II VEZBA

TEMA Presek dYe ravni

21 Zadatak Nacrtati presecnicu ravni a i ravni ~ u dye ortogona[ne projekcije 0 (6070) Osni lragovi zadatih ravni dati su u tabe[i 61

Tabe[a 6

v a - 0 a a v a B Bv B

I 60 40 40 15 -IS -30 2 5 -5 -10 70 45 30 3 10 00 -10 55 40 SO 4 70 40 30 IS 00 -to - -5 60 40 35 00 IS 00

6 00 -20 00 55 35 40 7 60 40 00 00 10 00

8 00 -10 -00 70 00 45 9 40 -SO -40 20 -IS -10 10 30 -30 -30 10 -5 -5 11 45 40 00 10 -10 -10 12 [5 -10 -10 60 00 40 13 70 30 40 15 00 -10 14 10 -10 00 65 35 25 IS 50 00 40 10 -5 00

16 15 00 -10 SO 40 00

17 15 -15 -10 00 20 00

18 00 -20 I-shy

00 10 -5 -10 19 45 55 40 60 20 30 20 10 -5 -5 30 -20 -30

16

Primer 21 Nacrtati presecmcu ravm dye ortogonalnc projekcije

0(503540) i raVl1l ~(-3020 10) tl

Resenje

z

x

j

Stika 5 Graficko resenje primera 21

Kako je presecna prava p zajednicka za obe ravni sL 5 njeni prodori Kro projekcijske ravni nalaze se u prescku odgovarajuCih tragova

17

TEMA Tacka i praltJ II ravni

22 Zadllak O~(6n200)

Obit Itaga 1lt1 Iill i ltX pro laze kroz koorclinatpj poectak Scm toga prvi trag ravni ltX prolazi kroz tack u A a drugi trag ~ kroz tack u B Odrediti Ilc[lOlllatll projckciju lacke C koja lezi u ravn i klllisteci pravll p koja prolazi kroz taeke A i C Pomocli jeclne od paralela odred iti nep07Oatu projekcijll taekc D koja leZ i 1I ravni a dobiJcno rcScnjc kontrolisat i drugom para1clom Koordinatc taeak A B C j D date Sll Ll tabeli 7

Tabela 7 V

x I 40 2 -40 3 40 4 60 1 i)0

r-Ci 30-shy

A B C D y z x y z x y z x y z

SO 60 30 70 10 90 30 -20 90 60 60 30 70 20

-60 ) 80 ) SO SO 40 30 7 40 40 7 40 ) 30 -10 7 -20 40 -20 7

90 ) 60 ) SO SO ) 20 10 -40 7

50 7 10 I 50 -30 -20 7 SO -20 7

7 -50 1-50 ) -20 ) -30 30 7 -20 50 ) -10 f--shy

~ 1() 60 ) 60 I ) 50 40 -10 7 -20 10 7 1--- --shy - -_-1-----shy -shy

) I 70 I (10 __i J ()O I (iO 40 10 ) 40 J -10 --shy - --shy C---__ 1---r---shy10 30 -50 ) 60 ) -20 40 If) ) 40 7 -30

f--shyI I 100 40 -40 ) -20 -40 -20 7 60 40 12 -30 -50 J -20 7 -30 40 7 SO 40 7 -10 U 40 50 90 7 60 20 7 60 70 20

14 -50 -30 7 -30 7 -50 30 7 40 -10 20 7

11 60 80 7 -60 J -30 10 -50 20 SO 7

16 20 -60 ) SO ) 30 80 30 7 -20 7 -10 17 60 40 90 7 60 30 7 -10 20 -30 )

18 50 30 7 20 7 -90 10 7 30 20 20 7

19 100 80 7 SO 7 60 -20 -60 7 30 7 -20 20 -30 -SO 7 -SO 7 -50 50 20 20 7 40

18

Primer 22

Rdenje

Oba traga ravm a prolaze kroz koordinatni pocetak Sem toga prvi trag ravni prolazi kroz tacku A( 40-50) a drugi trag kroz tacku B(30-40) Odrediti nepoznatu projekciju tacke C(20 -10) koja leti u datoj ravni koriste6i pravu p koja prolazi kroz tacke A i C Pomocu prve paraJele ravni odredili prvu projekClju lacke D( -20UO) koja Jeii u ravni a dobijeno [eSenje kontrolisati drugom paraelom

xY

9

Slika 6 Graficko resenje primera 22

Kroz tacke Ai C sl 6 povlaci se prava p koja leii u ravni Uslov da prava eti u ravni je da njeni prodori budu na odgovarajuCim tragovima ravm (PI i P2)

pecijalne prave u ravni horizontal a i frontala imaju svoje prodore (2 i 1) na fdgovarajucim tragovima i paralelne sa ai odnosno IXlt

19

TEMA Prodor prave kroz ravan

23 Zadalak 0(250 140)

Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8

u

i ra

datoj raVDl ~

~ date su u vni a i

Tabela 8

v a ~ A B C

ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z

I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10

-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80

20

Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)

Resenje

V

x V

_~155

ppy

Slika 7 Graflcko rdenje primera 23

Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI

Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21

21

III VEZBA

TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1

horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9

Tabela 9

3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40

5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()

r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40

Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i

I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40

22

Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni

ReSenje

z

x

y

Slika 8 Graficko resenje primera 31

Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )

Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt

obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

Primer 21 Nacrtati presecmcu ravm dye ortogonalnc projekcije

0(503540) i raVl1l ~(-3020 10) tl

Resenje

z

x

j

Stika 5 Graficko resenje primera 21

Kako je presecna prava p zajednicka za obe ravni sL 5 njeni prodori Kro projekcijske ravni nalaze se u prescku odgovarajuCih tragova

17

TEMA Tacka i praltJ II ravni

22 Zadllak O~(6n200)

Obit Itaga 1lt1 Iill i ltX pro laze kroz koorclinatpj poectak Scm toga prvi trag ravni ltX prolazi kroz tack u A a drugi trag ~ kroz tack u B Odrediti Ilc[lOlllatll projckciju lacke C koja lezi u ravn i klllisteci pravll p koja prolazi kroz taeke A i C Pomocli jeclne od paralela odred iti nep07Oatu projekcijll taekc D koja leZ i 1I ravni a dobiJcno rcScnjc kontrolisat i drugom para1clom Koordinatc taeak A B C j D date Sll Ll tabeli 7

