NOCIONES DE PROBABILIDAD

NOCIONES DE PROBABILIDAD

Ing. Est. Fidel Reynoso Guerrero

Material de Clases © Dr.Jorge Córdova Egocheaga. Mayo 2007

OBJETIVOS

1. Aplicar los conceptos de experimento, espacio muestral y evento.

2. Discutir los principios para asignar probabilidad.

3. Utilizar las reglas de probabilidad para plantear y resolver un problema real.

Al finalizar, el participante será capaz de:


1. Importancia de las probabilidades2. Conceptos básicos3. Probabilidad4. Reglas de Probabilidad

3.1 Regla de la Adición3.2 Regla de la Multiplicación3.3 Teorema de Bayes

CONTENIDO


Importancia de las Probabilidades

Las probabilidades están presentes en nuestras vidas más a menudo de que podríamos sospechar. Todos tenemos una gran intuición probabilística.

Por ejemplo, en días lluviosos, fríos y con mucha humedad es alta la probabilidad de coger un resfrío. Si ingerimos alimentos en lugares poco higiénicos, en ambulantes es muy probable que contraigamos una infección estomacal.


¿Cómo es la probabilidad de ganar el premio mayor en Tinka?. Muy baja, pues hay muchas alternativas en juego. Pero aún sabiendo esto, compramos uno que otro número. La decisión creo yo que es racional.

Si escuchamos una predicción de 20% que habrá lluvia y Ud. tiene planeado un paseo al campo con la familia. ¿Qué hace?. Lo mas racional es que cancele su paseo y se quede en su casa viendo un video.





Conceptos básicos

(A) Experimento: Ejecución voluntaria de un fenómeno.Se caracteriza por:

a) Tener varios resultados posiblesb) Existir incertidumbre sobre el resultado

Ejemplos:• Lanzar una moneda• Seleccionar de un lote un foco de luz• Extraer una muestra de sangre a una

persona


(B) Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se simboliza por (omega).

Ejemplos: Lanzar una moneda

= {cara, sello}

Seleccionar de un lote, un foco de luz.

={adecuado, inadecuado}

Extraer una muestra de sangre a una persona.

= {grupo sanguíneo}


Ejemplo:

Se lanzan tres monedas simultáneamente. Los ochos resultados posibles de este experimento pueden detallarse de manera conveniente mediante un diagrama de árbol: Primera Segunda Tercera Resultado Moneda Moneda Moneda Posible

={CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}

CCCCCSCSCCSSSCCSCSSSCSSS

CSCSCSCS

C

S C

S

C

S


(C) Suceso: subconjunto del espacio muestral, seleccionado de acuerdo a una condición. Se representan por letras latinas mayúsculas.

Ejemplo:Se lanzan dos dados. El espacio muestral de

este experimento es:= { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }




Podemos considerar los siguientes sucesos:

A: la suma de puntajes es 7, es decir

A={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}

B: la suma de puntajes es 11, es decir

B={(5,6) (6,5)}

C: la suma de puntajes es 7 u 11, es decir

C={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5)}


Probabilidad

(A) Concepto: Ponderación asignada a cada punto muestral que mide la verosimilitud de su ocurrencia.

(B) Principios para asignar probabilidad:

a) La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 y 1

b) La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales deben ser iguales a 1.

0 0,5 1

Tan probable

como improbableImprobable Probable


1. Se lanza una moneda

={cara, sello}

P(cara) = 0,5 P(sello) = 0,5

Ejemplos:


2. Se lanzan 3 monedas

= {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}

1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

A: obtener exactamente 2 caras

A = {CCS, CSC, SCC}

1/8 + 1/8 + 1/8

P(A) = 3/8


(C) Conclusiones: De acuerdo a la definición de probabilidad de un suceso y a los dos principios, tenemos las siguientes conclusiones:

(1º) P() = 1

(2º) P( ) = 0

(3º) P(A´) = 1 - P(A)


PROBABILIDAD DEL PUNTO ESTADISTICO

... Quien emplea la estadística aplicada, prefiere

pensar en la probabilidad como el número de veces

en las que, se presentará determinada situación si

una experiencia fuera repetida indefinidamente en

situaciones de naturaleza repetitiva o que pudiera

concebirse de esa manera ...


