NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH · PDF file . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM

NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ

LỚP PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN PHỨC

LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC

Thái Nguyên - năm 2010

www.VNMATH.com


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM

NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - Năm 2010

www.VNMATH.com


1

Më §Çu

Lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna ®îc ®¸nh gi¸ lµ mét trong

nh÷ng thµnh tùu s©u s¾c cña to¸n häc trong thÕ kû hai m¬i. §îc h×nh thµnh tõ

nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû, lý thuyÕt Nevanlinna cã nguån gèc tõ nh÷ng c«ng

tr×nh cña Hadamard, Borel vµ ngµy cµng cã nhiÒu øng dông trong çc lÜnh vùc

kh¸c nhau cña to¸n häc.

Vµo n¨m 1925, Nevanlinna ®· ph¸t triÓn lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ víi xuÊt

ph¸t ®iÓm lµ c«ng thøc næi tiÕng Jensen. Lý thuyÕt cã néi dung chñ yÕu lµ ®Þnh lý

c¬ b¶n thø nhÊt, ®Þnh lý c¬ b¶n thø 2 vµ quan hÖ sè khuyÕt.

Néi dung luËn v¨n gåm hai ch¬ng:

Ch¬ng I: Tr×nh bµy c¬ së lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna.

Ch¬ng II: Tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ nghiÖm toµn côc cña ph¬ng tr×nh

vi ph©n phøc dùa trªn bµi b¸o nghiÖm toµn côc cña mét sè líp ph¬ng tr×nh vi

ph©n phøc cña t¸c gi¶ Ping Li.

KÕt qu¶ cña luËn v¨n:

Cho P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f vµ nã cã ®¹o hµm ( víi hµm nhá cña f

coi nh lµ hÖ sè) cã bËc kh«ng lín h¬n n - 1 , p1, p2 lµ 2 hµm nhá cña ze vµ

1 2, lµ 2 h»ng sè kh¸c kh«ng. Sö dông lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña

Nevanlinna ®Ó t×m ra nghiÖm toµn côc siªu viÖt cña ph¬ng tr×nh vi ph©n phi

tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian phøc:

1 2

1 2 .z znf z P f p e p e

LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn vµ chØ b¶o tËn t×nh cña GS -

TSKH Hµ Huy Kho¸i. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c vµ thµnh kÝnh nhÊt ®Õn

www.VNMATH.com


2

ThÇy, ThÇy kh«ng chØ híng dÉn t«i nghiªn cøu khoa häc mµ ThÇy cßn th«ng

c¶m, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n.

T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n çc thÇy c« gi¸o khoa To¸n, khoa sau §¹i häc

trêng §¹i häc S ph¹m thuéc §¹i häc Th¸i Nguyªn, çc thÇy c« ViÖn To¸n häc

ViÖt Nam ®· gi¶ng d¹y, t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i hoµn thµnh khãa häc vµ

luËn v¨n.

T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ban Gi¸m hiÖu trêng cao ®¼ng C«ng NghÖ vµ

Kinh TÕ C«ng NghiÖp, ®Æc biÖt lµ çc ®ång nghiÖp trong khoa KHCB, gia ®×nh,

b¹n bÌ ®· quan t©m, gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc vµ hoµn thµnh luËn v¨n.

Th¸i Nguyªn, th¸ng 8 n¨m 2010

Häc viªn

Lu ThÞ Minh T©m

www.VNMATH.com


3

Ch¬ng I

C¬ së lý thuyÕt Nevanlinna

1.1. Hµm ph©n h×nh

1.1.1.§Þnh nghÜa: §iÓm a ®îc gäi lµ ®iÓm bÊt thêng c« lËp cña hµm f(z)

nÕu hµm f(z) chØnh h×nh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña a, trõ ra t¹i chÝnh ®iÓm ®ã.

1.1.2. §Þnh nghÜa: §iÓm bÊt thêng c« lËp z = a cña hµm f(z) ®îc gäi lµ

cùc ®iÓm cña f(z) nÕu limz a

f z

.

1.1.3. §Þnh nghÜa: Hµm f(z) chØnh h×nh trong toµn mÆt ph¼ng phøc ®îc

gäi lµ hµm nguyªn.

Nh vËy, hµm nguyªn lµ hµm kh«ng cã çc ®iÓm bÊt thêng h÷u h¹n.

1.1.4. §Þnh nghÜa: Hµm f(z) ®îc gäi lµ hµm ph©n h×nh trong miÒn

D nÕu nã lµ hµm chØnh h×nh trong D, trõ ra t¹i mét sè ®iÓm bÊt thêng lµ

cùc ®iÓm.

NÕu D = th× ta nãi f(z) ph©n h×nh trªn , hay ®¬n gi¶n, f(z) lµ hµm

ph©n h×nh.

*NhËn xÐt: NÕu f(z) lµ hµm ph©n h×nh trªn D th× trong l©n cËn cña mçi ®iÓm

,z D f z cã thÓ biÓu diÔn ®îc díi d¹ng th¬ng cña hai hµm chØnh h×nh.

1.1.5. §Þnh nghÜa: §iÓm z0 gäi lµ cùc ®iÓm cÊp m>0 cña hµm f(z) nÕu trong

l©n cËn cña z0 , hµm

0

1m

f z h zz z

, trong ®ã h(z) lµ hµm chØnh h×nh trong

l©n cËn cña z0 vµ 0 0h z .

1.1.6. TÝnh chÊt: NÕu f(z) lµ hµm ph©n h×nh trªn D th× f’(z) còng lµ hµm

ph©n h×nh trªn D. Hµm f(z) vµ f’(z) còng cã çc cùc ®iÓm t¹i nh÷ng ®iÓm nh

www.VNMATH.com


4

nhau. §ång thêi, nÕu z0 lµ cùc ®iÓm cÊp m>0 cña hµm f(z) th× z0 lµ cùc ®iÓm cÊp

m+1 cña hµm f’(z).

*NhËn xÐt: Hµm f(z) kh«ng cã qu¸ ®Õm ®îc çc cùc ®iÓm trªn D.

1.1.7. TÝnh chÊt: Cho hµm f(z) chØnh h×nh trong , ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó

f(z) kh«ng cã çc ®iÓm bÊt thêng kh¸c ngoµi cùc ®iÓm lµ f(z) lµ hµm h÷u tû.

1.2. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt

1.2.1. C«ng thøc Poisson-Jensen

§Þnh lý: Gi¶ sö 0f z lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn

z R víi0 R . Gi¶ sö 1,2,...a M lµ çc kh«ng ®iÓm, mçi kh«ng ®iÓm

®îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã, bv(v = 1,2,…N) lµ çc cùc ®iÓm cña f trong

h×nh trßn ®ã, mçi cùc ®iÓm ®îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. Khi ®ã nÕu

. , 0 , 0;iz r e r R f z f z th×:

2 2 2

2 2

0

2 21 1

1log log Re

2 2

log log .

i

M Nv

v v

R rf z f d

R Rrcos r

R z a R z b

R a z R b z

(1.1)

Chøng minh

*Trêng hîp 1. Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong z R .

Khi ®ã ta cÇn chøng minh:

2 2 2

2 2

0

1log log Re .

2 2

i R rf z f d

R Rrcos r

(1.1a)

+ Tríc hÕt ta chøng minh c«ng thøc ®óng t¹i z = 0, nghÜa lµ cÇn chøng

minh:

www.VNMATH.com


5

2

0

1log 0 log Re .

2

if f d

Do f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong h×nh trßn nªn hµm log f(z)

chØnh h×nh trong h×nh trßn ®ã. Theo ®Þnh lý Cauchy ta cã:

2

0

1 1log 0 log log Re .

2 2

i

z R

dzf f z f d

i z

LÊy phÇn thùc ta thu ®îc kÕt qu¶ t¹i z = 0.

2

0

1log 0 log Re .

2

if f d

+ Víi z tïy ý, chóng ta xÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c biÕn R thµnh 1 vµ biÕn

z thµnh 0 . §ã lµ ¸nh x¹:

2

.R z

R z

Nh vËy R t¬ng øng víi 1 . Trªn R , ta cã:

2

2log log log log log .

R zR z R z

R z

Nªn

22

2 2.

R z dd d zd

z R z R z z

(1*)

Do log f(z) lµ chØnh h×nh trong z R , theo ®Þnh lý Cauchy ta cã:

1

log log .2

R

df z f

i z

(2*)

www.VNMATH.com


6

MÆt kh¸c

22

1 1log log .

2 2R R

zd df f

Ri iR z

z

(3*)

Do z z R suy ra 2R

Rz

nghÜa lµ ®iÓm 2R

z n»m ngoµi vßng trßn

R , nªn hµm 2

1log f

R

z

lµ hµm chØnh h×nh. Nh vËy tÝch ph©n trong

vÕ ph¶i cña (3*) b»ng 0. KÕt hîp víi (1*) vµ (2*) ta cã:

22

2

1log log .

2R

R z df z f

i R z z

(1.2)

H¬n n÷a, trªn R , . ,i iR e d iRe d vµ

2

2 2

Re

Re 2 .

i i i

i

R z z R R re re

R Rrcos r

KÕt hîp víi (1.2) ta thu ®îc:

2 22

2 2

0

1log log Re .

2 2

iR r d

f z fR Rrcos r

(1.3)

LÊy phÇn thùc hai vÕ cña ®¼ng thøc (1.3) ta ®îc:

2 22

2 2

0

1log log Re .

2 2

iR r d

f z fR Rrcos r

§©y lµ ®iÒu cÇn ph¶i chøng minh.

www.VNMATH.com


7

* Trêng hîp 2: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm bªn trong

z R , nhng cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm cj trªn biªn

R . Víi 0 nhá tïy ý, ta ®Æt:

.j jD z R U c

Gäi D lµ chu tuyÕn cña D vµ lµ çc cung lâm vµo trªn D bao gåm

nh÷ng phÇn trªn ®êng trßn R cïng víi çc phÇn lâm vµo cña ®êng trßn

nhá b¸n kÝnh vµ t©m lµ çc kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm f(z) trªn R . Gi¶

sö iz re trong miÒn z R , tån t¹i ®ñ nhá sao cho z D . Khi ®ã:

22

2

1log log

2D

R z df z f

i R z z

(1.2a)

Gi¶ sö z0 lµ mét kh«ng ®iÓm hay cùc ®iÓm cña f(z) trªn R vµ lµ

cung trßn øng víi z0 trªn D . Khi ®ã trªn 0 ,

0 ...m

f z c z z

trong ®ã m > 0 nÕu z0 lµ kh«ng ®iÓm vµ m < 0 nÕu z0 lµ cùc ®iÓm. Suy ra

1

log logf z O

khi 0 .