Tabela 7 V

x I 40 2 -40 3 40 4 60 1 i)0

r-Ci 30-shy

A B C D y z x y z x y z x y z

SO 60 30 70 10 90 30 -20 90 60 60 30 70 20

-60 ) 80 ) SO SO 40 30 7 40 40 7 40 ) 30 -10 7 -20 40 -20 7

90 ) 60 ) SO SO ) 20 10 -40 7

50 7 10 I 50 -30 -20 7 SO -20 7

7 -50 1-50 ) -20 ) -30 30 7 -20 50 ) -10 f--shy

~ 1() 60 ) 60 I ) 50 40 -10 7 -20 10 7 1--- --shy - -_-1-----shy -shy

) I 70 I (10 __i J ()O I (iO 40 10 ) 40 J -10 --shy - --shy C---__ 1---r---shy10 30 -50 ) 60 ) -20 40 If) ) 40 7 -30

f--shyI I 100 40 -40 ) -20 -40 -20 7 60 40 12 -30 -50 J -20 7 -30 40 7 SO 40 7 -10 U 40 50 90 7 60 20 7 60 70 20

14 -50 -30 7 -30 7 -50 30 7 40 -10 20 7

11 60 80 7 -60 J -30 10 -50 20 SO 7

16 20 -60 ) SO ) 30 80 30 7 -20 7 -10 17 60 40 90 7 60 30 7 -10 20 -30 )

18 50 30 7 20 7 -90 10 7 30 20 20 7

19 100 80 7 SO 7 60 -20 -60 7 30 7 -20 20 -30 -SO 7 -SO 7 -50 50 20 20 7 40

18

Primer 22

Rdenje

Oba traga ravm a prolaze kroz koordinatni pocetak Sem toga prvi trag ravni prolazi kroz tacku A( 40-50) a drugi trag kroz tacku B(30-40) Odrediti nepoznatu projekciju tacke C(20 -10) koja leti u datoj ravni koriste6i pravu p koja prolazi kroz tacke A i C Pomocu prve paraJele ravni odredili prvu projekClju lacke D( -20UO) koja Jeii u ravni a dobijeno [eSenje kontrolisati drugom paraelom

xY

9

Slika 6 Graficko resenje primera 22

Kroz tacke Ai C sl 6 povlaci se prava p koja leii u ravni Uslov da prava eti u ravni je da njeni prodori budu na odgovarajuCim tragovima ravm (PI i P2)

pecijalne prave u ravni horizontal a i frontala imaju svoje prodore (2 i 1) na fdgovarajucim tragovima i paralelne sa ai odnosno IXlt

19

TEMA Prodor prave kroz ravan

23 Zadalak 0(250 140)

Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8

u

i ra

datoj raVDl ~

~ date su u vni a i

Tabela 8

v a ~ A B C

ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z

I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10

-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80

20

Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)

Resenje

V

x V

_~155

ppy

Slika 7 Graflcko rdenje primera 23

Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI

Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21

21

III VEZBA

TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1

horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9

Tabela 9

3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40

5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()

r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40

Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i

I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40

22

Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni

ReSenje

z

x

y

Slika 8 Graficko resenje primera 31

Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )

Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt

obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

TEMA Tacka i praltJ II ravni

22 Zadllak O~(6n200)

Obit Itaga 1lt1 Iill i ltX pro laze kroz koorclinatpj poectak Scm toga prvi trag ravni ltX prolazi kroz tack u A a drugi trag ~ kroz tack u B Odrediti Ilc[lOlllatll projckciju lacke C koja lezi u ravn i klllisteci pravll p koja prolazi kroz taeke A i C Pomocli jeclne od paralela odred iti nep07Oatu projekcijll taekc D koja leZ i 1I ravni a dobiJcno rcScnjc kontrolisat i drugom para1clom Koordinatc taeak A B C j D date Sll Ll tabeli 7

Tabela 7 V

x I 40 2 -40 3 40 4 60 1 i)0

r-Ci 30-shy

A B C D y z x y z x y z x y z

SO 60 30 70 10 90 30 -20 90 60 60 30 70 20

-60 ) 80 ) SO SO 40 30 7 40 40 7 40 ) 30 -10 7 -20 40 -20 7

90 ) 60 ) SO SO ) 20 10 -40 7

50 7 10 I 50 -30 -20 7 SO -20 7

7 -50 1-50 ) -20 ) -30 30 7 -20 50 ) -10 f--shy

~ 1() 60 ) 60 I ) 50 40 -10 7 -20 10 7 1--- --shy - -_-1-----shy -shy

) I 70 I (10 __i J ()O I (iO 40 10 ) 40 J -10 --shy - --shy C---__ 1---r---shy10 30 -50 ) 60 ) -20 40 If) ) 40 7 -30

f--shyI I 100 40 -40 ) -20 -40 -20 7 60 40 12 -30 -50 J -20 7 -30 40 7 SO 40 7 -10 U 40 50 90 7 60 20 7 60 70 20

14 -50 -30 7 -30 7 -50 30 7 40 -10 20 7

11 60 80 7 -60 J -30 10 -50 20 SO 7

16 20 -60 ) SO ) 30 80 30 7 -20 7 -10 17 60 40 90 7 60 30 7 -10 20 -30 )

18 50 30 7 20 7 -90 10 7 30 20 20 7

19 100 80 7 SO 7 60 -20 -60 7 30 7 -20 20 -30 -SO 7 -SO 7 -50 50 20 20 7 40

18

Primer 22

Rdenje

Oba traga ravm a prolaze kroz koordinatni pocetak Sem toga prvi trag ravni prolazi kroz tacku A( 40-50) a drugi trag kroz tacku B(30-40) Odrediti nepoznatu projekciju tacke C(20 -10) koja leti u datoj ravni koriste6i pravu p koja prolazi kroz tacke A i C Pomocu prve paraJele ravni odredili prvu projekClju lacke D( -20UO) koja Jeii u ravni a dobijeno [eSenje kontrolisati drugom paraelom

xY

9

Slika 6 Graficko resenje primera 22

Kroz tacke Ai C sl 6 povlaci se prava p koja leii u ravni Uslov da prava eti u ravni je da njeni prodori budu na odgovarajuCim tragovima ravm (PI i P2)

pecijalne prave u ravni horizontal a i frontala imaju svoje prodore (2 i 1) na fdgovarajucim tragovima i paralelne sa ai odnosno IXlt

19

TEMA Prodor prave kroz ravan

23 Zadalak 0(250 140)

Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8

u

i ra

datoj raVDl ~

~ date su u vni a i

Tabela 8

v a ~ A B C

ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z

I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10

-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80

20

Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)