7.4 Reglas de probabilidad

7.4.1 Regla de la Adición

(A B)

U

BA

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B)

U


Un cliente ingresa a una panadería. La probabilidad de que compre (a) pan es 0,60 (b) leche 0,50, y c) pan y leche es 0,30 ¿Cuál es la probabilidad de que compre pan, leche o ambos?.DatosP(P) = 0,60P(L) = 0,50P = 0,30(P L)

U

P(PUL) = P(P) + P(L) -P(PUL) = 0,60 + 0,50 - 0,30P(PUL) = 0,80

(P L)

U Ejemplo:


Dos sucesos son mutuamente excluyentes, si no tienen elementos comunes

A B

Si :Por lo tanto :

(A B) =

U

P(A B) = 0

U Regla de adición para sucesos mutuamente excluyentes

P(AUB) = P(A) + P(B)


Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as o un rey?

P(AUR) = P(A) + P(R)

= 4

52

= 8

52

4

52

52

4 =P(R)

52

4 =P(A)

Ejemplo:


Ejemplo 1: Se dispone de 11 Hojas de Registro Laboral, pertenecientes a trabajadores masculinos y femeninos agrupados por el turno en que labora.

11

8=P(D)

7.4.2 Probabilidad Condicional

M F

Turno (Masculino) (Femenino) Total

D (Día) 5 3 8

N (Noche) 1 2 3

Total 6 5 11

Sexo

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una Hoja de Registro Laboral perteneciente a un trabajador que labora en el día?


b)¿Cuál es la probabilidad de extraer una Hoja de Registro Laboral perteneciente a un trabajador que labora en el día y que sea mujer?

c) Dado que la Hoja de Registro Laboral perteneciente a un trabajador que labora en el día, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?

11

3=F)P(D

8

3=D

FP )(


Derivación de la fórmula:

11811

3=D

FP )(

8

3=D

FP )(

P(D)

D)P(F=D

FP )(

comprobando:


La probabilidad de que el personal administrativo que labora en una empresa, llegue tarde el día lunes es 0,50 y la probabilidad de que llegue retrasado los días lunes y martes es 0,20. Dado que cierto trabajador llegó tarde el día lunes, ¿cuál es la probabilidad de que llegue tarde el día siguiente?.

0,50 = )P(TL

0,20 = )TP(T ML )P(T

)TP(T = T

TPL

LM

L

M )(

0,40 = 0,50

0,20 =

Aplicación:


A partir de

A)(P

B)A(PA

BP )(

Se despeja

)( ABPA)(P)BA(P

7.4.3 Regla de la Multiplicación


Se sabe que en un lote de discos duros de 50 unidades, hay 4 que no están adecuadamente embalados. Si se extraen al azar 2 discos duros, uno a continuación del otro, ¿cuál es la probabilidad de que ambos se encuentren mal embalados?

49

3D

DP

50

4)D(P

)(1

2

1

2450

12

49

3

50

4 =

DDP)D(P)DD(P )(

1

2121

Aplicación:


En una población de pacientes hospitalizados, la probabilidad de que uno de ellos, elegido aleatoriamente tenga problemas cardiacos es 0,35.

La probabilidad de que un paciente con problemas cardiacos sea un fumador es de 0,86. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente elegido al azar de entre la población sea fumador y tenga problemas cardiacos?

Ejercicio


Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia del otro; esto significa que, independientemente de que A haya ocurrido o no, la probabilidad asignada a B es siempre la misma.