Nh vËy:

1 1

log . . ,2

O M

trong ®ã M lµ mét ®¹i lîng bÞ chÆn. Ta thÊy

www.VNMATH.com


8

1

log . . 0O M

khi 0 .

Cho 0 trong c«ng thøc (1.2a), tÝnh tÝch ph©n thø nhÊt sÏ dÇn ®Õn tÝch

ph©n trong vÕ ph¶i cña (1.3), tÝch ph©n thø hai sÏ dÇn ®Õn 0. Nh vËy ta còng thu

®îc c«ng thøc (1.3) trong trêng hîp nµy vµ tõ ®ã suy ra (1.1).

*Trêng hîp 3. B©y giê ta xÐt trêng hîp tæng qu¸t, tøc lµ f(z) cã çc

kh«ng ®iÓm vµ çc cùc ®iÓm trong z R ®Æt:

2

1

21

1. .

Nv

Mv v

R bf

R a R b

R a

(1.4)

HiÓn nhiªn kh«ng cã kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm trong z R . Nh

vËy chóng ta cã thÓ ¸p dông c«ng thøc (1.1a) cho hµm . H¬n thÕ n÷a,

nÕu Rei th× :

21,

R a R a

R a a

vµ

21,

v v

v v

R b R b

R b b

nªn f .

VËy

2 22

2 2

0

2 22

2 2

0

1log log Re

2 2

1log Re .

2 2

i

i

R r dz

R Rrcos r

R r df

R Rrcos r

(1.5)

MÆt kh¸c:

www.VNMATH.com


9

2 21 1

2 21 1

log log log log

log log log .

M Nv

v v

M Nv

v v

R z a R z bz f z

R a z R b z

R z a R z bf z

R a z R b z

Thay log z vµo (1.5) ta thu ®îc kÕt qu¶.

*ý nghÜa: C«ng thøc Poisson-Jensen chØ ra r»ng, nÕu biÕt gi¸ trÞ cña

modulus f(z) trªn biªn, çc cùc ®iÓm, kh«ng ®iÓm cña hµm f(z) trong z R , th×

ta cã thÓ t×m ®îc gi¸ trÞ cña modulus f(z) bªn trong ®Üa z R .

Khi z = 0 ta ®îc hÖ qu¶ quan träng hay ®îc sö dông vÒ sau:

* HÖ qu¶: Trong nh÷ng gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý, ®ång thêi nÕu 0,f z

th× khi z = 0 trong ®Þnh lý (1.2.1) ta thu ®îc c«ng thøc Jensen.

2

1 10

1log 0 log Re log log .

2

M Nvi

v

a bf f d

R R

(1.6)

Khi 0,f z c«ng thøc trªn ®©y chØ cÇn thay ®æi chót Ýt. ThËt vËy, nÕu

0,f z hµm f(z) cã khai triÓn t¹i l©n cËn z = 0 d¹ng:

...,xf z c z Z

XÐt hµm R f z

zz

ta thÊy 0 0, , ®ång thêi khi

Re ,i f . Tõ ®ã ta cã:

2

1 10

1log log Re log log log .

2

M Nvi

v

a bc f d R

R R

www.VNMATH.com


10

NhËn xÐt:

Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong mét miÒn G nµo ®ã. Ta gäi cÊp cña

hµm f(z) t¹i ®iÓm 0z G , ký hiÖu 0zo r d f, lµ sè nguyªn m sao cho hµm

0

m

f zg z

z z

chØnh h×nh vµ kh¸c 0 t¹i z0. Nh vËy:

0zord f m > 0 nÕu z0 lµ kh«ng ®iÓm cÊp m , b»ng 0 nÕu f(z) chØnh h×nh,

kh¸c 0 t¹i z0, b»ng – m nÕu z0 lµ cùc ®iÓm cÊp m.

Víi ký hiÖu trªn c«ng thøc Poisson-Jensen cã thÓ viÕt díi d¹ng:

222

2 2

0

1log log Re . .log

2 Re

i

i

R z R zf z f d ord f

R zz

,

trong ®ã tæng lÊy theo mäi trong h×nh trßn R .

1.2.2. Hµm ®Æc trng

1.2.2.1. Mét sè kh¸i niÖm

PhÇn nµy tr×nh bµy kh¸i niÖm hµm ®Õm, hµm xÊp xØ, hµm ®Æc trng vµ çc

tÝnh chÊt cña chóng. Tríc hÕt ta ®Þnh nghÜa:

log+x = max{logx,0}.

Râ rµng nÕu x > 0 th× logx = log+x – log+(1/x).

Nh vËy:

2 2 2

0 0 0

1 1 1 1log Re log Re log ,

2 2 2 Re

i i

if d f d d

f

ta ®Æt:

2

0

1, log Re .

2

im R f f d

(1.7)

www.VNMATH.com


11

Hµm m(R,f) ®îc gäi lµ hµm xÊp xØ.

Gäi r1,r2,….,rN lµ çc m«dun cña çc cùc ®iÓm b1,b2,…bN cña f(z) trong

z R .

Khi ®ã

1 1 0

log log log , ,

RN N

v vv v

R R Rdn t f

b r t

(1.8)

trong ®ã n(t,f) lµ sè cùc ®iÓm cña hµm f(z) trong z t , cùc ®iÓm bËc q

®îc ®Õm q lÇn.

ThËt vËy, tríc hÕt b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn ta cã:

00 0 0

log , log . , , log ,

RR R RR R R dt

dn t f n t f n t f d n t ft t t t

, (a)

mÆt kh¸c kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö 1 20 ... Nr r r R .

Khi ®ã:

1 2

10 0

, , , ... , ,

N

r rR R

r r

dt dt dt dtn t f n t f n t f n t f

t t t t

ta thÊy r»ng:

1

1 2

2 3

0,

1,

, 2,

...

, N

t r

r t r

n t f r t r

N r t R

nªn

www.VNMATH.com


12

1 2

1

1 2

1

2 3

1 2

0 0

0

2 1 3 2

1 2

1

, , , ... ,

0. 1. ... .

log 2log ... log

log log 2 log log ... log log

log log log ... log

log log l

N

N

N

r rR R

r r

r r R

r r

r r R

r r r

N

N

dt dt dt dtn t f n t f n t f n t f

t t t t

dt dt dtN

t t t

t t N t

r r r r N R r

N R r r r

R r

2

1

og log ... log log

log ;

N

N

v v

R r R r

R

r

(b)

tõ (a) vµ (b) ta ®îc (1.8).

B©y giê ta ®Þnh nghÜa hµm ®Õm N(R,f). Gi¶ sö n(t,f) lµ sè cùc ®iÓm cña hµm

f(z) trong h×nh trßn z t ; r1,r2, … rN lµ m«dun cña çc cùc ®iÓm b1,b2,…,bN

( mçi cùc ®iÓm ®îc tÝnh mét sè lÇn b»ng bËc cña nã). Khi ®ã ta cã:

1 1 0

log log log , .

RN N

v vv v

R R Rdn t f

b r t

Hµm ®Õm ®îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc sau:

1 0

, log , .

RN

v v

R dtN R f n t f

b t

(1.9)

1 0

1 1, log , .

RN R dtN R n t

f a f t

(1.10)

Víi çch ®Þnh nghÜa nµy c«ng thøc Jensen (1.6) sÏ ®îc viÕt l¹i nh sau:

www.VNMATH.com


13

1 1

log 0 , , , , .f m R f m R N R f N Rf f

HoÆc 1 1

, , , , log 0 .m R f N R f m R N R ff f

B©y giê ta ®Æt:

, , , .T R f m R f N R f (1.11)

Khi ®ã c«ng thøc Jensen ®îc viÕt l¹i mét çch rÊt ®¬n gi¶n lµ:

1

, , log 0 .T R f T R ff

(1.12)

Gi¸ trÞ ,m R f lµ hµm xÊp xØ ®é lín trung b×nh cña log f z trªn z R

trong ®ã f lµ lín. Gi¸ trÞ ,N R f cã quan hÖ víi cùc ®iÓm. Hµm ,T R f ®îc

gäi lµ hµm ®Æc trng Nevanlinna cña hµm ph©n h×nh f z , cã vai trß quan träng

chñ yÕu trong lý thuyÕt cña hµm ph©n h×nh.

1.2.2.2. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®Æc trng

Chóng ta tiÕp tôc nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt ®¬n gi¶n cña hµm

, , , , ,m R f N R f T R f . Chó ý a1, …,ap lµ çc sè phøc th×

11

log log ,p p

v v

vv

a a

vµ 1,...,

1 1

log log log log .p p

v v vv p

v v

a p max a a p

¸p dông çc bÊt ®¼ng thøc trªn cho hµm ph©n h×nh 1 ,..., pf z f z vµ sö

dông (1.7) chóng ta thu ®îc çc bÊt ®¼ng thøc sau:

www.VNMATH.com


14

1) 1 1

, , log .p p

v v

v v

m r f z m r f z p

2) 11

, , .p p

v v

vv

m r f z m r f z

3) 1 1

, , .p p

v v

v v

N r f z N r f z

4) 11

, , .p p

v v

vv

N r f z N r f z

Sö dông (1.11) ta thu ®îc

5) 1 1

, , log .p p

v v

v v

T r f z T r f z p

6) 11

, , .p p

v v

vv

T r f z T r f z

Trong trêng hîp ®Æc biÖt khi 1 22, ,p f z f z f z a = constant, ta

suy ra , , log log 2T r f a T r f a . Vµ tõ ®ã chóng ta cã thÓ thay

thÕ f + a, f bëi f, f ’ a vµ a bëi - a, suy ra:

, , log log2.T r f T r f a a (1.13)

1.2.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cña Nevanlinna

1.2.3.1 .§Þnh lý

Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh, a lµ mét sè phøc tïy ý, khi ®ã ta cã:

1 1

, , , log 0 , ,m R N R T R f f a a Rf a f a

www.VNMATH.com


15

trong ®ã: , log log 2.a R a

Ta thêng dïng ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt díi d¹ng:

1 1

, , , 1 ,m R N R T R f Of a f a

trong ®ã O(1) lµ ®¹i lîng giíi néi khi r .

