UNIVERZITET U TUZLI ETF

N.Okii cc

Nizovi i redovi- Dodatak -

Tuzla, 2011

Sadraj z1 Numeriki nizovi c 1.1 Denicija i osnovni pojmovi . . 1.1.1 Predstavljanje nizova . . 1.1.2 Konvergencija nizova . . 1.2 Osobine konvergentnih nizova . 1.3 Beskonane granine vrijednosti c c 1.4 Monotoni nizovi . . . . . . . . . 1.5 Alati za izraunavanje limesa . c 1.6 Podnizovi . . . . . . . . . . . . 1 1 2 4 7 13 15 18 20 26 26 31 34

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

2 Numeriki redovi c 2.1 Denicija i osobine numerikog reda . . . . . . . . . . . . . . . c 2.2 Redovi sa pozitivnim lanovima . . . . . . . . . . . . . . . . . c 2.3 Redovi sa proizvoljnim lanovima . . . . . . . . . . . . . . . . c

i

Poglavlje 1 Numeriki nizovi c1.1 Denicija i osnovni pojmovi

Termin numeriki, odnosi se na to da emo mi u ovoj glavi posmatrati samo c c nizove brojeva. Konkretnije, posmatrat emo samo nizove ralnih brojeva, pa c bi ovdje jo precizniji termin bio realni numeriki nizovi. s c Denicija 1.1.1. Svako preslikavanje a : N R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim preslikavanjem dodjeljuje prirodnom broju n oznaavamo sa a(n), ili ee sa an (xn , c c sc fn ) i nazivamo ga n-ti lan niza. Pri tome broj n u oznaci an nazivamo inc deksom lana niza. Ako je specicirana zavisnost an od n, onda se an naziva c optim lanom niza. s c Za niz iji su lanovi a1 , a2 , ..., an , ... koristit emo krau oznaku (an )nN , c c c c (an )n=1 ili kratkoe radi samo (an ). c Na isti nain moemo denisati nizove kompleksnih brojeva, nizove funkcija c z ili uopteno nizove elemenata proizvoljnog skupa. U ovom dijelu mi emo se s c ograniiti na posmatranje samo realnih numerikih nizova. c c Primjer 1.1. Niz 1, 2, 3, ..., n, n + 1, ... je niz prirodnih brojeva. Niz 1, 3, 5, ..., 2n + 1, ... je niz neparnih prirodnih brojeva, a 1, 4, 9, 16, 25, ... je niz kvadrata prirodnih brojeva. 1

1.1. Denicija i osnovni pojmovi Niz je potpuno odreden svojim optim lanom. Naprimjer, ako je opti s c s n lan niza dat sa xn = n+1 , niz je u potpunosti odreden i njegovi lanovi su c c 1 2 3 , 3 , 4 , ..., ili ako elimo odrediti stoti lan ovog niza, x100 = 100 . z c 2 101 Za odredjivanje niza nije neophodno da postoji formula kojom se eksplicitno odreduje opti lan xn u zavisnosti od n. Naprimjer, ako je xn n-ti po s c redu prost broj, niz (xn ) je korektno denisan, iako ne znamo formulu za odredivanje n-tog lana tog niza. Isto tako moemo govoriti da je niz (an ) c z zadat tako da je an n-ta cifra u decimalnom razvoju broja 2, mada formulu za n-tu cifru tog razvoja ne znamo eksplicitno. Znati konano mnogo prvih lanova niza nije dovoljno za jednoznano odredic c c vanje niza. Naprimjer, ako je dato prvih pet lanova nekog niza c 0, 7, 26, 63, 124, pravilo po kome su konstruisani ovi lanovi moe ali i ne mora da vai za c z z esti, sedmi i dalje lanove ovog niza. s c

1.1.1

Predstavljanje nizova

Predstavljati nizove moemo na dva naina. Iz samog opisa niza kao liste z c brojeva dobijamo prvi nain, predstavljajui lanove niza na realnoj pravoj. c c c Tako bi niz (2, 4, 6, ..., 14), naznaavajui takama lanove niza, bio predc c c c stavljen-1 0 1 2 x1 3 4 x2 5 6 x3 7 8 x4 9 10 x5 11 12 x6 13 14 x7

Slika 1.1: Predstavljanje niza na realnoj pravoj. Predstavljati beskonane nizove na ovaj nain bio bi problem jer bi se esto c c c gubila predstava o nizu. Tako za niz (1, 1, 1, 1, ...) slika bi predstavljala samo dvije take c -3 -2 -1 0 1 2

a2n1 a2n Slika 1.2: Niz an = (1)n predstavljen na realnoj pravoj. a oznakama a2n i a2n1 bi sugerisali parne i neparne pozicije lanova naeg c s 1 niza. Jo tee bi bilo predstaviti niz n n=1 . s z 2

1.1. Denicija i osnovni pojmovi

0

1 a4 a3 a2 a1 Slika 1.3: Nepraktinost predstavljanja niza na realnoj pravoj. c

Oznaili bi prvih nekoliko lanova niza, a dalje lanove bi smo samo naznaili c c c c takama. c Bolja, preglednija varijanta predstavljanja niza proizilazi iz injenice da niz c moemo shvatiti i kao preslikavanje (ak je i denisan tako). Ovdje pod z c preslikavanjem shvatamo injenicu da lanove niza numeriemo po njihovim c c s pozicijama. Tako niz (xn ) moemo predstaviti tabelom z n=1 n xn 1 x1 2 x2 3 x3 ... ... k xk ... ...

Ovo znai da niz moemo posmatrati kao preslikavanje x : N R, gdje c z dogovorno koristimo oznaku xn , a ne uobiajenu oznaku za funkcije x(n). c Domen ovog preslikavanja je skup prirodnih brojeva i kad god je domen preslikavanja skup N, takvo preslikavanje nazivamo niz. Sve ovo znai da c sada moemo koristiti sve osobine funkcija, ali takode i pojmove uvedene sa z njima. Ovo prije svega znai da niz moemo predstaviti u obliku grafa. Tako c z bi niz (2, 4, 6, ..., 14), predstavljen grafom izgledao kao na sljedeoj slici c

15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Slika 1.4: Graki predstavljen niz sa optim lanom xn = 2n. c s c Ovo je sada puno pogodniji nain za predstavljanje beskonanih nizova. c c 1 Graki predstavljen niz (1, 1, 1, 1, ...) dat je na slici 1.5, a niz n n=1 c predstavljen je slikom 1.6. Primjetimo da sada nemamo potrebu za pisanjem lanova niza. Jednosc tavnim itanjem sa lijeva u desno imamo lanove niza: prvi, drugi, trei c c c itd. 3

1.1. Denicija i osnovni pojmovi

1 0 1 -1 -2 Slika 1.5: Niz xn = (1)n . 2 3 4 5 6 7 8 9

1

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 Slika 1.6: Niz xn = n .

1.1.2

Konvergencija nizova

U matematikoj analizi prouava se ponaanje lanova niza kada njihov inc c s c deks neogranieno raste, tj. kada indeks tei u beskonanost. Ova naizgled c z c jednostavna problematika fundamentalna je za prouavanje osobina realnih i c kompleksnih brojeva, skupova i funkcija, a samim tim i u konkretnim primjenama matematike. Ideja je da se prouava gomilanje lanova niza oko neke konkretne vrijedc c n 1 nosti. Tako naprimjer, lanovi nizova ( n ) i (1) gomilaju se oko nule, c n2 tj. sve su blie nuli kako indeks n postaje vei, to vidimo ako izraunamo z c s c po nekoliko lanova ovih nizova, c 1 1 1 1 1, , , , , ... 2 3 4 5 1 1 1 1, , , , ... . 4 9 16n

Za lanove niza iji je opti lan dat sa xn = 2+(1) ne bismo mogli tvrditi c c s c n da su sve blie nuli kada se n poveava jer je naprimjer z c 0 < x2n1 = 1 3 < = x2n , 2n 1 2n 4

