NOTAS DECLASE

•Nexos en el razonamiento proporcional:Palancas, media aritmética, promedio

ponderado, mezclas, porcentajesde bateo y velocidades

Introducción

Considere los siguientes casos:

1) Dos niños de distinto peso se quieren balancear en un "sube y baja" (Fig.1). ¿Dónde se tiene que sentar el niño más pesado con respecto al punto de apo-yo?

Figura 1

2) Un comerciante vende dos clases de nueces. Una cuesta 90 pesos el ki-logramo, y la otra, 60 pesos también el kilogramo. Él quiere preparar 50 kg de .mezcla, que cueste 72 pesos el kilo. ¿Cuántos kilos de cada clase debe usar?

3) Un jugador de beisbol tiene un "porcentaje" de bateo de 0.250 (15 hits en60 "veces al bat") al iniciar un juego. Esa tarde él batea y logra 3 hits en 4 turnosal bat. ¿Cuál es su nuevo "porcentaje" de bateo?

4) Un viajero maneja su auto en la primera mitad de su recorrido a 60km/h, y la segunda mitad a 120km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio en todo elviaje?

Alfinio Flores PeñafielArizona State University

Tempe, AZ

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Una forma de establecer nexos dentro de las matemáticas y con otras áreas, eshacer explícito lo que estos problemas, aparentemente tan distintos, tienen en co-mún, y cómo se pueden representar de manera semejante. Las ideas unificadorasque subyacen en todos estos problemas son las de cantidades inversamente pro-porcionales y promedios ponderados. Las nociones de variación simultánea ycomparación multiplicativa son un aspecto fundamental del razonamiento pro-porcional que se pueden hacer explícitas al resolverlos. El razonamiento de pro-porcionalidad es uno de los componentes más importantes del pensamiento for-mal que se adquiere en la adolescencia. Hoffer y Hoffer (1992) señalan que si nose desarrolla el razonamiento proporcional, los alumnos no pueden proseguir es-tudios en una variedad de disciplinas que requieren pensamiento y comprensióncuantitativos, incluyendo el álgebra, la geometría, algunos aspectos de biología,así como la química y la física, desde luego. Frecuentemente el tema no se enseñabien, lo que hace que muchas veces los alumnos traten de resolver problemas co-mo los anteriores en forma meramente computacional, lo que propicia la mani-pulación sin sentido de símbolos y fórmulas. NCTM (1989) afirma que el razona-miento de proporcionalidad es de tal importancia, que amerita que se le dediqueel tiempo y esfuerzo necesarios para asegurar que se desarrolle adecuadamente.Los alumnos necesitan considerar muchos problemas en situaciones que puedanser modeladas mediante dicho razonamiento. Los alumnos pueden obtener unamejor comprensión de palancas, promedios, mezclas y velocidades, relacionandoesos problemas. Además, pueden aprender otra forma de resolverlos, y ser capa-ces de relacionarlos con otras situaciones conocidas o con representaciones alter-nas.

La palanca

La palanca obedece los siguientes principios básicos:

1) Pesos iguales que están a distancias iguales del punto de apoyo,se hallanen equilibrio (Fig. 2).

Figura 2

2) El equilibrio de una palanca con un peso p en cada extremo, no se altera sise remplazan ambos pesos por uno solo 2p en el punto medio. Recíprocamente,2p en el centro puede ser remplazado por p en cada extremo sin alterar elequilibrio (Fig. 3). .

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De estos dos principios podemos obtener la ley de la palanca (Pólya, 1977):Si una palanca está en equilibrio, y Pl YP2 son los pesos, y d, Ydz sus respecti-

vas distancias del punto de apoyo, entonces Pldl = P2d2, esto es, el momento defuerza que tiende a hacer girar en un sentido es igual al momento que hace giraren sentido contrario (Fig. 4).

P1-O P2

zrs: Q-Figura 4 ~d1 )( d2 --7

Podemos expresar también esta ley como

Pl d2-=--P2 d,

El peso mayor está más cerca del punto de equilibrio que el peso menor. Lospesos y las distancias correspondientes son inversamente proporcionales. Losalumnos pueden relacionar esta ley con la experiencia del "sube y baja". Dos ni-ños que no pesan lo mismo de todos modos se pueden divertir si el niño más pesa-do se sienta más cerca del punto de apoyo, y el más ligero más lejos, en razón in-versa a la razón de sus pesos.

La media aritmética y la palanca

La media aritmética (o promedio) de dos números Xl y X2' es X = (Xl + X2}12. Losalumnos pueden ver fácilmente que en la recta numérica la media de dos númeroscorresponde al punto medio entre ellos. Nótese la semejanza con la posición delpunto de equilibrio al equilibrar dos pesos iguales (Fig. 5).