Chøng minh:

Theo (1.11) vµ (1.12) ta cã:

1 1 1

, , , , log 0 .m R N R T R T R f a f af a f a f a

Tõ (1.13) ta suy ra: , , , .T R f a T R f a R

Víi , log log 2a R a . Tõ ®ã ta cã:

1 1

, , , log 0 , .m R N R T R f f a a Rf a f a

Víi , log log 2a R a . §Þnh lý ®îc chøng minh xong.

*ý nghÜa:

Tõ ®Þnh nghÜa çc hµm Nevanlinna, ta thÊy râ ý nghÜa cña ®Þnh lý c¬ b¶n thø

nhÊt. Hµm ®Õm 1

,N Rf a

®îc cho bëi c«ng thøc:

1

1, log

M RN R

f a a

,

trong ®ã a lµ çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f z a trong h×nh trßn

z R .

www.VNMATH.com


16

Hµm xÊp xØ:

2

0

1 1 1, log .

2 Reim R d

f a f a

Nh vËy, nÕu f nhËn c¯ng nhiÒu gi¸ trÞ “gÇn a” ( tøc l¯ Reif a nhá, th×

hµm m cµng lín. Cã thÓ nãi tæng trong vÕ tr¸i cña ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt lµ hµm

“ ®o ®é lín cña tËp nghiÖm ph¬ng tr×nh f z a ” v¯ ®é lín tËp hîp t¹i ®ã f(z)

nhËn gi¸ trÞ gÇn b»ng a. Trong khi ®ã, vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trong ®Þnh lý c¬ b¶n

cã thÓ xem lµ kh«ng phô thuéc a ( sai kh¸c mét ®¹i lîng giíi néi). V× thÕ, ®Þnh

lý c¬ b¶n thø nhÊt cho thÊy r»ng, hµm ph©n h×nh f(z) “ nhËn mçi gi¸ trÞ a ( vµ gi¸

trÞ “gÇn a “) mét sè lÇn nh nhau”. §©y l¯ mét t¬ng tù cña ®Þnh lý c¬ b°n cña

®¹i sè. Hµm ®Æc trng Nevanlinna, vÒ ý nghÜa nµo ®ã, cã thÓ xem nh ®Æc trng

cho “ cÊp t¨ng” cña mét h¯m ph©n h×nh.

NhËn xÐt:

NÕu hµm f cè ®Þnh, ta cã thÓ viÕt , , , , , ,m R a N R a n R a T R lÇn lît

thay cho 1 1 1

, , , , , , ,m R N R n R T R ff a f a f a

nÕu a lµ h÷u h¹n vµ

, , , , ,m R N R n R thay cho , , , , ,m R f N R f n R f .

NÕu chóng ta cho R biÕn thiªn th× ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cã thÓ ®îc viÕt

díi d¹ng nh sau: , , 1 .m R a N R a T R O

Víi mçi a lµ h÷u h¹n hay v« h¹n. Sè h¹ng m(R,a) dÇn tíi trung b×nh nhá

nhÊt cã thÓ ®îc cña f ’ a trªn vßng trßn z R , sè h¹ng N(R,a) dÇn ®Õn sè

nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f z a trong z R . Víi mçi gi¸ trÞ cña a, tæng cña

hai sè h¹ng nµy cã thÓ xem lµ kh«ng phô thuéc vµo a.

www.VNMATH.com


17

1.2.3.2. Mét sè vÝ dô

VÝ dô 1: XÐt hµm h÷u tû

...

...

p

p

q

q

z af z c

z b

, trong ®ã 0c .

Gi¶ sö p > q. Khi ®ã f z khi z , nh vËy khi a h÷u h¹n m(r,a) = 0

víi mäi r > r0 nµo ®ã. Ph¬ng tr×nh f(z) = a cã p nghiÖm sao cho

n(t,a) = p(t>t0), nh vËy:

, , log 1

r

a

dtN r a n t a p r O

t khi r ,

Do ®ã, khi r ,

, log 1 ,T r f p r O

vµ , log 1 ,N r a p r O , 1 ,m r a O víi a .

NÕu p < q, , log 1 ,T r f q r O

, log 1 ,N r a q r O , 1 ,m r a O víi 0a .

NÕu p = q, , log 1 ,N r f q r O

, log 1 ,N r a q r O , 1 ,m r a O víi a c .

Nh vËy, trong mäi trêng hîp

, log 1 ,T r f d r O

, log 1 ,N r a d r O , 1 ,m r a O víi a f ,

trong ®ã d = max(p, q).

www.VNMATH.com


18

Trong trêng hîp nµy, m(r, a) lµ bÞ chÆn khi r ngo¹i trõ mét gi¸ trÞ

cña a lµ f . NÕu ph¬ng tr×nh f(z) = a cã nghiÖm béi t¹i víi

0 d , th×

, log 1 ,m r a r O , log 1 .N r a d a r O

VÝ dô 2: XÐt hµm cos sin

,r iz

f z e e

víi i

z re

. Khi ®ã

cos sin coslog log log log

i r ir rf z f re e e

,

coslog ,cos 0

0,cos 0

re

,

coslog ,

2 2

30,

2 2

re

,

=

cos ,2 2

30,

2 2

r

.

Tõ ®ã: 2 2

0

2

1 1, log cos .

2 2

i rm f a f re d r d

Do hµm z

e kh«ng cã kh«ng ®iÓm trong z r nªn N(r, f) = 0,

nh vËy, , , , .r

T r f m r N r

Do ®ã ,r

T r f

.

VÝ dô 3: XÐt ...p

pP z az a , lµ mét ®a thøc vµ

P zf z e . Khi ®ã

www.VNMATH.com


19

...

p

paz aP z

f z e e

,

Nh vËy: , , ... , . , logp p

p pa aaz az

T r f T r e T r e p T r e e

,

= . , 1p

azp T r e O .

TÝnh ,p

azT r e . §Æt

paz

g e . Ta cã , , ,T r g m r g N r g .

Do g chØnh h×nh nªn:

, 0N r g suy ra , , ,p

azT r g m r g m r e .

2

0

1, log ,

2

ip a re p

azm r e e d

=

2cos sin

0

1log

2

par p i p

e d

,

=

2cos

0

1log

2

pa r p

e d

,

= 2

2

1cos

2

pp

p

a r p d

,

= 2

2

1 1. . sin

2

pp

p

p

a ra r p

p p

.

Nh vËy ,

pa r

T r gp

,

www.VNMATH.com


20

suy ra , 1 .pa

T r f r O

1.2.4. §Þnh lý Cartan vÒ ®ång nhÊt thøc vµ tÝnh låi

1.2.4.1. §Þnh lý

Gi¶ sö f(z) lµ mét hµm ph©n h×nh trong z R . Khi ®ã:

2

0

1, , log 0

2

iT r f N r e d f

, víi ( 0 < r <R).

Chøng minh:

Ta ¸p dông c«ng thøc Jensen (1.6) cho hµm f(z) = a ’ z víi R = 1 vµ thu

®îc:

2

0

log , 11log .

2 log log 0, 1

ia a

a e da a a

Nh vËy trong mäi trêng hîp ta ®Òu cã:

2

0

1log log .

2

ia e d a

(*)

L¹i ¸p dông (1.6) cho hµm sè if z e vµ cã:

2

0

1log 0 log . , , .

2

i i i if e f r e e d N r N r e

LÊy tÝch ph©n hai vÕ theo biÕn vµ thay ®æi thø tù lÊy tÝch ph©n trong tÝch ph©n

vÕ ph¶i ta cã:

www.VNMATH.com


21

2 2 2

0 0 0

2 2

0 0

2 2 2

0 0 0

1 1 1log 0 log .

2 2 2

1 1, ,

2 2

1 1 1log . , , .

2 2 2

i i i

i i i

f e d f r e e d d

N r d N r e d

f r e e d d N r N r e d

¸p dông c«ng thøc (*) ta cã:

2 2

0 0

1 1log 0 log , , .

2 2

i if f re d N r N e d

Tõ ®ã:

2 2

0 0

2

0

2

0

1, log , log 0 ,

2

1, , , log 0 ,

2

1, , log 0 .

2

i i

i

i

N r f re d N r e d f

N r f m r f N r e d f

T r f N r e d f

Víi ( 0 < r < R).

VËy ®Þnh lý ®îc chøng minh.

1.2.4.2. HÖ qu¶ 1: Hµm ®Æc trng Nevanlinna T(r,f) lµ mét hµm låi t¨ng

cña logr víi 0 < r <R.

Chøng minh:

Ta thÊy r»ng , iN r e hiÓn nhiªn lµ hµm t¨ng, låi cña logr nªn ta suy ra

hµm T(r,f) còng cã tÝnh chÊt nh vËy vµ hÖ qu¶ ®îc chøng minh. Trong trêng

hîp nµy chóng ta cã:

www.VNMATH.com


22

2

0

1, , .

2

idr T r f n r e d

dr

1.2.4.3. HÖ qu¶ 2: Trong mäi trêng hîp chóng ta ®Òu cã

2

0

1, log 2.

2

im r e d

Chøng minh

Sö dông ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho hµm f(z) víi ia a chóng ta cã:

, , , log 0i i iT r f m r e N r e f e G , trong ®ã

log 2G . LÊy tÝch ph©n hai vÕ theo biÕn ta cã:

2 2 2

0 0 0

1 1 1, , ,

2 2 2

i iT r f d m r e d N r e d

+ 2 2

0 0

1 1log 0 .

2 2

if e d G d

Sö dông ®Þnh lý (1.2.4.1), c«ng thøc (*) ta sÏ thu ®îc:

2 2

0 0

1 1, , , log 0 log 0 .

2 2

iT r f m r e d T f f f G d

Nh vËy: 2 2 2

0 0 0

1 1 1, log 2 log 2.

2 2 2

im r e d G d d

HÖ qu¶ 2 ®îc chøng minh.

