NIVEL I

Es una operación en la cual el exponente indica el número de veces que se va a multiplicar la base.

Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes iniciales. Su forma general es

Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de restar ambos exponentes. Su forma general es:

Es igual al cociente de

sus factores, cada uno

afectados con el mismo

Es igual al producto de sus factores,

cada uno afectados con el mismo

exponente. Su forma general es:

Es igual a una potencia

de la misma base, cuyos

exponentes se

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

1.- DEFINICIÓN:Es un conjunto de fórmulas que relacionan a los exponentes de las expresiones algebraicas de un sólo término, cuando entre éstas expresiones algebraicas se realizan operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación, en un número limitado de veces.

1.2.-LEYES PRINCIPALES a) Ley de potenciación.

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

b) Producto de bases iguales

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

c) Cociente de bases iguales.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

d) Exponente cero


e) Exponente negativo


f) Potencia negativa de un cociente


g) Potencia de un cociente.


h) Potencia de un producto

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

i) Potencia de potencia.

Ejemplo 1:

Cuando se presentan varios exponentes, esta propiedad recibe el nombre de cadena de potencia, cuya forma general se representa

así:

También se puede permutar los

exponentes:

Nota nº2

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

NOTA Nº 1

Ejemplo 2:

j) Potencia de Exponentes:

Presenta la siguiente forma: La solución de este caso especial, se efectúa en forma progresiva de arriba hacia abajo tal como indica la flecha.

Ejemplos

k) Exponente fraccionario


Observación

l) Raíz de un producto

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

m) Raíz de un cociente


n) Raíz de raíz


EXPRESIONES CON INFINITOS RADICALES

1) Suma de raíces cuadradas 2) Diferencia de raíces cuadradas

3) Productos 4) Cocientes

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAMBIÉN:

a) b)

c) d)Si entre

EXPRESIONES CON UN NÚMERO LIMITADO DE RADICALES

a) b)

c) d)

e)

NOTAS PARA RECORDAR

BLOQUE I

1.- Efectuar:

x221

x121

a) x50

b) x100

c) x150

d) x200

e) x250

ACTIVIDADES EN AULA

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

2.- Calcular: a) 320

b) 330 c) 90d) 310

e) 30

3.- Reducir: x-1 . x-2 . x-3 . x-4 . x-5

a) x-15

b) x-11

c) x-12

d) x-14

e) x-16

4.- Reducir: x1 . x-2 . x3 . x-4 . x5

a) x4

b) x2

c) x3

d) x1

e) x5

5.- Efectuar: x3y4x5y6x7y8

a) x12y15

b) x15y12

c) x15y18

d) x18y15

e) x12y18

6.- Efectuar: (x2y) (x3y2) (x4y3) (x5y4)

a) x12y10

b) x14y12

c) x14y10

d) x12y14

e) x14y14

7.- Efectuar:

38 . 36 . 34

37 . 35 . 33

a) 3b) 9c)81d) 243e) 27

8.- Reducir:

x6 . x−5 . x4 . x−3 .x2

x5 . x−4 . x3 . x−2 . xa) x0

b) xc) x2

d) x3

e) x4

9.- Reducir:

a4b3

a2b+ a

3b4

ab2

a) abb) 2abc) a2b2

d) a + b

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

e) 2a2b2

10.- Efectuar: (5x3) (4x2) (3x)a) 6x6

b) 16x6

c) 36x6

d) 66x6 e) 60x6

11.- Efectuar y reducir: 2x . x2 . x3 + 3x3 . x2 . x + 6x6

a) 12x18

b) 11x18

c) 12x6

d) 11x6

e) 6x11

12.- Señalar el exponente final de “x” en: x 0a) 40b) 42

c) 44d) 46e) 48

BLOQUE II

1.- Reducir e indicar el exponente final de “x”:

A =

2.- Calcular: E =

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

3.- Simplificar: E =

4.- Si: xx = 2; Calcular: E = x2x + x3x + xx

5.- Calcular el valor de: E =

6.- Efectuar: E =

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

7.- Calcular el valor: E =

8.- Determinar el valor de:

E =

9.- Efectuar: E =

10.- Calcular: E =

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

11.- Hallar:E =

12.- Reducir: M =

BLOQUE III

1.- Calcular: √ 19+ 3√ 8

27

a) 23

b) 1 c) 3d) 2

e) 13

2.- Calcular: a) 4b) 16c) 28d) 240

e) 216

3.- Efectuar:

3√8+√25

√49+

4√81−5√32

√4

a)

12

b) 1c) 3

d)

32

e)

52

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

4.- Calcular:

3√1258

+ 4√8116

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

5.- Hallar el valor de:

5√ 72003

71998

a) 5√7

b) 75

c) 1d) 7

e) √7

6.- Efectuar:

√25+√493√27

a) 1b) 2c) 5d) 7e) 4

7.- Calcular:√25+32−40+52−12

a) 4b) 6c) 8d) 9e) 10

8.- Reducir: √32+43+23

a) 4b) 6c) 7d) 8e) 9

9.- Reducir: √51+42+33+24

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

10.- Calcular: √21+32+52

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

11.- Calcular: √72−62−22

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

12.- Reducir: √14+33+62

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

BLOQUE IV

1.- Calcular: E =

2.- Determinar el valor de: E =

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

3.- Reducir: E =

4.- Calcular: E =

5.- Simplificar: E =

6.- Reducir la siguiente expresión y dar el

exponente final: E =

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

7.- Indicar el exponente final de x:

E =

8.- Hallar: E =

9.- Hallar el valor de: E =

10.- Calcular: E =

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAREA PARA MI CASA11.- Hallar: E =

12.- Hallar: E =

BLOQUE I

1.- Reducir: x5y-1 . x4y-2 . x3y-3 . x2y-4

a) x30y2 b)x20y-10 c) x14y-10

d) x15y3 e) x6y2

2.- Efectuar:

a30b10 c5

a10b−10 c−15

a) abc b) a5b6 c) a2b4

d) a15b15c15 e) (abc)20

3.- Calcular: x2 . x–4 . x6 . x-8 . x10 . x–12

a) x–2 b) x–4 c) x–-6 d) x–8 e) x–10

4.- Efectuar: x–2 . x–4 . x–6 . x–8 . x–10 . x–12

a) x–38 b) x–40 c) x–42

d) x–22 e) x–24

5.- Hallar: 5x2 . x3 . x4 + 7x2 . x3 . x4 – 6 . x2 . x3 . x4

a) 6x6 b) 6x4 c) 6x8

d) x9 e) 6x9

6.- Hallar el resultado final: (a3b2c2) (a4b3c2) (a–6b–4c–4)

a) ab–1 b) ab c) 3ab d) a2b2 e) abc

7.- Indicar el exponente final de:x2 . x–3 . x4 . x–5 . x6 . x–7 . x8 . x–9

a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) – 5

8.- Efectuar: (a2b3c4) (a–5b–6c–7) (a8b9c10)

a) a2b3c4 b) a3b4c5 c) a4b5c6

d) a5b6c7 e) a6b7c8

9.- Efectuar:

227 . 320 .517

517 . 318 .225

a) 26 b) 36 c) 46 d) 56 e) 66

10.- Simplificar:

a7

a2+ a

17

a12+ a

8

a3

a) a3 b) a5 c) a15 d) 3a5 e) 3a3

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

BLOQUE II

1.- Simplificar y dar el exponente final de “x”:

M = a) 40 b) 80 c) 88 d) 75 e) NA

2.- Encontrar el valor de: M = a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) NA

3.- Reducir: M = a) 54 b) 50 c) 45 d) 60 e) NA

4.- Sabiendo que: 5x = 8 Calcular: E = a) 20 b) 15 c) 25 d) 30 e) NA

5.- Si: xx = 3;Calcular el valor de: M = x3x + x2x a) 25 b) 30 c) 36 d) 39 e) NA

6.- Efectuar: M = a) 12 b) 16 c) 18 d) 15 e) NA

7.- Calcular: P = a) 12 b) 16 c) 16/9 c) 9/16 e) NA

8.- Efectuar: E = a) 3/4 b) 3 c) 2/3 d) 1/3 e) NA

BLOQUE III

1.- Calcular: √ 717

715−

515

513+

616

616

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

2.- Calcular el valor de:√ 333

331+

444

442

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3.- Sabiendo que: J=4√16+ 15√ 327

312

Hallar: √J−1a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4.- Si:

A=√ 3797

3795+

2428

2424; B=√25+34+22+33

Hallar “A + B”

a) 5 b) 17 c) 13 d) 30 e) 12

5.- Calcular:

5√ 720791

720781

a) 10 b) 7 c) 75 d) 49 e) 343

6.- Hallar el valor de: √132−122

a) 5 b) 25 c) 3d) 13 e) 1

7.- Hallar: √1257+23+43−32

a) 2 b) 4 c) 8 d) 5 e) 9

8.- Indicar V (verdadero) o F (falso) según sea el caso:

I. √32+42=√32+√42

II. √ a2m

b2m=√ ab

III. amn=

m√an

a) VFF b) FVV c) FFV d) VVV e) FFF

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

9.- Calcular: √√25+3√64a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10.- Calcular: √√4+√9+√16a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

BLOQUE IV

1.- Determinar el valor de:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

2.- Hallar: E =a) 4 b) 2 c) 6 d) 3 e) 8

3.- Reducir: E = a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) NA

4.- Calcular: E = a) 2 b) 22 c) 2-3 d) 2-1 e) 24

5.- Calcular: E = , indica el exponente de “x”.a) x2 b) 4 c) 14 d) 10 e) 2

6.- Hallar el valor de: E = a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,8

7.- Reducir: E =

a) x2 b) x c) d) e) x4

8.- Reducir: E =

a) b) x c) x2 d) e) NA

9.- Dar el exponente final de”x”:

E = a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2 d) 1/6 e) 2/3

10.- Calcular: P = a) 0,2 b) 0,3 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,8

1.- DEFINICIÓN:Son ecuaciones que se caracterizan porque la incógnita se puede encontrar como base a como exponentes.

2.- PROPIEDADES:A) PARA BASES IGUALES

Ejemplo: Hallar “x”.

Resolución

B) PARA EXPONENTES IGUALES

Ejemplo: Hallar “x”.

Resolución

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

C) PARA BASES Y EXPONENTES IGUALES

Ejemplo: Hallar el valor de “a”

Resolución

1.- Resolver:

2.- Resolver:

3.- Resolver:

4.- Resolver:

5.- Resolver:

6.- Resolver:

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

7.- Resolver:

8.- Resolver:

9.- Resolver:

10.- Hallar “x” si:

11.- Resolver:

12.- Hallar el valor de “x”

13.- Resolver: 327 x+3

= 279 x+3

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAREA PARA MI CASA

14.- Resolver:

15.- Resolver: 2x+1 . 4x+2 = 8

1.- Resolver: a)-5 b)-4 c)3 d)4 e)5

2.- Resolver: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

3.- Calcular “x” a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

4.- Resolver: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

5.- Resolver: a)0 b)2 c)3 d)9 e)5

6.- Resolver: a)10 b)7 c)3 d)9 e)6

7.- Resolver: a)5 b)2 c)3 d)4 e)0

8.- Resolver: a)-5 b)2 c)-3 d)-4 e)9

9.- Resolver: a)-1/7 b)2/3 c)3/5 d)4/3 e)5/2

10.- Resolver: a)-13/3 b)2/3 c)-13/5 d)14/3 e)-5/2

11.- Resolver: a)0 b)2 c)3 d)4 e)1

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

2 2 2a-b =a -2ab+b 2 2 2a+b =a +2ab+b

2n 2n n n n nx -y = x +y x -y 2 2a+b a-b =a -b

n n n+1 n+12 2 4 4 8 8 2 2 2 2a-b a+b a +b a +b a +b ··· a +b =a -b

PRIMER CASO

3 3 2 2 3

"Forma Desarrollada"

3 3 3

"Forma Abreviada"

a+b =a + 3a b + 3ab + b

a+b =a + b +3ab a + b

3 3 2 2 3


3 3 3

"Forma Abreviada"

a-b =a - 3a b + 3ab - b

a-b =a - b - 3ab a - b

SEGUNDO CASO

DEFINICIÓNSon los resultados de la multiplicación que se obtienen de polinomios, que tienen características especiales y necesidad de realizar la multiplicación. También se les llama Identidades Algebraicas

BINOMIO AL CUADRADO (T.C.P): (Trinomio Cuadrado Perfecto)

Observación: Corolario: Identidad De Legendre:

DIFERENCIA DE CUADRADOS.

DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO:Se les conoce también como las identidades de Cauchy.

Se presentan dos casos, a saber:

El cuadrado de un binomio es igual “al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”.

El producto de de la suma de dos términos

por su diferencia es igual a “el cuadrado de la primer término menos el cuadrado del

El cubo de la suma o diferencia de un binomio es igual “al cubo del primer término más o menos (según el caso) el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, más o menos (según el caso) el cubo del segundo término”.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

SUMA Y DEFERENCIA DE CUBOS

3 3 2 2

3 3 2 2

a +b a+b a - ab+b

a -b = a-b a +ab+b

2 2 2 2


2 2 2 2

"Forma Abreviada"

a+b+c =a +b +c +2ab+2ac+2bc

a+b+c =a +b +c +2 ab+ac+bc

OBSERVACIÓN

DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO:

NOTA:

TAMBIÉN:

PRODUCTOS DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN:

DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO:

IDENTIDAD DE LAGRANGE:

Dos variables

Tres variables

IDENTIDAD DE ARGAND:

IDENTIDADES AUXILIARES

El producto de dos binomios con un término común es igual a “el cuadrado del término común más el producto de la suma de los términos no comunes por el término común más el producto de los término no comunes”.

Es igual “al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado de tercer término, más el doble producto del primero por el segundo término, más el doble producto del primero por el tercer término y más el doble producto del segundo por el tercer término”.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

IGUALDADES CONDICIONALES:

BLOQUE I1.- desarrolla los siguientes ejercicios

1.1.- Binomio Al Cuadrado:A).- (3 + 2)2 =

B).- (1 + 7)2 =

C).- (x - y)2 =

D).- (5 + 8)2 =

E).- (x2 + 2y)2 =

F).- (x – 2y)2 =

G).- (2y - 1)2 =

H).- (x - 2)2 =

1.2.- Identidad De Legendre:

A).- (x + 4)2 + (x -4)2 =

B).- (a + 5)2 + (a - 5)2 =

C).- (a +1)2 – (a -1)2=

1.3.- Diferencia De CuadradosA).- (y + 6) (y – 6) =

B).- (a + 1) (a – 1) =

C).- (m – 4)(m + 4) =

D).- (2x + 3) (2x – 3) =

E).- (3x – 5)(3x + 5) =

1.4.- Binomio Al Cubo:A).- (x + 5)3=

B).- (x – 3)3=

C).- (y – 2)3=

D).- (m + 2)3=

1.5.- Binomios Con Un Término En ComúnA).- (x + 3) (x - 3) =

B).- (x + 4) (x - 8) =

C).- (x - 2) (x + 3) =

D).- (yx - 2) (yx + 4) =

E).- (a + b) (a + c)=

F).- (x + 2) (x + 4) =

G).- (y - 1) (y - 2) =

H).- (x + 2) (x + y) =

I).- (x - 5) (x + 2) =

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

J).- (2y + 3) (2y - 1) =

K).- (y3 - c) (y3 + d) =

L).- (2x2 + 1) (2x2 + 2) =

M).- (6y + a) (6y - b) =

N).- (3x2 - 2) (3x2 - 1) =

1.6.- DIFERENCIA DE CUADRADOS:A).- (y + 6) (y – 6) =

B).- (a + 1) (a – 1) =

C).- (m – 4)(m + 4) =

D).- (2x + 3) (2x – 3) =

E).- (3x – 5)(3x + 5) =BLOQUE II

1.- Reducir: (x+1)2 + (x-1)2

a) 2x2 –2b) 2x2+ 2c) 2x2

d) 2e) 0

2.- Efectuar: (x + 3)2 – (x-3)2

a) 12xb) 6xc) –6xd)2x2+18e) 0

3.- Efectuar: (4x + 5)(4x-5) + 25a) 4x2

b) 16x2

c) 8x2

d) 10x2

e) x2

4.- Efectuar: (x+3)(x-3) + (7+x)(7-x)

a) 40b) 49c) x2

d) 2x2

e) 0

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

5.- Efectuar: (x – 3)(3 + x) – (x + 3)2 + 6x

a) 0b) –9c) 6xd) –18e) 1

6.- Efectuar: (x – 1)2 + (2 – x)(2 – x) + 2x

a) 2-x2

b) x2

c) 2d) 4e) N.A.

7.- Reducir: (x+2y)2 – (x-2y)2

a) 4xyb) xyc) 8xyd)4y2 +2x2

e) 0

8.- Efectuar: (2x+1)(2x-1) + (3+x)(x-3)a) 5(x2 -1)b)5(x2 +1)c) 5(x2 +1)d) 5(x2 -2)e) 0

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

9.- Calcular: a)2b) 4c) 6d) 8e) 10

11.- Calcular: a) 10b) 9c) 8d) 7e) 5

12.- Reducir:a)3b) 4c) 5d) 6e) 7

14.- Reducir:

a)1b) 2c) 3d) 4e) 5

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

BLOQUE III

1.- Si a +b = 3 y ab = 1 ; Halla : a2+b2

2.- Si: a+b = 2 y ab=3 ; Halla : a3+b3

3.- Si: a+b = 3 y ab = 1 ; Halla : a2-b2

4.- Si :x + y = 5; xy = -2; Calcula : x2 + y2

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

5.- Si a + b = 4; ab=2; halla: a2 + b2

6.- Si a + b = 5 ; ab = 4; Calcula : a2 + b2 :

7.- La suma de dos números es 9 y su producto es 20. Hallar la suma de sus cuadrados.

8.- La diferencia de dos números es 3 y su producto es 10. Hallar la suma de sus cuadrados.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAREA PARA MI CASA

BLOQUE I

1.- Reducir: (5+x)(x-5) -x2

a) 25 b) –x2 c) –2x2

d) –25 e) 2x2 –25

2.- Efectuar: (2x –y)2 –4x2 –y2

a) –4xy b) 2xy c) –2xyd) 4xy e) 0

3.- Calcular: a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

4.- Reducir: (x+1)2 –(x –1)2 +4xa) 0 b) 2x c) 4xd) 6x e) 8x

5.- Simplificar: (x – 4)(x + 4) – x2

a) 16 b) –16 c) –20d) 20 e) 0

6.- Simplificar: (x + 3)(x + 4) – (x + 1)(x + 6)a) 6 b) 12 c) –6d) –12 e) 0

7.- Simplificar: (x + 5)2 – (x + 6)(x + 4)a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8.- Calcular: (n +7)(n +2) – (n +3)(n–3) – 23a) n b) 7n c) 3nd) 9n e) 0

9.- Simplificar:(x +3)2 – (x +2)(x +4)a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.- Reducir:(x +2)(x +8) – (x +5)2 + 10a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.- Reducir: (a + 1)(a – 2) – (a – 1)(a + 2)a) 2a2 b) 2a c) 2d) –2a e) 0

12.- Reducir: (x –3)(x +3) – (x2 – 8)a) x2 b) 17 c) 1d) –1 e) –x

13.- Simplificar: (a + 2) (2a – 1) – (2a+3)(a–2)–4aa) a b) 2 c) 4d) 4a + 4 e) 4a – 4

14.- Simplificar: (x + 2) (x – 3) – (x – 1) x – 1

a) –5 b) –7 c) x – 6d) x – 1 e) –6

15.- Reducir: (x – 1)2 + (x + 1)2 – 2a) 2x2 – 2 b) 2x2 c) –2x2

d) 2 e) 0

16.- Reducir: (x + 2y)2 – (x – 2y)2

a) 4xy b) xy c) 8xyd) 4y2 + 2x2 e) 0

17.- Efectuar: (x + 3)2 – (x – 3)2

a) 12x b) 6x c) –6xd) 2x2 + 18 e) 0

18.- Reducir: a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) -2

19.- Simplificar: a) –2 b) –3 c) 1d) 2 e) 3

20.- Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. (x-3)2 = x2 + 6x –9II. (x+y)(y-x) = x2 –y2

III. (x+1)2 –(x-1)2 = 4x

a) VFV b) FVV c) FFVd) VVF e) VFF

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

BLOQUE II

1.- Si : a + b = 5; ab = 2 Calcula : a2 + b2

a) 21 b) √17 c) 5√17 d) 17 e) 25

2.- Efectúa : (x + 1)3 + (x – 1)3 – 2x3

a) 5 b) 6x c) 2x d) 4x e) N.A.

3.- Sabiendo que : x + y = 8; xy = 4

Halla el valor de : P = x2 + y2

a) 3√2 b) 2√2 c) 52 d) 4√3 e) 56

4.- Efectúa: (5x + 4)(4x + 5) – 20 (x + 1)2

a) –3x b) –x c) 0 d) x e) 3x

5.- Reduce: (x + 3)2 - (x + 2)2 + (x + 4)2 - (x + 5)2

a) –4 b) –3 c) –2 d) –1 e) 0

6.- Efectúa: (x+1)(x+2)-(x+3)2 +(x-3)2 -(x-4)(x-5)

a) –14 b) –16 c) –18 d) –20 e) -22

7.- Halla el equivalente de : A = (a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)+1

a) 1 b) a c) a8 d) a4 e) -1

8.- Si a + b = 5 ; ab = 4; Calcula : a2 + b2

a) 20 b) 25 c) 33 d) 16 e) 17

9.- Efectuar: (x + 8)(x + 4) - (x + 4)(x + 5) –

3(x-3)

a)3 b)21 c)24 d)32 e)41

10.- Simplifica:(√7+√2 )2−(√7−√2 )2

a) 2√7 b) 2√6 c) 2√14 d)2√13 e) 14

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

1.- DEFINICION:Es aquel conjunto finito de términos algebraicos que se encuentran ligados entre si a través de las operaciones de adición, sustracción, división, multiplicación, potenciación y radicación.

2.- NOTACIÓN MATEMATICAEs la representación simbólica de una expresión matemática que nos permite diferenciar las variables y las constantes.

3.- VARIABLES.Aquello que varía es decir que permite admitir cualquier valor dependiendo de la expresión de la que forma parte. Generalmente se representa por las últimas letras del abecedario: x, y, z. la idea de las variables nos da por ejemplo: La edad de una persona. La temperatura del aire en el día.

4.- COSNTANTE:Aquello que no vari, es decir que admite un solo valor conocido.Se presenta a través de un numeral 4, -5,

etc. la idea de constante nos da por ejemplo: Las dimensiones de una silla, una

mesa, etc.

OBSERVACIÓN Nº1:Un término algebraico NO puede tener como exponente a:a) Números irracionales:

Ejemplo:

1) No es término algebraico

2) No es término algebraico.

b) Letras.

1)

No es término algebraico.

2) No es término algebraico.

OBSERVACIÓN Nº2:EXPRESIONES TRASCENDETES:

También llamadas no algebraicas, las más importantes son:

Expre. Exponenciales.

Expre. Trigonométricas

Expre. Logarítmicas.

Expre. De infinito términos.

