C H R I S T O P H S C H U L Z

N I C H T - P O L Y T O P A L E 3 - S P H ~ R E N M I T 8 E C K E N

1. E I N L E I T U N G

Der Begriff des Schlegel-Diagramms eines konvexen d-Polytops P = E d (Zentralprojektion des Randkomplexes ~(P) auf eine ( d - 1)-Seite E7]) wird durch den Begriff des (d - 1)-Diagramms verallgemeinert. Eine endliche Familie ~ = {Do} w cg konvexer Polytope des E d- 1 mit

(1) cg ist ein geometrischer Zellkomplex. (2) D o ist ein ( d - 1)-Polytop mit D o = set cg, und jede Seite von D o

geh6rt zu cg. (3) Cc~bdDo~¢g fiir alle C~Cg.

heil3t ein (d - 1)-Diagramm [7]. Eine zentrale Frage in der kombinatorischen Konvexgeometrie ist die,

als Steinitz-Problem bezeichnete, Charakterisierung der (d - 1)-Diagramme, die polytopal, d.h. zum Schlegel-Diagramm eines d-Polytops isomorph sind. Der Satz von Steinitz [7, Abschnitt 13] sagt aus, dab alle 2-Diagramme poly- topal sind. Fiir h6here Dimensionen ist das Steinitz-Problem weitgehend ungel6st. Zwei Eigenschaften von Schlegel-Diagrammen, Invertierbarkeit und Dualisierbarkeit [7, Abschnitt 3.3], die yon den zuerst gefundenen nicht-polytopalen Diagrammen verletzt wurden [2], [4], [7] und [9], haben sich inzwischen als nicht hinreichend fiir die Polytopalit/it eines Diagramms erwiesen [5], [11] und [12].

Mani [10] und Kleinschmidt [8] haben gezeigt, dab ein (d - 1)-Diagramm mit h6chstens d + 3 Ecken stets polytopal ist. Von weiterem Interesse sind deshalb (d -1 ) -Diagramme mit d + 4 Ecken, insbesondere fi.ir d = 3. Barnette [3] hat gezeigt, dab es genau zwei nicht-polytopale simpliziale 3-Diagramme mit 8 Ecken gibt, n/imlich die in [2] und [7] angegebenen. Ein erstes nicht-simpliziales Diagramm dieser Art findet sich in [6], jeweils zwei weitere in [9] und [11].

In dieser Arbeit werden weitere 20 nicht-polytopale 3-Diagramme mit 8 Ecken konstruiert, und es wird ein gemeinsamer Beweis fiir die Nicht- Polytopalit~it aller bisher bekannten 27 Diagramme geffihrt.

Wir verwenden weitgehend die Bezeichnungen von Griinbaum [7]. Abweichend davon bezeichnen wir die konvexe Hiille von x l , . . . , x mit Ix, . . . . , x ] .

2. E R G E B N I S

SATZ. Es gibt mindestens 27 nieht-polytopale 3-Diagramme mit 8 Ecken, darunter genau zwei simpliziale und mindestens 12 quasisimpliziale.

Geometriae Dedicata 13 (1982) 325 329. 0046-5755/82/0133-0325500.75. Copyright (~) 1982 by D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, Holland, and Boston, U.S.A.

326 C H R I S T O P H S C H U L Z

Im folgenden Abschnitt konstruieren wit die Diagramme, im 4. Abschnitt wird gezeigt, dab sie nicht-polytopal sind,

Sieben der Diagramme findet man bereits in der Literatur: N27 in [7], ~9 in [2], ~2 in [6], @5, ~ t s in [9] und ~1, ~1o in [11]. Unter den Diagram- men befinden sich sowohl invertierbare, z.B. N1, als auch nicht-invertierbare, z.B. N2, N9, N27" Bei allen sieben bisher bekannten Diagrammen ist die Nicht-Existenz des dualen Diagramms gezeigt worden: N2v in [4], ~2, ~ 9 , ~ 5 , ~ 1 s in [9] und @~,~1o in [11]. Ffir drei weitere Diagramme folgt dies durch Modifikation der Beweise in [9] und [11]: N14,N23 analog [9], ~19 analog [11].