* NhËn xÐt:

§Þnh lý Cartan v¯ hÖ qu° chØ ra rºng “trung b×nh “ cña çc gi¸ trÞ cña hµm

m(r,a) lÊy trªn mét vßng trßn l¯ “ kh¸ nhá”, h¯m T(r,f) hÇu nh chØ phô thuéc

trung b×nh cña gi¸ trÞ N(r,a) trªn vßng trßn.

www.VNMATH.com


23

1.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai

1.3.1. Giíi thiÖu

Trong môc tríc chóng ta ®· ®Þnh nghÜa hµm ®Æc trng Nevanlinna vµ cã

®îc ®Þnh lý: víi mçi sè phøc a, , , 1m R a N R a T R O . Tõ ®ã

chóng ta còng thÊy r»ng tæng m + N cã thÓ xem lµ ®éc lËp víi a. §ã chÝnh lµ kÕt

qu¶ cña ®Þnh lý thø nhÊt. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai sÏ cho ta thÊy r»ng trong trêng

hîp tæng qu¸t sè h¹ng N(R,a) chiÕm u thÕ trong tæng m + N vµ thªm n÷a trong

N(R,a) chóng ta kh«ng thÓ lµm gi¶m tæng ®ã nhiÒu nÕu çc nghiÖm béi ®îc tÝnh

mét lÇn. Tõ kÕt qu¶ nµy còng suy ra ®Þnh lý Picard, nãi r»ng hµm ph©n h×nh nhËn

mäi gi¸ trÞ, trõ ra cïng l¾m lµ hai gi¸ trÞ.

§Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna ®îc suy tõ ®Þnh lý sau,®îc gäi lµ

bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n.

1.3.2. BÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n

§Ó ®¬n gi¶n, chóng ta sÏ viÕt m(r,a) thay cho m(r,1 / f ’ a) vµ

,m r thay cho m(r,f).

1.3.2.1. §Þnh lý

Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong z r . Gi¶ sö a1,

a2,….aq lµ çc sè phøc h÷u h¹n riªng biÖt, 0 vµ va a víi

1 v q . Khi ®ã: 1

1

, , 2 , .q

v

v

m r m r a T r f N r S r

Trong ®ã N1(r) d¬ng vµ ®îc ®Þnh nghÜa:

1

1, 2 , , ' .

'N r N r N r f N f

f

www.VNMATH.com


24

1

' ' 3 1, , log log 2 log .

' 0

q

v v

f f qS r m r m r q

f f a f

Chøng minh:

Víi çc sè ph©n biÖt av;

1 2log 1 logq

f z av

, ta xÐt hµm:

1

1.

q

v v

F zf z a

a) Gi¶ sö r»ng víi mét sè v nµo ®ã 3

vf z aq

. Khi ®ã víi v

ta cã: 2

.3 3q

f z a a a f z a

Bëi vËy víi v

3 1 1.

2 2

1

vz a q f z af

Nh vËy ta cã:

1 11 .

22

1 1 1

v v v v

qF z

z a z a z aqf z af f f

Tõ ®ã ta cã:

1log log log2.F zf z av

Trong trêng hîp nµy:

1

1 2log log log log2q

F z qf z a

www.VNMATH.com


25

1

1 3log log log2.q qq

f z a

(**)

Bëi v× víi v ,

1 3 2log log log .

2f z a

Nªn ta cã:

1

1 11log log log

q

vf z af z a f z av

1 2

log 1 log .qf z av

Suy ra:

1 2log 1 log .

v

qf z a

Tõ ®ã ta cã:

1log log log 2

v

f zf z a

1

1 1log log log2

q

vf z a f z a

,

1

1 2log 1 log log2.

q

qf z a

Suy ra:

www.VNMATH.com


26

1

1 3log log log log2.q qF z q

f z a

VËy (**) ®îc chøng minh.

Nh vËy nÕu tån t¹i mét gi¸ trÞ v q ®Ó 3

vf z aq

th× (**) hiÓn

nhiªn ®óng.

b) Ngîc l¹i, gi¶ sö , ,3

vf z a vq

khi ®ã cã mét ®iÒu hiÓn nhiªn lµ:

1

1 3log log log log2.q qF z q

f z a

Bëi v×, do , ,3

vf z a vq

nªn

1 3

v

q

f z a

, suy ra:

1 3log log ,

v

q

f z a

suy ra

1

1 3log log log 2,

q

v v

qq

f z a

tõ ®ã:

1

1 3log 0 log log log 2.

q

v v

qF z q

f z a

Nh vËy trong mäi trêng hîp ta ®Òu cã:

1

1 3log log log log 2.

q

v v

qF z q

f z a

Víi iz re lÊy tÝch ph©n hai vÕ chóng ta suy ra:

www.VNMATH.com


27

2 2

10 0

1 3log log log log 2 .

qi

v v

qF re d q d

f z a

Nªn

1

3, , log log 2.

q

v

v

qm r F m r a

(1.14)

MÆt kh¸c ta xÐt:

1 1

, , ' , , , ' .' '

f fm r F m r f F m r m r m r f F

f f f f

(1a)

Theo c«ng thøc Jensen (1.12) ta cã:

1, , log 0 .

0, , log .

' ' ' 0

T r f T r ff

ff fT r T r

f f f

Hay

0' ', , , , log .

' ' ' 0

ff f f fm r N r m r N r

f f f f f

Suy ra

0' ', , , , log .

' ' ' 0

ff f f fm r m r N r N r

f f f f f

(2a)

Vµ ngoµi ra ta cã:

1 1

, , , log 0 .T r f m r N r ff f

www.VNMATH.com


28

Hay

1 1 1, , , log .

0m r T r f N r

f f f

(3a)

KÕt hîp (2a) vµ (3a) thay vµo bÊt ®¼ng thøc (1a) ta ®îc:

1 1 ', , , log ,

0

fm r F T r f N r m r

f ff

0', , log , ' .

' ' 0

ff fN r N r m r f F

f f f

.

BÊt ®¼ng thøc trªn kÕt hîp víi (1.14) chóng ta sÏ cã:

1

3, , , , log log 2,

1 ' ', , , , ,

'

1 3, ' log , , log log 2.

' 0

q

v

v

qm r a m r m r F m r f q

f f fT r f N r N r N r m r

f f f f

qm r f F T r f N r f q

f

Sö dông c«ng thøc Jensen cho hµm '

f

f ta cã:

2

0

0 1 'log log , , .

' 0 2 ''

i

i

f ref f fd N r N r

f f ff re

Suy ra:

2

0

0' 1, , log log

' 2 ' 0'

i

i

f re ff fN r N r d

f f ff re

,

www.VNMATH.com


29

2

0

1log log 0

2

if re d f

2

0

1log ' log ' 0

2

if re d f

,

1 1

, , , , ' .'

N r N r f N r N r ff f

Cuèi cïng ta cã:

1

1, , 2 , 2 , , ' ,

'

q

v

v

m r a m r T r f N r f N r f N rf

' 1 3, , ' log log log2.

' 0

f qm r m r f F q

f f

Chó ý:

1

', ' , ,

q

v v

fm r f F m r

f a

vµ ®Æt:

1

1, 2 , , ' .

'N r N r N r f N r f

f

Vµ:

1

' ' 3 1, , log log 2 log .

' 0

q

v v

f f qS r m r m r q

f f a f

Khi ®ã ta cã: 1

1

, , 2 , 0q

v

v

m r a m r T r f N r S

.

§©y lµ ®iÒu cÇn ph¶i chøng minh.

www.VNMATH.com


30

* NhËn xÐt:

N1(r) trong ®Þnh lý (1.3.2.1) lµ d¬ng v×:

1

, logq

v v

RN r f

b

.

Trong tæng trªn nÕu bv lµ cùc ®iÓm béi k th× ®îc tÝnh k lÇn. Gi¶ sö 1,..., Nb b

lµ çc cùc ph©n biÖt cña f(z) víi cÊp lÇn lît lµ: 1,..., Nk k . XÐt t¹i ®iÓm bv ta thÊy

khai triÓn cña f(z) sÏ cã d¹ng:

...v

v

k

k

v

cf z

z b

Khi ®ã f’(z) sÏ cã khai triÓn lµ:

1

1

'' ...v

v

k

k

v

cf z

z b

Tøc lµ bv sÏ lµ cùc ®iÓm cÊp kv + 1 cña hµm f’(z). Nh vËy 1,..., Nb b sÏ lµ

çc cùc ®iÓm cña f’(z) víi cÇp lÇn lît lµ: 1 1,..., 1Nk k . TÊt nhiªn f’(z)

kh«ng cã cùc ®iÓm nµo kh¸c. Nh vËy:

1

, logN

v

v v

RN r f k

b

, vµ 1

, ' 1 logN

v

v v

RN r f k

b

.

Nªn: 1 1

2 , , ' 2 log 1 logN N

v v

v vv v

R RN r f N r f k k

b b

,

1

2 1 logN

v v

v v

Rk k

b

,

1

2 1 log 0.N

v

v v

Rk

b

www.VNMATH.com


31

Tõ ®ã ta cã: 1

1, 2 , , ' 0.


f

1.3.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna

§Þnh lý: Gi¶ sö f lµ mét hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng trªn vµ 1 2, ,..., qa a a lµ

q > 2 ®iÓm ph©n biÖt. Khi ®ã:

1

1

11 , , , , ,

q

j j

q T r f N r f N r N r f S r ff a

,

0

1

1, , , , .

q

j j

N r f N r N r f S r ff a

Trong ®ã , ,S r f o T r f khi r , r n»m ngoµi mét tËp cã ®é ®o

h÷u h¹n, 1

1, 2 , , '


f

, vµ

0

1,

'N r

f

lµ hµm ®Õm

t¹i çc kh«ng ®iÓm cña f mµ kh«ng ph¶i lµ kh«ng ®iÓm cña jf a , víi j =

1,..,q.

1.3.4. Quan hÖ sè khuyÕt

Chóng ta ký hiÖu l¹i: , , ,n t a n t a f lµ sè çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

f z a trong z t , nghiÖm béi ®îc tÝnh c¶ béi vµ ký hiÖu ,n t a lµ sè

nghiÖm ph©n biÖt cña f z a trong z t . T¬ng tù ta ®Þnh nghÜa:

0

0

, ,, , , 0, log ,

, ,, , , 0, log .

r

r

n t a n aN r a N r a f dt n a r

t

n t a n aN r a N r a f dt n a r

t

www.VNMATH.com


32

Chóng ta sÏ ký hiÖu , , ,N r f T r f t¬ng øng thay cho

, , , , ,N r f T r f . Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong 0z R , nh vËy:

,T r f khi 0r R .

