησης και η ενεργος διατοµη, "#? , ειναι συ-ναρτηση µονο της γωνιας σκεδασης . Η ενεργος διατοµη ειναι οµως εξορισµου η διαφορικη επιφανεια της προσπιπτουσας δεσµης που σκεδα-ζει τα σωµατιδια στην περιοχη της σφαιρας µε πολικο πλατος 27L.και αζιµουθιακο πλατος (το ακρι1ες πλατος δεν µας ενδιαφερει δι-οτι υποθεσαµε σφαιρικα συµµετρικο δυναµικο αλληλεπιδρασης και επο-µενως σε καθε θα σκεδασθει ισος αριθµος σωµατιδιων). Επειδη οµωςµονο τα σωµατιδια µε παραµετρο κρουσης @P? σκεδαζονται κατα γω-νια , ολα τα σωµατιδια που διερχονται απο το τµηµα του κυκλικου δα-κτυλιου µε παραµετρο κρουσης στο διαστηµα @QR@ 7S@ και αζιµουθιακοπλατος θα σκεδασθουν στην περιοχη της σφαιρας µε πολικο πλατος 27L. και αζιµουθιακο πλατος . Συνεπ£ως επειδη η επιφανεια αυ-του του τµηµατος του κυκλικου δακτυλιου ειναι @@ η ενεργος διατοµηθα ειναι "2T@@ $Επειδη &UT(+*-,6 θα εχουµε"& @(+*-,.FC ?/1@DCWV @DC @E/1FC(+*-,. $Η απολυτη τιµη εχει σηµειωθει στην παραπανω εκφραση διοτι η διατοµηεχει παντοτε θετικο προσηµο, εν£ω η παραγωγος @E/1 µπορει να εχει αρ-νητικο προσηµο, οπως π.χ. συµ1αινει σε σκεδαση οπου η δυναµη αλλη-λεπιδρασης ειναι ισχυροτερη οσο πιο κοντα διερχονται τα σωµατιδια στοστοχο, οποτε µικροτερα @ οδηγουν σε µεγαλυτερη γωνια σκεδασης .Με τον τυπο αυτο µπορουµε να υπολογισουµε τη διαφορικη διατοµη

για καθε αλληλεπιδραση µε δυναµικο XY % . Στη συνεχεια θα εξετασουµεδυο χρησιµα παραδειγµατα : την περιπτωση της σκληρης σφαιρας και τηςσκεδασης Rutherford.

1.1.1 Σκεδαση σε σκληρη σφαιρα

Θεωρηστε µια σκληρη σφαιρα ακτινας I . Τα σωµατιδια κινουνται ελευ-θερα στο χ£ωρο %[Z I , δεν µπορουν να εισχωρησουν εντος της σφαιραςκαι οταν προσπιπτουν στη σφαιρα ανακλ£ωνται. Η αλληλεπιδραση µε τησκληρη σφαιρα περιγραφεται απο το κεντρικο δυναµικο :XY % ]\_^ %a` I ;b %aZ I .

4

b è0

È

á

Σχηµα 1.2: Σωµατιδια σκεδαζονται ελαστικα απο µια ακληρη σφαιρα.Λογω της διατηρησης ενεργειας και στροφορµης η γωνια προσκρουσηςισουται µε τη γωνια ανακλασης.

Επειδη σε ενα τετοιο δυναµικο διατηρειται η στροφορµη, η κινηση τωνσωµατιδιων ειναι επιπεδη. Μπορειτε να δειτε µια επιπεδη διαδροµη ενοςσωµατιδιου που σκεδαζεται απο τη σφαιρα στο Σχ. 1.2. Η διατηρηση τηςενεργειας συνεπαγεται οτι αν αρχικα το προσπιπτον σωµατιδιο εχει µε-τρο ταχυτητας c και µετα την ανακλαση θα εχει ταχυτητα c . Επιπλεον ηστροφορµη του προσπιπτοντος σωµατιδιου µε παραµετρο κρουσης @ ειναιdTef@Rc . Συνεπ£ως επειδη η στροφορµη διατηρειται και µετα την κρουσηη στροφορµη θα ειναι ghef@Rc , και το σωµατιδιο µετα τη σκεδαση θακινειται επι της ευθειας που σχηµατιζει γωνια ανακλασης ιση µε τη γω-νια προσπτωσης, οπως αναµενεται να συµ1ει σε µια ελαστικη κρουση µεµια σκληρη επιφανεια. Για γωνια σκεδασης η γωνια i που σχηµατιζειη δεσµη των σωµατιδιων που σκεδαζονται σε αυτη τη γωνια µε την κα-θετο στην επιφανεια της σφαιρας στο σηµειο προσκρουσης θα ικανοποιειτη σχεση :5=kjK;1i . Επειδη δε η παραµετρος κρουσης που οδηγει σεσκεδαση σε γωνια ειναι@l!Im(+*-,Hi TIm(+*-,Ln =ojS; p !ImqrD(Q?/D;Dη διαφορικη διατοµη σκεδασης στη περιπτωση της σκληρης σφαιρας θαειναι : "& ?s @DC @E/1FC(+*-,6 I )qrD(>?/D;Dt(+*-,u?/D;D;G(+*-,6 I v $Προκυπτει δηλαδη το καταπληκτικο αποτελεσµα οτι η διαφορικη διατοµηεχει την ιδια τιµη για ολες τις γωνιες σκεδασης και συνεπ£ως οπουδηποτεκαι αν τοποθετηθει ενας ανιχνευτης θα δεχθει τον ιδιο αριθµο σκεδαζο-µενων σωµατιδιων. Αποδειξαµε δηλαδη οτι η σκεδαση σκληρης σφαιρας

1.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ 5

ειναι ισοτροπικη. Τονιζουµε οτι το συµπερασµα αυτο ειναι καταπληκτικοκαι καθε αλλο απο προφανες.Μπορουµε αµεσως να υπολογισουµε τη συνολικη διατοµη για σκεδαση

σε σκληρη σφαιρα : "2 3 "L 3 "& &U v = I vοπου η ολοκληρωση γινεται ως προς ολες τις στερεες γωνιες. Συνεπ£ως ησυνολικη διατοµη σκεδασης σκληρης σφαιρας ειναι :"2K=BI που ειναι το αναµενοµενο αποτελεσµα.

