A

B

C

M

O

B

AC

L1

P

Хавтгайн геометрийн бодлогууд

МУИС-ийн Элсэлтийн ерөнхий шалгалтанд бэлтгэгчдэд тусламж номын 20 бодлого

№ 31

√3 талбайтай адил хажуут гурвалжны медиануудын огтлолцлоос ёуурийн харагдах өнцөг 120 ° бол суурийн урт аль вэ?

Өгсөн нь : адил хажуут гурвалжин, медиануудын оглолцлоос суурийн харагдах өнцөг120 °

s=√3 ¿ AOC=120 °

Олох нь: AC=?

Бодолт: AB=BC ;S=BM∗AC2

=√3

BM∗AC=2√3

OM=13

BM=¿3OM∗AC=2√3 (1 )

∆ MOC=¿ MC=OM∗tg 600

MC= AC2

; AC=2∗OM∗√3;OM= AC2√3

; (2 )

(1 )- д (2 ) - ийг тавибал 3 AC2√3

∗AC=2√3 ; A C2=4 ; AC=2

ХАРИУ: AC=2

№ 40 АВ=12 ,AC=9 гурвалжны АL1 биссектрис CM3 медиантай Р цэгт огтлолцжээ. АР: PL1 аль нь вэ?

Өгсөн : АВС –гурвалжин

АL1 - биссектрис , CM3- медиан

AB=12, AC=9; АL1 ∩ CM3 = P

Олох нь : АР: PL1 ¿ ?

Бодолт:

Менелайн теорем BM 3

M 3 A∙ AP

PL1∙

L1CCB

=1; (1) биссектрис чанар:

АВАС

=BL1

L1C=12

9 ;

BC−BL1

L1 C= 3

4 ; 4CL1=3 BC−3 CL1; 7 CL1=3 BC ;

M

D

B

C

AH

L1CBC

=37

;(*)

(*)- Г (1)-д орлуулбал: 33

∙ APPL1

∙L1CCB

=1 APPL1

∙ 37=1 AP

PL1=3

7 Хариу: (7;3)

№44

R радиустай тойрогт багтсан АВС гурвалжны AH 1 өндрийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой D цэгт огтлолцжээ. Хэрэв орто төв нь Н , <ABC= β , < BCA= γбол HD - ийн урт аль вэ?

Өгсөн нь: R радиустай тойрогт багтсан АВС гурвалжны AH 1 өндрийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой D - цэгт огтлолцсон, орт төв Н; < АВС=β; <BCA=γ

Олох нь: HD=?

Бодолт: АВС гурвалжинд синусын теорем бичвэл

a=2 R sin α ;b=2 R sin β ; c=2 R sin γ ;

∆ AH 1C=¿ AH 1=b sin γ ; AB H1 BH1=ccos β;

∆AH1C ¿>¿ H 1C=b cosγ ; H 1 D=x; Огтлолцсон 2 хөвчийн чанар

x∙ AH 1=BH 1 ∙ CH1 ; x∙ b sin γ=c ∙b ∙cos β ∙cos γ ;

x=c ∙cos β ∙cos γ

sin γ=2 R ∙cos β ∙ cosγ

HH1= BH1∙ tg (90−γ )=c ∙cos β ∙ ctgγ ; HD= HH1 + H1D

HD=2R∙ sin γ ∙cos β ∙ ctgγ+2 R cos β ∙cos γ=4 R ∙ cos β ∙ cos γ

Хариу: 4 R∙ cos β ∙ cosγ

№48

Дотоод өнцгийн котангенс нь -1,2,3 байх гурвалжин

Өгсөн нь : ctg∝=−1 ;ctgβ=2;ctgγ=3

Бодолт: ctgβ=2 ; β нь 90°−сбага

ctgγ=3 γ н ь 90 °−аас бага

π

B

CN

M

A C

D

M

ctg∝=1∝нь90°−сих байгаа учраас мохоо

өнцөгт гурвалжин

Хариу: Мохоо өнцөгт гурвалжин

№49 Хэрэв m;n урттай перпендикуляр хоёр медиантай гурвалжны нэг тал а урттай бол энэ

талын өндрийн урт аль нь вэ?

Өгсөн нь : АВС –гурвалжин BN; CM – медиан, BN MC ;

BC=a ; BN= n ; MC= m

Олох нь: ha=?

Бодолт: А оройгоос буусан өндрийг : ha гэе. CM, BN медиан учир => MN нь дундаж шугам

ha ∙ a

2 = S ; ha=

2 Sa ;

∆ AMN ≅∆ ABC=¿S ABC=4 SAMN ; SAMN=14

S ;

Харилцан перпендикуляр диагональтай 4-н өнцөгт учир талбай нь : S=12

mn∙ sin 90 °=12

mn ; нөгөө талаас

SMNBC=SABC−S AMN=S−14=3

4S ;

34

S=12

mn ;S=23

mn ;ha=2 ∙2 mn

3 a=4mn

3 a ;

Хариу: 4mn3a

№ 55

АВС –гурвалжны ВС талын медианы үргэлжлэл багтаасан тойрогтой D цэгт огтлолцжээ. Хэрэв BC=a тал медиантайгаа ижил урттай бол AD-ийн уртыг ол

Өгсөн нь : АВС –гурвалжин , АМ- медиан үргэлжлэл багтаасан тойрогтой D цэгт огтлолцсон. BC¿a ,AM=a

Олох нь : AD= ?

