Program Integer

Riset Operasi

TIP – FTP – UB

2

Model Pemrograman Integer

Tipe Model

Total Integer Model: Semua variabel keputusan diharuskan

mempunyai nilai solusi integer.

0–1 Integer Model: Semua variabel keputusan mempunyai

nilai integer 0 atau 1.

Biner / Binary

Boolean dan True/False

Mixed Integer Model: Beberapa variabel keputusan (tetapi

tidak semua) diharuskan mempunyai solusi integer.

3

Mesin

Kebutuhan Ruang ( ft

2)

Harga beli

Pencetak Bubut

15

30

$8,000

4,000

Model Total Integer (1 of 2)

Toko mesin ingin membeli mesin pencetak dan mesin bubut

baru

Keuntungan marjinal: mesin cetak $100/hari; mesin bubut

$150/hari.

Batasan sumberdaya: $40,000, tempat tersedia 200 ft2.

Biaya pembelian mesin dan kebutuhan ruang:

4

Model Total Integer (2 of 2)

Integer Programming Model:

Memaksimalkan Z = $100x1 + $150x2

dengan kendala:

8,000x1 + 4,000x2 $40,000

15x1 + 30x2 200 ft2

x1, x2 0 dan integer

x1 = jumlah mesin pencetak

x2 = jumlah mesin bubut

5

Pemilihan fasilitas rekreasi untuk memaksimalkan

penggunaan harian warga.

Batasan sumberdaya: anggaran $120,000; tanah 12 acres.

Batasan tambahan: salah satu dari kolam renang atau

lapangan tenis.

Data:

Fasilitas Rekreasi

Penggunaan (orang/hari)

Biaya ($) Kebutuhan Tanah

(acres)

Kolam renang Lapangan tenis Lapangan atletik Gymnasium

300 90 400 150

35,000 10,000 25,000 90,000

4 2 7 3

Model Integer 0-1 (1 of 2)

6

Integer Programming Model:

Memaksimalkan Z = 300x1 + 90x2 + 400x3 + 150x4

dengan kendala:

$35,000x1 + 10,000x2 + 25,000x3 + 90,000x4 $120,000

4x1 + 2x2 + 7x3 + 3x4 12 acres

x1 + x2 1 fasilitas

x1, x2, x3, x4 = 0 atau 1

x1 = pendiriian sebuah kolam renang

x2 = pendirian sebuah lapangan tenis

x3 = pendirian sebuah lapangan atletik

x4 = pendirian sebuah gymnasium

Model Integer 0-1 (2 of 2)

7

Model Integer Campuran (1 of 2)

Anggaran $250,000 tersedia untuk inverstasi dengan

pengembalian terbesar setelah setahun.

Data:

Harga villa $50,000/unit, $9,000 keuntungan jika dijual

setelah satu tahun.

Harga tanah $12,000/acre, $1,500 keuntungan jika dijual

setelah setahun.

Harga obligasi $8,000/bond, $1,000 keuntungan jika

dijual setalah setahun.

Tersedia hanya 4 villa, 15 acres tanah, dan 20 obligasi.

8

Integer Programming Model:

Memaksimalkan Z = $9,000x1 + 1,500x2 + 1,000x3

dengan kendala:

50,000x1 + 12,000x2 + 8,000x3 $250,000

x1 4 villa

x2 15 acres

x3 20 bond

x2 0

x1, x3 0 dan integer

x1 = villa yang dibeli

x2 = acre tanah yang dibeli

x3 = obligasi yang dibeli

A Mixed Integer Model (2 of 2)

9

Pembulatan solusi non-integer ke atas (ke bawah) dapat

menghasilkan solusi tak layak

Sebuah solusi layak mungkin ditemukan dengan

pembulatan tetapi tidak optimal (sub-optimal).

Apakah sebuah variabel dibulatkan ke atas atau ke bawah

tergantung pada hasil dan kendala yang ada.

Solusi Grafis Pemrograman Integer

10

Contoh Pemrograman Integer

Solusi Grafis Model Maksimasi

Maximize Z = $100x1 + $150x2

subject to:

8,000x1 + 4,000x2 $40,000

15x1 + 30x2 200 ft2

x1, x2 0 dan integer

Solusi Optimal:

Z = $1,055.56

x1 = 2.22 pencetak

x2 = 5.55 bubut

Feasible Solution Space with Integer Solution Points Kedua nilai ini dapat diperoleh dengan

pembualatan, tetapi nilai setiap fungsi

tetap perlu dicek ulang

11

Branch and Bound Method

Pendekatan tradisional untuk pemecahan masalah

pemrograman integer.

Berdasarkan prinsip bahwa kumpulan solusi layak total

dapat dipecah menjadi sub-kumpulan solusi yang lebih

kecil.

Sub-kumpulan yang lebih kecil dievaluasi sampai solusi

terbaik ditemukan.

Metode ini sangat melelahkan dan sering kali meliputi

proses matematis yang kompleks.

Penggunaan alat bantu dapat dipakai (Excel and QM for

Windows).

12

Ringkasan Metode Branch and Bound

1. Dapatkan solusi simpleks optimal dari PL dg batasan integer

2. Tentukan solusi simpleks relaxed sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan ke bawah sebagai batas bawah pada node 1

3. Pilih variabel dengan bagian pecahan terbesar untuk percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini yang mencerminkan pembagian nilai integer berupa batasan ≤ dan ≥

4. Ciptakan node baru, satu batasan ≤ dan satu batasan ≥

5. Selesaikan model PL relaxed dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node

6. Solusi simpleks relaxed adalah batas atas tiap node, dan solusi integer maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah batas bawah

7. Jika solusi integer layak dengan nilai batas atas terbesar dihasilkan, maka solusi integer optimal tercapai. Jika solusi integer belum ada, lakukan percabangan dari node dengan batas atas terbesar

8. Ulangi langkah 3.

13

14

Recreational Facilities Example:

Maximize Z = 300x1 + 90x2 + 400x3 + 150x4

subject to:

$35,000x1 + 10,000x2 + 25,000x3 + 90,000x4 $120,000

4x1 + 2x2 + 7x3 + 3x4 12 acres

x1 + x2 1 facility

x1, x2, x3, x4 = 0 or 1

Computer Solution of IP Problems

0–1 Model with Excel (1 of 5)

15

Exhibit 9.2

Computer Solution of IP Problems

0–1 Model with Excel (2 of 5)

16

Exhibit 9.3

Computer Solution of IP Problems

0–1 Model with Excel (3 of 5)

Instead, one could just

specify $C$12:$C$15

as “binary” (= ‘0’ or ‘1’).

17

Exhibit 9.4

Computer Solution of IP Problems

0–1 Model with Excel (4 of 5)

To constrain a range of variables to be

integers, enter:

… and note that it doesn’t matter what you put in

the right-hand side field, but it must not be empty.

Instead, one could just specify the “bin” option (= ‘0’ or ‘1’),

thus avoiding the additional, “≥ 0” and “≤ 1” constraints.

18

Exhibit 9.5

Computer Solution of IP Problems

0–1 Model with Excel (5 of 5)