1.1.2 Σκεδαση Rutherford

Σωµατιδια α προσπιπτουν σε φυλλο χρυσου. Ας εξετασουµε τη σκε-δαση σωµατιδιου α µε παραµετρο κρουσης @ ως προς τον πυρηνα ενοςατοµου χρυσου. Επειδη το φορτιο του πυρηνα ειναι 7?w.x , εν£ω το φορτιοτου σωµατιδιου α ειναι 7?;1x , η απωστικη δυναµη που ασκειται στο σωµα-τιδιο ειναι : y ;Dw.xz v =B |% $Θα θεωρησουµε τη συνιστ£ωσα της ορµης του σωµατιδιου α κατα τον

αξονα συµµετριας της υπερ1ολικης τροχιας του σωµατιδιου, η οποια µε-τα1αινει απο τη τιµη j6e~cqrD()i οταν το σωµατιδιο βρισκεται µακρυα αποτον στοχο πριν απο τη κρουση στη τιµη 7e~cmqrD(Wi µετα τη σκεδαση καιπαλι µακρυα απο το στοχο (βλ. σχηµα 1.1). Απο το δευτερο νοµο του Νευ-τωνα η ολικη£ωθηση απο τη συνιστ£ωσα της απωστικης δυναµης στη θετικηκατευθυνση του αξονα πρεπει να ισουται µε τη µετα1ολη της ορµης σεαυτη τη διευθυνση. Συνεπ£ως επειδη η γωνια σκεδασης ειναι K=Yj;1i θα ισχυει : ;Pe~c(+*-,B?/D;D ;Dw.xz v =B 3' qrD()i% D ;Dw.xz v =B 3[ qrD()i% iD/1D+ i ;Dw.xz v =B 3 qrD()im/Pe i ;Dw.xz v =B @Rc 3 qrD(Wi1i ;Dw.xz v =B @Rc ;G(+*-,Hi ;Dw.xz v =B @Rc ;GqrD(Q?/D;D $

6

b

è

u

x

F

è0

u

Σχηµα 1.3: Η£ωθηση της δυναµης αλλαζει τελικα την συνιστ£ωσα της ορ-µης του βληµατος.

Η παραπανω ολοκληρωση κατεστη δυνατη επειδη η στροφορµη e % iD/1D του σωµτιδιου α ειναι σταθερη και ιση µε 9Jef@Rc , οπου @ ηπαραµετρος κρουσης. Απο την παραπανω σχεση συναγεται οτι η παρα-µετρος κρουσης σχετιζεται µε τη γωνια σκεδασης µεσω του τυπου :@l w.xz v =B O qr1>?/D;D οπου Oe~c E/D; η ενεργεια των σωµατδιων α. Συνεπ£ως η διαφορικηενεργος διατοµη της σκεδασης Rutherford θα ειναι :"& ?s @DC @E/1FC(+*-,6 n w.xz v =B OLp |v (+*-,1?/D;D $Ηδιατοµη αυτηεχει δραµατικη εξαρτηση απο τη γωνια σκεδασης. Ηεξαρ-τηση εχει σχεδιασθει στο Σχ. 1.4

1.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ ΣΚΕ∆ΑΣΗΣ 7

0 20 40 60 80 100 120 140 160100

101

102

103

104

105

Θ

log

(d σ

/ d

Ω )

Σχηµα 1.4: Γραφικη παρασταση του -rD)"B/1&H συναρτησει της γωνιαςσκεδασης σε µοιρες στην περιπτωση της σκεδασης Rutherford. Η µε-τα1ολη του αριθµου των σωµατιδιων που καταφθανουν στον ανιχνευτηανα µοναδα χρονου για διαφορετικες γωνιες σκεδασης ειναι δραµατικη.Π.χ. ο λογος του αριθµου των σωµατιδιων που σκεδαζονται κατα γωνια|>1 ως προς τον αριθµο των σωµατιδιων που σκεδαζονται κατα |> b ειναιπεριπου 3000.

Προσεξτε οτι στην αναλυση για τον υπολογισµο της διατοµης δεν λα-1αµε υποψη την επιρροη του ηλεκτρονικου νεφους του ατοµου του χρυ-σου διοτι τα σωµατιδια α ειναι πολυ βαρυτερα απο τα ηλεκτρονια. Επισηςσηµει£ωνουµε οτι θα µπορουσε να αντιτεινει κανεις οτι ο κλασσικος υπολο-γισµος που καναµε πρεπει να εχει περιορισµενη ισχυ διοτι η αλλεπιδρασηµε τον πυρηνα πρεπει να υπολογισθει κ1αντοµηχανικα. Ειναι καταπλη-κτικη συµπτωση οτι ο κ1αντοµηχανικος υπολογισµος, που θα κανετε σταεποµενα χρονια, δινει την κλασσικη εκφραση για τη διαφορικη διατοµησκεδασης.Το πειραµα του Rutherford επι1ε1αιωσε µε µεσο τετραγωνικο σφαλµα

11%αυτη τη κατανοµη σκεδαζοµενων σωµατιδιων α καιεδωσε την πρ£ωτηπρο1λεψη για τη δοµη του ατοµου συµφωνα µε την οποια το θετικο φορ-τιο ειναι συγκεντρωµενο στον πυρηνα πουεχει ακτινα της ταξης των | b e εν£ω το ηλεκτρονικο νεφος εκτεινεται σε ακτινα | b e . Το πειραµααυτο κατερριψε προηγουµενες θεωριες της δοµης των ατοµων που προε-1λεπαν οτι το θετικο φορτιο ηταν οµογεν£ως κατανεµηµενο σε µια σφαιραακτινας | b e µεσα στην οποια βρισκονταν επιπλεον και τα ηλεκτρο-νια.

5/10/2000 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου

ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Α΄ Σειρά Ασκήσεων

1. Αποδείξτε, µέσω του αναπτύγµατος Taylor, ότι όταν δίδεται ο νόµος της δύναµης, η θέση και η ταχύτητα ενός σωµατιδίου µία χρονική στιγµή προσδιορίζει πλήρως τη θέση και την ταχύτητα του σωµατιδίου κάθε χρονική στιγµή. Προσδιορίστε µε τον τρόπο αυτό την αναλυτική µορφή της τροχιάς ενός σωµατιδίου που κινείται στο χώρο υπό την επίδραση µόνο του σταθερού και οµογενούς πεδίου της βαρύτητας. Εξαρτάται η ορθότητα του αποτελέσµατός σας από το µέγεθος του βήµατος που επιλέξατε;

2. Όπως φαίνεται από το διάγραµµα της τροχιάς στο φυλλάδιο «Αριθµητική Ολοκλήρωση Κίνησης Πλανήτη Περί τον Ήλιο» η τροχιά δεν µοιάζει καθόλου µε αυτή της Γης, η οποία είναι µε αρκετά µεγάλη ακρίβεια κυκλική. Μπορείτε να αλλάξετε ένα µόνο στοιχείο των αρχικών συνθηκών ώστε να µετατρέψετε την τροχιά του πλανήτη σε κυκλική; Επαναλάβετε τους υπολογισµούς σας µε την τιµή αυτή για να επιβεβαιώσετε την κυκλικότητα της τροχιάς.

