Ángulo de desfase en un circuito RC Fundamento

En un circuito de corriente alterna, están situados en serie una resistencia variable RV y un

condensador. Debido a que las caídas de tensión en cada elemento no están en fase, la resistencia y

la reactancia capacitiva XC del condensador se pueden representar por el diagrama de la Fig.1.

En el diagrama Z es la impedancia total del circuito y el ángulo de desfase entre la resistencia y la

impedancia. De la observación de la figura se deduce.

CXtag

R

Como C

1X

C . Resulta que se mantiene constante la reactancia capacitiva mientras no varíe la

frecuencia.

Dado que en este circuito R=RV es variable, y la reactancia capacitiva XC constante para una cierta

frecuencia, el ángulo depende del valor de RV. Por tanto:

tagCRV

1

Si en un circuito colocamos distintas RV y medimos los ángulos, podemos representar 1/RV frente a

tag y a partir de la pendiente de la recta obtenida calcular el producto C·. Si también conocemos

la frecuencia de la corriente, podemos calcular la capacidad C del condensador, que es el objetivo

que nos proponemos en este experimento.

En el experimento, fig.2, se monta un circuito de corriente alterna con RV variable y un condensador

en serie.

Fig.1

Fig.2

Los valores de RV son conocidos y el ángulo se mide a partir de la figura de Lissajous que se

obtiene con un osciloscopio de doble haz, mediante el siguiente método:

Supongamos que tenemos dos corrientes senoidales de la misma amplitud y frecuencia pero que

entre ellas existe un ángulo de desfase . Las ecuaciones que las representan son

Y A sen t ; X Asen t

Escojamos un ejemplo particular en el que A = 2 y = 10 en unidades del sistema S.I.

Y 2 sen10t ; X 2sen 10t 0,40

Si hacemos en un mismo gráfico la representación de ambas funciones en función de la variable t

obtenemos las siguientes gráficas:

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

X=A sen10t

Y=Asen(10t+0,40)

Y=Asen(10t+0,40)

Si representamos la función Y en el eje de ordenadas y la función X en el eje de abscisas se

consigue la siguiente figura, denominada de Lissajous.

b1

b2

a1

a2

c1 c2O

Fig.3

c1 y c2 son los cortes de la elipse sobre el eje X, además b1b2 y a1a2 son rectas tangentes a la

elipse y paralelas al eje de las Y.

X

Y

A partir de esta elipse se puede calcular el ángulo de desfase aplicando la ecuación.

1 2

2 2

c csen

a b

En el circuito, de la fig.2 una de

las entradas del osciloscopio se

conecta mediante una sonda a la

resistencia y la otra sonda a la

resistencia y al condensador, esto

es, abarcando todo el circuito a la

impedancia total Z. El

osciloscopio, mediante una tecla

de función, lleva ambas señales a

unos ejes de coordenadas perpen-

diculares y en pantalla aparece la

composición de las dos señales

perpendiculares, que es una

elipse como se ve en la fig.4.

La elipse real obtenida en la

pantalla del osciloscopio, fig.4,

tiene un cierto grosor y es como

si hubiese dos curvas elípticas,

una interior y otra exterior, fig.5.

b1

b2

a1

a2 c1c2O

B1

B2A2

A1

C1

C2

Fig. 5

Fig.4

La distancia c1c2 de la fig. 3, es en la realidad (según observamos en la fig.5) la media

aritmética de

1 2 1 2

m c

c c elipse int erior C C elipse exteriorc I

2

Ic es la incertidumbre en la medida y su valor es tal que restado del valor medio cm nos abarque el

valor c1c2 (interior) y sumado, nos abarque C1C2 (exterior).

Para medir las distancias c1c2, C1C2, a2b2, A2B2 se pueden utilizar dos métodos:

a) Sobre una fotocopia, por ejemplo de la fotografía de la fig.4 de la elipse obtenida en el

osciloscopio, se miden las distancias indicadas anteriormente, teniendo en cuenta que la

dimensión real de cada lado de un cuadrado de la cuadrícula que aparece en el osciloscopio

es un centímetro.

b) Sobre la misma fotocopia se pueden medir con una regla las anteriores distancias que ahora

se expresaran en cm de la fotocopia (ahora las distancias no son reales, ya que dependen del

tamaño con que se haya hecho la fotocopia). Dado que lo que se pretende es calcular el seno

de un ángulo, a partir del cociente entre dos distancias, el número resultante es adimensional,

y, por tanto, da lo mismo hacerlo con medidas reales que con medidas en fotocopia.

Aconsejamos este último método por ser más cómodo para apreciar las distancias.