1.1. Denicija i osnovni pojmovi iz ega vidimo da je x2n na veoj udaljenosti od nule nego njemu prethodei c c c lan. Medutim, i ovde se moe uoiti neko gomilanje oko nule, to se vidi ako c z c s 3 1 se izrauna nekoliko prvih lanova niza, 1, 3 , 1 , 4 , 5 , .... Naime, ako izaberemo c c 2 3 proizvoljno malen broj > 0, svi lanovi niza e biti manji od , samo ako c c posmatramo dovoljno daleke lanove u datom nizu. Zaista, nije teko c s vidjeti da za proizvoljno n N vrijedi xn = 3 2 + (1)n , n n

pa je dovoljno posmatrati lanove niza iji je indeks n > 3 , da bi bilo zadoc c voljeno xn < . Primjetimo da smo u gornjem primjeru pokazali da za proizvoljno > 0 svi lanovi niza, poevi od nekog indeksa n0 , zadovoljavaju nejednakost xn < , c c s tj. oni se gomilaju oko take 0. Ovo je globalna ideja kojom se uvodi pojam c konvergencije. Denicija 1.1.2. Kaemo da je realan broj a granina vrijednost ili limes z c niza (xn ) ako za svako > 0, postoji prirodan broj n0 , takav da za svaki prirodan broj n n0 vrijedi |xn a| < , to jednostavnije zapisujemo s matematikom simbolikom sa c ( > 0)(n0 N)(n N)(n n0 |xn a| < ) . Gornju injenicu zapisujemo sa cn+

(1.1)

lim xn = a ili xn a (n +) .

Ako je lim xn = a, kaemo da niz (xn ) konvergira ka a ili da tei ka a, z zn+

kada n tei u beskonanost. z c Ako postoji a R, takav da lim xn = a, kaemo da je niz konvergentan. zn+

Kasnije emo vidjeti da je mogue utvrditi da je niz konvergentan, a da pri c c tome ne znamo njegovu graninu vrijednost. Za sada jedini nain da odrec c dimo graninu vrijednost nekog niza je da pretpostavimo ( izraunavanjem c c prvih nekoliko lanova niza ) da je lim xn = a, za neko a, a zatim da to cn+

dokaemo provjeravajui uslov iz Denicije 1.1.2. z c Primjer 1.2. U primjeru ispred Denicije 1.1.2 smo pokazali da je 2 + (1)n =0. n+ n lim 5

1.1. Denicija i osnovni pojmovi n 1 = 0 ili lim = 1. Pokaimo z n+ n + 1 n+ n

Na slian nain se pokazuje da je lim c c

prvu relaciju. 1 Neka je > 0 proizvoljno. Nejednakost n < ekvivalentna je sa n > 1 , pa ako stavimo da je n0 = [ 1 ] + 1 ( funkcija [x], ita se antije od x, predstavlja c cijeli dio od x ), uslov iz Denicije 1.1.2 bit e zadovoljen za svako n N c 1 za koga je n n0 , tj. vait e | n 0| < . Ovaj niz i njegovu graninu z c c vrijednost istiemo kao bitne za dalje razmatranje. c 1 =0 n n lim

Postoji vie ekvivalentnih oblika uslova 1.1. Tako moemo pisati s z ( > 0)(n0 N)(n n0 ) |xn a| < ,

gdje u dijelu (n n0 ) podrazumijevamo da je n N. Takode, znak . Osim toga, z umjesto (n0 N)(n n0 ) moemo pisati (y0 R)(n y0 ). Ovu z posljednju zamjenu naroito dobro moemo koristiti da bi izbjegli koritenje c z s funkcije [] (antije). Primjer 1.3. Neka je xn = 2 n . Posmatramo li nekoliko prvih lanova ovog c niza 1 1 x1 = 21 = 2 , x2 = 2 2 = 1, 41... , x3 = 2 3 = 1, 26... , x4 = 2 4 = 1, 19... , ... , x10 = 2 10 = 1, 07... , vidimo da se vrijednosti umanjuju i da se kreu ka 1, tj. osjeamo da je c c lim xn = 1. Ali ovakvo razmiljanje ni u kom sluaju ne predstavlja dokaz s c ove tvrdnje. Da bi to dokazali razmiljajmo ovako: s 1 1 kako je xn = 2 n > 1 za svako n N, tada je nejednakost |2 n 1| < 1 s ekvivalentna sa 2 n < 1 + , to nakon logaritmovanja daje ekvivalentno n > loglog 2 . Ovo onda znai da za svako > 0, postoji y0 = loglog 2 , takav c (1+) (1+) da je za svako n y0 , zadovoljena nejednakost |xn 1| < , to prema s Deniciji 1.1.2 znai da je lim xn = 1. cn+1 1 1

n+

Na isti nain se pokazuje sljedei vaan limes c c zn+

lim

n

a = 1 , (a > 0)

6

1.2. Osobine konvergentnih nizova Denicija 1.1.3. Okolina take a R je proizvoljan otvoren interval koji c sadri taku a. z c Otvoreni interval (a , a + ) duine 2 sa centrom u taki a R, naziva z c se -okolina take a. c Denicija 1.1.4. Kaemo da skoro svi lanovi niza imaju neku osobinu P z c ako postoji n0 N, tako da za svako n n0 , xn ima osobinu P .

Drugaije reeno, skoro svi lanovi niza imaju osobinu P ako je imaju svi c c c lanovi niza poev od nekog indeksa ili to je isto kao da kaemo da tu osobinu c c s z imaju svi lanovi niza osim njih konano mnogo. c c Nejednakost |xn a| < , koristei poznati stav za apsolutnu vrijednost, c moemo zapisati i kao a < xn < a + , to je opet ekvivalentno sa tim z s da xn (a , a + ). Koristei sve reeno, Deniciju 1.1.2 moemo iskazati c c z ekvivalentno u sljedeem obliku. c Denicija 1.1.5. Kaemo da niz (xn ) konvergira ka taki a R ako se u z c svakoj -okolini take a nalaze skoro svi lanovi niza. c c

Slika 1.7: Izvan -okoline nalazi se konano mnogo lanova niza. c c Ako se skoro svi lanovi niza nalaze u nekoj 0 -okolini take a, onda to c c isto vai i za svaku -okolinu, gdje je > 0 . Iz ovoga je jasno da je uslov z Denicije 1.1.2 ili njoj ekvivalentne Denicije 1.1.5, dovoljno pokazati za malo , odnosno za 0 < < 0 , gdje je 0 proizvoljan pozitivan broj. Primjer 1.4. Niz iji je opti lan xn = (1)n nije konvergentan. Zaista, c s c pretpostavimo suprotno, tj. da je za neko a R, lim xn = a. Kako su svin+

lanovi datog niza jednaki ili 1 ili 1, to znai da se oba ta broja moraju c c nalaziti u proizvoljnoj -okolini take a. Medutim, to oigledno nije mogue c c c 1 jer izaberemo li < 2 tada nije mogue da oba broja i 1 i 1 budu u intervalu c (a , a + ), ija je duina manja od 1. c z

1.2

Osobine konvergentnih nizova

Pored pitanja o egzistenciji granine vrijednosti niza, drugo najvanije pitanje c z je njena jedinstvenost. To iskazujemo sljedeim tvrdenjem. c 7

1.2. Osobine konvergentnih nizova Teorem 1.2.1. Ako niz ima graninu vrijednost onda je ona jedinstvena. c Dokaz : Pretpostavimo da vrijedin+

lim xn = a i

n+

lim xn = b .