3. Σύµφωνα µε τον 3o νόµο του Κέπλερ (εµπειρικός νόµος που προέκυψε από παρατηρήσεις) όλοι οι πλανήτες κινούνται σε τροχιές για τις οποίες ο λόγος του τετραγώνου της περιόδου προς τον κύβο του µεγάλου ηµιάξονα της τροχιάς (του µήκους δηλαδή της ελλειπτικής τροχιάς) είναι σταθερός αριθµός και ίδιος για όλους τους πλανήτες. Λαµβάνοντας υπόψη το νόµο αυτό, τα αποτελέσµατα του φυλλαδίου «Αριθµητική Ολοκλήρωση…» τα οποία θα µπορούσαν να αναφέρονται σε έναν άλλο πλανήτη αντί της Γης, και χρησιµοποιώντας την αριθµητική τιµή σταθερών όπως οι ουλίMG Η, ,1 AU (προκειµένου να επανέλθετε σε φυσιολογικές µονάδες) υπολογίστε την περίοδο της Γης γύρω από τον Ήλιο.

4. Στο ρόλο του Νεύτωνα: Αν ο σωστός δυναµικός νόµος δεν ήταν αυτός του Νεύτωνα αλλά του Αριστοτέλη, δηλαδή vkF rr

= , όπου k µια σταθερά αναλογίας, όχι κατ’ ανάγκη η µάζα του κινητού, µπορείτε να προβλέψετε τη µορφή του νόµου της Παγκόσµιας έλξης; (Λάβετε υπόψη σας τον 3ο νόµο του Κέπλερ και ότι για απλότητα όλοι οι πλανήτες κινούνται σε κυκλικές τροχιές γύρω από τον Ήλιο.) Θα µπορούσατε µε κάποιο επιχείρηµα συµµετρίας να απορρίψετε το νόµο αυτό; (Θεωρήστε ότι ο Ήλιος και οι πλανήτες είναι τέλειες σφαίρες και ότι ο χώρος είναι ισότροπος –ίδιος προς όλες τις κατευθύνσεις.)

5. Χρησιµοποιώντας τη «φυσική απόδειξη» τού ότι η τροχιά ενός σωµατιδίου προσδιορίζεται πλήρως από τη θέση και την ταχύτητα του σωµατιδίου, αποδείξτε ότι αν το σωµατίδιο σε κάθε θέση του rr βρίσκεται υπό την επιρροή κεντρικής δύναµης, τότε η τροχιά του σωµατιδίου κείται αναγκαστικά σε ένα επίπεδο. Προσδιορίστε το επίπεδο. [Κεντρικές δυνάµεις είναι δυνάµεις της µορφής

rr r)(Χ , δηλαδή δυνάµεις που έχουν ακτινική διεύθυνση, και )(rΧ είναι κάποια συνάρτηση της απόστασης του σωµατιδίου από την αρχή των αξόνων –όταν

0)( >rX η δύναµη είναι απωστική, αλλιώς ελκτική.] 6. Επαναλάβετε την αριθµητική ολοκλήρωση µε βαρυτική δύναµη τύπου r/1 αντί

του νευτώνειου 2/1 r . Πως είναι τώρα η τροχιά; (Ίσως θα πρέπει να χρησιµοποιήστε µικρότερο χρονικό βήµα στην ολοκλήρωση.)

12/10/2000 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου

ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι B΄ Σειρά Ασκήσεων

1. Σε ένα σωµατίδιο που κινείται ευθύγραµµα ασκείται δύναµη τριβής vmvF α−=)( . Αποδείξτε ότι το σώµα µε αρχική ταχύτητα 0v διανύει πεπερασµένη απόσταση σε άπειρο χρόνο. Βρείτε αυτή την απόσταση. Έστω τώρα ότι η δύναµη της τριβής ήταν

βαvmvF −=)( µε 0>β . Για ποιες τιµές του β το σώµα διανύει, αρχίζοντας πάλι µε ταχύτητα 0v , πεπερασµένη απόσταση σε άπειρο χρόνο; Σχεδιάστε την απόσταση που διανύει συναρτήσει του β .

2. (Κίνηση Brown) Σωµατίδιο κινούµενο ευθύγραµµα σε ένα µέσο, βοµβαρδίζεται συνεχώς από µικροσκοπικά σωµατίδια του µέσου. Σαν αποτέλεσµα, ενώ η κίνηση του παραµένει ευθύγραµµη, είναι άτακτη. Περιγράφουµε την κίνησή του µε την εξίσωση

)(tFxxm =+ &&& µ , όπου )(tF µια άτακτη χρονικά δύναµη που έχει µέση τιµή µηδέν δηλαδή 0=F (όσες φορές επιταχύνεται το σωµατίδιο προς τα αριστερά άλλες τόσες φορές επιταχύνεται προς τα δεξιά). Θεωρούµε ότι η µέση τιµή 0=xF (γιατί είναι αυτό λογικό;) ενώ 0≠Fx& (γιατί είναι αυτό λογικό;). Επίσης θεωρούµε ότι µετά από πολύ χρόνο η µέση κινητική ενέργεια του σωµατιδίου είναι σταθερή δηλαδή

kTxm21

21 2 =& , όπου k και T σταθερές. Θέλουµε να προσδιορίσουµε την χρονική

εξάρτηση της 2x . Θεωρήστε ως νέα µεταβλητή την xx&2=ξ και δείξτε ότι η µέση

τιµή της ξ ικανοποιεί την εξίσωση kTm 2=+ ξµξ& και συνεπώς µετά από πολύ

χρόνο tkTxµ

22 = (Einstein, 1905).

3. (Παράδοξη διατήρηση της ενέργειας) Ένας γλάρος στέκεται στην ακρογιαλιά. Ξαφνικά πνέει άνεµος 40 km/h. Ο γλάρος ανοίγει τα φτερά του και χωρίς να κάνει οποιαδήποτε άλλη κίνηση ίπταται σε ύψος Η από το έδαφος. Προσδιορίστε το Η (Υπόδειξη: επιλέξτε για την ανάλυση του προβλήµατος το κατάλληλο σύστηµα αναφοράς).

4. ∆υο σωµατίδια κινούµενα επί ευθείας αλληλεπιδρούν µέσω µιας απωστικής αλληλεπίδρασης του τύπου )( 2112 xxEF −−= δ , όπου 12F είναι η δύναµη που δέχεται το σωµατίδιο 1 από το σωµατίδιο 2, 21 , xx οι θέσεις των δύο σωµατιδίων και Ε µια σταθερά. Υπολογίστε τι συµβαίνει σε µια σύγκρουση των δύο σωµατιδίων και ποια τιµή θα πρέπει να έχει η σταθερά Ε προκειµένου η σύγκρουση να είναι ελαστική.