Es w~ire interessant, die Dualisierbarkeit fiir alle 27 Diagramme zu entscheiden, da weiterhin die M6glichkeit besteht, dab Dualisierbarkeit in Verbindung mit geringer Eckenzahl (relativ zur Dimension) eine hinrei- chende Charakterisierung polytopaler Diagramme erlaubt.

Es erscheint wahrscheinlich, dab fiber die hier konstruierten 27 Diagramme hindus weitere nicht-polytopale 3-Diagramme mit 8 Ecken existieren. Eine vollst/indige L6sung dieser Frage dfirfte eine Aufz~hlung aller 3-Diagramme mit 8 Ecken und eine anschlieBende Klassifikation in polytopale und nicht- polytopale Diagramme erfordern. Dieses Verfahren wird im simplizialen Fall in [3] (8 Ecken) und [1] (9 Ecken) angewandt.

3. K O N S T R U K T I O N DER D I A G R A M M E

Die Diagramme werden mit Hilfe zweier Operationen s, t aus Diagrammen abgeleitet, die isomorph zu Schlegel-Diagrammen der Doppelpyramiden fiber den 3-Polytopen Q1, Q2, Q3 (Figur 1) sind.

Die Operation s ist folgendermaBen definiert, cg c E 3 sei ein geometrischer Zellkomplex, der die beiden Tetraeder T 1 = [a, b, c, d], T 2 = [a, b, c, e] und deren Durchschnitt T = [a, b, c] enth~ilt. Die Kante [d, e] liege nicht in cg und es sei

(+) [d, e] c~ relint [a, b, c] ~=

3 3 3

1 Ol 2 1 Q2 2 1 03 2

Fig. 1.

NICHT-P.OLYTOPALE 3-SPHA, REN MIT 8 ECKEN 327

Dann ist s(Cg, T1, T2) = (~\{ TI, 7"2, T}) w { [a, b, c, d, e] }. s bedeutet also die Ersetzung der beiden Tetraeder T1, T 2 durch ihre Vereinigung. Wegen (+) ist r t u r 2 das Doppeltetraeder [a, b, c, d, e].

Hat ein Zellkomplex ~ ein Doppeltetraeder D -- [a, b, c, d, e] mit Basis [a, b, c] und Spitzen d, e als Zelle, so ist

t(cg, D) = (cE\{D}) u {¢Y( [a, b, d, el), c6( [b, c, d, e] ), eft( [a, c, d, e] )}.

t bedeutet also die Ersetzung yon D durch die drei Tetraeder [a, b, d, el, [b, c, d, el, [a, c, d, e] und deren Seiten.

Es sei nun Pi die Doppelpyramide fiber Q~ mit Spitzen 7, 8. Die Seiten yon P~ sind also die Seiten von Q~ und die Pyramiden mit Spitzen 7 bzw. 8 fiber diesen Seiten. Ein Diagramm 9 *, das zu einem Schlegel-Diagramm yon Pi isomorph ist, erh/ilt man aus einem Qi c E 3, dessen Seiten, bis auf [1,2, 3], yon einem Punkt 8eE3\Qi aus gesehen werden. 7 kann beliebig in int Q~ gew~/hlt werden. Es ist also "@i= {Do} u ~ mit D o = [1, 2, 3, 8].

Zur Ableitung von 91 . . . . , "@27 aus "@1 9 2 , 9 3 verwenden wir jeweils vier s- und t-Operationen. Mit den Eckenbezeichnungen aus Figur 1 sei

Dann ist

So(Cgi) = s(Cg,, [4, 5, 6, 7], [4, 5, 6, 8] ),

sl(Cgi) = s(C~,, [2, 3, 6, 7], [2, 5, 6, 7]),

s2(C~,) = s(Cg,, [1, 3, 4, 7], [3, 4, 6, 7]),

s3((~9i) = S((~i, [ i , 4, 5, 7], [1, 2, 5, 7] ),

t~s~(~ i) = t~(s( ~ ~), F)

F 0 = [ 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ],

F 1 = [ 2 , 3 , 5 , 6 , 7 ],

F 2 = [ 1 ' , 3 , 4 , 6 , 7 ],

F 3 = [ 1 , 2 , 4 , 5 , 7 ],

ffir i = 0 , . . . , 3 .