Figura 5

En general; dicho promedio o media de un conjunto de datos Xh X2' X3, ••• , X" esigual a la suma de todos los valores, dividida entre el número de ellos:

Xl + Xz + ... + x"(I) X = n

En este caso también se le puede dar un sentido fisico a la media aritmética deun conjunto de datos. La recta numérica se considera como una palanca (sin pe-so), y colocamos un peso unitario en los números que queremos promediar. La

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.•.• Pág. 116 • EDUCACIÓNMATEMArlCA .• Vol. 7 - No. 2 -Agosto 1995 • © GEl •

media es el número que corresponde al centro de equilibrio de esos números. Si elpunto de apoyo de la palanca está en la media (Fig. 6), X-Xi, es la distancia (consigno) de X; a x; es decir (X' - X;:) X 1es el momento análogo a la torea en la palan-ca (con signo) debido al peso unitario en X;, y el sistema está así en equilibrio (Flo-res 13 White, 1989).

Figura 6

Decir que el sistema está en equilibrio significa que los momentos se cancelanut os a otros, esto es, la suma de momentos es igual a cero, lo que equivale a

(2)

Por ejemplo, 6 es el promedio de 2,4,5,9, 10 (Fig. 7) ya que

(6 - 2) + (6 - 4) + (6 - 5) + (6 - 9) + (6 - 10) = O

Figura 76

La media X de los valores Xl' X2' X3, oo., x, es el único número que hace que la su-ma (2) sea igual a cero. Esta caracterización de la media se presta mejor a la in-terpretación física anterior, Yequivale a la fórmula (1), la cual es más compactadesde el punto de vista de cómo calcular.

-Con la interpretación de la media como el centro de equilibrio podemos ver porqué un sólo dato que sea muy diferente de los demás, tiene un efecto tan grandesobre la media: un peso en tal posición tendría un brazo de palanca muy grande.Por ejemplo, si los datos fueran 1,2, 3,4, 15, entonces su media y = 5 no es muyrepresentativa, ya que es mayorque cualquiera de los datos excepto el15 (Fig. 8).

El efecto de datos extremos sobre la media

Figura 8

Nótese también que al eliminar un solo dato extremo (15), el promedio cambianotablemente. El nuevo promedio es 2.5, que es el punto medio de los datos res-

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tantes. La sensibilidad de la media aritmética a datos extremos es la razón por lacual otras medidas centrales, tales como la mediana, son importantes al describirun conjunto de datos.

(3)

Promedios ponderados y una palanca

El promedio ponderado de una serie de datos también se puede interpretar fisica-mente. Si se colocan diferentes pesos en diversos puntos de la palanca, el prome-dio ponderado corresponderá al punto de equilibrio. El número de veces que apa-rece cada dato es su "peso" o ponderación. El promedio estará más cerca de undato que se repita muchas veces (tenga un peso mayor). Por ejemplo, el promedioilustrado en la Figura 9, es 4. Como el peso en 3 es cinco veces mayor que el pesoen 9, la distancia entre 3 y el promedio será 1/5 de la distancia entre el promedioy9.

Figura 9

Esto es, el promedio satisface la expresión

.Es decir,

o bien

Lo que es equivalente a .

Para obtener el promedio hay que multiplicar cada dato por el número de ve-ces que aparece y dividir el total entre el número de datos. El promedio de 4, 4, 4,4,4,10 es

5X4+1xlO=51 + 5

Los alumnos pueden relacionar el promedio ponderado con el "sube y baja".La posición de equilibrio corresponde a la posición del promedio ponderado delas posiciones de los dos niños, si la tabla se considera como una recta numérica.

Con más dates, la misma idea funciona bien. El punto. de equilibrio. satisface

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Figura 10 6

¡

x= P1Xl + P~2 + ... + p"xn

Pl + P2 + oo. + P,.

p¡{7-xJ + P2(Y-X2) + oo. + p,.(X-x,,) = O

que equivale a

Por ejemplo, el promedio de 2,4,4,4,5,5,8,8, 10, 10 es

1 x 2 + 3 x 4 + 2 x 5 + 2 x 8 + 2 x 10 =61 + 3 + 2 + 2 + 2 i

t

Conviene advertir que esta fórmula no. es sólo. un atajo. para calcular, sino. que elpromedio ponderado (Fig. 10) puede ayudar a les alumnos a entender situacionesen las que les valores medies se tienen que obtener utilizando. les peses apro-piados, como en les siguientes des ejemplos:

a) Un maestro. quiere calificar de la siguiente manera: tarea 200'/0,exámenesparciales 20%, laboratorio 30%, examen final 30%. ¿Cómo. debe prome-diar las calificaciones de les alumnos? ¿Cuáles son les "peses" en esta si-tuación?

b) Un alumno. desea obtener su promedio de calificaciones. Les cursespueden ser de 3, 4 o.5 créditos, y las calificaciones pueden variar de 5 a 10.¿Cómo debe tratar las calificaciones? ¿Cuáles son les "peses"?