5. Σε ένα σωµατίδιο που κινείται στην ευθεία ασκείται δύναµη ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

lxxF sinh)( . Αν το

σωµατίδιο βρίσκεται ακίνητο σε µικρή απόσταση από το σηµείο ισορροπίας προσδιορίστε την περίοδο ταλάντωσης περί αυτό.

6. Προσδιορίστε µε αριθµητική ολοκλήρωση την περίοδο ταλάντωσης του αρµονικού

ταλαντωτή µε 24π=mk . Σχεδιάστε την εξέλιξη της ολικής ενέργειας κατά τη διάρκεια

10 περιόδων. 7. Ένα σωµατίδιο κινείται µεταξύ δύο παράλληλων τοίχων. Η κίνηση γίνεται σε µια

ευθεία κάθετη στα τοιχώµατα και η ανάκλαση είναι ελαστική. Ποια η περίοδος της ταλάντωσης συναρτήσει της ενεργείας του ταλαντωτή; Είναι ισόχρονη η ταλάντωση; Ισχύει η υπέρθεση λύσεων;

19/10/2000 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου

ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Γ΄ Σειρά Ασκήσεων

1. Θεωρήστε την δυναµική εξίσωση axx =&& . Εάν 0=a τότε η κίνηση είναι tvxtx 00)( += (1). Αποδείξτε λύνοντας τη δυναµική εξίσωση για 0≠a (και για θετικές και για αρνητικές τιµές) ότι στο όριο 0→a η κίνηση δίνεται από την έκφραση (1). Επειδή το a έχει µονάδες [ ]2−T και το 0 είναι ένας αριθµός το όριο 0→a δεν είναι καλά ορισµένο. Ποια η ορθή µορφή του ορίου;

2. Βρείτε τη χρονική εξέλιξη ταλαντωτή φυσικής συχνότητας 0ω , χωρίς απόσβεση, στον οποίο ασκείται η εξωτερική δύναµη tωcos αν αρχικά 0)0()0( == xx & . Υπολογίζοντας το όριο 0ωω → προσδιορίστε τη χρονική εξέλιξη της κίνησης όταν έχουµε συντονισµό.

3. Ένα διατοµικό µόριο µπορεί να θεωρηθεί ως δύο µάζες συνδεδεµένες µε ένα ελατήριο. Θεωρούµε κίνηση στην ευθεία. Αν αρχικά τα άτοµα του µορίου ήταν σε απόσταση ίση µε το φυσικό µήκος του ελατηρίου και το ένα άτοµο ήταν ακίνητο ενώ το άλλο είχε ταχύτητα 0v περιγράψτε τη µετέπειτα κίνηση των δύο ατόµων του µορίου.

4. Υπολογίστε το ρυθµό παραγωγής έργου στην περίπτωση ταλαντωτή µε συντελεστή απόσβεσης γ και φυσικής συχνότητας 0ω στον οποίο ασκείται περιοδική δύναµη

tF ωcos1 . Υπολογίστε τη µέση τιµή του ρυθµού αυτού P σε µία περίοδο και επαληθεύστε ότι ισούται µε το µέσο ρυθµό ανάλωσης της ενέργειας εξαιτίας της τριβής. ∆είξτε ότι η P ως συνάρτηση του ω έχει µέγιστο όταν 0ωω = και βρείτε τις τιµές του ω για τις οποίες η P πέφτει στο µισό της µέγιστης P . Βρείτε τη µέση τιµή της ενέργειας του ταλαντωτή E . Εάν W είναι το έργο της δύναµης σε µία περίοδο, δείξτε

ότι κατά τον συντονισµό WEQ π2= , όπου Q ο συντελεστής ποιότητας που ορίζεται ως

γω2

0≡Q .

5. Θεωρήστε έναν ταλαντωτή χωρίς απόσβεση στον οποίο ασκείται η δύναµη )(tF . Η

εξίσωση κίνησης είναι m

tFxx )(2 =+ω&& . Αποδείξτε ότι η µεταβλητή xixa ω+= &

ικανοποιεί την εξίσωση: m

tFaia )(=− ω& και επαληθεύστε ότι η εξίσωση αυτή έχει

γενική λύση )exp()0()exp()()exp()(0

tiadssim

sFtitat

ωωω +−= ∫ . Πώς βρίσκεται η θέση

του ταλαντωτή από την παραπάνω λύση; Επειδή ο ταλαντωτής κερδίζει ενέργεια από την εξωτερική δύναµη η ενέργεια του ταλαντωτή δεν διατηρείται. Αποδείξτε ότι αν ο ταλαντωτής ήταν αρχικά ακίνητος στο σηµείο ισορροπίας ότι η ενέργεια που τελικά θα

µεταφερθεί από την εξωτερική δύναµη είναι 2

0

)exp()(21∫∞

−= dttitFm

E ω . Θεωρήστε

ότι ασκείται στον ταλαντωτή η δύναµη ⎩⎨⎧

>≤≤

=Tt

TtFtF

00

)( 0 . Αν ο ταλαντωτής

είναι αρχικά ακίνητος στο σηµείο ισορροπίας υπολογίστε την απόκριση του ταλαντωτή και την ενέργεια που µεταφέρθηκε από την εξωτερική δύναµη.

6. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ω=1 και µάζα m, δέχεται σειρά ωστικών δυνάµεων τύπου )( nttmu −δ , όπου οι χρονικές στιγµές tn είναι τυχαίες χρονικές στιγµές αρκετά αραιές σε σχέση µε την περίοδο του ταλαντωτή. Πόσο είναι το πλάτος του ταλαντωτή σε σχέση µε το αρχικό του πλάτος µετά από µεγάλο αριθµό Ν τέτοιων κρούσεων;

3/11/2000 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι

∆΄ Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωµατίδιο κινείται στην ευθεία και η θέση του παρατηρείται ότι είναι

ttx =)( . Προσδιορίστε τη δύναµη που ασκείται στο σωµατίδιο.

2. Η συνάρτηση )(tΘ ορίζεται ως ⎩⎨⎧

<>

=Θ0001

)(tt

t . Αποδείξτε ότι )(tdtd δ=Θ (1).

Προσδιορίστε τη συνάρτηση Green ελευθέρου σωµατιδίου στη Νευτώνεια µηχανική και επιβεβαιώστε κάνοντας χρήση της (1) ότι η λύση ικανοποιεί τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα. Προσδιορίστε τέλος τη συνάρτηση Green ελευθέρου σωµατιδίου στην Αριστοτέλεια µηχανική.