Ako je a = b, onda postoji > 0 takvo da -okoline oko taaka a i b budu c disjunktne ( dovoljno je uzeti da je = ba ). Na osnovu Denicije 1.1.5 2 zakljuujemo onda da su svi lanovi niza (xn ), poev od nekog indeksa n1 , c c c u -okolini broja a, ali isto tako bi morali svi lanovi naeg niza, poev od c s c nekog indeksa n2 , biti u -okolini take b. Ako posmatramo lanove niza iji c c c su indeksi vei i od n1 i od n2 , zakljuili bi smo da se oni nalaze i u jednoj i c c u drugoj -okolini, to nije u saglasnosti sa disjunktnou tih okolina. s sc Denicija 1.2.1. Za niz (xn ) kaemo da je ogranien odozgo ako vrijedi: z c (M R)(n N) xn M . Niz je ogranien odozdo ako vrijedi: c (m R)(n N) xn m . Denicija 1.2.2. Za niz (xn ) kaemo da je ogranien ako je skup svih elz c emenata tog niza ogranien, tj. ako postoji realan broj M 0 takav da je c |xn | M za svako n N. Ovo zapisujemo sa (M 0)(n N) |xn | M . Teorem 1.2.2. Svaki konvergentan niz je ogranien. c Neka je > 0 proizvoljno, naprimjer neka je = 1. Na osnovu denicije konvergencije, svi lanovi niza, poev od nekog indeksa n0 , pripadaju okolini c c (a 1, a + 1), odnosno van ove okoline se nalazi konano mnogo lanova niza. c c Neka je m1 najmanja vrijednost i M1 najvea vrijednost od tih konano c c mnogo lanova koji su van okoline. Oznaimo sa m = min{a 1, m1 } i c c M = max{a + 1, M1 }. Tada oigledno vrijedi c (n N) m xn M , to predstavlja ogranienost niza. s c Ogranienost niza je prema Teoremi 1.2.2, potreban uslov konvergencije. Da c to nije i dovoljan uslov, pokazuje primjer niza ((1)n ) koji jeste ogranien, c ali kao to je ranije pokazano nije konvergentan. s 8 Dokaz : Neka je niz (xn ) konvergentan, tj. neka je lim xn = a R.n

1.2. Osobine konvergentnih nizova U sljedeim teoremama pokazat emo vezu limesa i osnovnih algebarskih c c operacija. U mnogim dokazima koji slijede koristit emo se poznatom osobic nom nejednakosti trougla, naime ako znamo da je |a b| < i |b c| < , tada imamo |a c| = |a b + b c| |a b| + |b c| < 2 . Teorem 1.2.3. Neka su dati nizovi (xn ) i (yn ). 1. Ako je xn = c R za skoro svako n N, tada je lim xn = c.n+

2. Neka je lim xn = x i lim yn = y (x, y R) i neka su a, b i cn+ n+

proizvoljni realni brojevi. Tada vai: z (a) (b) (c) (d)n+

lim (axn + byn ) = ax + by. lim (xn + c) = x + c. lim (xn yn ) = x y. lim

n+

n+

xn x = , ako je y = 0 i yn = 0 za n N. n+ yn y

c Dokaz : Tvrdenje 1. je posljedica injenice da se broj c nalazi u svakoj svojoj okolini. 2. Neka je lim xn = x i lim yn = y. Neka je > 0 proizvoljan. Poevi c sn+ n+

od nekog indeksa n1 svi lanovi niza (xn ) su u -okolini take x. Isto tako, c c od nekog indeksa n2 svi lanovi niza (yn ) su u -okolini take y. Stavimo c c n0 = max{n1 , n2 }. Tada su za svako n n0 ispunjene obje nejednakosti |xn x| < i |yn y| < , pa iz nejednakosti trougla slijedi za n n0 |axn +byn (ax+by)| = |axn ax+byn by| |a||xn x|+|b||yn y| (|a|+|b|) . Kako je |a|+|b| ksan realan broj, a proizvoljan malen broj, to je i (|a|+|b|) proizvoljno malen broj pa vrijedin+

lim (axn + byn ) = ax + by .

c Tvrdenje (b) u 2. je direktna posljedica tvrdjenja 2.(a) i 1. uzimajui yn = c i stavljajui da je a = b = 1. c 9

1.2. Osobine konvergentnih nizova Dokaimo tvrdjenje (c). Neka je lim xn = x i lim yn = y. Neka je > 0 zn+ n+

proizvoljan. Primjenom nejednakosti trougla imamo |xn yn xy| = |xn yn xyn + xyn xy| |yn ||xn x| + |x||yn y| . (1.2) Na osnovu Teorema 1.2.2, postoji realan broj M 0, takav da je |yn | M za sve n N. Sada kao i u dokazu tvrdenja (a), postoji n0 N takav da je za n n0 , |xn x| < i |yn y| < , pa iz (1.2) imamo |xn yn xy| (M + |x|) ime je tvrdenje dokazano. c Dokimo i tvrdnju (d). Neka je lim xn = x i lim yn = y, gdje je y = 0. zn+ n+

Ponovo primjenom nejednakosti trougla imamo |xn y xy| + |xy yn x| xn y yn x xn x = yn y yn y |yn ||y| = |y||xn x| + |x||yn y| . |yn ||y| (1.3)

Za proizvoljno > 0 postoji n0 , takvo da je |xn x| < i |yn y| < im je c n n0 . Prema tome, brojilac posljednjeg razlomka je manji od (|x| + |y|). Kako je y = 0, postoji neko > 0 takvo da interval (, ) nema zajednikih c |y| taaka sa intervalom (y, y+) ( npr. uzeti = 2 ). U intervalu (y, y+) c nalaze se svi lanovi niza (yn ) poevi od nekog indeksa n1 , pa je |yn | za c c s n n1 , pa je imenilac u posljednjem razlomku u (1.3) vei od |y|. c Dakle, ako je n max{n0 , n1 } onda je xn x |x| + |y| , yn y |y| pri emu ne zavisi od . Time je dokaz zavren. c sn+ Koristei pravilo 2.(a) i ranije pokazani limes niza ( n a) imamo da je c

Primjer 1.5. Izraunati: lim c

3 2n + 2 3n .1

1

1

n+

lim

3 2n + 2 3n

1

= 31+21 =5 .

10

1.2. Osobine konvergentnih nizova 1 +6 . n 1 +6 n =0+6=6 .

Primjer 1.6. Izraunati: lim c Koristei pravilo 2.(b) imamo cn+

n+

lim

Medu konvergentnim nizovima, posebnu ulogu imaju nizovi koji konvergiraju ka nuli. Denicija 1.2.3. Niz (xn ) za koga vai lim xn = 0, nazivamo nula-niz. zn+

Zapravo, ispitivanje proizvoljnog konvergentnog niza se moe svesti na ispiz tivanje nula-niza, naime vai z Teorem 1.2.4. Niz (xn ) konvergira ka a R ako i samo ako niz (xn a) konvergira ka 0. Dokaz : Neka je lim xn = a. Na osnovu Teorema 1.2.3 2.(b) jen+ n+ n+

lim (xn a) = lim xn a = 0 .n+

Obratno, ako je lim (xn a) = 0, tada jen+

lim xn = lim (xn a + a) = lim (xn a) + a = a .n+ n+

Teorem 1.2.5. Zbir, razlika i proizvod dva nula-niza je ponovo nula-niz. Dokaz ove jednostavne injenice ostavljen je itaocu za vjebu, ali primjec c z timo da kod proizvoda dva niza uslove moemo oslabiti. z Teorem 1.2.6. Neka je (xn ) proizvoljan nula-niz i neka je (yn ) proizvoljan ogranien niz ( ne obavezno konvergentan ). Tada je niz (zn ), gdje je zn = c xn yn (n N), nula-niz. Dokaz : Kako je niz (yn ) ogranien, to postoji realan broj M > 0 takav da c je za svako n N, |yn | M. Iz konvergencije niza (xn ) ka nuli slijedi da za svako > 0 postoji n0 N, tako da je za sve n n0 zadovoljeno |xn | < . Na osnovu svega ovoga zakljuujemo da e za n n0 vrijediti c c |zn | = |xn yn | = |xn ||yn | < M , a to znai da niz (zn ) konvergira ka nuli. s c 11

1.2. Osobine konvergentnih nizova cos n . n+ n cos n 1 1 Oznaimo sa zn = c = cos n. Kako je niz xn = n nula-niz, a niz n n yn = cos n je ogranien ( cos x 1 ), to je na osnovu gornje teoreme niz (zn ) c nula-niz, tj. cos n =0. lim n+ n Sljedeim teoremama uspostavlja se veza izmedu limesa i relacije poretka. c Teorem 1.2.7. Neka je (xn ) proizvoljan niz. 1. Ako je lim xn = x > p (< p), tada je xn > p (< p) za skoro svakon+