Theo ®Þnh lý (1.2.3.1): , , , 1m r a N r a T r f O , khi 0r R .

Ta ®Þnh nghÜa:

00

0

0

, ,, 1 lim ,

,, 1 lim ,

, ,, .

lim

lim

r Rr R

r R

r R

m r a N r aa a f

T r T r

N r aa a f

T r

N r a N r aa a f

T r

HiÓn nhiªn, cho 0 , víi r ®ñ gÇn R0 ta cã:

, ,N r a N r a a T r , , 1N r a a T r .

Tõ ®ã suy ra:

, 1 2N r a a a T r .

Nh vËy: .a a a

Lîng a ®îc gäi lµ sè khuyÕt cña gi¸ trÞ a, a gäi lµ bËc cña béi.

B©y giê chóng ta chøng minh mét kÕt qu¶ c¬ së cña lý thuyÕt Nevanlinna ,

®Þnh lý sau ®©y gäi lµ ®Þnh lý quan hÖ sè khuyÕt.

1.3.4.1. §Þnh lý

Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong 0z R . Khi ®ã tËp hîp

çc gi¸ trÞ cña a mµ 0a cïng l¾m lµ ®Õm ®îc, ®ång thêi ta cã:

www.VNMATH.com


33

2a a

a a a .

Chøng minh:

, ,n nS r f o T r f , khi 0nr R .

Chän mét d·y nr , sao cho 0nr R khi n . XÐt q ®iÓm kh¸c nhau

1 2, ,..., qa a a . Theo bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n ta cã:

1

1

, , 2 , , .q

n n v n n n

v

m r m r a T r f N r o T r f

Céng thªm ®¹i lîng 1

, ,q

n n v

v

N r N r a

vµo hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc

trªn ta cã:

1

1

, , 2 , , , , .q

n n n n n v n n

v

T r f qT r f T r f N r N r a N r o T r f

Suy ra :

1

1

1 , , , , .q

n n n n v n

v

q T r f o T r f N r N r a N r

MÆt kh¸c : 1

1, 2 , , '

'n n n nN r N r N r f N r f

f

.

§Æt:

1

1, , , 2 , , ' .

'

q

n n v n n n

v

A N r N r a N r N r f N r ff

Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc trªn ®îc viÕt l¹i lµ:

1 , , .n nq T r f o T r f A (1.15)

www.VNMATH.com


34

Gi¶ sö f cã cùc ®iÓm cÊp k t¹i av , khi ®ã:

....k

k

v

cf z

z a

1

1

'' ...

k

k

v

cf z

z a

Do ®ã av sÏ cã cùc ®iÓm cÊp k + 1 cña f’.

Gi¶ sö ; 1,vb v p lµ çc cùc ®iÓm ph©n biÖt cña hµm f , víi béi t¬ng øng

lµ 1 2, ,..., pk k k . Khi ®ã: 1

, , log ;p

nn n p

v v

rN r N r f k

b

1

, ' 1 log ;p

nn p

v v

rN r f k

b

tõ ®ã:

1

, 2 , , ' 2 1 log ;p

nn n n p p p

v v

rN r N r f N r f k k k

b

1

log , ;p

nn

v v

rN r

b

nh vËy (1.15) viÕt l¹i lµ:

1

11 1 , , , , .

'

q

n n v n n

v

q o T r f N r a N r N rf

Chóng ta thÊy r»ng mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vf z a cã bËc p th×

nã còng lµ kh«ng ®iÓm bËc p ’ 1 cña f’(z) vµ nh thÕ nã ®ãng gãp mét lÇn

vµo 1

, ,'

vn t a n tf

. Do ®ã bÊt ®¼ng thøc trªn ®îc viÕt nh sau:

www.VNMATH.com


35

0

1

11 1 , , , , .

'

q

n n v n n

v

q o T r f N r a N r N rf

(1.16)

Trong ®ã 0

1,

'nN r

f

®îc tÝnh t¹i nh÷ng ®iÓm lµ kh«ng ®iÓm cña f’

nhng kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vf z a , v = 1,…,q. Chó ý r»ng

0

1, 0

'nN r

f

nªn tõ (1.16) ta cã:

1

1 1 , , , .q

n n v n

v

q o T r f N r a N r

(1.17)

Chia c¶ hai vÕ cña (1.17) cho ,nT r f vµ bá qua ®¹i lîng o(1) ta cã:

1

, ,1.

, ,

qn v n

v n n

N r a N rq

T r f T r f

LÊy giíi h¹n khi 0nr R ta suy ra:

0 0

1

, ,1,

, ,lim limn n

qn v n

v n nr R r R

N r a N rq

T r f T r f

hay

0 0

1 1

, ,1,

, ,lim limn n

q qn v n

v v n nr R r R

N r a N rq

T r f T r f

tøc lµ:

1

1 1 1.q

v

v

a q

Hay 1

2q

v

v

a

.

Do q bÊt kú nªn ®Þnh lý ®îc chøng minh xong.

§Þnh lý sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña quan hÖ sè khuyÕt.

1.3.4.2. §Þnh lý Picard

Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh, kh«ng nhËn 3 gi¸ trÞ 0,1, . Khi ®ã f

lµ hµm h»ng.

www.VNMATH.com


36

Chøng minh:

Gi¶ sö f kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng. Kh«ng mÊt tæng qu¸t, cã thÓ xem f(z)

kh«ng nhËn 3 gi¸ trÞ 0,1, . Tõ ®ã: ,0 0N r ; ,1 0N r ; , 0N r f .

Suy ra 0 1 ; 1 1 ; 1 , nªn 3

a

a ; ®iÒu nµy m©u

thuÉn víi quan hÖ sè khuyÕt. VËy f(z) ph¶i lµ hµm h»ng.

1.4. Mét sè øng dông cña çc ®Þnh lý c¬ b¶n

1.4.1. Çc vÝ dô

VÝ dô 1: Gi¶ sö f z a v« nghiÖm. Khi ®ã ta cã , 0,N r a r suy

ra 1a . Ch¼ng h¹n: 0 1z

ff e .

VÝ dô 2: Gi¶ sö cã , , 1N r a o T r f a ( sè khuyÕt b»ng

1 khi sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh qu¸ Ýt so víi cÊp sè t¨ng cña nã).

VÝ dô 3: Gi¶ sö f lµ hµm nguyªn, khi ®ã f kh«ng cã cùc ®iÓm nªn

1 . Nh vËy 1a

a

. Tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh f(z) ’ a = 0 cã

nghiÖm víi mäi a trong mÆt ph¼ng phøc, trõ ra cïng l¾m mét gi¸ trÞ. Ch¼ng h¹n

ta thÊy hµm zf z e lµ chØnh h×nh trªn vµ 0 0 1 , nh vËy hµm

ze a sÏ cã nghiÖm víi 0a .

VËy vÊn ®Ò ®Æt ra lµ cã bao nhiªu gi¸ trÞ cña a ®Ó ph¬ng tr×nh f(z) ’ a = 0

gåm toµn nghiÖm béi. C©u tr¶ lêi lµ: cïng l¾m lµ cã hai gi¸ trÞ, bëi v× gi¶ sö t¹i a1

vµ a2 ph¬ng tr×nh f(z) ’ a1 = 0 ; f(z) ’ a2 = 0 gåm toµn nghiÖm béi. Khi ®ã

1 2

1

2a a , do ®ã 1 2 2a a nªn víi tÊt c¶ çc

gi¸ trÞ a kh¸c a1; a2 ph¬ng tr×nh f(z) = a ®Òu ph¶i cã nghiÖm ®¬n. VÝ dô nh

www.VNMATH.com


37

chóng ta xÐt hµm f(z) = sinz, víi a1 = 1; a2 = -1 ta thÊy: khi sin 1z th×

(sinz)’ = cosz = 0 nh thÕ cã nghÜa lµ çc ph¬ng tr×nh sinz = a1; sinz = a2 ®Òu

gåm toµn nghiÖm béi. NÕu 1 1

1 1 ; 1 12 2

, suy ra ph¬ng

tr×nh sinz = a sÏ cã nghiÖm ®¬n víi mäi a kh¸c 1 .

VÝ dô 4: Tríc hÕt ta ®Þnh nghÜa: Gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ béi Ýt nhÊt

2m m nÕu çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(z) = a béi lín h¬n hoÆc b»ng m.

Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh vµ gi¶ sö va lµ tËp hîp çc gi¸ trÞ béi Ýt nhÊt

vm . Khi ®ã: 1 1

, , , 1 .v v

v v

N r a N r a T r f Om m

Tõ ®ã : 1

1v

v

am

. Theo ®Þnh lý Nevanlinna vÒ sè khuyÕt ta cã:

1

1 2v vm

.

MÆt kh¸c do 2m nªn ta cã: 1 1

12vm

. Nh vËy ta thÊy r»ng ®èi víi

hµm ph©n h×nh cã nhiÒu nhÊt 4 gi¸ trÞ a mµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(z) = a

cã béi lín h¬n hoÆc b»ng 2.

+) Trong trêng hîp cã 4 gi¸ trÞ cña a tháa m·n, khi ®ã mv = 2. VÝ dô cô thÓ

cña hµm lo¹i nµy chÝnh lµ hµm elliptic Weiestrass.

+) Trong trêng hîp cã 3 gi¸ trÞ cña a tháa m·n, do:

3

1 1 2 3

1 1 1 11 3 2.

v vm m m m

www.VNMATH.com


38

Nªn 1 2 3

1 1 11

m m m

. Khi ®ã chóng ta sÏ cã çc bé 1 2 3; ;m m m nh

sau:

(2;2;m) (2;3;3) (2;3;4) (2;3;5)

(2;3;6) (2;4;4) (3;3;3).

Trêng hîp (2;2;m) tån t¹i vµ vÝ dô cô thÓ vÒ nã lµ hµm f(z) lµ sinz; cosz.