3. Προσδιορίστε τη συνάρτηση Green αρµονικού ταλαντωτή µε υπεραπόσβεση )( 0ωγ > και υπολογίστε την εξαναγκασµένη απόκριση του ταλαντωτή στην

εξωτερική δύναµη tωcos . [Η απάντηση σας πρέπει να συµφωνεί µε την έκφραση στην οποία καταλήξαµε στο µάθηµα.]

4. Ιδιότητες τη συνάρτησης )(xδ : α) Αποδείξτε ότι ∫∞

∞−

=a

dxax 1)(δ , β)

∫ ∑∞

∞−′

=−n nxf

dxxff|)(|

1))(( 0δ όπου nx οι ρίζες της εξίσωσης 00 =− f)x(f n .

[Υπόδειξη: αναπτύξτε την )(0 xff − σε σειρά Taylor περί την κάθε ρίζα της

0)( fxf n = ], γ) ολοκληρώνοντας κατά µέρη υπολογίστε το ολοκλήρωµα

∫∞

∞−

−′ )()( xfaxδ όπου )()( axdxdax −=−′ δδ , δ) υπολογίστε το ολοκλήρωµα

∫∞

∞−

−− dxbxax )()( δδ .

5. Ένας αρµονικός ταλαντωτής δίχως τριβές, αρχικά ακίνητος στη θέση ισορροπίας του, υπόκειται σε σειρά εναλλασσόµενων παλµών δύναµης της µορφής

)()1()(0

0 τδ ntmutFn

n −−= ∑∞

=

. Να σχεδιασθεί η κίνηση του ταλαντωτή ως

συνάρτηση του χρόνου για τ (i) ίσο µε το µισό της περιόδου και (ii) ίσο µε την περίοδο του ταλαντωτή.

6. Ένας σφαιρικός δορυφόρος ακτίνας r εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση γύρω από κεντρικό πλανήτη ο οποίος βρίσκεται σε απόσταση R από το κέντρο του δορυφόρου. ∆ύο ίσες µάζες m τοποθετηµένες αντιδιαµετρικά επί του δορυφόρου συνδέονται µε ράβδο µήκους r2 που διαπερνά το δορυφόρο. Ο δορυφόρος περιφέρεται γύρω από τον πλανήτη αλλά δεν περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του. Έτσι η ράβδος που αρχικά "κοιτάζει" κατά τον πλανήτη σχηµατίζει γωνία µε την επιβατική ακτίνα του δορυφόρου που µεταβάλλεται µε το χρόνο. [Αγνοήστε τη βαρυτική έλξη του ίδιου του δορυφόρου και υποθέστε ότι η ράβδος δεν κινείται ως προς το δορυφόρο.] Προσδιορίστε την τάση της ράβδου σα συνάρτηση του χρόνου. Μήπως τώρα µπορείτε να εξηγήσετε γιατί οι παλίρροιες έχουν περίοδο περίπου 12 ώρες και όχι 24 ώρες που είναι η περίοδος περιστροφής της Γης; Αν αντικαταστήσετε τη ράβδο µε ένα ελατήριο σταθεράς k και µε συντελεστή απόσβεσης γ, σε ποια γωνία ελατηρίου-επιβατικής ακτίνας οι µάζες θα βρίσκονται στη µεγαλύτερη δυνατή αποµάκρυνση; Μπορείτε τώρα να εξηγήσετε και γιατί το µέγιστο των παλιρροιών δεν συµβαίνει όταν η Σελήνη βρίσκεται ακριβώς στο ζενίθ της;

10/11/2000 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου

ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι E΄ Σειρά Ασκήσεων

1. Κατασκευάστε το διάγραµµα φάσης εκκρεµούς που αποτελείται από αβαρή ράβδο και σηµειακή µάζα και δύναται να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο. [Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε ως µεταβλητή του προβλήµατος τη γωνία θ µεταξύ της ράβδου και της κατακορύφου και σχεδιάστε το διάγραµµα φάσης dtd /θθ − .]

2. Ρίχνουµε µία χιονόµπαλα πάνω σε ένα τοίχο. Αποδείξτε ότι ενώ η ορµή της χιονόµπαλας µετά τη κρούση µεταφέρεται στη Γη, η ενέργεια της χιονόµπαλας πρέπει να µετατρέπεται σε θερµότητα.

3. Επίπεδη επιφάνεια µάζας M κινείται µε ταχύτητα V δια µέσου αερίου που αποτελείται από σωµατίδια µάζας m τα οποία κινούνται µε ταχύτητα v . Υπάρχουν n τέτοια σωµατίδια ανά µονάδα όγκου. Η επιφάνεια κινείται στη διεύθυνση x η οποία είναι κάθετη στην επιφάνεια. Υποθέστε ότι Mm << και ότι τα σωµατίδια δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. (α) Εάν Vv << ποια δύναµη ασκείται στην επιφάνεια ανά µονάδα επιφανείας; (β) Ποια δύναµη ασκείται όταν

Vv >> ; (Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε το γεγονός ότι η µέση ταχύτητα κατά την διεύθυνση x είναι 3/vvx = .)

4. ∆ύο σωµατίδια µε µάζες 1m και 2m αντίστοιχα, κινούνται σε µια διάσταση υπό την επίδραση του δυναµικού αλληλεπίδρασης )(),( 212121 xxmmxxV ±=± , όπου

1x και 2x οι θέσεις των δύο σωµατιδίων. (α) Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης για τα δύο σωµατίδια και στις δύο περιπτώσεις των δυναµικών (µε το + ή µε το -), θεωρώντας ότι τα δύο σωµατίδια είναι αρχικά ακίνητα. (β) Είναι το δυναµικό στην κάθε περίπτωση τέτοιο ώστε να ικανοποιείται ο 3ος νόµος του Νεύτωνα; (γ) Υπάρχει κάποιος συνδυασµός των ορµών που διατηρείται στις δύο περιπτώσεις; Υποθέστε για όλα τα ερωτήµατα ότι όταν τα δύο σωµατίδια βρεθούν στην ίδια θέση δεν συγκρούονται αλλά µπορούν να περάσουν το ένα µέσα από το άλλο.