Primjer 1.7. Izraunati: lim c

n N. 2. Ako je niz (xn ) konveregentan i ako je xn > p (< p), za skoro svako n N, onda je lim xn p ( p).n+

Dokaz : 1. Neka je lim xn = a i neka je a > p. Stavimo li da je =n+ ap , 2

svi

brojevi koji pripadaju intervalu (a , a + ) su vei od p, ali skoro svi c lanovi niza (xn ) su u toj -okolini i time je tvrdenje dokazano. Sluaj c c kada je a < p dokazuje se analogno. 2. Neka je lim xn = a i neka je xn > p za skoro svako n. Ako bi bilon+

a < p, to bi na osnovu dokazanog pod 1) znailo da je xn < p za skoro c svako n, to je oigledna kontradikcija. Dakle mora biti a p. s c Prethodni teorem najee emo koristiti za sluaj p = 0. Naime, ako je c sc c c lim xn pozitivan ( negativan ) broj, tada su skoro svi lanovi niza pozitivni c ( negativni ). Ako su skoro svi lanovi niza pozitivni ( negativni ), tada je c granina vrijednost niza nenegativna ( nepozitivna ). c1 1 Primjer 1.8. Posmatrajmo niz ( n ). Svi lanovi niza su pozitivni, tj. n > 0, c 1 = 0. ali lim n+ n Ovim se potvrduje slijedee, ako je xn > p za skoro svako n onda je lim xn c n+

n+

p, tj. prelaskom na granini proces znak stroge nejednakosti se slabi na c znak . 12

1.3. Beskonane granine vrijednosti c c Kao posljedicu gornje teoreme imamo Posljedica 1.2.8. Ako svi lanovi niza (xn ) pripadaju segmentu [a, b], tada c i lim xn [a, b].n+

1.3

Beskonane granine vrijednosti c cn+

Denicija 1.3.1. Kaemo da niz (xn ) divergira ka plus beskonanosti, to z c s oznaavamo sa lim xn = +, ako vrijedi c (K > 0)(n0 N)(n n0 )xn > K . Kaemo da niz (xn ) divergira ka minus beskonanosti, to oznaavamo sa z c s c lim xn = , ako vrijedi (K > 0)(n0 N)(n n0 )xn < K . U oba sluaja kaemo da niz odredeno divergira. c z

n+

K K 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Slika 1.8: Odredeno divergentni nizovi. Denicija 1.3.1 postaje analogna Deniciji 1.1.2 ako se uvede pojam okoline beskonanosti. Pod okolinom od + podrazumijevamo proizvoljan interval c (K, +) i analogno pod okolinom od podrazumijevamo proizvoljan interval (, K), za neko K R+ . Na osnovu ovoga moemo rei da niz odredjeno divergira ka + ako su skoro z c svi lanovi niza u proizvoljnoj okolini od +. c Sada moemo izvriti selekciju svih nizova u odnosu na konvergenciju. Svaki z s realni niz spada u jednu od klasa: Niz je konvergentan ( granina vrijednost mu je neki realan broj ). c 13

1.3. Beskonane granine vrijednosti c c Niz je odredeno divergentan (granina vrijednost mu je ili + ili ). c Niz je neodredeno divergentan ( nema ni konanu ni beskonanu graninu c c c vrijednost ). Primjer 1.9. Posmatrajmo geometrijski niz xn = q n (n N). Za koje q R je dati niz konvergentan? Ako je q = 1 tada je na niz konstantan ( xn = 1 za sve n N ), pa mu je i s granina vrijednost jednaka 1. Dakle, niz je u ovom sluaju konvergentan. c c n Za q = 1 dobijamo niz sa optim lanom xn = (1) , za koga je ve ranije s c c pokazano da nema graninu vrijednost, tj. niz je neodredeno divergentan. c Neka je |q| < 1. Sada, da bi za proizvoljno > 0 bilo |q n 0| < , mora biti |q|n < n log |q| < log n > log log |q|

( u posljednjo ekvivalenciji je dolo do obrtanja znaka nejednakosti jer je s log log log |q| < 0 ). Dakle, za proizvoljan > 0, ako vai n > log |q| (y0 = log |q| ), z onda je |q n | < , pa je lim q n = 0. Niz je konvergentan.n+ n+

Ako je q > 1, im je n > log K , onda je q n > K, za proizvoljno K, pa je c log q n lim q = +, tj. niz je odredeno divergentan.

Za q < 1, lanovi niza sa parnim stepenom su pozitivni, a sa neparnim c stepenom su negativni. Ali svi lanovi po apsolutnoj vrijednosti rastu u c beskonanost. Dakle niz je neodredeno divergentan. c Sljedei teorem je na odreden nain proirenje Teorema 1.2.3. c c s Teorem 1.3.1. Neka je lim xn = x R i neka je lim yn = +. Tadan+ n+

vrijedi: 1. 2. 3.

n+

lim (xn + yn ) = +. lim (xn yn ) = sgnx (x = 0). lim

n+

xn = 0. n+ ynn+

4. Ako je lim xn = 0 i ako su skoro svi lanovi niza (xn ) pozitivni, tada c je lim 1 = +. n+ xn

14

1.4. Monotoni nizovi U Teoremi 1.2.3 smo govorili o konvergentnim nizovima. Gornji teorem je proirenje u tom smislu to moemo direktno raunati limese kombinacije s s z c dva niza i ako je jedan od nizova divergentan. Postoje kombinacije dva niza kada se rezultat ne moe direktno odrediti kao u sluajevima opisanim u z c ovim teoremama. Tada kaemo da je granina vrijednost neodredena ili da z c je neodredenog tipa. To medutim ni u kom sluaju ne znai da granina c c c vrijednost ne postoji, ve samo da se ne moe unaprijed odrediti primjenom c z pravila datih u ovim teoremama. n2 + 3n 2 imamo neodredenost 2n2 + 5n + 4 tipa jer i brojilac i imenilac divergiraju ka +, kada n tei u beskonanost. z c Dijeljenjem i brojioca i imenioca sa n2 vrijednost razlomka se nee promjeniti, c pa je 2 3 1 + n n2 xn = 4 . 5 2+ n + n Primjer 1.10. Za niz sa optim lanom xn = s c Primjenom pravila Teorema 1.2.3 dobijamo da jen+

lim xn =

1 . 2

Postoji sedam tipova neodredenosti i oni su: 0 , , 0 , , 1 , 0 , 00 . 0

1.4

Monotoni nizovi

Denicija 1.4.1. Za niz (xn ) kaemo da je z strogo monotono rastui ako vrijedi (n N) xn+1 > xn . c monotono rastui (neopadajui) ako vrijedi (n N) xn+1 xn . c c strogo monotono opadajui ako vrijedi (n N) xn+1 < xn . c monotono opadajui (nerastui) ako vrijedi (n N) xn+1 xn . c c Za niz koji posjeduje bilo koju od navedenih osobina kaemo da je monoton z niz.

15

1.4. Monotoni nizovi Najee tehnike ispitivanja monotonosti su posmatranje kolinika ili razlike c sc c dva uzastopna lana niza. Tako naprimjer, ako je n N proizvoljan, imamo c c > 0 niz je strogo monotono rastui 0 niz je neopadajui c xn+1 xn . c < 0 niz je strogo monotono opadajui 0 niz je nerastui c xn+1 xn >1 1 1). a Kako je za dovoljno veliko n N, n a > n + 1, to je xn+1 n+1 = 0, pa je dati niz ogranien odozdo. Prema gornjoj teoremi je dati niz konvergentan, tj. lim xn = x0 . Pustimon+

li u izrazu xn+1 =

x0 da n tei u beskonanost imali bi da vrijedi x0 = z c , a zbog a > 1 ovo je a mogue samo ako je x0 = 0, pa je c n =0 , a>1. n+ an lim Primjer 1.14. Pokaimo da je niz xn = 1 + z Jednostavnim raunom se ima c n+2 xn+1 = xn n+1 11 n n

n+1 n+1 = xn n+1 a na

rastui i ogranien odozgo. c cn

1 (n + 1)2

.