Víi 1f z gåm toµn nghiÖm béi 2 vµ f z . Trong çc trêng hîp

kh¸c, vÊn ®Ò nãi chung lµ rÊt khã vµ ®· ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu vµ

cho kªt qu¶ trong trêng hîp tæng qu¸t ( Christoffel-Schwarz, Lª V¨n Thiªm,…)

1.4.2. §Þnh lý 5 ®iÓm cña Nevanlinna

1.4.2.1. §Þnh nghÜa

Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh trªn , a . Ta ®Þnh nghÜa :

fE a z f z a ( tËp çc nghiÖm ph©n biÖt cña ph¬ng tr×nh f(z)

= a ).

1.4.2.2. §Þnh lý

Gi¶ sö r»ng 1 2, 2f z f lµ çc hµm ph©n h×nh trªn . NÕu tån t¹i 5

®iÓm 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a sao cho:

1 2; 1,...,5f fj jE a E a j

Khi ®ã hoÆc f1 vµ f2 lµ h»ng sè hoÆc 1 2f f .

Chøng minh: Ta gi¶ sö r»ng f1, f2 lµ çc hµm kh«ng ®ång thêi lµ çc hµm

h»ng vµ còng kh«ng ®ång nhÊt víi nhau. Gäi 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a lµ çc sè phøc

ph©n biÖt sao cho: 1 2; 1,...,5f fj jE a E a j . Khi ®ã:

www.VNMATH.com


39

1 2

1 1, , ; 1,...,5j

j j

N r N r N r jf a f a

+) Gi¶ sö mét trong hai hµm f1, f2 lµ hµm h»ng, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta

gi¶ sö f1 = const, khi ®ã f1 kh¸c Ýt nhÊt 4 gi¸ trÞ trong 5 gi¸ trÞ ja ( j =1,…,5)

kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö çc gi¸ trÞ ®ã lµ: 1 2 3 4, , ,a a a a nh

vËy: 1

1, 0; 1,..., 4

j

N r jf a

,

v× thÕ:

2

1, 0; 1,..., 4

j

N r jf a

,

nghÜa lµ f2 kh«ng nhËn 4 gi¸ trÞ 1 2 3 4, , ,a a a a . Theo ®Þnh lý Picard f2 ph¶i

lµ hµm h»ng.

+) f1, f2 lµ çc hµm kh¸c hµm h»ng, sö dông bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n cho hµm f1

víi 5 ®iÓm 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ta sÏ cã:

5

'

1 1 1'1 1

1, , 2 , , 2 , , .j

j

m r m r a T r f N r N r f N r f S rf

Céng thªm vµo hai vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn mét ®¹i lîng lµ:

5

1

, , j

j

N r N r a

,

ta ®îc: 5

1 1

1

16 , 2 , , , ,

'j

j

T r f T r f N a N r N rf

'

1 12 , , .N r f N r f S r

www.VNMATH.com


40

Do 5 5

0 0

1 1

1 1 1, , , , ; ,

' ' 'j j

j j

N r a N r N r a N r N rf f f

do çc

cùc ®iÓm cña 1/ f’ mµ kh«ng ph¶i lµ kh«ng ®iÓm cña jf a vµ

, ,N r N r f . Suy ra:

5

'

1 0 1 1

1

14 , , , , ,

'j

j

T r f N r a N r N r f N r f S rf

,

5

0 1

1

1, , ,

'j

j

N r a N r N r f S rf

,

5

1

1

, ,j

j

N r a N r f S r

5

1 1

1

, , .j

j

N r T r f O T r f

Nh vËy: 5

1 1

1

3 , , .j

j

T r f N r O T r f

T¬ng tù ta cã:

5

2 2

1

3 , , .j

j

T r f N r O T r f

B©y giê xÐt: 1 2

1,T r

f f

. Theo ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt ta cã:

1 2 1 2

1 2

1, , log 0 ,T r T r f f f f a r

f f

,

1 2, 1T r f f O ,

www.VNMATH.com


41

1 2, , 1T r f T r f O ,

5 5

1 2

1 1

1 1, , 1

3 3j j

j j

N r o T r f N r o T r f O

,

5

1 2

1

2, , .

3j

j

N r o T r f T r f

Ta thÊy r»ng, nÕu z lµ nghiÖm chung cña çc ph¬ng tr×nh f1 = a; f2 = a th×

z lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f1 ’ f2 = 0, nªn suy ra:

5

1 1 2 1 2

1 1, , 1 ,j

j

N r N r T r Of f f f

nh vËy: 5

1

,j

j

N r

lµ giíi néi khi r , ®iÒu nµy m©u thuÉn v× f1, f2

kh¸c hµm h»ng. ®Þnh lý ®îc chøng minh.

* NhËn xÐt

NghÞch ¶nh cña 5 ®iÓm ®ñ ®¶m b¶o x¸c ®Þnh mét hµm ph©n h×nh. Sè 5 ®ã

lµ tèt nhÊt vµ kh«ng thÓ thay thÕ bëi sè nhá h¬n. VÝ dô nh hµm sau:

XÐt hµm ;z zf e g e víi çc ®iÓm 1 2 3 40; 1; 1; ;a a a a ThÊy

r»ng:

1 1 .f qE a E a

2 2 2 , .f qE a E a k i k

3 3 2 1 , .f qE a E a k i k

4 4 .f qE a E a

Nhng f g vµ lµ çc hµm kh¸c h»ng trªn .

www.VNMATH.com


42

Ch¬ng II

NghiÖm toµn côc cña ph¬ng tr×nh vi ph©n

2.1. Giíi thiÖu

B»ng çch sö dông lý thuyÕt Nevanlinna chóng ta t×m ra nghiÖm toµn côc

siªu viÖt cña ph¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian phøc nh sau :

1 2


Trong ®ã p1, p2 lµ 2 hµm nhá cña ze vµ 1 2, lµ 2 h»ng sè kh¸c kh«ng víi

mét vµi ®iÒu kiÖn, vµ P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f vµ nã cã ®¹o hµm ( víi

hµm nhá cña f coi nh lµ hÖ sè) cã bËc kh«ng lín h¬n n - 1.

Chóng ta gäi hµm ph©n h×nh a(z) lµ hµm nhá f(z) nÕu T(r,a) = S(r,f). Cho

P(f) lµ ®a thøc vi ph©n cña f , vµ f , víi hÖ sè lµ hµm nhá cña f . A lµ tËp hîp tÊt

c¶ çc hµm ph©n h×nh tháa m·n: ,1/ , ,N r h N r h S r h . Chó ý: tÊt c¶

çc hµm trong A lµ siªu viÖt vµ tÊt c¶ çc hµm cã d¹ng zbe lµ çc hµm trong A,

trong ®ã lµ h»ng sè kh¸c 0 vµ b lµ hµm h÷u tû.

Lý thuyÕt Nevanlinna ®îc sö dông ®Ó nghiªn cøu vÒ tån t¹i cña nghiÖm

ph©n h×nh toµn côc cña ph¬ng tr×nh vi ph©n trong kh«ng gian phøc, xem e.g

[7,8]. Mét sè ph¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn tÝnh ®îc nghiªn cøu trong

[5,12,13]. §Æc biÖt trong [13] ®· chØ ra r»ng 4f3+ 3f’’ = -sin 3z cã ®óng 3

nghiÖm toµn côc kh¸c h»ng sè :

1

2

3

sin .

3 1cos sin .

2 2

3 1cos sin .

2 2

f z z

f z z z

f z z z

www.VNMATH.com


43

2.2. §Þnh nghÜa hµm nhá

Gi¶ sö cho f vµ a lµ hµm ph©n h×nh trong kh«ng gian phøc. NÕu

, , ; . .,T r a S r f i e a S f th× chóng ta gäi a lµ hµm nhá cña f.

2.3. Mét sè bæ ®Ò

Ta sÏ sö dông mét sèbæ ®Ò sau.

2.3.1. Bæ ®Ò 1: ( Xem bæ ®Ò [2,3] cña Clunie). Gi¶ sö f(z) lµ ph©n h×nh

vµ siªu viÖt trong mÆt ph¼ng vµ:

,nf z P f Q f

trong ®ã P(f) vµ Q(f) lµ çc ®a thøc vi ph©n ®èi víi f víi hÖ sè lµ hµm nhá

cña f vµ bËc cña Q(f) cao nhÊt lµ n .

Khi ®ã

M(r,P(f))=S(r,f).

2.3.2. Bæ ®Ò 2: (Xem [4]). Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè

vµ F = fn + Q(f), trong ®ã Q(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f víi bËc n -1.

NÕu N(r,f)+N(r,1/F) = S(r,f),

th× :

,n

F f

trong ®ã lµ ph©n h×nh vµ T(r, ) = S(r,f).

2.3.3. Bæ ®Ò 3. (Xem [11]).

Gi¶ sö h lµ hµm trong tËp A. Cho 1

0 1 ...p p

pf a h a h a vµ

1

0 1 ...q q

qg b h b h b lµ ®a thøc cña h víi tÊt c¶ hÖ sè lµ hµm nhá cña h vµ

0 0 0pa b a . NÕu q p , th× m(r,g/f) = S(r,h).

2.4. Çc ®Þnh lý

www.VNMATH.com


44

2.4.1. §Þnh lý A: Cho 4n lµ mét sè nguyªn, vµ P(f) lµ mét ®a thøc vi

ph©n ®èi víi f cã bËc n ’ 3, p1, p2 lµ 2 ®a thøc kh¸c 0, 1 vµ 2 lµ 2 h»ng sè

kh¸c 0 víi 1

2

h÷u tû. Khi ®ã ph¬ng tr×nh vi ph©n

1 2


kh«ng cã nghiÖm nguyªn siªu viÖt.

2.4.2. §Þnh lý B: Cho 3n lµ mét sè nguyªn, vµ P(f) lµ mét ®a thøc vi

ph©n ®èi víi f cã bËc n ’ 3, b(z) lµ hµm ph©n h×nh, vµ , c1, c2 lµ 3 h»ng sè

kh¸c 0. Khi ®ã ph¬ng tr×nh vi ph©n

1 2 ,n z zf z P f b z c e c e

kh«ng cã nghiÖm nguyªn siªu viÖt tháa m·n T(r,b) = S(r, f).