5.- CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

5.1) Según su naturaleza del exponente:

A) RACIONAL:Es cuando la arte literal se caracteriza, por tener exponentes enteros o también por que el subradical no tiene variables.Ejemplos:

A.1) EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONAL ENTERAL (E.A.R.E)Es cuando la parte literal luego de transponer todas las variables al numerador se caracterizan por tener exponentes no negativos (enteros positivos incluido el cero), o no tienen variables en el denominador.Ejemplos:

A.2) EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONAL FRACCIONARIA (E.A.R.F)Es cuando la parte literal se caracteriza por tener algún exponente entero negativo o tiene variables en el denominador:Ejemplos:

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

B) IRRACIONALEs cuando la parte literal se caracteriza por tener exponentes fraccionarios o también por que el sub radical tiene a la variable ejemplos:

5.2) Según el número de términos.

Ejemplos:

6.- TÉRMINO ALGEBRACOSEs aquella expresión cuyas variables no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción.Ejemplos:

Las siguientes expresiones algebraicas constan de un término algebraico.

No es termino algebraico

7.- PARTE DE UN TERNIMO ALGEBRAICOEn todo término algebraico se distinguen las siguientes partes: coeficiente, parte variable y exponente.

OBSERVACION Nº3El coeficiente incluye el signo que puede ser positivo o negativo.

8.- TERNIMOS SEMEJANTES Se tienen la misma parte literal y las variables correspondientes afectados por los mismos exponentesEjemplos

9.- REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTESSi dos o mas términos son semejantes estos pueden sumarse o restarse atendiendo a su coeficientes.

NOTA: cuando los términos semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción.

BLOQUE I

1) –15+(-61-55-(-17-(-29+1+3))-3

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

2) –62-(-17-6-(-1+6-9-11-1))

3) –18+(-9-6-7-(+6-7-8-10)-1

4) (-62-17-8+29-(63-75))

5) –16-(-16+16-(16+16-16)+16

6) –9-(9-9+9-9-(-9+9-9-9)-9

7) –16-(+8-5-(16-46-8-(-15-1)-6))

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

8) –6-9+(+6-17-(+65-13-(-16+8)-1))

9) –42-55-(+8-5-(16-46-8-(-15-1)-6))

10) –69-17+(-19-6-(17+18-46)+(51-76))

11) –8+12-(-4-(-6+1-(-6+3-2)))

12) –16+15+(15-6-29)-(+17-46-1)

BLOQUE II1. Efectuar en cada caso:

a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

b) 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 =

c) 3 + 3 + ... + 3 =|__________| 20 veces

d) 7 + 7 + .... + 7 =|__________| 40 veces

2. Efectuar en cada caso:

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

a) x + x + x =

b) 7x + 3x + 9x =

c) x2 + x2 + x2 =

d) 5x2 + 3x2 + 8x2 =

e) 10z5 + 7z5 + 9z5 =

f) x + 3y + 5x + 2y =

3.- Reducir:

4.- Reducir: 4(x-3) + 5(3+x) – 3(3x-1)

5.- Reducir: x + 2x + 3x – 20 + 6(x+3)

6.- Reducir: 5(a – 1) + 6(a – 1) + 11

7.- Reducir:4(x – 1) + 5(x – 2) + 6(x + 3)

3. Señalar el coeficiente del resultado, al simplificar:7m5 + 3m5 + 2m5

4. ¿Cuál es el coeficiente?, al reducir:2a4 + 9a4 – 7a4 + 6a4

BLOQUE III

1.- Si los términos t1 y t2 son semejante.

t1 =30x4 t2 = 4xa Calcula: M=√a+5a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

2.- Dados los términos semejantes:

23am+3 ; √2a14 Calcula:

A=m+12

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

3.- Si los siguientes términos son semejantes

4xa+3y4 ; -5x8yb+5 Calcula: R=√a+ba) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1


2xa+8yb+5 ; 3x12 ya+2b Calcula: R = a . b

a) 1 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5


t1 =(2a+b)x4y+b+3 t2=(b-3a)x2ay6

Calcula : la suma de coeficientes.

a) 10 b) 4 c)12 d) 7 e) -3

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAREA PARA MI CASA

6.- Indica los coeficientes de los términos

semejantes siguientes:

-13axa+8y7 4bx9y3+b

a) -13 y 4 b) -26 y 16 c) -12 y 16

d) -26 y 4 e) -13 y 16

7. Dados los términos algebraicos semejantes:

(x+4)ac+3bd+4 ; (d+2)a2c+1b2d+2

Calcular: c + d

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8.- Calcular de los términos semejantes:

(a+4)x5 ; (2+a)xa+2 Los coeficientes:

a) 7 y 5 b) 5 y 3 c) 3 y 2

d) 4 y 5 e) N.A.

BLOQUE I

1.- Señale verdadero o falso:

I) √5 x . y3es irracional

II) 3xy + y2 es racional entera

III)√2 yx+2 es racional fraccionaria

a) VFV b) VFF c) VVVd) FFF e) VVF

2.- Señale la alternativa que representa a una expresión algebraica racional fraccionaria.

a)

5 x

y−2 b)

y3+ x

2 c) (x–2)–3

d)

1x+ 1

x3 e) 53+x

3.- Es una expresión algebraica racional entera, excepto:

a) √2x3 y 2 b)

1

x−5 c) (x–2)

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

d) 6√ x18

e) 1

4.- ¿Cuál de las siguientes expresiones no es el tipo racional fraccionaria.

a)

2x−5 yy+1 b) x

−2 y4+x2 c)

x3− y2

d) xy+ yx e) N.A.

5.- Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional fraccionaria.

a) (−16 ) a2

b) G=acd√abcd c) ab xa

a+5+abybb+a+230−ba z16 a2+5

d) 3x3 + 2y4 e) P( x ; y )=3axn5+7 y2n2+3+5 (a+b ) xa y2b+(11b+7 ) x25 y2n2+17

6.- Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional entera.

a) P( x ; y )=3axn5+7 y2n2+3+5 (a+b ) xa y2b+(11b+7 ) x25 y2n2+17

b) mn c) n=1024

125−27−3−1

d) 2x3 – 3y– 1 e) N.A.

7.- Son términos semejantes:a) 5b2 y 5a2 b) 3a2bc y 3a2b

c) 99a2 y (−16 ) a2

d) a2 + b y a +b2

e) N.A.8.- Son términos semejantes:

I. 4xy2, -2x2y II. 3abc; -3a2b2c

III. 15m2n3; 3n3m2 IV. 20z2 ; 2z2x

a) I b) II c) III d) IV e) NA.

9.- Relacionar los términos semejantes:

I) abc ( ) 7x

II) 4x3y5z6 ( ) 2nma

III) -3x ( ) cba

IV) amn ( ) -x3z6y5

10.- Son términos semejantes:

I) ab; -a2b3 II) 7xy; 4y2z

III) 7,x IV) abc; -3cba

a) I b) II c) III

d) IVe) N.A.

BLOQUE II

1.- ¿Cuál es el coeficiente?, al reducir:2a4 + 9a4 – 7a4 + 6a4

a) 10a4 b) 10 c) 13a4 d) 4 e) 25

2.- Simplificar:a + b + c + 2a + 3b + 4c – 5c – 4ba) a b) 2a c) 3a d) 4a e) 3b

3.- Efectuar:2a + 3b + 4a + 5b + 6a + 7ba) 12a b) 15b c) 12a + 15bd) 27ab e) a + b

4.- Simplificar:

a) x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x

5.- Efectuar la siguiente operación:x + 2x + 3x + 4x + .... + 9x + 10x

a) 48x b) 55 c) 48 d) 55x e) 0

6.- Efectuar: abc + 2abc + 3abc + ... + 12abca) 78abc b) abc c) 0 d) 55abc e) 1

7.- Simplificar la expresión:x + 3x + 5x + 7x + 9x + 11x – (x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x + 8x)

a) 36x b) 10x c) 12x d) 1 e) 0

8.- Reducir: 2(x+3) + 4(x+5) – 6(x-7)a) 42 b) 48 c) 20 d) 68 e) 70

9.- Simplificar: 7x + 8x + 9(2-3x) + 12xa) 18 b) –18 c) 54x d) –54x e) 18x

10.- Reducir: 3(2x+1) + 4(3x+2) + 5(6x-3) + 48(1-x)

a) 11 b) –15 c) –4 d) 48 e) 44

BLOQUE III

1.- Si: t1 =13x7 t2 = 2xa Calcular: √4 a−3a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2.- Dado los términos semejantes:

3a2m+4 ; −√3a12

Calcular: m + 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

3.- Si los siguientes términos son semejantes:

5xa+4y7 ; -3x5y3+b Calcular:B=√a+b+4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


3xa+5yb+7 ; -x7ya+2b Calcular: R = a.b

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6


t1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5

Calcular: La suma de coeficientes

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6.- Indicar los coeficientes de los términos

semejantes siguientes: -2axa+by5; 12bx8yb+4

a) -14 y 12 b) 14 y 12

c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N.A.

7.- Dados los términos algebraicos semejantes:

(a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2

Calcular: √a+ba) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8.- Calcular de los términos semejantes:

(b+4)x7 ; (2 – b)xb+2 Los coeficientes:

a) 9 y 3 b) 9 y 3 c) 9 y 4

d) -9 y 4 e) N.A.

9.- Si: t1= 3x4y53 y t2 =-2xayb+2zc+1

Son semejantes: Calcular: A = a + b + c

a) 10 b) 9 c) 8

d) 7 e) 6

10.- Si los términos semejantes presentan

iguales coeficientes

(b + 3)xbyc+3 ; 10xby5

Calcular la suma de los exponentes:

a) 13 b) 12 c) 11

d) 10 e) 9


3xa+4yb+3zc+2; -2xb+4yc+3z8

Calcular: A=a+b+c

3

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

1.- Grado:Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una variable tomada como base.

2.- Clases de Gradoa. Grado Relativo (G.R.) Con respecto a una de las variables.b. Grado Absoluto (G.A.) Con respecto a todas sus variables

3.- MONOMIO.

Es una expresión algebraica racional entera que tiene un solo término.

GRADO DE UN MONOMIOa) Grado Relativo (G.R)

Se refiere a una de sus variables y está determinada por el mayor exponente que posee dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada.Así el monomio: A(x,y z) = 6x2y5z8

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

Con respecto a "x" es de 2do grado.Con respecto a "y" es de 5to grado

Con respecto a "z" es de 8vo gradob) Grado Absoluto (G.A)

Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables.Así el monomio M(x,y,z) = – 3x3y2z5

Tiene por Grado Absoluto (G.A.)=3+2+5=10

Importante:El grado de toda constante siempre es ceroEjemplo:

Si P(x) = 24, su grado es cero por ser constante.Si P(x) = 0. Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido.

1. Si en el monomio:

M(x,y,z) = 2a2b3c4xa+5yb+4zc+3

Si: GA=15 GR(x)=6 GR(z)=4

Calcular el coeficiente:

a) 2

b) 4

c) 5

d) 16

e) 14

2.- Si el siguiente monomio:

M(x, y, z) = -4xa+1yb+2z4

Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z)

Calcular: “a . b”

a) 15

b) 10

c) 5

d) 3

e) 6

3.- Si el monomio: M(a; b) = -4xyax+2by+5

Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7

Calcular: “El coeficiente”

a) 24b) -24c) 25d) 26e) 12

4.- Si en el monomio:

M(w, t, ) = -2a2b3wa+3tb+26

El GA = 17 y GR(w) = 5


ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

a) 512b) 251c) -512d) 251e) 521

5.- Dado el monomio: M(x, y) = 4abxayb

Si: GR(x) = 2 GA = 7

Calcular: “El Coeficiente”

a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

6.- En el siguiente monomio:

M(x, y, z) = 3xm+1 yp+2 z2

GA = 12GR(x) = GR(y); Calcular: m . P

a) 12b) 13

c) 14d) 15e) 16

7.- Si el monomio: M(,) = 2xyx+4y+2

Donde: GR() = 7 GR() = 5


a) 18b) 19c) 20d) 21e) 24

8.- Si el monomio:

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAREA PARA MI CASA

M(x, y, z) = 2a2b3c4xa+5yb+4zc+3 Si: GA = 15

GR(x) = 6 GR(z)=4; Calcular el coeficiente:

a) 2b) 4c) 5d) 16e) 14

9.- Dado el monomio:

M(x,y) = -3abxa+3yb

De GR(x) = 7 y GA = 10

Calcular: El coeficiente

a) -36

b) 36

c) 12

d) -12

e) N.A.