)B(AB )( PP

Entonces,

)B(A)()BA( PPP

Regla de la multiplicación para sucesos independientes.


¿Cuál es la probabilidad de que en una familia con dos hijos, ambos sean varones?

5,0)V(

5,0)V(

2

1

P

P

25,0)VV(

(0,5) (0,5)

)V()V()VV(

21

2121

P

=

PPP

Ejemplo:


Ejemplo 1:

La Compañía de Seguros JL ha desarrollado un novedoso seguro médico familiar. De acuerdo con una investigación hecha en el mercado, la probabilidad de que el producto tenga éxito es 0,80 si una compañía competidora no introduce un plan similar en el mercado, en tanto que la probabilidad de éxito es 0,30 si la empresa competidora lanza al mercado un seguro similar. Además, la compañía JL estima que hay una probabilidad de 0,40 de que la firma competidora comercialice el producto.

7.4.4 El teorema de Bayes

Consiste en una partición de la probabilidad total.


Solución: P(C) = probabilidad de que la compañía

competidora comercialice el producto,P(C´) = probabilidad de que la compañía

competidora no comercialice el producto,

P(E) = probabilidad de que el plan de seguro familiar de la compañía JL tenga éxito.

Dado que el producto de la Compañía JL tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad de que la firma competidora haya comercializado su novedoso plan de seguro?


P(E/C) = 0,30

P(E/C´) = 0,80

P(C) = 0,40

P(C´) = 0,60

0,12=0,300,40=E)C(P

0,48=0,800,60=E)C(P '

P. Marginal

0,60=E)(PP. Total

P. Condicional P. Conjunta


Luego, de acuerdo con el Teorema de Bayes

20.060.0

12.0

48.012.0

12.0

E)C(+E)C(

E)C(=E

C'

)(

PP

PP

La probabilidad que la compañía de seguros haya participado en el mercado, dado que JL tuvo éxito es de 0,20.


El Gerente de Imagen Institucional está considerando comprar un lote de 10000 unidades USB de un proveedor nacional. El fabricante de estos equipos estima la proporción de equipos defectuosas en el lote, en la siguiente forma.

Proporción de piezas defectuosas ()

1 = 0,10

2 = 0,15

3 = 0,25

Probabilidad P()

P(1) = 0,20

P(2) = 0,30

P(3) = 0,50

Ejemplo 2:


Esto significa que el proveedor no está seguro acerca de la proporción de equipos defectuosos en el lote, sin embargo, basándose en experiencias anteriores, cree que hay una probabilidad de 0,20 de que el lote tenga 10% de piezas defectuosas, una probabilidad de 0,30 de que tenga 15%. Y finalmente, de 0,50 de que tenga 25% de piezas defectuosas. Supongamos que elige una unidad USB al azar en el lote:


A) ¿Cuál es la probabilidad de qué esta sea defectuosa?

B) Dado que la unidad USB resultó defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el lote tenga 25% de piezas defectuosas?


P. Marginal P. Condicional P. Conjunta

P( 1) =

0,2

0

P(3 ) = 0,50

0,1900=D)(P

0,0200=0,100,20=D)(P 1

P(D/3)= 0,25

P(D/2)= 0,15

P(D/1)= 0,10

P(2) = 0,300,045=0,150,30=D)(P 2

0,1250=0,250,50=D)(P 3 3=0,25

2=0,15

1=0,10


Hay tres maneras posibles de obtener un USB defectuoso del lote. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una unidad defectuosa, cualquiera que se la tasa porcentual de defectuosos 10, 15 ó 25 es:

)(P)(P)(P)( 321 DDDDP

19,0

1250,00450,00200,0

Respuesta A:


Respuesta B:

De acuerdo con el Teorema de Bayes, la probabilidad de que el lote contenga 25% de piezas defectuosas, dado que la unidad elegida es defectuosa, es:

6579.01900.0

1250.0

)(P

)(P)/(P 3

3 D

DD

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