§ã lµ gi¶ thiÕt trong [10] vÒ kÕt luËn cña ®Þnh lý A cßn ®óng khi bËc cña

ph¬ng tr×nh vi ph©n P(f) lµ n ’ 2 hoÆc n ’ 1. Sau ®©y chóng ta sÏ chøng minh

çc kÕt qu¶ cho sù hoµn thiÖn cña ®Þnh lý A vµ B.

2.4.3. §Þnh lý 1: Cho 2n lµ sè nguyªn d¬ng. Cho f lµ hµm nguyªn siªu

viÖt, P(f) lµ mét ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc n ’ 1. NÕu

1 2

1 2 ,z znf z P f p e p e

(2.1)

trong ®ã pi (i =1,2) lµ hµm nhá kh«ng triÖt tiªu cña ez , 1, 2i i lµ sè

d¬ng lµm tháa m·n 2 11 0n n , th× tån t¹i hµm nhá cña f sao cho:

2

2 .n z

f p e (2.2)

Chøng minh :

§Çu tiªn , chóng ta viÕt 1nP f nh sau: 1

0

,n

j j

j

P f b M f

(2.3)

www.VNMATH.com


45

trong ®ã bj lµ hµm nhá cña f , M0(f) = 1, Mj(f) (j = 1,2,…,n-1) lµ ®¬n thøc

vi ph©n ®èi víi f cã bËc j. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, chóng ta gi¶ thiÕt 0 0b ,

ngoµi ra, chóng ta lµm biÕn ®æi f = f1 + c cho phï hîp h»ng sè c. Tõ (2.1), chóng

ta cã:

1 2 1 2

1

11 2 0 1 2 0

1 1 1. .

nn

j j

z z z z jj

b M f

p e p e b p e p e b f f f

(2.4)

Chó ý , / ,j

jm r M f f S r f vµ do bæ ®Ò 3 chóng ta cã:

1 2

1 21 2

1 2 0

1, , , .

z z

z zm r S r p e p e S r f

p e p e b

Bëi vËy, vÕ tr¸i cña (2.4) lµ ®a thøc cña 1/f cã bËc nhiÒu nhÊt b»ng n ’ 1

víi hÖ sè trë thµnh hµm gÇn ®óng cña 1/f . Tõ ®ã: 1

, , .m r S r ff

(2.5)

§¹o hµm hai vÕ cña (2.1) cho:

1 21 ' '

1 1 1 2 2 2' ' .z znnf f P f p p e p p e

(2.6)

Khö 1ze

vµ 2ze

, t¸ch tõ (2.1) vµ c«ng thøc ë trªn, chóng ta ®îc:

1' 1 '

2 2 2 2 2 2 2 2' ' .zn np p f p nf f p p P f p P f e

(2.7)

2' 1 '


(2.8)

Trong ®ã ' '

1 2 2 1 2 1 1 2p p p p p p , lµ çc hµm nhá cña f . Chóng ta

chó ý r»ng kh«ng thÓ triÖt tiªu mét çch ®ång nhÊt, çch kh¸c, b»ng phÐp lÊy

tÝch ph©n chóng ta ®îc 2 1 1

2

z pe C

p

cho h»ng sè C, lµ kh«ng thÓ ®îc. Tõ

(2.7) vµ (2.8) chóng ta ®îc:

www.VNMATH.com


46

, , , .j zm r e nT r f S r f

, j = 1,2 . (2.9)

Tõ (2.1) chóng ta cã:

1 2

1 2, , , , , .z zn nnT r f m r f m r f P f T r p e p e S r f

(2.10)

Bëi vËy, 1 2, , , :z z

S r e S r e S r f S r

. Tõ (2.4) chóng ta cã

1 2 1 2

1

11 2 0 1 2 0

1, 1,2.

ii in jzz zn

j j

z z z z j nj

b e Me ei

p e p e b p e p e b f f f

Sau ®ã:

, , 1,2.i z

n

em r S r i

f

(2.11)

Sau ®ã chóng ta chøng minh

1

1, , 1,2.

z

n

em r S r i

f

(2.12)

Cè ®Þnh r>0, cho iz re . Cho kho¶ng më [0, 2 ) cã thÓ biÓu thÞ hîp nhÊt

cho 3 tËp hîp rêi nhau nh sau:

2 1

2 1

2 1

1

2

3

0,2 1 .

0,2 1, 1 .

0,2 1, 1 .

z

z

z

z

z

f zE

e

f zE e

e

f zE e

e

Do ®Þnh nghÜa cña hµm gÇn ®óng, chóng ta cã:

www.VNMATH.com


47

2

1 2 31 1

0

1, log .

2

i iz z

n n

e em r d I I I

f f z

Trong ®ã

2

1

0

1log , 1,2,3.

2

i z

i n

eI d i

f z

Víi 1E , chóng ta cã: 2 1f z e z

.

Tõ

1 2

2 11

z z

n n z

f ze e

f z f z e

, chóng ta ®îc:

2

1 ,z

n

eI m r S r

f

.

Víi 2E , chóng ta cã 1 1z

e

, vµ nh vËy

1

1 1

1z

n n

e

f z f z

. Sau

®ã tõ (2.5) th×: 1 1

1,

nI m r S r

f

.

Víi 3E , chóng ta cã 2 1f z e z

. V× vËy:

11

2 1 2 11 1 1

1zz

n n z n z n z

ee

f z e e

.

Do gi¶ thiÕt: 2 11n n , chóng ta ®îc

1

11

z

n

e

f z

. V× vËy chóng ta

cã I3 = 0. Tõ ®ã cè ®Þnh (2.10).

Sau ®ã tõ (2.7) th×:

www.VNMATH.com


48

1

1 1

1. .

zn n

n

ef f R f

f

(2.13)

Trong ®ã '

2 2 2 2 'p p f np f , vµ

'

2 2 2 2 'R f p p P f p P f , lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc lín nhÊt

n-1. Do bæ ®Ò 1, chóng ta ®îc ,m r S r , chó ý r»ng lµ toµn côc, chóng

ta cã ,N r S r . Tõ ®ã: ,T r S r ,i, e , lµ hµm nhá cña f. B»ng

®Þnh nghÜa cña , chóng ta ®îc:

'

2 2 2

2 2

' .p p

f fnp np

ThÕ c«ng thøc ë trªn vµo (2.8) cho:

2

'

2 1 1 111 1 22' .

zn np p pnp p p

f f P f P f p e

Do bæ ®Ò 2, chóng ta nh×n thÊy sù tån t¹i hµm nhá cña f trong

2

2

n zf p e . §©y lµ ®iÒu ph¶i chøng minh cña ®Þnh lý 1.

2.4.4. §Þnh lý 2: Cho 2n lµ sè nguyªn d¬ng, 1,2i i lµ sè thùc vµ

1 20 . Cho p1,p2 lµ hµm nhá cña ez. NÕu tån t¹i hµm nguyªn siªu viÖt f tháa

m·n ph¬ng tr×nh vi ph©n (2.1), trong ®ã P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc

kh«ng lín h¬n n ’ 2, th× 1 2 0 , th× tån t¹i h»ng sè c1,c2 vµ hµm nhá 1 2,

víi f

2' 1 '


1 2/ /

1 1 2 2 .z n z n

f c e c e (2.14)

H¬n n÷a, , 1,2n

i ip i .

www.VNMATH.com


49

Chøng minh:

Chóng ta chØ th¶o luËn cho trêng hîp 1 2 0 . Cßn trêng hîp

1 2 0 cã thÓ lµm t¬ng tù. Gi¶ sö f lµ nghiÖm nguyªn siªu viÖt cña (2.1).

Chøng minh t¬ng tù ®Þnh lý 1, chóng ta vÉn lÊy (2.5) – (2.11). Cè ®Þnh r>0,

cho iz re .

Cho kho¶ng më [0, 2 ) cã thÓ biÓu thÞ hîp nhÊt cho 3 tËp hîp rêi nhau nh

sau:

2 1

2 1

2 1

2

1

2

2

2

3

0,2 1 .

0,2 1, 1 .

0,2 1, 1 .

z

z

z

z

z

f zE

e

f zE e

e

f zE e

e

Tõ ®Þnh nghÜa cña hµm gÇn ®óng, chóng ta cã:

1 2 1 22

1 2 32 2 2 2

0

1, log

2

z z

n n

e em r d I I I

f f z

,

trong ®ã

1 2

2 2

1log , 1,2,3.

2j

z

j n

E

eI d j

f z

Víi 1E , chóng ta cã:

1 2 2 2

2 1

222

2 2 2.

z z z

n n nz

f ze e e

f z f z f ze

.

Nh vËy do (2.11), chóng ta ®îc 1I S r .

www.VNMATH.com


50

Víi 2E , tõ 1ze , vµ 1 2 0 th× 1 2 1

ze

.

V× vËy

1 2

2 2 2 2

1z

n n

e

f z f z

.

Sau ®ã tõ (2.5) th×: 2I S r .

Víi 3E , chóng ta cã 2 12 zf z e

. V× vËy:

1 21 2

2 1 2 12 2 1 2

11

zz

n n z n z n z

ee

f z e e

.

Do ®ã: 3I S r . Tõ ®ã chóng ta cã

1 2

2 2, ,

z

n

em r S r f

f

. (2.15)

Nh©n (2.7) víi (2.8) cho: 1 22 2 2 .znf Q f e

(2.16)

Trong ®ã Q(f) lµ ®a thøc vi ph©n trong f cã bËc lín nhÊt 2n ’ 2, vµ

' '

1 1 1 1 2 2 2 2' ' .p p f p nf p p f p nf (2.17)

Tõ (2.16) vµ bæ ®Ò 1, chóng ta ®îc , ,m r S r f . V× vËy,

, ,T r S r f .

NÕu '

1 1 1 1 ' 0p p f np f , b»ng phÐp lÊy tÝch ph©n chóng ta ®îc

1

1

znf cp e

, trong ®ã c lµ h»ng sè kh¸c 0. V× vËy, 1 /z nf ae , víi a lµ

hµm nhá cña f. Chóng ta thÊy vÕ tr¸i cña (2.1) lµ ®a thøc trong 1 /z ne

cã bËc n.