91~---

9 3 =

9 6 =

F fir i

s1(91), 92 = q('@l),

$2S1(92), 9 4 ~--- t1('@3) , 9 5 = t2(94) ,

$3S2Sl ('@3)' 9 7 = t1(96) ' "@8 = t2(97) ' "@9 = t3(°@8)"

= 10 . . . . ,18 ist 9 i = So(9i_9).

F/ir i = 19 .. . . ,27 ist 9 i = to('@i_ 9).

Damit So, . . . , s 3 ausgeffihrt werden k6nnen, muB (+) gelten. Man fiberlegt sich leicht, dab man die Ecken 7 und 8 in "@1, "@z, 93 hierfiir geeignet w/ihlen kann.

LEMMA 1. 91 , . . . , 927 sind paarweise nicht-isomorph. Beweis. Sind 9 i u n d "@. isomorph, so stimmen sie in den Vektoren f , v

und n fiberein. Dabei istSf der gew6hnliche f-Vektor, v = (v 3, v,~, vs, v6) mit v k = Anzahl der k-valenten (in k 2-Seiten enthaltenen) Kanten und n = (t, d, p), t = Anzahl der Tetraeder, d = Anzahl der Doppeltetraeder, p =

328 C H R I S T O P H S C H U L Z

Anzahl der Viereckspyramiden. Danach bleiben zwei Paare m6glicherweise isomorpher Diagramme: ~16 , 924 und 9 1 8 , 9 2 6 . ~ 6 enth/ilt eine Kante, die in drei Doppeltetraedern liegt, 924 nicht. 9 1 8 , 9 2 6 haben genau ein Doppeltetraeder D als Zelle. Die drei Kanten der Basis von D sind bei 9~8 s/imtlich 4-valent, bei 926 nicht.

4. 91 , ... ,927 SIND NICHT-POLYTOPAL

Der Beweis, dab die Diagramme nicht-polytopal sind, beruht auf dem yon Barnette in [2] angewandten Prinzip. Angenommen, ein 9 i ist isomorph zum Randkomplex eines 4-Polytops P. Dann ist P ' = conv(vert P\{8}) ebenfalls ein 4-Polytop. (Wir bezeichnen die Ecken von P wieder mit 1, . . . , 8.) Damit ist .~(P')= ~wast (8 , P), wobei set ~ eine 3-Kugel und { F ~ : F c bd set ~g} = link(8, P) ist, und alle Ecken yon cg in link(8, P) liegen. FiJr F ~ cg und F' ~ ast (8,/9) ist F c~ F' ~ link (8,/9). Die folgenden Lemmata zeigen die Nicht-Existenz eines solchen Komplexes ~ ffir 91 . . . . . 927.

LEMMA 2. cg sei ein Komplex, dessen Triigermenge set cg eine 3-Kugel ist, S = {F~Cg:F ~ bd set cg} ist isomorph zu einem ~(Qi) (Figur 1) und alle E c k e n yon cg liegen in S. F 1 = [2, 3, 6] und F 2 = [2, 5, 6 3 liegegt igl verschiedenen 3-Zellen yon cg. Dann gilt:

(a) Es gibt kein cg, bei dem S isomorph zu Y)(Q1) ist. (b) Ist S isomorph zu N(Q2), so ist [1, 6] Ecg. (c) Ist S isomorph zu N(Q3), so ist eine der Strecken [1, 6], [2, 4] entweder

eine Kante yon cg, oder Diagonale einer 2-Zelle yon cg.

Beweis. Weil F1, F 2 in verschiedenen 3-Zellen liegen, ist [2, 63 in einer weiteren 2-Zelle F enthalten. F wird von [2, 6] und Ecken aus {1, 4} aufges- pannt. Weil c~ ein Komplex ist, gilt:

(a) Ein solches F existiert nicht. (b) F = [1, 2, 63. (c) F = [1, 2, 63 o d e r F = [2, 4, 63 oder F = [1, 2, 4, 6].

9 , , 9 2 sind nach (a) nicht-polytopal, 93 , . . . , 9 s nach (b) und 9 6, . . . , 9 9 nach (c).

Das 3-Polytop Q'i entstehe aus Qi durch stellare Unterteilung der 2-Seite [4, 5, 6]. [4, 5, 6] wird also durch die Dreiecke [4, 5, 7], [5, 6, 7], [4, 6, 7] und ihre Seiten ersetzt.

LEMMA 3. cg sei wie in Lemma 2, aber S isomorph zu einem N(QI)" Dann gilt :

(a) Ist S isomorph zu N(Q'I), so ist [2, 7 ]e~ . (b) Ist S isomorph zu N(Q2), so ist eine der Strecken [1, 6] oder [2, 73

entweder eine Kante yon cg, oder Diagonale einer 2-Zelle yon cg.

N I C H T - P O L Y T O P A L E 3 - S P H A R E N MIT 8 E C K E N 329

(c) 1st S isomorph zu ~(Q3), so ist eine de,* Strecken [1, 6], ]-2, 4], [-2, 7] entweder eine Kante van % oder Diagonale einer 2-Zelle van (g.

Beweis. Mit F wie im Beweis yah L e m m a 2 gilt:

(a) F = [2, 6, 7]. (b) F = [1, 2, 6] oder F = [2, 6, 7] oder F = [1, 2, 6, 7]. (c) F wie unter (b) oder [-2, 4] c F.

~lO' ~11' ~19' ~20 sind nach (a) nicht-polytopal, @~2 . . . . , ~ , 4 , ~2~ . . . . . ~23 nach (b) und @15 . . . . . ~18, ~24 . . . . , ~27 nach (c).

B I B L I O G R A P H I E

1. Altshuler, A., Bokowski, J. und Steinberg, L. : "The Classification of Simplicial 3-Spheres with Nine Vertices into Polytopes and Nonpolytopes' . Discrete Math. 31 (1980), 115-124.

2. Barnette, D. : 'Diagrams and Schlegel-Diagrams', in Combinatorial Structures and their Applications. Gordon and Breach, New York, 1970, pp. 1-4.

3. Barnette, D. : 'The Triangulations of the 3-Sphere with up to 8 Vertices'. J. Comb. Theory 14 (1973), 37-5l.

4. Barnette, D. und Wegner, G. : 'A 3-Sphere that is Not 4-Polyhedral'. Studia Sci. Math. Hung. 6 (1971), 341-346.

5. Barnette, D. : 'An Invertible Non-Polyhedral Diagram'. Israel J. Math. 36 (1980), 89-96. 6. Betke, U., Schulz, Ch. und Wills, J. M. : 'Bfinder und M6biusbfinder in konvexen

Polytopen'. Abh. Math. Sere. Univ. Hamb. 44 (1975), 249-262. 7. Grtinbaum, B. : Convex Polytopes. Interscience Publishers, New York, 1967. 8. Kleinschmidt, P. : 'Sphfiren mit wenigen Ecken'. Geom. Dedicata 5 (1976), 307-320. 9. Kleinschmidt, P. : 'Nicht-dualisierbare Sph/iren', Geom. Dedicata 6 (1977), 511 515.

10. Mani, P. : 'Spheres with Few Vertices'. J. Comb. Theory (A) 13 (1972), 346-352. 11. Schulz, Ch. : 'An Invertible 3-Diagram with 8 Vertices'. Discrete Math. 28 (1979), 201-205. 12. Schulz, Ch. : 'A Dual Pair of Non-polytopal 3-Diagrams' (in Vorbereitung).

(Eingegangen am3. Februar 1982)

Anschrift des Verfassers :

Chris toph Schulz, Fernuniversit/it , Zen t rum ffir Fernstudienentwicklung, Postfach 940, D-5800 Hagen, Bundesrepubl ik Deutschland