5. Ένας πύραυλος εκτοξεύει το καύσιµο του µε σταθερό ρυθµό. Ποια η µάζα του πυραύλου (συµπεριλαµβανοµένου και των υπαρχόντων καυσίµων) όταν η ορµή του πυραύλου είναι µέγιστη; Ποια η µάζα του πυραύλου όταν η ενέργεια είναι µέγιστη;

6. Ένας κουβάς αµελητέας µάζας περιέχει νερό µάζας M . Στον κουβά ασκείται µια σταθερή δύναµη F . Κατά την κίνηση του ο κουβάς χάνει νερό µε ρυθµό που είναι ανάλογος µε την επιτάχυνση του κουβά δηλαδή xbdt

dM &&−= . (α) Να βρεθεί

η µάζα του κουβά συναρτήσει του χρόνου. (β) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του κουβά. Ποια η ταχύτητα του κουβά τη στιγµή που δεν υπάρχει άλλο νερό µέσα στον κουβά ; (γ) Ποια είναι η µέγιστη τιµή της κινητικής ενέργειας του κουβά; (δ) Ποια η µέγιστη τιµή της ορµής του κουβά;

7. Μια κλεψύδρα τοποθετείται πάνω σε µια ζυγαριά. Ποια η ένδειξη της ζυγαριάς από τη στιγµή που αρχίζει η κλεψύδρα να «τρέχει» µέχρι να ολοκληρωθεί το άδειασµα της άµµου; Θεωρήστε ότι η άµµος «τρέχει» µε σταθερό ρυθµό.

Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου

ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Στ΄ Σειρά Ασκήσεων

1. ∆είξτε ότι αν αφήσουµε να πέσει µια αλυσίδα πάνω σε µια ζυγαριά, αν αρχικά η

αλυσίδα είναι κατακόρυφη και το κάτω άκρο της µόλις ακουµπά στο δίσκο της ζυγαριάς, κάθε στιγµή η ένδειξη της ζυγαριάς είναι τριπλάσια του βάρους της αλυσίδας που ήδη βρίσκεται επάνω σ’ αυτή.

2. Αρχικά σχηµατίζεται µια µικροσκοπική σταγόνα βροχής πυκνότητας 1ρ που αρχίζει να πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτητας µέσα ένα νέφος υδρατµών πυκνότητας 2ρ . Κατά την πτώση της η ακτίνα της σταγόνας αυξάνεται αφοµοιώνοντας τους υδρατµούς που συναντά κατά την κάθοδό της. Γράψτε την εξίσωση επαύξησης της ακτίνας της σταγόνας. Εάν ασυµπτωτικά η σταγόνα έχει σταθερή επιτάχυνση α ώστε η ταχύτητά της να τείνει στην tu α= για µεγάλους χρόνους, υπολογίστε την επιτάχυνση αυτή συναρτήσει της g .

3. Ένα βλήµα κατά την κίνηση του εκρήγνυται και διαχωρίζεται σε δύο κοµµάτια µε µάζα τη µισή της αρχικής, τα οποία στο σύστηµα του κέντρου µάζας τη στιγµή αµέσως µετά την έκρηξη κινούνται µε ταχύτητα u . Να υπολογιστεί η ενέργεια που απελευθερώνεται κατά την έκρηξη και προσφέρεται ως πρόσθετη κινητική ενέργεια στα θραύσµατα. Αν η διαδικασία αυτή συνεχιστεί ώστε οι δύο µάζες να γίνουν τέσσερις, οκτώ, κ.οκ. µε διαδοχικές εκρήξεις που προσδίδουν στα θραύσµατα ταχύτητα u στο εκάστοτε σύστηµα κέντρου µάζας, να υπολογιστεί η συνολική ενέργεια του βλήµατος µετά από Ν διαχωρισµούς.

4. (α) ∆είξτε ότι η βαθµίδα f∇r

µιας συνάρτησης ),,( zyxf είναι διάνυσµα. (β) Έστω ),,( zyxr =

r και ),,( zyx pppp =r δύο διανύσµατα. ∆είξτε ότι ο ακόλουθος

συνδυασµός συνιστωσών των παραπάνω διανυσµάτων µετασχηµατίζεται σε στροφές ακριβώς όπως τα διανύσµατα: )( xyzxyz ypxp,xpzp,zpyp −−− . Το διάνυσµα αυτό καλείται, όπως ξέρετε, εξωτερικό γινόµενο των δύο διανυσµάτων και σηµειώνεται pr rr

× . 5. ∆είξτε ότι για το δέλτα του Kronecker ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: (α)

ijjibaba δ=⋅rr , (β) ijjieaa δˆ=

r , όπου ie το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την

κατεύθυνση-i, (γ) ijjiaaa δ=r , (δ) 3=iiδ , (ε) ikjkij δδδ = .

6. Υπολογίστε την απόσταση µεταξύ δύο σηµείων της Γης που έχουν γεωγραφικό πλάτος και µήκος 11 ,φθ και 22 ,φθ αντίστοιχα. Θεωρήστε τη Γη τέλεια σφαίρα ακτίνας R . [Υπ: Υπολογίστε τη γωνία µεταξύ των δύο διανυσµάτων που συνδέουν το κέντρο της Γης µε τα εν λόγω σηµεία.]

7. Υπολογίστε την ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς ενός βλήµατος στο υψηλότερο σηµείο της τροχιάς του.

8. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα ( )dtavvr∫ ⋅+⋅rrrr όπου a,v,r rrr είναι η θέση, η

ταχύτητα, και η επιτάχυνση ενός κινητού.

9. Αποδείξτε ότι )t(e)t(errr

rrtd 0rr

t

t2

0

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′∫

r&&r

, όπου rr r= .

Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι

Ζ΄ Σειρά Ασκήσεων 1. Tο άθροισµα διανυσµάτων ικανοποιεί την αντιµεταθετική ιδιότητα δηλαδή ,abba vvvv +=+

συνεπώς δεν έχει σηµασία η σειρά που θα εκτελεσθούν δύο µετατοπίσεις ενός σωµατιδίου. Γράψτε τον πίνακα στροφής περί τον άξονα y και περί τον άξονα z . ∆ίνοντας ένα παράδειγµα αποδείξτε ότι η µεταβατική ιδιότητα δεν ισχύει για τις στροφές και άρα οι στροφές δεν µπορεί να είναι διανύσµατα. Θεωρείστε τώρα διαφορικές στροφές ( 1<<θ ). Ισχύει τώρα η µεταβατική ιδιότητα;

2. Αποδείξτε ότι ο ijδ που είδαµε στο µάθηµα είναι τανυστής δευτέρας τάξεως. Υπολογίστε

χρησιµοποιώντας την αθροιστική σύµβαση τα: r1

∇v

και r12∇ , όπου kk xxr = .

3. Σωµατίδιο εκτελεί επίπεδη ελλειπτική τροχιά µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, ω , δηλαδή η θέση του είναι θcosax = , θsinby = , µε ωθ =& . Ποία η οδογράφος. Υπολογίστε την επιτάχυνση και προσδιορίστε το νόµο της δύναµης που θα προκαλούσε αυτή τη κίνηση.