B

A

B

D

CO

B

A C

Бодолт: огтлолцсон хөвчийн теоремоор

BM ∙ MC=AM ∙MD ; a2

∙ a2=a ∙ MD ; MD=a

4;

AD= AM+MD= a+ a4=5

4a Хариу:

54

a

№ 53

АВС -гурвалжны А оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой D цэгт огтлолцжээ. Багтсан тойргийн төвөөс D хүртэлх зай багтаасан тойргийн радиустай тэнцүү бол А орой дахь дотоод өнцөг хэдэн градус вэ?

Өгсөн нь : АВС –гурвалжин, А- өнцгийн биссектрис багтаасан тойрогтой Dцэгт огтолцсон.

O1 D=R ; AD−¿биссектрис , АС нумд тулсан өнцгүүд учир

¿ А BC=¿ ADC=β ;

Олох нь : <BAC=?

Бодолт:∆ ADC−¿д синусын теорем бичвэл:

DC

sin ∝2

= ACsin β

; DC=

b ∙sin α2

sin β; (1);¿ DOC 1=

∝2

+ β2=180°−β

2=90 °− β

2 ;

<O1CD=180°−β−α+γ2

=180 °−β−180 °−β2

=90 °− β2 ;

<DO1C=¿O1 CD =>∆ O1 DC−¿ адил хажуут учир синусын теоремоор O1 D=DC=R ;

b=2 R sin β ;R=b ∙ sin α

2sin β

=2 R sin β ∙ sin ∝

2sin β

1=2sin ∝2

;∝2

=30 °;∝=60 ° Хариу:∝=60 °

№ 58

Хурц өнцөгт АВС -гурвалжны өндрүүдийн суурь Н1, Н2,Н3 дотоод өнцгүүд ∝ , β , γ бол SH 1H 2 H3

:S ABC харьцааг ол.

Өгсөн нь: АВС –хурц өнцөгт гурвалжин ∝ , β , γ , Н1, Н2,Н3 -

өндрүүд

Олох нь: SH 1H 2 H3

:S ABC=?

Бодолт: SABC=S ;

О

А

DB

M

r

SH 1H 2 H3

=S ABC- (SA H 2 H3

+SBH 3 H1+SC H 1 H 2)

SA H 2 H 3=1

2AH 2 ∙ AH 3 ∙sin α=AH 2=b ∙ cos∝

AH 3=c ∙ cos α⇒

=12

b ∙ cosα ∙ c ∙cos α ∙ sin α=12

cb sin∝ ∙ cos2 α=¿

¿ S ∙cos2 α;

SB H 1 H 3=1

2BH 3 ∙ BH1 ∙sin β=BH 3=a ∙cos β

BH 1=c ∙cos β⇒

=12

a∙ cos β ∙c ∙cos β ∙ sin β=12

ca ∙ sin β ∙ cos2 β=¿

¿ S ∙cos2 β ;

SC H1 H 2=1

2CH1 ∙CH 2 ∙sin γ=CH 1=a∙ cos γ

cH 2=c ∙cos γ⇒

=12

a ∙cos γ ∙ c ∙ cos γ ∙ γ=12

ca ∙ sin γ ∙ cos2 γ=¿

¿ S ∙cos2 γ ;

SH 1 H 2 H 3=S−¿))

SH 1 H2 H 3

S=S¿¿

=1−cos2∝−1+1−cos2 β−1+1−¿cos2 γ=sin2 α+sin2 β+s¿2 γ−2= (¿ ) ашиглавал⇒

¿=

=2∙ cosα ∙ cos β ∙cos γ+2−2=2 ∙cosα ∙cos β ∙cos γ ;

‖ ∝; β ; γ өнцгүүдболsin 2α +sin2 β+s¿2γ=2 ∙cosα ∙ cos β ∙cos γ ;‖

Хариу:2 ∙cos α ∙ cos β ∙ cos γ ;

№60

Тойргийн а урттай хөвчийн нэг үзүүр ,нөгөө татсан шүргэгчийн в зайтай байсан бол тойргийн радиусын урт ямар байх вэ?

Өгсөн нь: тойрог AB= a ;DB= b;Олох нь: OB= r = ? ;Бодолт: AO// DB учир AD//OM болно. AD=OM

∆ ADB=¿ AD=√a2−b2 = OM ; DM=AO= r ;

MB= DB-DM ; MB=b- r ∆ DMB=¿OM2+MB2=r2 ; a2−b2+¿ ;

a2−b2+b2−2 br+r2=r2 ; r= a2

2b ;

Хариу: r= a2

2b

№51

A

B

C

M

155

16

АВ =15; BC=6 ба талын медианы урт 3√11 бол <ABC хэдэн градус вэ?

Өгсөн нь: АВС –гурвалжин ВМ- медиан

АВ =15; BC=6 , ВМ= 3√11

Олох нь : <ABC=?

Бодолт: mb2= 1

4(2a2+2 c2−b2) медианы томъёог ашиглавал :

BM2= 14

( 2 AB2+2 BC2−AC2 ) ;

99=14(2 ∙225+2∙36−b2) ; b2=522−396=126 AC2=126 ;

∆ ABC – д косинусын теорем бичвэл : 126 =225+36-2∙15∙6 ∙cos∝ ; cos∝= 1262 ∙15 ∙6

=¿ 34

¿ ; ∝=arcsin 34

Хариу: ∝=arcsin 34

СХД-ийн 42-р сургуулийн Математикийн секц

2003 оны 12 сарын 04