Na osnovu Bernoullijeve nejednakosti je 1 pa imamo xn+1 n+2 > xn n+1 1 n (n + 1)2 = n3 + 3n2 + 3n + 2 >1. n3 + 3n2 + 3n + 1 1 (n + 1)2n

>1

n , n2, (n + 1)2

Dakle niz je strogo monotono rastui. c 1 n+1 , oigledna je nejednakost xn c Ako sada posmatramo i niz yn = 1 + n yn za proizvoljno n N. Pokazati da je niz (yn ) strogo monotono opadajui, c ostavljeno je itaocu za vjebu. Iz ovoga onda zakljuujemo da je bilo koji c z c lan niza (yn ) gornje ogranienje niza (xn ), pa moemo rei da je xn y1 = 4 c c z c za proizvoljno n N. Iz monotonosti i ogranienosti niza (xn ) zakljuujemo njegovu konvergenciju. c c 17

1.5. Alati za izraunavanje limesa c Graninoj vrijednosti ovog niza dajemo posebno ime ( prema Euleru ), a c istiemo i njegovu vanost za raunanje mnogih drugih limesa. c z c Denicija 1.4.2. e = lim 1 1+ nn

n+

.

Broj e nazivamo Eulerovim brojem i on je jedna od najvanijih matematikih z c konstanti. Prvih nekoliko decimala tog broja su e = 2, 718281828...

1.5

Alati za izraunavanje limesa c

Sada emo dati dvije veoma korisne teoreme za izraunavanje limesa. U c c pravim rukama one su zaista moan alat. c Teorem 1.5.1. ( Teorem o lopovu i dva policajca ) Neka su (xn ) i (yn ) nizovi za koje vrijedi 1.n+

lim xn = lim yn = A.n+

2. Za skoro svako n N je xn zn yn . Tada i niz (zn ) ima graninu vrijednost i vai lim zn = A. c zn+

Tada za ksno > 0, postoji n1 N, takav da za sve n n1 , xn pripada -okolini take A. Takodje postoji n2 N takav da se svi lanovi niza (yn ) c c poev od yn2 pa na dalje, nalaze u istoj -okolini ( jer oba niza konvergiraju c ka istoj taki ). Ako sada izaberemo da je n = max{n1 , n2 }, onda su lanovi c c oba niza za n n u okolini (A , A + ). Kako je za skoro sve n zadovoljeno xn zn yn , to postoji n N, tako da je za sve n n zadovoljeno xn zn yn . Ako sada stavimo da je n0 = max{n , n }, onda je za sve n n0 zadovoljeno A < xn zn yn < A + , ali ovo za niz (zn ) znai da su mu skoro svi lanovi u okolini (A , A + ), c c odnosno to znai lim zn = A. cn+

Dokaz : Neka je lim xn = lim yn = A. Pretpostavimo prvo da je A R.n+ n+

18

1.5. Alati za izraunavanje limesa c Ako je A = +, potrebna nam je samo nejednakost xn zn . Zaista, zbog lim xn = +, za svako K, postoji n1 , takav da je za n n1 , xn > K. Akon+

n+

analogno i ostavljen je itaocu za vjebu. c z

je xn zn za n n2 , onda je za n > max{n1 , n2 } zadovoljeno zn xn > K, a odavde slijedi da je lim zn = +. Sluaj kada je A = dokazuje se c

ln(1 + n) . 1 + n2 Matematikom indukcijom se pokazuje da vrijedi ln(1 + n) < n ( ta vie, c s s vrijedi log(1 + x) < x za proizvoljan x > 0 ). Koristei to imamo, c Primjer 1.15. Ispitati konvergenciju niza zn = 0 n n 1 ln(1 + n) 2 = . 2 2 1+n 1+n n n

1 Ako oznaimo sa xn = 0, yn = n , onda su uslovi gornje teoreme zadovoljeni, c pa zakljuujemo da je c

n+

lim xn = lim yn = 0 = lim zn .n+ n+

Primjer 1.16. Izraunati: lim c Kako vai zn+

n

2 n + 3n .

3 n 2 n + 3n 2 3 n , tada je n 2 n + 3n 3 2 . c z Ako oznaimo sa xn = 3 i sa yn = 3 n 2, tada oigledno vai c 3 nn+

lim xn = lim yn = 3 ,n+

pa na osnovu teoreme o lopovu i dva policajca vrijedi lim zn = lim n 2n + 3n = 3 .n+ n+

Druga od teorema je Teorem 1.5.2. ( Stolzova teorema ) Neka su dati nizovi (xn ) i (yn ) i neka su zadovoljeni uslovi: 19

1.6. Podnizovi 1. lim yn = +.

n+

2. Niz (yn ) je monotono rastui, tj. yn+1 yn za skoro svako n. c 3. Postoji konana ili beskonana granina vrijednost lim c c c Tada postoji i lim xn i vai jednakost z yn xn xn+1 xn = lim n+ yn n+ yn+1 yn lim Primjer 1.17. Izraunati: lim c toga je 3n+1 n

xn+1 xn . n+ yn+1 yn

n+

n . n+ 3n Oznaimo sa xn = n i sa yn = 3n . Jasno je da vrijedi lim 3n = +. osim cn+

> 3 , tj. niz (yn ) je monotono rastui. Kako je c

n+1n 1 xn+1 xn = lim n+1 = lim =0, n n+ 3 n+ 2 3n n+ yn+1 yn 3 lim dakle zadovoljeni su uslovi Stolcove teoreme pa vrijedi n =0. n+ 3n lim

1.6

Podnizovi

Ako iz niza (xn ) izdvojimo beskonano mnogo lanova u istom redoslijedu c c u kome se pojavljuju u datom nizu, dobijeni niz se naziva podnizom niza (xn ). Naprimjer, ako u nizu (xn ) posmatramo samo njegove parne lanove, c dobijamo podniz (x2k ) ili ako posmatramo svaki sedmi lan imamo podniz c (x7k ). Formalna denicija podniza je Denicija 1.6.1. Neka je dat niz (xn ) i neka je n1 , n2 , ..., nk , ... strogo monotono rastui niz prirodnih brojeva. Tada kaemo da je (xnk ) podniz niza (xn ). c z Podniz (xnk ) moe se posmatrati kao niz sa indeksima k = 1, 2, ... pa sve z to je do sada reeno za nizove vai i za podnizove. Neposredno iz denicije s c z podniza slijedi Teorem 1.6.1. Ako niz (xn ) ima graninu vrijednost x0 , tada i bilo koji c podniz (xnk ) datog niza ima graninu vrijednost x0 . c 20

1.6. Podnizovi Obrat u gornjem tvrdenju ne vrijedi, tj. ako neki podniz (xnk ) niza (xn ) ima graninu vrijednost, sam niz ne mora imati graninu vrijednost. Jednostavan c c primjer za to je niz xn = (1)n . Njegovi podnizovi (x2k ) i (x2k+1 ) su konstantni nizovi i kao takvi konvergentni dok sam niz, kao to je to pokazano s ranije, nije konvergentan. U ovom dijelu emo se upravo baviti odnosom izmedu konvergencije niza i c konvergencije njegovih podnizova. Denicija 1.6.2. Za taku a R kaemo da je taka nagomilavanja niza c z c (xn ) ako postoji podniz (xnk ) datog niza koji konvergira ka taki a. c Taku nagomilavanja moemo denisati i na sljedei nain. c z c c Denicija 1.6.3. Taka a R je taka nagomilavanja niza (xn ) ako vrijedi c c ( > 0)(n N)(m > n) |xm a| < . c Iz ove druge denicije vidimo i razliku izmedu pojma limesa i pojma take nagomilavanja. Naime, limes niza ima osobinu da se u svakoj njegovoj okolini nalaze skoro svi lanovi niza ( van te okoline nalazi se samo konano mnogo c c lanova niza ), dok se u proizvoljnoj okolini take nagomilavanja niza nalazi c c samo beskonano mnogo lanova niza ( pa ih i van te okoline moe biti c c z beskonano mnogo ). Naravno, limes niza, ako postoji, uvijek je njegova c taka nagomilavanja ( i to jedina ), dok obrat ne mora da vai. c z Napomenimo ovde jo jednu vanu razliku izmedu pojma take nagomilas z c vanja niza (xn ) i take nagomilavanja skupa vrijednosti niza {xn | n N}. c Naprimjer, kao to smo to vidjeli ve, niz xn = (1)n ima dvije take s c c nagomilavanja x = 1 i x = 1, dok skup vrijednosti tog niza {1, 1} nema niti jednu taku nagomilavanja jer je on konaan skup. c c Sljedeim vanim teoremom utvrdujemo egzistenciju taaka nagomilavanja c z c proizvoljnog niza. Teorem 1.6.2. (Bolzano-Weierstrassov teorem) 1. Svaki ogranien niz realnih brojeva ima bar jednu taku nagomilavanja c c u skupu R. 2. Svaki niz realnih brojeva ima bar jednu taku nagomilavanja u R . c Dokaz : 1. Neka je niz (xn ) ogranien. To znai da postoje a, b R takvi da je c c a xn b, za sve n N. Ako dati niz ima samo konano mnogo razliitih elemenata, onda mora c c 21