4. Ποια η µέση τιµή της τάσης του νήµατος επίπεδου εκκρεµούς που εκτελεί µικρές ταλαντώσεις;

5. Μία χάνδρα κινείται στο σταθερό πεδίο βαρύτητας χωρίς τριβή πάνω σε µία ορθή κυλινδρική έλικα (βλ. σχήµα). Η θέση του σωµατιδίου δίνεται από την παραµετρική εξίσωση φφφ akRjRitr ˆsinˆcosˆ)( ++=v όπου φ η πολική γωνία. Εάν rdrdds vv ⋅= είναι το διαφορικό µήκος του τόξου της τροχιάς υπολογίστε το µοναδιαίο

διάνυσµα dsrdet

v=ˆ και αποδείξτε ότι η ταχύτητα του

σωµατιδίου είναι tevv ˆ=v , όπου dtdsv = . Αποδείξτε ότι

rt e

RaRv

dted ˆˆ

22 +−= , όπου φφ sinˆcosˆˆ jier += το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Τι τροχιά

διαγράφει το κέντρο καµπυλότητας της τροχιάς της χάντρας; Γράψτε τώρα τις εξισώσεις κίνησης του σωµατιδίου. Εδώ πρέπει να συµπεριλάβετε εκτός από τη δύναµη της βαρύτητας, την αντίδραση η οποία είναι άγνωστη. Το µόνο που ξέρουµε για την δύναµη της αντίδρασης Fv

είναι ότι 0ˆ =⋅ teFv

, διότι δεν υπάρχει τριβή και η αντίδραση πρέπει να είναι κάθετη στη κίνηση της χάντρας. Οπότε έχουµε 4 εξισώσεις για τις τρεις άγνωστες συνιστώσες της δύναµης και την v& . Υπολογίστε µε τον τρόπο αυτό την κατακόρυφη θέση του σωµατιδίου και αποδείξτε ότι η κίνηση είναι ίδια µε την κίνηση της χάνδρας σε κεκλιµένο επίπεδο στο πεδίο βαρύτητας. Σχεδιάστε τη χρονική εξέλιξη των αντιδράσεων. Εάν δεν υπήρχε πεδίο βαρύτητας ποια ποσότητα θα ήταν σταθερή;

6. (Πρόβληµα βολής µε οδογράφο) Βλήµα βάλλεται υπό γωνία θ (η γωνία που σχηµατίζει η αρχική ταχύτητα µε την οριζόντιο) στο σταθερό πεδίο βαρύτητας. Η βολή γίνεται από λόφο ύψους h από το έδαφος. Τι καµπύλη διαγράφει η οδογράφος; Σχεδιάστε την οδογράφο και σηµειώστε το σηµείο Α που αντιστοιχεί στην αιχµή του βέλους της αρχικής ταχύτητας όταν το βλήµα είναι στον λόφο, το σηµείο Β όταν το βλήµα φθάσει στο µέγιστο ύψος και το σηµείο Γ όταν το βλήµα φθάσει στο έδαφος. Αποδείξτε ότι το βεληνεκές είναι ανάλογο του εµβαδού του τριγώνου ΟΑΒ. Για ποια γωνία BOA ˆ το βεληνεκές είναι µέγιστο όταν η αρχική ταχύτητα έχει δεδοµένο µέτρο; Υπολογίστε µε τον τρόπο αυτό το µέγιστο βεληνεκές συναρτήσει του h του µέτρου της αρχικής ταχύτητας 0v και της επιτάχυνσης της βαρύτητας g .

z

y

x

7. (Παραβολή ασφαλείας) Βλήµα βάλλεται στο σταθερό πεδίο βαρύτητας µε ταχύτητα 0v . ∆εν γνωρίζουµε όµως τη γωνία υπό την οποία γίνεται η βολή. Να προσδιορισθεί η περιοχή του χώρου στην οποία µπορούµε να παρευρισκόµαστε µε ασφάλεια.

8. Γράψτε µια οποιαδήποτε συνάρτηση τριών µεταβλητών, V(x,y,z), η οποία να µην απειρίζεται. (α) Κατασκευάστε τη διανυσµατική συνάρτηση VF ∇−=

rr και υποθέστε ότι αυτή περιγράφει

το πεδίο δυνάµεων που ασκείται σε ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας. Εξετάστε αν ο στροβιλισµός αυτής της δύναµης είναι µηδέν. (β) Κατασκευάστε µια κλειστή διαδροµή και υπολογίστε το έργο της δύναµης κατά µήκος αυτής. (γ) Ένας σωλήνας τυχαίου σχήµατος ξεκινά από το σηµείο (0,0,0) και καταλήγει στο σηµείο (1,1,1). Ένα σωµατίδιο µοναδιαίας µάζας, το οποίο µπορεί να κινείται ελεύθερα µέσα σε αυτόν, αφήνεται ακίνητο στο σηµείο (0,0,0) και φτάνει στο σηµείο (1,1,1). Με τι ταχύτητα; (δ) Κάτω από ποιες προϋποθέσεις θα φθάσει το σωµατίδιο στο σηµείο (1,1,1);

9. Ένα πεδίο δυνάµεων έχει τη µορφή ( ))()(ˆ xyfaxF δ+=r

. Είναι το πεδίο συντηρητικό; [Υπολογίστε τον στροβιλισµό της δύναµης, αλλά και το έργο της δύναµης κατά µήκος της κλειστής διαδροµής: ),(),(),(),(),( 00000 yyyyyyy εεεεε −→∆+−→∆+→→− ].

10. Ένα πεδίο δυνάµεων έχει τη µορφή r

eF θ=r

, όπου θe το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την

κατεύθυνση αύξησης της πολικής συντεταγµένης θ. Κατασκευάστε µια κλειστή διαδροµή (α) που να µην περιέχει και (β) που να περιέχει την αρχή των αξόνων, και η οποία να αποτελείται από ακτινικά τµήµατα και κυκλικά τόξα. Ποιο το έργο της δύναµης κατά µήκος της κλειστής αυτής διαδροµής; Γράψτε τη δύναµη σε καρτεσιανές συντεταγµένες και υπολογίστε τον στροβιλισµό αυτής. Είναι το πεδίο αυτό συντηρητικό; Απαντήστε στις ίδιες ερωτήσεις για ένα πεδίο της ίδιας µορφής, αλλά µε re στη θέση του θe .

11. Υπολογίστε τη βαρυτική δύναµη σε απόσταση r από µια απείρων διαστάσεων απειροστά λεπτή πλάκα µε επιφανειακή πυκνότητα µάζας σ.