M(x,y,z) = -4xa+1yb+2z4

Es de GA=14 y GR(y) = GR(z)


a) 15

b) 10

c) 5

d) 3

e) 6

1.- En el siguiente monomio: P(x,y) = (3a – 5)xa+7 y 2a+4

Se cumple que G.A. = 15. Indicar su coeficiente.a) 7 b) 4 c) 5d) 3 e) 11

2.- Hallar el coeficiente del monomio:M(x,y) = (a+b)x2a+1 . y3b-5

Sabiendo que: G.R.(x) = 7, G.R.(y) = 13a) 3 b) 6 c) 9d) 7 e) 4

3.- Para el siguiente monomio:Q(x,y) = -5x7a+1 . y3a+5

Se sabe que: G.R.(x) = 22Determinar el valor de G.A.a) 5 b) 18 c) 14d) 36 e) -5

4.- Si los monomios:

Poseen el mismo grado absoluto, indicar el valor de “a”a) 2 b) 4 c) 6

Son polinomios:

No son

polinomios:

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

d) 8 c) 10

5.- Dados los monomios:

Se sabe que ambos poseen el mismo G.A. determinar el valor de “b”a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6.- Dado el monomio: M(x,y) = -3abxa+3yb

De GR(x) = 7 y GA = 10

Calcular: El coeficiente

a) -36 b) 36 c) 12 d) -12 e)

N.A.


M(x,y,z) = -4xa+1yb+2z4

Es de GA=14 y GR(y) = GR(z)


a) 15 b) 10 c) 5

d) 3 e) 6

8.- Si el monomio: M(a; b) = -4xyax+2by+5

Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7


a) 24 b) -24 c) 25

d) 26 e) 12

9.- Si en el monomio:

M(w, t, ) = -2a2b3wa+3tb+26

El GA = 17 y GR(w) = 5

Calcular: “El Coeficiente”

a) 512 b) 251 c) -512

d) 251 e) 521

10.- En el siguiente monomio:

M(x,y,z) = 3xm+1yp+2z2

GA=12 GR(x) = GR(y)

Calcular: m . P

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

11.- Si en el monomio: M(, ) = 2xyx+4y+2

Donde: GR()= 7 GR()=5


a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 24

1.- DEFINICIÓN:

Se dice así a toda expresión algebraica

racional entera. Esto implica que sus

exponentes de sus variables deben de

ser siempre cantidades enteras y

positivas. RECORDAR:

No tienen variables bajo el signo radical,

ni afectados de exponentes negativos

que afecten a las variables.

No tiene variables en el denominador, ni

afectados de exponentes fraccionarios.

Tienen un número finito de términos.

Los exponentes de las variables son

números enteros positivos (incluido el

cero).

No son

polinomios:

Ejemplo:

Es de cuarto grado(Cuártico)

Su coeficiente principal (5)

Su termino independiente (-3)

Su termino lineal (2x)

Su termino cuadrático ( )(carece)

Donde: x e y son las variables a, b y c son las constantesEjemplos:P(x,y)= x4 y3 – 3x y2 + 2x2 y + 6Q(m,n)= 8m3 – 3m2n + 2mn2 – 6n3

Ejemplo: Si: P(x) = 2x + 5; Hallar

P(7)Resolución:

P(7) = 2(7) + 5

P(7) = 19

Ejemplo: Sea P(x) = 3x -1 Hallar

P(x+2)Resolución:Se cambia (x) por (x +2) y se obtiene:

P(x+2) = 3(x+2) –1

P(x+2) = 3x + 5

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

2.- FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO

3.- NOTACIÓNSe denota con letras mayúsculas y las variables con letras minúsculas. Ejemplo.P(x) Se lee P de “x” (x variable)P(x, y) Se lee P de “x, y” (x, y variable)

4.- CLASESa) POLINOMIO CERO:

Todos su coeficientes con cero “0”.b) MONOMIO:

Tiene un término algebraico.Ejemplo: 3x; 5x2 ; 7/2 x2y5 ; etc

c) BINOMIO:Tiene dos términos algebraicos unidos por suma o diferencia.

Ejemplo: x + 5 ;3x2 + y2 ; 5/3 x2 + 7x9 ; etc

d) TRINOMIO:Tiene tres términos algebraicos.Ejemplo: x2+5x+6 ; x2–6x+9 ; x2–xy+y2 ; etc

POLINOMIO DE UNA VARIABLEPOLINOMIO DE UNA VARIABLEUn polinomio de una variable x es una expresión algebraica de la forma:

Donde:x:es la variable cuyo mayor exponente es n (n∈N )

an , an−1 , an−2 ,. . .. , a1 , a0 : son los coeficientes y pertenecen a R.

Ejemplos:P(x)= 7x4 – 2x3 + 8x2 + 7x – 5Q(x)= 5x3 –8x2 + 3

POLINOMIO DE DOS O MÁS VARIBLES:

Un polinomio de dos o más variables es una expresión algebraica cuyos términos constan de más de una variable.

Notación Polinómica

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el valor que toma el polinomio cuando a sus variables se les asigna valores particulares.

CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIOConsiste en remplazar una nueva variable por otra, de tal manera que se obtenga un nuevo polinomio en función de la nueva variable.

1.- Si P(x) = x2 + x + 1. Hallar P(1)

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

2.- Si P(x) = 2x2 – x + 2. Hallar P(2)

3.- Si P(x) = x2 + x + 1. Hallar P(-2)

4.- Si P(x) = x2 – x + 1. Hallar E(-2)

5.- Si E(x) = 7x3 – 2x2 – 7. Hallar E(-3)

6.- Si F(x) = (x2 – 1)(x40 + x + 1). Hallar F(-1)

7.- Calcular P(-2; 3); Si se sabe que P(x,y) = 7x2 3x – 7y2

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

8.- Hallar F (2 ; 3); Si F(x,y) = 3x2 + 5xy – 2y2

9.- Calcular E(5; -2); Sabiendo que E(a,b) = 2a + 3ab2 – 5b3 + 1

10.- Calcular ;Si

11.- Si: P(x) = x2 + x + 1; calcular: P(P(P(0)))

12.- Calcular el valor numérico de: F(x,y) = -12x – 8y + 6x + 8y; Para x = -1

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAREA PARA MI CASA

I. Resolver:

1.- Si: P(x,y)=5xy+x-y;

Calcular: P(1,2) + P(2,0)Rpta.:……………………

2.- Si: P(x)=x + 2; Calcular: A=P(P(P(3)))

Rpta.:……………………

3.- Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1;

Calcular: A=P(R(2))Rpta.:……………………

4.- Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2;

Calcular: A=P(R(x))Rpta.:……………………

5.- Del problema anterior; Calcular: B=R(P(x))

Rpta.:……………………

6.- Si: P(x)=3x+4; Calcular: M=P(P(x))

Rpta.:……………………

7.- Si: P(x)=2x-4; Calcular: A=P(1) + P(2)

Rpta.:………………………….

8.- Si: P(x,y)=2xy – x + 3y

Calcular: A=P(2,3) + P(0,1)Rpta.:………………………….

9.- Si: P(x)=3x+5; Calcular: M=P(a+2)–P(a-2)

Rpta.:………………………….

10.- Si:P(x)=2x – 1; Calcular: A=P (P(P(O)))

Rpta.:………………………….

11.- Si: P(x)=5x – 2; R(x)=2x+3

Calcular: A=P(R(2))Rpta.:………………………….

12.- Si: P(x)=3x+5; Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+2

Calcular: A=P(Q(R(O)))Rpta.:………………………….

13.- Si: P(x)=2x+1; Q(x)=2x-1

Calcular: P(Q(x))Rpta.:………………………….

14.- Si: M(x,y)=2x+2

Calcular: A=

M (1,0 )+(M (0,1)M (1,1)

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

Rpta.:………………………….

15.- Calcular: Q(Q(x)), Q(x)=3x-2

Rpta.:………………………….

16.- Calcular: P(P(P(2)))

Si: P(x)=2x – 1Rpta.:………………………….

1.- GRADO DE UN POLINOMIOa) Grado Relativo

Se refiere a una de las variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio.

b) Grado Absoluto

Se calcula mediante el término de mayor grado absoluto.

Ejemplos:

G.R.(x) = 10G.R.(y) = 12 G.A.(P) = 18 (el mayor grado)

GRADOS DE LAS OPERACIONES CON POLINOMIOS

1.- GRADO DE UN PRODUCTO.Se suman los grados de los factores.

2.- GRADO DE UN COCIENTE.Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor.

3.- GRADO DE UNA POTENCIA.Se multiplica el grado de la base por el exponente.

4.- GRADO DE UNA RAÍZ.Se divide el grado del radicando entre el índice del radical.

5.- TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN PRODUCTO.

Esta se determina por el producto de los términos independientes de los factores a multiplicarse.

6.- TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UNA POTENCIA

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

Para hallar el término independiente de una potencia, se toma el término independiente de la base y luego lo elevamos al exponente de la base.

7.- COEFICIENTE PRINCIPAL DE UN PRODUCTO.

Se obtiene multiplicando los coeficientes principales de cada uno de los factores.

1.- Hallar el grado absoluto de la expresión:x2y + x3yz – xyz + x3y3

a) 2b) 3c) 6d) 9e) 15

2.- Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9.

3xa+1y – 4a+2xay – 5x2

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 15

3.- Si el grado relativo a "x" es 9. Dar el grado relativo a "y", en:P(x, y) = 21x3yn – 8(xy)3n – xny5

a) 5b) 7c) 9d) 11e) 13

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

4.- ¿Cuál es el grado absoluto de?P(x, y) = 3x6y2 + 2x5y3 – 8x4y2 + 9y9 – 7x2y2

a) 8b) 9c) 12d) 15e) N.A.

5.- Si el grado absoluto de:P(x, y) = x2ayb+2 – 3xayb+1 + xayb

Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo a "y".

a) 2b) 3c) 4d) 5e) N.A.

6.- Dado el polinomio;2xa+2y2 –3xa+1 yb +52x6yb–1 , si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a "y" es 4. hallar su grado relativo a "x".

a) 3

b) 4c) 5d) 6e)7

7.- Hallar el valor de "a" para que el grado del polinomio: 3xa + 1 – 4a + 2xay – 5x2 sea 9.

a) 7b) 5c) 6d) 8e) 4

8.- Se tiene los polinomios P y Q. Determinar el grado absoluto de Q si se sabe que el grado absoluto del polinomio P es 16 y el menor exponente de "y" en el polinomio Q es 4.