1.6. Podnizovi postojati podniz iji su svi elementi medusobno jednaki ( konstantni c podniz ) i taj je konvergentan, tj. dati niz ima taku nagomilavanja. c Pretpostavimo sada da dati niz ima beskonano mnogo razliitih elc c emenata. Neka je c1 sredinja taka segmenta [a, b]. U bar jednom s c od dijelova [a, c1 ] ili [c1 , b] mora biti beskonano mnogo lanova niza c c ( u suprotnom niz bi imao konano mnogo razliitih elemeata ). Ako c c je to segment [a, c1 ], uvedimo oznake a = a1 , c1 = b1 , a ako je to segment [c1 , b], stavimo a1 = c1 i b1 = b. Ako oba segmenta sadre z beskonano mnogo lanova niza, onda je svejedno koju varijantu izc c aberemo. Ponovimo postupak sa novodobijenim segmentom [a1 , b1 ]; oznaimo sredinu segmenta sa c2 i onaj dio u kome se nalazi beskonano c c mnogo lanova niza oznaimo sa [a2 , b2 ]. Beskonanim ponavljanjem c c c ovakve konstrukcije dolazimo do niza segmenta [an , bn ] (n N), za koje nije teko utvrditi da ine familiju zatvorenih umetnutih segmes c nata, pa na osnovu Cantorovog aksioma, presjek ovih segmenata je neprazan, ta vie zbog bn an 0(n +), taj presjek je jdins s stvena taka c. c Neka je xn1 [a1 , b1 ] proizvoljan. Kako i [a2 , b2 ] sadri beskonano z c mnogo lanova naeg niza, mora postojati element xn2 [a2 , b2 ] sa inc s deksom n2 > n1 . Postupak dalje ponavljamo analogno: Ako je izabran xnk [ak , bk ], onda xnk+1 biramo iz [ak+1 , bk+1 ] tako da je nk+1 > nk . Na ovaj nain smo formirali podniz (xnk ) niza (xn ), za koga vai ak c z xnk bk . Kako je lim an = lim bn = c, to je na osnovu teoreme on+ n+

lopovu i dva policajca i lim xnk = c. Dakle, (xnk ) je konvergentank+

podniz pa (xn ) ima taku nagomilavanja. c 2. Sluaj kada je niz (xn ) ogranien pokazali smo u 1. c c Pretpostavimo zato da dati niz nije ogranien, npr. odozgo. Tada za c svaki prirodan broj k, postoji beskonano mnogo lanova niza koji su c c vei od k. Neka je xn1 proizvoljan lan niza koji je vei od 1. Od c c c elemenata koji su vei od 2 izaberimo jedan iji je indeks n2 > n1 . c c Uopte, ako smo odredili xnk1 , onda xnk biramo tako da je vei od k i s c da je nk > nk1 . Ovakvom konstrukcijom dobili smo podniz (xnk ) sa osobinom da je za proizvoljno k N, xnk > k, pa je samim tim lim xnk = +. Sluaj ck+

kada niz nije ogranien odozdo potpuno je analogan gornjem sluaju. c c

Ako sa T (xn ) oznaimo skup svih taaka nagomilavanja niza (xn ), onda na c c osnovu Bolzano-Weierstrassove teoreme zakljuujemo da je on neprazan u c 22

1.6. Podnizovi R . Koja je gornja granica broja elemenata ovog skupa nee nas zanimati, c iako treba rei da se mogu konstruisati nizovi koji imaju proizvoljno mnogo c taaka nagomilavanja, ta vie, postoje nizovi za koje je svaka taka iz R, c s s c njihova taka nagomilavanja. c Lema 1.6.3. Neka je (xn ) proizvoljan niz i T (xn ) skup njegovih taaka c nagomilavanja. Ako je x0 taka nagomilavanja skupa T (xn ), onda je x0 c T (xn ). Teorem 1.6.4. Za proizvoljan niz (xn ), skup T (xn ) ima maksimum i minimum u R . Dokaz : Na osnovu Teorema 1.6.2 skup T (xn ) nije prazan, pa na osnovu aksioma potpunosti ima supremum i inmum. Ako je T (xn ) konaan ( tj. c ima konano mnogo elemenata ) tvrdenje je trivijalno. Pretpostavimo zato c da je to beskonaan skup. Ako a = sup T (xn ) nije maksimum skupa ( tj. c a T (xn ) ), onda na osnovu karakterizacije supremuma, taka a bi bila taka / c c nagomilavanja skupa T (xn ), ali onda bi na osnovu Leme 1.6.3 a T (xn ), to s je oigledno kontradikcija. Dakle, supremum skupa T (xn ) pripada tom skupu c pa je on maksimum skupa. Analogno se izvodi dokaz za inmum. Denicija 1.6.4. Najvea taka nagomilavanja niza (xn ) zove se gornji c c limes ili limes superior niza i oznaava se sa c lim sup xn ili limn+ xn . Najmanja taka nagomilavanja niza (xn ) zove se donji limes ili limes inferior c i oznaava se sa c lim inf xn ili limn+ xn . Sljedei teorem nam daje jednu karakterizaciju novouvedenih pojmova. c Teorem 1.6.5. Neka je (xn ) proizvoljan realan niz i neka je lim sup xn = x. Tada vai: z 1. ( > 0)( n0 N)(n n0 ) xn < x + , ili rijeima reeno; za svako > 0 su skoro svi lanovi niza (xn ) manji c c c od x + . 2. ( > 0)(n N)(m > n) xm > x , ili za svako > 0 postoji beskonano mnogo lanova niza (xn ) koji su c c vei od x . c 23

1.6. Podnizovi 3. Ako taka x zadovoljava uslove 1. i 2. tada je x = lim sup xn . c Dokaz : 1. Ako ova tvrdnja ne bi bila tana, to bi znailo da niz (xn ) ima beskonano c c c mnogo lanova u intervalu [x + , +). Ako te lanove shvatimo kao c c podniz naeg niza, onda bi taj podniz imao taku nagomilavanja koja s c takodje pripada tom intervalu, a to bi bila kontradikcija sa maksis malnou limesa superior. sc 2. Za dokaz ove tvrdnje dovoljno je primjetiti da je skup (x , +) okolina take x i primjeniti Deniciju 1.6.3. c 3. Pretpostavimo da postoje dva razliita broja x i x koji zadovoljavaju c 1. i 2. ( neka je recimo x < x ). Uzmimo proizvoljno x (x, x ). Kako x zadovoljava 1., to je xn < x za sve n > n0 . Ali tada u okolini (x, +) ima samo konano mnogo lanova niza, pa x ne zadovoljava uslov 2. c c Dakle, ne mogu postojati dvije take koje zadovoljavaju oba uslova. c