Resenje

V

x V

_~155

ppy

Slika 7 Graflcko rdenje primera 23

Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI

Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21

21

III VEZBA

TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1

horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9

Tabela 9

3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40

5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()

r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40

Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i

I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40

22

Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni

ReSenje

z

x

y

Slika 8 Graficko resenje primera 31

Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )

Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt

obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

Primer 22

Rdenje

Oba traga ravm a prolaze kroz koordinatni pocetak Sem toga prvi trag ravni prolazi kroz tacku A( 40-50) a drugi trag kroz tacku B(30-40) Odrediti nepoznatu projekciju tacke C(20 -10) koja leti u datoj ravni koriste6i pravu p koja prolazi kroz tacke A i C Pomocu prve paraJele ravni odredili prvu projekClju lacke D( -20UO) koja Jeii u ravni a dobijeno [eSenje kontrolisati drugom paraelom

xY

9

Slika 6 Graficko resenje primera 22

Kroz tacke Ai C sl 6 povlaci se prava p koja leii u ravni Uslov da prava eti u ravni je da njeni prodori budu na odgovarajuCim tragovima ravm (PI i P2)

pecijalne prave u ravni horizontal a i frontala imaju svoje prodore (2 i 1) na fdgovarajucim tragovima i paralelne sa ai odnosno IXlt

19

TEMA Prodor prave kroz ravan

23 Zadalak 0(250 140)

Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8

u

i ra

datoj raVDl ~

~ date su u vni a i

Tabela 8

v a ~ A B C

ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z

I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10

-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80

20

Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)

Resenje

V

x V

_~155

ppy

Slika 7 Graflcko rdenje primera 23

Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI

Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21

21

III VEZBA

TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1

horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9

Tabela 9

3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40

5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()

r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40

Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i

I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40

22

Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni

ReSenje

z

x

y

Slika 8 Graficko resenje primera 31

Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )

Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt

obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

TEMA Prodor prave kroz ravan

23 Zadalak 0(250 140)

Data je rav an a i projckcija tackc A koja ldi Odrediti prodor prave p[BC) kroz ravan a i presek Koordinatc taeaka A B C i osni lragovi ravni a tabeli 8

u

i ra

datoj raVDl ~

~ date su u vni a i

Tabela 8

v a ~ A B C

ax ex (J ~x ~ ~ x y z x y z x y Z

I 110 70 oD 35 -10 35 80 SO 30 10 20 70 40 60 2 20 -70 -60 -20 30 10 40 20 -20 70 40 30 10 -40 3 -20 10 30 90 70 30 0 20 60 -10 -so -40 20 so 4 30 70 -30 -40 40 10 -20 -20 10 10 60 60 50 10 5 -30 40 30 110 70 20 50 10 50 10 -10 -40 30 80 6 20 -20 70 -60 20 40 40 20 -20 -40 -10 30 0 30 7 20 -10 60 100 80 60 40 20 60 -20 40 10 40 10 g 100 80 60 20 -10 60 10 30 60 -so 50 10 -30 -20 9 20 -10 00 100 RO 60 60 50 10 60 50 60 10 10

-2010 100 00 80 -4() 20 40 so 30 SO 40 60 10 -20 II -30 30 so SO 80 20 - I 0 -10 30 -I 0 20 -so -20 -60 12 40 -40 -20 -40 -20 -40 30 20 70 -30 -40 -40 10 40 13 90 SO 70 -30 20 40 50 30 10 10 10 I 10 80 90 14 -50 30 40 70 70 20 -30 40 -I 0 10 -40 20 -80 -40 15 70 70 20 -50 30 40 xo 20 - 10 10 -40 20 70 -20 16 3() -40 -50 30 -20 -20 20 30 10 70 70 60 10 -30 17 30 40 50 30 20 20 -20 10 -10 10 -10 30 -10 30 IX 60 70 60 30 -I 0 30 10 -20 0 0 0 70 40 70 19 30 -10 40 60 70 so 50 20 70 40 70 0 0 0 2() 7() so 70 35 40 30 100 -20 20 0 10 60 60 80

20

Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)

Resenje

V

x V

_~155

ppy

Slika 7 Graflcko rdenje primera 23

Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI

Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21

21

III VEZBA

TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1

horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9

Tabela 9

3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40

5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()

r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40

Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i

I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40

22

Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni

ReSenje

z

x

y

Slika 8 Graficko resenje primera 31

Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )

Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt

obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

Primer 23 Data je ravan a(40-3020) i tacka A(-301O) koja leii u ravni Odrediti prodor prave P (8(-203050) C(20-30-60)] kroz ravan a i presek ravni a i ravni p(AO1O50)

Resenje

V

x V

_~155

ppy

Slika 7 Graflcko rdenje primera 23

Druga projekcija tacke A st 7 odredena je pomocu druge sutraznice Prodor prave P kroz ravan a odrec1en je postavljanjem pomocne ravni y l H kroz pravu p Prodor prave se nalaz u preseku prave pi presecnice PI

Presecnice ravni a i odnosno a i podredene su kao u primeru 21

21

III VEZBA

TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1

horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9

Tabela 9

3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40

5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()

r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40

Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i

I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40

22

Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni

ReSenje

z

x

y

Slika 8 Graficko resenje primera 31

Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )

Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt

obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

III VEZBA

TEMA Specijalne prave u ravni ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

31 Zadatak Duz AB je prva nagibnica ravni U N acrtati lragove ravni 0(50150) projekcije lrougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B 1

horizontala tacke A u ravni u Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni Koordinate tacaka A i B date su u tabeli 9

Tabela 9

3 )5 20 10 15 5 25 4 50 30 20 middot-j--=2middot0 10 40

5 60 35 10 30 I() 4() 6 55 25 15 25 I() 30 7 7() 40 10 25 I() 4()

r~- 10 50 10 40 I () 50 9 60 30 5 JO 5 30 10 85 45 10 20 _10 40

Il-+-60 35 I() 10middotshy 10 1 35-shy12 60 I 30-- 15 3() 15 3i)-middot 13 60 20 10 20 I I () 30 14 55 20 10 15 ~ 15 i

I 5 50 25 i 20 20 10 40 16 80 35 I 10 30 10 4S 17 60 25 I 20 20 I ~ 45 18 BO 10 40 50 35 i 20 19 50 35 20 20 10 40 20 50 25 15 20 5 I 40

22

Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni

ReSenje

z

x

y

Slika 8 Graficko resenje primera 31

Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )

Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt

obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

Primer I Duz AB[A( 40255) B(20525)J je prva nagibmca ravni cx Nacrtati tragove ravni i projekcije trougla koga obrazuje duz AB frontala tacke B i horizontal a tacke A Odrediti ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijskoj ravni