P = 5xm + 11yn - 3 – 3xm + 7yn + 2 + 7xm + 2yn + 1

Q = 4x2m + 6yn + 2 – 3x2m + 2yn + 7 – 5x2myn + 10

a) 20b) 21c) 22d) 24e) N.A.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

9.- ¿Cuál es el grado del polinomio?P(x) = xn - 1 + xn - 3 + x5 - n

Si se sabe que tiene tres términos.a) 2b) 3c) 4d) 5e)N.A

10.- Calcular m . n si el polinomio: P(x;y) = 4xm + 1yn - 2 + 6xm + 2yn - 1 + 6xm+3yn - 2

Es de G.A. =20; G.R. (x) = 8 a) 71b) 70c) 68d) 69e) 72

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAREA PARA MI CASA

1.- En el siguiente polinomio:P(x) = x2a+1 , 6x2a+3 – 5x2a+4

Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2.- En el siguiente polinomio:P(x) = 2xa-2 + 6xa-4 + 8xa-6

Calcular el valor de “a”. Si: GA = 13a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12

3.- En el polinomio:P(x,y) = x2ay4 – 3x2ay6 – x2a

Calcular el valor de “a” GA = 20a) 7 b) 8 c) 10 d) 11 e) 14

4.- En el polinomio:P(x,y) = x2a+4 y – 7xa-5y2 – 8xa-3y2

Calcular el valor de “a” si G.Rx = 10a) 4 b) 5 c) 3 d) 9 e) 10

5.- En el polinomio:P(x,y) = 5x3yb+6 – 4x2yb+2 – x2yb+3

Calcular el valor de “b” GRy = 12a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

6.- En el polinomio:P(x,y) = axa-4 + 3xay3 + 2y6

Calcular la suma de sus coeficientes.Si: GA = 12a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16

7.- Indicar el G.A. del polinomio:P(x,y) = 3x2y7 – 7x4y3 + 8x6y4 a) 11 b) 9 c) 7 d) 10 e) 8

8.- ¿Cuál es el G.A. del polinomio:M(x,y) = 3x7y4 + 5x2y2 – 3x12 ? a) 11 b) 9 c) 12 d) 4 e) 10

9.- Indicar el G.R.(x) del polinomio:P(x,y) = 2xy2 + 7x3ya) 1 b) 2 c) 3 d) 7 e) 0

10.- Determinar el grado del polinomio:P(x,y) = 2x5y7 + x2y10 + xy11

a) 10 b) 12 c) 11 d) 15 e) 16

11.- Hallar la suma de coeficientes de P(x), si el polinomio:P(x) = 3mxm + xm+2 – xm+4 ; Es de grado 7.

a) 7 b) 3 c) 9 d) 7 e) 11

12.- Calcular “a”, si en el polinomio:P(x,y) = 5x3y4 – 7xa+3y8 + 2xa+1y11

Se cumple que: G.R.(x) = 8a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13.- Hallar “a” en: P(x,y) = -2xa+2y + 5xa

Si: G.A. = 8a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 8

14.- Hallar “m” en: P(x,y) = 5x2a+1y2 – 3xa+2 ya+2

Si: G.A = 12a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

15.- Hallar el G.A del polinomio: P(x,y) = -3x3y6z2 + 2a2xy7z3

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

16.- Indicar los valores de G.R.(a) y G.R.(b) dado el polinomio:Q(a,b) = 2 a4b2 – 7a8b2 + 6ab7

a) 1; 4 b) 8; 1 c) 1; 7d) 2; 2 e) 8; 7

17.- Dado el polinomio:G(m,n) = 2m4n7 +4 m12 – 9 mn10 Calcular: G.R.(m) + G.R.(n)a) 12 b) 22 c) 7 d) 1 e) 8

Se cumple que:

Ejemplo:

P(x) es completo

Es polinomio completo.

# de términos de P(x) = Grado + 1

Ejemplo:

No es polinomio Mónico

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

1.- POLINOMIO HOMOGÉNEOEs aquel polinomio en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto.Ejemplo:

P(x;y) es homogéneo de grado: 9

2.- POLINOMIOS IDÉNTICOS ( )Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.Es decir:

3.- POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULOEs aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todo polinomio idénticamente nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero.

Es decir si: ax² + bx + c0

Se cumple que:

4.- POLINOMIO ORDENADO Un polinomio será ordenado con respecto a una variable, si los exponentes de dicha variable están: aumentando o disminuyendo, a partir del primer término.Ejemplos:P(x)=x2+2x3–x5

(Polinomio ordenado en forma ascendente)

P(x) = x7 – 4x + 3(Polinomio ordenado en forma descendente)

5.- POLINOMIO COMPLETOUn polinomio será completo con respecto a una variable; si dicha variable posee todos los exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive.

Propiedad:En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en la unidad.Es decir, si, P(x) es completo;

ENTONCES:

Ejemplo:

G.A (P(x)) = 16Entonces: # de términos de P(x) = 16+1=17

6.- POLINOMIO MÓNICO.Es aquel que se caracteriza por que su coeficiente principal es la unidad.

7.- POLINOMIO CONSTANTE.Son aquellos polinomios (de una o mas

variables de la forma , K es un numero real)

NOTA

El es el único polinomio que no tiene grado.

8.- POLINOMIO RECIPROCO.

P x y x y x y x yG A G A G A

( ; ) . .. . . . . .

2 65 4

9

6 3

9

2 7

9

a mb nc p

abc

000

Ejemplo:

P(x) es completo

Es polinomio completo.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

Es aquel polinomio completo y ordenado cuyos coeficientes de sus términos equidistantes son iguales.

1.- Si el Polinomio: P(x,y) = xay3 + 2x2y4 +

5xyb

es homogéneo. ¿Hallar (a+b)?a) 8b) 7c) 6d) 5e) 3

2.- Si el polinomio: P(x;y) = 2xm-1y4 +

3xn+3yn+1 es homogéneo; cuyo grado de homogeneidad es 8. Hallar: R=mxn

a) 8b) 10c) 12d) 14e) 16

3.-Calcular "m" para que el polinomio

P(x;y) = 5x2y8 - 7x10 + 3x2my4 sea homogéneo

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

4.-Calcular "mxn" sabiendo que el siguiente polinomio es homogéneo.

P(x,y) = 5xmy4 + 3x6y2 - 2x3y5+n

a)1b)-2c)-1d)0e)4

5.-Si el polinomio: P(x;y) = 2xay4 + 3x3y5 +

5x2yb; es homogéneo. Hallar: "axb"a) 24b) 22c) 20d) 18e) 12

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

6.-Hallar la suma de coeficientes en el siguiente

polinomio: P(x;y) = 2ax7ya+3 + 3x8y12 -

5aya+10

Sabiendo que es homogéneoa) 27b) 10c) 13d) 12e) -27

7.-Si el polinomio: P(x) = 3xa+1 + 2xb+3 + 5x + 4 es ordenado y completo en forma descendente.Hallar: "axb"

a) -2b) -1c) 2d) 4e) 6

8.-Si el polinomio: P(x)

=3x20+5x19+7x18...+2x+4 es completo y ordenado. Indicar el número de términos del polinomio P(x)

a) 20b) 21c) 22d) 27e) NA

9.-Calcular: "mxn" si el polinomio:

P(x) = 3 + x + xm-2 + 2xn-3 es ordenado y completo en forma ascendente.

a) 6b) 8c) 12d) 24e) 32

10.- Si: P(x) = 2x4 + 3xm-3 + 5x2 + 7xn-5 + 9es ordenado y completo. ¿Calcular: “n+m”?

a) 26b) 8c) 16d) 20e) 4

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

TAREA PARA MI CASA

11.-Sabiendo que el polinomio:

P(x) = ax4 + 3xb-1 + bxa-2 + x + 4 es completo y ordenado. Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio.

a) 8b) 12c) 16d) 20e) 24

12. -Si el siguiente polinomio es completo y ordenado en forma descendente. Calcular m+n+p.

P(x)=7x2m-6 - 5x5m-n-19 + 17xp+n-3

a) 5b) 4c) 10d) 3e) 7

13. Hallar: "a+b" sabiendo que el polinomio

P(x) = x4 + xb+1 + xa-8 + x + 1 es completo y ordenado.

a) 10b) 8c) 6d) 14e) 12

14. ¿Cuál debe ser el valor de "m" para que el

polinomio; P(x) = x17+ 2x11- 2xm+3+3x9 +

x2 - 6; esté ordenado en forma descendente?a)6b)5c)7d)8e)9

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

1. Hallar la suma de coeficientes de P(x)

sabiendo que: P(x) = x + 2x4 + 6mxm-5 -

3x3 - es un polinomio completo.a)41 b)27 c)26 d)38 e)43

2. Calcular: "b-a" sabiendo que el polinomio

P(x) = xb-1 + xa-1 + xb-3 + 2 es completo y ordenado.a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

3. Calcular "b+a" sabiendo que el polinomio

P(x) = xa-1 + xb-2 + 7 es completo y ordenado.a) 2 b)6 c)5 d)4 e)3

4. Si el siguiente polinomio es homogéneo:P(x; y) = x5 + xny2 + xmy4 + yr – 1 Hallar: m+

n + ra) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12

5.-Si el polinomio es completo:P(x) = xn+1 + 3xn+2 + xn+3 + 5; Hallar "n"a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

6.- Calcular el grado del polinomio entero y ordenado decrecientemente: G(x) = x 2m + x m – 3 + x 4 – m a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) N.A

7.-Los polinomios: G(x) = 2(mx + n)2 + mx2 – 2n R(x) = 4(9x2 + 8x + p) son idénticos.Hallar G(-1) , si además se sabe que m > 0 .a) 8 b) 12 c) 81 d) 27 e) N.A.

8. Si el siguiente polinomio es homogéneo: G(x, y) = x5 + xn y2 + xm y4 + y r –1 Hallar: m + n + r a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12

9. Sabiendo que: P(x)=x(ax2+bx+c)–2x(bx2+cx+d)+2d–1 Es idénticamente nulo:

Calcular: G=acd√abcd

a) 1 b) 1/2 c) 2 d) ¼ e) N.A.10. Dado el polinomio homogéneo:

G(x, y, z) = ab xa

a+5+abybb+a+230−ba z16 a2+5

Calcular la suma de coeficientes.a) 5 b) – 5 c) 4 d) – 4 e) N.A.

11. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo: G(x)=c(xa+xb+a(xb +xc)+b(xa+xc)+abc

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) N.A.

12. Calcular la suma de coeficiente del siguiente polinomio homogéneo:

a) 408 b) 405 c) 40 d) 402 e) 407

13.- .Si el polinomio es idénticamente nulo, hallar “m – n” P(x ; y)=(m+n)xy2+2x2y–18xy2+(n – m)x2ya) 70 b) 79 c) 81 d) 90 e) 80

14.-Si el polinomio: P(x;y)=4xa + 3xb yc + xc yb + ya es homogéneo, ordenado y completo respecto de x e y; según esto. Hallar: a + 2b+ 3c. a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

15.-Hallar p . q en la identidad de polinomios: 13 – 2x p(2 – x) + q(1 + x) a) 12 b) 14 c) 13 d) 11 e) 15

16.- Hallar el grado de homogeneidad del siguiente polinomio: P(x;y) = x7 – 3x5 y2 + 2x3 y4 – 9y7

a) 6° b) 5° c) 7° d) 8° e) 9°17.- Hallar “a” y “b” si el polinomio:

P(x; y) = (a – 1) x2 y + (b – 5)xy2 ; es Idénticamente nulo.

a) 1 y 5 b) –1 y – 5 c) 2 y 10 d) –2 y – 10 e) 0 y 0

18.- Hallar m y n si el polinomio P(x; y)=mx2y+(m – 4)xy2–(20 – n)x2y es

idénticamente nulo.a) 12 y 8 b) 4 y 3 c) 9 y 6 d) 9 y 10 e) 10 y 6

19.- Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente.

P(x) = x12 – 2a + x2a – 4 + x 4 – 2a a) 5 b) 3 c) 6 d) 4 e) 7

20.- Hallar: p + b – m en: P(x)=5x m – 18+15x m – p + 15+7x b – p + 16 Si el polinomio es completo y ordenado en forma descendente. a) 30 b) 20 c) 10 d) 5 e) 1

Ejemplos:a) P(x) = 7x2 – 8x + 6 Es un polinomiob) F(x, y) = 7x2y6 - 5 y4 Es un polinomioc) 2x4 + 5x7 – 7x2 + 1 Es un polinomiod) E = x3 – 2x-2 + x-9 + 3 No es polinomioe) 3 + x + x2 + x3 + x4 +… No es

Ejemplo 01: Reduce las siguientes expresiones:

-4x4; +6x4; + 8x4; - 3x4. (-4x4)+(+6x4)+(+8x4)+(- 3x4) (-4 + 6 + 8 - 3) x4

7x4.

Solución 2:Se escriben los términos del polinomio uno al costado del otro con sus respectivos signo, luego se reducen términos semejantes.

Ejemplo 01: Efectúa: M + N + P, si:M = 13x5 8x7 + 4x3 – 7; N = 3x7 – x3 + 9; P = -12x5 + 5 – x7.

Solución 1:Se ordenan en forma vertical los términos semejantes y se reducen de acuerdo a sus respectivos signos.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

1.- POLINOMIOS EN REs una expresión algebraica de uno, dos o más términos algebraicos racionales enteros, relacionados por las operaciones de adición y sustracción.Esto significa que: Un polinomio tiene un número limitado

de términos. Los exponentes de las variables deben

ser números enteros positivos o cero. Los denominadores no deben tener

variables.

2.- ADICIÓN DE POLINOMIOSSe presentan dos casos:

A) Cuando los polinomios son de un solo término (adición de monomios).

Se escribe uno a continuación del otro, procediendo luego a reducir los términos que sean semejantes.

B) Cuando los polinomios tienen más de un término.

Se escriben los polinomios uno bajo del otro, o uno al costado del otro y luego se procede a reducir los términos que son semejantes.

Solución 2:Se escriben los términos del polinomio uno al costado del otro con sus respectivos signo, luego se reducen términos semejantes.

, m y n ∈ N

Ejemplo 01: Efectúa: M + N + P, si:M = 13x5 8x7 + 4x3 – 7; N = 3x7 – x3 + 9; P = -12x5 + 5 – x7.

Solución 1:Se ordenan en forma vertical los términos semejantes y se reducen de acuerdo a sus respectivos signos.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

(-)(-)= +

(-)(+)= -Ley de signos

(+)(-)= -

(+)(+)= +

3.- OPUESTO DE UN POLINOMIOLlamamos opuesto de un polinomio, al mismo polinomio pero con todos los signos de sus términos cambiados. Así:

-7x4y + 5x3

Su opuesto: 7x4y – 5x3

3a + 7b – c Su opuesto: -3a -7b + c m2 – n3 + 6 Su opuesto: -m2 +n3 – 6 -(2h2 – h + 3) Su opuesto: (2h2 – h + 3)´

4.- SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para efectuar la sustracción de dos polinomios lo transformamos en una Adición remplazando el sustraendo por su opuesto.

EJEMPLO: Halla si:

Solución : Se escriben los términos del polinomio uno al costado del otro con sus respectivos signo.

Una vez ubicados los polinomios de manera ordenada realizamos el opuesto del polinomio Q(x) a –Q(x).

Luego se reducen términos semejantes.

5.- MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Para multiplicar polinomios, es necesario tener en cuenta la siguiente propiedad:

El producto de dos polinomios se realiza, multiplicando cada término de uno de ellos por todos los términos del otro. Se eliminan términos semejantes y eso es todo!!.

En el caso de que hayan más de dos polinomios, puedes coger a los dos primeros, los multiplicas y el resultado multiplicarlo por el siguiente polinomio. Este nuevo resultado lo multiplicas por el cuarto polinomio y así sucesivamente.

Ejemplo:

ADICION Y SUSTRACCION DE POLINOMIOS

1.- Considerando los siguientes polinomios:

P(x) = 2x3 – 7x2 + 5x + 3Q(x) = 5x2 + 2x – 6R(x) = 7x4 + x3 – x2

S(x) = 9x3 – x + 3

Calcular:a) P(x) + Q(x)

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

b) 2Q(x) + R(x)

c) 2R(x) + 3S(x)

d) P(x) + 2S(x)

2.- Si tenemos los polinomios:

a) Determinar: 6T(x) – 3N(x)

b) Determinar: 15U(x) – 6N(x)

1.- Si: P(x) = x2 – x + 1, Q(x) = -x2 + x-1Calcular: P(x) + Q(x)

a) 2x2 – 2x – 2 b) 0 c) x2 d) –x e) –1

2.- Si: Q(x) = 5x3 – 2x2 + 7x – 1; R(x) = 5x3 + 7xHallar: Q(x) – R(x)

a) 2x2 + 1 b) –2x2 – 1 c) 2x2

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

d) 1 e) –2x2

3.- M(x) = 2x2 – 5x + 4, N(x) = 3x2 – 7x + 6, hallar: 3M(x) – 2N(x)

a) –x b) x c) x2 d) –x 2 e) 1

4.- Si: P(x) = 2x2 – x + 3, Q(x) = 3x2 + 2Calcular: 3P(x) – 2Q(x)a) –x b) 5 c) x – 5 d) –x + 5 e) –x – 5

5.- Si tenemos los polinomios:

a) Al efectuar: M(x) + N(x), indicar el menor coeficiente del resultado.a) –3 b) 4/5 c) 5/3 d) 3 e) – 4/5

b) Al efectuar: N(x) – U(x), indicar el mayor coeficiente

del resultado.a)3/5 b) – 4/3 c) 2 d) 1 e) – 1

c) Al efectuar: M(x) + T(x), indicar el mayor coeficiente del resultado.a) 7 b) 11/6c) – 8/15 d) – 1 e) 0

d) Al efectuar: U(x) – T(x), indicar el menor coeficiente del resultado.

a) – 5/6 b) –1/10 c)4/3 d)7/3 e) -7/3

e) Efectúa: M(x) + N(x) + T(x); indica la suma de coeficientes del resultado:

a) 13/6 b) 7/15 c)52 d) -2 e)3

f) Determinar: 15U(x) + 5N(x)a) 11x3 + 20x3 + 10 b) 11x3 + 20x2 – 10c) 11x3 – 20x2 + 10 d) 11x3 + 10x2 – 20e) 11x3 – 10x2 + 20

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS1.- Dados los siguientes polinomios:

J(x) = 2x3 + x2 – 1A(x) = 3x2 – 5I (x) = 2xR(x) = 7x2 – x + 3O(x) =x2 + x + 1Calcular lo que se pide:

a) I (x) . J(x)

b) A(x) . O(x)

c) R(x) . A(x)

d) J(x) . R(x)

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

e) I (x) [R(x) + O(x)]

f) I (x) . [R(x) – A(x)]

g) I (x) . [J(x) + R(x)]

h) [3. O(x) – A(x). J(x)]

1.- Si: P(x) = x+5; Q(x) = x-5, determinar [P(x)][Q(x)]

a) x2 +25 b) x2 –25 c) 5x d) –5x e) 0

2.- Si: M(x) = x2 + x + 1; N(x) = x2 – x + 1, determinar: [M(x)] [N(x)]a) x4 –x2 –1 b) x4 +x2 –1c) x4 +x2 +1 d) x4 –x2 +1e) x4 –1

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

3.- Si: G(x) = 2x3 –5; D(x) = 2x3 +5, calcular: [G(x)] [D(x)]

a) 4x6 –25 b) 4x6 +25c) 4x6 –5 d) 4x3 –25e) 4x2 –25

4.- Sabiendo que R(x) = x + 2; S(x) = 3x2 –x +1 entonces, [R(x)].[S(x)] será:

a) 3x3 –5x2 +2b) 5x3 – 3x2

c) 3x3 +5x2 + x –2d) 3x3 +5x2 –x +2e) 3x2 +x2 –2

6.- Si: P(x) = (x+1); Q(x) = (x+2); R(x) = (x-1) determinar el valor de:

[P(x)] . [Q(x)] . [R(x)]a) x3 –x2 +1 b) x3 +2x2 –x –2c) x3 +x2 –1 d) x3 –2x2 +x +2e) x3 –x –2

7.- Si: A(x) = x –3; B(x) = x +2, y también: C(x) = x – 6; D(x) = x+1, calcular:

[A(x).B(x)] – [C(x).D(x)]

a) –x b) 5x c) –4x d) –5x e) 4x

8.- Siendo: M(x) = x+2; N(x) = x+5 y también T(x) = x+3; U(x) = x+4 calcular: [M(x). N(x)] – [T(x). U(x)]

a) x b) –x c) –2 d) 2 e) 0

9.- Si: P(x) = 7x2 + x –1; Q(x) = x2 +1, calcular: [P(x) . Q(x)] – [Q(x) . P(x)]

a) 7x4 + x3 b) x3 – x2 + 7xc) 7x5 – x2 + 9 d) 14x4 – 1e) 0

10.- Simplificar: (x –1)(x2 +x +1) – (x+1)(x2 –x +1)

a) 2x2 b) –2x2 c) –2 d) 2 e) 0

1.- DEFINICIÓNEs aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad:D(x) d(x) q(x) + R(x)Donde:D(x) = Polinomio Dividendod(x) = Polinomio Divisorq(x) = Polinomio CocienteR(x) = Polinomio Resto ó ResiduoAdemás: Grado [d(x)]Grado [R(x) R(x)=0

2.- PROPIEDADES DEL GRADOa) En toda división de polinomios (a

excepción de los polinomios homogéneos) el grado del residuo es menor que el grado del divisor.

GR [d(x)] GR [d(x)]b) En toda división de polinomio (a

excepción de los polinomios homogéneos) el grado del residuo máximo es igual al grado del divisor menos uno.

Máximo GR [R(x)] = GR [R(x)] –1c) En toda división de polinomios el grado

del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

GR [q(x)] = GR [D(x)] – GR [d(x)]

3.- CLASIFICACIÓN DE LA DIVISIÓNA. División Exacta R (x) 0 Del algoritmo D(x) d(x)q(x) + R(x)

D ( x )d ( x )

≡q (x )

B. División Inexacta R (x) 0 Del algoritmo D(x) d(x)q(x) + R(x)

D ( x )d ( x )

≡q (x )+ R ( x )d ( x )

4.- MÉTODO PARA DIVIDIR.- Método Clásico - Método de Horner- Método de Ruffini- Método del Resto

Para dividir polinomios; se van a desarrollar los métodos:

A) DIVISIÓN POR EL MÉTODO CLÁSICOPara dividir polinomios por el método clásico o convencional se procede de la siguiente manera:

1° Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2° Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.

3° El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor que restan a los términos semejantes del dividendo,

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

cancelando necesariamente a los primeros términos.

4° Luego, se bajan los términos que quedan y el primer término de este nuevo dividendo se divide entre el primer término del divisor, repitiéndose el procedimiento anterior, hasta que el grado de los nuevos dividendos del primer término sean menores que el grado del divisor.

EJEMPLO:

B) MÉTODO DE HORNEREste método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema.

NOTA:Si algún término falta se tiene que completar con un término acompañado con el cero

EJEMPLOPara una mejor comprensión, lo explicaremos con un ejemplo práctico y sencillo Este método se recomienda utilizarlo cuando el divisor presenta grado mayo o igual a do (2).

EJEMPLO 01: Divide por el método de Horner la siguiente expresión algebraica:

Se coloca los coeficientes del dividendo en forma horizontal, cubriendo con ceros la ausencia de los términos. Luego, se coloca en forma vertical los coeficientes del divisor, el primer término cobre la línea horizontal con su respectivo signo y los siguientes, debajo y con signo cambiado. de igual modo, cubriendo con ceros los términos ausentes. Es decir que los polinomios dividendo y divisor deben ser ordenados y completos.

Luego, se cuentan cuántos términos hay debajo de la línea horizontal (cuatro) y se cuentan igual número de términos, de derecha a izquierda del dividendo para ubicar una línea vertical, para finalmente trazar una línea horizontal debajo del último término del divisor.

Ahora, de acuerdo al esquema establecido se procede a operar, tendiendo en cuenta que sólo se divide entre el primer término del divisor, ubicado sobre la horizontal (3), comenzando con el primer término del dividendo (6); haciendo la operación mental (6 3 = 2), cuyo resultado se coloca en el espacio reservado para el cociente, alineado con el primer término del dividendo.

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

El número obtenido en el cociente se multiplica con cada uno de los términos del divisor (-1; 0; 2; -1) y los resultados se ubican debajo de la horizontal, paralela al dividendo, corriendo un lugar hacia la derecha.

Para continuar, bastará aplicar la regla “sumo y divido”, es decir, que la columna formada por (-1) y (-2), al sumarlas se obtiene (-1 - 2 = -3), el resultado (-3) se divide entre el primer término del divisor (3), entonces (-3 3 = 1), este número va al cociente que multiplica a cada uno de los términos del divisor que se encuentran ubicados debajo de la horizontal, repitiendo el procedimiento anterior, colocando los productos recién obtenidos (1;0;-2;1).

Para hallar el tercer término del cociente, se procede como en el caso anterior:

Cuando llegamos al último término del cociente, se efectúa la multiplicación que deberá alinearse hasta el último término del dividendo, la cual nos indica que la división ha concluido. Para hallar el residuo se efectuará la suma en forma vertical con todos los términos que quedan después de la segunda línea vertical.

Finalmente, determinamos el cociente y el residuo de la división, así:Para obtener el grado del primer término del cociente o del residuo se restan los exponentes del primer término del dividendo con el primer término del divisor: (7 – 4), lo que nos indica que el polinomio cociente es de tercer grado. El resto de términos se colocan consecutivamente en forma descendente.q(x) = 2x3 – x2 + x + 3.R(x) = -7x3 + 2x2 + 9x – 1.

C) MÉTODO DE PAOLO RUFFINISe utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: (ax+b).También podría ser cualquier otro divisor que puede ser llevado o transformado a la forma antes mencionada.

Pasos a seguir:1) Coeficientes del dividendo ordenado

decrecientemente, completo o completado con respecto a una variable.

2) Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.

3) Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por y colocado en la siguiente columna.

4) Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna.

ESQUEMA GENERAL

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

CASOS DEL MÉTODO RUFFINI

I CASO

Cuando el divisor es de la forma

Ejemplo 01: Dividir: 3x5−2 x4+7 x3−11 x2+5 x+1

x−2

Por Ruffini:

Como: Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamos el cociente:

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43R(x) = 87

II CASO: Si en el divisor (ax+b), a1 ; luego de dividir por Ruffini los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.

Ejemplo 02: Dividir: 3x 4+5 x3−17 x2+8 x+7

3 x -1

Por Ruffini:

Q° =4 - 1=3 ; (Q° nos indica el grado del cociente)Confeccionamos el cociente:Q(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1 R (x) = 8

III CASO: Si el divisor es de la forma (axn+b), para proceder a dividir por Ruffini todos los exponentes de la variable en el dividendo deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor. Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores.

Ejemplo 03: Dividir: 6 x40-31 x30+47 x20 -56 x10+57

2 x10 -7Solución:

40, 30, 20, 10 son múltiplos de 10, entonces es posible aplicar el Método de Ruffini.

Q° =40 - 10=30, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de 10 en 10. Q(x) = 3x30 – 5x20 + 6x10 – 7R(x) = 8

TEOREMA DEL RESTO

ENUNCIADO DEL TEOREMA DEL RESTOEl residuo de dividir un polinomio Racional y entero entre un binomio de forma (ax+b), es igual al valor que toma dicho polinomio cuando se remplaza “x” por (-b/a) es decir:

Si: ax+b = 0, despejando x=−ba

Luego:P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + RP (-b/a) = 0 + R

P (-b/a) = REntonces; para calcular el resto se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se remplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.EJEMPLO:Hallar el resto en:

Solución:Expresando el dividendo en función de x5, tenemos:

3( x5)12−5 ( x5 )9+3( x5 )6−2( x5 )3+( x5 )+7

( x5)+1

Por el teorema del resto:

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

x5 + 1 = 0 x5 = -1El valor obtenido para x5 lo remplazamos en el dividendo, así:R=3(-1)12–5(-1)9+3(-1)6 – 2(-1)3 + (-1)+ 7

R = 3 + 5 + 3 + 2 – 1 + 7 R = 19

I.- Divide por el método de Horner, las siguientes divisiones:

1

)

6x4−x3+5x−17x2−33x3+4x2−2x−1

2)

21x+5x3+10x2+8x+57x2−3x+3

3)

4)

x5+7x4−8x3−x2+2x+9x2+7x−8

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

5)

3x5+12x3−8x4−6x2+3x−7x2−2x+3

6)

x5+2x4−3x3+7x2+20x+30x2+2x+2

7)

6x5+4x4+5x3+8x2+3x+73x2+2x+1

8)

3x4 5x2+12x−93x2+3x+2

9)

4x4+13x3+28x2+25x+124x2+5x+6

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

10)

6x7+5x6−21x5+11x4−2x2+42x4+3x3−5x2+x+4

MÉTODO RUFFINICASO I

1.- Dividir:

D(x)=q(x)=Suma de coeficientes:Producto de coeficientes:Término independiente:Término cuadrático:Término lineal:Coeficiente principal:

2)


3)


ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

4)


5)


6)


CASO II

1.- Dividir:

2.- Dividir:

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

3.- Halla el residuo:

4.- Dividir:

2x2+x3+2−x2 x−1

5.- Al dividir:

2x4+x3−8 x2−3 x+72 x−3

Indicar el término independiente del cociente.

6.- Al dividir:

6 x3+19 x2+18 x+93 x+5 su cociente

es:

1.- Indica el producto de coeficientes del residuo:

12 x4+2x3−x2−5 x−93 x2−x−2

a) 4 b) –4 c) 6 d) –6 e) 12

2.- Indica el término lineal del cociente en:

3x5−5 x3−3x+7x2+ x−1

a) 2x b) x c) –2xd) –x e) 3x

3.- Halla el residuo en:

x4+4 x3+6 x2−7 x+2x2+2 x+1

a) 1+11x b) 4x-1 c) 1-10xd) 10x-2 e) 1-11x

4.- Divide :

x5+5 x4+10 x3+10x2+5x+1x3+3 x2+3 x+1

Indica el cociente:a) x2-x-1 b) x2+2x+1 c)

x2+1d) x2-2x-1 e) x2+2x-1

5.- Hallar el cociente en:

x3−10 x2+14 x−9x2−4 x−13

a) x+1 b)x–1 c)x+6d) x–6 e)x+7

6.- Dividir usando Horner

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

5 y5−9 y 4+3 y6−10 y3+3 y−4+8 y2

3 y3+2 y2−5 y−4 e indicar la suma de coeficientes del cociente

a)0 b)1 c)–1 d)2 e)3

7.- Divide :

x2+8 x+18x+3

Indica el cociente:

a) x + 5 b) x + 1 c) xd) x – 2 e) x + 3

8.- Divide :

x2+5 x−7x−2

Indica el cociente:

a) x – 1 b) x + 3 c) x + 7d) x – 7 e) x – 3

9.- Divide :

x3+3 x2+5 x+7x+1

Indica el cociente:

a) x2 + 2x – 3 b) x2 - 2x – 3 c) x2 + 2x + 3d) x2 - 2x – 8 e) -x2 + 2x + 3

10.- Divide:

x2+7 x+10x+4

Indica el cociente:

a) x – 2 b) x + 3 c) x + 4d) x + 1 e) x

11.- Divide :

x2−12 x+42x−5

Indica el cociente:

a) 4x + 1 b) 2 c) x + 7d) x + 5 e) x – 7

F).-

x3+3 x2+3 x+2x+2

a) 2 b) 1 c) 0d) 3 e) 5

12.- Divide:

6 x3 − 7 x2 + 12x + 73 x + 1 Indica el cociente:

a) x3-3x-1 b) 3x2+4x-1c) 2x2 -3x+5 d) 3x2+2x-1

e) x3+2x+1

13.- Divide:

6 x2+x+43x−1

Indica el residuo:

a) -1 b) 5 c) 3d) 6 e) 2

14.- Divide:

10 x3−33x+9 x2−225 x+2

Indica el

residuo:a) 8 b) 1 c) -2d) 4 e) -8

15.- Divide:

9 x2−3 x+33 x−2

Indica el residuo:

a) 3 b) 5 c) -3d) -5 e) 1

16.- Divide:

8 x3−x+10 x2−34 x+3

Indica el residuo:

a) 3 b) 7 c) 0d) 1 e) -1

1.- DEFINICIÓNEs el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios irreductibles, denominados Factores primos, dentro de un conjunto numérico.

2.- FACTOR PRIMO: Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción:

Ejemplo: f ( x )=x4−49

a) Factorizando en el conjunto Q:

f ( x )=(x2 )2−72=( x2+7 )( x2−7 )⏟Pr imos en Q

Existen 2 factores primos en Q

b) Factorizando en el conjunto R: f(x) = (x2 + 7) (x2 – 7)

f ( x )=( x2+7 )(x+√7 )( x−√7 )⏟Pr imos en R

Existen 3 factores primos en R

c) Factorizando en C, tendremos:

f ( x )=( x2+7 )⏟(x+√7 )( x−√7)

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

N° Factores=24

2

2

Por lo tanto:x y:

tiene 6 factores y

3 factores compuestos.

Cálculo de manera directa:

P(x,y)=x y

N° factores = (2+1)(1+1) = 6

N° Fact. Compuesto =6-2-1=3

N° Fact. Alg.=20

f(x) = [x2 – (√7 i)2 ] (x+√7 ) (x –√7 )

f ( x )=( x−√7 i )(x+√7 i) ( x+√7 )(x−√7 )⏟Pr imos en C

Existen 4 factores primos en C

OBSERVACIONES:Generalmente el conjunto numérico a utilizarse será el de los RACIONALES, salvo se indique lo contrario.

3.- NÚMERO DE FACTORES PRIMOS: El número de factores primos depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En los racionales el número de factores primos se calcula contando los factores de la base.Ejemplos:

a) F(x) = (x + 1) (x2–x+1) Tiene 2 factores primos

b) P(x) = (x–1)2 (x+2) (x+2) (x–5)3 P(x) Tiene 3 factores primos

4.- NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO:Dado el polinomio “P”, el cual luego de ser factorizado totalmente se expresa así:

Siendo A, B y C sus factores primos; el número de factores del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:

Ejemplo: Sea P(x)= (x–1)2 (x+2) (x–5)3

N° factores = (2+1) (1+1)(3+1)

5.- NÚMERO DE FACTORES COMPUESTOS: Los Factores compuestos resultan de la combinación de los Factores primos:

Ejemplo:

P(x, y) = x2y tienen los siguientes, factores:

6.- FACTORES ALGEBRAICOS: Se denomina así, aquel que por lo menos tiene, o presenta una variable.

Ejemplos: F(x) = (x + 1)2 (x – 4)3.Hallar el número de Factores algebraicosResolución:* Número de factores = (2+1) (3+1) = 12

* Número de factores Algebraicos = 12 – 1 = 11

Por lo tanto colocamos los factores primos del 6, de la siguiente manera:

Luego:Nº de Fact. Totales = (1+1)(1+1) (1+1) (2+1) = 24

Factores Primos del N° 6: 2; 3

N° de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4

Por lo tanto:

Remplazando:

N° Fact Algebraicos = 24 – 4

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

2 2 3 3 4

2n n m 2m

2n n m 2m n m

4n 3n 2n n

ax y + bxy z + cx my Factor común

Ax + Bx y + Cy Aspa simple

Ax + Bx y + Cy + Dx + Ey + F Aspa doble

Ax + Bx + Cx + Dx

3 2

+ E Aspa doble especial

Ax + Bx + Cx + D Divisores binómicos

2 2

b) Diferencia de Cuadrados:

a -b =(a+b)(a-b)

Ejemplo: Factoriza: E = x2 - 1

Solución:

E = (x + 1) (x - 1)

2 2 2

2 2

2 2

2

a) Trinomio Cuadrado Perfecto:

a ± 2ab +b = (a ± b)

Ejemplo:

Factoriza: E = x - 4xy + 4y

Solución:

E = x - 2(x) (2y) + (2y)

E = (x - 2y)

3 3 2 2

c) Suma o Diferencia de Cubo:

a b =(a b)(a ab+b )

Ejemplo:

Factoriza: E = x3 - 1

Solución:

E = (x - 1) (x2 + x +1 )

7.- MÉTODOS DE LA FACTORIZACION:

A) Factor común monomio y/o polinomio: Se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen un factor que le es común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

Ejemplo 1: Factorizar: 5 x10 y5−10 x7 y8−25 x11 y 9

5 x7 y5underbracealignl Factor común ¿⏟monomio ¿

( x3−2 y3−5 x4 y 4 )¿

Ejemplo 2: Factorizar: P(x, y, z) = (x – y + z) a

+ (y – x – z) b

P(x, y, z) = (x – y + z) a – (x – y + z) b

B) Método de agrupación de términos:

Consiste en agrupar los términos del polinomio por binomios, trinomios, que luego de descomponerlos a su vez en dos factores, aparece algún factor común a

todas las agrupaciones realizadas.Ejemplo 1: Factorizar: F (a, b, c)= abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1Resolución:Agrupando en la forma indicada:

F = ab (c + 1) + a(c + 1) + b(c + 1) + (c + 1)

F=( c+1 ) ( ab + a +b+1)F = (c + 1) [a(b + 1) + (b + 1)]

Del corchete se extrae el factor común (b + 1):

C) Método de las Identidades: Consiste en aplicar las equivalencias o productos notables de manera directa o inversa, es decir, del producto pasar a los factores.

D) Método del aspa simple: Se utiliza para Factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma general:

El método consiste en descomponer los términos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos produzca el término central, siendo los factores las sumas horizontales.Ejemplo 1:

Factorizar: 2x² + 5x + 2

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

(3x + y + 1) (x + y + 1)

2 2A(x) = (x + 4x + 3) (x + x + 2)

Divisores del T. indep.Posibles ceros = ±

Divisores del 1er. Coef.

Si no lo comprendes pregúntale a tu profesor!!!

Finalmente: 2x² + 5x + 2 = (2x+1)(x+ 2 )

Ejemplo2Factorizar:

E) Método del aspa doble: Se emplea para Factorizar polinomios que tiene la sgte. Forma general

Pasos:1° Se trazan 2 aspas simples entre los términos:

(Ax2 Cy2), además (Cy2 F)

2° Si faltaran términos se completarán con ceros

3° Se traza un aspa simple de comprobación entre los extremos

4° Se forman factores como el método anterior (horizontalmente)

Ejemplo explicativo:

1) Factorizar:A(x, y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1Resolución:

Comprobaciones:

(I) : (3x) y + x (y) = 4xy(II) : y (1) + y (1) = 2y(III) : 3x (1) + x (1) = 4x

Finalmente:

F) Método del aspa doble especial: Se utiliza para factorizar polinomios de 4to grado de la forma general.

Pasos:

1° Se aplica un aspa simple en los términos extremos: (Ax4 E)

2°El resultado se resta del término central: Cx2

3°Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos debajo del término central.

4°Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente.

EJEMPLO:

1) Factorizar: Res olución :

Se observa que:(I) (2) (x2 + x2(3) = 5x2. Luego: 9x2 (término central) – 5x2 = 4x2. Se

descompone 4x2 en 2 factores: (4x) (x)

(II) x2(4x) + x2(x) = 5x3

(III) 4x(2) + x(3) = 11xFinalmente:

G) Criterio de los divisores binomios: Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y de una sola variable que aceptan factores binomios de la forma (ax b).

Cero de un Polinomio: Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a determinado polinomio.

REGLA PARA CALCULAR LOS POSIBLES CEROS DE UN POLINOMIO:

Veamos el ejemplo

P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)

Q (x) = (x – 2) (x2 + 2x +3)

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

Ejemplos explicativos

1. Factorizar: P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21Resolución:

P.C. = 1, 3, 7, 21Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1) determinando el otro factor por la Regla de Ruffini.

P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21)

2. Factorizar: Q(x) = x3 – x – 6Resolución:

P.C. = 1 , 3 , 6Para x = 2, se anula, entonces tendrá un factor (x – 2). Luego por la Regla de Ruffini

H) Método de Sumas y Restas: Se inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida; la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para constituir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato. Naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados suma de cubos o diferencia de cubos.

Factor Común MonomioFactorizar los siguientes polinomios en cada caso, señalar un factor:

1.- a2x + aya) a

b) x

c) x+y

d) ax+ya

2.- a3x – a2ya) a

b) x+y

c) a2

d) x–y

3.- a2 + a

a) a

ACTIVIDADES EN

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

b) a–1

c) 2a

d) 2a+1

4.- a3 + a2 + a

a) a

b) a2

c) a3

d) a+1

5.- a2b + b

a) a

b) b2

c) ab

d) ab+1

6.- x2y – y – zy

a) y

b) xy

c) x-1

d) z

7.- x2 + 2x

a) x

b) x2

c) x+1

d) x+2

8.- a3 + 5a2 + 3a

a) a

b) a3

c) a+5

d) a–3

9.- z3 + 3yz2 – za) z

b) z-1

c) z2 +3

d z2

10.- x2 + x

a) x+1

b) x2

c) x2+x

d) x-1

11.- x3 – xy – 5x

a) x2

b) x-y-5

c) x

d) x-5

12.- 2mn + n3

a) 2

b) m+n

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

c) 2m+n2

d) 1

Factor Común Polinomio

1.- (x – y)a + (x – y)b

2.- (a + b)m2 + (a + b)n

3.- (x + y)a3 + (x + y)b2

4.- (a + 2b)x4 + (2b + a)y3

5.- (m2 + n2)x2 + (m2 + n2)y2

6.- (a + b + c)x + (a + b + c)y

7.- (m3 + n4)a4 – (m3 + n4)b3

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

8.- (x + y)3 – (x + y)4z

9.- –2y2 – 5y + 1

10.- –7m8 + 6m5 – 2

11.- 3x3 – 5x2 + 1

12.- 7x – 5y – 3z

Método De Las Identidades

Factorizar:

1.- 1– x2

2.- 16 – y2

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

3.- a4 – b2

4.- 4x2 – y2

5.- –a2 + b2

6.- 25x2 – 9y2

7.- 35a8 – b2

8.- 100 – y8

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

9.- 1 – 25x6

10.- 36 – z10

Factorizar por Aspa Simple:1.- x2 + 9x + 8

2.- a2 + 2a – 35

3.- m2 – 8m + 12

4.- 21 + x2 – 10x

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

5.- c2 – 6c – 27

6.- 8t + t2 + 15

7.- 2x – 3 + x2

8.- x4 + x2 – 6

9.- t6 – 6t3 + 5

10.- a10 – a5 – 20

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

11.- m4 – 16 – 6m2

12.- 6m2 – 7m + 2

FACTOR COMÚN MONOMIO1.- Reducir y señalar un factor: 6a8 – a6

a) a2 b) a3 c) a6 d) 6a3

2.- Reducir y señalar un factor: 10x9 – 9x10

a) 9x9+x8 b) x9 c) 9x8 d) 1

3.- De la expresión reducir y señalar un factor: 3xy + 5xyz

a) x2 b) xy c) xz d) 3y+5z

4.- Reducir y señalar un factor: 7abc – 5abc2

a) 7abc b) 5abc c) abc d) 7a-5c

5.- Reducir y señalar un factor, en la siguiente expresión: 6m2n – mn2

a) mn b) 6m-n c) mn+1 d) 6mn

6.- Reducir y señalar un factor, en la siguiente expresión: x2y + xy2

a) x2 b) x+y c) x2+y2 d) xy

7.- Reducir y señalar un factor, en la siguiente expresión: a3b – ab3

a) a2+b2 b) ab c) a-b d) a2-b2

8.- Reducir y señalar un factor, en la siguiente expresión: 2a4b – 4ab4 – 6a4b4

a) a2b2 b) ab c) 2a – 4b – 6ab d) 1

9.- Factorizar y señalar un factor: 5xyz3 – 3xy3z + 2x3yza) xyz b) x2y2z2 c) 5z2 + 3y2 – 2x2

d) xy2z

10.- Reducir y señalar un factor, en la siguiente expresión: 2x5 + 3x4 – 2x3 + x2

a) x3 b) 2x3 + 3x2 – 2x c) x2 d) 2x2

11.- Reducir y señalar un factor, en la siguiente expresión: 6a8 + 12a6 – 18a4 + 24a2

a) 6a2 b) 2a4 c) a4+2a4+18a2–4a d) 2a4 – 4a

FACTOR COMÚN POLINOMIO

1.- (m + n – 1)x2 + (m + n – 1)x – (m + n – 1)

a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

2.- (a2 + b2)3a + (a2 + b2)5c + (a2 + b2)2


3.- (x + y)(a + b) + (x + y)(m + n)


4.- (m2 + n)(x – y) – (m2 + n)(2x + 5y)


ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

5.- (x + y + z + w)a5 – (x + y + z + w)(b + c)


6.- (a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x – 2) + (a + b +

1)


Factorización de signos1.- –a –ba)mn b)mn c)mn d)mn e)mn2.- –x –ya)mn b)mn c)mn d)mn e)mn3.- –3x – ma)mn b)mn c)mn d)mn e)mn4.- –2a + ba)mn b)mn c)mn d)mn e)mn5.- –x2 – 1a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn6.- –2x + 1a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn7.- 1 – 3aa)mn b)mn c)mn d)mn e)mn8.- x2 – x – 1a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn9.- 2x – 3y – 2a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn10.- 3a – m + 1a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn11.- x4 – x2 – 1a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn12.- –3x – y + za)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

1.- (x + 3)2 – 16a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

2.- (2a – 1)2 – 25a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

3.- 9 – (x2 + 1)2


4.- a2 – (b2 + 1)2


5.- 4 – (5 – x)4


6.- 1 – (a – b)2


7.- (a + 2b)2 – 36a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

8.- (m2 – n)2 – 49a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

9.- (3x – y)2 – 64a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

10.- (a – 5x2)2 – y2


Factorizar:1.- x2 + 10x + 25a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

2.- x2 – 12x + 36a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

3.- 4x2 – 4x + 1a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

4.- 49a2 – 28a + 4a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

5.- 9t2 + c2 – 6tca)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

6.- x2 + 25y2 – 10xya)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

7.- 48m3 + 64m6 + 9a)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

8.- m2 + 49n4 – 14mn2


9.- 100x2 + 1 – 20xa)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

10.- 4a16 + b2 + 4a8ba)mn b)mn c)mn d)mn e)mn

Documents

NIVEL I