Primjer 1.18. Posmatrajmo niz xn = (1)n . T (xn ) = {1, 1} pa je lim sup xn = 1, a lim inf xn = 1. Primjetimo da je skup vrijednosti niza {xn | n N} = {1, 1} i da on kao konaan skup nema taaka nagomilavanja. c c (1)n . n 1 1 s Skup vrijednosti niza je 1, 2 , 1 , 4 , ... . Nije teko vidjeti da je supre3 1 mum ovog skupa jednak 2 i da je inmum skupa 1. Medutim, kako je ovo konvergentan niz, lim xn = 0, to je T (xn ) = {0}, pa vai z Primjer 1.19. Posmatrajmo niz xn =n+

lim sup xn = lim inf xn = 0 . Primjer 1.20. Posmatrajmo niz xn = n(1) . Podniz (x2k ) naeg niza je niz iji je opti lan x2k = 2k i on tei ka + s c s c z 1 kada k tei u beskonanost. S druge strane podniz x2k+1 = 2k+1 0 kada z c k +, pa je dakle T (xn ) = {0, +}, odakle zakljuujemo da vai c z limn+ xn = + , limn+ xn = 0 . 24n

1.6. Podnizovi Konstatujmo najzad da iz navedenih tvrdenja neposredno slijedi sljedea c tvrdnja. Teorem 1.6.6. Neka je (xn ) proizvoljan realan niz. 1. Niz (xn ) ima graninu vrijednost ako i samo ako je c limn+ xn = limn+ xn , tj. ako i samo ako niz ima samo jednu taku nagomilavanja. c 2. Niz (xn ) konvergira ( tj. ima konanu graninu vrijednost ) ako i samo c c c ako je limn+ xn = limn+ xn konaan broj, tj. ako i samo ako ima samo jednu taku nagomilavanja i ta je konaan broj. c c

25

Poglavlje 2 Numeriki redovi c2.1 Denicija i osobine numerikog reda c

Neka je dat niz realnih brojeva a1 , a2 , ..., an , ... Izraz an = a1 + a2 + + an + , (2.1)

n=1

naziva se beskonanim redom s optim lanom an , ili realnim numerikim c s c c redom. Najee emo jednostavno govoriti numeriki red ili samo red. c sc c c Zbirovi s1 = a1 s2 = a1 + a2 ................ sn = a1 + a2 + + an .......................... nazivaju se parcijalnim sumama reda (2.1), tj. za izrazn

sn =k=1

ak , n N

kaemo da je n-ta parcijalna suma reda (2.1). z Denicija 2.1.1. Ako postoji konaan limes lim sn = s, niza (sn ) parcicn+

jalnih suma reda (2.1), onda kaemo da je red konvergentan i da mu je suma z jednaka s. Tada piemo s

s=n=1

an . 26

2.1. Denicija i osobine numerikog reda c Za red koji ne konvergira ( bilo da je lim sn = , bilo da taj limes nen+

postoji ) kaemo da je divergentan. z

Primjer 2.1. Posmatrajmo redn=1

q n gdje je q = 0.

Dati red se naziva geometrijskim redom. Njegova n-ta parcijalna suma jen

sn =k=0

=

1 q n+1 , 1q

ako je q = 1. Odavde se lahko vidi da vrijedin+

lim sn =

1 , |q| < 1 . 1q

Ako je |q| 1, dati red divergira. Specijalno, ako je q = 1 imamo red ija je n-ta parcijalna suma c sn = 1 1 + 1 1 + ... 1 =n+

1 , n paran broj 0 , n neparan broj

pa u ovom sluaju lim sn ne postoji, tj. red je divergentan. c

Primjer 2.2. Posmatrajmo redn=1

ln 1 +

1 . n

Opti lan datog reda moemo zapisati sa s c z ln 1 + 1 n = ln (n + 1) ln n ,

te je n-ta parcijalna suma jednakan

sn =k=1

(ln (n + 1) ln n) = ln (n + 1) ln 1 = ln (n + 1) .

Odavde sada imamo da jen+

lim sn = + ,

pa je dati red divergentan.

27

2.1. Denicija i osobine numerikog reda c Uporedo sa redom (2.1) posmatrajmo i red

an+1 + an+2 + + an+k + =

an+k =k=1 k=n+1

ak ,

(2.2)

koga nazivamo n-ti ostatak reda (2.1) i oznaavamo ga sa rn . Veza konverc gencije reda (2.1) i konvergencije reda (2.2) data je u sljedeoj teoremi. c Teorem 2.1.1. 1. Red (2.1) konvergira ako i samo ako konvergira red (2.2). 2. Red (2.1) konvergira ako i samo ako njegov ostatak rn tei nuli kada z n +. Dokaz : 1. Oznaimo sa sn n-tu parcijalnu sumu reda (2.1) i sa sk k-tu parcijalnu c sumu reda (2.2). Oigledno tada vrijedi jednakost c sk = sn+k sn . reda (2.1) slijedi konvergencija reda (2.2). Iz lim sk = s imali bi da je lim sn+k = s + sn , pa vai i obrat. zk+ k+

Ako je lim sn+k = s, onda je lim sk = s sn , tj. iz konvergencijek+ k+

2. Red (2.1) moemo zapisati kao z

ak = sn + rn .k=1

Ako taj red konvergira i ima sumu s, onda je rn = s sn , odakle jen+

lim rn = lim (s sn ) = 0 .n+

Obratno, ako ostatak rn tei ka nuli kada n +, iz prvog dijela z teoreme slijedi da red (2.1) konvergira. Iz ovoga tvrdenja lahko se vidi da odbacivanje konanog broja lanova nekog c c reda hoe uticati eventualno na sumu tog reda u smislu promjene vrijednosti, c ali nee uticati na njegovu konvergenciju. c Sada emo dati nekoliko optih kriterijuma konvergencije numerikih redova. c s c 28

2.1. Denicija i osobine numerikog reda c Teorem 2.1.2. (Cauchyjev kriterijum konvergencije) Red (2.1) konvergira ako i samo ako vrijedi ( > 0)(n0 N)(n, p N)(n > n0 |an+1 + an+2 + + an+p | < ) .

Teorem 2.1.3. Neka su dati redovin=1

xn in=1

yn . Tada vrijedi:

1. Ako red tome vrijedin=1

xn konvergira, tada konvergira i redn=1

axn (a R) i pri

axn = an=1 n=1

xn .

2. Ako oba reda konvergiraju, tada konvergira i red vrijedi:n=1

(xn + yn ) i pri tome

(xn + yn ) =n=1 n=1

xn +n=1

yn .

Dokaz : 1. Oznaimo sa sn = x1 + x2 + + xn , a sa Sn = ax1 + ax2 + + axn . c Iz egzistencije granine vrijednosti lim sn slijedi cn+ n+

lim Sn = lim asn = a lim sn = as .n+ n+

2. Neka je sn = x1 + x2 + + xn i sn = y1 + y2 + + yn . Neka jen+

lim sn = s i

n+

lim sn = s .

Ako sa Sn oznaimo n-tu parcijalnu sumu reda cn=1

(xn + yn ), imamo

n+

lim Sn = =

n+

lim ((x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + + (xn + yn )) lim ((x1 + xn ) + (y1 + yn )) = lim sn + lim snn+ n+

n+

= s +s .

29

2.1. Denicija i osobine numerikog reda c Sljedeom tvrdnjom dajemo neophodan uslov konvergencije numerikog reda. c c

Teorem 2.1.4. Ako redn=1

xn konvergira, onda vrijedi lim xn = 0.n+

Dokaz : Iz jednakosti sn sn1 = xn (n > 1), direktno slijedin+

lim xn = lim (sn sn1 ) = lim sn lim sn1 = 0 .n+ n+ n+

Da navedeni neophodan uslov konvergencije reda nije i dovoljan, pokazat emo primjerom. c Primjer 2.3. Posmatrajmo harmonijski red Opti lan ovog reda je xn = s c1 n

1 . n n=1 i oigledno je lim xn = 0. cn+

Primjetimo kao prvo da za svaki prirodan broj n vrijedi 1 1 1 1 1 + ++ >n = . n+1 n+2 2n 2n 2 Grupiemo li lanove naeg reda na slijedei nain s c s c c 1+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + k1 + + + + + ++ k 2 3 4 5 6 7 8 2 +1 2 + , (2.3)

koristei (2.3), svaki od sabiraka u zagradi je vei od 1 , pa je suma takvih c c 2 brojeva beskonana tj. dati red je divergentan. c Spomenimo ovdje jedan vaan red: z

n=1

1 je konvergentan ako je > 1, a divergentan ako je 1 n

Teorem 2.1.4 esto koristimo za dokazivanje divergencije nekog reda i to c tako to ga koristimo kao kontrapoziciju, tj. vrijedi s

Posljedica 2.1.5. Ako je lim xn = 0, tada je redn+ n=1

xn divergentan.