MÆt kh¸c vÕ ph¶i (2.1) kh«ng lµ ®a thøc trong 1 /z n

e

. Tõ ®ã

'

1 1 1 1 ' 0p p f np f .

www.VNMATH.com


51

T¬ng tù, chóng ta cã '

2 2 2 2 ' 0p p f np f . V× vËy 0 .

Cho '

2 2 2 2 'p p f np f h , (2.18)

khi ®ã chóng ta cã :

'

1 1 1 1 'p p f np fh

. (2.19)

B»ng çch khö f’ vµ f , t¸ch ra tõ (2.18) vµ (2.19) chóng ta ®îc:

1 2 1

.p p

f hh

(2.20)

Vµ ''

2 2 21 1 1 1' .

p pp pf h

n n h

(2.21)

Trong ®ã : ' '

1 2 2 1 2 1 1 2p p p p p p lµ hµm nhá cña f nã kh«ng thÓ

triÖt tiªu mét çch ®ång nhÊt. Tõ (2.20) chóng ta thÊy:

2 , , , .T r h T r f S r f

V× vËy, mäi hµm nhá cña f còng lµ hµm nhá cña h. Vµ tõ vi ph©n cña

chóng ta thÊy h lµ mét hµm trong A. Nh vËy h’/h lµ hµm nhá cña f. B»ng çch

®¹o hµm c¶ 2 vÕ cña (2.20) , chóng ta ®îc:

1 1 2 2' ' 1

' ' ' .p p p ph h

f hh h h

(2.22)

So s¸nh hÖ sè vÕ ph¶i cña (4.7) vµ (4.8), suy ra

'

1 1 1 1 1 '' .

p p p p h

n h

(2.23)

'

2 2 2 2 2 '' .

p p p p h

n h

(2.24)

www.VNMATH.com


52

B»ng phÐp lÊy tÝch ph©n (2.23) vµ (2.24), t¸ch ra, chóng ta ®îc:

1 11 1

n

z pp e d h

;

2 22 2

1n

z pp e d

h

, (2.25)

trong ®ã d1 vµ d2 lµ 2 h»ng sè kh¸c 0. Tõ 2 c«ng thøc trªn, tån t¹i 2 hµm

nhá 1 2, cña ze tháa m·n , 1,2n

i ip i . Vµ

1 2 1 2

1 2 1 2 2.

n

z p pp p e d d

(2.26)

VÕ ph¶i cña c«ng thøc trªn lµ mét hµm nhá cña f, nh vËy lµ hµm nhá cña

ze . V× vËy c«ng thøc trªn chØ ®óng khi 1 2 0 . Ngoµi ra, chóng ta thÊy tån

t¹i 2 h»ng sè kh¸c kh«ng c1 vµ c2 sao cho:

1 /1

1 1

z nph c e

; 2 /2

2 2

1 z npc e

h

(2.27)

Cuèi cïng, tõ (2.20), chóng ta ®îc (2.3).

HÖ qu¶ 1: Cho ph¬ng tr×nh vi ph©n:

3 4 '' 2 3 ,f f f cos z

cã ®óng 3 nghiÖm nguyªn:

1

2

3

2 .

1 3cos sin .

2 2

1 3cos sin .

2 2

f z cosz

f z z z

f z z z

2.4.5. §Þnh lý 3:

Gi¶ sö 2n lµ sè nguyªn d¬ng, cho p1, p2 lµ hµm nhá cña ez, vµ

1,2i i lµ sè d¬ng tháa m·n 2 11 0n n . NÕu 1

2

lµ sè v« tû, th×

www.VNMATH.com


53

ph¬ng tr×nh vi ph©n (2.1) kh«ng cã nghiÖm nguyªn, trong ®ã P(f) lµ ®a thøc vi

ph©n ®èi víi f cã bËc n-1.

Chøng minh:

NÕu f lµ nghiÖm nguyªn siªu viÖt cña (2.1), th× do ®Þnh lý 1, tån t¹i hµm

nhá cña f sao cho (2.2) cè ®Þnh. Vµ nh vËy ,1 / ,N r f S r f ,

i,e, lµ hµm nhá ngo¹i lÖ cña f . C«ng thøc (2.2) chøng tá sù tån t¹i 2 hµm nhá

1 2, cña f sao cho '

1 2f f . B»ng phÐp thÕ c«ng thøc trong (2.1),

chóng ta thÊy 1

1

zp e

lµ ®a thøc ®èi víi f cã bËc k<n . Do bæ ®Ò 2, tån t¹i 2 hµm

nhá 1,a cña f sao cho:

1

1 1 .k za f p e (2.28)

V× vËy, 1 lµ hµm nhá ngo¹i lÖ cña f . V× hµm nguyªn siªu viÖt kh«ng thÓ cã

2 hµm nhá ngo¹i lÖ, chóng ta suy ra 1 . Tõ (2.2) vµ c«ng thøc trªn, chóng

ta ®îc:

1 2 2

1

.k n

n k z

n

p ae

p

(2.29)

VÕ ph¶i cña c«ng thøc trªn lµ hµm nhá cña f , vµ còng lµ hµm nhá cña ez .

Tõ ®ã chóng ta ®îc 1 2 0n k . Ngoµi ra , 1 2/ lµ sè h÷u tû, m©u thuÉn

víi gi¶ thiÕt. §©y lµ ®iÒu ph¶i chøng minh cña ®Þnh lý 3.

www.VNMATH.com


54

KÕt luËn

LuËn v¨n tr×nh bµy c¬ së lý thuyÕt Nevanlinna vµ mét sè kÕt qu¶ gÇn ®©y

vÒ viÖc ¸p dông lý thuyÕt nµy ®Ó nghiªn cøu tÝnh chÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi

ph©n phøc.

1.Tr×nh bµy c¬ së lý thuyÕt Nevanlinna vµ mét sè vÝ dô øng dông.

2.Tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ gÇn ®©y vÒ viÖc ¸p dông lý thuyÕt Nevanlinna

®Ó nghiªn cøu tÝnh chÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n phøc.

www.VNMATH.com


55

Tµi liÖu tham kh¶o

TiÕng ViÖt

1. Hµ Huy Kho¸i ,bµi gi¶ng lý thuyÕt Nevanlinna.

TiÕng Anh

2. S. Bank, I. Laine, On the growth of meromorphic solutions of linear and

algebraic differential equations, Math.Scand. 40 (1977) 119 - 126.

3. J. Clunie, On integral and meromorphic functions, J. London Math.

Soc.37 (1962) 17 - 27.

4. w. Hayman, Meromorphic Functions, Clarendon Press, Oxford, 1964.

5. J. Heittokangas, R. Korhonen, I. Laine, On meromorphic solutions of

certain nonlinear differential equations, Bull. Austral. Math. Soc.66 (2)

(2002) 331 - 343.

6. P - C . Hu, P.Li, C - C . Yang Unicihg of meromorphic Maping Klumer

Accdamic Publisher 2003.

7. G. Jank, L. Volkmann, Einfuhrung in die Theorie der ganzen und

meromorphen Funktionen mit Anwendungen auf

Differentialgleichungen, Birkhauser Verlag, Basel, 1985.

8. I. Laine, Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, Stud.

Math., vol. 15, Walter de Gruyter, Berlin, 1993.

9. P. Li, Entire solutions of certain type of differential equations, Journal of

Mathematical Analysis and Applications, 344 (2008) 253 - 259.

10. P. Li, C.-C.Yang, On the non-existence of entire solutions of certain

type of nonlinear differential equations, J.Math. Anal. Appl. 320 (2006)

827 - 835.

www.VNMATH.com


56

11. P. Li, W- J. Wang, Entire funtion that share a small funtion with its

derivative, J. Math. Anal. Appl. 328 (2007) 743 - 751.

12. C.C. Yang, On entire solutions of a certain type of nonlinear differential

equations, Bull. Austral. Math. Soc. 64 (3) (2001) 377 - 380.

13. C.C. Yang, P. Li, On the transcendental solutions of a certain type of

nonlinear differential equations, Arch. Math. 82 (2004) 442 - 448.

www.VNMATH.com


57

Môc lôc

Më §Çu ............................................................................................................ 1

Ch¬ng I. C¬ së lý thuyÕt Nevanlinna ................................................................. 3

1.1. Hµm ph©n h×nh ......................................................................................... 3

1.2. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt ............................................................................. 4

1.2.1. C«ng thøc Poisson-Jensen .................................................................. 4

1.2.2. Hµm ®Æc trng ................................................................................. 10

1.2.2.1. Mét sè kh¸i niÖm ...................................................................... 10

1.2.2.2. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®Æc trng ........................................... 13

1.2.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cña Nevanlinna ........................................... 14

1.2.4. §Þnh lý Cartan vÒ ®ång nhÊt thøc vµ tÝnh låi .................................... 20

1.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai ............................................................................. 23

1.3.1. Giíi thiÖu ......................................................................................... 23

1.3.2. BÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n ........................................................................ 23

1.3.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna ............................................. 31

1.3.4. Quan hÖ sè khuyÕt ........................................................................... 31

1.4. Mét sè øng dông cña çc ®Þnh lý c¬ b¶n ................................................. 36

1.4.1. Çc vÝ dô .......................................................................................... 36

1.4.2. §Þnh lý 5 ®iÓm cña Nevanlinna ........................................................ 38

Ch¬ng II. NghiÖm toµn côc cña ph¬ng tr×nh vi ph©n ...................................... 42

2.1. Giíi thiÖu ................................................................................................ 42

2.2. §Þnh nghÜa hµm nhá ............................................................................... 43

2.3. Mét sè bæ ®Ò ........................................................................................... 43

2.3.1. Bæ ®Ò 1 ............................................................................................ 43

2.3.2. Bæ ®Ò 2 ............................................................................................ 43

2.3.3. Bæ ®Ò 3 ............................................................................................. 43

www.VNMATH.com


58

2.4. Çc ®Þnh lý ............................................................................................. 43

2.4.1. §Þnh lý A ......................................................................................... 44

2.4.2. §Þnh lý B ......................................................................................... 44

2.4.3. §Þnh lý 1 ......................................................................................... 44

2.4.4. §Þnh lý 2 .......................................................................................... 48

2.4.5. §Þnh lý 3 .......................................................................................... 52

KÕt luËn ....................................................................................................... 54

Tµi liÖu tham kh¶o ................................................................................. 55

www.VNMATH.com

Documents

NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH · PDF file . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN