Nicole Weber - FR Mathematik - Universität des Saarlandes Alternierende Differentialformen Kohomologie Alternierende Differentialformen Alternierende Differentielformen Eine alternierende

Alternierende Differentialformen Kohomologie

Differentialformenkalkül

Nicole Weber

Seminar: Differentialformen in Natur und TechnikWS 2008/2009

02.12.08


Gliederung

1 Alternierende DifferentialformenAlternierende DifferentialformenOrientierungenDarstellungen der alternierenden Tensoren und FormenOperationen mit alternierenden FormenPullbackHodge-Stern Operator

2 KohomologieDas Poincare-LemmaDie KohomologieTopologie


Alternierende Differentialformen

Alternierende Differentielformen

Eine alternierende Differentialform (auch k-Form genannt)setzt sich zusammen aus einer gewöhnlichenDifferentialform und einer Orientierung Ω.Der Unterschied zwischen einer gewöhnlichen und eineralternierenden k-Form liegt also lediglich in derOrientierung Ω.



Notation

1 Eine alternierende k-Form wird mit (α,Ω) bezeichnet.Wobei Ω die Orientierung des Raumes angibt, der dieMannigfaltigkeit umgibt.

2 Einen Vektorraum der alternierenden k-Formen auf Vbezeichnet man mit:AltkV

Beispiele:

Alt0V = RAlt1V = V ? (der Dualraum von V)



Definition: alternierende Tensoren

Ein alternierender Tensor (ω,Ω) ist ein Paar, das aus einemgewöhnlichen Tensor ω und einer Orientierung Ω besteht.

(ω,Ω) ≡ (−ω,−Ω)

mit −Ω = entgegengesetzte Orientierung von Ω

Bemerkung:Auch hier unterscheiden sich alternierende Tensoren vongewöhnlichen lediglich durch die Orientierung Ω



Beispiel:

gewöhnliche Vektoren und eine Raumorientierung bildenzusammen die alternierenden Vektoren.



Beispiel: Möbiusband

Betrachten wir ein Möbiusband.Wir wollen ein durchgängiges Vektorfeld mit einheitlicherOrientierung finden:

Mit gewöhnlichen Vektoren ist dies nicht möglich.Mit alternierenden Vektoren kann man ein solchesVektorfeld bilden.


Orientierungen

Definition: Orientierung

Ein orientierter VR ist ein Paar (V ,or) bestehend aus einemendlich dimensionalen VR V und einer Orientierung or.Der VR kann entweder positiv oder negativ orientiert sein.

Es gibt zwei Möglichkeiten einen VR zu orientieren:

1 Wahl einer Basis aus n Vektoren, die einen Vektorraumaufspannen.

2 Wahl einer Basis aus n 1-Formen, welche den Dualraumaufspannt.


Orientierungen

Man unterscheidet innere und äußere Orientierungen:

innere OrientierungOrientierung eines k-dimensionalen UVR durch eine Basisaus k 1-Formend.h. Die Einbettung eines geometrischen Objektes in denVR ist unabhängig vom VR.

äußere Orientierung bzw. transversale OrientierungOrientierung eines k-dimensionalen UVR durch eine Basisaus (n-k) 1- Formen, deren Dachprodukt eine (n-k)-Formist und ungleich 0 ist.d.h. Die Einbettung eines geometrischen Objektes in denVR wird durch die Orientierung beschrieben.


Orientierungen

Bemerkung:Die Raumorientierung ergibt sich aus der inneren und deräußeren Orientierung

Beispiel:


Orientierungen

Bemerkungen:Differentialformen weisen unterschiedliche Orientierungenauf:

alternierende k-Formen haben eine innere Orientierunggewöhnliche k-Formen haben eine äußere Orientierung

auch Vektoren unterscheiden sich bezüglich ihrerOrientierung:

alternierende Vektoren haben eine äußere Orientierunggewöhnliche Vektoren haben eine innere Orientierung


Darstellungen der alternierenden Tensoren und Formen

Alternierende Vektordarstellungen

Darstellung eines alternierenden Vektors in R2 und in R3




Dualität zwischen alternierenden 1-Formen und alternierendenVektoren im R2




Dualität zwischen alternierenden 1-Formen und alternierendenVektoren im R3



Addition

Addition gewöhnlicher und alternierender 1-Formen in R2



Darstellung alternierender 2-Formen

Darstellung eineralternierenden 2-Form imR3

zusammengesetzt ausalternierenden Bivektoren



verschiedene Darstellungsschemata

Darstellung eines alternierenden Vektors als Paar aus einemgewöhnlichen Vektor und einer Orientierung



verschiedene Darstellungsschemata

Darstellung einer alternierenden 1-Form im R2


Operationen mit alternierenden Formen

Das Dachprodukt

Erinnerung:Mit (α∧ β) wird das Dachprodukt (bzw. Äußeres Produkt) bezeichnet.

Das Dachprodukt einer alternierenden und einer gewöhnlichen Formist wiederum alternierend. Es gilt:

(α ∧ β,Ω) = (α,Ω) ∧ β = α ∧ (β,Ω)

Die dadurch gegebene Orientierung erfüllt:

α ∧ (β,Ω), α = (β,Ω)

mit α = Orientierung der Differentialform α.


Operationen mit alternierenden Formen

Die äußere Ableitung

Die äußere Ableitung einer alternierenden Form α ist wiederumalternierend. Es gilt:

d(α,Ω) = (dα,Ω)


Pullback

Pullback

Konstruktionen, die ausgehend von einer Abb. Ψ:X Y einemObjekt x ∈ Y mit f : Y R ein entsprechendes Objekt aus Xliefert. Es wird mit (Ψ∗f )(x) bezeichnet. Man erhält die Abb.(Ψ∗f ) : X R mit:

(Ψ∗f )(x) = f (Ψ(x))

Bemerkung:Sei η die transversale Orientierung, dann hat der PullbackΨ∗(α,Ω) folgende Orientierung:

η ∧Ψ∗(α,Ω) = (α,Ω)


Pullback

Beispiel: Pullback

Pullback eineralternierenden 2-Form imR3 zu einer Oberfläche mittransversaler Orientierungim R2

innere Orientierung der2-Form und äußereOrientierung derOberfläche bestimmenVorzeichen.


Hodge-Stern Operator


Erinnerung:Der Hodge-Stern Operator hat die Aufgabe, p-Formen aufalternierende (n − p)-Formen im Rn abzubilden.

Notation:Wir kennzeichnen den neuen Sternoperator mit (?,Ω)

Definition:Wir definieren (?,Ω) so, dass:

(?,Ω)(α,Ω) = ?α

(?,Ω)α = (?α,Ω)



Beispiel:Der ?-Operator bildet eine 2-Form auf eine alternierende1-Form ab.


Das Poincare-Lemma

Definition: geschlossen, exakt

Definition:Sei V ⊂ Rn offen und 1 ≤ k ≤ n. Sei ω eine k-Form aufV , dannheißt

ω geschlossen, wenn ω differenzierbar ist mit dω = 0.

ω exakt, wenn es eine differenzierbare (k-1)-Form α aufVgibt mit dα = ω


Das Poincare-Lemma

Definition:

Ein Gebiet G ⊂ Rn heißtkomprimierbar zu einem Punktp, falls es einen Punkt p ∈ Ggibt,so dass sich das ganzeGebiet zu diesem Punkt preduzieren kann.


Das Poincare-Lemma

Lemma von Poincare

Das Lemma von Poincare:Sei G ⊂ Rn ein offenes, zu einem Punkt p ∈ Gkomprimierbares Gebiet. Sei ω eine stetig differenzierbarek-Form (1 ≤ k ≤ n) auf G mit dω = 0.Dann existiert eine stetig differenzierbare (k-1)-Form α auf Gmit

ω = dα


Das Poincare-Lemma

Beweisidee:Man kann zeigen, dass man jeder k-Form ωk =

∑ωidx i eine

(k-1)- Form P(ωk ) zuordnen kann, mit:

ωk = P(dωk ) + dP(ωk )

Dabei ist die (k-1)-Form P(ωk ) vom Grad (k-1).für geschlossene Formen verschwindet schließlich der 1. Term⇒ Behauptung.


Das Poincare-Lemma

Als Umkehrung dieses Lemmas erhält man folgenden Satz:

Satz:

Ist ω auf der offenen Menge G exakt, so ist ω geschlossen.

Beweis:Da ω exakt ist, wissen wir: dα= ωSomit erhalten wir: d(ω) = d(d(α)) = 0


Die Kohomologie

Die Kohomologie

Die Kohomologie befasst sich mit dem Problem, exaktek-Formen zu finden.In anspruchsvollen Mannigfaltigkeiten ist allerdings nichtmehr jede geschlossene k-Form auch exakt.

⇒ Suche nach weiteren Möglichkeiten,um exakte k-Formen zufinden


Die Kohomologie

Definieren wir Hr als eine Reihe von Vektorräumen mitElementen folgender Art:

"abgeschlossene r-Formen modulo exakte r-Formen"

Man nennt sie auch die Kohomologieklassen.

⇒ d.h. zwei abgeschlossene Formen im Hr sind äquivalent,wenn sie sich durch eine exakte r-Form unterscheiden.


Die Kohomologie

Beispiel:

Nach dem Lemma von Poincare gilt:Im Rn ist jede abgeschlossene Form auch exakt

⇒ Hr = "geschlossene r-Formen modulo exakte r-Formen" = 0∀r


Topologie

Definitionen

Unter einer Kette versteht man eine Linearkombination vonSubmannigfaltigkeiten bzw. Integrationswegen.

∫k1Γ1+k2Γ2

ω = k1∫

Γ1ω + k2

∫Γ2ω

Mit Γi = Submannigfaltigkeiten bzw. Integrationswegen undki ∈ RDen Rand einer Kette c bezeichen wir mit ∂c.Eine geschlossene Kette,d.h. eine Kette ohne Ränder, wirdals Zykel bezeichnet.


Topologie

Bemerkung:

Man unterscheidet zwischen Zyklen und Zyklen, diezugleich Ränder sind. Die wichtigsten topologischenInformationen erhält man allerdings aus den Zyklen, diekeine Ränder sind.

Zyklen, die zugleich Ränder sind, sind uninteressant, dasich ihr Integral über die geschlossenen Formen aufhebt.

∫∂Γ ω =

∫Γ dω = 0


Topologie

Homologieklassen

Definition:

Die Homologieklasse Hr wird definiert als:

"r-Zyklen modulo r-Zyklen, die zugleich Ränder sind"

⇒ d.h. zwei r-Zyklen sind äquivalent in Hr , wenn sie sich nurum einen r-Zykel, der zugleich ein Rand ist, unterscheiden


Topologie

Beispiel:

Betrachte den R2 ohne die Einheitskreisscheibe. Hr ist1-dimensional und alle Zyklen sind geschlossene Kurven.

Zyklen, die die Umgebung nicht umlaufen, sind Rändervon Teilgebieten.2 unterschiedliche Zyklen, die jeweils einmal dieUmgebung umrunden, sind zusammen ein Rand einesneuen ringförmigen Gebietes.Zyklen, die die Umgebung k-mal umkreisen, sind gerade keinfache Zyklen.

⇒ Der VR H1 ist 1-dimensional.


Topologie

Theorem 1:Die Vektorräume Hr (M) und Hr (M) sind isomorph zueinander.

Beispiel:Betrachte den R2 ohne k Umgebungen.

Der VR hat k Zyklen, die keine Ränder sind.Folglich hat der VR k unabhängige geschlossene1-Formen, die nicht exakt sind.

Theorem 2:Eine abgeschlossene r-Form ist genau dann exakt, wenn seinIntegral über alle r-Ketten verschwindet.

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