Ejemplo de aplicación

c1c2 (interior) = 12,3 cm en fotocopia C1C2 (exterior) = 12,9 cm en fotocopia

m

12,3 12,9c 12,6 0,3

2

La distancia a2b2 es la media aritmética de

2 2 2 2

m c

a b elipse int erior A B elipse exteriora I

2

a2b2 (interior) = 16,7 cm en fotocopia A2B2 (exterior) = 17,2 cm en fotocopia

m

16,7 17,2a 16,95 0,25 17,0 0,3

2

Veamos cómo se calcula el seno y su incertidumbre 12,6

sen 0,74117,0

Error relativo del numerador 0,3·100 2,4 %

12,6

Error relativo del denominador 0,3·100 1,8 %

17,0

Error del sen = 2,4+1,8 = 4,2 %

4,2% de 0,741 = 0,03 Valor del seno del ángulo con su incertidumbre sen I 0,74 0,03

Ángulo menor al que corresponde el seno de valor 0,71, menor 45,2º

Ángulo mayor al que corresponde el seno de valor 0,77, mayorr 50,4º

Tangente del ángulo menor = 1,01 ; Tangente del ángulo mayor =1,21

Valor de la tangente con su incertidumbre 1,01 1,21

1,1 tag 1,1 0,12

Análisis del circuito

En nuestro experimento montamos un circuito serie como se indicó en la fig.2, siendo RV una

resistencia variable. En la fig.6 puede verse una fotografía del circuito real.

Durante el experimento la frecuencia elegida en el dial del generador señala 10000 Hz y se va a

mantener constante durante todo el experimento. La frecuencia anterior es preciso convertirla al

valor real (véase la práctica, calibrado del generador de frecuencias).

En caso de no haberse realizado ese experimento se debe utilizar la siguiente ecuación de

conversión.

real leidaf =0,9426 · f +1654

Fig.6

En las siguientes fotografías solamente se ve la pantalla del osciloscopio con la correspondiente

figura de Lissajous. También se ha impreso el correspondiente valor de la resistencia.

En cada una de las fotografías se ha de calcular la tangente del ángulo de desfase con su

incertidumbre siguiendo el método expuesto en el fundamento.

Fotografías para toma de medidas

A partir de la fotografía 1, completa los datos siguientes:

c1c2

interior

C1C2

exterior

a2b2

interior

A2B2

exterior m Cc I

m ma I

sen I

menor mayor tag menor tagmayor

Tangente con su incertidumbre tag =

Resistencia 300 frecuencialeídaf ; frecuencia corregida, f =

Fotografía 1

A partir de la fotografía 2, complete los datos siguientes:

c1c2

interior

C1C2

exterior

a2b2

interior

A2B2

exterior m Cc I

m ma I

sen I

menor mayor tag menor tagmayor

Tangente con su incertidumbre tag =

Resistencia 400 frecuencialeídaf ; frecuencia corregida, f =

Fotografía 2

A partir de la fotografía 3, complete los datos siguientes:

c1c2

interior

C1C2

exterior

a2b2

interior

A2B2

exterior m Cc I

m ma I

sen I

menor mayor tag menor tagmayor

Tangente con su incertidumbre tag =

Resistencia 500 frecuencialeídaf ; frecuencia corregida, f =

Fotografía 3

A partir de la fotografía 4 complete los datos siguientes:

c1c2

interior

C1C2

exterior

a2b2

interior

A2B2

exterior m Cc I

m ma I

sen I

menor mayor tag menor tagmayor

Tangente con su incertidumbre tag =

Resistencia 600 frecuencialeídaf ; frecuencia corregida, f =

Fotografía 4

A partir de la fotografía 5, complete los datos siguientes:

c1c2

interior

C1C2

exterior

a2b2

interior

A2B2

exterior m Cc I

m ma I

sen I

menor mayor tag menor tagmayor

Tangente con su incertidumbre tag =

Resistencia 700 frecuencialeídaf ; frecuencia corregida, f =

Fotografía 5

A partir de la fotografía 6, complete los datos siguientes:

c1c2

interior

C1C2

exterior

a2b2

interior

A2B2

exterior m Cc I

m ma I

sen I

menor mayor tag menor tagmayor

Tangente con su incertidumbre tag =

Resistencia 800 frecuencialeídaf ; frecuencia corregida, f =

Complete la tabla 1

Fotografía 6

Tabla 1

Resistencia

R/

Tangente

menor

Tangente

mayor

Tangente con su incertidumbre

1/R

en -1

300

400

500

600

700

800

Gráficas

Opción 1)

Considere los valores de la tangente sin incertidumbre y represente en el eje de las Y los

valores de las tangentes, y en el de las X, los inversos de las resistencias Halle la ecuación de la

recta y determine el valor de la capacidad del condensador considerando que la frecuencia ha

permanecido constante.

Opción 2)

Represente en un mismo gráfico: a) La tangente del ángulo menor (eje Y) frente al inverso de la

resistencia (eje X). b) La tangente del ángulo mayor (eje Y) frente al inverso de la resistencia

(eje X).

Obtenga las ecuaciones de las rectas y calcule la capacidad del condensador con su

incertidumbre.