ReSenje

z

x

y

Slika 8 Graficko resenje primera 31

Kako je prva nagibnica sf 8 prava koja lezi u ravni i normalna na prvi trag ravni potrebno je odrediti njene prodore kroz projekciJskc raVl1i i krnz dobijene prodore ucrtaLi tragove ravni (CXIl11 )

Ugao nagiba ravni prema vertikalnoj projekcijckoj ravni odreden Jt

obaranjem druge nagibnice LI V (a2lllz)

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

I I

TEMA Ravan odredena dvema pravama i prodor prave kroz ravan

32 Zadatak Ravan cx je definisana dvema pravama pravom a[AB] i pravom O2(250 150) b[BC] Nacrtati prodor prave c[DE] kroz ravan cx Odrediti

tragove ravni cx i koristeCi ih proveriti nadeni prodor Koordinate tacaka A B C DiE date su u tabeli 10

Tabela 10

v A x y

I 20 30 2 10 30 3 40 5 4 10 45 5 5 40 -6 o 10 ~

I 10 25 X 10 -20 l) 25 II) 10 XO 20 I I 10 10 12 10 5 13 30 20 14 10 10 15 20 5 16 50 20 17 10 5 IX 25 40 19 15 35 20 20 30

B C D E z x y z x y z x y z x y Z

5 35 20 IS 10 5 40 60 30 30 75 45 40 10 30 IS 20 10 10 30 50 40 40 65 55 60 30 30 20 20 20 35 30 50 20 30 60 30 45 5 30 20 20 10 10 40 70 30 25 60 20 20 5 40 15 15 20 5 30 50 20 30 60 30 40

35 35 15 25 10 50 0 75 45 40 60 30 30 -10 20 15 15 10 5 30 50 25 25 60 40 40 25 -20 15 10 25 40 -5 60 35 20 70 45 3()-30 45 20 10 IS 35 5 50 45 30 60 60 40 25 51) 10 40 20 IS 20 70 35 40 R5 55 55 10 30 5 20 10 0 45 60 20 30 75 35 45 40 35 20 15 20 35 5 75 45 40 60 30 30 15 40 5 30 50 10 20 45 35 25 60 50 45 40 30 20 20 10 45 5 45 20 25 70 40 40 30 40 IS IS 5 40 5 60 45 50 50 30 30 20 55 25 15 40 35 10 30 20 30 50 40 50 30 20 15 15 10 25 10 60 40 40 50 25 30 -5 -20 15 10 10 -20 25 70 45 30 60 35 20 5 40 20 10 25 to 40 60 60 40 50 45 30 10 50 to 20 gO 20 0 55 20 20 65 35 35

24

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

Primer 32

Resenje

Data je ravan a dvema pravama pavom a koja prolazi kroz tacke A(lO30lO) i B(301520) i pravom b kroz tacke B i C(1OlO30) NaCi prodor prave c( D(254040) E(405560)] kroz datu ravan Nacrtati tragove date ravni i koristeCi ih proverit nadeni prodor

z E

Y 4

bullc

6

3 x

6

y

Slika 9 Graficko resenje primera 32

Prod or prave kroz ravan koja je definisana dvema pravama sf 9 odreden je postavljanjem pomocne ravni ~ kroz pravu c nonnaino na H Presecnica u prvoj projekciji je c (I-II 5-6) au drugoj projekciji (I-II 5-6) Prodor se nalazi u preseku drugih projekcija prave i presecnice

25

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

IV VEZBA

TEMA Obaranje ravni i ugao nagiba ravni prema projekcijskoj ravni

41 Zadalak 0 1(60120)

Data je ravan ex i projekcije tacaka AB i C koje Ide u datoj ravni Ucrtati trougao ABC u dye ortogonainc projekcije i naci pravu velicinu istog obaranjem ravni ex Koristeei nagibnicu kroz tacku A odrediti ugao koji ravan ex zaklapa sa () projekcijskom ravni Koordinate tacaka A B C osni tragovi ravni ex i projekcijska ravan za nagibni ugao date su u tabeli 11

Tabela 11 v (J

(J ~

I 120 140

~I -50 30 J 10 -30

4 -1 100 90 40 -20 (1 -20 10

I 20 60 H 20 60 l) 90 XC)

10 -20 20 II -30 30 11 20 60 13 10 -20 14 - 10 -20 15 100 80 16 -30 10 17 -60 40 IH -70 70 19 so 50 20 110 70

A B c 0) (J X Y z x y z x y z 100 40 50 RO 10 20 80 H 40 60 10 40 40 -30 30 F -20 40 30 100 90 70 10 H 100 20 -20 XO -30 50 10 FshyRO 60 20 100 5 HO -40 H 20 20 2() 50 10 60 50 F -2(1 40 60 xo 60 10 20 H ) 0 -3D 10 30 10 - 1 0 50 F 70 10 10 70 10 50 -50 H 30 50 J 10 30 10 - I() -30 F 10 60 70 10 -20 40 10 H -20 10 20 SO 60 40 60 F 10 -30 -20 20 -10 -10 -40 H 10 30 -20 -20 - 10 10 40 F 80 90 50 10 -20 50 40 H 30 0 20 40 50 40 -10 F 50 20 0 -20 -60 -so 20 H 30 10 SO 60 20 40 -10 F -SO 40 30 20 -20 -10 -20 H 90 60 -30 -10 -40 20 -10 F

26

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

Primer 41

Resenje

Data je ravan 0(2050-20) i prve projekeije tacaka A(3030I) B(-lO-lO) i C(70AO) koje leze u datoj ravni Vertaci traugao ABC u dye ortogonalne projekcije i naCi pravu velicinu istog obaranjem ravni a u frontalnu projekClisku ravan Koristeci nagibnieu aOl tacku A odrediti ugao koji ravan a zaklapa H

z

Co

x

10 y

Stika 10 Graficko resenje primera 41

Projekeije lrougla koji lczi u ravni a 11 10 adrcacnc su pomocli sutrazniea Prava velie ina lrougla adredena jc obaranjcm ravni aka lljcnag drugag traga (rolacijom aka osc koja lezi u V ravni)Ugao nagiba raVill prema H ravnl odredenle obaranjem prve nagibnlce ravni u H

27

TEMA Odstojanje tacke od ravni i transformacija

42 Zadatak 0(250120)

Dat je trougao ABC i tacka D van trougla Odrediti pravu veliCinu najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla ne ucrtavajuCi lragove ravni a dobijeno resenje kontrolisati lransformacijom Osu transformacije IX postaviti kroz tacku N Koordinatc tacaka A B C i N date su u tabeli 12

