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NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)
Cours 5-a
Problèmes scalaires instationnairesd’ordre 1 en temps
• Domaines d’application• Notions de schémas explicite, implicite• Critère de stabilité
NF04 - Automne - UTC 2Version 09/2006 (E.L.)
Domaines d’applications (1/2)
Exemple 1 : échauffement instationnaire d’un disque de frein
Source : www.espci.fr
Source : fr.wikipedia.org
Source : univ. Lyon
Simulation champ de température
T(x,t)
Temps (s)
20°C
500°C
Phase transitoire Phase stabilisée = stationnaire
1ère partie du cours de NF04 !
Rele
vé sig
nal d
’une
son
de
Condition Initiale =
ZOOM Modèle physique
Modèle numérique
NF04 - Automne - UTC 3Version 09/2006 (E.L.)
Domaines d’applications (2/2) Exemple 2 : transport d’une concentration (polluant …) dans un
lac
temps
Lignes d’iso-concentration
NF04 - Automne - UTC 4Version 09/2006 (E.L.)
Modèles mathématiques
Thermique :
Transport d’un polluant :
stationnaire
. ( , , ) 0, ( , )(
,, , )
0p vk T xT x y
y t f x y Vt
C tt
diffusion transport
( ...)
. ( , , ) ( , ) ( , , ) 0,(
( , ), , )
0,v
productionchimie
C x yk C x y t
tt
tV x y C x y t f x y V
Capacité calorifique
Vitesse d’écoulement
NF04 - Automne - UTC 5Version 09/2006 (E.L.)
Modèle simplifié : pas de variable d’espace Evolution de la concentration dans un réservoir
Condition initiale : eau+polluant, C(t=0)=CoLe processus consiste à purger le réservoir avec de l’eau pure (C=0)On a :
V : volume du réservoir [litres] C(t) : concentration homogène (mélangeur) [gr/litre] q : débit [litres/sec.]
Mélangeur (utile pour avoir une concentration homogène)
Volume V
Concentration C(t)
q q
Litre/sec.Entr
ée S
ort
ie
NF04 - Automne - UTC 6Version 09/2006 (E.L.)
Modèle mathématique (purge du réservoir)
Bilan de matière entre deux instants :
Soit la relation :
En prenant la limite pour :
Condition initiale : C(t=0)=Co
quantité à t+Δt quantité à t quantité perdue
( ) ( ) ( ) unités=[gr]V C t t V C t q C t t
( ) ( )( ) 0
C t t C tV q C t
t
0t
( )( ) 0
dC tV q C t
dt
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Discrétisation de la dérivée en temps
Utilisation d’une formule de discrétisation décentrée à l’ordre 1 :
1( )
...n ndC t C C
tdt t
1 ,n nC C t t C C t Notations :
Instant inconnu où la pente approximée est confondue avec la pente exacte !
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Schémas de discrétisation en temps
On injecte la discrétisation en temps :
Remarque : cette discrétisation est exacte si est connu !
impossibilité de déterminer ! Il est alors nécessaire de faire un choix.
Principaux choix :1. (instant n)2. (instant n+1/2)3. (instant n+1)
1
0 avecn nC C q
Ct V
t t t
t 2tt
tt
MAIS
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Principaux schémas utilisés
Instant n :
Instant n+1/2 :
Instant n+1 :
Schéma EXPLICITE
Schéma SEMI-IMPLICITE ou de Cranck-Nicholson
Schéma IMPLICITE
1
0n n
nC C qC
t V
1 11/ 2 1/ 2
20 avec
n n n nn nC C q C CC C
t V
11 0
n nnC C qC
t V
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Ecriture générale
Il est possible de regrouper tous les schémas en une seule expression fonction d’un paramètre variable. On écrit :
pour aboutir à :
avec :
=0 : schéma explicite
=1/2 : schéma de Cranck-Nicholson
=1 : schéma implicite
11 n nC C C
1 1n nV t q
V q tC C
Question : une fois retenu le choix du schéma, quelle valeur donner à t ?
NF04 - Automne - UTC 11Version 09/2006 (E.L.)
Choix du t conditionné par la stabilité du schéma
Ecriture générale de la forme récurrente :
1 ...n nGC C Coefficient d’amplification
=0 dans le cas présent
Important !
Un schéma est dit :
• Stable sans oscillation si :
• Stable avec oscillation si :
• Instable si :
0 1G
1G
1G
En déduire une valeur maximale pour t afin d’assurer la stabilité numérique du schémaIdée !
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Illustration de la stabilité
0 1G
Stable sans oscillation1G
Stable avec oscillation 1G
Instable
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Preuve du critère de stabilité
La stabilité d’un schéma est évaluée par une méthode de perturbation de la solution.
1. Introduction d’une perturbation à l’instant n : n
2. Calcul de l’évolution de la perturbation à l’instant n+1 : n+1
Forme générale de la relation de récurrence :
On considère les perturbations :qui insérées conduisent à :
1 resten nC G C
1 1 1 etn n n n n n
devient
C C C C
1 1
1 1
1
=0 !
reste
reste
n n n n
n n n n
n n
C G C
C G C G
G
•Le « reste » n’influence pas la stabilité•La perturbation est régie par la même relation de récurrence
A retenir !
Pre
uv
e
Stable si n+1≤ n
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Application au schéma explicite
L ’évolution est régie par la relation :
Une stabilité sans oscillation requiert :
Soit :
Une stabilité avec oscillation requiert :
Soit :
1 1n n
G
t q
VC C
0 1G
1 1 1 d'où : 0 (toujours vérifié)t q
G tV
0 0 1 soit crit
t q VG t t
V q
1 ou 1 1G G
2crit
Vt t
q
Con
dit
ion
s d
e
stab
ilité
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Application au schéma implicite
L ’évolution est régie par la relation :
Pour ce schéma, le critère de stabilité sans oscillation est toujours vérifié.
Le schéma est dit inconditionnellement stable !
Remarque : de manière générale, pour une équation linéaire, un schéma implicite sera toujours inconditionnellement stable !
1 1
1
n n
G
t qC
V
C
0 1G
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Illustration des solutions explicite et implicite
NF04 - Automne - UTC 17Version 09/2006 (E.L.)
Choix du type de schéma à utiliser
(+) (-)Utilisation préconisée
EXPLICITE Facile à programmer (pas de matrice à inverser)Très précis
Stable sous conditionPas de temps minimum pouvant être pénalisant
transitoires rapides
(chocs …)
IMPLICITE Inconditionnellement stable
Plus « lourd » à programmer (matrice à inverser)Souvent moins précis
transitoires lents