30

2.2. Redovi sa pozitivnim lanovima c

Primjer 2.4. Ispitajmo konvergenciju reda Kako jen+ n=1

1 1 1+ n1 n n

n.

lim

1 1 1+ n

n

=

1 limn+ 1 +

=

1 =0, e

to po navedenoj posljedici polazni red nije konvergentan.

2.2

Redovi sa pozitivnim lanovima c

Ako su skoro svi lanovi reda (xn ) nenegativni, onda za red c xn = x1 + x2 + + xn +

n=1

kaemo da je red sa pozitivnim lanovima. Specinost ovih redova je u tome z c c to je niz (sn ) parcijalnih suma datog reda monotono rastui niz, pa je za s c konvergenciju tog niza, na osnovu Teorema 1.4.2, dovoljna jo i ogranienost s c tog niza.

Teorem 2.2.1. Redn=1

xn s pozitivnim lanovima je konvergentan ako i c

samo ako je niz njegovih parcijalnih suma ogranien. c 1 . n(n + 1) n=1 Ovo je red sa pozitivnim lanovima, pa je za njegovu konvergenciju dovoljno c utvrditi ogranienost niza parcijalnih suma. Posmatrajmo zato c Primjer 2.5. Posmatrajmo redn

sn =k=1

1 = k(k + 1)

n

k=1

1 1 k k+1

=1

1 . n+1

1 c c Kako je 1 n+1 < 1, zakljuujemo da je niz (sn ) ogranien, tj. polazni red je konvergentan. Sta vie, ovdje imamo da je s

s = lim sn = limn+

n+

1

1 n+1

=1.

31

2.2. Redovi sa pozitivnim lanovima c Stvarna potreba u radu sa redovima je utvrdivanje njihove konvergencije, ee nego odredivanje same sume tog reda. U tom cilju nam je od interesa c sc imati nekakve kriterije za utvrdivanje konvergencije. U narednim teoremama dat emo neke najee koritene kriterije. c c sc s Teorem 2.2.2. ( Kriterij uporedjivanja) Neka za opte lanove redova s c

xn (1) i vrijedi,n=1 n=1

yn (2) postoji n0 N takav da je za n n0 , xn yn . Tada

1. iz konvergencije reda (2) slijedi konvergencija reda (1), 2. iz divergencije reda (1) slijedi divergencija reda (2). Dokaz ove tvrdnje ostavljen je itaocu za vjebu. c z

Primjer 2.6. Ispitati konvergenciju reda Kako je xn = n=1

4n4

3n . + 2n2 + 1

4n4

3n 3n 3 1 4 = 3 3 = yn , 2 +1 + 2n 4n 4n n

1 konvergentan, to je i polazni red, na osnovu kriterija n3 n=1 uporedjivanja, konvergentan. a kako je red

Primjer 2.7. Ispitati konvergenciju reda Kako jen=1

n3n + 1 . 2n 3 2n

n3n n3n + 1 n xn = 2n 2n

= yn ,

3 je divergentan, to je i polazni red, na osnovu kriterija uporeda red 2 n=1 jivanja, divergentan. Teorem 2.2.3. ( DAlambertov kriterij )

1. Ako za redn=1

xn postoje n0 N i q R, takvi da je za n n0 xn+1 q 1 dati red je divergentan.

Primjer 2.8. Ispitati konvergenciju redan=1

n2 + n + 1 . 3n

xn+1 lim = lim n+ xn n+

(n+1)2 +(n+1)+1 3n+1 n2 +n+1 3n

= lim

1 n2 + 3n + 3 = 1 red divergira. I u DAlambertovom i u Cauchyjevom kriteriju primjeujemo da ako je l = 1 c kriteriji ne daju odluku o konvergenciji reda.

Primjer 2.9. Ispitati konvergenciju redan=1

2n2 + n + 1 n2 1

n

.

n+

lim

n

xn = lim

n

n+

2n2 + n + 1 n2 1

n

= lim

n+

2n2 + n + 1 n2 1

=2>1,

pa na osnovu Cauchyjevog korijenog kriterija zakljuujemo da je dati red c divergentan. 33

2.3. Redovi sa proizvoljnim lanovima c Teorem 2.2.5. ( Kummerov kriterij ) Neka je (cn ) niz pozitivnih realnih brojeva, takav da je red n=1

1 divergentan cn

i neka je dat redn=1

xn . Oznaimo sa Kn = cn xxn cn+1 , gdje je xn opti c s n+1

lan reda (n N). c 1. Ako postoji 0 i n0 N, takvi da je za n n0 , Kn , onda dati red konvergira. Ako postoji n0 N, takav da je za n n0 , Kn 0, onda dati red divergira. 2. Neka postoji lim Kn = l. Ako je l > 0 red konvergira, a ako je l < 0n+

rad divergira. Specijalno, ako u Kummerovom kriteriju izaberemo da je cn = n (n N), dobijamo kriterij koji se naziva Raabeov kriterij konvergencije i on glasi: Ako postoji n0 N takav da je za n n0 ispunjeno n

xn+1 1 xn

q>1,

onda je redn=1

xn konvergentan.

Ako postoji n0 N, takav da je za n n0 ispunjeno n xn+1 1 xn 1,

dati red je divergentan. xn+1 Ako postoji lim n 1 n+ xn l > 1, a divergentan za l < 1.

= l, onda je polazni red konvergentan za

2.3

Redovi sa proizvoljnim lanovima c

Neka je dat realan numeriki red c xn .n=1

(2.4)

34

2.3. Redovi sa proizvoljnim lanovima c Teorem 2.3.1. Ako je red

n=1

|xn |

(2.5)

konvergentan, konvergentan je i red (2.4). Dokaz : Dokaz slijedi na osnovu Cauchyjevog opteg kriterija konvergencije s redova i nejednakosti |xn+1 + xn+2 + + xn+p | |xn+1 | + |xn+2 | + + |xn+p | Denicija 2.3.1. Ako red (2.5) konvergira, kaemo da red (2.4) konvergira z apsolutno. Za red (2.4) kaemo da konvergira uslovno ako je on konvergentan, a pri z tome ne konvergira apsolutno. Od svih redova sa proizvoljnim lanovima mi emo se pozabaviti jednom c c specijalnom klasom, a to su redovi oblika

n=1

(1)n+1 cn = c1 c2 + c3 c4 + + (1)n+1 cn + ,

gdje su cn realni brojevi istog znaka ( pozitivni ili negativni ). Ovakve redove nazivamo alternativnim redovima. Teorem 2.3.2. ( Leibnitzov kriterij)

Neka je dat alternativni redn=1 n+

(1)n+1 xn . Ako je niz (xn ) monotono opadajui c

( xn+1 xn ) i ako je lim xn = 0, tada je red konvergentan. (1)n1 . Koristei notaciju c n n=1 1 u Leibnitzovom kriteriju, imamo da je niz zadat sa xn = , monotono n opadajui jer za proizvoljno n N vrijedi c Primjer 2.10. Posmatrajmo alternativni red xn+1 = 1 1 < = xn , n+1 n

i lim xn = 0. Sada na osnovu tog kriterija zakljuujemo da je dati red konc n vergentan. 35

2.3. Redovi sa proizvoljnim lanovima c Primjetimo da je ova konvergencija uslovna jer red sa apsolutnim vrijednos 1 je divergentan. tima, n n=1

36

Bibliograja[1] Fehim Dedagi : Matematika analiza (Prvi dio), Univerzitetska knjiga, c c Tuzla 2005. [2] D. Adnadjevi, Z. Kadelburg : Matematika analiza I, Nauka, Beograd c c 1995. [3] M. Merkle : Matematika analiza Teorija , Beograd 1996. c

37