Tabela 12 ry~ A r

X y ~ I

I

-20 -3(1

sect 0 50 l -40 -5 0 4 - I(I 10 5 middot2( -I 0 (j -20 50 7 20 10 X AO 50 9 -I 0 30 10 2() 50

I II -20 -10 12 -20 50 13 -10 -30 14 0 60 15 -20 [0 16 [0 70 J7 -30 0 I~ 10 70 19 -30 SO 20 -20 middot40

~

B C D N Z X Y Z X Y z X y Z x y z

- 40 5(1 50 [0 10 -70 -30 30 50 50 90 0 ()

20 6() 10 70 70 70 30 40 10 60 [20 () ()

-60 10 - I () -20 20 -RO -RO -20 - I 0 -X O 70 0 ()

40 10 7() XO 60 40 10 30 10 70 100 0 0 50 40 60 10 70 20 70 10 20 80 [00 () ()

10 40 10 70 2D so 90 [0 20 50 60 0 0 -50 50 70 50 70 -20 -30 30 -20 50 100 0 ()

[0 I () 10 60 40 70 -[ 0 20 30 middot10 70 0 0 - I 0 40 10 40 60 50 10 20 50 30 90 0 0 20 60 70 4() 3D 3D XO XO 20 30 [4() 0 0 -50 40 60 -10 70 2() 70 20 50 60 [00 0 0 40 10 10 XO 50 30 20 -10 20 20 W 0 0 10 40 -50 60 60 - [0 30 20 - [0 SO 70 0 0 30 20 [0 60 70 40 10 30 60 10 70 0 0 40 0 60 [() 40 30 60 20 [0 20 80 0 0 -20 40 -10 -I () 70 40 -40 20 [0 -30 70 0 0 0 10 50 60 40 10 - [0 -[0 SO 20 60 0 0 10 () 10 so SO 50 -20 40 70 20 60 0 ()

3D 40 40 60 20 () 0 -20 JO 60 70 0 0 -50 10 -xo -I 0 SO -20 -30 - I() -20 -20 70 () 0 I

Stika 11 Graficko resenje primera 42

Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11

Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)

Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )

Primer 42

Rdenje

Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)

D

i I

I

29

V VEZBA

TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan

51 Zadatak O(40RO)

Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13

Tabela 13

~

v A

x L 1 -40 50 2 20 10

3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40

10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10

IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10

19 -20 40

20 -40 -50

B C 0 a z x y z x y z x y z 0

30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO

40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180

30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150

30

Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)

Resenje

y

Stika 12 Graficko resenje primera 51

Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija

TEMA Rotacija i transformacija

52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati

transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14

Tabela 14 V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12

r--shy13 14 15 16 17 18 19 20

A B C () x y z x y z x y z

-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h

-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v

-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h

20 50 20 60 10 10 70 70 50 h

40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h

-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h

70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h

50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h

0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h

70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v

32

Primer 52

Rcscnjc

Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom

8

x

Stika 14 Graficko rescnje primera 52

Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI

velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )

Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike

Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije

33

TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni

53 Zadatak 0(230 140)

Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS

Tabela IS V

a 1 110

2 110

3 110

4 110

5 100

6 100

7 100

R 100

9 100

10 100

11 100

12 100

13 100

14 95

IS 95

16 95

17 100

18 100

19 100

20 100

a A S Pravilan

a y at x y z x y Z mnogougao

100 100 45 25 25 25 ) 6

100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4

100 100 45 25 25 25 ) 3

90 90 10 30 25 25 ) 6

90 90 10 30 ) 25 25 ) 5

90 90 10 30 ) 25 25 ) 4

SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5

80 80 10 20 ) 25 20 ) 4

80 70 30 20 ) 30 5 ) 6

80 70 30 20 ) 30 5 ) 5

80 70 30 20 30 5 ) 4

70 70 20 20 ) 5 20 ) 6

70 70 20 20 ) 5 20 ) 5

70 70 20 20 ) 5 20 ) 4

100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5

34

Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica

Resenje

x

Slika 14 Graficko resenje prim era 53

Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina

35

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

Stika 11 Graficko resenje primera 42

Postavlja se glavna normal a ravni (n~h i n~f ) kroz tacku D sl 11

Zatim kroz glavnu normalu postavlja se ravan aiV i nalazi presecna prava izmedu ravni a i trougla (P i p) Prodor P odreduje se u preseku p in Obaranjem duzl DP u V dobija se prava velicina najkraceg rastojanja tacke D od ravni trougla (DP)

Ravan transformacije postavlja se nbrmalno na ravan trougla (1(2 l hA) U trecoj projekciji koristeCi ZA Zn Zc i ZD dobija se najkrace rastojanje tacke od ravni trougla (D P )

Primer 42

Rdenje

Dat je trougao ABC [A(AO5020) B(101O-20) C(5030SO)] i tatka D(-20 l540) van trougla Odrediti pravu velicmll raslojanja [acke D od ravni trougla ne ucrtavajuci tragove ravru trougla Dobijeno resenje kontrolisati transformacijom Osu transformacije IX1 postaviti kroz tacku N(400O)

D

i I

I

29

V VEZBA

TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan

51 Zadatak O(40RO)

Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13

Tabela 13

~

v A

x L 1 -40 50 2 20 10

3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40

10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10

IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10

19 -20 40

20 -40 -50

B C 0 a z x y z x y z x y z 0

30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO

40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180

30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150

30

Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)

Resenje

y

Stika 12 Graficko resenje primera 51

Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija

TEMA Rotacija i transformacija

52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati

transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14

Tabela 14 V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12

r--shy13 14 15 16 17 18 19 20

A B C () x y z x y z x y z

-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h

-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v

-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h

20 50 20 60 10 10 70 70 50 h

40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h

-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h

70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h

50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h

0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h

70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v

32

Primer 52

Rcscnjc

Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom

8

x

Stika 14 Graficko rescnje primera 52

Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI

velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )

Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike

Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije

33

TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni

53 Zadatak 0(230 140)

Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS

Tabela IS V

a 1 110

2 110

3 110

4 110

5 100

6 100

7 100

R 100

9 100

10 100

11 100

12 100

13 100

14 95

IS 95

16 95

17 100

18 100

19 100

20 100

a A S Pravilan

a y at x y z x y Z mnogougao

100 100 45 25 25 25 ) 6

100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4

100 100 45 25 25 25 ) 3

90 90 10 30 25 25 ) 6

90 90 10 30 ) 25 25 ) 5

90 90 10 30 ) 25 25 ) 4

SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5

80 80 10 20 ) 25 20 ) 4

80 70 30 20 ) 30 5 ) 6

80 70 30 20 ) 30 5 ) 5

80 70 30 20 30 5 ) 4

70 70 20 20 ) 5 20 ) 6

70 70 20 20 ) 5 20 ) 5

70 70 20 20 ) 5 20 ) 4

100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5

34

Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica

Resenje

x

Slika 14 Graficko resenje prim era 53

Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina

35

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

V VEZBA

TEMA Rotacija oko ose normalne na projekcijsku ravan

51 Zadatak O(40RO)

Oat je trougao ABC Ucrtati dve ortogonalne projekcije trougla posle rotacije za ugao a oko vertikale tacke O Koordinate tacaka A B C 0 i ugao a date su u tabeli 13

Tabela 13

~

v A

x L 1 -40 50 2 20 10

3 20 -10 4 -20 50 5 10 70 6 -20 50 7 20 50 8 -10 30 9 0 40

10 20 50 11 -20 -40 12 10 70 1 ) -20 10 14 20 -10

IS -30 50 16 0 10 17 -30 0 18 80 10

19 -20 40

20 -40 -50

B C 0 a z x y z x y z x y z 0

30 10 0 0 40 40 60 50 0 20 120 -50 50 70 50 70 30 20 0 20 0 120 50 40 60 10 70 20 60 0 10 0 60 40 10 10 60 50 30 20 60 0 10 60 -20 40 -10 -10 70 40 -40 -10 0 20 90 10 20 10 50 40 40 20 50 40 0 150 20 60 10 10 70 70 50 40 20 0 60 middot10 40 10 40 60 SO 10 SO 10 0 210 10 30 70 50 50 10 30 60 0 10 120 30 40 10 60 80 40 10 70 20 0 60 -50 10 -10 -10 50 -30 -30 60 0 10 120 10 30 20 50 40 50 30 50 20 0 ISO

40 40 30 60 0 60 10 40 10 0 120 -40 40 -30 -20 0 -60 10 50 20 0 210 10 -10 10 50 40 40 -10 50 10 0 150 50 40 10 20 30 60 -10 50 0 30 120 0 10 50 60 40 10 -10 40 40 0 180

30 60 60 10 SO 30 50 30 0 30 150 50 10 10 10 50 50 40 40 10 0 120 -60 10 -10 -20 -30 20 30 30 -10 0 150

30

Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)

Resenje

y

Stika 12 Graficko resenje primera 51

Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija

TEMA Rotacija i transformacija

52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati

transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14

Tabela 14 V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12

r--shy13 14 15 16 17 18 19 20

A B C () x y z x y z x y z

-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h

-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v

-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h

20 50 20 60 10 10 70 70 50 h

40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h

-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h

70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h

50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h

0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h

70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v

32

Primer 52

Rcscnjc

Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom

8

x

Stika 14 Graficko rescnje primera 52

Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI

velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )

Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike

Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije

33

TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni

53 Zadatak 0(230 140)

Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS

Tabela IS V

a 1 110

2 110

3 110

4 110

5 100

6 100

7 100

R 100

9 100

10 100

11 100

12 100

13 100

14 95

IS 95

16 95

17 100

18 100

19 100

20 100

a A S Pravilan

a y at x y z x y Z mnogougao

100 100 45 25 25 25 ) 6

100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4

100 100 45 25 25 25 ) 3

90 90 10 30 25 25 ) 6

90 90 10 30 ) 25 25 ) 5

90 90 10 30 ) 25 25 ) 4

SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5

80 80 10 20 ) 25 20 ) 4

80 70 30 20 ) 30 5 ) 6

80 70 30 20 ) 30 5 ) 5

80 70 30 20 30 5 ) 4

70 70 20 20 ) 5 20 ) 6

70 70 20 20 ) 5 20 ) 5

70 70 20 20 ) 5 20 ) 4

100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5

34

Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica

Resenje

x

Slika 14 Graficko resenje prim era 53

Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina

35

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

Primer 51 Data je trougao ABC[ A(-60-20-30) B(-30-60-50) i q-lO -30 10)] Ucrtati projekcije trougla poste rotacije od ISO() oko vertikale tacke D(lOlOO)

Resenje

y

Stika 12 Graficko resenje primera 51

Centar rotacijeje u tacki D = s tako da se krugovi rotacije u prvoj projekciji vide u pravoj velicini sa polupreinicima DA DB i DC sf 12 Krugovi rotacije se u drugoj projekciji vide kao ravnl paralelne sa H odnosno normalne na osu rotacije s U preseku odgovarajuCih kruznica u drugoj projekciji i ordinata iz rotirane prve projekcije dobija se druga rotirana projekcija

TEMA Rotacija i transformacija

52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati

transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14

Tabela 14 V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12

r--shy13 14 15 16 17 18 19 20

A B C () x y z x y z x y z

-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h

-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v

-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h

20 50 20 60 10 10 70 70 50 h

40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h

-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h

70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h

50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h

0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h

70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v

32

Primer 52

Rcscnjc

Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom

8

x

Stika 14 Graficko rescnje primera 52

Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI

velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )

Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike

Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije

33

TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni

53 Zadatak 0(230 140)

Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS

Tabela IS V

a 1 110

2 110

3 110

4 110

5 100

6 100

7 100

R 100

9 100

10 100

11 100

12 100

13 100

14 95

IS 95

16 95

17 100

18 100

19 100

20 100

a A S Pravilan

a y at x y z x y Z mnogougao

100 100 45 25 25 25 ) 6

100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4

100 100 45 25 25 25 ) 3

90 90 10 30 25 25 ) 6

90 90 10 30 ) 25 25 ) 5

90 90 10 30 ) 25 25 ) 4

SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5

80 80 10 20 ) 25 20 ) 4

80 70 30 20 ) 30 5 ) 6

80 70 30 20 ) 30 5 ) 5

80 70 30 20 30 5 ) 4

70 70 20 20 ) 5 20 ) 6

70 70 20 20 ) 5 20 ) 5

70 70 20 20 ) 5 20 ) 4

100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5

34

Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica

Resenje

x

Slika 14 Graficko resenje prim era 53

Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina

35

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

TEMA Rotacija i transformacija

52 Zadatak Dat je trougao ABC Odrediti pravu velicinu trougla rotacijom Oi 4 0 2 IO) oko SlItraznicc 0) tacke A Dobijeno resenje kontrolisati

transfonnacijom Koordinate tacaka A B i C date su u tabeli 14

Tabela 14 V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12

r--shy13 14 15 16 17 18 19 20

A B C () x y z x y z x y z

-10 30 -10 40 10 40 60 50 10 v 10 60 10 30 20 50 60 40 20 h

-20 40 50 10 10 10 50 50 40 v -30 50 10 -10 10 50 30 30 -10 h -40 -50 -60 10 -10 -20 -30 20 30 h 0 30 50 40 10 20 30 60 -10 v