Problemas de mezclas, la palanca y el concepto de proporcionalidad 1

IIi

En una palanca, una serie de peses se pueden cambiar, sin alterar el equilibrio,poniendo todos en el punto. que corresponde al de equilibrio. De manera semejan-te, podemos remplazar una serie de dates por su promedio ponderado, Siguiendo.esta idea es posible encontrar un método alternatiYOp~i~;¡esQJ.r~r;;¡,(o.b,:lemasde

mezclas. Por ejemplo: ", '. ,: . ._'.~'·".~~--~~:.~=:~~~;:;~...;:~if~:.-~Un comerciante mezcla 12,kg de cacahuates"'que·v~OOlkg~·con-8 kg.dl!

nueces que valen $9.00/ kg. ¿A qué precio debe dar la mezclai: ,'- .:. , ~.

, Sea P el precio. de la mezcla. El precio debe estar entre los"des dados, pero. no.exactamente a la mitad, ya que hay una cantidad mayor -,~e cacahuates que cues-

- - ~;

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tan menos. Para ser precisos, el promedio se debe localizar de manera que la dis-tancia a cada uno de los precios sea inversamente proporcional a cada cantidad.Como los pesos están en razón de 12/8 (= 312), p debe ser el punto entre 4 y 9que divide al segmento según la razón de 3 a 2, yp está más cerca de 4 que de 9, yaque hay más peso en 4 (Fig. 11).

Figura 12 72

12

pFigura 11

Otros tipos de problemas de mezclas pueden ser resueltos también utilizandoel auxilio de la palanca. Este problema está adaptado de Pólya (1981).

Un comerciante vende dos clases de nueces. Una cuesta 90 pesos el kilogramo,la-otra 60 pesos el kilo. Desea hacer 50 kg de una mezcla que cueste 72pesos el ki-lo. ¿Cuántos kilogramos de cada clase debe usar?

Representaremos esta situación en la recta numérica, considerada como unapalanca. Ahora se tiene la situación inversa, todos los pesos en el punto deequilibrio 72, y se quiere poner algunos de éstos en 60 y otros en 90, sin alterar elequilibrio (Fig. 12).

Como la distancia de 90 a 72 es mayor que la de 60 a 72, hay que poner másnueces de la clase más barata en la mezcla para equilibrar la palanca. Para sermás precisos, la razón de los pesos será inversamente proporcional a la razón delas diferencias respecto del precio promedio. La relación entre la cantidad de lasnueces más baratas, x, y la cantidad de las nueces más caras, y,está dada por.

x 90 - 72 18-= =--,Y 72 - 60 12

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Así, la proporción entre los pesos es de 3 a 2 (Fig. 13). Combinando esta in-formación con el hecho que el peso total está dado por x + y = 50, es claro quenecesitamos 30 kg de las nueces más baratas y 20 kg de la clase más cara.

Figura 13 72

"Porcentajes" de bateo. Combinación de razones

Para calcular el "porcentaje" de bateo de un jugador no sacamos simplernen-te el promedio aritmético de su porcentaje anterior de bateo y el porcentaje en uncierto partido. Si tal porcentaje de un jugador al comenzar un partido era 0.250(15 de 60), y batea con 0.750 (3 de 4) durante el partido, el número total de hits es18, y el total de veces al bat, 64. El nuevo porcentaje de bateo es 18/64 = 0.281(Fig. 14).

60

4

Figura 14

La forma en que se calcula ese "promedio" es un ejemplo de cómo dos razo-nes a/b y cid se combinan para formar una nueva razón (a + c)/(b + d). Ésta sehalla entre las dos razones anteriores:

Si .!!.- < ~ entonces .!!.- < a + e < ~b a: b b+d d

Podemos dar una interpretación geométrica a esta desigualdad: la pendiente(a + c)/(b + d) es una intermedia entre las pendientes al b y eld (Fig. 15).

...