12. Υπολογίστε το δυναµικό σε κάθε σηµείο εξαιτίας µιας κοίλης σφαίρας (σταθερής πυκνότητας) µε εσωτερική ακτίνα r και εξωτερική ακτίνα R. Ποια η ένταση του βαρυτικού πεδίου στο εσωτερικό και το εξωτερικό της σφαίρας;

13. ∆είξτε ότι µια τριάδα αριθµών ),,( zyx bbb αποτελεί διάνυσµα αν και µόνο αν για κάθε διάνυσµα ),,( zyx aaaa =

r , η ποσότητα zzyyxx bababa ++ είναι αναλλοίωτο µέγεθος. 14. Ελέγξτε αν οι ακόλουθες τριάδες αριθµών αποτελούν διάνυσµα: (α) )3,2,( zyx aaa , και (β)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂

∂

∂∂

za

ya

xa zyx ,, , όπου η τριάδα ),,( zyx aaa αποτελεί διανυσµατικό πεδίο .

15. (α) Σε δύο διαστάσεις η στοιχειώδης επιφάνεια µεταξύ δύο διαφορικών διανυσµάτων bdadrr,

ορίζεται ως xyyx dbdadbdadS −≡ . ∆είξτε ότι η ποσότητα αυτή είναι µονόµετρο µέγεθος. (β)

Σε τρεις διαστάσεις η στοιχειώδης επιφάνεια ορίζεται ως:

zyx

zyx

dbdbdbdadada

zyxSd

ˆˆˆ≡

r. ∆είξτε ότι η

τριάδα αυτή αριθµών αποτελεί διάνυσµα. 16. Σχεδιάστε τις δυναµικές γραµµές του πεδίου δυνάµεων xyyxF ˆ)(ˆ)( Θ+Θ=

r. ∆είξτε ότι το

πεδίο δεν είναι συντηρητικό. 17. Υπολογίστε σε κυλινδρικές συντεταγµένες τον τελεστή βαθµίδα ∇

r. [Υπόδειξη:

Χρησιµοποιείστε την ταυτότητα VrddV ∇⋅=rr .] Στη συνέχεια υπολογίστε τον στροβιλισµό

ενός κεντρικού πεδίου: ( ))(ˆ rfer×∇r

.

Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτος 7/1/2000

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ I (H΄ ΣΕΙΡΑ)

ΤΑΞΙ∆Ι ΑΠΟ ΤΗ ΓΗ ΣΤΟΝ ΟΥΡΑΝΟ

Ο µεγάλος ηµιάξονας της τροχιάς ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο (θεωρείστε τον Ήλιο ακίνητο) είναι a . Αποδείξτε ότι η συνολική ενέργεια του πλανήτη είναι

aGmME

2−=

όπου G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας, M η µάζα του Ήλιου, και m η µάζα του πλανήτη. Έστω τώρα ότι ο πλανήτης βρίσκεται σε µία κυκλική τροχιά περί τον ήλιο (όπως η τροχιά της Γης που έχει πολύ µικρή εκκεντρικότητα) ακτίνας r . Αποδείξτε ότι η ταχύτητα διαφυγής, escv , του πλανήτη από το βαρυτικό πεδίο του Ήλιου είναι

cesc vv 2= , όπου cv η ταχύτητα του πλανήτη στη κυκλική τροχιά. Υπολογίστε τη ταχύτητα διαφυγής της Γης από το βαρυτικό πεδίο του ήλιου (η απόσταση Ήλιου Γης είναι µία αστρονοµική µονάδα µήκους 1 kmAU 8105.1 ×= ). Ένα διαστηµόπλοιο βρίσκεται στη Γη. Ποία η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να αποκτήσει (ως προς τη Γη) ώστε να διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο του ήλιου (αποδείξτε ότι σε πολύ καλή προσέγγιση δεν χρειάζεται στον παραπάνω υπολογισµό να συµπεριλάβετε την δυναµική ενέργεια από το βαρυτικό πεδίο της Γης. ∆ίδεται η µάζα του Ήλιου kgM H

30102×= , η µάζα της Γης kgM E24106×= , η ακτίνα της

Γης kmRE 6370= ). Θέλουµε να στείλουµε τον δορυφόρο σε αποστολή στον πλανήτη Ουρανό που βρίσκεται AU2.19 από τον ήλιο. Αποδείξτε , αµελώντας και πάλι την επίδραση του βαρυτικού πεδίου της Γης, ότι η βέλτιστη (µε την έννοια της οικονοµίας καυσίµων) τροχιά του διαστηµοπλοίου από τη Γη στον Ουρανό έχει πολική εξίσωση:

θcos901.01901.1

+=r

όπου r η απόσταση του δορυφόρου από τον ήλιο σε αστρονοµικές µονάδες και θ η πολική γωνία του δορυφόρου µε κέντρο τον Ήλιο. Υπολογίστε το λόγο της ταχύτητας του δορυφόρου στο περιήλιο (το κοντινότερο σηµείο στον ήλιο) ως προς τη ταχύτητα διαφυγής από το ηλιακό σύστηµα. Κάνοντας χρήση του τρίτου νόµου του Κέπλερ υπολογίστε πόσος χρόνος απαιτείται για το ταξίδι από τη Γη στον πλανήτη Ουρανό.

Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου

Ερευνητικό πρόβληµα Χριστουγεννιάτικη πρόκληση

Έχουµε δείξει ότι το µονοδιάστατο δυναµικό που δηµιουργεί ισόχρονες

ταλαντώσεις ενός σωµατιδίου είναι το δυναµικό αρµονικού ταλαντωτή 2

21)( kxxV = .

∆είξαµε επίσης ότι η περίπτωση ελεύθερης (δίχως τριβές) ταλάντωσης µιας χάντρας σε σύρµα σχήµατος )(xy στο οµογενές βαρυτικό πεδίο της Γης είναι ελαφρώς διαφορετική από την κίνηση σωµατιδίου σε µονοδιάστατο δυναµικό ίδιας µορφής ( )()( xgyXV = ). Έτσι η ταλάντωση χάντρας περασµένης σε σύρµα είναι ισόχρονη αν το σύρµα έχει κυκλοειδές σχήµα, δηλαδή: [ )cos1( ξ−−= Ry , )sin( ξξ −= Rx , µε

πξ 20 ≤≤ ] (αποδείξτε το). Κατ’ αναλογία σε κεντρικό δυναµικό η επίπεδη τροχιά ενός σωµατιδίου είναι

κλειστή (επιστρέφει στο σηµείο από όπου ξεκίνησε) όταν το δυναµικό είναι είτε της

µορφής r

krV2

)( −= είτε της µορφής 22)( rkrV = . Προφανώς η κίνηση σωµατιδίου

σε λεία αξονικά συµµετρική (γύρω από τον άξονα z) επιφάνεια της µορφής )(ρfz = , όπου ρ η απόσταση από τον άξονα z, θα είναι παραπλήσια, αλλά όχι

ακριβώς ίδια, µε την κίνηση σωµατιδίου σε κεντρικό δυναµικό της µορφής )()( rgzrV = . Βρείτε τη µορφή της επιφάνειας αυτής που οδηγεί σε κλειστές και πάλι

τροχιές.