-30 0 0 10 50 60 40 10 -10 h

20 50 20 60 10 10 70 70 50 h

40 -30 -20 0 -60 10 20 -10 -40 v 80 10 30 40 60 10 20 20 60 h

-40 50 30 10 0 0 40 40 60 h

70 20 60 20 -10 50 40 60 10 v 10 70 -20 40 -10 -10 70 40 -40 h -20 -40 -50 10 -10 -10 50 -60 -30 h

50 30 20 -20 50 40 10 10 60 v 40 30 60 0 60 10 -20 10 40 v 20 50 30 40 10 60 80 40 10 h

0 40 10 30 70 50 50 10 20 v -20 50 10 20 10 50 40 40 20 h

70 30 20 20 10 -50 50 70 50 v

32

Primer 52

Rcscnjc

Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom

8

x

Stika 14 Graficko rescnje primera 52

Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI

velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )

Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike

Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije

33

TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni

53 Zadatak 0(230 140)

Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS

Tabela IS V

a 1 110

2 110

3 110

4 110

5 100

6 100

7 100

R 100

9 100

10 100

11 100

12 100

13 100

14 95

IS 95

16 95

17 100

18 100

19 100

20 100

a A S Pravilan

a y at x y z x y Z mnogougao

100 100 45 25 25 25 ) 6

100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4

100 100 45 25 25 25 ) 3

90 90 10 30 25 25 ) 6

90 90 10 30 ) 25 25 ) 5

90 90 10 30 ) 25 25 ) 4

SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5

80 80 10 20 ) 25 20 ) 4

80 70 30 20 ) 30 5 ) 6

80 70 30 20 ) 30 5 ) 5

80 70 30 20 30 5 ) 4

70 70 20 20 ) 5 20 ) 6

70 70 20 20 ) 5 20 ) 5

70 70 20 20 ) 5 20 ) 4

100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5

34

Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica

Resenje

x

Slika 14 Graficko resenje prim era 53

Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina

35

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

Primer 52

Rcscnjc

Dat je trougao ABcrA(-lOSOlO) B(201060) C(706030)] Nacrlati pravu velicinu trougla rotacijom oko fromale tacke A Dobijeno resenje kontrolisati lransformaciJom

8

x

Stika 14 Graficko rescnje primera 52

Na st j 4 su prikazana dva naCina resenJa primera I nacin Koriscenjem svojslava h i f vidi se prva projekcija duzi C2 u praVOI

velicini Duz i u drugoj projekciji vidi se u pravoj velicini posle rotacije (2C I )

Tacka C t je odredena na kruznici rotacije C (kclfA) Prava CIl daje pravac stranice trougla BC posle rotacije II nacin Koristi se odredivanje prave veliCine duzi u ovom slucaju poluprecnika kruga rotacije tacke B pomocu tzv visinske razlike

Kontrola transfonnacijom je pomocu ravni treee transfonnacije nonnalne na ravan trougla i F Trougao se zatim rotacijom dovede u polozaj paralelno sa F a dobijene tacke u trecoj projekciji suprotnim postupkom vrate se na odgovarajuce krugove rotacije

33

TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni

53 Zadatak 0(230 140)

Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS

Tabela IS V

a 1 110

2 110

3 110

4 110

5 100

6 100

7 100

R 100

9 100

10 100

11 100

12 100

13 100

14 95

IS 95

16 95

17 100

18 100

19 100

20 100

a A S Pravilan

a y at x y z x y Z mnogougao

100 100 45 25 25 25 ) 6

100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4

100 100 45 25 25 25 ) 3

90 90 10 30 25 25 ) 6

90 90 10 30 ) 25 25 ) 5

90 90 10 30 ) 25 25 ) 4

SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5

80 80 10 20 ) 25 20 ) 4

80 70 30 20 ) 30 5 ) 6

80 70 30 20 ) 30 5 ) 5

80 70 30 20 30 5 ) 4

70 70 20 20 ) 5 20 ) 6

70 70 20 20 ) 5 20 ) 5

70 70 20 20 ) 5 20 ) 4

100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5

34

Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica

Resenje

x

Slika 14 Graficko resenje prim era 53

Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina

35

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

TEMA Projekcija tclltl sa bazisom u proizvoljnoj ravni

53 Zadatak 0(230 140)

Data jc rltlvan a i 1I njoj lacke A i S Tacka S je eentar opisanog kruga oko pravilnog 11111ogougla (ije jc jedllo lcme tacka A Zadall mnogougao je donji bazis pravilne pravc pnzmc visine H=70 mm Ucrtali obe projckeije prizmc i odrcditi vidljivost njenih iviea Koordinalc tacaka A S osni tragovi i pravilan mnogougao date su u tabeli IS

Tabela IS V

a 1 110

2 110

3 110

4 110

5 100

6 100

7 100

R 100

9 100

10 100

11 100

12 100

13 100

14 95

IS 95

16 95

17 100

18 100

19 100

20 100

a A S Pravilan

a y at x y z x y Z mnogougao

100 100 45 25 25 25 ) 6

100 100 45 25 ) 25 25 ) 5 100 100 45 25 ) 25 25 ) 4

100 100 45 25 25 25 ) 3

90 90 10 30 25 25 ) 6

90 90 10 30 ) 25 25 ) 5

90 90 10 30 ) 25 25 ) 4

SO 80 10 20 ) 25 20 ) 6 80 80 10 20 25 20 ) 5

80 80 10 20 ) 25 20 ) 4

80 70 30 20 ) 30 5 ) 6

80 70 30 20 ) 30 5 ) 5

80 70 30 20 30 5 ) 4

70 70 20 20 ) 5 20 ) 6

70 70 20 20 ) 5 20 ) 5

70 70 20 20 ) 5 20 ) 4

100 100 40 25 20 25 ) 6 100 100 40 25 ) 20 25 5 90 75 40 25 ) 25 20 6 90 75 40 25 25 20 ) 5

34

Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica

Resenje

x

Slika 14 Graficko resenje prim era 53

Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina

35

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

Primer 53 Dataje ravan 0(1005545) i u njoj tacke A(1525) i S(25157) Tacka S je centar opisanog kruga oko jednakostranicnog trougla cije je jedno teme tacka A Zadati trougao je donji bazis pravilne prave prizme visine H=40 mm Ucrtati obe projekcije prizme i odrediti vicljivost njenih ivica