~~----;a+c

Figura 15 b+d

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Si a y b son respectivamente mucho mayores que e y d, entonces

ab

y a + eb + d

estarán muy cerca. La pendiente de la hipotenusa del triángulo con catetos a y bes muy parecida a la pendiente de la hipotenusa del triángulo con catetos a + e yb + d (Fig. 16).

e

a + e

b+dFigura 16

Esta forma de combinar razones es en realidad un promedio ponderado de dosrazones. En el caso del ejemplo del porcentaje de bateo, ¿cuáles son los "pesos"que corresponden a 0.250 y a 0.750?

De ida y vuelta. Promedios de velocidades

Algunos conductores de auto estiman que si manejan la primera mitad del re-corrido en un viaje con velocidad de 60 km/h, y la segunda mitad de la distancia a120 km/h, la velocidad media, o promedio de todo el viaje será de 90 km/h (y pa-ra su sorpresa llegan más tarde de lo que piensan). Se puede ver con un ejemploque 90 km/h no es la velocidad media. Supongamos que el conductor recorre 60km a 60 km/h y luego 60 km a 120km/h. Obtenemos la velocidad promedio divi-diendo la distancia total entre el tiempo total. Para la primera parte del' viaje selleva una hora, para la segunda parte, media hora. La velocidad promedio es en-tonces (60 + 60) km/(l.5 h) = 80 km/h. El tiempo que se requiere para cada unade las partes no es el mismo, y la velocidad menor se tiene que "pesar" o ponde-rar más que la velocidad mayor. Cercanamente relacionada con este problema esla situación de un avión que va con viento en contra en el vuelo de ida, y con vien-to a favor en el de regreso. Otro ejemplo es desde luego remar río arriba y luegode regreso.

Razonamiento de proporcionalidad al combinar velocidades

Algunas veces los alumnos tienen dificultad para resolver el problema de veloci-dades enunciado antes, porque no pueden calcular el tiempo total, ya que no seda la distancia. Podemos considerar este problema en términos de razonamientoproporcional y utilizar el mismo principio de la palanca.

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Para obtener la velocidad promedio de un objeto que viaja con dos velocida-des distintas durante tiempos iguales, el promedio aritmético de las velocidades esapropiado (¿por qué?). Si lo que es igual no son los tiempos sino las distancias,tenemos que "pesar" las velocidades de manera apropiada antes de prome-diarIas. Por ejemplo, si la velocidad VI es dos veces mayor que la otra velocidadV2' para distancias iguales el conductor pasará el doble del tiempo viajando a lavelocidad menor. La velocidad media deberá estar más cerca de la velocidad me-nor en una razón de 1a 2. Si la velocidad es tres veces mayor, entonces el tiempo ala velocidad menor será tres veces más grande, y el promedio estará más cerca dela velocidad menor en una razón de 1 a 3. En general, el tiempo de viaje a una ve-locidad será inversamente proporcional a la misma. Al promediar velocidadessobre distancias: iguales, el "peso" que debemos dar a cada velocidad es precisa-mente el inverso de cada velocidad (Fig. 11).

Figura 17 80' .

La media armónica

Otra forma de resolver el problema es calcular la velocidad promedio sobre todoel intervalo. Para hacer esto; calculamos la distancia total y dividimos entre eltiempo total. Si viajamos a velocidades. a y b, sobre distancias iguales d, el tiemporequerido para recorrer la primera distancia es d/a, y la segunda, d/b. La veloci-dad promedio es entonces

2d 2 2ab-..:;:.:,:.--, =-=-.!!..+.!!.. 1. + 1- a + b'a b a b

h = 2aba+b

se le llama la media armónica de a y b. De modo que para obtener la velocidadpromedio de un objeto que viaja distancias iguales con velocidades distintas, debeusacse la media armónica de las velocidades, y no la media aritmética. La mediaarmónica de h de a y b se expresa a veces como

y también puede ser expresada como

ab

a-h= h-b

/ i,.

- ..•ré) GEl • Pág. 125 •

- ..., rr»• EDUCACIÓN MATEMÁTICA • Vol. 7 - No. 2oAgoSL'-

Podemos hacer explícita la semejanza de esta fórmula con (3), esto es, que h.es el promedio ponderado de a y b, con "pesos" 1/a y 1/ b, respectivamente,escribiendo

1/b a - h--=l/a h - b

Al comparar los dos enfoques para promediar velocidades distintas sobre dis-tancias iguales, por un lado utilizando la media armónica y por otro "pesando"las velocidades, es posible ver que la media armónica es en general menor que lamedia aritmética, ya que la velocidad promedio estará más cerca de la velocidadmenor que de la mayor. Sin embargo, si las velocidades no son muy diferen-tes, la media aritmética de las dos velocidades será una buena aproximación a lavelocidad promedio. Un procedimiento frecuentemente utilizado, en carreras deautomóviles en pistas cerradas, para promediar velocidades en vueltas diferentes,es utilizar la media aritmética de las velocidades en cada vuelta, en vez de calcularla distancia total y dividir entre el tiempo total. (¿Cuáles corredores se beneficia-rán más con este método "incorrecto"? ¿Aquéllos cuyas velocidades son muy pa-recidas de vuelta en vuelta, o aquéllos cuyas velocidades varían mucho de unavuelta a otra?)