Resenje

x

Slika 14 Graficko resenje prim era 53

Pomocu sutraznica sl14 odreaene su druge projekcije i oboreni pololaj tacke A i S U oborenom polozaju odredena je prava veliCina bazisa prizme Kako je prizma prava sledi cia su ivice prizme normalne na ravan Rotacijom duzi NS odredena je njena stvarna duzina

35

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

VI VEZBA

TpoundMA Ravnn presek piramide i mreza

61 Zadatak Data jc kosa troslrana piramida sa bazisom ABC i vrhom V 0 (40 14Cl) Odred iti prcsek piramide i ravni ex a zatim nacrtati mrezu

zarublJcnog dela piramide Mrezu razvili pocev od ivice A V paralelno x-os i sa pocetnom lackom Vn(28060) Dobijene lacke preseka - metodom direktnog prodora proveriti metodom kolineac~je

Koordinate tacaka A B C Vi osni tragovi elate SlI u taheli 16

Tabela 16 V A

x y

I 10 10 2 40 0 3 40 10 4 20 0 ) 40 40 6 j() 0 7 20 30 8 40 0

9 -10 40 10 10 10 II -10 ()

I ~ 40 0 I -10 0 14 20 30 11 40 ()

16 - I (l 40 17 40 40 18 20 0 19 40 10 20 10 ()

B C V (J

z x y z x y z x y z (J a (J

0 30 40 0 50 29 0 70 90 SO 90 90 80 10 6() 0 60 80 0 40 0 80 70 20 -30 -20 0 60 60 0 80 40 0 0 70 SO -10 00 10 30 40 0 () 60 0 10 70 90 80 90 90 80 0 60 10 0 20 20 0 70 SO 90 80 80 90 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 00

0 40 0 0 60 10 0 70 90 SO 80 00 70 40 60 () 0 20 0 20 70 90 SO SO 00 80 0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 70 SO 0 30 40 0 50 20 0 70 90 80 90 00 SO 40 20 0 10 30 0 60 70 70 50 80 70 00

40 60 0 10 20 0 20 70 90 80 80 90 SO 40 21l () 10 30 0 60 70 70 50 80 80 70 () 40 () 0 60 10 0 70 90 80 90 90 80 10 60 0 60 )10 0 40 0 80 70 -10 10 00

0 20 10 0 30 60 0 70 50 70 80 00 SO 0 6() 10 () 20 20 () 70 SO 90 SO 80 00

30 40 () 0 60 0 10 70 90 80 80 70 00

0 60 60 0 80 40 0 0 70 80 20 -20 -30 10 30 0 40 50 0 20 70 90 80 90 90 gO

36

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

z

A

I JIbN I

B

Primer 61

Resenje

Data je kosa trostrana piramida sa bazisom ABC lA(lOlOO)

B(40OO) C(3030O)] i vrhom V(508080) Odrediti presek piramide i ravni a(906070) metodom direktnih prodora a zatim nacrtati mrezu zarubljenog dela piramide

o

--gt-1-~cf- ti~J-y

V

Stika 15 Graficko resenje primera 61

Presek piramide i ravni sI15 odreden je metodom direktnog prodora Prave veliCine ivica piramide i prave veliCine odstojanja tacaka preseka od vrha odredene su rotacijom Prava veliCina preseka je odredena obaranjem ravni u H Bazis se vidi u pravoj veliCini u prvoj projekciji

37

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

VII VEZBA

ltMA Ravan presek prizme i mreza

7 1 Zadatak Bazis ABC kose trostrane pnzme ldi u horizontalnici Ivica 0 1(35 1 ~O) prizme je definisana duzinolTl AD Prizma je presecena

specijalnom ravni a Nacrtati mrdu prizme iznad ravni Koordinate tacaka A B C D kao i osni tragovi ravni date su u tabeli 17

Tabela 17

A

x y 10 20 10 35 10 20 10 10 III 40

) 35

10 J(l 5 10 J 10 40 0 10 25 I 45 SO 2 30 I(

3 SO 10 4 70 2()

5 40 10 6 30 10 7 5 40 8 45 IS 9 40 10 ~o 30 5

B C D a z x y z x y z x y z ax a 0 ~ 45 50 ~ 80 30 ~ 80 50 50 100 00 80 ~ 30 10 0 50 45 0 60 SO 55 130 00 50 J 50 10 0 40 40 ) 7() 40 40 100 Cltgt 45 ) 7() 20 0 30 35 ~ 65 45 50 120 00 40 ) 40 I() ~ 70 2() ) 50 70 55 11 0 00 45 0 30 10 0 60 25 0 50 60 60 10() 50 0 5 40 50 40 0 60 60 50 120 45 0 45 IS 0 10 40 0 SO SO SO I()()

4() J 40 10 ) 55 30 0 XO 40 60 110 00 SO 0 30 5 0 50 20 ~ 60 SO 60 100 00 60 ~ HO 30 0 10 20 0 HO SO 50 100 00 80 0 SO 45 0 10 35 60 HO 55 UO 00 SO 0 40 40 0 10 20 ~ 70 40 40 100 00 SO 0 30 35 ~ 10 10 ~ 65 45 SO 120 00 40 ~ 70 20 0 10 40 0 SO 70 55 110 00 45 J 60 25 0 5 35 0 SO 60 60 100 00 45 0 SO 40 0 10 30 0 60 60 SO 120 00 SO 0 10 40 0 5 to ~ so SO 50 100 00 40 55 30 0 10 40 ~ 80 40 60 110 00 so ~ So 20 0 10 25 0 60 50 60 100 00 60

8

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39

Primer 7L

Resenje

Bazis ABCD [A(10lS) B(30lO) C(3S2S) D(2030)] kose prizme Idi u horizontalnici I vica prizme je definisana duzinom AE [A E(403030)] Prizma je preseeena specijalnom ravni ~(70oo30) Nacrtati lllidu prizme iznad preseene ravni Pravu veliCinu preseka odrediti metodom transformacije

Stika 16 Grafieko resenje primera 7 L

Prave velicine ivica prizme (AE) sf 16 odreaene su metodom rotacije Postupkom pravouglog trougla odredene su stvarne veliCine dijagonala stranica omotaea Prava velie ina bazisa se oCitava iz prve projekcije ABCD=ABCD a metodom transformacije nacrtana je stvarna velie ina preseka (1-2-3-4)

39