.Otras medias y relaciones con la geometría

Otra media que se usa en matemáticas es la media geométrica (también llamadamedia proporcional). La media geométrica de a y b se define como ~ (o comoel número x que satisface la proporción a/x = x/by. Si tenemos un rectángulo delados a y b, entonces la media geométrica será la longitud del lado del cuadradocon igual área que el rectángulo. Otra representación de la media geométrica estáen la figura 18. Para demostrar esto se usa el hecho de que la altura sobre la bi~tenusa de un triángulo rectángulo, divide al triángulo en otros dos semejantes: aél. Puede emplearse la Figura 18 también para demostrar que (a + b)/~ ~.J(ib.

Figura 18 ¿.(_- b ----4)~ 87

Puede darse otra interpretación geométrica de la media aritmética, la mediageométrica, y la media armónica (Beckenbach I3 Bellman, 1975). En un trapeciocon bases a y b, la media aritmética corresponde a la paralela con la base mediadel trapecio (Fig. 19). La media geométrica..[ib corresponde a la longitud de laparalela que divide al trapecio en dos trapecios semejantes. La media armónicacorresponde a la paralela que pasa por el punto de intersección de las diagonales.--~-------------------------------------------

· _••. ~ •• EDUCACI6NMATEMÁTICA • Vol. 7 - No. 2 -Agosto 1995 • © GEl.

a

lI

Conclusión 1ti

a + b-2-

h-~- a + b

bFigura 19

Además, hay otra media de dos números que se usa algunas veces en matemá-ticas, la media cuadrática que se obtiene como

,.,..~

La media cuadrática corresponde a lalongitud de la paralela que divide al tra-pecio en dos áreas iguales. Del trapecio, o con un poco de álgebra para cada des-igualdad, puede captarse la relación entre las medias armónica, geométrica, arit-mética, y cuadrática:

2aL <.JCib < a + b < ' / a2 + b2

a + b 2 'V. 2

Un buen ejercicio para los alumnos que estén familiarizados con triángulos se-mejantes, es probar que las diferentes medias de a y b corresponden a las parale-las mencionadas en el trapecio, otro contexto en el que pueden practicar el razo-namiento de proporcionalidad. . •

Al considerar estos cuatro contextos, Yapreciar la estructura matemática subya-cente explícita, y dar representaciones alternativas de los conceptos así como rela-

, cionarlos unos con otros, es posible ayudar a los alumnos a desarrollar una mejorcomprensión conceptual, y a ir más allá de la mera habilidad computacional deresolver cada uno de los problemas por separado. Aunque los problemas en sí nohacen que necesariamente el alumno utilice el razonamiento de proporcionalidad,

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podemos enfatizar métodos que hagan explícitos los aspectos de comparaciónmultiplicativa y variación simultánea, lo cual es un elemento importante de talevaluación. Además, enlazar ideas tales como promedios ponderados y propor-ciones inversas que aparecen en diferentes temas de las matemáticas, y conectarcon las ideas de otras áreas como la física, puede dar a los alumnos no sólo unamejor comprensión del razonamiento proporcional, sino también una mejor ideade su importancia. Quienes desarrollan un sentido físico para cantidades como elpromedio, y adquieren una idea intuitiva acerca del problema y de la solución,pueden utilizar el contexto como guía para ver de qué modo operar con propor-ciones. Para el lector interesado se sugiere leer el trabajo de Mochon (1993), don-de discute otros contextos que dan la pauta acerca de cómo se suman razones, ra-zones de cambio y fracciones.

Referencias

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Hoffer, Alan R. y Hoffer, Shirley Ann K."Ratios and proportionaI reasoning."En Thomas R. Post (ed.), Teachingmathematics in grades K-8 Research ba-sed methods (p. 303-330). Boston: Al-lyn and Bacon, 1992. '

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Pólya, George. Mathematical methods inscience. Washington, D.C.: Mathema-tical Association of America, 1977.

Pólya, George. Mathematical discovery:On understanding, leaming and tea-ching problem solving. New York: Wi-ley, 1981.